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6.导数(含定积分)

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1. (2010 安徽理) （本小题满分12分）设a 为实数，函数()e 22xf x x a x =-+∈R ，． （Ⅰ）求()f x 的单调区间与极值；（Ⅱ）求证：当ln 21a >-且0x >时，2e 21xx ax >-+．答案：本题考查导数的运算，利用导数研究函数的单调区间，求函数的极值和证明函数不等式，考查运算能力、综合分析和解决问题的能力．（I ）解：由()e 22()2.xxf x x a x f x e x '=-+∈=-∈R R ，知，令()0f x '=，得ln 2x =．于是当x 变化时，()f x '，()f x 的变化情况如下表：故()f x 的单调递减区间是(ln 2)-∞，，单调递增区间是(ln 2)+∞，， ()ln 2f x x =在处取得极小值，极小值为ln 2(ln 2)e 2ln 222(1ln 2)f a a =-+=-+． （II ）证：设2()21xg x e x ax x =-+-∈R ，，于是()22.xg x e x a x '=-+∈R ，由（I ）知当ln 21a >-时，()g x '最小值为(ln 2)2(1ln 2)0g a '=-+>． 于是对任意x ∈R ，都有()0g x '>，所以()g x 在R 内单调递增． 于是当ln 21a >-时，对任意(0,)x ∈+∞，都有()(0)g x g >． 而(0)0g =，从而对任意(0,)()0x g x ∈+∞>，．即222102 1.x x e x ax e x ax -+->>-+故，2. (2010 安徽文) （本小题满分12分）设函数()sin cos 102πf x x x x x =-++<<，，求函数)(x f 的单调区间与极值．答案：本题考查导数的运算，利用导数研究函数的单调性与极值的方法，考查综合运用数学知识解决问题的能力．解：由()sin cos 102πf x x x x x =-++<<，， 知()cos sin 1f x x x '=++，于是π()1)4f x x '=++．令π()0sin()42f x x '=+=-从而，，得πx =或3π2x =． 当x 变化时，()()f x f x '，变化情况如下表：因此，由上表知()f x 的单调递增区间是(0π)(2π)2，与，，单调递减区间是(π,)2，极小值为3π3π()(π)π 2.22f f ==+极大值为，3. (2010 北京理) （本小题共13分）已知函数2()ln(1)(0)2k f x x x x k =+-+≥． （Ⅰ）当k =2时，求曲线()y f x =在点（1，(1)f ）处的切线方程；（Ⅱ）求()f x 的单调区间．答案：解：（I ）当2k=时，2()ln(1)f x x x x =+-+，1()121f x x x'=-++． 由于(1)ln 2f =，3(1)2f '=， 所以曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程为3ln 2(1)2y x -=-．即 322ln 230x y -+-=．（II ）(1)()1x kx k f x x+-'=+，(1)x ∈-+∞，．当0k =时，()1xf x x'=-+．所以，在区间(10)-，上，()0f x '>；在区间(0)+∞，上，()0f x '<． 故()f x 的单调递增区间是(10)-，，单调递减区间是(0)+∞，． 当01k<<时，由(1)()01x kx k f x x+-'==+，得10x =，210kx k -=> 所以，在区间(10)-，和1()kk-+∞，上，()0f x '>；在区间1(0)kk-，上，'()0f x <．故()f x 的单调递增区间是(10)-，和1()k k-+∞，，单调递减区间是1(0)kk -，．当1k =时，2()1x f x x'=+故()f x 的单调递增区间是(1)-+∞，．当1k>时，(1)()01x kx k f x x +-'==+，得11(10)kx k -=∈-，，20x =．所以，在区间1(1)k k--，和(0)+∞，上，()0f x '>；在区间1(0)kk -，上，()0f x '<．故()f x 的单调递增区间是1(1)k k--，和(0)+∞，，单调递减区间是1(0)kk -，．4. (2010 北京文) （本小题共14分）设定函数32()(0)3a f x x bx cx d a =+++>，且方程()90f x x '-=的两个根分别为1，4． （Ⅰ）当3a =且曲线()y f x =过原点时，求()f x 的解析式； （Ⅱ）若()f x 在()-∞+∞，内无极值点，求a 的取值范围．答案：解：由32()3a f x x bx cx d =+++ 得 2()2f x ax bx c '=++． 因为2()9290f x x ax bx c x '-=++-=的两个根分别为1，4，所以290168360.a b c a b c ++-=⎧⎨++-=⎩， （*）（Ⅰ）当3a =时，由（*）式得2608120.b c b c +-=⎧⎨++=⎩，解得312b c =-=，．又因为曲线()y f x =过原点，所以0d =．故32()312f x x x x =-+． （Ⅱ）由于0a >,所以“32()3a f x x bx cx d =+++在（-∞，+∞）内无极值点”等价于“2()20f x ax bx c '=++≥在（-∞，+∞）内恒成立”． 由（*）式得2954b a c a =-=，． 又2(2)49(1)(9)b ac a a ∆=-=--．解09(1)(9)0.a a a >⎧⎨∆=--⎩，≤ 得[]19a ∈，， 即a 的取值范围[19]，．5. (2010 福建理) （本小题满分14分）（Ⅰ）已知函数3()f x x x =-，其图象记为曲线C ． （i ）求函数()f x 的单调区间；（ii ）证明：若对于任意非零实数1x ，曲线C 与其在点111(())P x f x ，处的切线交于另一点222(())P x f x ，，曲线C 与其在点2P 处的切线交于另一点333(())P x f x ，，线段1223PP P P ，与曲线Ｃ所围成封闭图形的面积分别记为12S S ，，则12S S 为定值； （Ⅱ）对于一般的三次函数32()(0)g x ax bx cx d a =+++≠，请给出类似于（Ⅰ）（ii ）的正确命题，并予以证明．答案：本小题主要考查函数、导数、定积分等基础知识，考查抽象概括能力、推理论证能力、运算求解能力，考查函数与方程思想、数形结合思想、化归与转化思想、特殊与一般思想． 满分14分．（Ⅰ）（i ）由3()f x x x =-得2()31f x x '=-=3()(33x x -+，当(3x ∈-∞-，和3+∞（）时，()0f x '>；当(3x ∈-，)3时，()0f x '<， 因此，()f x的单调递增区间为(-∞，和+∞），单调递减区间为(． （ii ）曲线C 在点1P 处的切线方程为231111(31)()y x x x x x =--+-，x即2311(31)2y x x x=--，由23113(31)2y x x x y x x⎧=--⎪⎨=-⎪⎩，得3xx -=2311(31)2x x x --，即211()2)0x x x x -+=（，解得112122x x x x x x ==-=-或故，． 进而有111122323422341111111327(32)d 2424x x x x S x x x x x x x x x x x --⎛⎫=-+=-+=⎪⎝⎭⎰， 用2x 代替1x ，重复上述计算过程，可得322x x =-和422274S x =． 又2120x x =-≠，所以421271604S x ⨯=≠，因此有12116S S =．（Ⅱ）记函数32()(0)g x ax bx cx d a =+++≠的图象为曲线C '，类似于（Ⅰ）（ii ）的正确命题为：若对于任意不等式3ba-的实数1x ，曲线C '与其在点111(())P x g x ，处的切线交于另一点222(())P x g x ，，曲线C '与其在点2P 处的切线交于另一点333(())P x g x ，，线段1223PP P P ，与曲线C '所围成封闭图形的面积分别记为12S S ，，则12S S 为定值． 证明如下：因为平移变换不改变面积的大小，故可将曲线()y g x =的对称中心(3b g a -（，))3ba-平移至坐标原点，因而不妨设3()g x ax hx =+，且10x ≠． 类似（Ⅰ）（ii ）的计算可得411274S ax =，421271604S ax ⨯=≠． 故12116S S =． 解法二：（Ⅰ）同解法一．（Ⅱ）记函数32()g x ax bx cx d =+++（0a ≠）的图象为曲线C '，类似于（Ⅰ）（ii ）的正确命题为：若对于任意不等于3ba-的实数1x ，曲线C '与其在点111(())P x g x ，处的切线交于另一点222(())P x g x ，，曲线C '与其在点2P 处的切线交于另一点333(())P x g x ，，线段1223PP P P ，与曲线C '所围成封闭图形的面积分别记为12S S ，，则12S S 为定值． 证明如下：由32()g x ax bx cx d =+++（0a ≠）得2()32g x a x b xc '=++，所以曲线C '在点11(())x g x ，处的切线方程为2321111(32)2y ax bx c x ax bxd =++--+．由322321111(32)2y ax bx cx d y ax bx c x ax bx d⎧=+++⎪⎨=++--+⎪⎩，得211()[(2)]0x x a x x b -++=， ∴1x x =或12b x x a =--，即212bx x a=--，故 124322321111113(3)[(32)2]d 12x x ax b S ax bx ax bx x ax bx x a +=+-+++=⎰， 用2x 代替1x ，重复上述计算过程，可得322bx x a=--和4223(3)12ax b S a +=．又212b x x a =--且13bx a≠-，所以4442112333(3)(62)16(3)0121212ax b ax b ax b S a a a +--+===≠，故12116S S =．