因式分解公式法2

因 式 分 解（2） 利用公式法一、利用公式分解因式：1、利用平方差公式因式分解：()()b a b a b a -+=-22 注意：①条件：两个二次幂的差的形式；②平方差公式中的a 、b 可以表示一个数、一个单项式或一个多项式；③在用公式前，应将要分解的多项式表示成22b a -的形式，并弄清a 、b 分别表示什么。

例如：分解因式：（1）291x -； （2）221694b a -； （3）22)(4)(n m n m --+2、利用完全平方公式因式分解：()2222b a b ab a ±=+± 注意：①是关于某个字母（或式子）的二次三项式；②其首尾两项是两个符号相同的平方形式；③中间项恰是这两数乘积的2倍（或乘积2倍的相反数）；④使用前应根据题目结构特点，按“先两头，后中间”的步骤，把二次三项式整理成 222)(2b a b ab a ±=+±公式原型，弄清a 、b 分别表示的量。

例如：分解因式：（1）2961x x +-； ⑵ 36)(12)(2+---n m n m 1682++x x 典型例题：1、直接用公式:当所给的多项式是平方差或完全平方式时，可以直接利用公式法分解因式。

例1、 分解因式：（1）x 2-9； （2）9x 2-6x+1。

2、提公因式后用公式:当所给的多项式中有公因式时，一般要先提公因式，然后再看是否能利用公式法。

例2、 分解因式：（1）x 5y 3-x 3y 5； （2）4x 3y+4x 2y 2+xy 3。

3、系数变换后用公式:当所给的多项式不能直接利用公式法分解因式,往往需要调整系数,转换为符合公式的形式,然后再利用公式法分解.例3、 分解因式：(1)4x 2-25y 2; (2)4x 2-12xy 2+9y 4.4、指数变换后用公式:通过指数的变换将多项式转换为平方差或完全平方式的形式,然后利公式法分解因式,应注意分解到每个因式都不能再分解为止.例4、 分解因式:(1)x 4-81y 4; (2)16x 4-72x 2y 2+81y 4.5、重新排列后用公式:当所给的多项式不能直接看出是否可用公式法分解时，可以将所给多项式交换位置，重新排列，然后再利用公式。

公式法2
【课题】：公式法2
【教学目标】：
（一）教学知识点
用完全平方公式分解因式
（二）能力训练要求
1．理解完全平方公式的特点．
2．能较熟悉地运用完全平方公式分解因式．
3．会用提公因式、完全平方公式分解因式，•并能说出提公因式在这类因式分解中的作用．4．能灵活应用提公因式法、公式法分解因式．
（三）情感与价值观要求
通过综合运用提公因式法，完全平方公式分解因式，进一步培养学生的观察和联想能力．通过知识结构图培养学生归纳总结的能力．
【教学重点】：用完全平方公式分解因式．
【教学难点】：根据多项式的特点选用适当的方法进行因式分解。

