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第一章随机事件和概率（1）排列组合公式从m个人中挑出n个人进行排列的可能数。
从m个人中挑出n个人进行组合的可能数。
（2）加法和乘法原理加法原理（两种方法均能完成此事）：m+n某件事由两种方法来完成，第一种方法可由m种方法完成，第二种方法可由n 种方法来完成，则这件事可由m+n 种方法来完成。
乘法原理（两个步骤分别不能完成这件事）：m×n某件事由两个步骤来完成，第一个步骤可由m种方法完成，第二个步骤可由n 种方法来完成，则这件事可由m×n 种方法来完成。
（3）一些常见排列重复排列和非重复排列（有序）对立事件（至少有一个）顺序问题（4）随机试验和随机事件如果一个试验在相同条件下可以重复进行，而每次试验的可能结果不止一个，但在进行一次试验之前却不能断言它出现哪个结果，则称这种试验为随机试验。
试验的可能结果称为随机事件。
（5）基本事件、样本空间和事件在一个试验下，不管事件有多少个，总可以从其中找出这样一组事件，它具有如下性质：①每进行一次试验，必须发生且只能发生这一组中的一个事件；②任何事件，都是由这一组中的部分事件组成的。
这样一组事件中的每一个事件称为基本事件，用来表示。
基本事件的全体，称为试验的样本空间，用表示。
一个事件就是由中的部分点（基本事件）组成的集合。
通常用大写字母A，B，C，…表示事件，它们是的子集。
为必然事件，Ø为不可能事件。
不可能事件（Ø）的概率为零，而概率为零的事件不一定是不可能事件；同理，必然事件（Ω）的概率为1，而概率为1的事件也不一定是必然事件。
（6）事件的关系与运算①关系：如果事件A的组成部分也是事件B的组成部分，（A发生必有事件B发生）：如果同时有，，则称事件A与事件B等价，或称A等于B：A=B。
A、B中至少有一个发生的事件：A B，或者A+B。
属于A而不属于B的部分所构成的事件，称为A与B的差，记为A-B，也可表示为A-AB或者，它表示A发生而B不发生的事件。
第一章随机事件和概率（1）排列组合公式从m个人中挑出n个人进行排列的可能数。
从m个人中挑出n个人进行组合的可能数。
（2）加法和乘法原理加法原理（两种方法均能完成此事）：m+n某件事由两种方法来完成，第一种方法可由m种方法完成，第二种方法可由n 种方法来完成，则这件事可由m+n 种方法来完成。
乘法原理（两个步骤分别不能完成这件事）：m×n某件事由两个步骤来完成，第一个步骤可由m种方法完成，第二个步骤可由n 种方法来完成，则这件事可由m×n 种方法来完成。
（3）一些常见排列重复排列和非重复排列（有序）对立事件（至少有一个）顺序问题（4）随机试验和随机事件如果一个试验在相同条件下可以重复进行，而每次试验的可能结果不止一个，但在进行一次试验之前却不能断言它出现哪个结果，则称这种试验为随机试验。
试验的可能结果称为随机事件。
（5）基本事件、样本空间和事件在一个试验下，不管事件有多少个，总可以从其中找出这样一组事件，它具有如下性质：①每进行一次试验，必须发生且只能发生这一组中的一个事件；②任何事件，都是由这一组中的部分事件组成的。
这样一组事件中的每一个事件称为基本事件，用来表示。
基本事件的全体，称为试验的样本空间，用表示。
一个事件就是由中的部分点（基本事件）组成的集合。
通常用大写字母A，B，C，…表示事件，它们是的子集。
为必然事件，Ø为不可能事件。
不可能事件（Ø）的概率为零，而概率为零的事件不一定是不可能事件；同理，必然事件（Ω）的概率为1，而概率为1的事件也不一定是必然事件。
（6）事件的关系与运算①关系：如果事件A的组成部分也是事件B的组成部分，（A发生必有事件B发生）：如果同时有，，则称事件A与事件B等价，或称A等于B：A=B。
A、B中至少有一个发生的事件：A B，或者A+B。
属于A而不属于B的部分所构成的事件，称为A与B的差，记为A-B，也可表示为A-AB或者，它表示A发生而B不发生的事件。