6. (2010 福建文) （本小题满分14分）已知函数321()3f x x x ax b =-++的图象在点(0(0))P f ，处的切线方程为32y x =-．（Ⅰ）求实数a ，b 的值； （Ⅱ）设()()1mg x f x x =+-是[2+∞，]上的增函数． （i ）求实数m 的最大值；（ii ）当m 取最大值时，是否存在点Q ，使得过点Q 的直线若能与曲线()y g x =围成两个封闭图形，则这两个封闭图形的面积总相等?若存在，求出点Q 的坐标；若不存在，说明理由．答案：本小题主要考查函数、导数等基础知识，考查推理论证能力、抽象概括能力、运算求解能力，考查函数与方程思想、数形结合思想、化归与转化思想、分类与整合思想．满分14分． 解法一：（Ⅰ）由2()2f x x x a '=-+及题设得(0)3(0) 2.f f '=⎧⎨=-⎩，即32.a b =⎧⎨=-⎩，（Ⅱ）（i ）由321()3231mg x x x x x =-+-+- 得22()23(1)mg x x x x '=-+--． ∵()g x 是[2)+∞，上的增函数，∴()0g x '≥在[2)+∞，上恒成立，即22230(1)mx x x -+--≥在[2)+∞，上恒成立．设2(1)x t -=．∵x ∈[2)+∞，，∴[1)t ∈+∞，，即不等式20mt t+-≥在[1)+∞，上恒成立． 当0m ≤时，不等式20mt t +-≥在[1)+∞，上恒成立．当0m >时，设2my t t=+-，[1)t ∈+∞，．因为210m y t '=+>，所以函数2my t t=+-在[1)+∞，上单调递增，因此min 3y m =-．∵min 0y ≥，∴30m -≥，即3m ≤． 又0m >，故03m <≤． 综上，m 的最大值为3． （ii ）由（i ）得3213()3231g x x x x x =-+-+-，其图象关于点113Q ⎛⎫⎪⎝⎭，成中心对称． 证明如下：∵3213()3231g x x x x x =-+-+-， ∴3213(2)(2)(2)3(2)2321g x x x x x -=---+--+--321833331x x x x=-+-++-，因此，2()(2)3g x g x +-=．上式表明，若点()A x y ，为函数()g x 的图象上的任意一点，则点223B x y ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，也一定在函数()g x 的图象上．而线段AB 中点恒为点113Q ⎛⎫⎪⎝⎭，，由此即知函数()g x 的图象关于点Q 成中心对称．这也就表明，存在点113Q ⎛⎫ ⎪⎝⎭，，使得过点Q 的直线若能与函数()g x 的图象围成两个封闭图形，则这两个封闭图形的面积总相等． 解法二：（Ⅰ）同解法一． （Ⅱ）（i ）由321()3231mg x x x x x =-+-+- 得22()23(1)mg x x x x '=-+--．∵()g x 是[2)+∞，上的增函数，∴()0g x '≥在[2)+∞，上恒成立，即22230(1)mx x x -+--≥在[2)+∞，上恒成立． 设2(1)x t -=．∵x ∈[2)+∞，，∴[1)t ∈+∞，， 即不等式20mt t+-≥在[1)+∞，上恒成立． 所以22m t t +≤在[1)+∞，上恒成立．令22y t t =+，[1)t ∈+∞，，可得min 3y =，故3m ≤，即m 的最大值为3． （ii ）由（i ）得3213()3231g x x x x x =-+-+-． 将函数()g x 的图象向左平移1个长度单位，再向下平移13个长度单位，所得图象相应的函数解析式为313()23x x x xϕ=++，(0)(0)x ∈-∞+∞，∪，． 由于()()x x ϕϕ-=-，所以()x ϕ为奇函数，故()x ϕ的图象关于坐标原点成中心对称．由此即得，函数()g x 的图象关于点113Q ⎛⎫⎪⎝⎭，成中心对称．这也就表明，存在点113Q ⎛⎫⎪⎝⎭，，使得过点Q 的直线若能与函数()g x 的图象围成两个封闭图形，则这两个封闭图形的面积总相等．7. (2010 广东文) （本小题满分14分）已知曲线2:n C y nx =，点()(00)n n n n n P x y x y >>，，是曲线C n 上的点（n=1，2，…）. （1）试写出曲线C n 在点P n 处的切线l n 的方程，并求出l n 与y 轴的交点Q n 的坐标；（2）若原点O （0，0）到l n 的距离与线段P n Q n 的长度之比取得最大值，试求点P n 的坐标（n n x y ，-）；（3）设m 与k 为两个给定的不同的正整数，x n 与y n 是满足（2）中条件的点P n 的坐标，证明：1|(12).nn s =<=∑ ，，答案：解：（1）∵2()2nx nx '=，∴曲线n C 过点()n n n P x y ，的切线l 的方程为22()n n n y nx nx x x ---，即220n n nx x y nx --=．令0x =，得2n y nx =-，∴n Q 的坐标为2(0)n nx -，． （2）原点(00)O ，到n l的距离为2()n d x =，||n n P Q =222()1||144n n n n nn nd x nx nP Q n x n x x ==++∴214n n n x x =，即112x n =时，()||n n n d x P Q 取得最大值14． 故所求点n P 的坐标为1124n n ⎛⎫ ⎪⎝⎭，． （3）由（2）知12nx n =，14n y n=，于是11||nnn n ===∑∑111|||nn nn n n ====<=∑∑现证明1nn =<12s = ，，）111nnnn n n ===<=∑11)=++++=故问题得证．8. (2010 湖北文) （本小题满分14分）设函数321()32af x x x bx c =-++，其中0a >．曲线()y f x =在点(0(0))p f ，处的切线方程为1y =．（Ⅰ）确定b c ，的值；（Ⅱ）设曲线()y f x =在点1122(())(())x f x x f x ，及，处的切线都过点（0，2）． 证明：当12x x ≠时，12()()f x f x ''≠；（Ⅲ）若过点（0，2）可作曲线()y f x =的三条不同切线，求a 的取值范围．答案：本小题主要考查函数的单调性、极值、导数等基本知识，同时考查综合运用数学知识进行推理论证的能力. 解：（Ⅰ）由3221():(0)()(0)32af x x x bx c f c f x x ax b f b ''=-++==-+=得，，．又由曲线()(0(0))y f x P f =在点，处的切线方程为1y =，得(0)1(0)0f f '==，．故01b c ==，．（Ⅱ）3221()1()32af x x x f x x ax '=-+=-，．由于点(())t f t ，处的切线方程为))(()(t x t f t f y -'=-，而点（0，2）在切线上，所以))(()(2t t f t f -'=-，化简得3221032a t t -+=，即t 满足的方程为3221032at t -+=． 下面用反证法证明．假设121122()()()(())(())f x f x y f x x f x x f x ''==由于曲线在点及，，，处的切线都过点（0，2），则下列等式成立.3211322222111221(1)3221(2)32(3)a x x a x x x ax x ax ⎧-+⎪⎪⎪-+⎨⎪⎪-=-⎪⎩由（3）得12x x a +=．由（1）-（2）得222112234x x x x a ++=． (4)22222222112212121211123()()()2434a x x x x x x x x a x a x x ax a x a a ++=+-=--=-+=-+又≥故由(4)得12a x =，此时22ax =与12x x ≠矛盾．所以12()()f x f x ''≠．（Ⅲ）由（Ⅱ）知，过点（0，2）可作)(x f y =的三条切线，等价于方程)0)(()(2t t f t f -'=- 有三个相异的实根，即等价于方程0123223=+-t a t 有三个相异的实根．设322()1a g t t t =-+，则2()22()a g t t at t t '=-=-．由于0a >，故有由)(t g 的单调性知：要使0)(=t g 有三个相异的实根，当且仅当2413a -<0，332>a ．a ∴的取值范围是)+∞．9. (2010 湖南理)421d x x ⎰等于A ．2ln 2-B ．2ln 2C ．ln 2-D ．ln 2答案：D10. (2010 湖南文) （本小题满分13分）已知函数()(1)ln 15af x x a x a x=++-+，其中0a <，且1a ≠-． （Ⅰ）讨论函数()f x 的单调性；（Ⅱ）设函数322(23646)e 1()e ()1x x ax ax a a x g x f x x ⎧-++--=⎨>⎩ ，≤，（e 是自然对数的底数）．是否存在a ，使()g x 在[a ，a -]上为减函数？若存在，求a 的取值范围；若不存在，请说明理由．答案：解（I ）)(x f 的定义域为(0)+∞，221()(1)()1a a x a x f x x x x -+-'=-++=（1）若100()0a x a f x '-<<<<->则当时，，；当1()0a x f x '-<<<时，；当1()0.x f x '>>时，故)(x f 分别在(0)(1)a -+∞，，，上单调递增，在（a -，1）上单调递减．（2）若1a <-，仿（1）可得)(x f 分别在（0，1），()a -+∞，上单调递增，在（1，a -）上单调递减．（II ）存在a ，使()g x 在[]a a -，上为减函数．事实上，设322()(23646)e ()xh x x ax ax a x =-++--∈R ，则322()[23(2)124]e .x h x x a x ax a '=-+-+-再设322()23(2)124()m x x a x ax a x =-+-+-∈R ，则当()g x 在[]a a -，上单调递减时，)(x h 必在[a ，0]上单调递减，所以()0.h a '≤ 由于e 0x>，因此2()0()(2)m a m a a a =+而≤.