江西省奉新一中、南丰一中等六校2019届高三下学期联考数学(文)考试试题(无答案)

2019届江西省奉新一中、南丰一中等六校高三下学期联考数学（理）试题一、单选题1．已知i 为虛数单位，复数32iz i=-，则复数z 在复平面内对应的点位于（ ） A ．第二象限B ．第四象限C ．直线320x y -=上D ．直线320x y +=上【答案】C【解析】化简：23,1313z i =-+得到231313z i =--，写出复平面中对应的点的坐标，判断即可. 【详解】(32)2323,321313131313i i i z i z i i +===-+=---，在复平面中的点为23(,)1313--在第三象限，且在直线320x y -=上. 故选：C 【点睛】本题考查了复数的四则运算，以及复数的几何意义，考查了学生数学运算，数形结合的能力，属于基础题.2．已知集合{}2|180M x x x =-+≥，(){}|lg 3N x N y x =∈=-，则集合M N ⋂的子集个数是（ ） A ．4 B ．7C ．8D ．16【答案】C【解析】化简M ，N 得到[0,18]M =，{}|3N x N x =∈<，求解得到={0,1,2}M N ⋂，进而得解. 【详解】{}2|180[0,18]M x x x =-+≥=Q ,(){}{}|lg 3|3N x N y x x N x =∈=-=∈< ={0,1,2}M N ∴⋂有32=8个子集.故选：C【点睛】本题考查了集合的交集运算以及子集的个数问题，考查了学生概念理解，运算求解能力，属于基础题.3．若实数a 满足2log 41log a a >>，则a 的取值范围是（ ） A ．()1,4 B ．()2,4C ．()1,2D ．()4,+∞【答案】C【解析】分为两部分：21log a >，log 41a >结合函数的单调性求解a 的范围. 【详解】2221log log 2log 20a a a >∴>∴>>Qlog 411,a a >∴>Q log 4log 14a a a a >⇒<<又20a >>， 所以12a << 故选：C 【点睛】本题考查了对数函数的单调性在求解对数不等式的应用，考查了学生综合分析，转化与划归，数形结合的能力，属于中档题.4．已知抛物线C ：24y x =的焦点为点F ，准线为直线l ，点A 在抛物线C 上，设点A 到y 轴的距离为d ，若3AF d +=，则点A 到直线l 的距离为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】B【解析】由抛物线的定义可知：=||1d AF -，得到||2AF =，即得解. 【详解】由抛物线的定义可知：=||1d AF -，于是213||2AF AF -=∴=，即点A 到直线l 的距离为2. 故选：B 【点睛】本题考查了抛物线的定义在距离问题中的应用，考查了学生转化与划归，数形结合的能力，属于中档题.5．甲、乙、丙、丁四人分别去云南、张家界、北京三个地方旅游，每个地方至少有一人去，且甲、乙两人不能同去一个地方，则不同分法的种数（ ） A ．18 B ．24 C ．30 D ．36【答案】C【解析】先把4人分为3组，共24C 种不同的情况，把3组全排列共有2343C A 种，再排除甲乙被分在同一地方的情况，即得解. 【详解】先计算4人中有两名分在一个地方的种数，可从4个中选2个，和其余的2个看作3个元素的全排列共有2343C A 种，再排除甲乙被分在同一地方的情况共有33A 种，所以不同的安排方法种数是：23343336630C A A -=-=. 故选：C 【点睛】本题考查了排列组合的综合运用，考查了学生综合分析，转化与划归的能力，属于中档题.6．已知随机变量()2,1X N :，其正态分布密度曲线如图所示，若向正方形OABC 中随机投掷1点，则该点恰好落在阴影部分的概率为（ ） 附：若随机变量()2,N ξμσ:，则()0.6826P μσξμσ-≤≤+=，()220.9544P μσξμσ-≤≤+=.A ．0.1359B ．0.7282C ．0.6587D ．0.8641【答案】D【解析】根据正态分布密度曲线的对称性和性质，再利用面积比的几何概型求解概率，即得解. 【详解】由题意，根据正态分布密度曲线的对称性，可得：()()1(01)(22)0.13592P X P P μσξμσμσξμσ≤≤=-≤≤+--≤≤+=故所求的概率为10.13590.86411P -==， 故选：D 【点睛】本题考查了正态分布的图像及其应用，考查了学生概念理解，转化与划归的能力，属于基础题.7．如图是某高三学生进入高中三年来的数学考试成绩茎叶图，第1次到第14次的考试成绩依次记为1214,,A A A L ，下图是统计茎叶图中成绩在一定范围内考试次数的一个算法流程图，那么算法流程图输出的结果是（ ）A ．7B ．8C ．9D ．10【答案】C【解析】根据流程图可知该算法表示统计14次考试成绩中大于等于90的人数，结合茎叶图可得答案． 【详解】根据流程图所示的顺序，可知该程序的作用是累计14次考试成绩超过90分的次数．根据茎叶图可得超过90分的次数为9. 故选：C ． 【点睛】本题主要考查了循环结构，以及茎叶图的认识，解题的关键是弄清算法流程图的含义，属于基础题．8．已知等比数列{}n a ，24804sin2a a xdx π⋅=⎰，且40a <，则1611sin 6a a a π⎛⎫= ⎪⎝⎭（ ） A ．12±B ．3±C ．3-D ．3 【答案】D【解析】由定积分定义求得：24804sin2=4a a xdx π⋅=⎰，结合40a <，得到60a <，因此61112,4a a a =-=，即得解. 【详解】22480014sin2=4[cos 2]|=42a a xdx x ππ⋅=-⎰,40a <Q ，2640=a q a ∴<26481116=2,4a a a a a a -=-∴==161143sin sin()63a a a ππ⎛⎫∴=-=⎪⎝⎭故选：D 【点睛】本题考查了等比数列，定积分，正弦函数等知识点，考查了学生综合分析，数学运算的能力，属于中档题.9．陀螺是汉族民间最早的娱乐工具之一，也称作陀罗，闽南语称为“干乐”，北方称为“冰尜”或“打老牛”，以前多用木头制成，现在多为塑料或金属制.玩时可用绳子缠绕，用力抽绳，使它起立旋转.现有一陀螺，其三视图如图所示，其中俯视图中的ABC ∆为正三角形，则该陀螺的体积为（ ）A ．9333π B ．3333π+C ．27345π D ．9345π【答案】A【解析】由三视图知该几何体是上部为三棱锥，中部为圆柱体，下部为圆锥体的组合体，由图中数据计算它的体积即可. 【详解】由三视图知该几何体是上部为三棱锥，中部为圆柱体，下部为圆锥体的组合体，由图中数据计算它的体积为：V V V V =++下上中2211'''33ABC S h r h r h ππ∆=++ 2211123sin 6023sin 60sin 6023332323o o o ππ=⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅=332π+故选：A 【点睛】本题考查了三视图及组合体的体积问题，考查了学生空间想象，数学运算能力，属于中档题.10．已知函数sin(),0()cos(),0x a x f x x b x +≤⎧=⎨+>⎩的图像关于y 轴对称，则sin y x =的图像向左平移（ ）个单位，可以得到cos()y x a b =++的图像（ ）.A ．4π B ．3π C ．2π D ．π【答案】D【解析】根据条件确定,a b 关系，再化简()cos y x a b =++，最后根据诱导公式确定选项. 【详解】因为函数()()(),0,0sin x a x f x cos x b x ⎧+≤⎪=⎨+>⎪⎩的图像关于y 轴对称，所以sin cos 22a b ππ⎛⎫⎛⎫-+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()()sin cos a b ππ-+=+，即sin cos sin cos b a a b ，==，因此π2π()2a b k k Z +=+∈， 从而()()cos sin y x a b sinx x π=++=-=+,选D. 【点睛】本题考查偶函数性质、诱导公式、三角函数图象变换，考查基本分析识别能力，属中档题.11．已知双曲线()222210,0y x a b a b-=>>的上焦点为F ，上、下顶点分别为A ，B ，过点F 作y 轴的垂线与双曲线交于P ，Q 两点，QF 的中点为N ，连接PB 交x 轴于点M ，若M ，A ，N 三点共线，则双曲线的离心率为（ ） A ．2 B ．3CD．【答案】B【解析】由题意，得到BOM BFP ∆∆:，得到 2||b OM a c=+，又AOM AFN ∆~∆，得到3c a =，即得解. 【详解】因为PF y ⊥轴，所以21||||2bPF PQ a==，由BOM BFP ∆∆:，得22||||||||||OM OB a b b OM PF BF a c a a c=∴=⋅=++ 又M ，A ，N 三点共线，知22||||||||2b AO OM a a c AOM AFN b AF FN c aa+∆~∆∴=∴=- 整理得：33c c a e a=∴== 故选：B 【点睛】本题考查了双曲线的性质的综合问题，考查了学生综合分析，数形结合，转化与划归，数学运算的能力，属于较难题.12．对于函数()y f x =，()y g x =，若存在0x ，使()()00f x g x =--，则称()()00,M x f x ，()()00,N x g x --是函数()f x 与()g x 的一对“雷点”.已知()243x x f x =---，()1g x kx =+，若函数()f x 与()g x 恰有一个“雷点”，则实数k 的取值范围为（ ） A ．11,3⎛⎤-- ⎥⎝⎦B ．11,3⎡⎤--⎢⎥⎣⎦C ．411,33⎧⎫⎛⎤---⎨⎬ ⎥⎩⎭⎝⎦UD ．411,33⎧⎫⎡⎤---⎨⎬⎢⎥⎩⎭⎣⎦U 【答案】C【解析】转化243y x x =---，为22(2)1(0)x y y ++=≥，表示圆心为(2,0),-半径为1的圆（x 轴上方），作出这个半圆及其关于原点对称的半圆，()g x 的图象为过定点P (0,1)的直线，原问题转化为直线与半圆的交点个数问题. 【详解】令243y x x =---，整理得22(2)1(0)x y y ++=≥，它表示圆心为(2,0),-半径为1的圆（x 轴上方），作出这个半圆及其关于原点对称的半圆，如图所示.由()1g x kx =+知，()g x 的图象为过定点P (0,1)的直线l ， 因为函数()f x 与()g x 恰有一个“雷点”,()1g x kx =+与右侧下半圆有一个交点，利用圆心到直线的距离等于半径可求得直线l 与y 轴右侧半圆相切时的斜率43k =-， 直线P A ,PB 的斜率分别为11,3--，故实数k 的取值范围为：411,33⎧⎫⎛⎤---⎨⎬ ⎥⎩⎭⎝⎦U .故选：C 【点睛】本题考查了直线与圆的位置关系问题，考查了学生转化与划归，数形结合，数学运算的能力，属于中档题.二、填空题13．已知()2,2a =-r ，1b =r ，a r ，b r的夹角为135︒，且0a b c ++=r r r r ，则c =r ______.【解析】先求得||a =r ，利用0a b c ++=r r r r ，转化||||c a b =--=r r r 代入即得解. 【详解】由题意可得：||a ==r0||||a b c c a b ++=∴=--=r r r r r r r Q==【点睛】本题考查了向量的数量积和向量的模长公式综合应用，考查了学生转化与划归，数学运算的能力，属于中档题.14．若62a x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中3x 的系数为-160，则a =______.【答案】2-【解析】写出通项12316rrrr T C a x -+=，令12333r r -=∴=，结合系数为-160，求解a 即可. 【详解】26123166()()r r r r r r r aT C x C a x x--+==Q令12333r r -=∴=3361602C a a ∴=-∴=-故答案为:-2 【点睛】本题考查了二项式定理的应用，考查了学生转化与划归，数学运算的能力，属于基础题.15．已知x，y满足约束条件104020x yx yy--≤⎧⎪+-≥⎨⎪-≤⎩，则22y xzxy-=的取值范围为______.【答案】16[,0]15-【解析】转化：22=,y x y xzxy x y-=-令1,yk z kx k==-，作出不等式组表示的平面区域，研究区域中得点(,)x y与坐标原点(0,0)连线的斜率得取值范围即可.【详解】作出不等式组表示的平面区域，如图所示：yx表示点(,)x y与坐标原点(0,0)连线的斜率，由图得，当直线经过点53(,)22A时，yx取得最小值为35；当直线经过点(2,2)B时，yx取得最大值为1.22=,y x y xzxy x y-=-令13,(1)5yk z k kx k==-≤≤又因为21'10zk=+>因此函数13(1)5z k kk=-≤≤单调递增，因此：当1k=时，max0z=；当35k=时，min1615z=-故答案为：16[,0]15-【点睛】本题考查了非线型规划问题，考查了学生转化与划归，数形结合，数学运算的能力，属于中档题.16．已知四棱锥P ABCD-的底面ABCD是矩形，其中2AD=，4AB=，面PAD⊥面ABCD ，PA PD =，且直线PB 与CD 所成角的余弦值为25，则四棱锥P ABCD -的外接球表面积为______.【答案】643π【解析】由平面PAD ⊥面ABCD ，可得AB PA ⊥，故角PBA 即为直线PB 与CD 所成的角，可求得PAD ∆为等边三角形，设四棱锥P ABCD -的外接球的球心为O ，半径为R ，分析可得，2222=AE OE PG OG ++，222163R AE OE ∴=+=，即得解. 【详解】由平面PAD ⊥面ABCD ，得AB ⊥平面PAD ，所以AB PA ⊥， 故角PBA 即为直线PB 与CD 所成的角， 故25cos 25,2BA PBA PB PA BP ∠====， 又2AD =，PA PD =，故PAD ∆为等边三角形. 四棱锥P ABCD -的高sin 603o PF PA == 设四棱锥P ABCD -的外接球的球心为O ，半径为R .如图，过点O 作OG PF ⊥于点G ，作OE AC ⊥于点E ，连接AO 则2222=AE OE PG OG ++，即22223(5)=(3)23OE OE OE ++∴=222163R AE OE ∴=+=故外接球的表面积为：26443R ππ= 故答案为：643π【点睛】本题考查了立体几何综合，考查了面面垂直，异面直线所成角，四棱锥的外接球等知识点，考查了学生综合分析，空间想象，数学运算的能力，属于较难题.三、解答题17．如图，在四边形ABCD 中，2AD =，21sin CAD ∠=，23D π∠=，且A ，B ，C ，D 四点共圆.