概率论公式1．随机事件及其概率吸收律：AAB A A A A =⋃=∅⋃Ω=Ω⋃)( AB A A A A A =⋃⋂∅=∅⋂=Ω⋂)( )(AB A B A B A -==-反演律：B A B A =⋃ B A AB ⋃=n i i n i i A A 11=== ni in i i A A 11===2．概率的定义及其计算)(1)(A P A P -=若B A ⊂ )()()(A P B P A B P -=-⇒对任意两个事件A , B , 有 )()()(AB P B P A B P -=-加法公式：对任意两个事件A , B , 有)()()()(AB P B P A P B A P -+=⋃)()()(B P A P B A P +≤⋃)()1()()()()(2111111n n n n k j i k j i n j i j i n i i n i i A A A P A A A P A A P A P A P -≤<<≤≤<≤==-+++-=∑∑∑3．条件概率()=A B P)()(A P AB P乘法公式 ())0)(()()(>=A P A B P A P AB P()())0)(()()(12112112121>=--n n n n A A A P A A A A P A A P A P A A A P全概率公式 ∑==n i i AB P A P 1)()( )()(1i ni i B A P B P ⋅=∑=Bayes 公式)(A B P k )()(A P AB P k = ∑==n i i i k k B A P B P B A P B P 1)()()()(4．随机变量及其分布分布函数计算)()()()()(a F b F a X P b X P b X a P -=≤-≤=≤<5．离散型随机变量(1) 0 – 1 分布1,0,)1()(1=-==-k p p k X P k k(2) 二项分布 ),(p n B若P ( A ) = pn k p p C k X P k n k k n ,,1,0,)1()( =-==-*Possion 定理0lim >=∞→λn n np 有 ,2,1,0!)1(lim ==---∞→k k e p p C kk n n k n kn n λλ(3) Poisson 分布 )(λP,2,1,0,!)(===-k k e k X P kλλ6．连续型随机变量(1) 均匀分布 ),(b a U⎪⎩⎪⎨⎧<<-=其他,0,1)(b x a ab x f ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧--=1,,0)(a b a x x F(2) 指数分布 )(λE⎪⎩⎪⎨⎧>=-其他,00,)(x e x f x λλ ⎩⎨⎧≥-<=-0,10,0)(x e x x F x λ(3) 正态分布 N (m , s 2 )+∞<<∞-=--x e x f x 222)(21)(σμσπ⎰∞---=x t t e x F d 21)(222)(σμσπ*N (0,1) — 标准正态分布 +∞<<∞-=-x e x x 2221)(πϕ +∞<<∞-=Φ⎰∞--x t e x xt d 21)(22π7.多维随机变量及其分布二维随机变量( X ,Y )的分布函数⎰⎰∞-∞-=xy dvdu v u f y x F ),(),(边缘分布函数与边缘密度函数⎰⎰∞-+∞∞-=xX dvdu v u f x F ),()( ⎰+∞∞-=dv v x f x f X ),()( ⎰⎰∞-+∞∞-=y Y dudv v u f y F ),()(⎰+∞∞-=du y u f y f Y ),()(8.连续型二维随机变量(1) 区域G 上的均匀分布，U ( G ) ⎪⎩⎪⎨⎧∈=其他,0),(,1),(G y x A y x f(2)二维正态分布+∞<<-∞+∞<<∞-⨯-=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡-+------y x e y x f y y x x ,121),(2222212121212)())((2)()1(21221σμσσμμρσμρρσπσ9.二维随机变量的 条件分布 0)()()(),(>=x f x y f x f y x f X X Y X 0)()()(>=y f y x f y f Y Y X Y ⎰⎰+∞∞-+∞∞-==dy y f y x f dy y x f x f Y Y X X )()(),()( ⎰⎰+∞∞-+∞∞-==dx x f x y f dx y x f y f X X Y Y )()(),()( )(y x f Y X )(),(y f y x f Y = )()()(y f x f x y f Y X X Y =)(x y f X Y )(),(x f y x f X = )()()(x f y f y x f X Y Y X =10.