，所以2a -≤，此时，显然有()[]g x a a -在，上为减函数，当且仅当()[1]f x a -在，上为减函数， ()[1]h x a 在，上为减函数，且(1)e (1)h f ⋅≥．由（I ）知，当2a -≤时，()f x 在[1]a -，上为减函数． ① 又21(1)e (1)413303.4h f a a a ⋅⇔++⇔--≥≤≤≤②不难知道，[1]()0[1]()0.x a h x x a m x '∀∈⇔∀∈，，≤，，≤ 因2()66(2)126(2)()m x x a x a x x a '=-+-+=-+-， 令()0m x '=，则x a =，或2x =-． 而2a -≤，于是（1）当2-<a 时，若2()0a x m x '<<->则，； 若21()0.x m x '-<<<则，因而()(2)m x a -在，上单调递增，在（2-，1）上单调递减． （2）当2a =-时，()0()m x m x '≤，在（2-，1）上单调递减． 综合（1）、（2）知，当2a -≤时，()m x 在[1]a ，上的最大值为.8124)2(2---=-a a m所以2[1]()0(2)041280 2.x a m x m a a a ∀∈⇔-⇔---⇔-，，≤≤≤≤③又对[1]()0x a m x ∈=，，只有当2a =-时在2x =-取得，亦即()0h x '=只有当2a =-时在2x =-取得．因此，当2a -≤时，()h x 在[1]a ，上为减函数，从而由①，②，③知，32a --≤≤． 综上所述，存在a ，使()g x 在[]a a -，上为减函数，且a 的取值范围为[3-，2-]．11. (2010 江苏) （本小题满分16分）设)(x f 是定义在区间(1)+∞，上的函数，其导函数为()f x '．如果存在实数a 和函数)(x h ，其中)(x h 对任意的(1)x ∈+∞，都有)(x h >0，使得2()()(1)f x h x x ax '=-+，则称函数)(x f 具有性质P()a ．（1）设函数)(x f 2ln (1)1b x x x +=+>+，其中b 为实数． （i ）求证：函数)(x f 具有性质P()b ； （ii ）求函数)(x f 的单调区间．（2）已知函数)(x g 具有性质P(2)，给定1212(1)x x x x ∈+∞<，，，，设m 为实数，21)1(x m mx -+=α，21)1(mx x m +-=β，且11αβ>>，，若|)()(βαg g -|<|)()(21x g x g -|，求m 的取值范围．答案：本小题主要考查函数的概念、性质、图象及导数等基础知识，考查灵活运用数形结合、分类讨论的思想方法进行探索、分析与解决问题的综合能力．满分16分．解：（1）（i ）由2()ln 1b f x x x +=++得221()(1)x bx f x x x -+'=+. 因为1x >时，21()0(1)h x x x =>+，所以函数()f x 具有性质P()b ．（ii ）当2b ≤时，由1x >得222121(1)0x bx x x x -+-+=->≥， 所以()f x '0>，从而函数)(x f 在区间(1)+∞，上单调递增．当2b >时，解方程210x bx -+=得12x x ==．因为1212b x b ==<<，21x =>， 所以当2(1)x x ∈，时，()0f x '<；当2()x x ∈+∞，时，()0f x '>；当2x x =时，()0f x '=．从而函数()f x 在区间2(1)x ，上单调递减，在区间2()x +∞，上单调递增． 综上所述，当2b ≤时，函数)(x f 的单调增区间为(1)+∞，当2b >时，函数)(x f 的单调减区间为(12b +，，单调增区间为)+∞．（2）由题设知，()g x 的导函数2()()(21)g x h x x x '=-+，其中函数()0h x >对于任意的(1)x ∈+∞，都成立．所以，当1x >时，2()()(1)0g x h x x '=->，从而()g x 在区间(1)+∞，上单调递增．①当(01)m ∈，时，有12111(1)(1)mx m x mx m x x α=+->+-=，222(1)mx m x x α<+-=，得12()x x α∈，，同理可得12()x x β∈，，所以由()g x 的单调性知()g α，()g β12(()())g x g x ∈，，从而有|)()(βαg g -|<|)()(21x g x g -|，符合题设． ②当0m ≤时，12222(1)(1)mx m x mx m x x α=+-+-=≥，12111(1)(1)m x mx m x mx x β=-+-+=≤，于是由11αβ>>，及()g x 的单调性知12()()()()g g x g x g βα<≤≤，所以|)()(βαg g -|≥|)()(21x g x g -|，与题设不符．③当1m ≥时，同理可得12x x αβ≤，≥，进而得|)()(βαg g -|≥|)()(21x g x g -|，与题设不符．因此，综合①、②、③得所求的m 的取值范围为（0，1）．12. (2010 江西理)水面，记t 时刻五角星露出水面部分的图形面积为()((0)0)S t S =， 则导函数()y S t '=的图像大致为答案：A13. (2010 江西理) （本小题满分12分）设函数()ln ln(2)(0)f x x x ax a =+-->．（1）当1a =时，求()f x 的单调区间；（2）若()f x 在(]01，上的最大值为12，求a 的值．答案：解：函数()f x 的定义域为（0，2），11()2f x a x x'=-+-（1）当1a =时，22()(2)x f x x x -+'=-，所以()f x的单调递增区间为(0，单调递减区间为； （2）当(01]x ∈，时，22()0(2)xf x a x x -'=+>-，即()f x 在(01]，上单调递增，故()f x 在(01]，上的最大值为(1)f a =，因此1.2a=A ．B ．C ．D ．ADMBC14. (2010 江西文) （本小题满分12分）设函数()32()6322f x x a x ax =+++．（1）若()f x 的两个极值点为1x ，2x ，且121x x =，求实数a 的值；（2）是否存在实数a ，使得()f x 是()-∞+∞，上的单调函数？若存在，求出a 的值；若不存在，说明理由．答案：解：2()186(2)2f x x a x a '=+++（1）由已知有12()()0f x f x ''==，从而122118ax x ==，所以9a =； （2）由2236(2)418236(4)0a a a ∆=+-⨯⨯=+>， 所以不存在实数a ，使得()()f x -∞+∞是，上的单调函数．15. (2010 辽宁理) 已知点P 在曲线y =4e 1x+上，α为曲线在点P 处的切线的倾斜角，则α的取值范围是（A ）π[0)4，（B ）ππ[)42， （C ）π3π(]24， （D ）3π[π)4，答案：D16. (2010 辽宁理) （本小题满分12分）已知函数1ln )1()(2+++=ax x a x f ．（I ）讨论函数)(x f 的单调性；（II ）设1-<a ．如果对任意12(0)x x ∈+∞，，，1212|()()4||f x f x x x --≥，求a 的取值范围．请考生在第（22）、（23）、（24）三题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分．做答时用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应题号下方的方框涂黑．答案：解：（Ⅰ） f （x ）的定义域为（0，+∞），2121()2a a x a f x a xxx+++'=+=． 当0a ≥时，()f x '＞0，故f （x ）在（0，+∞）单当1a -≤时，()f x '＜0， 故f （x ）在（0，+∞）当10a -<<时，令()f x '＝0，解得x则当x ∈（0）时，()f x '＞0x +∞）时，()f x '＜0．故f （x ）在（0，）单调增加，在（， （Ⅱ）不妨假设12x x ≥．而1a <-， 由（Ⅰ）知)(x f 在（0，+∞）单调减少，从12121(0)|()()|4|x x f x f x x ∀∈+∞-，，，≥ 等价于12221(0)()4()x x f x x f x ∀∈+∞++，，，≥ 令x x f x g 4)()(+=， 则.421)(+++='ax xa x g ①等价于)(x g 在（0，+∞）单调减少，即1240a ax x+++≤从而2222241(21)42(221212x x x x a x x x ------==+++≤ 故a 的取值范围为(2]-∞-，．117. (2010 辽宁文) 已知点P 在曲线y =4e 1x+上，α为曲线在点P 处的切线的倾斜角，则α的取值范围是 （A ）π(0)4，（B ）ππ[)42， （C ）π3π(]24， （D ）3π[π)4，答案：D18. (2010 辽宁文) （本小题满分12分）已知函数1ln )1()(2+++=ax x a x f ．（Ⅰ）讨论函数)(x f 的单调性；（Ⅱ）设2a -≤．证明：对任意12(0)x x ∈+∞，，，1212|()()4||f x f x x x --≥．请考生在第（22）、（23）、（24）三题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分．做答时用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应题号下方的方框涂黑．答案：解：（Ⅰ） f （x ）的定义域为（0，+∞），2121()2a a x a f xa x xx+++'=+=．当0a ≥时，()f x '＞0，故f （x ）在（0，+∞）单当1a -≤时，()f x '＜0， 故f （x ）在（0，+∞）当10a -<<时，令()f x '＝0，解得x则当x ∈（0）时，()f x '＞0x +∞）时，()f x '＜0，故f （x ）在（0，）单调增加，在（， （Ⅱ）不妨假设12x x ≥．而2a -≤，故)(x f 在（0，+∞）单调减少，所以 1212|()()|4||f x f x x x --≥等价于2112()()44f x f x x x --≥ 即 2211()4()4f x x f x x ++≥．