（1）求AC 的长；（2）求四边形ABCD 面积的最大值. 【答案】（1）7AC =（2）93S =【解析】（1）结合已知条件，求得sin sin()3ACD CAD π∠=-∠，再利用正弦定理sin sin ADAC D ACD=∠即得解；（2）由,,,A B C D 四点共圆，得3B π∠=，利用余弦定理：2222cos AC AB BC AB BC B =+-⋅得到7AB BC ⋅≤，求得：173sin 2ABC S AB BC B ∆=⋅≤，max ()ABC ACD S SS ∆∆=+，即得解.【详解】 （1）221sin 314D CAD π∠=∠=Q ， 32112121sin sin()131962147ACD CAD π∴∠=-∠=-⨯=在ACD ∆中，由正弦定理得：sin 7sin ADAC D ACD==∠（2）因为,,,A B C D 四点共圆，得3B D B ππ∠+∠=∴∠=，在ABC ∆中，由余弦定理得：222222cos 2AC AB BC AB BC B AB BC AB BC AB BC AB BC AB BC=+-⋅=+-⋅≥⋅-⋅=⋅即：7AB BC ⋅≤，当且仅当：=AB BC 时等号成立. 所以173sin 2ABC S AB BC B ∆=⋅≤所以四边形ABCD 面积的最大值：max 7312193()272ABC ACD S S S ∆∆=+=+⨯⨯⨯=. 【点睛】本题考查了解三角形综合，考查了正弦定理，余弦定理，面积公式等知识点，考查了学生综合分析，转化与划归，数学运算能力，属于中档题.18．如图，四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为直角梯形，//AD BC ，90BAD ∠=︒，222AD AP PD BC AB =====，平面PAD ⊥底面ABCD ，E 为AD 的中点.（1）求证：平面PBC ⊥平面PCE ；（2）点F 在线段CD 上，且平面PAD 与平面PBF 25，求CFFD的值. 【答案】（1）证明见详解； （2）3=2CF FD 【解析】（1）由题设的长度关系和条件，证得AE EC ⊥，因此AE ⊥平面PCE ，又//BC AD BC ∴⊥平面PCE ，又BC ⊂平面PBC ，故得证；（2）建立空间直角坐标系，设(,,0)F t t ，根据平面PAD 与平面PBF 所成的锐二面角25，求出t ，即得解.【详解】（1）PAD ∆Q 为等边三角形，AE =ED ，PE AD ⊥∴ 又因为底面ABCD 为直角梯形，//,,2AD BC BAD E π∠=为AD 的中点，22AD BC AB ==，因此四边形ABCE 为正方形.AE EC ∴⊥，又PE EC E AE =∴⊥I 平面PCE又//BC AD BC ∴⊥平面PCE .BC ⊂平面PBC ，所以平面PBC ⊥平面PCE ；（2）如图建立空间直角坐标系，则(0,0,0),(0,1,0),(1,1,0),(1,0,0),(0,1,0),(0,0,3)(,,0)E A B C D P F t t --，(0,1,3),(0,1,3),(1,1,3),(,,3)PD PA PB PF t t =-=-=-=u u u r u u u r u u u r u u u r设平面PBF 的法向量为(,,)n x y z =r，则：30,30n PB x y z n PF tx ty z ⋅=--=⋅=+=r u u u r r u u u r，令2z t = 则：33,33x t y t ==，(3+333,2)n t t t ∴=r又平面PAD 的法向量为：(1,0,0)m =u r2223325|cos ,||(33)(33)4tm n t t t +∴<>==++-+u r r33=52CF t FD ∴=∴【点睛】本题考查了立体几何综合，考查了学生空间想象，逻辑推理，转化与划归，数学运算的能力，属于中档题.19．由郭帆执导吴京主演的电影《流浪地球》于2019年2月5日起在中国内地上映，影片引发了观影热潮，预计《流浪地球》票房收入47亿人民币，超过《红海行动》成为中国影史票房亚军，仅次于《战狼2》.某电影院为了解该影院观看《流浪地球》的观众的年龄构成情况，随机抽取了40名观众，将他们的年龄分成7段：[)10,20，[)20,30，[)30,40，[)40,50，[)50,60，[)60,70，[]70,80，得到如图所示的频率分布直方图.（1）试求这40名观众年龄的平均数、中位数、众数；（2）（i ）若从样本中年龄在50岁以上的观众中任取3名赠送VIP 贵宾观影卡，求这3名观众至少有1人年龄不低于70岁的概率；（ii ）该电影院决定采用抽奖方式来提升观影人数，将《流浪地球》电影票票价提高20元，并允许购买电影票的观众抽奖3次，中奖1次、2次、3次分别奖现金x 元、10x +元，3x 元.设观众每次中奖的概率均为15，若要使抽奖方案对电影院有利，则x 最高可定为多少元？（结果精确到个位） 【答案】(1)37,35,35 (2)(i)914,(ii)37 【解析】（1）根据频率分布直方图的数据，以及平均数、中位数、众数的计算公式即得解；（2）(i )根据频率分布直方图得到样本中50岁以上的观众人数，以及不低于70岁的观众人数，利用超几何概型即得解；（ii ）由题意知ξ服从二项分布，利用二项分布的概率公式即得解. 【详解】 平均数150.15250.2350.3450.15550.1650.05750.0537x =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=，前三组的频率之和为：0.15+0.20+0.30=0.65,故中位数落在第3组，设中位数为x ，则(30)0.030.20.150.535x x -⨯++=∴= 即中位数为35，第三组的频率最大，故众数为35.（2）(i )由频率分布直方图年龄在50岁以上的观众共有400.28⨯=名，年龄不低于70岁的观众有2名，记事件A 为“这3名观众至少有1人年龄不低于70岁的概率”，则：36389()=114C P A C -=.(ii )设观众三次抽奖所获得的奖金总额为随机变量ξ，其所有可能取得值为：0,,10,3x x x +（单位：元）, =0ξ表示顾客三次抽奖都没有获奖.所以：0331164(=0)=C ()(1)55125P ξ-=， 11231148()()(1)55125P x C ξ==-=22131112(10)()(1)55125P x C ξ=+=-=33311(3)()5125P x C ξ===观众在三次抽奖中获得的奖金总额的期望值为：644812163120()0(10)3125125125125125x E x x x ξ+=⨯+⨯++⨯+⨯=令63120720371259x x +≤∴≤所以x 最高定价为37元时，才能使得抽奖方案对电影院有利. 【点睛】本题考查了统计和概率综合，考查了学生数学应用，数据处理，转化划归，数学运算的能力，属于中档题.20．已知直线l过点(和椭圆C ：()222210x y a b a b+=>>的焦点且方向向量为(v =r ，且椭圆C 的中心关于直线l 的对称点在直线2a x c=-上.（1）求椭圆C 的方程；（2）是否存在过点()2,0E 的直线m 交椭圆C 于点M 、N，且满足0OM ON ⋅=≠u u u u r u u u r （O 为原点）？若存在，求直线m 的方程；若不存在，请说明理由.【答案】（1）22162x y +=;(2) 2y x y x x =-=+= 【解析】（1）根据椭圆C 的中心关于直线l 的对称点在直线2a x c =-上得到： 23a c=，焦点坐标为(2,0)-，联立即得解；（2）转化OM ON ⋅=u u u u r u u u r为：||||sin OM ON MON ⋅∠=u u u u r u u u u r||3MN d ⋅=，设直线m ，与椭圆联立，表示||,MN d ，即可求解得到直线m 的方程. 【详解】（1）直线:l y =+l的直线方程为：y = 联立解得：32x =-因为椭圆C 的中心关于直线l 的对称点在直线2a x c=-上，23232a c ∴=⨯= 又直线l 过椭圆的焦点，因此焦点坐标为(2,0)-，222,6,2c a b ∴===因此椭圆的方程为：22162x y +=（2）设1122(,),(,)M x y N x y ，当直线不垂直于x 轴时，直线m 的方程为：(2)y k x =-，直线与椭圆22162x y +=联立整理得： 2222(31)121260k x k x k +-+-=2212122212126,3131k k x x x x k k -∴+==++||O MN MN d -∴===||||cos OM ON OM ON MON ⋅=⋅∠=u u u u r u u u ru u u u r u u u u r Q||||sin OM ON MON ∴⋅∠=u u u u r u u u u r111||||||sin 22233OMNS MN d OM ON MON ∆∴=⋅=∠=⨯=u u u u r u u u r2|||1)333MN d k k k ∴⋅==+∴=±当直线m 垂直于x轴时，也满足OMN S ∆=故m得方程为：2y x y x === 【点睛】本题考查了直线与椭圆的综合问题，考查了学生综合分析，转化与划归，数学运算的能力，属于较难题.21．设函数()()ln f x x x a =-. （1）当1a =，求()f x 的极值；（2）对函数()'y f x =图像上任意两个点()11,A x y ，()22,B x y ，()120x x <<，设直线AB 的斜率为k （其中()'f x 为函数()f x 的导函数），证明：()122x x k +>. 【答案】（1）()y f x =在1x =处取得极小值(1)0f =. （2）证明见解析.【解析】（1）()'ln 1ln f x x a x =+-=，分析导函数零点，单调性即得解；（2）转化()122x x k +>为()121212ln ln 2x x x x x x -+>-，即1121221ln 21x x x x x x -<+，令122(1),(01)ln 01x t t t t x t -=∈∴->+，，研究函数2(1)()ln ,(0,1),1t F t t t t -=-∈+的单调性，即得证. 【详解】（1）()'ln 1ln f x x a x =+-= 令()'01f x x =∴=令()'01()f x x f x >∴>∴在(1,)+∞单调递增；令()'01>0()f x x f x >∴>∴在(01)，单调递减； ()y f x ∴=在1x =处取得极小值(1)0f =.（2）()'ln 1f x x a =+-Q 1212ln ln x x k x x -∴=-要证：()122x x k +>，只需证：()121212ln ln 2x x xx x x -+>-，1121212121122210ln ln 2ln 21x x x x x x x x x x x x x x ---<∴-<∴<++Q令122(1),(01)ln 01x t t t t x t -=∈∴->+， 设222(1)(1)()ln ,(0,1),'()01(1)t t F t t t F t t t t --=-∈=-<++ 因此：()F t 在(0,1)单调递减，故2(1)()(1)0ln 01t F t F t t ->=∴->+ 从而：()122x x k +> 【点睛】本题考查了函数与导数综合问题，考查了学生转化与划归，综合分析，数学运算的能力，属于难题.22．已知直线l的参数方程为122x t y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数），曲线C 的极坐标方程为2sin 44πρθ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭. （1）写出直线l 的极坐标方程并判断曲线C 的形状； （2）设直线l 与曲线C 交于A ，B 两点，O 为坐标原点，求211OA OB ⎛⎫-⎪ ⎪⎝⎭的值. 【答案】（1）=3πθ，以C （2，2）为圆心，2为半径的圆；（2【解析】（1）直线得参数方程消参，得到普通方程，利用极坐标和直角坐标得互化公式，得到曲线C 得直角坐标方程，继而判断曲线C 的形状；（2）将直线l 与曲线C 的直角坐标方程联立，得到韦达定理，继而求211OA OB ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭的值. 【详解】设直线l的参数方程为：122x t y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数）:l y ∴=，极坐标方程为sin cos ρθθ=因此l 的极坐标方程为：=3πθ因为曲线C的极坐标方程为2sin 4=4sin 4cos 44πρθρθρθ⎛⎫=+-+- ⎪⎝⎭， 所以曲线C 的直角坐标方程为224440x y x y +--+=， 即：22(2(2)4x y -+-=）因此曲线C 是以C （2，2）为圆心，2为半径的圆.（2）联立224440x y x y +--+=，y =，得21)10,0x x -+=∆>设12121,1x x x x +=2222121212||||1111=2||2||2||x x OA OB x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-∴-=-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭21212()442x x x x +-==第 21 页 共 21 页 【点睛】本题考查了参数方程、极坐标方程综合问题，考查了学生转化与划归，数学运算的能力，属于中档题.23．已知函数()2f x x a x =+++，()a R ∈.（1）当1a =-时，求不等式()6f x ≥的解集；（2）若()4f x x ≥-的解集为A ，且[]6,4A ⊇--，求实数a 的取值范围.【答案】（1）7{|2x x ≤-或5}2x ≥ （2）2a ≤-或12a ≥【解析】（1）由条件用绝对值的意义，求得不等式的解集；（2）原命题等价于()4f x x ≥-在[]6,4x ∈--恒成立，去掉绝对值化简即得a 的取值范围.【详解】（1）当1a =-时，不等式()6f x ≥即：126x x -++≥ 而12x x -++表示数轴上的点x 对应点到1，-2两个点的距离之和， 而57,22-对应的点到1，-2两个点的距离之和正好等于6， 故126x x -++≥的解集为：7{|2x x ≤-或5}2x ≥ （2）原命题等价于()4f x x ≥-在[]6,4x ∈--恒成立，即[]246,4x a x x x +++≥-∈--，恒成立， 即：246x a x x x a +--≥-∴+≥6x a ∴≥-或6x a ≤--2∴≤-a 或12a ≥【点睛】本题考查了绝对值不等式的解集及性质，考查了学生转化与划归，分类讨论，数学运算的能力，属于中档题.。