【教学突破点】：观察理解分解因式与整式乘法的关系，让学生了解事物间的因果联系．
【教法、学法设计】：探究式分层次教学，讲授、练习相结合。

【课前准备】：课件。

因式分解公式法1一．选择题（共19小题）1．在下列各多项式中，不能用平方差公式因式分解的是（）A．a2﹣16b2B．﹣1+4m2C．﹣36x2+y2D．﹣m2﹣12．如图，有一张边长为b的正方形纸板，在它的四角各剪去边长为a的正方形．然后将四周突出的部分折起，制成一个无盖的长方体纸盒．用M表示其底面积与侧面积的差，则M可因式分解为（）A．（b﹣6a）（b﹣2a）B．（b﹣3a）（b﹣2a）C．（b﹣5a）（b﹣a）D．（b﹣2a）23．已知a﹣b＝2，则a2﹣b2﹣4b的值为（）A．2B．4C．6D．84．关于x的二次三项式x2+ax+36能直接用完全平方公式分解因式，则a的值是（）A．﹣6B．±6C．12D．±125．若x2﹣（a+1）x+36＝（x+6）2，则a值为（）A．﹣13B．﹣11或13C．11或﹣13D．116．已知多项式a2+b2+M可以运用平方差公式分解因式，则单项式M可以是（）A．2ab B．﹣2ab C．3b2D．﹣5b27．下列各式：①﹣x2﹣y2：②a2b2+1；③a2+ab+b2；④﹣x2+2xy﹣y2；⑤mn+m²n²，可以用公式法分解因式的有（）A．1个B．2个C．3个D．4个8．若多项式x2﹣3（m﹣2）x+36能用完全平方公式分解因式，则m的值为（）A．6或﹣2B．﹣2C．6D．﹣6或29．已知x2﹣16＝（x﹣a）（x+a），那么a等于（）A．4B．2C．16D．±410．运用公式a2+2ab+b2＝（a+b）2直接对整式9x2+6x+1进行因式分解，公式中的a可以是（）A．3x B．3x2C．6x D．9x211．多项式x2﹣4x+4因式分解的结果是（）A．x（x﹣4）+4B．（x+2）（x﹣2）C．（x+2）2D．（x﹣2）2 12．下列多项式中能用平方差公式分解因式的是（）A．﹣a2﹣b2B．x2+（﹣y）2C．（﹣x）2+（﹣y）2D．﹣m2+113．224﹣1可以被60和70之间某两个数整除，这两个数是（）A．64，63B．61，65C．61，67D．63，6514．若4x2﹣（k+1）x+9能用完全平方公式因式分解，则k的值为（）A．±6B．±12C．﹣13或11D．13或﹣11 15．下列多项式能直接用完全平方公式进行因式分解的是（）A．4x2﹣4x+1B．x2+2x﹣1C．x2+xy+2y2D．9+x2﹣4x 16．对于任意整数m，多项式（4m+5）2﹣49都能（）A．被8整除B．被m整除C．被（m﹣3）整除D．被（2m+1）整除17．下列四个多项式中，能用提公因式法进行因式分解的是（）①16x2﹣8x；②x2+6x+9；③4x2﹣1；④3a﹣9ab．A．①和②B．③和④C．①和④D．②和③18．下列各式不能用平方差公式法分解因式的是（）A．a2﹣4B．﹣x2+y2C．x2y2﹣1D．﹣m2﹣n2 19．下列因式分解正确的是（）A．a2+b2＝（a+b）2B．a2+2ab+b2＝（a﹣b）2C．2a2﹣a＝2a（a﹣1）D．a2﹣b2＝（a﹣b）（a+b）二．填空题（共41小题）20．分解因式：16x2+24x+9＝．21．计算：7.792﹣2.212＝．22．分解因式：25﹣x2＝．23．分解因式＝．24．直接写出因式分解的结果：x2﹣y2＝．25．把多项式a2﹣9b2分解因式结果是．26．分解因式：2m2﹣2n2＝．27．分解因式（a﹣b）（a+4b）﹣3ab的结果是．28．因式分解：25﹣x2＝．29．计算：5.352﹣4.652＝．30．因式分解：4m2﹣25＝．31．因式分解：a2﹣25＝．32．计算：20222﹣20212＝．33．已知x+y＝4，x﹣y＝6，则x2﹣y2＝．34．分解因式：1+x2﹣2x＝．35．因式分解：x2﹣6xy+9y2＝．36．因式分解：b2﹣4b+4＝．37．因式分解：x2﹣16＝．38．分解因式：（x﹣3）2﹣2x+6＝．39．把多项式x2﹣4xy+4y2分解因式的结果是．40．分解因式：﹣9a2+b2＝．41．因式分解：a2﹣16b2＝．42．分解因式：﹣（a+2）2+16（a﹣1）2＝．43．写一个三次三项式并运用公式将其因式分解．44．分解因式：4﹣x4＝．45．因式分解：a2﹣4＝．46．因式分解：m2﹣25＝．47．分解因式：x2﹣2x+1＝．48．分解因式：x2﹣6x+9＝．49．分解因式：1﹣16n2＝．50．在完成因式分解的练习时，小明不小心将一道题4x3弄上了污渍，他只记得将这个多项式因式分解时应先提公因式，再用平方差公式分解，请你帮小明想一想，老师布置的原题可能是，因式分解的结果是．（填一个合适的即可）因式分解公式法1参考答案与试题解析一．选择题（共19小题）1．在下列各多项式中，不能用平方差公式因式分解的是（）A．a2﹣16b2B．﹣1+4m2C．﹣36x2+y2D．﹣m2﹣1【解答】解：A．原式＝（a﹣4b）（a+4b），不符合题意；B．原式＝（2m+1）（2m﹣1），不符合题意；C．原式＝（6x+y）（y﹣6x），不符合题意；D．原式不能利用平方差公式进行因式分解，符合题意；故选：D．2．如图，有一张边长为b的正方形纸板，在它的四角各剪去边长为a的正方形．然后将四周突出的部分折起，制成一个无盖的长方体纸盒．用M表示其底面积与侧面积的差，则M可因式分解为（）A．（b﹣6a）（b﹣2a）B．（b﹣3a）（b﹣2a）C．（b﹣5a）（b﹣a）D．（b﹣2a）2【解答】解：底面积为（b﹣2a）2，侧面积为a•（b﹣2a）•4＝4a•（b﹣2a），∴M＝（b﹣2a）2﹣4a•（b﹣2a），提取公式（b﹣2a），M＝（b﹣2a）•（b﹣2a﹣4a），＝（b﹣2a）•（b﹣6a），故选：A．