①令x x f x g 4)()(+=，则1()24a g x ax x+'=++224ax x a x ++=于是22441(21)()x x x g x x x-+---'=≤≤从而)(x g 在（0，+∞）单调减少，故12()()g x g x ≤，即1122()4()4f x x f x x ++≤，故对任意12(0)x x ∈+∞，，， 1212|()()|4||f x f x x x --≥． 12分19. (2010 全国I 理) （本小题满分12分）（注意：在试题卷上作答无效．．．．．．．．．） 已知函数()(1)ln 1f x x x x =+-+．（Ⅰ）若2()1xf x x ax '++≤，求a 的取值范围； （Ⅱ）证明：(1)()0x f x -≥．答案：解：（Ⅰ）11()ln 1ln x f x x x x x+'=+-=+，()ln 1xf x x x '=+，题设2()1xf x x ax '++≤等价于ln x x a -≤. 令()ln g x x x =-，则1()1g x x'=- 当01x ＜＜时，()0g x '＞；当1x ≥时，()0g x '≤，1x =是()g x 的最大值点，()(1)1g x g =-≤综上，a 的取值范围是[)1-+∞，. (Ⅱ)有（Ⅰ）知，()(1)1g x g =-≤，即ln 10x x -+≤.当01x ＜＜时，()(1)ln 1ln (ln 1)0f x x x x x x x x =+-+=+-+≤； 当1x ≥时，()ln (ln 1)f x x x x x =+-+1ln (ln 1)x x x x=++- 11ln (ln 1)x x x x=--+ 0≥ 所以(1)()0x f x -≥20. (2010 全国I 文) （本小题满分12分）（注意：在试题卷上作答无效．．．．．．．．．） 已知函数42()32(31)4f x ax a x x =-++ （Ⅰ）当16a =时，求()f x 的极值； （Ⅱ）若()f x 在()11-，上是增函数，求a 的取值范围．答案：解：（Ⅰ）()()()241331f x x ax ax '=-+-当16a =时，()22(2)(1)f x x x '=+-，()f x 在(2)-∞-，内单调减，在2-+∞（，）内单调增，在2x =-时，()f x 有极小值． 所以(2)12f -=-是()f x 的极小值． （Ⅱ）在(11)-，上，()f x 单调增加当且仅当2()4(1)(331)0f x x ax ax '=-+-≥，即23310ax ax +-≤， ① （i ）当0a =时①恒成立；（ii ）当0a >时①成立，当且仅当2313110a a +- ≤． 解得 16a ≤． （iii ）当0a <时①成立，即21331024a a x ⎛⎫+-- ⎪⎝⎭≤成立， 当且仅当 3104a--≤． 解得 43a -≥．综上，a 的取值范围是4136⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，．21. (2010 全国II 理) 若曲线12y x-=在点12a a -（，）处的切线与两个坐标轴围成的三角形的面积为18，则=aA ． 64B ． 32C ．16D ．8答案：A22. (2010 全国II 理) （本小题满分12分）已知函数()1.xf x e -=-（I ）证明:当1x >-时，()1xf x x +≥； （II ）设当0x ≥时， ()1xf x ax +≤，求a 的取值范围．答案：解:（I ）当1x >-时，()1x f x x +≥当且仅当1xe x +≥． 令()1xg x e x =--，则()1xg x e '=-，2分当0x ≥时， ()0g x '≥，()g x 在[0，)+∞是增函数； 当0x ≤时， ()0g x '≤，()g x 在(0]-∞，是减函数．于是()g x 在0x =处达到最小值，因而当x ∈R 时，()g x (0)g ≥，即1xe x +≥． 所以当1x >-时，()1xf x x +≥． 6分（II ）由题设0x ≥，此时()0f x ≥．当0a <时，若1xa >-，则01x ax <+．()1xf x ax +≤不成立； 当0a ≥时，令()()()h x axf x f x x =+-，则()1xf x ax +≤当且仅当()0h x ≤．()()()()1h x af x axf x f x '''=++- =()()().af x axf x ax f x -+- 8分（i ）当102a ≤≤时，由（I ）知(1)()x x f x +≤， ()()()(1)()()h x af x axf x a x f x f x '-++-≤=(21)()0a f x -≤．()h x 在[0)+∞，是减函数，()(0)0h x h =≤，即()1xf x ax +≤ 10分（ii ）当12a>时，由（i ）知()x f x ≥， ()()()()h x af x axf x ax f x '=-+-≥()()()()af x axf x af x f x -+-=(21)()a ax f x --， 当210a x a-<<时， ()0h x '>，所以()(0)0h x h >=，即()1xf x ax >+．综上，a 的取值范围是102⎡⎤⎢⎥⎣⎦，． 12分23. (2010 全国II 文) 若曲线2y x ax b =++在点(0)b ，处的切线方程是10x y -+=，则A ． 11a b ==，B ． 11a b =-=，C ． 11a b ==-，D ． 11a b =-=-，答案：A24. (2010 全国II 文) （本小题满分12分）已知函数32()331f x x ax x =-++． （I ）设2a =，求()f x 的单调区间；（II ）设()f x 在区间（2，3）上有一个极值点，求a 的取值范围．答案：解：（Ⅰ）当2a =时，32()631f x x x x =-++，()3(22f x x x '=-+--． 2分当(2x ∈-∞-，时()0f x '>，()f x 在(2-∞，单调增加；当(2x ∈时()0f x '<，()f x 在(2单调减少；当(2)x ∈++∞时()0f x '>，()f x 在(2)++∞单调增加．综上，()f x 的单调增区间是(2-∞，和(2)+∞，()f x 的单调减区间是(2． 6分（II ）22()3[()1]f x x a a '=-+-．当210a -≥时, ()0f x '≥，()f x 为增函数，故()f x 无极值点； 8分当210a -<时，()0f x '=有两个根1x a =-，2x a =由题意知23a <-< ①或23a <+< ②①式无解，②式的解为5543a <<． 因此a 的取值范围55()43，.12分25. (2010 山东理) 由曲线23y x y x ==，围成的封闭图形面积为（A ）121 （B ）41 （C ）31 （D ）127答案：A26. (2010 山东理) （本小题满分14分）已知函数1()ln 1()af x x ax a x-=-+-∈R ． （Ⅰ）当12a ≤时，讨论)(x f 的单调性； （Ⅱ）设2()24g x x bx =-+．当14a =时，若对任意1(02)x ∈，，存在2[12]x ∈，，使12()()f x g x ≥，求实数b 的取值范围．答案：本小题主要考查导数的概念以及利用导数研究函数性质的能力，考查分类讨论思想、数形结合思想、等价变换思想，以及综合运用知识解决新情境、新问题的能力．解：（Ⅰ）因为1()ln 1af x x ax x-=-+-，所以222111()(0)a ax x af x a x x x x --+-'=-+=-∈+∞，． 令2()1(0)h x ax x a x =-+-∈+∞，，， （1）当0()1(0)a h x x x ==-+∈+∞时，，，．所以，当(01)x ∈，时，()0h x >，此时()0f x '<，函数()f x 单调递减；当(1)x ∈+∞，时，()0h x <，此时()0f x '>，函数()f x 单调递增．（2）当0a ≠时，由()0f x '=， 即210axx a -+-=，解得12111x x a==-， ①当12a=时，12()0x x h x =，≥恒成立， 此时()0f x '≤，函数()f x 在（0，+∞）上单调递减； ②当1101102a a<<->>时，． (01)x ∈，时，()0h x >，此时()0f x '<，函数()f x 单调递减；1(11)x a ∈-，时，()0h x <，此时()0f x '>，函数()f x 单调递增；1(1)x a∈-+∞，时，()0h x >，此时()0f x '<，函数()f x 单调递减；③当0a <时，由于110a -<(01)x ∈，时，()0h x >，此时()0f x '<，函数()f x 单调递减； (1,)x ∈+∞时，()0h x <，此时()0f x '>，函数()f x 单调递增．综上所述：当0a ≤时，函数()f x 在（0，1）上单调递减； 函数()f x 在（1，＋∞）上单调递增；当12a=时，函数()f x 在（0，+∞）上单调递减；当102a <<时，函数()f x 在（0，1）上单调递减；函数()f x 在1(11)a-，上单调递增；函数1()(1)f x a -+∞在，上单调递减．（Ⅱ）因为11(0)22a =∈，，由（Ⅰ）知，1213(02)x x ==∉，，，当(01)x ∈，时，()0f x '<，函数()f x 单调递减；当(12)x ∈，时，()0f x '>，函数()f x 单调递增，所以()f x 在（0，2）上的最小值为1(1)2f =-．由于“对任意1(02)x ∈，，存在2[12]x ∈，，使12()()f x g x ≥”等价于 “()g x 在[1，2]上的最小值不大于()f x 在（0，2）上的最小值12-” （*） 又22()()4[12]g x x b b x =-+-∈，，，所以①当1b <时，因为min [()](1)520g x g b ==->，此时与（*）矛盾； ②当[12]b ∈，时，因为2min [()]40g x b =-≥，同样与（*）矛盾；③当(2)b ∈+∞，时，因为min [()](2)84g x g b ==-，解不等式1842b --≤，可得17.8b ≥ 综上，b 的取值范围是17[).8+∞，27. (2010 山东文) （本小题满分12分）已知函数1()ln 1()af x x ax a x-=-+-∈R ． （Ⅰ）当1a =-时，求曲线()y f x =在点(2(2))f ，处的切线方程； （Ⅱ）当12a ≤时，讨论)(x f 的单调性．