随机变量的数字特征数学期望 ∑+∞==1)(k k k p x X E⎰+∞∞-=dx x xf X E )()(随机变量函数的数学期望X 的 k 阶原点矩)(k X EX 的 k 阶绝对原点矩)|(|k X EX 的 k 阶中心矩)))(((k X E X E -X 的 方差)()))(((2X D X E X E =-X ,Y 的 k + l 阶混合原点矩)(l k Y X EX ,Y 的 k + l 阶混合中心矩()l k Y E Y X E X E ))(())((--X ,Y 的 二阶混合原点矩)(XY EX ,Y 的二阶混合中心矩 X ,Y 的协方差()))())(((Y E Y X E X E --X ,Y 的相关系数XY Y D X D Y E Y X E X E ρ=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--)()())())(((X 的方差D (X ) =E ((X - E (X ))2))()()(22X E X E X D -=协方差()))())(((),cov(Y E Y X E X E Y X --=)()()(Y E X E XY E -= ())()()(21Y D X D Y X D --±±= 相关系数)()(),cov(Y D X D Y X XY =ρ（注：素材和资料部分来自网络，供参考。
概率论重要公式大全必看概率论是数学的一个分支，研究随机事件的概率性质和随机现象的数学模型。
在概率论中有许多重要的公式，下面是一些概率论中常用的重要公式的介绍。
1.加法法则加法法则是计算两个事件一起发生的概率的公式。
P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(A∩B)2.乘法法则乘法法则是计算两个事件同时发生的概率的公式。
P(A∩B)=P(A)×P(B，A)=P(B)×P(A，B)其中P(B，A)表示已知事件A发生下事件B发生的概率。
3.全概率公式全概率公式是计算一个事件的概率的公式，通过将事件分解为若干个互斥事件并计算其概率，然后加权求和得到事件的概率。
P(A)=ΣP(A∩Bi)=ΣP(Bi)×P(A，Bi)其中Bi为一组互斥事件，且它们的并集为样本空间。
4.贝叶斯定理贝叶斯定理是根据条件概率的定义，计算事件的后验概率的公式。
P(A，B)=P(B，A)×P(A)/P(B)其中P(A，B)为已知事件B发生下事件A发生的概率。
5.随机变量与概率分布随机变量是用来描述随机现象结果的变量。
概率分布则是随机变量取不同值的概率的分布情况。
6.期望和方差期望是描述随机变量平均值的概念，可以通过加权平均的方式计算。
E(X)=Σx×P(X=x)方差是描述随机变量离散程度的概念，用来衡量随机变量取值与其期望值之间的偏差。
Var(X) = E((X - E(X))^2) = Σ (x - E(X))^2 × P(X=x)7.二项分布二项分布是描述重复进行n次独立实验中成功次数的概率分布。
P(X=k)=C(n,k)×p^k×(1-p)^(n-k)其中C(n,k)表示组合数，p为单次实验的成功概率，n为实验次数，k为成功次数。
8.泊松分布泊松分布是描述事件在一定时间或空间范围内发生的次数的概率分布。
P(X=k)=(λ^k/k!)×e^(-λ)其中λ为单位时间或单位空间范围内事件发生的平均次数，k为事件发生的次数。
第一章随机事件和概率（1）排列组合公式从m个人中挑出n个人进行排列的可能数。
从m个人中挑出n个人进行组合的可能数。
（2）加法和乘法原理加法原理（两种方法均能完成此事）：m+n某件事由两种方法来完成，第一种方法可由m种方法完成，第二种方法可由n 种方法来完成，则这件事可由m+n 种方法来完成。
乘法原理（两个步骤分别不能完成这件事）：m×n某件事由两个步骤来完成，第一个步骤可由m种方法完成，第二个步骤可由n 种方法来完成，则这件事可由m×n 种方法来完成。
（3）一些常见排列重复排列和非重复排列（有序）对立事件（至少有一个）顺序问题（4）随机试验和随机事件如果一个试验在相同条件下可以重复进行，而每次试验的可能结果不止一个，但在进行一次试验之前却不能断言它出现哪个结果，则称这种试验为随机试验。
试验的可能结果称为随机事件。
（5）基本事件、样本空间和事件在一个试验下，不管事件有多少个，总可以从其中找出这样一组事件，它具有如下性质：①每进行一次试验，必须发生且只能发生这一组中的一个事件；②任何事件，都是由这一组中的部分事件组成的。
这样一组事件中的每一个事件称为基本事件，用来表示。
基本事件的全体，称为试验的样本空间，用表示。
一个事件就是由中的部分点（基本事件）组成的集合。
通常用大写字母A，B，C，…表示事件，它们是的子集。
为必然事件，Ø为不可能事件。
不可能事件（Ø）的概率为零，而概率为零的事件不一定是不可能事件；同理，必然事件（Ω）的概率为1，而概率为1的事件也不一定是必然事件。
