五级奥数教材

第一讲 分数乘法（一）分数应用题是由求一个数的几倍是多少演变而来的应用题，它的基本类型一般有三种：1． 求一个数是另一个数的几分之几； 2． 求一个数的几分之几；3． 已知一个数的几分之几是多少，求这个数。

解答分数应用题的关健是找准单位“1”，建立已知数量与分率的对应关系，灵活地选用解题方法。

例题一：某村要挖一条长2700米的水渠，已经挖了1050米，再挖多少米正好挖完这条水渠的32？ 【思路点拨】要求还要挖的米数，用要挖的总米数减去已经挖的米数。

这条水渠的全长是单位“1”，一共要挖的米数，就是2700米的32，再减去已经挖的米数，就是还要再挖的米数。

1． 工程队要修一条8千米的路，已修了3千米，再修多少千米正好修这条路的43？2． 苏华看一本72页的书，第一天看了全书的41，再看多少页就正好看了这本书的一半？3． 果品仓库有一批桔子，4天运走了它的51，再运几天就正好运走它的43？例题二：甲乙两列火车从相距600千米的两地同时相对开出，甲车每小时行80千米，2.4小时后两车还相距全程的52，乙车每小时行多少千米? 【思路点拨】“2.4小时后两车还相距全程的52”，两车2.4小时行了全程的53：600×53＝360(千米)，再用360÷2．4＝150(千米)，两车的速度和是150千米，减去甲车每小时行的千米数就是乙车每小时行的千米数。

1．甲、乙两站相距720千米，一列火车从甲站开往乙站，已经行了全程的85，这时火车超过两站中点多少千米?2．甲、乙两车同时从相距420千米的A 、B 两地相对开出，5小时后 甲车行了全程的43，乙车行了全程的32，这时两车相距多少千米?3．服装厂加工1200套校服，4天加工了这批校服的52，离交货目期只有一周了，照这样的速度，能完成任务吗?如图7—6所示，一只老鼠沿着长方形A —B —C 的方向逃跑，同时一只猫也从A 点出发沿着A —D —C 的方向追捕老鼠，结果在BC 边上的E 点捉住老鼠。