答案：本小题主要考查导数的概念、导数的几何意义和利用导数研究函数性质的能力，考查分类讨论思想、数形结合思想和等价变换思想．满分12分．解：（Ⅰ）当1a =-时，2()ln 1f x x x x=++-，(0)x ∈+∞，． 所以222()x x f x x +-'=，(0)x ∈+∞，，因此(2)1f '=，即曲线()y f x =在点(2(2))f ，处的切线斜率为1． 又(2)ln 22f =+，所以曲线()y f x =在点(2(2))f ，处的切线方程为(ln 22)2y x -+=-， 即ln 20x y -+=． （Ⅱ）因为1()ln 1af x x ax x-=-+-，所以222111()(0)a ax x af x a x x x x --+-'=-+=-∈+∞，． 令2()1(0)g x ax x a x =-+-∈+∞，，， （1）当0()1(0)a g x x x ==-+∈+∞时，，，． 所以，当(01)x ∈，时，()0g x >此时()0f x '<，函数()f x 单调递减；当(1)x ∈+∞，时，()0g x <，此时()0f x '>，函数()f x 单调递增．（2）当0a ≠时，由()0f x '=， 即210axx a -+-=，解得12111x x a==-， ①当12a=时，12()0x x g x =，≥恒成立， 此时()0f x '≤，函数()f x 在（0，+∞）上单调递减；②当1101102a a<<->>时，．(01)x ∈，时，()0g x >，此时()0f x '<，函数()f x 单调递减；1(11)x a ∈-，时，()0g x <，此时()0f x '>，函数()f x 单调递增；1(1)x a∈-+∞，时，()0g x >，此时()0f x '<，函数()f x 单调递减．③当0a <时，由于110a -<，(01)x ∈，时，()0g x >，此时()0f x '<，函数()f x 单调递减； (1,)x ∈+∞时，()0g x <，此时()0f x '>，函数()f x 单调递增．综上所述：当0a ≤时，函数()f x 在（0，1）上单调递减； 函数()f x 在（1，＋∞）上单调递增；当12a=时，函数()f x 在（0，+∞）上单调递减； 当102a <<时，函数()f x 在（0，1）上单调递减；函数()f x 在1(11)a -，上单调递增；函数1()(1)f x a-+∞在，上单调递减．28. (2010 陕西理) （本小题满分14分）已知函数()f x =()ln g x a x =，a ∈R ．（Ⅰ）若曲线()y f x =与曲线()y g x =相交，且在交点处有相同的切线，求a 的值和该切线的方程；（Ⅱ）设函数()() ()h x f x g x =-，当()h x 存在最小值时，求其最小值()a ϕ的解析式； （Ⅲ）对（Ⅱ）中的()a ϕ和任意的00a b >>，，证明：()()2()()22a b a b aba bϕϕϕϕ''++''+≤≤．答案：解：（Ⅰ）()()(0)af xg x x x''==>，由已知得ln a x a x ==，， 解得2e a =，2x e =，∴两条曲线交点的坐标为（2e ，e ）．切线的斜率为ee f k 21)(2='=，∴切线的方程为21()2y e x e e-=-．（Ⅱ）由条件知()ln (0)()ah x a x x h x x '=>∴==， （i ）当0a >时，令()0h x '=，解得24x a =，∴当204x a <<时 ()0h x '<，()h x 在（0，24a ）上递减； 当x >24a 时，()0h x '>，()h x 在（24a ，+∞）上递增．∴24x a >是()h x 在（0，+∞）上的唯一极值点，且是极小值点，从而也是()h x 的最小值点． ∴最小值()a ϕ22(4)2ln 42(1ln 2)h a a a a a a ==-=-．（ii ）当0a ≤时，2()0()(0)2ah x h x x'=>+∞，在，递增，无最小值． 故()h x 的最小值()a ϕ的解析式为()a ϕ=2(1ln 2) (0)a a a ->． （Ⅲ）由（Ⅱ）知()a ϕ'=2ln 2a -． 对任意的00a b >>，，()()2ln 22ln 2ln 422a b a bab ϕϕ''++=-=- ， ①2()2ln(2)ln()ln 422a b a ba b ab ϕ++'=-=-+- ≤，②22()2ln(2)ln 4ab ab ab a b a b ϕ'=--=-++ ≥， ③ 故由①，②，③得()()2()()22a b a b aba bϕϕϕϕ''++''+≤≤．29. (2010 陕西文) （本小题满分14分）已知函数()f x =()ln g x a x =，a ∈R ．（Ⅰ）若曲线()y f x =与曲线()y g x =相交，且在交点处有相同的切线，求a 的值及该切线的方程；（Ⅱ）设函数()() ()h x f x g x =-，当()h x 存在最小值时，求其最小值()a ϕ的解析式； （Ⅲ）对（Ⅱ）中的()a ϕ，证明：(0)a ∈+∞，时，()1a ϕ≤．答案：解：（I）()()(0)af xg x x x''==>，由已知得ln a x ax ==，， 解得2e a =，2x e =， ∴两条曲线交点的坐标为（2e ，e ）．切线的斜率为ee f k 21)(2='=，∴切线的方程为21()2y e x e e-=-． （II）由条件知2()ln (0)()2aah x a x x h x x x'=>∴==，， （i ）当0a >时，令()0h x '=，解得24x a =，∴当204x a <<时，()0h x '<，()h x 在（0，24a ）上递减； 当x >24a 时，()0h x '>，()h x 在（24a ，+∞）上递增．∴24x a =是()h x 在（0，+∞）上的唯一极值点，且是极小值点，从而也是()h x 的最小值点． ∴最小值()a ϕ22(4)2ln 42(1ln 2)h a a a a a a ==-=-．（ii ）当0a ≤时，2()0()2ah x h x x'=>，在(0)+∞，上递增，无最小值． 故()h x 的最小值()a ϕ的解析式为()a ϕ=2(1ln 2) (0)a a a ->． （III ）由（II ）知()a ϕ2(1ln 2ln )a a =--， 则()2ln 2a a ϕ'=-，令()0a ϕ'=解得12a=．当210<<a时，()0a ϕ'>，∴()a ϕ在（0，21）上递增； 当12a >时，()0a ϕ'<，∴()a ϕ在1()2+∞，上递减．)(a ϕ∴在21=a 处取得极大值1()12ϕ=，)(a ϕ 在(0)+∞，上有且只有一个极值点，所以1)21(=ϕ也是)(a ϕ的最大值．∴当(0)a ∈+∞，时，总有()1a ϕ≤．30. (2010 四川理) （本小题满分14分）设1()1xxa f x a +=-（0a >且1a ≠），()g x 是()f x 的反函数．（Ⅰ）设关于x 的方程2log ()(1)(7)a tg x x x =--在区间[]26，上有实数解，求t 的取值范围；（Ⅱ）当a e =（e为自然对数的底数）时，证明：22()nk g k =>∑；（Ⅲ）当102a <≤时，试比较1()nk f k n =∣-∣∑与4的大小，并说明理由．答案：本小题考查函数、反函数、方程、不等式、导数及其应用等基础知识，考查化归、分类整合等数学思想方法，以及推理论证、分析与解决问题的能力．解：（Ⅰ）由题意，得101xy a y -=>+，故1()log (1)(11ax g x x x -=∈-∞-++，，∪，由11log )7)(1(log 2+-=--x x x x t a a得22(1)(7)[26]318153(1)(5t x x x t x x x x =--∈'=-+-=---则，，，列表如下：所以532t t ==最小值最大值，．所以t 的取值范围为[5，32]．（（Ⅱ）21231()ln ln ln ln 3451nk n g k n =-=+++++∑1231ln()3451(1)ln2n n n n -=⨯⨯⨯⨯++=-222211()ln 2ln 211()1(1)0.z u z z z z z zu z z z z-=--=-+-'=-++=-令，则≥ 所以()u z 在(0)+∞，上是增函数．10>>，所以(1)0u u >=， 即(1)12ln0(1)n n n n +-->+， 即22()nk g k =>∑．（9分）（Ⅲ）设11211(1)1311a a p f p a p+=<==++-，则≥，≤． 当1n =时，2(1)124f p-=<≤． 当2n ≥时，设2k k ∈*N ≥，时，则(1)12()1(1)1(1)1k k k p f k p p ++==++-+-12221C C C k kk k k P P P=++++12212441()111C C (1)441()1121()(1)1 4.k knk nk f k k k k n f k n n n nn f k f n n ==<+=+=+++-<-+-=+-+<<+++∑∑所以从而所以≤≤≤ 综上，总有1() 4.nk f k n =-<∑（14分）31. (2010 四川文) （本小题满分14分）设1()1xxa f x a+=-（0a >且1a ≠），()g x 是()f x 的反函数． （Ⅰ）求()g x ；（Ⅱ）当x ∈[]26，时，恒有()g x >2log (1)(7)a tx x --成立，求t 的取值范围；（Ⅲ）当102a <≤时，试比较(1)(2)()f f f n +++ 与4n +的大小，并说明理由．答案：本小题考查函数、反函数、不等式、导数及其应用等基础知识，考查化归、分类整合等数学思想方法，以及推理论证、分析与解决问题的能力．解：（Ⅰ）由题意得，11ny a y -=+，故1()log (1)(11ax g x x x -=∈-∞-++，，∪，（Ⅱ）由)7)(1(log 11log )(2x x tx x x g a a-->+-=得 ①当1a >时，2101(1)(7)x t x x x ->>+--．。

