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小五奥数：数阵图经典练习
思维热身：
一个人在银行开了一个账号，要设定一个密码。
密码为4位，前两位是字母，需要从26个字母中选择。
后两位是数字，需从0~9十个数字中选择。
请问：他的密码有多少种可能性？
1.将1~6分别填人下面的小圆圈内,使每个大圆上4个数字之和为16。
2.将1~9这九个数分别填入如图的小方格里,使横行和竖列上五个数
之和相等。
(至少找出两种本质上不同的填法)
3.将1~11这十一个数分别填入如图的○里,使每条直线上的三个数之和相等,并且尽可能大。
4.将1~8填入右图的八个○中,使得每条直线上的四个数之和与每个
圆周上的四个之和都相等。
5..将1-8填入下图的○内,要求按照自然数顺序相邻的两个数不能填入有直线连接的相邻的两个○内。
6.把1~8填入图中,使每条线及正方形四个顶点上的数的和相等。
10
6
7.图中有五个圆,它们相交相互分成9个区域,现在两个区域里已经填上10与6,请在另外七个区域里分别填进2,3,4,5,6,7,9七个数,使每圆内的和都等于15。
8.把1~16填入下图中,使每条边上4个数的和相等，两个八边形上8个数的和也相等。
9.将1~8这八个数字分别填入正方体的八个顶点上的○内,使每一个面(共有6个面)上四个数之和都相等。
10.将1~8分别填入图中,使每个圆圈上五个数之和分别为21。
11.把1~7分别填入下图中的七个空块里,使每个圆圈里的四个数之和都等于13。
c d
b
a。
第10周数阵专题简析：填“幻方”是同学们比较熟悉的一种数学游戏，由幻方演变出来的数阵问题，也是一类比较常见的填数问题。
这里，和同学们讨论一些数阵的填法。
解答数阵问题通常用两种方法：一是待定数法，二是试验法。
待定数法就是先用字母（或符号）表示满足条件的数，通过分析、计算来确定这些字母（或符号）应具备的条件，为解答数阵问题提供方向。
试验法就是根据题中所给条件选准突破口，确定填数的可能范围。
把分析推理和试验法结合起来，再由填数的可能情况，确定应填的数。
例题1 把5、6、7、8、9五个数分别填入下图的五个方格里，如图a使横行三个数的和与竖行三个数的和都是21。
先把五格方格中的数用字母A、B、C、D、E来表示，根据题意可知：A＋B＋C＋D＋E=35，A＋E＋B＋C＋E＋D=21×2=42。
把两式相比较可知，E=42－35=7，即中间填7。
然后再根据5＋9=6＋8便可把五个数填进方格，如图b。
练习一1，把1——10各数填入“六一”的10个空格里，使在同一直线上的各数的和都是12。
2，把1——9各数填入“七一”的9个空格里，使在同一直线上的各数的和都是13。
3，将1——7七个自然数分别填入图中的圆圈里，使每条线上三个数的和相等。
例题2 将1——10这十个数填入下图小圆中，使每个大圆上六个数的和是30。
分析设中间两个圆中的数为a、b，则两个大圆的总和是1＋2＋3＋……＋10＋a＋b=30×2，即55＋a＋b=60，a＋b=5。
在1——10这十个数中1＋4=5，2＋3=5。
当a和b是1和4时，每个大圆上另外四个数分别是（2，6，8，9）和（3，5，7，10）；当a和b是2和3时，每个大圆上另外四个数分别为（1，5，9，10）和（4，6，7，8）。
练习二1，把1——8八个数分别填入下图的○内，使每个大圆上五个○内数的和相等。
2，把1——10这十个数分别填入下图的○内，使每个四边形顶点的○内四个数的和都相等，且和最大。
数阵图(一)一、考点、热点回顾1、在神奇的数学王国中，有一类非常有趣的数学问题，它变化多端，引人入胜，奇妙无穷。
它就是数阵，一座真正的数字迷宫，它对喜欢探究数字规律的人有着极大的吸引力，以至有些人留连其中，用毕生的精力来研究它的变化，就连大数学家欧拉对它都有着浓厚的兴趣。