2019届江西省高三文第三次联考数学试卷【含答案及解析】姓名___________ 班级____________ 分数__________一、选择题1. 设集合，集合，则等于（________ ）A．____________________ B．______________ C．______________ D．2. 已知，其中为虚数单位，则等于（________ ） A．________________ B． 1______________ C． 2______________ D． 33. 在等差数列中，已知，则的值为（________ ）A .24___________________________________ B.18C.16___________________________________D.124. 设，则下列不等式成立的是（________ ）A． B．______________C. ____________________ D．5. 已知函数，则“ ”是“函数在上为增函数”的（________ ）A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件___________C．充要条件_________________________ D．既不充分也不必要条件6. 运行如图所示框图的相应程序，若输入的值分别为和，则输出的值是（________ ）A . 0______________B . 1________C . 3______________D .7. 某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（________ ）A . 24____________________B . 48______________C . 54_________D . 728. 在中，角的对边分别是，若，则角等于（________ ）A . ____________________B . ______________C . 或______________ D . 或9. 已知函数，若，则实数的取值范围是（________ ）A .B . ______________C . ______________D .10. 如图，是双曲线与椭圆的公共焦点，点是在第一象限的公共点，若，则的离心率是（________ ）A . ___________________________________B .___________________________________C . ___________________________________D .11. 函数（其中为自然对数的底）的图象大致是（________ ）12. 设满足约束条件，若目标函数，最大值为 2，则的图象向右平移后的表达式为（________ ） A . B . ______________C . ____________________D .二、填空题13. 已知直线与直线平行，则________________________ .14. 设为所在平面内一点，，若，则________________________ .15. 已知，命题：对任意实数，不等式恒成立，若为真命题，则的取值范围是________________________ .16. 设曲线在点处的切线与轴的交点横坐标为，则的值为________________________ .三、解答题17. 等差数列中，已知，且构成等比数列的前三项 .（1）求数列的通项公式；（2）记，求数列的前项和 .18. 已知函数的最小正周期是 .（1）求函数在区间的单调递增区间；（2）求在上的最大值和最小值 .19. 如图，为圆的直径，点在圆上，，矩形所在的平面和圆所在的平面互相垂直，且.（1）求证：；（2）设的中点为，求三棱锥的体积与多面体的体积之比的值 .20. 已知椭圆，与轴的正半轴交于点，右焦点，为坐标原点，且 .（1）求椭圆的离心率；（2）已知点，过点任意作直线与椭圆交于两点，设直线，的斜率为，若，试求椭圆的方程 .21. 已知 .（1）求函数的单调区间；（2）若，满足的有四个，求的取值范围 .22. 选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系中，曲线，曲线的参数方程为：，（为参数），以为极点，轴的正半轴为极轴的极坐标系 .（1）求的极坐标方程；（2）射线与的异于原点的交点为，与的交点为，求 .23. 选修4-5：不等式选讲已知函数 .（1）若不等式的解集为，求实数的值；（2）若，使得，求实数的取值范围 .参考答案及解析第1题【答案】第2题【答案】第3题【答案】第4题【答案】第5题【答案】第6题【答案】第7题【答案】第8题【答案】第9题【答案】第10题【答案】第11题【答案】第12题【答案】第13题【答案】第14题【答案】第15题【答案】第16题【答案】第17题【答案】第18题【答案】第21题【答案】第22题【答案】第23题【答案】。

的值，那么在和两个空白框中，可以分别填入100?S <2i -C. “100?S …”和“输出1i -” D. “100?S …”和“输出2i -” 4．如图1为某省2018年1～4月快递义务量统计图，图2是该省2018年1～4月快递业务收入统计图，下列对统计图理解错误的是（ ）8．在ΔABC 中，已知3C π∠=，BC a =，AC b =，且,a b 是方程213400x x -+=的两根，则AB 的长度为（ ）A. 2B. 4C. 6D. 79．下列式子的最小值等于4的是（ ）A. 4(0)a a a+≠B. 4sin sin x x+，0,2x p 骣÷ç西ç÷ç÷桫 C. 4x x e e -+，x R ∈2．已知函数，则=______的内角,,A B C ，的对边分别为,,a b c ,【解析】 【分析】由正弦定理可以化简1sin sin 4B C =，利用面积公式求出V ABC 的面积.【详解】由正弦定理得sin sin ,sin sin sin 3sin 3a ab B Bc C C A A ====， 所以164sin sin 33bc B C ==，从而1sinABC S bc A ==△.（2）在张华的这40位好友中，从该天行走的步数不超过5000步的人中随机抽取2人，设抽取的女性有X 人，求X=1时的概率．2C 上的动点，求点Q 到直线l 距离的最大值.19．已知||5,||6,a b a b ==r r r r与的夹角为o 60，求：（1）a 在b 方向上的投影；（2）(2)(35)b a a b -⋅+r r r r.20．(本小题满分10分)选修4—5:不等式选讲 ： 已知c b a ,,为正数,且2=++c b a ,证明: (1) 3≤++ac bc ab ；(Ⅰ)求证：EF//平面B 1C 1D ；(Ⅱ)若AB ⊥AC ，AB ＝AC ，AA 1＝3AB ，求直线的正弦值。

绝密★启用前2019年普通高等学校招生全国统一考试(江西卷)文科数学注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上。

2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

回答非选择题时，将答案写在答题卡上。

写在本试卷上无效。

3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．设3i12iz -=+，则z = A ．2B ．3C ．2D ．12．已知集合{}{}{}1,2,3,4,5,6,72,3,4,52,3,6,7U A B ===，，，则U B A =ðA ．{}1,6B ．{}1,7C ．{}6,7D ．{}1,6,73．已知0.20.32log 0.2,2,0.2a b c ===，则A ．B ．C ．D ．4．古希腊时期，人们认为最美人体的头顶至肚脐的长度与肚脐至足底的长度之比是512-（512-≈0.618，称为黄金分割比例)，著名的“断臂维纳斯”便是如此．此外，最美人体的头顶至咽喉的长度与咽喉至肚脐的长度之比也是512-．若某人满足上述两个黄金分割比例，且腿长为105cm ，头顶至脖子下端的长度为26 cm ，则其身高可能是a b c <<a c b <<c a b <<b c a <<A ．165 cmB ．175 cmC ．185 cmD ．190 cm5．函数f (x )=2sin cos x xx x ++在[—π，π]的图像大致为A ．B ．C ．D ．6．某学校为了解1 000名新生的身体素质，将这些学生编号为1，2，…，1 000，从这些新生中用系统抽样方法等距抽取100名学生进行体质测验.若46号学生被抽到，则下面4名学生中被抽到的是 A ．8号学生 B ．200号学生C ．616号学生D ．815号学生7．tan255°= A ．－2－3B ．－2+3C ．2－3D ．2+38．已知非零向量a ，b 满足a =2b ，且（a –b ）⊥b ，则a 与b 的夹角为 A ．π6B ．π3C ．2π3D ．5π69．如图是求112122++的程序框图，图中空白框中应填入A ．A =12A+ B ．A =12A+C ．A =112A+D ．A =112A+10．双曲线C ：22221(0,0)x y a b a b-=>>的一条渐近线的倾斜角为130°，则C 的离心率为A ．2sin40°B ．2cos40°C ．1sin50︒D ．1cos50︒11．△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知a sin A －b sin B =4c sin C ，cos A =－14，则b c=A ．6B ．5C ．4D ．312．已知椭圆C 的焦点为12(1,0),(1,0)F F -，过F 2的直线与C 交于A ，B 两点.若22||2||AF F B =，1||||AB BF =，则C 的方程为A ．2212x y +=B ．22132x y +=C ．22143x y +=D ．22154x y +=二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