（6）事件的关系与运算①关系：如果事件A的组成部分也是事件B的组成部分，（A发生必有事件B发生）：如果同时有，，则称事件A与事件B等价，或称A等于B：A=B。
A、B中至少有一个发生的事件：A B，或者A+B。
属于A而不属于B的部分所构成的事件，称为A与B的差，记为A-B，也可表示为A-AB或者，它表示A发生而B不发生的事件。
概率统计公式大全概率统计是研究随机现象及其规律性的一门学科，其核心就是用数学方法来描述和分析随机现象。
在概率统计的理论体系中，有很多重要的公式和定理，下面对一些常用的公式进行介绍。
1.概率公式：(1)加法规则：P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(A∩B)，其中A和B为事件，P(A)和P(B)分别是事件A和事件B发生的概率，P(A∩B)表示事件A和事件B同时发生的概率。
(2)乘法规则：P(A∩B)=P(A)×P(B，A)，其中P(A∩B)表示事件A和事件B同时发生的概率，P(A)表示事件A发生的概率，P(B，A)表示在事件A发生的条件下事件B发生的概率。
2.条件概率公式：(1)贝叶斯定理：P(A，B)=P(B，A)×P(A)/P(B)，其中P(A，B)表示在事件B发生的条件下事件A发生的概率，P(B，A)表示在事件A发生的条件下事件B发生的概率，P(A)和P(B)分别是事件A和事件B发生的概率。
(2)全概率公式：P(B)=ΣP(Ai)×P(B，Ai)，其中B是一个事件，Ai是样本空间的一个划分，即Ai是互不相容且并集为样本空间的一组事件。
3.期望公式：(1) 离散型随机变量的期望：E(X) = ΣxiP(X=xi)，其中X是一个离散型随机变量，xi是X的取值，P(X=xi)是X取值为xi的概率。
(2) 连续型随机变量的期望：E(X) = ∫xf(x)dx，其中X是一个连续型随机变量，f(x)是X的概率密度函数。
4.方差公式：(1) 离散型随机变量的方差：Var(X) = Σ(xi-E(X))^2P(X=xi)，其中Var(X)表示随机变量X的方差，xi是X的取值，E(X)是X的期望，P(X=xi)是X取值为xi的概率。
(2) 连续型随机变量的方差：Var(X) = ∫(x-E(X))^2f(x)dx，其中Var(X)表示随机变量X的方差，E(X)是X的期望，f(x)是X的概率密度函数。
1、 A B AB A AB;AB A (B A)例： 证明：A B)B A AB AB A B.第一部分 概率论基本公式 概率论与数理统计基本公式证明： 由(A B) B ，知 B 不发生， A 发生，则 AB 不发生，从而 A B) B A AB 成立，也即 A B 成立，也即 A B 成立。
得证。
2、对偶率： A B A B ；A B A B.3、概率性率： (1) 有限可加： A 1、 A 2为不相容事件，则 P(A 1 A 2) P(A 1) P(A 2)P(A B)P(A)P(B);P(A) P(B)(3) 对任意两个事件有： P(AB) P(A)P(B) P(AB)例：已知： P(A) 0.5， P(AB) 0.2，P(B) 0.4.求：(1)P(AB);P(A B);P(A解： AB AB B,且B 、AB 是不相容事件， P(AB) P(AB) P(B) 即P(AB) 0.2.,又 P(A) 0.5, P(A B) P(A) P(AB) 0.3 P(A B) P(A) P(B) P(AB)0.7, P( AB) PA B 1 P(A B) 0.3.4、古典概P(A B) P(A) P(AB),特别， B A 时有： (2) B); P( AB )例： n 双鞋总共 2n 只，分为 n 堆，每堆为 2只，事件 A 每堆自成一双鞋的概率 2n (2-n 2))!！2！,自成一双为： n! C 22n解：分堆法： C 22n n ！，则P(A) 5、条件概率 P(B| A)P(AB),称为在事件 A 条件下，事件 B 的条件概率， P(A)P(B)称为无条件概率。
乘法公式： P(AB) P(A)P(B |A) P(AB) P(B)P(A |B) 全概率公式：P(B) P(A i )P(B| A i ) i贝叶斯公式： P(A i |B)P(A i B)P(A i )P(B|A i )i P(B)P(A j )P(B |A j )j例：有三个罐子， 1号装有 2红1黑共 3个球， 2号装有 3红1黑 4个球， 3号装有 2红2黑 4 个球，某人随机从其中一罐，再从该罐中任取一个球， (1)求取得红球的概率； ( 2)如 果取得是红球，那么是从第一个罐中取出的概率为多少？解：(1)设B i ｛球取自 i 号罐 ｝，i 1,2,3。