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第一节 导数的概念及运算 定积分

第一节 导数的概念及运算 定积分

第一节 导数的概念及运算 定积分考试要求1．了解导数概念的实际背景.2.理解导数的几何意义.3.能利用基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数.4.能求简单的复合函数(仅限于形如f (ax ＋b )的复合函数)的导数．5．了解定积分的实际背景；了解定积分的基本思想，定积分的概念，微积分基本定理的含义．[知识排查·微点淘金]知识点1 导数的概念一般地，函数y ＝f (x )在x ＝x 0处导数的定义，称函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的瞬时变化率lim x →0_f （x 0＋Δx ）－f （x 0）Δx＝lim x →0 ΔyΔx 为函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数，记作f ′(x 0)或y ′|x ＝x 0，即f ′(x 0)＝lim x →0Δy Δx ＝lim x →0_f （x 0＋Δx ）－f （x 0）Δx． [微思考]f ′(x )与f ′(x 0)有什么．提示：f ′(x )是一个函数，f ′(x 0)是函数f ′(x )在x 0处的函数值(常数)，所以[f ′(x 0)]′＝0. 知识点2 导数的几何意义函数f (x )在点x 0处的导数f ′(x 0)的几何意义是：在曲线y ＝f (x )上点P (x 0，y 0)处的切线的斜率(瞬时速度就是位移函数s (t )对时间t 的导数)．相应地，切线方程为y －y 0＝f ′(x 0)·(x －x 0)．[微思考]直线与曲线只有一个公共点，则该直线一定与曲线相切吗？为什么？提示：不一定．因为直线与曲线的公共点个数不是切线的本质特征，直线与曲线只有一个公共点，不能说明直线就是曲线的切线，反之，直线是曲线的切线，也不能说明直线与曲线有一个公共点，但切点一定是直线与曲线的公共点．[微提醒]1．“过”与“在”：曲线y ＝f (x )“在点P (x 0，y 0)处的切线”与“过点P (x 0，y 0)的切线”的区别：前者P (x 0，y 0)为切点，而后者P (x 0，y 0)不一定为切点．2．“切点”与“公共点”：曲线的切线与曲线的公共点的个数不一定只有一个，而直线与二次曲线相切只有一个公共点．知识点3 求导公式及运算法则 (1)基本初等函数的导数公式 ①c ′＝0；②(x α)′＝αx α－1(α∈Q 且α≠0)； ③(sin x )′＝cos_x ； ④(cos x )′＝－sin_x ； ⑤(a x )′＝a x ·ln_a ； ⑥(e x )′＝e x ； ⑦(log a x )′＝1x ln a； ⑧(ln x )′＝1x ．(2)导数的运算法则 ①[f (x )±g (x )]′＝f ′(x )±g ′(x )； ②[f (x )·g (x )]′＝f ′(x )g (x )＋f (x )g ′(x )； ③⎣⎢⎡⎦⎥⎤f （x ）g （x ）′＝f ′（x ）·g （x ）－g ′（x ）·f （x ）g （x ）(g (x )≠0)． (3)复合函数的求导法则复合函数y ＝f (g (x ))对自变量的导数等于已知函数对中间变量的导数与中间变量对自变量的导数的乘积．设y ＝f (u )，u ＝g (x )，则y ′x ＝f ′(u )·g ′(x )．知识点4 定积分(1)定积分的概念、几何意义及性质 ①定积分的相关概念在⎠⎛ab f (x )d x 中，a ，b 分别叫做积分下限与积分上限，区间[a ，b ]叫做积分区间，f (x )叫做被积函数，x 叫做积分变量，f (x )d x 叫做被积式．②定积分的几何意义y ＝f (x )所围成的曲边梯形的面积f (x )＜0 表示由直线x ＝a ，x ＝b ，y ＝0及曲线y ＝f (x )所围成的曲边梯形的面积的相反数f (x )在[a ，b ] 上有正有负表示位于x 轴上方的曲边梯形的面积减去位于x 轴下方的曲边梯形的面积③定积分的三个性质a.⎠⎛a b kf (x )d x ＝k ⎠⎛ab f (x )d x (k 为常数)；b.⎠⎛a b [f 1(x )±f 2(x )]d x ＝⎠⎛a b f 1(x )d x ±⎠⎛ab f 2(x )d x ；c.⎠⎛a b f (x )d x ＝⎠⎛a b f (x )d x ＋⎠⎛ab f (x )d x (其中a ＜c ＜b )．(2)微积分基本定理一般地，如果f (x )是区间[a ，b ]上的连续函数，并且F ′(x )＝f (x )，那么⎠⎛ab f (x )d x ＝F (b )－F (a )，这个结论叫做微积分基本定理，又叫做牛顿—莱布尼茨公式 .通常记作⎠⎛ab f (x )d x ＝F (x )|b a ＝F (b )－F (a )．如果F ′(x )＝f (x )，那么称F (x )是f (x )的一个原函数． 常用结论函数f (x )在闭区间[－a ，a ]上连续，则有1．若f (x )为偶函数，则⎠⎛－a a f (x )d x ＝2⎠⎛0a f (x )d x ；2．若f (x )为奇函数，则⎠⎛－aa f (x )d x ＝0.[小试牛刀·自我诊断]1．思考辨析(在括号内打“ √”或“×”)(1)f ′(x 0)是函数y ＝f (x )在x ＝x 0附近的平均变化率．(×) (2)求f ′(x 0)时，可先求f (x 0)，再求f ′(x 0)．(×) (3)曲线的切线不一定与曲线只有一个公共点．(√) (4)与曲线只有一个公共点的直线一定是曲线的切线．(×)(5)曲线y ＝f (x )在点P (x 0，y 0)处的切线与过点P (x 0，y 0)的切线相同．(×) (6)设函数y ＝f (x )在区间[a ，b ]上连续，则⎠⎛a b f (x )d x ＝⎠⎛ab f (t )d t .(√)2．(链接教材选修2－2 P 50A 组T 5)定积分⎠⎛－11|x |d x ＝( )A ．1B ．2C ．3D ．4答案：A3．(链接教材选修2－2 P 3例题)在高台跳水运动中，t s 时运动员相对于水面的高度(单位：m)是h (t )＝－4.9t 2＋6.5t ＋10，则运动员的速度v ＝________m/s ，加速度a ＝________m/s 2.答案：－9.8t ＋6.5 －9.84．(不会用方程法解导数求值)已知f (x )＝x 2＋3xf ′(2)，则f (2)＝________．解析：因为f ′(x )＝2x ＋3f ′(2)，令x ＝2，得f ′(2)＝－2，所以f (x )＝x 2－6x ，所以f (2)＝－8.答案：－85．(混淆在点P 处的切线和过P 点的切线)已知曲线y ＝a e x ＋x ln x 在点(1，a e)处的切线方程为y ＝2x ＋b ，则a 的值为________；b 的值为________．解析：y ′＝a e x ＋ln x ＋1 ∴⎩⎪⎨⎪⎧a e ＋1＝2，a e ＝2＋b ，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1e，b ＝－1. 答案：1e－1一、基础探究点——导数的运算(题组练透)1．已知f (x )＝cos 2x ＋e 2x ，则f ′(x )＝( ) A ．－2sin 2x ＋2e 2x B ．sin 2x ＋e 2x C ．2sin 2x ＋2e 2x D ．－sin 2x ＋e 2x解析：选A 由题意f ′(x )＝－sin 2x ·2＋e 2x ·2＝－2sin 2x ＋2e 2x ，故选A. 2．已知f (x )＝x (2021＋ln x )，若f ′(x 0)＝2022，则x 0＝( ) A ．e 2 B ．1 C ．ln 2D ．e解析：选B 因为f (x )＝x (2021＋ln x )， 所以f ′(x )＝2021＋ln x ＋1＝2022＋ln x . 又f ′(x 0)＝2022，所以2022＋ln x 0＝2022，所以x 0＝1.故选B.3．(2020·全国卷Ⅲ)设函数f (x )＝e x x ＋a，若f ′(1)＝e4，则a ＝________．解析：由f ′(x )＝e x （x ＋a ）－e x （x ＋a ）2，可得f ′(1)＝e a （1＋a ）2＝e 4，即a （1＋a ）2＝14，解得a ＝1.答案：14．若f (x )＝x 3＋2x －x 2ln x －1x 2，则f ′(x )＝________．解析：由已知f (x )＝x －ln x ＋2x －1x 2，∴f ′(x )＝1－1x －2x 2＋2x 3.答案：1－1x －2x 2＋2x31.求函数导数的总原则：先化简解析式，再求导.2.常见形式及具体求导方法连乘形式 先展开化为多项式形式，再求导三角形式 先利用三角函数公式转化为和或差的形式，再求导 分式形式 先化为整式函数或较为简单的分式函数，再求导 根式形式 先化为分数指数幂的形式，再求导 对数形式 先化为和、差形式，再求导复合函数 先确定复合关系，由外向内逐层求导，必要时可换元二、应用探究点——导数的几何意义(多向思维)[典例剖析]思维点1 求曲线的切线方程[例1] (2021·全国甲卷)[一题多解]曲线y ＝2x －1x ＋2在点(－1，－3)处的切线方程为______．解析：解法一：y ′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －1x ＋2′＝2（x ＋2）－（2x －1）（x ＋2）2＝5（x ＋2）2，所以y ′|x ＝－1＝5（－1＋2）2＝5，所以切线方程为y ＋3＝5(x ＋1)，即5x －y ＋2＝0.解法二：本题可以先将函数转化为y ＝2（x ＋2）－5x ＋2＝2－5x ＋2，再求导数．答案：5x －y ＋2＝0解决这类问题的方法都是根据曲线在点(x 0，y 0)处的切线的斜率k ＝f ′(x 0)，直接求解或结合已知所给的平行或垂直等条件得出关于斜率的等式来求解．解决这类问题的关键是抓住切线的斜率．思维点2 求切点坐标[例2] 若曲线y ＝x ln x 上点P 处的切线平行于直线2x －y ＋1＝0，则点P 的坐标是________．解析：设切点P 的坐标为(x 0，y 0)，因为y ′＝ln x ＋1， 所以切线的斜率k ＝ln x 0＋1，由题意知k ＝2，得x 0＝e ，代入曲线方程得y 0＝e. 故点P 的坐标是(e ，e)． 答案：(e ，e) [拓展变式][变条件]若本例变为：曲线y ＝x ln x 上点P 处的切线与直线x ＋y ＋1＝0垂直，则该切线的方程为________．解析：设切点P 的坐标为(x 0，y 0)， 因为y ′＝ln x ＋1，由题意得ln x 0＋1＝1， 所以ln x 0＝0，x 0＝1，即点P (1，0)， 所以切线方程为y ＝x －1，即x －y －1＝0. 答案：x －y －1＝0已知切线方程(或斜率)求切点的一般思路是先求函数的导数，再让导数等于切线的斜率，从而求出切点的横坐标，将横坐标代入函数解析式求出切点的纵坐标．思维点3 由曲线的切线(斜率)求参数值(范围)[例3] (1)直线y ＝kx ＋1与曲线y ＝x 3＋ax ＋b 相切于点A (1，3)，则2a ＋b 的值等于( ) A ．2 B ．－1 C ．1D ．－2解析：依题意知，y ′＝3x 2＋a ，则⎩⎪⎨⎪⎧13＋a ＋b ＝3，3×12＋a ＝k ，k ＋1＝3，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝3，k ＝2，所以2a ＋b ＝1.故选C.答案：C(2)若点P 是函数y ＝e x －e －x －3x ⎝⎛⎭⎫－12≤x ≤12图象上任意一点，且在点P 处切线的倾斜角为α，则α的最小值是________．