江西省2019届高三下学期第一次联考文数试题一、选择题(本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．复数2017z i =,则z 的虚部为( )A ．i -B ．iC ．1-D ．1【答案】D 【解析】试题分析：201720164504()z i i i i i i ==⋅=⋅=,所以其虚部为1.故D 正确. 考点：复数的运算. 2．设集合1{|216}4x A x N =∈≤≤，2{|ln(3)}B x y x x ==-，则A B 中元素的个数是( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4【答案】A考点：集合的运算.3．设{}n a 为等差数列，公差d =-2，n S 为其前n 项和，若1110S S =，则=1a ( )A ．18B ．20C ．22D ．24【答案】B 【解析】试题分析：由1110S S =得110a =,即1100a d +=.由于2d =-,所以120a =.故B 正确. 考点：1等差数列前n 项和公式;2等差数列的通项公式.4． 若||1a =r ，||b r()a a b ⊥-r r r ，则向量,a b r r 的夹角为( )A . 45°B . 60°C . 120°D .135°【答案】A 【解析】试题分析：设,a b 的夹角为 ([0,])θθπ∈,则由()a a b ⊥-得：2()00a a b a a b ⋅-=⇒-⋅=2||||||cos 0a a b θ⇒-⋅=,所以2||cos ||||2a ab θ==⋅，故45θ=.故A 正确. 考点：向量的数量积.5．某产品的广告费用x 与销售额y 的统计数据如下表所示,根据表中数据可得回归方程y bxa =+$$中的b =10.6. 据此模型预报广告费用为10万元时销售额为( )A ．112.1万元B ．113.1万元C ．111.9万元D ．113.9万元【答案】C考点：线性回归方程.【思路点睛】本题主要考查线性回归方程,属容易题.回归直线必过样本中心点(),x y .将样本中心点(),x y 代入回归直线方程即可求得a 的值.6. 一个几何体的三视图如图所示，则该几何体外接球的表面积为( )A ．8πB ．4πCD 【答案】A【解析】试题分析：由三视图可知该几何体为如图所示的三棱锥P -ABC ,易知其外接圆的圆心为PC 的中点O ,半径2PCR ==所以表面积为248S R ππ==.故A 正确. 考点：1三视图;2几何体的外接球问题.【思路点睛】本题主要考查三视图和几何体的外接球问题,难度一般.应先根据三视图还原立体图.此几何体为底面为直角三角形且一条侧棱与底面垂直的三棱锥.底面外接圆的圆心为斜边的中点,过此点作底面的垂线与侧棱PC 的交点即为此棱锥外接球的球心.分析可知球心为PC 的中点,即可求得球的半径,从而可得球的表面积. 7．已知θθθθcos sin 1cos sin 1-+++＝21，则tan θ＝( ) A ．34 B ．43 C ．43- D ．34- 【答案】D考点：三角函数的化简.8．已知m R ∈,“函数21xy m =+-有零点”是“函数log m y x =在0+∞（，）上为减函数”的( )A .充分不必要条件B .必要不充分条件C .充要条件D .既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】试题分析：若函数21x y m =+-有零点,即函数2x y =图像和直线1y m =-有交点,因为20x y =>,则10m ->,解得1m <;若函数log m y x =在0+∞（，）上为减函数,则01m <<.所以“函数21x y m =+-有零点”是“函数log m y x =在0+∞（，）上为减函数”的必要不充分条件.故B 正确. 考点：1充分必要条件;2函数的单调性;3函数的零点.9．已知实数x ，y 满足不等式组2040250x y x y x y -+≥⎧⎪+-≥⎨⎪--≤⎩,若目标函数z ＝y －ax 取得最大值时的唯一最优解是(1,3)，则实数a 的取值范围为( )A ．(－∞,－1)B ．(0,1)C ．(1,＋∞)D ．时,()f x x =.若在区间(-1,1]内,()()2g x f x mx m =--有两个零点,则实数m 的取值范围是( )A ．0<m <13 B ．0<m ≤13 C ．13<m <1 D ．13<m ≤1 【答案】B 【解析】考点：1函数零点;2数形结合思想.二、填空题(本题共4小题，每小题5分，共20分)13．已知函数12log ,1()24,1x x x f x x >⎧⎪=⎨⎪+≤⎩，则1(())2f f = ． 【答案】2- 【解析】 试题分析：121242242f ⎛⎫=+=+= ⎪⎝⎭,()12214log 4log 422f f f ⎛⎫⎛⎫∴===-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 考点：复合函数求值.14．执行下面的程序框图，若0.8p =，则输出的n = ．【答案】4 【解析】试题分析：根据框图的循环结构依次可得:111,11222S n ===+=;12113,213224S n =+==+=; 12311170.8,3142228S n =++=>=+=,跳出循环,输出4n =. 考点：算法.【易错点晴】本题主要考查的是程序框图，属于容易题．在给出程序框图中只要按照程序框图规定的运算方法逐次计算，直到达到输出的值即可． 解题时一定要抓住重要条件“0.8S <”时跳出循环，否则很容易出现错误．15．过双曲线22145x y -=的左焦点1F ，作圆224x y +=的切线交双曲线右支于点P ，切点为T ，1PF 的中点为M ，则||||MO MT -=_____________．2考点：双曲线的定义.16．若对1(0,2]x ∀∈，2[1,2]x ∃∈，使016843ln 41212212111≥-+++-x x ax x x x x x 成立，则a 的取值范围是_____________． 【答案】1,8⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭考点：1用导数研究函数的性质;2转化思想.三、解答题：本大题共6小题，满分70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．（本小题满分12分）已知()f x a b =⋅r r ，其中(2cos ,2)a x x =r ，(cos ,1)b x =r，x R ∈．(1)求()x f 的单调递增区间；(2)在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，()1f A =-，a =，且向量(3,sin )m B =u r与(2,sin )n C =r共线，求边长b 和c 的值．【答案】(1) ()Z k k k ∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡--6,32ππππ;(2)3,12b c ==.【解析】试题分析：(1)根据向量的数量积公式可得函数()f x 的解析式,再用二倍角公式,化一公式将其花间变形.可得()12cos 23f x x π⎛⎫=++⎪⎝⎭,将23x π+代入余弦函数的单调增区间内即可求得()f x 的单调增区间. (2)由()1f A =-可求得角A .根据向量共线可得sin ,sin B C 间的关系式,由正弦定理,余弦定理可得关于,b c 的关系式,解方程组可得,b c .考点：1三角函数的单调性;2正弦定理,余弦定理.18．（本小题满分12分）某市小型机动车驾照“科二”考试中共有5项考察项目，分别记作①，②，③，④，⑤.(1)某教练将所带10名学员“科二”模拟考试成绩进行统计（如表所示），并打算从恰有2项成绩不合格的学员中任意抽出2人进行补测（只测不合格的项目），求补测项目种类不超过3项的概率；(2)如图，某次模拟演练中，教练要求学员甲倒车并转向90°，在汽车边缘不压射线AC与射线BD的前提下，将汽车驶入指定的停车位. 根据经验,学员甲转向90°后可使车尾边缘完全落在线段CD,且位于CD 内各处的机会相等.若CA=BD=0.3m, AB=2.4m. 汽车宽度为1.8m,求学员甲能按教练要求完成任务的概率。

文科数学试题本试卷分选择题和非选择题两部分，共22题，共150分，共2页.考试时间为120分钟.考试结束后，只交答题卡.第Ⅰ卷(选择题，共计60分)一、选择题（本大题共12小题，每小题5分）1. 已知集合{,,,}M a b c d =，{,,,}N c d e f =，则M N =UA ．∅ B.{,}c d C. {2,2}c d D. {,,,,,}a b c d e f 2．已知i 是虚数单位，则复数2i1i-对应的点在 A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 3. 已知向量,夹角为120︒，且||3b =，则向量b 在向量a 方向上的投影为A.32B. 32- D. 4.已知函数()f x 和()g x 分别由下表给出：则满足)]([)]([x f g x g f >的x 的是A.0B.1C.2D.3 5. 已知递增等差数列{}n a 中，12a =，3a 是1a 和9a 的 等比中项，则{}n a 的通项公式为n a =A.2 B ．1n + C ．2n D ．31n - 6. 秦九韶算法是南宋时期数学家秦九韶提出的一种多项式 简化算法，即使在现代，它依然是利用计算机解决多项式 问题的最优算法，如图所示的程序框图给出了利用秦九韶算 法求多项式值的一个实例，若输人n ， x 的值分別为3，5， 则输出ν的值为 A.7B.35C.36D.1807. 设x ∈R ，则使23x <成立的充分不必要条件是A ．32x < B ．2log 3x <C ．x <2x <8. 已知ABC ∆的内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，若60,3,2A b c =︒==，则tan C =A. B.9. 已知抛物线24x y =的焦点为F ，定点(0,1)A -，M 是该抛物线上的一个动点，则||||MF MA 的最小值为A. 2 1210. 已知数列{}n a 满足122!n n a a a n ⋅⋅⋅= ，{}n b 满足2n n ab n =+ ，则{}n b 的前8项和8S 为A.910 B.95 C.5845 D.1164511. 已知某个四棱锥的三视图如下，根据图中标出的尺寸，这个锥 体的外接球（锥体的各个顶点都在球面上）的表面积等于 A.50π B.225π C.625π D.1025π12. 设m 为常数，函数()()xf x x m e m =-+.下列结论中不正确的是A. 若0m ≤，则当0x <时，()0f x <B. 若01m <<，则存在实数0x ，当0x x <时,()0f x >C. 若1m =，则函数()f x 的最小值为1e -D. 若1m >，则函数()f x 在(1,)m m -上有唯一一个零点第Ⅱ卷(非选择题，共计90分)二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分） 13. 如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，M 、N 分别是1BC 、1CD 的中点，在正方体的12条棱中，与直线MN 垂直的棱为 .（写出1条即可）14. 若x ，y 满足33021030x y x y x y --≤⎧⎪-+≥⎨⎪+-≤⎩，则2z x y =-的最小值是 ．15. “石头、剪刀、布”是个广为流传的游戏，游戏时甲乙双方每次做“石头”、“剪刀”、“布”三种手势中的一种，规定：“石头”胜“剪刀”，“剪刀”胜“布”，“布”胜“石头”，同种手势不分胜负须继续比赛．假定甲乙两人每次都是等可能地做这三种手势，那么一次比赛时两人做同种手势（即不分胜负）的概率是 .16.函数sin y x =在0x =处的切线被双曲线221(1)x y a a-=>截得的弦长为4，则实数a 的值 为 .三、解答题（本大题共6小题，共70分）17.（本题12分） 在ABC ∆中，c b a ,,分别为角,,A B C 的对边，已知2cos 28cos 50A A -+=. （1）求角A 的大小；（2）若3a =，求ABC ∆的周长L 的最大值.18. (本题12分) 假设甲乙两种品牌的同类产品在某地区市场上销售量相等，为了解它们的使用寿命，现从这两种品牌的产品中分别随机抽取100个进行测试，结果统计如图所示，用频率估计概率.（1）估计乙品牌产品寿命大于200小时的概率；（2）这两种品牌产品中，某个产品没有使用到200小时，试估计该产品是甲品牌的概率.19. (本题12分) 如图，在多面体ABCDEF 中，ABCD 是正方形，BF ⊥平面ABCD ，DE ⊥平面ABCD ，BF DE =，点M 为棱AE 的中点.（1）求证：EC ∥平面BMD ；（2）若12AB BF ==，,求多面体ABCDEF 的体积.20．(本题12分) 已知函数32()f x x ax bx c =+++，21()2g x x =. （1）当3b =时，若函数()y f x =在(,)-∞+∞存在极值点，求实数a 的取值范围；（2）当0a =，2b =-时，若对任意[1,2]x ∈-，()()f x g x ≥恒成立，求实数c 的取值范围.21．（本题12分）已知椭圆C 的焦点为1(1,0)F -，2(1,0)F ，点3(1,)2P 在椭圆C 上. （1）求椭圆C 的方程； （2）若斜率为12的直线l 与椭圆C 相交于A B 、两点，点Q 满足22PQ QF =，求ABQ 的面积的最大值.选考题（共10分）请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分. 22. [选修4-4：坐标系与参数方程]以直角坐标系的原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，已知直线l 过原点O ，且倾斜角为θ，若点C 的极坐标为(2,)π，圆C 以C 为圆心、4为半径． （1）求圆C 的极坐标方程和当3πθ=时，直线l 的参数方程；（2）设直线l 和圆C 相交于,A B 两点，当θ变化时，求11||||OA OB +的最大值和最小值．23. [选修4-5：不等式选讲] 已知函数()||f x x a x =-+，a ∈R . （1）若(1)(2)5f f +<，求a 的取值范围；（2）若*,a b ∈N ，关于x 的不等式()f x b <的解集为3(,)2-∞，求,a b 的值.答案1-5DBBCC 6-10 DACCC 11-12DC。