3．已知a﹣b＝2，则a2﹣b2﹣4b的值为（）A．2B．4C．6D．8【解答】解：∵a﹣b＝2，∴原式＝（a+b）（a﹣b）﹣4b＝2（a+b）﹣4b＝2a+2b﹣4b＝2（a﹣b）＝4，故选：B．4．关于x的二次三项式x2+ax+36能直接用完全平方公式分解因式，则a的值是（）A．﹣6B．±6C．12D．±12【解答】解：∵关于x的二次三项式x2+ax+36能直接用完全平方公式分解因式，∴a＝±12．故选：D．5．若x2﹣（a+1）x+36＝（x+6）2，则a值为（）A．﹣13B．﹣11或13C．11或﹣13D．11【解答】解：已知等式整理得：x2﹣（a+1）x+36＝（x+6）2＝x2+12x+36，可得﹣（a+1）＝12，解得：a＝﹣13，故选：A．6．已知多项式a2+b2+M可以运用平方差公式分解因式，则单项式M可以是（）A．2ab B．﹣2ab C．3b2D．﹣5b2【解答】解：多项式a2+b2+M可以运用平方差公式分解因式，则单项式M可以是﹣5b2．故选：D．7．下列各式：①﹣x2﹣y2：②a2b2+1；③a2+ab+b2；④﹣x2+2xy﹣y2；⑤mn+m²n²，可以用公式法分解因式的有（）A．1个B．2个C．3个D．4个【解答】解：①﹣x2﹣y2，不能分解，不符合题意；②﹣a2b2+1＝（1+ab）（1﹣ab），符合题意；③a2+ab+b2，不能分解，不符合题意；④﹣x2+2xy﹣y2＝﹣（x﹣y）2，符合题意；⑤﹣mn+m2n2＝（mn﹣）2，符合题意．故选：C．8．若多项式x2﹣3（m﹣2）x+36能用完全平方公式分解因式，则m的值为（）A．6或﹣2B．﹣2C．6D．﹣6或2【解答】解：∵多项式x2﹣3（m﹣2）+36能用完全平方公式分解因式，∴﹣3（m﹣2）＝±12．∴m＝6或﹣2，故选：A．9．已知x2﹣16＝（x﹣a）（x+a），那么a等于（）A．4B．2C．16D．±4【解答】解：已知等式变形得：（x+4）（x﹣4）＝（x﹣a）（x+a），则a＝±4．故选：D．10．运用公式a2+2ab+b2＝（a+b）2直接对整式9x2+6x+1进行因式分解，公式中的a可以是（）A．3x B．3x2C．6x D．9x2【解答】解：∵9x2+6x+1＝（3x）2+2×3x+1＝（3x+1）2，∴对上式进行因式分解，公式中的a可以是：3x．故选：A．11．多项式x2﹣4x+4因式分解的结果是（）A．x（x﹣4）+4B．（x+2）（x﹣2）C．（x+2）2D．（x﹣2）2【解答】解：原式＝（x﹣2）2．故选：D．12．下列多项式中能用平方差公式分解因式的是（）A．﹣a2﹣b2B．x2+（﹣y）2C．（﹣x）2+（﹣y）2D．﹣m2+1【解答】解：A．根据平方差公式的结构特征，﹣a2﹣b2不能用平方差公式进行因式分解，那么A不符合题意．B．根据平方差公式的结构特征，x2+（﹣y）2＝x2+y2不能用平方差公式进行因式分解，那么B不符合题意．C．根据平方差公式的结构特征，（﹣x）2+（﹣y）2＝x2+y2不能用平方差公式进行因式分解，那么C不符合题意．D．根据平方差公式的结构特征，﹣m2+1＝﹣（m2﹣1）＝﹣（m+1）（m﹣1），﹣m2+1能用平方差公式进行因式分解，那么D符合题意．故选：D．13．224﹣1可以被60和70之间某两个数整除，这两个数是（）A．64，63B．61，65C．61，67D．63，65【解答】解：224﹣1＝（212﹣1）（212+1）＝（26﹣1）（26+1）（212+1）＝63×65×（212+1），则这两个数为63与65．故选：D．14．若4x2﹣（k+1）x+9能用完全平方公式因式分解，则k的值为（）A．±6B．±12C．﹣13或11D．13或﹣11【解答】解：∵4x2﹣（k+1）x+9能用完全平方公式因式分解，∴k+1＝±12，解得：k＝﹣13或11，故选：C．15．下列多项式能直接用完全平方公式进行因式分解的是（）A．4x2﹣4x+1B．x2+2x﹣1C．x2+xy+2y2D．9+x2﹣4x【解答】解：A、4x2﹣4x+1＝（2x﹣1）2，故A符合题意；B、x2+2x+1＝（x+1）2，故B不符合题意；C、x2+xy+y2＝（x+y）2，故C不符合题意；D、9+x2﹣6x＝（x﹣3）2，故D不符合题意；故选：A．16．对于任意整数m，多项式（4m+5）2﹣49都能（）A．被8整除B．被m整除C．被（m﹣3）整除D．被（2m+1）整除【解答】解：∵（4m+5）2﹣49＝（4m+5﹣7）（4m+5+7）＝（4m﹣2）（4m+12）＝8（2m﹣1）（m+3），∴对于任意整数m，多项式（4m+5）2﹣49都能被8整除，故选：A．17．下列四个多项式中，能用提公因式法进行因式分解的是（）①16x2﹣8x；②x2+6x+9；③4x2﹣1；④3a﹣9ab．A．①和②B．③和④C．①和④D．②和③【解答】解：①16x2﹣8x＝8x（2x﹣1），②x2+6x+9＝（x﹣3）2，③4x2﹣1＝（2x+1）（2x﹣1），④3a﹣9ab＝3a（1﹣3b），所以，上列四个多项式中，能用提公因式法进行因式分解的是：①和④，故选：C．18．下列各式不能用平方差公式法分解因式的是（）A．a2﹣4B．﹣x2+y2C．x2y2﹣1D．﹣m2﹣n2【解答】解：A、a2﹣4，两平方项符号相反，故A选项不符合题意；B、﹣x2+y2，两平方项符号相反，故B选项不符合题意；C、x2y2﹣1，两平方项符号相反，故C选项不符合题意；D、﹣m2﹣n2，两平方项符号相同，故D选项符合题意．故选：D．19．下列因式分解正确的是（）A．a2+b2＝（a+b）2B．a2+2ab+b2＝（a﹣b）2C．2a2﹣a＝2a（a﹣1）D．a2﹣b2＝（a﹣b）（a+b）【解答】解：A．a2+b2不能分解因式，所以A选项不符合题意；B．原式＝（a+b）2，所以B选项不符合题意；C．