斐波那契数列

斐波那契数列

一、简介

斐波那契数列（Fibonacci），又称黄金分割数列，由数学家斐波那契最早以“兔子繁殖问题”引入，推动了数学的发展。故斐波那契数列又称“兔子数列”。

斐波那契数列指这样的数列：1,1,2,3,5,8,13,……，前两个数的和等于后面一个数字。这样我们可以得到一个递推式，记斐波那契数列的第i项为F i，则F i=F i-1+F i-2.

兔子繁殖问题指设有一对新生的兔子，从第三个月开始他们每个月都生一对兔子，新生的兔子从第三个月开始又每个月生一对兔子。按此规律，并假定兔子没有死亡，10个月后共有多少个兔子？

这道题目通过找规律发现答案就是斐波那契数列，第n个月兔子的数量是斐波那契数列的第n项。

二、性质

如果要了解斐波那契数列的性质，必然要先知道它的通项公式才能更简单的推导出一些定理。那么下面我们就通过初等代数的待定系数法计算出通项公式。

令常数p,q满足F n-pF n-1=q(F n-1-pF n-2)。则可得：

F n-pF n-1=q(F n-1-pF n-2)

=q2(F n-2-pF n-3)

=…=q n-2(F2-pF1)

又∵F n-pF n-1=q(F n-1-pF n-2)

∴F n-pF n-1=qF n-1-pqF n-2

F n-1+F n-2-pF n-1-qF n-1+pqF n-2=0

(1-p-q)F n-1+(1+pq)F n-2=0

∴p+q=1,pq=-1是其中的一种方程组

∴F n-pF n-1= q n-2(F2-pF1)=q n-2(1-p)=q n-1

F n=q n-1+pF n-1=q n-1+p(q n-2+p(q n-3+…))=q n-1+pq n-2+p2q n-3+…+p n-1

不难看出，上式是一个以p/q为公比的等比数列。将它用求和公式求和可以得到：

而上面出现了方程组p+q=1,pq=-1，可以得到p(1-p)=-1,p2-p-1=0，这样就得到了一个标准的一元二次方程，配方得p2-p+0.25=1.25,(p-0.5)2=1.25,p=±√1.25+0.5。随意取出一组解即可：

这就是著名的斐波那契数列通项公式。有了它，斐波那契数列的一些性质也不难得出了。

比如斐波那契数列相邻两项的比值趋向于黄金分割比，即：

根据斐波那契数列通项公式，可以得到

因为n是趋向于正无限的，因此我们可以知道：

那么我们就可以把分子和分母的第二项同时省略掉，即

这就是斐波那契数列的魅力之一——它和黄金分割比有密切的关系。下面将给出斐波那契数列的几个性质及其证明。

1)F1+F2+F3+...+F n=F n+2-1

证明：原式=(F3-F2)+(F4-F3)+...+(F n+2-F n+1)=F n+2-1.

2)F1+F3+F5+...+F2n+1=F2n+2

证明：原式=F2+(F4-F2)+(F6-F4)+...+(F2n+2-F2n)=F2n+2

3)F12+F22+...+F n2=F n F n+1

证明：利用数学归纳法，显然n=1时满足，下面证明若n=k时满足，n=k+1时也满足.

已知F12+F22+...+F n2=F n F n+1,F12+F22+...+F n+12=F n F n+1+F n+12=(F n+1+F n)F n+1=F n+1F n+2，因此n+1后仍然满足.上述公式成立.

4)F1F2+F2F3+...+F n F n+1=(F n+22-F n F n+1-1)/2

证明：数学归纳法，n=1时满足.已知F1F2+F2F3+...+F n F n+1满足，那么

F1F2+F2F3+...+F n F n+1+F n+1F n+2=(F n+22-F n F n+1-1)/2+F n+1F n+2

=(F n+22-F n F n+1+2F n+1F n+2-1)/2=[(F n+22+2F n+1F n+2+F n+12)- F n F n+1-F n+12-1]/2

=(F n+32-F n+1F n+2-1)/2，因此上式成立.

5)F n2=F n-1F n+1+(-1)n+1

证明：数学归纳法，n=2时满足.已知前面的n都满足，那么

F n2=F n-12+F n-22+2F n-2F n-1=F n-12+F n-3F n-1+(-1)n-1+2F n-2F n-1=F n-1F n+F n-12+(-1)n-1

=F n-1F n+1+(-1)n+1，因此上式成立.

6)F n+m=F m-1F n+F m F n+1(n>m>1)

证明：利用通项公式，设α=,β=1-α=

注意到1/α+α=sqrt(5)=1/β+β,1/α+β=0=1/β+α,上式就变成了

这就是上述公式的证明.

三、斐波那契数列与自然

斐波那契数列中的斐波那契数会经常出现在我们的眼前——比如松果、凤梨、树叶的排列、某些花朵的花瓣数（典型的有向日葵花瓣），蜂巢，蜻蜓翅膀，超越数e（可以推出更多），黄金矩形、黄金分割、等角螺线，十二平均律等。

斐波那契数还可以在植物的叶、枝、茎等排列中发现。例如，在树木的枝干上选一片叶子，记其为数0，然后依序点数叶子（假定没有折损），直到到达与那些叶子正对的位置，则其间的叶子数多半是斐波那契数。叶子从一个位置到达下一个正对的位置称为一个循回。叶子在一个循回中旋转的圈数也是斐波那契数。在一个循回中叶子数与叶子旋转圈数的比称为叶序（源自希腊词，意即叶子的排列）比。多数的叶序比呈现为斐波那契数的比。

图为斐波那契弧线。

关于递推式的拓展研究

一、错位排列问题

有n个数，求有多少种排列使这n个数都不在原来的位置上。

比如n=2时，有一种排列。

设f(n)表示n个数的错位排列数量，分两种情况讨论：

1.第n个数在第p(p≠n)个数的位置上，第p个数在第n个数的位置上，则此时共有f(n-2)

种选择。由于p有(n-1)种值，则总共有(n-1)f(n-2)种排列方法；

2.否则，共有(n-1)f(n-1)种排列方法。

综上所述，f(n)=(n-1)(f(n-1)+f(n-2))，f(1)=0,f(2)=1。那这个数列的通项公式是什么呢？直接对这个数列不好进行操作，可以转化一下。设错位排列的概率函数为g(n)，其中