2、那么，到底什么是数阵呢？我们先观察下面两个图：左上图中有3个大圆，每个圆周上都有四个数字，有意思的是，每个圆周上的四个数字之和都等于13。
右上图就更有意思了，1～9九个数字被排成三行三列，每行的三个数字之和与每列的三个数字之和，以及每条对角线上的三个数字之和都等于15，不信你就算算。
上面两个图就是数阵图。
准确地说，数阵图是将一些数按照一定要求排列而成的某种图形，有时简称数阵。
要排出这样巧妙的数阵图，可不是一件容易的事情。
我们还是先从几个简单的例子开始。
二、典型例题例1、把1～5这五个数分别填在左下图中的方格中，使得横行三数之和与竖列三数之和都等于9。
同学们可能会觉得这道题太容易了，七拼八凑就写出了右上图的答案，可是却搞不清其中的道理。
下面我们就一起来分析其中的道理，只有弄懂其中的道理，才可能解出复杂巧妙的数阵问题。
分析与解：中间方格中的数很特殊，横行的三个数有它，竖列的三个数也有它，我们把它叫做“重叠数”。
也就是说，横行的三个数之和加上竖列的三个数之和，只有重叠数被加了两次，即重叠了一次，其余各数均被加了一次。
因为横行的三个数之和与竖列的三个数之和都等于9，所以(1+2+3+4+5)+重叠数=9+9，重叠数=(9+9)-(1+2+3+4+5)=3。
重叠数求出来了，其余各数就好填了(见右上图)。
例2 、把1～5这五个数填入下页左上图中的○里(已填入5)，使两条直线上的三个数之和相等。
分析与解：与例1不同之处是已知“重叠数”为5，而不知道两条直线上的三个数之和都等于什么数。
所以，必须先求出这个“和”。
根据例1的分析知，两条直线上的三个数相加，只有重叠数被加了两遍，其余各数均被加了一遍，所以两条直线上的三个数之和都等于[(1+2+3+4+5)+5]÷2=10。
1.五年级奥数数阵图（三）学生版2. 学会一些解决数阵图的解题方法3. 能够解决和数论相关的数阵图问题.一、数阵图定义及分类：1. 定义：把一些数字按照一定的要求,排成各种各样的图形,这类问题叫数阵图.2. 数阵是一种由幻方演变而来的数字图.数阵图的种类繁多,这里只向大家介绍三种数阵图：即封闭型数阵图、辐射型数阵图和复合型数阵图. 3.二、解题方法：解决数阵类问题可以采取从局部到整体再到局部的方法入手： 第一步：区分数阵图中的普通点[或方格]和关键点[或方格]； 第二步：在数阵图的少数关键点[一般是交叉点]上设置未知数,计算这些关键点与相关点的数量关系,得到关键点上所填数的范围；第三步：运用已经得到的信息进行尝试．这个步骤并不是对所有数阵题都适用,很多数阵题更需要对数学方法的综合运用．数阵图与数论【例 1】 把0—9这十个数字填到右图的圆圈内,使得五条线上的数字和构成一个等差数列,而且这个等差数列的各项之和为55,那么这个等差数列的公差有 种可能的取值．【例 2】 将1~9填入下图的○中,使得任意两个相邻的数之和都不是3,5,7的倍数．例题精讲知识点拨教学目标5-1-3-3.数阵图【例 3】在下面8个圆圈中分别填数字l,2,3,4,5,6,7,8[1已填出]．从1开始顺时针走1步进入下一个圆圈,这个圆圈中若填n[n≤8]。
则从这个圆圈开始顺时针走n步进入另一个圆圈．依此下去,走7次恰好不重复地进入每个圆圈,最后进入的一个圆圈中写8．请给出两种填法．【例 4】在圆的5条直径的两端分别写着1～10（如图）。
现在请你调整一部分数的位置,但保留1、10、5、6不动,使任何两个相邻的数之和都等于直径另一端的相邻两数之和（画在另一个圆上）。
【例 5】图中是一个边长为1的正六边形,它被分成六个小三角形．将4、6、8、10、12、14、16各一个填入7个圆圈之中．相邻的两个小正三角形可以组成6个菱形,把每个菱形的四个顶点上的数相加,填在菱形的中心A、B、C、D、E、F位置上（例如：a b g f A+++=）．已知A、B、C、D、E、F依次分别能被2、3、4、5、6、7整除,那么a g d⨯⨯=___________．【例 6】在如图所示的圆圈中各填入一个自然数,使每条线段两端的两个数的差都不能被3整除。