原式＝a（2a﹣1），所以C选项不符合题意；D．原式＝（a+b）（a﹣b），所以D选项符合题意．故选：D．二．填空题（共41小题）20．分解因式：16x2+24x+9＝（4x+3）2．【解答】解：16x2+24x+9＝（4x+3）2．故答案为：（4x+3）2．21．计算：7.792﹣2.212＝55.8．【解答】解：原式＝（7.79+2.21）×（7.79﹣2.21）＝10×5.58＝55.8．故答案为：55.8．22．分解因式：25﹣x2＝（5+x）（5﹣x）．【解答】解：原式＝52﹣x2＝（5+x）（5﹣x）．故答案为：（5+x）（5﹣x）．23．分解因式＝．【解答】解：＝；故答案为：．24．直接写出因式分解的结果：x2﹣y2＝（x+y）（x﹣y）．【解答】解：x2﹣y2＝（x+y）（x﹣y），故答案为：（x+y）（x﹣y）．25．把多项式a2﹣9b2分解因式结果是（a+3b）（a﹣3b）．【解答】解：原式＝（a+3b）（a﹣3b）．故答案为：（a+3b）（a﹣3b）．26．分解因式：2m2﹣2n2＝2（m+n）（m﹣n）．【解答】解：原式＝2（m2﹣n2）＝2（m+n）（m﹣n）．故答案为：2（m+n）（m﹣n）．27．分解因式（a﹣b）（a+4b）﹣3ab的结果是（a﹣2b）（a+2b）．【解答】解：原式＝a2+4ab﹣ab﹣4b2﹣3ab＝a2﹣4b2＝（a+2b）（a﹣2b）．故答案为：（a+2b）（a﹣2b）．28．因式分解：25﹣x2＝（5+x）（5﹣x）．【解答】解：25﹣x2＝52﹣x2＝（5+x）（5﹣x）．故答案为：（5+x）（5﹣x）．29．计算：5.352﹣4.652＝7．【解答】解：5.352﹣4.652＝（5.35+4.65）×（5.35﹣4.65）＝10×0.7＝7．故答案为：7．30．因式分解：4m2﹣25＝（2m+5）（2m﹣5）．【解答】解：原式＝（2m+5）（2m﹣5），故答案为：（2m+5）（2m﹣5）．31．因式分解：a2﹣25＝（a﹣5）（a+5）．【解答】解：原式＝a2﹣52＝（a+5）（a﹣5）．故答案为：（a+5）（a﹣5）．32．计算：20222﹣20212＝4043．【解答】解：原式＝（2022+2021）×（2022﹣2021）＝4043×1＝4043．33．已知x+y＝4，x﹣y＝6，则x2﹣y2＝24．【解答】解：∵x+y＝4，x﹣y＝6，∴x2﹣y2＝（x+y）（x﹣y）＝4×6＝24．故答案为：24．34．分解因式：1+x2﹣2x＝（x﹣1）2．【解答】解：原式＝（x﹣1）2．故答案为：（x﹣1）2．35．因式分解：x2﹣6xy+9y2＝（x﹣3y）2．【解答】解：原式＝x2﹣2•x•3y+（3y）2＝（x﹣3y）2，故答案为：（x﹣3y）236．因式分解：b2﹣4b+4＝（b﹣2）2．【解答】解：b2﹣4b+4＝（b﹣2）2．故答案为：（b﹣2）2．37．因式分解：x2﹣16＝（x+4）（x﹣4）．【解答】解：x2﹣16＝（x+4）（x﹣4）．故答案为：（x+4）（x﹣4）．38．分解因式：（x﹣3）2﹣2x+6＝（x﹣3）（x﹣5）．【解答】解：（x﹣3）2﹣2x+6＝（x﹣3）2﹣2（x﹣3）＝（x﹣3）（x﹣3﹣2）＝（x﹣3）（x﹣5）．故答案为：（x﹣3）（x﹣5）．39．把多项式x2﹣4xy+4y2分解因式的结果是（x﹣2y）2．【解答】解：x2﹣4xy+4y2＝（x﹣2y）2；故答案为：（x﹣2y）2．40．分解因式：﹣9a2+b2＝（b+3a）（b﹣3a）．【解答】解：﹣9a2+b2＝b2﹣9a2＝（b+3a）（b﹣3a）．故答案为：（b+3a）（b﹣3a）．41．因式分解：a2﹣16b2＝（a+4b）（a﹣4b）．【解答】解：原式＝（a+4b）（a﹣4b）．故答案为：（a+4b）（a﹣4b）．42．分解因式：﹣（a+2）2+16（a﹣1）2＝3（5a﹣2）（a﹣2）．【解答】解：﹣（a+2）2+16（a﹣1）2＝[4（a﹣1）]2﹣（a+2）2＝（4a﹣4+a+2）（4a﹣4﹣a﹣2）＝（5a﹣2）（3a﹣6）＝3（5a﹣2）（a﹣2）故答案为：3（5a﹣2）（a﹣2）．43．写一个三次三项式并运用公式将其因式分解3x3﹣18x2+27x（答案不唯一）．【解答】解：3x3﹣18x2+27x＝3x（x2﹣6x+9）＝3x（x﹣3）2；故答案为：3x3﹣18x2+27x（答案不唯一）．44．分解因式：4﹣x4＝（2+x2）（+x）（﹣x）．【解答】解：原式＝（2+x2）（2﹣x2）＝（2+x2）（+x）（﹣x）．故答案为：（2+x2）（+x）（﹣x）．45．因式分解：a2﹣4＝（a+2）（a﹣2）．【解答】解：a2﹣4＝（a+2）（a﹣2）．故答案为：（a+2）（a﹣2）．46．因式分解：m2﹣25＝（m+5）（m﹣5）．【解答】解：原式＝（m+5）（m﹣5），故答案为：（m+5）（m﹣5）47．分解因式：x2﹣2x+1＝（x﹣1）2．【解答】解：x2﹣2x+1＝（x﹣1）2．48．分解因式：x2﹣6x+9＝（x﹣3）2．【解答】解：原式＝（x﹣3）2．故答案为：（x﹣3）249．分解因式：1﹣16n2＝（1﹣4n）（1+4n）．【解答】解：1﹣16n2＝（1﹣4n）（1+4n）．故答案为：（1﹣4n）（1+4n）．50．在完成因式分解的练习时，小明不小心将一道题4x3弄上了污渍，他只记得将这个多项式因式分解时应先提公因式，再用平方差公式分解，请你帮小明想一想，老师布置的原题可能是4x3﹣9x（答案不唯一），因式分解的结果是x（2x+3）（2x﹣3）．（填一个合适的即可）【解答】解：老师布置的题目可能是4x3﹣9x（答案不唯一），其因式分解的结果为：4x3﹣9x＝x（4x2﹣9）＝x（2x+3）（2x﹣3），故答案为：4x3﹣9x（答案不唯一），x（2x+3）（2x﹣3）．。