已知老鼠的速度是猫的1411， CE 长6米，求长方形的周长和猫捉住老鼠时行的路程。

有个商人临终给三个儿子分遗产，出了一道几乎无法解决的分数乘法的难题，最后让聪明的牧马人破解了。

请阅读：借马分马很久以前，在我国大西北的延渠畔的一座古城堡里面，住着一位没落的商人，名字叫阿古尔曼斯。

一天，阿古尔曼斯把三个儿子叫到跟前，对他们说：“你们都大了，可以独立生活了。

我也老了，再也没有精力为你们多操心了。

我想把剩下来的一点财产，也就是17匹马留给你们。

不过，你们一定要按照我的意愿去分这群马。

”“知道了，父亲!”兄弟三人异口同声地说。

老人对大儿子说：“赫尔里，我想把这群马的二分之一分给你。

” “谢谢父亲的恩赐!” “好。

”老人又转向二儿子，“赫尔撒，我想把这群马的三分之一分给你，你没有意见吧?” “谢谢父亲，您的儿子没有一点意见。

”二儿子说。

老人接着对三儿子说：“赫尔哈，我想把这群马的九分之一分给你，你可不要嫌少啊。

” “父亲，赫尔哈完全尊重您的意愿!”—儿子回答道。

“好，这就好!”老人十分快慰，“现在你们自己去分吧。

”兄弟三人告辞了父亲，来到马棚，看着膘肥体壮的骏马，为难起来。

“17匹马的二分之一、三分之一和九分之一是得不出一个整数的!”赫尔哈说道。

“这样吧，”赫尔撒粗声粗气地说，“我们去找父亲，让他更改一下分法。

”“不!，，赫尔里阻止道，“父亲的脾气你不是不知道，他说过的话，是不会随便更改的!”兄弟三人经过一番讨论，最后决定去找聪明的牧马老人吉斯。

“呵呵，”吉斯老人笑着说，“按照你们父亲的要求分这些马，确实不好分。

如果再加一匹，就好办了。

”“再加一匹?”三兄弟互相望了望，感到这又是一道难题。

“不要紧，我借你们一匹马!”吉斯老人接着又说。

“那我们又怎么还你呢?”赫尔哈疑惑地说。

“去分吧，”吉斯老人挥挥手说，“分完以后，你们自然会知道怎么还我的马了。

”兄弟三人把借来的马赶进马棚里面，凑够了18匹马，然后开始分马了。

赫尔里分得了9匹马，赫尔撒分得了6匹马，赫尔哈分得了2匹马。

奇怪，当他们按照父亲的嘱咐分完马以后，马棚里面还剩下1匹马。

“哦，我明白了，”赫尔里说，“剩下的这匹马就是吉斯老人借给我们的!”于是，兄弟三人就把最后剩下的那匹马还给了吉斯老人。

1．刘芳看一本120页的书，第一天看了这本书的41，第二天看了这本书的52，两天一共看了多少页?2．一堆西瓜重l0吨，上午卖了总重量的31，下午卖了总重量的52，还剩多少吨没有卖?3．水果店上周卖出苹果800千克，本周第一天就卖出200千克，再卖出多少千克本周就比上周多卖41?’4． 电视机厂计划每天生产240台电视机，8天完成任务，实际5天完成了总任务的127，实际5天生产了多少台?5．甲、乙两地相距2400千米，一列火车每小时行全程的201，行了7小时后，离中点还有多少千米?第二讲火车行程问题我们在研究一般的行程问题时，是不考虑汽车等物体的本身长度的，因为这类物体的长度很小，可以忽略不计。

可是如果要研究火车行程问题，因车身有一定的长度，一般有一百多米，就不能忽略不计了。

火车行程问题，我们也研究一般行程问题中的相遇问题和追及问题。

火车的相遇问题一般研究两列火车相向运行，从车头相遇到车尾相离的有关问题，一般又叫错车问题。

火车的追及问题一般研究快车车头与慢车车尾相遇，到快车车尾离开慢车车头的有关问题，一般又叫超车问题。

例题一：两列火车在双轨轨道上相向行驶，一列慢车，车身长130米，车速是每秒30米；一列快车，车身长150米，车速是每秒40米。

两列火车从车头相遇到车尾相离用了多少秒?【思路点拨】分析根据题意，画出示意图：两车车头相遇到车尾相离，两车一共行驶的路程就是两车车身长的和，求错车时间，就要用两列火车车身之长的和除以两车的速度和。

解答 : (150＋130)÷(30＋40)＝4(秒)答：两车从车头相遇到车尾相离要用4秒。

1.两列火车，车身长都是180米，从北京、南京两地相对开出，车速都是每小时90千米，两列火车从相遇到相离，要几秒钟?2.从南京到上海的铁路上，一列慢车车身长150米，每秒行驶28米；一列快车车身长1 20米，每秒行驶34米。

慢车在前面行驶，快车从追上到完全超过慢车需要多少秒?3.两列火车相向而行，甲车长130米，乙车长120米，两车从相遇到相离，经过5秒钟。

已知甲车每秒行22米，求乙车的速度?例题二：一列慢车车身长120米，车速是每秒15米；一列快车车身长132米，车速是每秒30米。

慢车在前面行驶，快车与它同向行驶，从后面追上到完全超过需要多少秒?【思路点拨】分析根据题意，画出示意图：从图上可以看出，快车从追上到超过慢车时，要比慢车多行快、慢两车车身长之和，而每秒钟快车要比慢车多行30--15=15(米)，用两车车身长之和除以两车的速度差，就得超车时间。

解答 (132＋120)÷(30－15)＝16．8(秒)答：快车从追上到完全超过慢车要16．8秒。

两列火车相向而行，从两车车头相遇到两车车尾相离，这段时间共行的路程就是两车车身之长的和，相向而行的速度就是两车的速度和，这里的相遇时间就是指两车从相遇到相离的时间，又叫错车时间。