2019届江西省奉新一中、南丰一中等六校高三下学期联考数学（文）试题一、单选题1．设全集{}1,2,3,4,5U =，集合{}1,3,5M =，集合{}3,4N =，则图中阴影部分所示的集合是（ ）A ．{}1B ．{}3,4C ．{}2,3,4D ．{}4【答案】D先理解韦恩图表达的集合的具体形式，再据此求集合的交集和补集即可。

解：由图可知，阴影部分表达的集合是()N C M N ⋂； 容易知{}3M N ⋂= 故(){}4N C M N ⋂=. 故选：D. 点评：本题考查韦恩图的识别，以及集合交集和补集的运算. 2．在复平面内与复数21iz i=+所对应的点关于实轴对称的点为A ，则A 对应的复数为（ ） A ．1i + B ．1i -C ．1i --D ．1i -+【答案】B用两个复数代数形式的乘除法法则，化简复数得到复数的共轭复数，从而得到复数在复平面内的对应点的坐标，得到选项． 解：Q 复数()()()2121111i i i z i i i i -===+++-，∴复数的共轭复数是1i -，就是复数21iz i=+所对应的点关于实轴对称的点为A 对应的复数； 故选B ． 点评：本题考查两个复数代数形式的乘除法，两个复数相除，分子和分母同时乘以分母的共轭复数，考查复数与复平面内对应点之间的关系，是一个基础题． 3．命题“p q ∧为假”是命题“p q ∨为假”的（ ） A ．充要条件 B ．充分不必要条件 C ．必要不充分条件 D ．既不充分又不必要条件 【答案】C根据复合命题的真假，对命题,p q 的真假进行分析后，再判断充分性和必要性. 解：因为p q ∧为假，则可能是,p q 都为假，或者,p q 恰有一个为假；p q ∨为假，则等价于,p q 都为假；故若p q ∧为假，不一定是p q ∨为假，故充分性不满足； 若p q ∨为假，则一定有p q ∧为假，故必要性成立；综上，命题“p q ∧为假”是命题“p q ∨为假”的必要不充分条件. 故选：C. 点评：本题考查复合命题真假的判断，以及充分性和必要性的判断，属基础题.4．在等差数列{}n a 中，n S 为其前n 项和，若24925a a a ++=，则9S =（ ） A ．60 B ．75C ．90D ．105【答案】B根据已知条件，用数列的基本量表达通项，以及前n 项和，即可求得. 解：设等差数列{}n a 的公差为d ，由24925a a a ++= 可得1113825a d a d a d +++++=，整理得12543a d +=. 又()91125936949753S a d a d =+=+=⨯=. 故选：B. 点评：本题考查由基本量计算等差数列的通项以及前n项和，属基础题.5．如图，在OAB∆中，4OA=，2OB=，60AOB∠=︒，点P在线段AB上，且4AB AP=，则OP AB⋅=u u u r u u u r（）A．9 B．-9 C．13 D．9±【答案】B选定OAu u u r和OBuuu r为基底，将目标向量用基底表示，再求数量积.解：由题可知1604242OA OB OA OB cos⋅=︒=⨯⨯=u u u r u u u r u u u r u u u r；因为点P是AB上靠近A点的四等分点，根据定比分点，故可得1344OP OB OA=+u u u r u u u r u u u r，又AB OB OA=-u u u r u u u r u u u r，故()221313144442OP AB OB OA OB OA OB OA OA OB⎛⎫⋅=+⋅-=-+⋅⎪⎝⎭u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r13141649442=⨯-⨯+⨯=-.故选：B.点评：本题考查向量数量积的运算，涉及定比分点的问题，属平面向量基础题.6．在公元前378-前320年田忌赛马故事中，齐威王有上、中，下三个等级的马速度分别为1a、2a、3a，而田忌的上，中、下三个等级的马速度分别为1b、2b、3b，且112233a b a b a b>>>>>，若他们各自从三匹马中依次任取一匹进行赛跑，共比赛三场，则在他们的所有的三场分配对战中，齐威王二胜一负的概率是（）A．56B．34C．23D．712【答案】C根据题意，先计算所有场次的事件个数，再计算出满足题意的事件个数，根据古典概型概率计算公式即可求得.解：不妨设齐威王马匹出场的次序确定为123,,a a a ， 则田忌马匹出场次序的可能有：{}{}{}{}{}{}123132213231312321,,,,,,,,,,,,,,,,,b b b b b b b b b b b b b b b b b b故此时共有6种出战情况； 若满足齐威王二胜一负，则田忌出场次序的可能是{}{}{}{}132231321213,,,?,,,?,,,,,b b b b b b b b b b b b 此时共有4种出战情况，故满足齐威王二胜一负的概率为4263P ==. 故选：C. 点评：本题考查古典概型的概率计算，关键是要将满足题意的事件分析清楚.7．已知一个几何体的三视图如图所示，根据图中数据，可得该几何体的体积为（ ）A ．42123+B ．82123+C ．283+D ．283+【答案】A根据三视图可以得到组合体的具体组合情况，再分别计算体积，求和即可. 解：由三视图可知，该组合体是由一个长方体（底面是棱长为2的正方形，高为3） 和一个直径为正方形对角线的半球组合而成； 则长方体的体积为：22312⨯⨯=因为半球的直径为正方形的对角线22 则半球的体积为：3142233r π⨯⨯=；故该组合体的体积为：42123π+. 故选：A. 点评：本题考查由三视图还原几何体，计算球体体积和长方体体积，属基础题.8．执行下边的程序框图，若输入的a ，b 的值分别为2013和2019，则输出的值i =（ ）A ．3B ．4C ．5D ．6【答案】A模拟执行该程序框图，即可得到输出结果. 解：模拟程序框图的执行情况如下：2013,2019,1a b i ===2014,2018a b ==，不满足a b >，2i = 2016,2016a b ==，不满足a b >，3i = 2019,2013a b ==，满足 a b >，输出3i =.故选：A. 点评：本题考查由程序框图计算输出结果，属基础题.9．若圆()2244x y -+=与双曲线C ：()222210,0y x a b a b-=>>的渐近线相切，则双曲线C 的离心率为（ ） A ．2 B ．3C ．2D ．23【答案】A根据渐近线与圆相切，将其转化为双曲线,a b 之间的关系，从而计算离心率即可. 解：设双曲线的一条渐近线为ay x b=，即0ax by -= 因为其与圆()2244x y -+=相切，故2242a a b=+整理可得223b a =，故离心率为2212?b e a=+=. 故选：A. 点评：本题考查双曲线离心率的求解，涉及直线与圆的位置关系，属基础题. 10．体育品牌Kappa 的LOGO 为可抽象为：如图背靠背而坐的两条优美的曲线，下列函数中大致可“完美”局部表达这对曲线的函数是（ ）A ．()sin 622x x x f x -=-B ．()cos622x xx f x -=- C ．()sin 622x x x f x -=-D ．()cos622x xxf x -=-【答案】D从图像可以看出，函数是偶函数，并且当x 趋近于0时，函数值趋近于正无穷，据此判断. 解：因为B 、C 两个函数均是奇函数，故不符合题意；对A ：当x 趋近于0，且足够小时，()0f x <，不符合题意；对D ：因为()()f x f x =-，满足x 趋近于0，且足够小时函数值()0f x >. 故选：D.点评：本题考查函数图像的选择，一般地，此类题目要从函数奇偶性，单调性，特殊值进行判断和选择.11．若点(),P x y 满足不等式30301x y x y y +-≤⎧⎪-+≥⎨⎪≥-⎩，且点P 构成的集合为D ，则下列命题中：1P ：(),x y D ∃∈，5x y +≤-；2P ：当(),x y D ∈时，42x y -++的最大值为9；3P ：(),x y D ∀∈，()953653x y x y +++≥++，其中真命题的个数为（ ） A ．0 B ．1C ．2D ．3【答案】C绘制不等式组确定的可行域，结合线性规划知识对每个选项进行逐一分析即可. 解：根据题意，点P 所在的平面区域如下图所示：对命题1P ：存在点()4,1--满足5x y +≤-，故为真命题； 对命题2P ：当(),x y D ∈时，因为4,1x y ≤≥-，故目标函数z =42x y -++6x y =-++因为目标函数可化简为6y x z =+-与直线3y x =+平行.故当点在区域D ，且满足直线30x y -+=时，取得最大值，最大值为9， 故命题为真命题；对命题3P ：当(),x y D ∈时，50,30x y +>+>故()()959533265353x x y y x y x y +++++≥⨯=++++， 当且仅当()95353x y x y ++=++时，即312y x =+或318y x =--时取得最小值6.但这两条直线均与区域D 没有交点，故无法取得最小值6，如图所示：故命题为假命题.综上所述：真命题个数有2个. 故选：C. 点评：本题考查线性规划，涉及均值不等式的使用，属线性规划困难题. 12．已知等比数列{}n a 的前n 项和为13n n S k -=-，且函数()264,0ln ,0kx x x f x x x x ⎧+≤=⎨>⎩，若方程()2f x ax a =+-至少有三个实数根，则实数a 的取值范围是（ ） A ．1a ≥ B ．1a >C ．12a ≤≤D ．12a <≤【答案】C由等比数列前n 项和的性质，求得参数k ，再将方程根的个数的问题，转化为函数图像交点个数的问题，利用导数求得直线与函数相切时的斜率，即可求得参数的范围. 解：因为等比数列{}n a 的前n 项和为13n n S k -=-根据等比数列前n 项和的性质，容易知103k -+=，解得13k =. 令()()2g x f x =+，则()()()221,02,(0)x x g x xlnx x ⎧+≤⎪=⎨+>⎪⎩方程()2f x ax a =+-至少有三个实数根 等价于()()1g x a x =+至少有三个实数根，也等价于函数()y g x =与直线()1y a x =+有至少三个交点， 又()1y a x =+是斜率为a ，且恒过()1,0-的直线，故只需求出函数()g x 与直线有三个交点的临界状态时，对应直线的斜率即可. 