因式分解（二）一、因式分解的意义：因式分解是把一个多项式化成几个整式的乘积形式对因式分解理解应注意：(1)分解因式与因式分解是同义词；（2）结果应是整式乘积，而不能是分式或者是n 个整式的积与某项的和差形式；（3）多项式变形注意符号；（4）分解结果到每个因式不能再分解为止.因式分解的方法：（1）提公因式法;（2）公式法；（3）十字相乘法；（4）分组分解法；（5）添、拆项法. 十字相乘法对于二次项系数为l 的二次三项式,2q px x ++ 寻找满足ab=q ，a+b=p 的a ，b ，如有，则);)((2b x a x q px x ++=++对于一般的二次三项式),0(2≠++a c bx ax 寻找满足 2,1,2,112212121,,c c a a b c a c a c c c a a a 的=+==，如有，则).)((22112c x a c x a c bx ax ++=++分组分解法：把各项适当分组，先使分解因式能分组进行，再使分解因式在各组之间进行． 分组时要用到添括号：括号前面是“+”号，括到括号里的各项都不变符号；括号前面是“-”号，括到括号里的各项都改变符号.【典型例题分析】例1 分解因式：⑴ 652+-a a ； ⑵ 1032-+m m . ⑶ 22-+x x ； ⑷ 1522--x x .练习：36152+-y y 601124+--x x 22273q pq p +-()()xx x x 222322372+-++22(52)(53)12x x x x ++++-=22224954y y x y x --1522--x x ； 2265y xy x +-； x x x 4335-+； 48)4)(3)(2)(1(-----x x x x ；142222---+xy y x y x ； 26)(11)(222--+-x x x x ；例2 选择题：对n np mp m 22+++运用分组分解法分解因式，分组正确的是（ ）（A ）mp np n m +++)22(（B ）)2()2(mp n np m +++ （C ）)()22(np mp n m +++（D ）np mp n m +++)22(例3 因式分解：（1）y b x b y a x a 2222+++； （2）nx n mx mx --+2例4 分解因式：（1）22441y xy x -+-； （2）2222b ab a x -+-； ⑶ b a b a 2422---例5 分解因式：⑴ 315523+--x x x ⑵ x xy y x 21372-+-例6 把下列各式分解因式：（1）222z yz y xz xy -+--； （2）122222+----a bc c b a ；（3）1424422+--++y x y xy x .例7 分解因式：（1）6)2)(1(---x x x ； （2）)()1(222b a x x ab +++例8 分解因式：⑴ q p q pq p 36522++++； ⑵ c c bc b a b a --+++-222424.例9 分解因式：（1）4)(5)(2++++b a b a ； （2）22127q pq p +-.【题组1】1．下列因式分解中，正确的是（ ）(A) 1- 14 x 2＝ 14(x + 2) (x- 2) (B)4x -2 x 2 - 2 ＝ - 2(x- 1)2 (C) ( x- y )3 + (y- x) ＝ (x - y) (x - y + 1) ( x - y +1 )(D) x 2 + y 2 - x + y ＝ ( x + y) (x + y - 1)2．下列各等式从左到右是因式分解的个数为（ ）(1) a 2－ b 2 ＝ (a + b) (a-b ),(2) x 2+3x +2 ＝ x(x+3) + 2 ()()()()222221214,113⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-+-+=-x x x x y x y x y x (A) 1 个 (B) 2个 (C) 3 个 (D) 4个3．若x 2＋mx ＋25 是一个完全平方式，则m 的值是（ ）（1） 20 (B) 10 (C) ± 20 (D) ±104．若x 2＋mx ＋n 能分解成( x+2 ) (x + 5)，则m ＝ ,n ＝ ;5．若二次三项式2x 2+x+5m 在实数范围内能因式分解，则m ;6．若x 2+kx －6有一个因式是(x －2)，则k 的值是 ;7．把下列因式因式分解：(1)a 3－a 2－2a (2)4m 2－9n 2－4m+1 (3)3a 2+bc －3ac-ab (4)9－x 2+2xy －y 28．在实数范围内因式分解：(1)2x 2－3x －1 (2)－2x 2+5xy+2y 2【题组2】1.分解下列因式：(1)10a(x －y)2－5b(y －x) (2)an+1－4a n ＋4a n-1 (3).x 2(2x －y)－2x ＋y(4)x(6x －1)－1 (5).2ax－10ay ＋5by-bx (6)1－a 2－ab －14 b 2(7)a 4＋4 (8).(x2＋x)(x 2＋x －3)＋2 (9)x 5y －9xy 5(10)4y 2＋4y －5 (11)3X2－7X+21．多项式x 2－y 2, x 2－2xy ＋y 2的公因式是 。