一个大家都很熟悉而又古老的问题：怎样将1、2、3、4、5、6、7、8、9填入3X3的方格正方形（称九宫）的九个小方格中，使得每行、每列、两条对角线上的三个数和相等.这个我们古人已能解决的问题一直流传至今，成为开启儿童智慧的“经典”，绝非偶然.因为在这个问题本身很简洁、有趣的解决过程中，既需要我们具体通过严格的逻辑推理来获得某些必然的结果的能力，而且也需要对某些不确定的因素进行灵活的选择，并加以排除、确认的能力.这种严密性与灵活性的思考，正是思维能力“魅力”之所在.【例1】 如图14-1，内分别填入1，2，...，7这七个数，如果6个三角形的顶点处内的数之和是64，那么，中间内填入的数是_____.【例2】 请在如图14-2所示的8x8表格的每个格子中填入1或2或3，使得每行、每列所填数的和各不相同.随堂练习1请在如图14-4所示的4x4的正方形每个格子中填入1、2、3，使得每个2x2的正方形所填的4个数的和各不相同.O O O【例3】 请将1个1、2个2、3个3......8个8、9个9填入如图14-5所示的表格中，使得相同的数所在的方格都连在一起（相连的两个方格必须有公共边）.现在已经给出了其中8个方格的数，并且知道A 、B 、C 、E 、F 、G 各不相同，那么五位数CDEFG 是_____.【例4】 如图14-7的第一行的五个内填上五个不同的自然数，然后从第二行开始每个内的数都是上一行与它相邻的两个数之和，一直计算到最后一个数恰好是50，且满足14个内的数也各不相同.随堂练习2仿例4，填下面数阵图，解与例4不同.O O O【例5】 将1~10这10个数填入如图14-12的10个内，要求任意两个相邻的数之差不少于3.随堂练习3从1~9这9个数字中挑出6个不同的数字填入图14-17的六个内，使任意相邻的两个内的数字之和都是质数，那么，最多能找出____种不同的填法.（6个数字相同，排列次序不同的都算作同一种填法）【例6】 如图14-18中有十三个空白圆圈，要求吧1~13这十三个数填入各空白圆圈内（其中3、4已经填好），使得上面两个圆圈内数之和，等于和它相连的下面圆圈内的数，并且最下面四个圆圈中的数之和等于O O O随堂练习4请把1~11这十一个数分别填入如图14-21所示的“王”字中，使三行、一列所填的数之和都等于18.课后作业1.如图，3x3的正方形每一个方格内的字母都代表某一个数，已知其每行、每列以及两条对角线上的三个数之和都相等.若a=4，d=19，l=22.那么b=___，h=____.2.如图，3x3的正方形每一个方格内的字母都代表某一个数.已知其每行、每列及两条对角线上三个数和都相等.若f=19，g=96，那么b=____.3.如图，在每个方格中填入9个不同的自然数，使得每一行、每一列及两条对角线上的三个数的乘积都相等.4.如图，将1、2、3、4、5、6、7、8这八个数分别填入图中的8个圆圈中（每个数只用一次）.如果两个大圆上的5个小圆圈内的数字和都是22.那么，A、B两个圆内不能填的数是____.（1）1和7；（2）4和3；（3）3和5；（4）2和6.5.10个连续自然数，9是其中第三大的数.把这10个数分别填到如图所示的十个方格中，每格填一个数.要使图中三个2x2的正方形中四数之和相等.那么，这个和的最小值是___.6.将1~9这九个数分别填入如图所示的9个中，使得每条线段两端上的两个数字和各不相同，即可得到12个不同的和.7.如图，在5x5方格的空白处填入适当的自然数，使得每行、每列、两条对角线上的三个数的和都是30.要求：填入的数只有两种不同的大小，且一种是另一种的2倍.8.在如图所示的每个圆圈中填上一个数，互不相等.每个圆圈有3个相邻（即有线段连结）的圆圈，将图（1）的每个圆圈中的数改为3个相邻圆圈所填数的平均值，得到图（2）.