解析：由导数的几何意义，知k ＝y ′＝e x ＋e －x －3≥2 e x ·e －x －3＝－1，当且仅当x ＝0时等号成立．即tan α≥－1，α∈[0，π)．又－12≤x ≤12，tan α＝k ＜0，所以α的最小值是3π4.答案：3π4解与切线有关的参数问题，通常根据曲线、切线、切点的三个关系列出参数的方程并解出参数；①切点处的导数是切线的斜率；②切点在切线上；③切点在曲线上．思维点4 两曲线的公切线问题[例4] 设x 1为曲线y ＝－1x (x <0)与y ＝ln x 的公切线的一个切点横坐标，且x 1<0，则满足m ≥x 1的最小整数m 的值为________．解析：y ＝－1x (x <0)的导数为y ′＝1x 2，y ＝ln x 的导数为y ′＝1x ，设与y ＝ln x 相切的切点的横坐标为n ， 由切线方程y ＝1n x ＋ln n －1，以及y ＝x x 21－2x 1，可得1n ＝1x 21，ln n －1＝－2x 1，消去n ，可得2－x 1＝2ln(－x 1)－1，设t ＝－x 1(t >0)，可得2t＝2ln t －1，设f (t )＝2ln t －1－2t ，可得f (2)＝2ln 2－2<0，f (3)＝2ln 3－53>0，且f (t )在(2，3)递增，可得2t ＝2ln t －1的根介于(2，3)之间，即有x 1∈(－3，－2)，m ≥x 1恒成立，可得m ≥－2，即m 的最小值为－2. 答案：－2解决两曲线的公切线问题的两种方法(1)利用其中一曲线在某点处的切线与另一曲线相切，列出关系式求解；(2)设公切线l 在y ＝f (x )上的切点P 1(x 1，f (x 1))，在y ＝g (x )上的切点P 2(x 2，g (x 2))，则f ′(x 1)＝g ′(x 2)＝f （x 1）－g （x 2）x 1－x 2.[学会用活]1．(2020·全国卷Ⅰ)曲线y ＝ln x ＋x ＋1的一条切线的斜率为2，则该切线的方程为________．解析：设切点坐标为(x 0，ln x 0＋x 0＋1)．由题意得y ′＝1x ＋1，则该切线的斜率k ＝1x 0＋1＝2，解得x 0＝1，所以切点坐标为(1，2)，所以该切线的方程为y －2＝2(x －1)，即y ＝2x .答案：2x －y ＝02．(2021·贵阳模拟)设函数f (x )＝x 3＋(a －1)·x 2＋ax ，若f (x )为奇函数，且函数y ＝f (x )在点P (x 0，f (x 0))处的切线与直线x ＋y ＝0垂直，则切点P (x 0，f (x 0))的坐标为________．解析：∵f (x )＝x 3＋(a －1)x 2＋ax ， ∴f ′(x )＝3x 2＋2(a －1)x ＋a .又f (x )为奇函数，∴f (－x )＝－f (x )恒成立，即－x 3＋(a －1)x 2－ax ＝－x 3－(a －1)x 2－ax 恒成立，∴a ＝1，f ′(x )＝3x 2＋1，3x 20＋1＝1，x 0＝0，f (x 0)＝0， ∴切点P (x 0，f (x 0))的坐标为(0，0)． 答案：(0，0)3．已知直线y ＝kx －2与曲线y ＝x ln x 在x ＝e 处的切线平行，则实数k 的值为________． 解析：由y ＝x ln x ，得y ′＝ln x ＋1，所以当x ＝e 时，y ′＝ln e ＋1＝2，所以曲线y ＝x ln x 在x ＝e 处的切线的斜率为2.又该切线与直线y ＝kx －2平行，所以k ＝2.答案：24．(2021·内蒙古包头一模)若曲线f (x )＝a ln x (a ∈R )与曲线g (x )＝x 在公共点处有共同的切线，则实数a 的值为________．解析：函数f (x )＝a ln x 的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝a x ，g ′(x )＝12x ，设曲线f (x )＝a ln x与曲线g (x )＝x 的公共点为(x 0，y 0)，由于在公共点处有共同的切线，∴a x 0＝12x 0，解得x 0＝4a 2，a ＞0. 由f (x 0)＝g (x 0)，可得a ln x 0＝x 0.联立⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝4a 2，a ln x 0＝x 0，解得a ＝e2.答案：e 2三、应用探究点——定积分(多向思维)[典例剖析]思维点1 定积分的计算[例5] 计算：(1)⎠⎛0π(sin x －cos x )d x ＝________．(2)若f (x )＝3＋2x －x 2，则⎠⎛13f (x )d x 为______．(3)设f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2，x ∈[0，1]，1x ，x ∈（1，e](e 为自然对数的底数)，则⎠⎛0e f (x )d x 的值为________．解析：(1)⎠⎛0π(sin x －cos x )d x ＝⎠⎛0πsin x d x －⎠⎛0πcos x d x ＝2.(2)由y ＝3＋2x －x 2＝4－（x －1）2，得(x －1)2＋y 2＝4(y ≥0)，表示以(1，0)为圆心，2为半径的圆在x 轴及其上方的部分，所以⎠⎛133＋2x －x 2d x 是圆面积的14.所以⎠⎛133＋2x －x 2d x ＝14·π·22＝π.(3)因为f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2，x ∈[0，1]，1x ，x ∈（1，e]，因为⎝⎛⎭⎫13x 3′＝x 2， (ln x )′＝1x ，所以⎠⎛0e f (x )d x ＝⎠⎛01x 2d x ＋⎠⎛1e 1xd x ＝13＋1＝43.答案：(1)2 (2)π (3)43应用微积分基本定理计算定积分的步骤1．把被积函数变形为幂函数、正弦函数、余弦函数、指数函数与常数的积的和或差． 2．把定积分用定积分性质变形为求被积函数为上述函数的定积分． 3．分别用求导公式找到一个相应的原函数． 4．利用微积分基本定理求出各个定积分的值． 5．计算原始定积分的值．思维点2 利用定积分求平面图形的面积[例6] [一题多解]由抛物线y 2＝2x 与直线y ＝x －4围成的平面图形的面积为________． 解析：如图所示，联立方程组⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝2x ，y ＝x －4，解得两交点的坐标分别为(2，－2)，(8，4)． 解法一：选取横坐标x 为积分变量，则图中阴影部分的面积S 可看作两部分面积之和，即S ＝2⎠⎛022x d x ＋⎠⎛28(2x －x ＋4)d x ＝23(2x )32⎪⎪⎪20＋⎣⎡⎦⎤13（2x ）32－12x 2＋4x ⎪⎪⎪82＝163＋⎝⎛⎭⎫643－263＝543＝18. 解法二：选取纵坐标y 为积分变量，则图中阴影部分的面积为S ＝⎠⎛－24⎝⎛⎭⎫y ＋4－12y 2d y ＝⎝⎛⎭⎫12y 2＋4y －16y 3⎪⎪⎪4－2＝18. 答案：18 [拓展变式]1．[变条件]若本例变为：由曲线y ＝2x 2，直线y ＝－4x －2，直线x ＝1围成的封闭图形的面积为________．解析：由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2x 2，y ＝－4x －2，解得x ＝－1，依题意可得，所求的封闭图形的面积为⎠⎛－11(2x 2＋4x ＋2)d x ＝⎝⎛⎭⎫23x 3＋2x 2＋2x |1－1＝⎝⎛⎭⎫23×13＋2×12＋2×1－⎣⎡⎦⎤23×（－1）3＋2×（－1）2＋2×（－1）＝163. 答案：1632．[变条件，变结论]若本例变为：设a ＞0，若曲线y ＝x 与直线x ＝a ，y ＝0所围成封闭图形的面积为a 2，则a ＝________．解析：封闭图形如图所示，则⎠⎛0ax d x ＝23x 32⎪⎪⎪a0＝23a 32－0＝a 2，解得a ＝49. 答案：49利用定积分求平面图形面积的步骤(1)根据题意画出图形．(2)借助图形确定出被积函数，求出交点坐标，确定积分的上、下限． (3)把平面图形的面积表示成若干个定积分的和或差． (4)计算定积分得出答案．[学会用活]5.⎠⎛1e 1x d x ＋⎠⎛－224－x 2d x ＝________．解析：⎠⎛1e 1x d x ＝ln x |e 1＝1－0＝1，因为⎠⎛－224－x 2d x 表示的是圆x 2＋y 2＝4在x 轴及其上方的面积，故⎠⎛－224－x 2d x ＝12π·22＝2π，故答案为2π＋1.答案：2π＋16．(2021·江西宜春重点高中月考)函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋4，－4≤x ＜0，4cos x ，0≤x ≤π2的图象与x 轴所围成的封闭图形的面积为________．解析：由题意可得围成的封闭图形的面积 S ＝⎠⎛－4(x ＋4)d x ＋∫π204cos x d x＝⎝⎛⎭⎫12x 2＋4x |0－4＋4sin x |π20 ＝0－(8－16)＋4sin π2－0＝12.答案：12限时规范训练 基础夯实练1．定积分⎠⎛01(2x ＋e x )d x 的值为( )A ．e ＋2B ．e ＋1C ．eD ．e －1解析：选C ⎠⎛01(2x ＋e x )d x ＝(x 2＋e x )|10＝(1＋e)－(0＋e 0)＝e ，故选C.2．(2021·晋南高中联考)函数f (x )＝ln 2x －1x 的图象在点⎝⎛⎭⎫12，f ⎝⎛⎭⎫12处的切线方程为( ) A ．y ＝6x －5 B ．y ＝8x －6 C ．y ＝4x －4D ．y ＝10x －7解析：选A f ⎝⎛⎭⎫12＝ln 1－2＝－2，因为f ′(x )＝1x ＋1x 2，所以f ′⎝⎛⎭⎫12＝6，所以切线方程为y －(－2)＝6⎝⎛⎭⎫x －12，即y ＝6x －5，故选A. 3．已知函数f (x )＝(x 2＋m )e x (m ∈R )的图象在x ＝1处的切线的斜率等于e ，且g (x )＝f （x ）x，则g ′(－1)＝( )A.4e B ．－4eC.e 4D ．－e 4解析：选A 由题意得f ′(x )＝2x e x ＋(x 2＋m )e x ＝(x 2＋2x ＋m )e x ，f ′(1)＝(3＋m )e ，由题意得(3＋m )e ＝e ，所以m ＝－2，所以f (x )＝(x 2－2)e x .解法一：所以g (x )＝f （x ）x ＝⎝⎛⎭⎫x －2x e x ，g ′(x )＝⎝⎛⎭⎫1＋2x 2e x ＋⎝⎛⎭⎫x －2x e x ，所以g ′(－1)＝4e . 解法二：f ′(x )＝(x 2＋2x －2)e x ，f (－1)＝－1e ，所以f ′(－1)＝－3e ，又g ′(x )＝xf ′（x ）－f （x ）x 2，所以g ′(－1)＝4e.4．(2021·贵阳市四校联考)直线l 过抛物线E ：y 2＝4x 的焦点且与x 轴垂直，则直线l 与E 所围成的图形的面积等于( )A ．2B ．43C.83D ．163解析：选C 由题意，得直线l 的方程为x ＝1，将y 2＝4x 化为y ＝±2x ，由定积分的几何意义，得所求图形的面积为S ＝2⎠⎛012x d x ＝4⎠⎛01x 12d x ＝4×⎝⎛⎭⎫23x 32|10＝83×1＝83，故选C. 5．如果f ′(x )是二次函数，且f ′(x )的图象开口向上，顶点坐标为(1，3)，那么曲线y ＝f (x )上任一点的切线的倾斜角α的取值范围是( )A.⎝⎛⎦⎤0，π3 B ．⎣⎡⎭⎫π3，π2 C.⎝⎛⎦⎤π2，2π3D ．⎣⎡⎭⎫π3，π解析：选B 根据题意，得f ′(x )≥3，则曲线y ＝f (x )上任一点的切线的斜率k ＝tan α≥ 3. 