因式分解（二）【内容介绍】本次资料主要包含数学科目，重点指导学生了解因式分解，掌握因式分解的解题方法；主要是通过要点梳理，帮助大家综合掌握因式分解的解题方法，再通过典型例题的分析，帮助大家了解常考题型。

建议大家深入学习掌握要点梳理，认真研读例题，并在日常学习中注重练习，实现对学习目标的综合把握。

【要点梳理】要点一、十字相乘法利用十字交叉线来分解系数，把二次三项式分解因式的方法叫做十字相乘法.对于二次三项式，若存在 ，则要点诠释：（1）在对分解因式时，要先从常数项的正、负入手，若，则同号(若，则异号)，然后依据一次项系数的正负再确定的符号（2）若中的为整数时，要先将分解成两个整数的积(要考虑到分解的各种可能)，然后看这两个整数之和能否等于，直到凑对为止. 要点二、首项系数不为1的十字相乘法在二次三项式(≠0)中，如果二次项系数可以分解成两个因数之积，即，常数项可以分解成两个因数之积，即，把排列如下：++x bx c 2⎩+=⎨⎧=p q bpq c ++=++x bx c x p x q 2)()(++x bx c 2c >c 0、p q <c 0、p q b 、p q ++x bx c 2、b c c b ++ax bx c 2a a =a a a 12c =c c c 12，，，a a c c 1212按斜线交叉相乘，再相加，得到，若它正好等于二次三项式的一次项系数，即，那么二次三项式就可以分解为两个因式与之积，即.要点诠释：（1）分解思路为“看两端，凑中间”（2）二次项系数一般都化为正数，如果是负数，则提出负号，分解括号里面的二次三项式，最后结果不要忘记把提出的负号添上.要点三、分组分解法对于一个多项式的整体，若不能直接运用提公因式法和公式法进行因式分解时，可考虑分步处理的方法，即把这个多项式分成几组，先对各组分别分解因式，然后再对整体作因式分解——分组分解法.即先对题目进行分组，然后再分解因式.要点诠释：分组分解法分解因式常用的思路有：要点四：添、拆项法把多项式的某一项拆开或填补上互为相反数的两项（或几项），使原式适合于提公因式法、+a c a c 1221++ax bx c 2b +=a c a c b 1221+a x c 11+a x c 22++=++ax bx c a x c a x c 11222)()(a公式法或分组分解法进行分解要注意，必须在与原多项式相等的原则下进行变形.添、拆项法分解因式需要一定的技巧性，在仔细观察题目后可先尝试进行添、拆项，在反复尝试中熟练掌握技巧和方法. 【典型例题】 类型一、十字相乘法1、将下列各式分解因式： （1）； （2）； （3）【答案与解析】解：（1）因为所以：原式＝ （2）因为所以：原式＝（3）【总结升华】常数项为正，分解的两个数同号；常数项为负，分解的两个数异号. 二次项系数一般都化为正数，如果是负数，则提出负号，分解括号里面的二次三项式，最后结果不要忘记把提出的负号添上.2、将下列各式分解因式： （1）； （2） −+x x 10162−−x x 1032−=−x x x 78+−x x 78)()(−−=−x x x 2810−−x x 28)()(−−=−+−=−+−x x x x x x 1033105222)()()(+−x x 55232++x x 66512（3）； （4）.【思路点拨】（3）题可看成常数项，.（4）题可将看成一个整体来分解因式. 【答案与解析】 解：（1）；（2）.（3）；（4）因为所以：原式【总结升华】十字相乘法的方法简单点来讲就是：十字左边相乘等于二次项系数，右边相乘等于常数项，交叉相乘再相加等于一次项系数，注意观察式子结构，能够看作整体的看作整体.3、将下列各式分解因式： （1）；（2）【答案与解析】 解：（1）因为−−x xy y 61622−y 162−=−⨯−+=−y y y y y y 1682,8262+x 2)(+−=x x 55232⎝⎭ ⎪+−⎛⎫x x 513)(⎝⎭⎝⎭⎪⎪++=++⎛⎫⎛⎫x x x x 662351112−−=−+x xy y x y x y 6168222)()(−+−+=−+x x x 25242292)()()(⎣⎦⎣⎦⎡⎤⎡⎤=+−+−x x 225522)()(=−+x x 2158)()(+=y y y 91019所以：原式＝ （2）因为所以：原式＝【总结升华】十字相乘法的方法简单点来讲就是：十字左边相乘等于二次项系数，右边相乘等于常数项，交叉相乘再相加等于一次项系数. 类型二、分组分解法4、先阅读下列材料，然后回答后面问题：将一个多项式分组后，可提公因式或运用公式继续分解的方法是分组分解法．能分组分解的多项式通常有四项或六项，一般的分组分解有四种形式，即“2+2”分法、“3+1”分法、“3+2”分法及“3+3”分法等． 如“2+2”分法：ax+ay+bx+by =（ax+ay ）+（bx+by ） =a （x+y ）+b （x+y ） =（x+y ）（a+b ） 如“3+1”分法： 2xy+y 2-1+x 2 =x 2+2xy+y 2-1 =（x+y ）2-1 =（x+y+1）（x+y-1）请你仿照以上方法，探索并解决下列问题： （1）分解因式：x 2-y 2-x-y ；++y y 2335)()(−=x x x 21183+−x x 2379)()(（2）分解因式：45am2-20ax2+20axy-5ay2；（3）分解因式：4a2+4a-4a2b-b-4ab+1．【思路点拨】（1）首先利用平方差公式因式分解因式，进而提取公因式得出即可；（2）将后三项运用完全平方公式分解因式进而利用平方差公式分解因式即可；（3）重新分组利用完全平方公式分解因式得出即可．【答案与解析】解：（1）x2-y2-x-y=（x+y）（x-y）-（x+y）=（x+y）（x-y-1）；（2）45am2-20ax2+20axy-5ay2=45am2-5a（4x2-4xy+y2）=5a[9m2-（2x-y）2]=5a（3m-2x+y）（3m+2x-y）；（3）4a2+4a-4a2b-b-4ab+1=（4a2+4a+1）-b（4a2+4a+1）=（2a+1）2（1-b）．【总结升华】此题主要考查了提取公因式法分解因式以及分组分解法分解因式，正确分组是解题关键．【考点精讲】考点1：利用因式分解进行简便计算典例：计算：①2032-203×206+1032②20192-2018×2020． 【答案】①10000；②1．【解析】解：①原式＝2032-2×203×103+1032 ＝（203-103）2 ＝1002 ＝10000；②原式＝20192-（2019-1）×（2019+1） ＝20192-（20192-1） ＝20192-20192+1 ＝1．方法或规律点拨本题主要考查了平方差公式以及完全平方公式，熟记公式是解答本题的关键．平方差公式：+−=−a b a b a b 22)()(．完全平方公式：±=±+a b a ab b 2222)(．巩固练习1．（2020·广西兴宾·初一期中）计算：−⨯−⨯−⨯⨯−⨯−56799100(1)(1)(1)...(1)(1)1111122222的结果是（ ）A ．200101B ．125101C ．100101D ．1001 【答案】B 【解析】解：原式=⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪−⨯+⨯−⨯+⨯−⨯+⨯⨯−⨯+⨯−⨯+⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫556677999910010011111111111111111111 =⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯55667799991001004657689810099101=⨯51004101 =125101． 故选：B ．2．（2020·全国初二课时练习）计算：1252-50×125+252=( ) A ．100 B ．150C ．