图（1）中已有一个数1，请填出图（1）中的其他数，使得图（2）中的数都是自然数.9.如图所示的10条线分别连结着九个圆圈，其中一个圆里的数是6.请你选九个连续自然数（其中6已选好）填入圆圈内，使每条线上各数之和等于23.10.将1，2，...，13这十三个数分别填入如图所示的三个圆圈.现已知1、4、7这三个数已填入第一个圆圈；3已填入第三个圆圈.请把余下的数也填入圆圈，使得同一个圆圈中每两个数相减所得差不在这个圆圈内.11.如图所示，将1、2、3、4、5、6、7这七个数分别填入图中的椭圆内，使得每条直线上的数之和为11.那么右下角“NT”处填的数是____.12.请在如图所示的立方体的8个顶点上标出1~9中的八个数，使得每个面上4个顶点所标的四个数之和都等于数k，并且k不能被未标出的数整除.k=____.。
数阵图(二)
例1将1～8这八个数分别填入右图的○中，使两个大圆上的五个数之和都等于21。
例2将1～6这六个自然数分别填入右图的六个○内，使得三角形每条边上的三个数之和都等于11。
例3将2～9这八个数分别填入右图的○里，使每条边上的三个数之和都等于18。
例4把1～7分别填入左下图中的七个空块里，使每个圆圈里的四个数之和都等于13。
1.把1～8填入下页左上图的八个○里，使每个圆圈上的五个数之和都等于20。
2.把1～6这六个数填入右上图的○里，使每个圆圈上的四个数之和都相等。
3.将1～8填入左下图的八个○中，使得每条边上的三个数之和都等于15。
4.将1～8填入右上图的八个○中，使得每条直线上的四个数之和与每个圆周上的四个数之和都相等。
5.将1～7填入右图的七个○，使得每条直线上的各数之和都相等。
6.把1，3，5，7，9，11，13分别填入左图中的七个空块中，使得每个圆内的四个数之和都等于34。
五年级奥数训练——数阵姓名：例题1把5、6、7、8、9五个数分别填入下图的五个方格里，如图a使横行三个数的和与竖行三个数的和都是21。
练习一把1——10各数填入“六一”的10个空格里，使在同一直线上的各数的和都是12。
例题2将1——10这十个数填入下图小圆中，使每个大圆上六个数的和是30。
练习二把1——8八个数分别填入下图的○内，使每个大圆上五个○内数的和是20。
例题3将1——6这六个数分别填入下图的圆中，使每条直线上三个圆内数的和相等、且最大。
练习三将1——6六个数分别填入下图的○内，使每边上的三个○内数的和相等。
例题4将1——7分别填入下图的7个○内，使每条线段上三个○内数的和相等。
练习四将1——9填入下图的○中，使横、竖行五个数相加的和都等于25。
例题5如下图(a)四个小三角形的顶点处有六个圆圈。
如果在这些圆圈中分别填上六个质数，它们的和是20，而且每个小三角形三个顶点上的数的和相等。
问这六个质数的积是多少？课堂练习1、将1——7七个自然数分别填入图中的圆圈里，使每条线上三个数的和相等。
2、将1——8八个数填入下图方格里，使上面四格、下面四格、左四格、右四格、中间四格以及对角线四格内四个数的和都是18。
3、将1——8八个数分别填入下图的○内，使每条线上三个数的和相等。
4、将1——8这八个数分别填入下图○内，使外圆四个数的和，内圆四个数的和以及横行、竖行上四个数的和都等于18。
5、将1——9九个数分别填入下图○内，使外三角形边上○内数之和等于里面三角形边上○内数之和。
课外练习1、把1——9各数填入“七一”的9个空格里，使在同一直线上的各数的和都是13。
2、把1——10这十个数分别填入下图的○内，使每个四边形顶点的○内四个数的和都相等，且和最大。
3、将1——9九个数分别填入下图○内，使每边上四个○内数的和都是17。
4、将1——11这十一个数分别填进下图的○里，使每条线上3个○内的数的和相等。
5、将1——9九个自然数分别填入下图的九个小三角形中，使靠近大三角形每条边上五个数的和相等，并且尽可能大。
