费波那西数列(兔子问题)Fibonacci

源起根据高德纳（Donald Ervin Knuth）的《计算机程序设计艺术》（The Art of Computer Programming），1150年印度数学家Gopala和金月在研究箱子包装物件长阔刚好为1 和 2 的可行方法数目时，首先描述这个数列。

在西方，最先研究这个数列的人是比萨的列奥那多（又名费波那西），他描述兔子生长的数目时用上了这数列。

第一个月有一对刚诞生的兔子第二个月之后它们可以生育每月每对可生育的兔子会诞生下一对新兔子兔子永不死去假设在n 月有新生及可生育的兔子总共 a 对，n+1 月就总共有 b 对。

在n+2 月必定总共有a+b 对：因为在n+2 月的时候，所有在n 月就已存在的 a 对兔子皆已可以生育并诞下 a 对后代；同时在前一月(n+1月)之 b 对兔子中，在当月属于新诞生的兔子尚不能生育。

数学求解：为求得费波那西数列的一般表达式，可以借助线性代数的方法。

高中的初等数学知识也能求出。

已知∙a1 = 1∙a2 = 1∙a n = a n− 1 + a n− 2首先构建等比数列设a n + αa n− 1 = β(a n− 1 + αa n− 2)化简得a n = (β−α)a n− 1 + αβa n− 2比较系数可得:不妨设β > 0,α > 0解得：所以有a n + αa n− 1 = β(a n− 1 + αa n− 2)，即为等比数列。

求出数列{a n + αa n− 1}由以上可得：变形得：。

令求数列{b n}进而得到{a n}设，解得。

故数列为等比数列即。

而，故有又有和可得得出a n表达式可以参考网站：/wiki/%E6%96%90%E6%B3%A2%E9%82%A3%E5% A5%91%E6%95%B0%E5%88%97程序实现解法：#include <iostream>using namespace std;int fact(int n){if(n==0)return(0);else{if(n==1)return(1);elsereturn(fact(n-1)+fact(n-2));}}int main(){ int i;cout<<"请输入月份"<<endl;cin>>i;cout<<fact(i)<<endl;}。

自然界中的斐波那契数列“斐波那契数列(Fibonacci)”的发现者，是意大利数学家列昂纳多•斐波那契。

斐波那契数列指的是这样一个数列：1、1、2、3、5、8、13、21、……仔细观察这个数列，从第三项开始，每一项都等于前两项之和。

斐波那契数列是怎么得到的呢？它与自然界又有什么样的关系？>>斐波那契数列别名斐波那契数列又因数学家列昂纳多•斐波那契以兔子繁殖为例子而引入，故又称为“兔子数列”。

一般而言，兔子在出生两个月后，就有繁殖能力，一对兔子每个月能生出一对小兔子来。

如果所有兔都不死，那么一年以后可以繁殖多少对兔子？我们不妨拿新出生的一对小兔子分析一下：第一个月小兔子没有繁殖能力，所以还是一对；两个月后，生下一对小兔子共有两对；三个月以后，老兔子又生下一对，因为小兔子还没有繁殖能力，所以一共是三对；依次类推可以列出下表：经过月数：--1--2--3--4--5--6--7---8---9---10--11---12兔子对数：--1--1--2--3--5--8--13--21--34—55--89--144表中数字1，1，2，3，5，8－－－构成了一个数列。

这个数列有关十分明显的特点，那是：前面相邻两项之和，构成了后一项。

这个特点的证明：每月的大兔子数为上月的兔子数，每月的小兔子数为上月的大兔子数，即上上月的兔子数，相加。

其实人们很早就从植物身上看到了数学的特征，花瓣对称地排列在花托边缘，整个花朵几乎完美无缺地呈现出辐射对称的形状，叶子沿着植物茎秆相互叠起。

植物的种子有圆的、刺状的、伞状的……。

科学家发现，植物的花瓣、萼片、果实的数目以及其他方面的特征，都非常吻合于一个著名的数列——斐波那契数列如上图有1个花瓣的马蹄莲，2个花瓣的虎刺梅，三个花瓣的延龄草，5个花瓣的飞燕草，8个花瓣的大波斯菊，13个花瓣的瓜叶菊……。