A ｛取得是红球 ｝，由题知 B 1、B 2、B 3是一个完备事件231 由全概率公式 P(B) P (A i )P(B| A i )，依题意，有： P(A|B 1) ;P(A|B 2) ;P(A|B 3) .i 3 4 2 1P(B 1) P(B 2 ) P(B 3) ， P(A) 0.639.3( 2)由贝叶斯公式： P(B1| A) P(A|B1)P(B1) 0.348.1 P(A)6、独立事件(1)P(AB)=P(A)P(B), 则称 A 、 B 独立。
(2)伯努利概型 如果随机试验只有两种可能结果：事件 A 发生或事件 A 不发生，则称为伯努利试验，即：P(A)=p, P(A) 1 p q (0<p<1,p+q=1) 相同条件独立重复 n 次，称之为 n 重伯努利试验，简称伯努利概型。
伯努利定理： b(k;n, p) C n k p k (1 p)n k ( k=0,1,2 ⋯⋯)事件 A 首次发生概率为： p(1 p)k 1例：设事件 A 在每一次试验中发生的概率为 0.3，当 A 发生不少于 3 次时，指示灯发出信号 (1)进行 5 次重复独立试验，求指示灯发出信号的概率； (2)进行了 7 次重复独立试验， 求指示灯发出信号的概率。
解：(1)设 B “5次独立试验发出指示信 号”，则由题意有：5P(B) C 5k p k (1 p)5 k ，代入数据得： P(B) 0.163i3 (2)设C “7次独立试验发出指示信 号”，则由题意有： 7P(C)C 7k p k (1i37kp) 7 k 12C 7k p k (1 p)n k ，代入数据，得： P(C) 0.353i0第二章7、常用离散型分布(1)两点分布：若一个随机变量 X 只有两个可能的取值，且其分布为 ： P{ X x 1} p;P{ X x 2} 1 p (0<p<1)则称 X 服从 x 1、 x 2处参数为 p 的两点分布。
特别地，若 X 服从 x 1 1，x 2 0处 参数为 p 的两点分布，即：则称 X 服从参数为 0—1 分布。
其中期望 E( X )=p,D(X)=p(1-p)2)二项 分布 ：若一 个随 机 变量 X 的概 率分布 由 P ｛X k ｝ C n k p k (1- p)n k(k=0,1,2 ⋯⋯)给出，则称 X 服从参数为 n，p 的二项分布，记为：X~b(n,p) (或 B(n ，p)n 其中P{X k0 k} 1 ，当 n=1 时变为：P{ X k} p k (11kp)1 k(k=0,1),此时为 0—1分布。
其期望 E(X )=np ，方差 D(X)=n(1-p)(3)泊松分布：若一个随机变量 X 概率分布为：P{ X k} ek,k 0,1,2k!则称 X 服从参数为的泊松分布，记为：X ~ P( )(或X ~ ( ),其中P{X k} 1，k0 称为泊松流强度。
泊松定理：在 n 重伯努利试验中，事件 A 在每次试验中发生的概率为P n,如果n 时，nP n ( 0的常数) ，则对任意给定的 k，k有lim b(k;n,p) lim C n k p n k (1 p n)n k e ，这表明，当 n很大时， p接近 0或1 n n k!k时，有C n k p n k (1 p n)n k e ( np )。
k!其期望方差相等，即： E(X)=D(X)= 。
8、常用连续型分布1)均匀分布：若连续随机变量X的概率密度为f(x) 1/(b a),a x b0,其他则称 X 在区间a， b)上服从均匀分布，记为X~U(a,b) 。
其中f (x)dx 1，分布函数为：0,x aF(x) (x a)/(b a),a x1,x b.b.其期望 E(X)= a b，方差 D(X)=2 (b a)2122)指数分布：若随机变量的概率为f(x) e x,x0,其他0，0，则称 X 服从参数为的指数分布，简记为 X~e( ).其分布函数：xx,x1eF(x)0,其他，0，11 其期望 E(X)= ,方差 D(X)=2.(3) 正态分布：若随机变量 X 的概率密度为f(x) 1 e(x22)2 e2，则称 X服从参数为μ和2的正态分布，记为 X~N( 2), 其中μ和>0)都是常数。
分布函数为：F(x) 1x (t22)21 xe22dt,.。
当0, 1时，称为标准正态分布，概率密度函数为：x) 定理：设X ~ N( , 2),则Y12eX~x222, 分布函数(x)t2 e 2dt.其期望 E(X)= μ ,D(X)= 2。