则在同一直角坐标系下画出函数图像如下所示：由图可知，当直线与2y xlnx =+相切时，恰有三个交点， 设切点为()00,x y ，1y lnx '=+，故过切点的切线方程为：()()0001y y lnx x x -=+-，又因为0002y x lnx =+，且该切线过点()1,0-故可得()()0000211x lnx lnx x --=+⨯-- 即0010lnx x +-=，解得01x =， 故切点为()1,2，此时直线的斜率为()12111k ==--此时有三个交点，故11k =可取；又根据图象可知，当直线过点()0,2时，也是临界状态， 此时直线的斜率为()22201k ==--此时有三个交点，故22k =可取；综上所述，要满足题意，只需[]1,2a ∈即可. 故选：C. 点评：本题考查由方程根的个数，求解参数的范围问题，涉及利用导数的几何意义，求切线的方程，以及直线恒过定点，等比数列前n 项和的性质，还有数形结合的数学思想，属综合性困难题.二、填空题13．若函数()f x 满足定义域为D ，值域也为D ，就称()f x 为“优美函数”.试写出能满足“若()f x 是优美函数，则()00f =”为假命题的一个函数是______. 【答案】1y x=根据题意，结合已学函数，举出反例即可. 解：根据题意，不妨令()1f x x=，该函数定义域()(),00,-∞⋃+∞，值域与定义域相同， 是优美函数，但()0f 没有意义，即可说“若()f x 是优美函数，则()00f =”为假命题本题答案不唯一.本题选择()1f x x=. 故答案为：1y x=. 点评：本题考查函数新定义问题，本质还是考查对函数的定义域和值域的求解，以及了解程度. 14．在R 上定义运算：a b ad bc c d=-.若不等式111x ax-<的解集为空集，则实数a 的最大值为______.【答案】54-根据定义，先写出对应的不等式，再根据二次不等式的解集求参数的范围即可. 解：根据题意不等式111x ax-<等价于()11x x a --<， 则题意等价于210x x a ---<的解集为空集， 只需0≤n 即可，即()1410a ---≤解得54a ≤-，则a 的最大值为54-. 故答案为：54-.点评：本题考查新定义问题，本质是由二次不等式的解集求参数范围. 15．已知平行四边形ABCD 中，2AB =，1AD =，45A ∠=︒，沿BD 将ABD ∆折起到'BDA ∆位置，使'3A C =，则空间四边形'A BCD 的外接球表面积为______.【答案】3π根据题意，将该空间四边形的外接球问题转化为长方体的外接球进行处理即可. 解：在ADB n 中，由余弦定理可得2222451BD AD AB AD AB cos =+-⨯⨯︒= 故解得1BD =；在A DC 'n 中，因为1,2,3A D DC AB A C ''====，满足勾股定理，故可得A D '垂直于DC .根据以上信息，画出该空间四边形，为方便说明，在正方体中绘制，具体如下：如图是一个棱长为1的正方体，其内部空间四边形'A BCD 满足所有题意要求， 则空间四边形'A BCD 的外接球与该正方体的外接球是同一个球， 则其外接球半径32r =， 故其外接球的表面积为243S r ππ==. 故答案为：3π. 点评：本题考查几何体外接球的问题，一般地，若可以将问题转化在长方体或者正方体，则问题将会简化很多，值得总结.16．南宋数学家杨辉在《详解九章算法》和《算法通变本末》中给出了一些新垛积问题，如图正方垛积：最上层1个，第2层4个，第3层9个…第n 层2n 个，这n 层的总个数计算式子为：()222211123132n n n n ⎛⎫++++=++ ⎪⎝⎭L ；试问“三角垛下广一面二十个，上尖，高二十个，问计几何？”意思是：有一个三角垛，底层每条边上有20个小球，上面是尖的（只有一个小球），问：总共有______个小球.（注：这里高分别为一个、二个、三个、四个的三角垛如图）【答案】1540先根据题意，理解题目要求，再计算所有小球个数，将其转化为数列求和即可. 解：根据题意：该三角垛的第一层有1个，第二层有3个，第三层有6个，L 据此归纳推理，第n 层有()2111222n n n n +=+个， 故该三角垛总共有：222211111111112233202022222222⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯++⨯+⨯ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭L()()222111220122022=⨯++++⨯+++L L 1141120212102322=⨯⨯⨯⨯+⨯ 1435105=+ 1540=.故答案为：1540. 点评：本题考查数列求和，需要注意的是，本题要读懂题意，切忌盲目计算.三、解答题17．已知角α，β的终边分别与单位圆O ：221x y +=相交于点P 、Q ，(),0,αβπ∈，且()1cos sin sin sin 22παβπαβ⎛⎫++-=⎪⎝⎭.（1）求POQ ∠的值；（2）在ABC ∆中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若c PQ =，C POQ =∠，sin sin A B +=ABC ∆的面积.【答案】(1) 3π；(2)4. （1）根据诱导公式化简，再用余弦的差角公式即可求得；（2）利用正弦定理将角化边，再根据（1）中所求，结合余弦定理，解方程组得到ab ，代入面积公式即可. 解：（1）()1cos sin sin sin 22παβπαβ⎛⎫++-=⎪⎝⎭整理得12cos cos sin sin αβαβ+= 即可得()1cos 2αβ-=， 根据题意POQ ∠=αβ- 又因为 (),0,αβπ∈ 故可得3POQ π∠=.（2）由（1）可知3POQ π∠=，又因为1OP OQ ==，故c PQ =1=，3C π=故可得2c R sinC ==，故sinA sinB +=2a b R +=解得2a b +=①由余弦定理可得：221122a b cosC ab +-==整理得221a b ab +-=② 由①②可得：()231a b ab +=+ 解得1ab =故1324ABC S sinC ab =⨯=n . 点评：本题考查诱导公式，余弦的差角公式，以及应用正弦定理和余弦定理解三角形，属综合基础题.18．如图，已知四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为直角梯形，//AD BC ，AD DC ⊥，2BC AD =，PA ⊥平面ABCD ，E ，F 分别是BC ，PB 的中点.（1）证明：AE PD ⊥；（2）若2PA AB BC ===，求点C 到平面AEF 的距离.【答案】(1)证明见详解；(2)25（1）先证明直线AE 垂直于平面PAD ，再由线面垂直证明线线垂直； （2）根据等体积法，将问题转化为求解三棱锥F AEC -的体积即可. 解：（1）因为E 为BC 中点，且2BC AD =，故AD=EC ，又AD //EC ， 故四边形AECD 为平行四边形，故AE //CD ，又CD AD ⊥， 故AE ⊥AD ；因为PA ⊥底面ABCD ，AE ⊂平面ABCD ，故PA ⊥AE 又AD ⊂平面PAD ，PA ⊂平面PAD ， 故AE ⊥平面PAD ，又PD ⊂平面PAD 故AE ⊥PD .即证.（2）在APB n 中，AF 为斜边上的中线，又因为PA =AB =2，且PA ⊥AB 故可得：AF =221122222PB =+= 在ABE n 中，因为AB=2，BE =1，且AE ⊥BE ，故可得223AB BE -=故可得222AC AE EC +=在PAC n 中，因为PA =2=AC ，且PA AC ⊥，故可得PC =在PBC n 中，因为EF 分别为两边的中点，故EF=12PC =故由余弦定理可得222124AF EF AE cos AFE AE EF +-∠==⨯，则sin AFE ∠=故124AFE S sin AFE AF FE =⨯∠⨯⨯=n .122AEC S AE EC =⨯⨯=n 又因为F 为PB 的中点，且PA ⊥平面ABCD ， 故F 点到平面ABCD 的距离为112PA = 设点C 到平面AEF 的距离为h ， 根据C AEF F AEC V V --=，即11133AFE AEC S h S ⨯=⨯n n解得h =.故点C 到平面AEF 点评：本题考查由线面垂直证明线线垂直，以及利用等体积法求解点到平面的距离，属综合基础题.19．自2009年以来，菜鸟网络物流和淘宝商城双十一活动已经走过十年，某数学兴趣小组收集了近五年双十一当天菜鸟网络物流订单数据如下表.并且查知这五年订单数的平均数约为6.5亿件.（1）现发现表中一个数据a 看不清，试求出表中a 的值，并根据收集的这些数据和下列有关参考数据说明函数y a bx =+，c dx y e +=中，哪一个类型更适合y 关于x 的回归方程；（2）依据你的判断，求y 关于x 的回归方程； （3）预测菜鸟网络物流2019年的订单数. 参考数据：()()10.998niixxy y r --==∑，()()20.983nii xx z zr --==∑.参考公式：()()()^121niii nii x x yyb x x ==--=-∑∑，^a yb x =-$.【答案】(1) 6.5a =；用y a bx =+拟合更好，理由见详解；（2） 1.8602ˆ.9yx =+；(3)1?2.08亿件.（1）根据平均数即可求得参数a ，根据两个回归方程的相关系数判断哪个方程更适合； （2）根据参考公式，结合图表数据，计算系数即可；（3）根据已经求解的回归方程，只需令自变量为2019年对应的t 即可. 解：（1）因为订单的平均数为6.5亿件， 故()12.8 4.78.110.4 6.55a ++++= 解得 6.5a =.因为由参考数据可知，当用y a bx =+拟合时，其相关系数为10.998r = 当用c dxy e+=拟合时，其相关系数为20.983r =因为12||r r >，故y a bx =+更适合作回归方程.