此外还有21个花瓣的花：紫菀向日葵的花朵有的是21个，有的是34个的。

博斐纳契数列博斐纳契数列（Fibonacci sequence）是一种非常有趣且重要的数列，它在数学和自然界中都有广泛的应用。

这个数列的特点是，每个数都是前两个数的和。

具体地说，数列的前两个数是0和1，后面的每个数都是前两个数的和。

数列的前几个数字依次是0、1、1、2、3、5、8、13、21、34、……，以此类推。

博斐纳契数列最早由意大利数学家列昂纳多·博纳乔尼（Leonardo Fibonacci）在13世纪提出并研究。

他最初将这个数列用于描述兔子的繁殖问题，因此也被称为“兔子数列”。

假设一对刚出生的兔子在一个月后成熟并且可以繁殖，然后每对兔子每个月生一对新兔子。

那么，经过n个月后，兔子的总数就是博斐纳契数列的第n个数字。

博斐纳契数列在数学中有着重要的地位。

它具有很多有趣的性质和应用。

首先，博斐纳契数列是一个递归数列，每个数都是前两个数的和。

这种递归关系在数学领域被广泛研究和应用。

其次，博斐纳契数列在黄金分割比例和黄金矩形中有着重要的应用。

黄金分割比例是指将一条线段分割为两部分，使整条线段与较短部分的比值等于较短部分与较长部分的比值。

这个比值就是黄金分割比例，近似为 1.618。

黄金矩形则是由黄金分割比例构成的矩形，其宽和高的比例也是黄金分割比例。

博斐纳契数列中的相邻数字之间的比值趋近于黄金分割比例，而且数列中的每个数字与它前一个数字的比值也趋近于黄金分割比例。

除了数学领域，博斐纳契数列还在自然界中有着许多应用。

它可以用来描述植物的分枝规律、花瓣的排列方式、螺旋形贝壳的形状等等。

例如，一些植物的分枝规律就符合博斐纳契数列，每个分支都是前两个分支的和；一些花的花瓣数量也符合博斐纳契数列，例如百合花通常有3或5片花瓣；一些贝壳的螺旋形状也符合博斐纳契数列，每个螺旋线圈的直径与前一个螺旋线圈的直径之比接近黄金分割比例。

除了数学和自然界，博斐纳契数列还在计算机科学和信息技术中有着广泛的应用。

斐波那契数列一、简介斐波那契数列（Fibonacci），又称黄金分割数列，由数学家斐波那契最早以“兔子繁殖问题”引入，推动了数学的发展。

故斐波那契数列又称“兔子数列”。

斐波那契数列指这样的数列：1,1,2,3,5,8,13,……，前两个数的和等于后面一个数字。

这样我们可以得到一个递推式，记斐波那契数列的第i项为F i，则F i=F i-1+F i-2.兔子繁殖问题指设有一对新生的兔子，从第三个月开始他们每个月都生一对兔子，新生的兔子从第三个月开始又每个月生一对兔子。

按此规律，并假定兔子没有死亡，10个月后共有多少个兔子？这道题目通过找规律发现答案就是斐波那契数列，第n个月兔子的数量是斐波那契数列的第n项。

二、性质如果要了解斐波那契数列的性质，必然要先知道它的通项公式才能更简单的推导出一些定理。

那么下面我们就通过初等代数的待定系数法计算出通项公式。

令常数p,q满足F n-pF n-1=q(F n-1-pF n-2)。

则可得：F n-pF n-1=q(F n-1-pF n-2)=q2(F n-2-pF n-3)=…=q n-2(F2-pF1)又∵F n-pF n-1=q(F n-1-pF n-2)∴F n-pF n-1=qF n-1-pqF n-2F n-1+F n-2-pF n-1-qF n-1+pqF n-2=0(1-p-q)F n-1+(1+pq)F n-2=0∴p+q=1,pq=-1是其中的一种方程组∴F n-pF n-1= q n-2(F2-pF1)=q n-2(1-p)=q n-1F n=q n-1+pF n-1=q n-1+p(q n-2+p(q n-3+…))=q n-1+pq n-2+p2q n-3+…+p n-1不难看出，上式是一个以p/q为公比的等比数列。

将它用求和公式求和可以得到：而上面出现了方程组p+q=1,pq=-1，可以得到p(1-p)=-1,p2-p-1=0，这样就得到了一个标准的一元二次方程，配方得p2-p+0.25=1.25,(p-0.5)2=1.25,p=±√1.25+0.5。