10000D ．22500【答案】C【解析】1252-2×25×125＋252＝(125－25)2＝1002＝10000． 故选C ．3．（2020·全国初二课时练习）计算：752-252=（ ） A ．50 B ．500C ．5000D ．7100【答案】C【解析】原式=（75+25）×（75-25）=100×50=5000， 故选C ．4．（2020·河南初二期末）已知−=⨯⨯x 2010201020102009201120212019，那么x 的值为（ ）A ．2018B ．2019C ．2020D ．2021．【答案】B【解析】解：−2010201020212019=⨯⨯=⨯−⨯+⨯−⨯−20102009201120102010120101=201020101=2010201020102019201920192201922019)()()(∴⨯⨯=⨯⨯x 2010200920112010200920112019 ∴x=2019故选：B ．5．（2020·河北定兴·初一期末）利用因式分解计算−=2522481000222__________． 【答案】500【解析】解：−+−⨯===⨯252248252248252248500450010001000100010002222)()(． 故答案为：500．考点2：利用十字相乘法进行因式分解 典例：阅读与思考x 2+（p+q ）x+pq 型式子的因式分解x 2+（p+q ）x+pq 型式子是数学学习中常见的一类多项式，如何将这种类型的式子分解因式呢？我们通过学习，利用多项式的乘法法则可知：（x+p ）（x+q ）＝x 2+（p+q ）x+pq ，因式分解是整式乘法相反方向的变形，利用这种关系可得x 2+（p+q ）x+pq ＝（x+p ）（x+q ）．利用这个结果可以将某些二次项系数是1的二次三项式分解因式，例如，将x 2-x-6分解因式．这个式子的二次项系数是1，常数项-6＝2×（-3），一次项系数-1＝2+（-3），因此这是一个x 2+（p+q ）x+pq 型的式子．所以x 2-x-6＝（x+2）（x-3）．上述过程可用十字相乘的形式形象地表示：先分解二次项系数，分别写在十字交叉线的左上角和左下角；再分解常数项，分别写在十字交叉线的右上角和右下角；然后交叉相乘，求代数和，使其等于一次项系数，如图所示．这样我们也可以得到x 2-x-6＝（x+2）（x-3）．这种分解二次三项式的方法叫“十字相乘法”．请同学们认真观察，分析理解后，解答下列问题： （1）分解因式：y 2-2y-24．（2）若x 2+mx-12（m 为常数）可分解为两个一次因式的积，请直接写出整数m 的所有可能值．【答案】（1）（y+4）（y-6）；（2）-1，1，-4，4，11，-11 【解析】解：（1）y 2-2y-24＝（y+4）（y-6）；（2）若+−=−+x mx x x 12(3)(4)2，此时=m 1 若+−=+−x mx x x 12(3)(4)2，此时=−m 1 若+−=−+x mx x x 12(1)(12)2，此时=m 11若+−=+−x mx x x 12(1)(12)2，此时=−m 11 若+−=−+x mx x x 12(2)(6)2，此时=m 4 若+−=+−x mx x x 12(2)(6)2，此时=−m 4综上所述，若x 2+mx-12（m 为常数）可分解为两个一次因式的积， m 的值可能是-1，1，-4，4，11，-11． 方法或规律点拨本题主要考查了十字相乘法分解因式，读懂题意，理解题中给出的例子是解题的关键. 巩固练习1．（2020·四川成都实外开学考试）计算结果为a 2-5a-6的是（ ） A ．（a-6）（a+1） B ．（a-2）（a+3） C ．（a+6）（a-1） D ．（a+2）（a-3）【答案】A【解析】解：a 2-5a-6＝（a-6）（a+1）． 故选：A ．2．（2020·湖南鹤城·初一期末）将下列多项式因式分解，结果中不含有因式+a 1的是（ ）A ．−a 12B ．++a a 212C ．+a a 2D ．+−a a 22【答案】D【解析】解：−=+−a a a 1(1)(1)2，+++a a a 21=122)(+=+a a a a (1)2，+−=+−a a a a 2(2)(1)2，∴结果中不含有因式+a 1的是选项D ； 故选：D ．3．（2020·上海市静安区实验中学初一课时练习）已知−−=−−x x m x x n 452)()(，则m ，n 的值是（ ）A ．=m 5，=n 1B ．=−m 5，=n 1C ．=m 5，=−n 1D ．=−m 5，=−n 1【答案】C【解析】解：由x 2-4x-m=（x-5）（x-n ）， 得：-5-n=-4，（-5）（-n ）=-m 所以n=-1，m=5． 故选：C ．4．（2020·全国初二课时练习）下列各式中，计算结果是+−x x 7182的是（ ） A ．−+x x (1)(18) B ．++x x (2)(9) C ．−+x x (3)(6) D ．−+x x (2)(9)【答案】D【解析】原式=（x －2）（x ＋9）故选D.5．（2020·湖南茶陵·初一期末）分解因式x 2+3x +2的过程，可以用十字相乘的形式形象地表示：先分解二次项系数，分别写在十字交叉线的左上角和左下角；再分解常数项，分别写在十字交叉线的右上角和右下角；然后交叉相乘，求代数和，使其等于一次项系数（如右图）．这样，我们可以得到x 2+3x +2＝（x +1）（x +2）．请利用这种方法，分解因式2x 2-3x -2＝_____．【答案】（2x +1）（x -2） 【解析】解：原式＝（2x +1）（x -2）， 故答案为（2x +1）（x -2）考点3：利用分组分解法进行因式分解 典例：将下列各式因式分解： （1）++x x 142；（2）+−+−x x y y 26822．【答案】（1）++−+x x x x 1122)()(；（2）+−−+x y x y (2)(4)．【解析】解：（1）原式=++−x x x 21422=+−x x 1222)(=++−+x x x x 1122)()(；（2）原式=++−+−x x y y 216922=++−−+x x y y 216922)()( =+−−x y 1322)()(=++−+−+x y x y 1313)()( =+−−+x y x y 24)()(． 方法或规律点拨本题考查了多项式的因式分解，正确变形、熟练掌握分解因式的方法是解题的关键． 巩固练习1．已知a ＝2019x+2016，b ＝2019x+2017，c ＝2019x+2018，则多项式a 2+b 2+c 2-ab-bc-ac 的值为_____．【答案】3【解析】解：∵a=2019x+2016，b=2019x+2017，c=2019x+2018， ∴a-b=-1，a-c=-2，b-c=-1， ∴a 2+b 2+c 2-ab-bc-ac=++−−−a b c ab bc ac 2222222222=−+−+−a b a c b c 2()()()222=−+−+−2(1)(2)(1)222=3，故答案为：3．2．分解因式：++−=a ab b 2422__________. 【答案】+++−a b a b (2)(2) 【解析】解：原式=（a+b ）2-22 =（a+b+2）（a+b-2）， 故答案为：（a+b+2）（a+b-2）．3．分解因式：++−=b c bc a 2222_______．【答案】+++−b c a b c a ()()【解析】解：原式=+−=+++−b c a b c a b c a ()()()22．故答案为：+++−b c a b c a ()()4．常用的分解因式的方法有提取公因式法、公式法及十字相乘法，但有更多的多项式只用上述方法就无法分解，如−−+x y x y 42422，我们细心观察这个式子就会发现，前两项符合平方差公式，后两项可提取公因式，前后两部分分别分解因式后会产生公因式，然后提取公因式就可以完成整个式子的分解因式了。