（2）由表中数据可得()11234535x =++++= 由题可知 6.5y =51i ii x y=∑ 2.82 4.73 6.548.1510.4116.1=+⨯+⨯+⨯+⨯=521ii x=∑22221234555=++++=故ˆb=()()()51521iii i i x x y y x x ==---∑∑=116.153 6.51.865559-⨯⨯=-⨯6.5ˆˆ 1.8630.92ay bx =-=-⨯= 故回归方程为 1.8602ˆ.9yx =+ （3）2019年对应的6t =故令6x =，解得 1.8660.922ˆ1.08y=⨯+= 故菜鸟网络物流2019年的预测的订单数为12.08亿件. 点评：本题考查平均数的计算，以及线性回归方程的求解，以及利用回归方程进行预测，属回归方程中档题.20．已知椭圆C ：()222210x y a b a b+=>>的离心率12e =，P 是椭圆C 上的动点，且点P 到椭圆C 焦点的距离的最小值为1. （1）求椭圆C 的方程；（2）过椭圆C 的右焦点2F 的直线l 交椭圆C 于()11,A x y ，()22,B x y两点，当)12121y y x x +=-时，求PAB ∆面积的最大值. 【答案】(1)22143x y +=；(2)92.（1）根据离心率以及椭圆定义，列出,,a b c 方程组，求解即可得到椭圆方程；（2）设出直线方程，联立椭圆，由韦达定理，结合)12121y y x x +=-，得到直线方程，从而将面积的最值问题转化为点到直线的距离的最值问题. 解：（1）根据题意可得1,12c a c a =-=， 故可解得2,1a c ==，由2223b a c =-=，故椭圆方程为22143x y +=.（2）由（1）可知椭圆右焦点坐标为()1,0，当直线斜率不存在时，即l 为1x =，解得331,?,1,?22A B ⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭满足()121215y y x x +=-， 显然，当且仅当点P 为椭圆的左顶点时，此时PAB n 面积取得最大值()11933222PAB S AB a c =⨯⨯+=⨯⨯=n .当直线斜率存在时，设直线方程为：()1y k x =-联立椭圆方程22143x y +=可得()22223484120kxk x k +-+-=221212228412,3434k k x x x x k k-+==++ ()()()121212112y y k x k x k x x k +=-+-=+-228234k k k k =⨯-+2634kk=-+因为()121215y y x x +=-故可得222641213434k k k k ⎛⎫--=- ⎪++⎝⎭整理得226153434k k k-=-++解得k =)1y x =-12128,05x x x x +==故165AB ==又当点P 在椭圆上，且过P 点的切线与直线)1y x =-平行时，面积最大 故设该切线为y m =+联立椭圆方程22143x y +=可得22154120x m ++-= 令()22192604120m m =--=n 解得m=m =舍) 当m =215480x ++=解得x =，y=P ⎛ ⎝⎭由点P 到直线)1y x =-的距离公式可得：三角形的高h ==故4111622525PABSAB h =⨯⨯=⨯⨯=n又因为4952<故当且仅当直线l 的斜率不存在时，面积取得最大值92. 点评：本题考查椭圆方程的求解，以及椭圆中三角形面积的最值问题，涉及弦长的计算，切线方程的求解，属综合性中档题. 21．函数()ln f x x ax m =++.（1）若0m =，a R ∈，讨论函数()f x 的零点个数情况；（2）若1a =，对于()()g x f x =，存在1,t e e ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦，使得()g t t =成立，求实数m 的取值范围.【答案】(1) 当0a ≥或1a e =-时，函数 ()f x 有一个零点；当10a e-<<时，函数()f x 有两个零点；当1a e<-时，函数()f x 没有零点；(2)20,1e e ⎡⎤--⎣⎦. （1）分离参数，将函数零点个数的问题，转化为函数图像交点的问题，通过求解函数单调性和值域，得出结论；（2）分离参数，将能成立问题转化为函数值域的问题，再利用导数求解函数的值域即可. 解：（1）当0m =时，()f x lnx ax =+，定义域为()0,+?令()0f x =，即0lnx ax +=，等价于lnxa x=- 令()lnx m x x =-，则()21lnx m x x='-，令()0m x '=，解得x e = 故当()0,x e ∈时，()0m x '<，()m x 单调递减， 当(),x e ∈+∞时，()0m x '>，()m x 单调递增. 故()()1min m x m e e==-. 又当x 趋近于0时，()m x 趋近于正无穷； 当x e >时，()0m x <，且趋近于0， 据此，画出函数()m x 的示意图如下：结合图像，以及函数单调性可知：当0a ≥或1a e=-时，函数 ()f x 有一个零点； 当10a e-<<时，函数()f x 有两个零点； 当1a e <-时，函数()f x 没有零点.（2）当1a =时，()g x ==存在1,t e e ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦,()g t t =等价于存在1,t e e⎛⎤∈ ⎥⎝⎦, 0lnt t m ++≥t = 等价于存在1,t e e ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦时，m lnt t ≥--能成立， 且存在1,t e e ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦使得2m t lnt t =--能成立. 因为y lnt t =--是单调减函数，故m lnt t ≥--能成立，等价于()1min m lnt t lne e e ≥--=--=--即[)1,m e ∈--+∞；令()2h t t lnt t =--，故()()()211121t t h t t t t+-=-='- 令()0h t '=，解得1t =或12t =-(舍) 故当()1,1,t h t e ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭单调递减，当(]1,t e ∈，函数单调递增 故()()10min h t h ==，又21111h e e e⎛⎫=+- ⎪⎝⎭，()21h e e e =-- 因为()1h e h e ⎛⎫> ⎪⎝⎭，故当1,t e e ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦时，()20,1h t e e ⎡⎤∈--⎣⎦ 故要使得当1,t e e⎛⎤∈ ⎥⎝⎦时，存在t ，使得2m t lnt t =--成立 只需20,1m e e ⎡⎤∈--⎣⎦，又因为[)1,m e ∈--+∞ 故可得20,1m e e ⎡⎤∈--⎣⎦.点评：本题考查利用导数研究函数的零点个数，以及利用导数研究能成立问题；其中数形结合，分离参数都是重要的处理手段，本题还需要始终注意函数的定义域.22．在平面直角坐标系xoy 中，直线l 的参数方程为1x t y t=⎧⎨=+⎩（t 为参数）.以坐标原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴，建立极坐标系，已知曲线C 的极坐标方程为：()1cos28sin ρθθ+=.（1）求直线l 的普通方程与曲线C 的直角坐标方程；（2）设直线l 与曲线C 交于不同的两点A ，B ，求AB 的值.【答案】(1) 直线的普通方程为1y x =+；曲线C 的直角坐标方程为24x y =；(2)8.（1）利用代入消参即可将直线的参数方程化为普通方程；利用公式即可将极坐标方程转化为直角坐标方程；（2）联立直线和曲线的普通方程，利用弦长公式求解即可.解：（1）根据x t =，代入1y t =+可得1y x =+即为所求； ()1cos28sin ρθθ+=等价于()24cos sin ρθρθ=故可得：24x y =故直线的普通方程为1y x =+；曲线C 的直角坐标方程为24x y =.（2）联立直线方程1y x =+和抛物线方程24x y =可得2440x x --=，设()()1122,,,A x y B x y则12124,4x x x x +==-故弦长8AB ===故弦长8AB =.点评：本题考查将参数方程，以及极坐标方程化为普通方程，以及在直角坐标系下弦长公式的使用，属基础题. 23．已知函数()212f x x x =--+.（1）求不等式()0f x >的解集； （2）若关于x 的不等式()2135m f x x +≥+-+恒成立，求实数m 的取值范围.【答案】(1)()1 ,3,3⎛⎫-∞-⋃+∞ ⎪⎝⎭；(2)(][) ,32,-∞-⋃+∞. （1）将函数写成分段函数，再分段求解不等式即可；（2）将恒成立问题转化为最值问题，根据绝对值三角不等式求解最值即可. 解：（1）因为()212f x x x =--+故()13,?()2131,223,(2)x x f x x x x x ⎧->⎪⎪⎪⎛⎫=---≤≤⎨ ⎪⎝⎭⎪⎪-+<-⎪⎩当12x >时，()0f x >等价于30x ->，解得3x >； 当122x -≤≤时，()0f x >等价于310x -->，解得13x <-，故123x -≤<- 当2x <-时，()0f x >等价于30x -+>，解得3x <，故2x <-综上所述，()0f x >的解集为()1,3,3⎛⎫-∞-⋃+∞ ⎪⎝⎭.（2）()2135m f x x +≥+-+恒成立 等价于2125210m x x +≥+-+恒成立 等价于()2521021max x x m +-+≤+ 又()()25210252105x x x x +-+≤+-+=当且仅当5x ≤-时，取得最大值， 故215m +≥，解得215m +≥，或215m +≤-解得(][),32,m ∈-∞-⋃+∞.点评：本题考查绝对值不等式的求解，以及利用绝对值三角不等式求最值，属解不等式中档题；本题需要注意绝对值三角不等式取等的条件.。