错车时间=(甲车身长+乙车身长)÷(甲车速+乙车速) 两列火车同向而行，慢车在前，快车在后，从快车车头追上慢车车尾到快车车尾离开慢车车头，要追及的路程就是两车车身之长的和，追及的速度就是两车的速度差，追及时间就是指快车从遇到慢车到超出慢车所需的时间，又叫超车时间。

超车时间＝(甲车身长＋乙车身长)÷(甲车速－乙车速) 解答火车行程问题，要能正确画出示意图，借助示意图和行程问题的基本方法来分析解答。

1.慢车长90米，速度是每秒20米。

快车长110米，快车追上并超过慢车用了20秒。

如果这两列火车相向而行，从相遇到完全离开要用多少时间?2.快、慢两车分别长150米和200米，相向行驶在平直的轨道上。

若坐在快车上的人看见慢车驶过窗口的时间是8秒，那么坐在慢车上的人看见快车驶过窗口的时间是多少秒?3.一列快车长280米，一列慢车长200米，在平行的轨道上相向而行。

从两车相遇到相离经过20秒。

若两车同向行驶，慢车在前，快车在后，从两车相遇到相离经过2分钟。

求各车的速度。

活动课上，黑熊老师笑着对大家说：“我们来做个游戏好不好?”“好!”小动物们齐声回答。

“请你们每位准备两张小纸条。

”黑熊老师清了清嗓子说。

小动物们不知道黑熊老师要它们做什么游戏，一个个兴奋得眼睛发亮，很快都把小纸条准备好了。

黑熊老师环视一下全班同学，说：“请你们在两张小纸条上分别写一个奇数和一个偶数，写好后，两手各握一张。

不要给我看也不要给你身边的同学看。

”小动物们不久前刚学过关于奇数和偶数的知识，不一会儿，大家都完成了黑熊老师提出的要求。

“听着，”黑熊老师一字一句清晰地说道：“你们各位都请将右手中的数乘2，左手中的数乘3，再把乘积相加。

不要算出声音来。

”等小动物们一个个都算好了，黑熊老师又叫算出得数是奇数的排成一队；得数是偶数的排成一队。

小动物们都站好了，一个个感兴趣地看着黑熊老师，猜测着它下一步要它们做什么。

“好了!”黑熊老师指着得数是奇数的那排小动物说：“你们左手握的都是奇数。

”它又指着另一排小动物说：“你们左手握的都是偶数。

”两排小动物们摊开手掌一看，可不是，黑熊老师猜得完全正确。

小动物们惊奇极了，忍不住纷纷问道：“老师，您是怎么知道的?”整体思考找答案有这样一个故事：有一年，我国著名的大数学家苏步青教授在德国访问时，一个有名的数学家在电车里给他出了一道题目，并要他在车上当场找出答案。

题目是：“一个甲，一个乙，相对而行，距离50千米，甲每小时走3千米，乙每小时走2千米。

甲带着一只狗，狗每小时跑5千米，狗跑得比人快，它同甲一起出发，碰到乙的时候向甲跑去，碰到甲的时候它又向乙跑去，问这只狗一共跑了多少千米路?”同学们，不用担心，苏步青教授没等下车，答案就已经找出来了。

如果把这道题当成一般的“行程问题”，按照“这只狗来回跑几趟，每趟各跑多少路程，然后一起加起来，求出它一共跑的路程”的思路来求解是极其困难的。

解这道题应从整体着手去思考。

由题意知，甲、乙两人和狗同时出发，到最后又同时间相遇在一起，所以甲、乙两人行走和狗跑的时间相同。

狗所跑的时间也就是甲、乙两人所走的时间。

容易求出甲、乙两人从出发到相遇所走的时间是50÷(3+2)＝10(小时)，因而狗一共跑了5×lO＝50(千米)。

“整体思考”是一种很有用的解题策略，它可以帮助我们巧妙地解答一些比较复杂的题目。

同学们要努力掌握这种解题方法，并在实际解题中灵活地运用它。