因式分解讲义一、概念因式分解：把一个多项式化成几个整式乘积的形式,叫做把这个多项式因式分解。

二、因式分解方法1、提公因式法ma+mb+mc=m(a+b+c)公因式：一个多项式每项都含有的相同因式，叫做这个多项式各项的公因式。

公因式确定方法：（1）系数是整数时取各项最大公约数。

（2）相同字母（或多项式因式）取最低次幂。

（3）系数最大公约数与相同字母取最低次幂的积就是这个多项式各项的公因式。

2、公式法（1）平方差公式：即两个数的平方差，等于这两个数的和与这两个数的差的积。

（2）完全平方公式：即两个数的平方和加上(或减去)这两个数的积的2倍，等于这两个数的和 (或差)的平方。

口诀：首平方，尾平方，积的二倍放中央。

同号加、异号减，符号添在异号前。

公式法小结：（1）公式中的字母可代表一个数、一个单项式或一个多项式。

（2）选择公式的方法：主要看项数，若多项式是二项式可考虑平方差公式；若多项式是三项式，可考虑完全平方公式。

（3）完全平方公式要注意正负号。

【典型例题】1、下列从左到右是因式分解的是（ ）A. x(a-b)=ax-bxB. x 2-1+y 2=(x-1)(x+1)+y 2C. x 2-1=(x+1)(x-1)D. ax+bx+c=x(a+b)+c2、若2249a kab b ++可以因式分解为2(23)a b -，则k 的值为______3、已知a 为正整数，试判断2a a +是奇数还是偶数？4、已知关于x 的二次三项式2x mx n ++有一个因式(5)x +，且m+n=17，试求m ，n 的值5、将多项式3222012a b a bc -分解因式，应提取的公因式是（ ）A 、abB 、24a bC 、4abD 、24a bc6、已知(1931)(1317)(1317)(1123)x x x x -----可因式分解为()(8)ax b x c ++，其中a ，b ，c 均为整数，则a+b+c 等于（ ） A 、-12 B 、-32 C 、38 D 、727、分解因式（1）6()4()a a b b a b +-+ （2）3()6()a x y b y x --- （3）12n n n x x x ---+（4）20112010(3)(3)-+- （5）ad bd d -+； （6）4325286x y z x y -（10）（a －3）2－（2a －6） （11）－20a －15ax; （12）（m ＋n ）（p －q ）－（m ＋n ）（q ＋p ）8、先分解因式，再计算求值（1）22(21)(32)(21)(32)(12)(32)x x x x x x x -+--+--+ 其中x=1.5（2）22(2)(1)(1)(2)a a a a a -++--- 其中a=189、已知多项式42201220112012x x x +++有一个因式为21x ax ++，另一个因式为22012x bx ++，求a+b 的值10、若210ab +=，用因式分解法求253()ab a b ab b ---的值11、下列各式中，能用平方差公式分解因式的是（ ）A 、22x 4y +B 、22x 2y 1-+C 、224x y -+D 、224x y --12、分解下列因式（1）2312x - （2）2(2)(4)4x x x +++- （3）22()()x y x y +--（4）32x xy - （5）2()1a b -- （6）22229()30()25()a b a b a b ---++（7）2522-b a ； （8）229161b a +-； （9）22)()(4b a b a +--（10）22009201120101⨯- （11）22222100999897...21-+-++-13、若n 为正整数，则22(21)(21)n n +--一定能被8整除14、)10011)(9911()411)(311)(211(22222--⋅⋅⋅---15、在多项式①22x 2xy y +- ②22x 2xy y -+- ③22x xy+y + ④24x 1+4x +，（5）2161a +中，能用完全平方公式分解因式的有（ ）16、A 、①② B 、②③ C 、①④ D 、②④16、222)2(4)________(y x y x -=++ 222)(88)_______(8y x y x +=++。