9、随机变量函数的分布( 1)离散型随机变量函数分布一般方法：先根据自变量X 的所有可能取值确定因变量 Y 的所有可能值，然后通过 Y 的每一个可能的取值y i(i=1,2, ⋯⋯ )来确定Y 的概率分布。
2)连续型随机变量函数分布方法：设已知 X 的分布函数F X (x)或者概率密度f X(x) ，则随机变量 Y=g(X) 的分布函数F Y(y) P{Y y} P{g(X) y} P{X C Y} ,其中C y {x|g(x) y}，F Y(y) P{X C Y} Cyf X(x)dx，进而可通过Y 的分布函数F Y (y) ，求出 Y 的密度函数。
例：设随机变量 X 的密度函数为f X(x) 1 | x|, 1 x0,其他1，求随机变量Y X 2 1的分布函数和密度函数f X (x)解：设 F Y (y)和f Y ( y)分别是随机变量 Y 的分布函数和概率密度 函数，则由 1 x 1得：1y 2,那么当 y 1时F Y (y) P{Y y} P{X 2 1 y}P( ) 0,当1 y 2时，得：2y10 (1 x)dx Y (y) P{Y y} P{ X 2 1 y} P{ y1 x y 1 y 1(1 |x|)dx y1y11y 1(1x)dx 2 y 1 (y1),当y 2时， F Y (y) P{Y y} P{ X 2 1y} 0dx0,y 11(1|x|)dx 1 0dx 1,所以， F Y (y)2y1(y 1),1 y 2,1, y 211,1 y 2f X (x) F Y (y)'y10,其他10 、设随机 变量 2X~N( , 2 ),Y= aX b 也服从正态分布.即Y aX b ~ N(a b,(a )2) 。
11、联合概率分布 (1) 离散型联合分布： P ij 10,其他求 f(x), f(y),E(X),E(Y),cov( X,Y)， XY ， D(X+Y).或 x>2 时，由 f X (x)0dy 0dy 0 ，所以，1/8x 2 1/ 4x,0 x 2 0,其他例：设随机变量( X ， Y )的密度函数 f(x, y) 18(x y),08 x 2,0 y 2解：①当 0≤x≤2 时由 f X (x)xx [1/8(xy)dy ，得： f X (x)21/8x 2 1/4x ，当 x<02② E(X)= xf X(x)dx 7/6 ,由对称性同理可求得， E(Y)=7/6 。
22③因为 E(XY)= xyf(x,y)dxdy002所以， cov( X,Y )= E(XY)- E(X) E(Y)=4/3-(7/6) 2=-1/36 。
⑤D(X+Y)=D(X)+D(Y)+2cov(X,Y)=X的条件分布函数边缘分布概率为F X (x)、F Y(y)，若对于任意 x、y 有：P{X x,Y y} P{X x}P{Y y}，即：F(x,y) F X(x)F Y(y)，则称 X和 Y独立。
14、连续型随机变量的条件密度函数：设二维连续型随机变量 ( X,Y )的概率密度为f(x,y), 边缘概率密度函数为f X ( x)、 f Y ( y) ，则对于一切使f X(x)>0 的 x,定义在 X=x 的条件下 Y 的条件密度函数为：f Y|X(y|x) f(x,y)，同理得到定义在 Y=y 条件下 X 的条件概率密f X (x)度函数为：X|Y(x|y) f(x,y)，若f (x, y) = f X (x) f Y (y)几乎处处成立，则称 X,Y 相互f Y(y) 独立。
例：设二维随机变量(X，Y)的概率密度函数为f (x, y) ce(2x y),x 0, y 00, 其它，求( 1)确定常数 c；(2)X,Y 的边缘概率密同理可求得 : f Y(y)21/8y 21/ 4y,0 y 20，其他221/8xy(x y)dxdy 4/3.00④ D(X) E(X 2) [E(X)]2 2 220 0 x2f(x，y)dxdy (76)21136同理得D(Y)= , 所以，36 XY =cov(X,Y)D(X)D(Y)11112、条件分布：F(x| A) P{ X x| A} P{X P{A x},A},称F(x|A)为在A发生条件下，13、随机变量的独立性：由条件分布设A={Y ≤y}, 且 P{Y ≤ y}>0, 则：F(x|Y y} P{X x,Y y}P{Y y} F F(Y x(,y y))，设随机变量(X,Y )的联合分布概率为 F(x,y)，其中： X X 1 X 2Xi度函数；( 3)联合分布函数 F(x,y);(4)P{Y ≤X}; (5)条件概率密度函数 f X |Y ( x | y ) ；(6) P{X<2|Y<1}变量都有数学期望。