江西省南康中学、于都中学2019届高三数学下学期第二次联考试题文本试卷共4页，分第I 卷(选择题)和第II 卷(非选择题)两部分，共150分，考试时间120分钟。

注意事项：1．答题前，考生必须将自己的姓名、统考考号、座号和考试科目涂写在答题卡上。

2．第I 卷共12小题，用铅笔把答题卡上对应的答案标号涂黑，如要改动，必须用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。

第II 卷则用黑色的钢笔（或水笔）按各题要求答在答题卡相应的位置上。

第I 卷 （ 选择题共60分）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的）1．已知集合{}2,1,1-=A ，{}01|≥+=x x B ，则=⋂B A （ ）A ．{}2,1,1-B ．{}2,1C ．{}2,1-D ．{}22．若复数z 满足i z i 2)1(=+（i 为虚数单位），则复数z 虚部为（ ） A ．iB ．i -C ．1D ．1-3．如图是民航部门统计的某年春运期间12个城市售出的往返机票的平均价格以及相比上年同期变化幅度的数据统计图表，根据图表，下面叙述不正确的是（ ）A ．深圳的变化幅度最小，北京的平均价格最髙B ．深圳和厦门的平均价格同去年相比有所下降C ．平均价格从高到低居于前三位的城市为北京、深圳、广州D ．平均价格的涨幅从高到低居于前三位的城市为天津、西安、厦门4．已知椭圆)0(1:2222>>=+b a by a x C 的离心率为21，且椭圆C 的长轴长与焦距之和为6，则椭圆C 的标准方程为（ ）A ．1625422=+y xB ．12422=+y x C ．13422=+y x D ．1222=+y x 5．函数xxx x f cos )(2+=的图象大致为（ ）A ．B ．C ．D ．6．偶函数)()(xxae e x x f --=的图象在1=x 处的切线斜率为（ ）A ．e 2B ．eC ．e2D ．ee 1+7．已知等边ABC ∆内接于圆O ，D 为线段OA 的中点，则BD ＝（ ） A ．BC BA 6134- B ．BC BA 6132+ C ．BC BA 6532+-D ．BC BA 3132+ 8．如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，N M ,分别为11C D 和1CC 的中点，则异面直线AM 与BN 所成角的余弦值为（ ）A 10B 25C 3D 109．设n S 是等比数列}{n a 的前n 项和，245S S =，则8325a a a 的值为（ ）A ．21±B ．2±C ．2±或－1D ．21±或－1 10．在四面体SABC 中，23,3,====⊥SC SA BC AB BC AB ,平面⊥SAC 平面BAC ，则该四面体外接球的表面积为（ ）ABCD A 1B 1C 1D 1MNA ．π8B ．π12C ．π16D ．π2411. 已知21,F F 是双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 的左右两个焦点，过点2F 与双曲线的一条渐近线平行的直线交双曲线另一条渐近线于点M ，若点M 在以线段21F F 为直径的圆外，则该双曲线离心率的取值范围是（ ） A ．)2,1( B ．),2(+∞C. )3,2( D ．)2,3(12．已知定义在R 上的函数)(x f y =对于任意的x 都满足)()1(x f x f -=+，当11<≤-x时，3)(x x f =，若函数||log )()(x x f x g a -=至少有6个零点，则a 的取值范围是（ ）A ．),5(]51,0(+∞⋃B ．),5[)51,0(+∞⋃C ．)7,5(]51,71(⋃D ．)7,5[)51,71(⋃第II 卷 非选择题（共90分）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填写在题后横线上）13．已知函数⎩⎨⎧<-≥=0,0,)(2x x x x x f ，则)]2([-f f 的值为 ．14. 若实数y x ,满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≤+≤-≥+-20302y x y x y x ，则y -x z 32=的最小值为 ．15．已知数列{}n a 的前n项和为n S ，数列{}n a 满足),0(*2N n d d d a a n n ∈≠=-+为常数，且,,2,121==a a 且433221,,a a a a a a 成等差数列，则20S 等于 ．16．过曲线a x a x y -+-=||2上的点P 向圆O ：122=+y x 作两条切线PB PA ,，切点为B A ,,且060=∠APB ，若这样的点P 有且只有两个，则实数a 的取值范围是 ．三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17．（本小题满分12分）ABC ∆的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知cos sin b C b C a +=.a(1)求角B 的大小； (2)若BC 边上的高等于14a ，求cos A 的值.18．（本小题满分12分）如图，在矩形ABCD 中，2,4,,AD AB E F ==分别为,AB AD 的中点，现将ADE ∆沿DE 折起，得四棱锥A BCDE - .(1)求证：//EF 平面ABC ；(2)若平面ADE ⊥平面BCDE ，求四面体FACE 的体积.19．（本小题满分12分）“黄梅时节家家雨”“梅雨如烟暝村树”“梅雨暂收斜照明”……江南梅雨的点点滴滴都流润着浓烈的诗情.每年六、七月份，我国长江中下游地区进入持续25天左右的梅雨季节，如图是江南Q 镇2009～2018年梅雨季节的降雨量（单位：mm ）的频率分布直方图，试用样本频率估计总体概率，解答下列问题：(1)“梅实初黄暮雨深”.计算a 的值，并用样本平均数估计Q 镇明年梅雨季节的降雨量；(2) “江南梅雨无限愁”. Q 镇的杨梅种植户老李也在犯愁，他过去种植的甲品种杨梅,亩产量受降雨量的影响较大（把握超过八成）.而乙品种杨梅这10年的亩产量（kg /亩）A BE DCAFDCE与降雨量的发生频数（年）如2×2列联表所示（部分数据缺失）.请你完善2×2列联表，帮助老李排解忧愁，来年应种植哪个品种的杨梅受降雨量影响更小？并说明理由.600(参考公式：),))()()(()(22d c b a n d b c a d c b a bc ad n K +++=++++-=20．（本小题满分12分）在直角坐标系xoy 中，动圆P 与圆1)2(:22=+-y x Q 外切，且圆P 与直线1-=x 相切，记动圆圆心P 的轨迹为曲线C ．(1)求曲线C 的轨迹方程；(2)设过定点)0,2(-S 的动直线l 与曲线C 交于B A ,两点，试问：在曲线C 上是否存在点M （与B A ,两点相异），当直线MB MA ,的斜率存在时，直线MB MA ,的斜率之和为定值？若存在，求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由．21．（本小题满分12分）已知函数()()ln ,f x x x f x ='为()f x 的导函数.(1)令()()2,g x f x ax -'=，试讨论函数()g x 的单调区间；(2)证明：()22x f x e -<．22.（本小题满分10分）直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为⎩⎨⎧=+=ααsin cos 1y x （α为参数），曲线13:222=+y x C .(1)在以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，求21,C C 的极坐标方程； (2)射线)0(3≥=ρπθ与1C 异于极点的交点为A ，与2C 的交点为B ，求||AB .南康中学2019届高三寒假数学（文科）测试卷参考答案一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给同的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．A 【解析】∵集合}2,1,1{-=A ，集合}1|{-≥=x x B ，∴集合}2,1,1{-=⋂B A ，故选．2．C 【解一】由i z i 2)1(=+得i i i i i i i z +=-+-⋅=+=1)1)(1()1(212，所以选择C ． 【解二】设),(R y x yi x z ∈+=，由i i yi x i z i 2)1()(2)1(=+⋅+⇒=⋅+，则⎩⎨⎧=+=-2y x y x ，解得1==y x ，所以i z +=1，所以选择C ．3．D 【解析】由图可知，选项A 、B 、C 都正确，对于D ，因为要判断涨幅从高到低，而不是判断变化幅度，所以错误．故选：D ． 4．C 【解析】依题意椭圆的离心率得21=a c ，椭圆C 的长轴长与焦距之和为6，622=+c a ， 解得1,2==c a ，则3=b ，所以椭圆的标准方程为：13422=+y x ，故选C ． 5．C 【解析】)(cos )(2x f xxx x f -=-+=-，则函数)(x f 为奇函数，故排除AD ， 当1=x 时，,0>1cos +1=)1(f 故排除B ，故选：C ．6．A 【解析】偶函数)()(xxae e x x f --=，可得)()(x f x f =-，即)()(x x x x ae e x ae e x ---=--，可得0)(1=---x x ae e x a ）（，对R x ∈恒成立，则1=a ，函数)()(x x e e x x f --=，x x x x e e e e x x f ---++=)()('，则e f 2)1(=．故选：A ．7．B 【解析】如图所示,．设BC 中点为E ，则)(3131BE AB BA AE BA AD BA BD ++=+=+=BC BA BC BA BA 6132213131+=⋅+-=．故选：B ．8．B 【解析】取1DD 的中点E ，则BN AE //,所以异面直线AM 与BN所成角为EAM ∠，不妨设正方体的棱长为2，则3,2,5===AM EM AE ,在AEM ∆中，由余弦定理知：552532295cos =⨯⨯-+=∠∴EAM ， 故选：B9．D 【解析】设}{n a 的首项，公比分别为q a ,1由245S S =得qq a q q a --=--1)1(51)1(2141，04524=+-q q ，解得2±=q 或1±=q ，因为1≠q ，所以2±=q 或1-=q ，因为q a a a 18325=，所以选择D ．10.D 【解析】取AC 中点D ，连接BD SD ,,,3,==⊥BC AB BC ABABC ∆∴为等腰直角三角形，则,23,=⊥AC AC BD 则SAC ∆为等边三角形，D 为AC 的中点,,223,==⊥∴DC AD AC SD 取SAC ∆外心O ，连接SO CO BO AO ,,,, 可知O 点即为四面体SABC 外接球球心 则有6232332=⨯⨯====SO CO BO AO 则外接球的表面积为ππ2464=⨯.故选D 11. B 【解析】易知点M 的横坐标为2c ，代入x ab y =得a bc y 2=，因为点M 在圆222c y x =+ 外，所以有2222244c ac b c >+，解得2>e ，所以选择B . 12．A 【解析】由)()1(x f x f -=+得)2()1(+-=+x f x f ，A BC DA 1B 1C 1D 1MNE因此)2()(+=x f x f ，即函数)(x f 是周期为2的周期函数． 函数||log )()(x x f x g a -=至少有6个零点可转化成)(x f f =与||log )(x x h a =两函数图象交点至少有6个， 需对底数a 进行分类讨论．若1>a ，则15log )5(<=a h ，即5>a . 若10<<a ，则15log )5(-≥=-a h ，即510≤<a . 所以a 的取值范围是),5(]51,0(+∞⋃．故选A .二．填空题：本大题共4小题，每小题5分.13．【解析】42)2()]2([2===-f f f14. 【解析】不等式组⎪⎩⎪⎨⎧≤+≤-≥+-20302y x y x y x ．表示的可行域如图：由⎩⎨⎧=+=+-202y x y x 解得：)2,0(A ， y x z 32-=取得最小值为：6-.15．【解析】由433221,,a a a a a a 成等差数列，可得：4321322a a a a a a +=，),0(*2N n d d d a a n n ∈≠=-+为常数，且,,2,121==a ad d a a d d a a +=+=+=+=∴2,12413,）0(1)2)(1(2)1(22≠=⇒+++=+⨯⨯∴d d d d d 12=-∴+n n a a ．∴数列{}n a 的奇数项与偶函项分别成等差数列，公差为1，首项分别为1，2．1201291021012910110)()(2042193120=⨯⨯+⨯+⨯⨯+⨯=+++++++=a a a a a a S ．16．【解析】过点P 作圆:O 122=+y x 的两条切线，设切点分别为B A ,，且060=∠APB ，则030=∠OPA ，则有2||2||==AO PO ，则P 的轨迹为422=+y x ，33,2||,,x a x ay x a x a x a x a -≥⎧=-+-=⎨-+<⎩当a x <时，曲线为)(0a x a y x <=-+， 当a x ≥时，曲线为)(033a x a y x ≥=--， 当0<a 时，若这样的点P 有且只有两个，必有210|3|<a ， 即2103<-a，解可得3102->a ，当0=a 时，曲线为⎩⎨⎧<-≥=+=0,0,3||2x x x x x x y ，符合题意，当0>a 时，若这样的点P 有且只有两个，必有22||<a ，解可得22<a ， 则)22,3102(-∈a ；故答案为：)22,3102(-． 三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17．【解析】（1）因为cos sin b C b C a +=，由正弦定理sin sin sin a b cA B C==得sin cos sin sin B C B C +sin A =.………………2分因为A B C π++=，所以sin cos sin sin B C B C +()sin B C =+. 即sin cos sin sin B C B C +sin cos cos sin B C B C =+. ………………………………4分因为sin 0C ≠，所以sin cos B B =. ………………………………………………………5分因为cos 0B ≠，所以tan 1B =. 因为()0,B π∈，所以4B π=.………………………6分（2）设BC 边上的高线为AD ，则14AD a =.…………………………………………7分因为4B π=，则14BD AD a ==，34CD a =.……………………………………9分所以22AC AD DC =+104a =，24AB a =.………………………………10分 由余弦定理得222cos 2AB AC BC A AB AC +-=⋅5=.所以cos A 的值为5分 18．【解析】(1)取线段AC 的中点M ，连接,MF MB ， ………………………………1分因为F 为AD 的中点，所以CD MF //，且12MF CD =， 在折叠前，四边形ABCD 为矩形，E 为AB 的中点，所以CD BE //，且12BE CD =.…………………………………………………………2分所以BE MF //，且MF BE =,…………………………………………………………3分 所以四边形BEFM 为平行四边形，故BM EF //， …………………………………4分 又EF ⊄平面,ABC BM ⊂平面ABC ，所以EF // 平面ABC .…………………………………………………………………5分 (2) 在折叠前，四边形ABCD 为矩形，2,4,AD AB E ==为AB 的中点， 所以,ADE CBE ∆∆都是等腰直角三角形，且2AD AE EB BC ====， 所以45DEA CEB ∠=∠=，且22DE EC ==.又180,90DEA DEC CEB DEC ∠+∠+∠=∴∠=，………………………………7分又平面ADE ⊥平面BCDE ，平面ADE 平面,BCDE DE CE =⊂平面BCDE ，所以CE ⊥平面ADE ，即CE 为三棱锥C EFD -的高. ……………………………9分 因为F 为AD 的中点，所以12121=⨯⨯⨯=∆AE AD S AEF ，………………………10分 所以四面体FACE 的体积3222213131=⨯⨯=⨯⨯=∆CE S V AEF .……………12分 19．【解析】(1)频率分布直方图中第四组的频率为1.0003.0004.0002.0100-1=++⨯）（所以001.0=a …………………………………………………………………………2分 所以用样本平均数估计镇明年梅雨季节的降雨量为）（mm 280=45+105+30=1.0×450+3.0×350+4.0×250+2.0×150……………5分(2)根据频率分布直方图可知，降雨量在200～400之间的频数为7=004.0+003.0×100×10）（ (6)分进而完善列联表如图. 亩产量\降雨量200～400之间200～400之外合计 <600 2 2 4 600 5 1 6 合计7310………………………………………………………………………………………………8分323.1270.1638064372512(10K 22<≈=⨯⨯⨯⨯-⨯=）………………………………………10分故认为乙品种杨梅的亩产量与降雨量有关的把握不足75%.……………………………11分而甲品种杨梅降雨量影响的把握超过八成，故老李来年应该种植乙品种杨梅。