结合正切函数的图象可得α∈⎣⎡⎭⎫π3，π2.故选B.6．已知直线y ＝2x ＋1与曲线y ＝x 3＋ax ＋b 相切于点(1，3)，则a ＝________，b ＝________．解析：因为(x 3＋ax ＋b )′＝3x 2＋a ，所以⎩⎪⎨⎪⎧3×12＋a ＝2，13＋a ·1＋b ＝3，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝3.答案：－1 37．若f (x )＝13x 3－12f ′(1)·x 2＋x ＋12，则曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线方程是________．解析：因为f (x )＝13x 3－12f ′(1)x 2＋x ＋12，所以f ′(x )＝x 2－f ′(1)x ＋1，所以f ′(1)＝1－f ′(1)＋1，所以f ′(1)＝1，所以f (1)＝13－12＋1＋12＝43，曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线方程是y －43＝x－1，即3x －3y ＋1＝0.答案：3x －3y ＋1＝08．已知函数f (x )＝x 3－4x 2＋5x －4. (1)求曲线f (x )在点(2，f (2))处的切线方程； (2)求经过点A (2，－2)的曲线f (x )的切线方程． 解：(1)∵f ′(x )＝3x 2－8x ＋5，∴f ′(2)＝1， 又f (2)＝－2，∴曲线在点(2，f (2))处的切线方程为y ＋2＝x －2， 即x －y －4＝0.(2)设曲线与经过点A (2，－2)的切线相切于点P (x 0，x 30－4x 20＋5x 0－4)，∵f ′(x 0)＝3x 20－8x 0＋5，∴切线方程为y －(－2)＝(3x 20－8x 0＋5)·(x －2)， 又切线过点P (x 0，x 30－4x 20＋5x 0－4)， ∴x 30－4x 20＋5x 0－2＝(3x 20－8x 0＋5)(x 0－2)， 整理得(x 0－2)2(x 0－1)＝0，解得x 0＝2或1，∴经过点A (2，－2)的曲线f (x )的切线方程为x －y －4＝0或y ＋2＝0. 9．(2021·淮南模拟)已知函数f (x )＝x 2－ln x . (1)求函数f (x )在点(1，f (1))处的切线方程；(2)在函数f (x )＝x 2－ln x 的图象上是否存在两点，使以这两点为切点的切线互相垂直，且切点的横坐标都在区间⎣⎡⎦⎤12，1上？若存在，求出这两点的坐标，若不存在，请说明理由．解：(1)由题意可得f (1)＝1，且f ′(x )＝2x －1x，f ′(1)＝2－1＝1，则所求切线方程为y －1＝1·(x －1)，即y ＝x .(2)假设存在两点满足题意，且设切点坐标为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)， 则x 1，x 2∈⎣⎡⎦⎤12，1，不妨设x 1＜x 2，结合题意和(1)中求得的导函数解析式可得⎝⎛⎭⎫2x 1－1x 1⎝⎛⎭⎫2x 2－1x 2＝－1， 又函数f ′(x )＝2x －1x 在区间⎣⎡⎦⎤12，1上单调递增，函数的值域为[－1，1]， 故－1≤2x 1－1x 1＜2x 2－1x 2≤1，据此有⎩⎨⎧2x 1－1x 1＝－1，2x 2－1x 2＝1，解得x 1＝12，x 2＝1⎝⎛⎭⎫x 1＝－1，x 2＝－12舍去， 故存在两点⎝⎛⎭⎫12，ln 2＋14，(1，1)满足题意． 综合提升练10．已知直线y ＝1m 是曲线y ＝x e x 的一条切线，则实数m 的值为( )A ．－1eB ．－e C.1eD ．e解析：选B 设切点坐标为⎝⎛⎭⎫n ，1m ，对y ＝x e x 求导，得y ′＝(x e x )′＝e x ＋x e x ，若直线y ＝1m 是曲线y ＝x e x 的一条切线，则有y ′|x ＝n ＝e n ＋n e n ＝0，解得n ＝－1，此时有1m ＝n e n ＝－1e ，∴m ＝－e.故选B.11．(2021·新高考卷Ⅰ)若过点(a ，b )可以作曲线y ＝e x 的两条切线，则( ) A ．e b ＜a B ．e a ＜b C ．0＜a ＜e bD ．0＜b ＜e a解析：选D 解法一：设切点(x 0，y 0)，y 0＞0，则切线方程为y －b ＝e x 0(x －a )，由⎩⎪⎨⎪⎧y 0－b ＝e x 0（x 0－a ）y 0＝e x 0得e x 0(1－x 0＋a )＝b ，则由题意知关于x 0的方程e x 0(1－x 0＋a )＝b 有两个不同的解．设f (x )＝e x (1－x ＋a )，则f ′(x )＝e x (1－x ＋a )－e x ＝－e x (x －a )，由f ′(x )＝0得x ＝a ，所以当x ＜a 时，f ′(x )＞0，f (x )单调递增，当x ＞a 时，f ′(x )＜0，f (x )单调递减，所以f (x )max ＝f (a )＝e a (1－a ＋a )＝e a ，当x ＜a 时，a －x ＞0, 所以f (x )＞0，当x →－∞时，f (x )→0，当x →＋∞时，f (x )→－∞，作出函数f (x )＝e x (1－x ＋a )的大致图象如图所示，因为f (x )的图象与直线y ＝b 有两个交点，所以0＜b ＜e a ，故选D.解法二：过点(a ，b )可以作曲线y ＝e x 的两条切线，则点(a ，b )在曲线y ＝e x 的下方且在x 轴的上方，得0＜b ＜e a ，故选D.12．(2020·全国卷Ⅲ)若直线l 与曲线y ＝x 和圆x 2＋y 2＝15都相切，则l 的方程为( )A ．y ＝2x ＋1B ．y ＝2x ＋12C ．y ＝12x ＋1D ．y ＝12x ＋12解析：选D 易知直线l 的斜率存在，设直线l 的方程为y ＝kx ＋b ，则|b |k 2＋1＝55①，设直线l 与曲线y ＝x 的切点坐标为(x 0，x 0)(x 0＞0)，则y ′|x ＝x 0＝12x 0－12＝k ②，x 0＝kx 0＋b ③，由②③可得b ＝12x 0，将b ＝12x 0，k ＝12x 0－12代入①得x 0＝1或x 0＝－15(舍去)，所以k ＝b ＝12，故直线l 的方程为y ＝12x ＋12.13．(2021·开封市模拟考试)已知函数f (x )＝mx 3＋6mx －2e x ，若曲线y ＝f (x )在点(0，f (0))处的切线与直线4x ＋y －2＝0平行，则m ＝________．解析：f ′(x )＝3mx 2＋6m －2e x ，则f ′(0)＝6m －2＝－4， 解得m ＝－13.答案：－1314．(2021·江西五校联考)已知函数f (x )＝x ＋a2x ，若曲线y ＝f (x )存在两条过(1，0)点的切线，则a 的取值范围是________．解析：f ′(x )＝1－a 2x 2，设切点坐标为⎝⎛⎭⎫x 0，x 0＋a 2x 0，则切线方程为y －x 0－a 2x 0＝⎝⎛⎭⎫1－a 2x 20(x －x 0)，又切线过点(1，0)，所以－x 0－a 2x 0＝⎝⎛⎭⎫1－a 2x 20(1－x 0)，整理得2x 20＋2ax 0－a ＝0，又曲线y ＝f (x )存在两条过(1，0)点的切线，故方程有两个不等实根，即满足Δ＝4a 2－8(－a )＞0，解得a ＞0或a ＜－2.答案：(－∞，－2)∪(0，＋∞)15．(2021·河北六校联考)已知函数f (x )＝x ln x －12mx 2(m ∈R )，g (x )＝－x ＋1e x －2e x ＋e －1e .(1)若函数f (x )的图象在(1，f (1))处的切线与直线x －y ＋1＝0平行，求m ； (2)证明：在(1)的条件下，对任意x 1，x 2∈(0，＋∞)，f (x 1)＞g (x 2)成立． 解：(1)f (x )的定义域为(0，＋∞)， f ′(x )＝ln x ＋1－mx ，f ′(1)＝1－m ，因为f (x )的图象在(1，f (1))处的切线与直线x －y ＋1＝0平行，所以1－m ＝1，即m ＝0. (2)证明：在(1)的条件下，f (x )＝x ln x ，f ′(x )＝ln x ＋1， 当x ∈⎝⎛⎭⎫0，1e 时，f ′(x )＜0，f (x )单调递减， 当x ∈⎝⎛⎭⎫1e ，＋∞时，f ′(x )＞0，f (x )单调递增，所以f (x )＝x ln x 在x ＝1e 时取得最小值f ⎝⎛⎭⎫1e ＝－1e ，所以f (x 1)≥－1e . g (x )＝－x ＋1e x －2e x ＋e －1e ，则g ′(x )＝x e x －2e ，令h (x )＝g ′(x )＝x e x －2e，x ＞0，则h ′(x )＝1－xe x ，所以当x ∈(0，1)时，h ′(x )＞0，h (x )单调递增，当x ∈(1，＋∞)时，h ′(x )＜0，h (x )单调递减．所以当x ＞0时，g ′(x )≤g ′(1)＝h (1)＝－1e，因为g ′(x )≤－1e ＜0，所以g (x )在(0，＋∞)上单调递减，所以g (x 2)＜g (0)＝－1e.所以对任意x 1，x 2∈(0，＋∞)，f (x 1)＞g (x 2)．创新应用练16．已知函数f(x)＝ax3＋3x2－6ax－11，g(x)＝3x2＋6x＋12和直线m：y＝kx＋9，且f′(－1)＝0.(1)求a的值；(2)是否存在k，使直线m既是曲线y＝f(x)的切线，又是曲线y＝g(x)的切线？如果存在，求出k的值；如果不存在，请说明理由．解：(1)由已知得f′(x)＝3ax2＋6x－6a，因为f′(－1)＝0，所以3a－6－6a＝0，所以a＝－2.(2)存在．由已知得，直线m恒过定点(0，9)，若直线m是曲线y＝g(x)的切线，则设切点为(x0，3x20＋6x0＋12)．因为g′(x0)＝6x0＋6，所以切线方程为y－(3x20＋6x0＋12)＝(6x0＋6)(x－x0)，将(0，9)代入切线方程，解得x0＝±1.当x0＝－1时，切线方程为y＝9；当x0＝1时，切线方程为y＝12x＋9.由(1)知f(x)＝－2x3＋3x2＋12x－11，①由f′(x)＝0得－6x2＋6x＋12＝0，解得x＝－1或x＝2.在x＝－1处，y＝f(x)的切线方程为y＝－18；在x＝2处，y＝f(x)的切线方程为y＝9，所以y＝f(x)与y＝g(x)的公切线是y＝9.②由f′(x)＝12得－6x2＋6x＋12＝12，解得x＝0或x＝1.在x＝0处，y＝f(x)的切线方程为y＝12x－11；在x＝1处，y＝f(x)的切线方程为y＝12x－10，所以y＝f(x)与y＝g(x)的公切线不是y＝12x＋9.综上所述，y＝f(x)与y＝g(x)的公切线是y＝9，此时k＝0.。

导数与定积分知识汇总

导数与定积分知识汇总

导数与定积分知识汇总导数和定积分是微积分的重要概念之一、导数描述了函数在其中一点上的变化率，而定积分则计算了函数在给定区间上的累积量。

本文将对导数和定积分的基本定义、性质和应用进行详细介绍。

一、导数的定义和性质1. 导数的定义：对于函数f(x)，在其中一点a处的导数定义为：f'(a) = lim(x→a) (f(x)-f(a))/(x-a)。

导数表示了函数y=f(x)在x=a处的切线斜率。

2.导数的几何意义：导数表示了函数图像在其中一点上的切线斜率。

如果导数大于零，则函数在该点上递增；如果导数小于零，则函数在该点上递减；如果导数等于零，则函数在该点上取极值；如果导数不存在，则函数在该点上存在间断。

3.导数的计算方法：可以使用基本导数公式来计算导数，例如常数函数、幂函数、指数函数、对数函数等。

此外，还可以使用导数的四则运算法则，包括求和、差、积和商的导数。

4.高阶导数：函数的导数可以继续求导，得到高阶导数。

第n阶导数表示了函数的n次变化率，可以用f^(n)(x)表示。

例如，如果函数的二阶导数大于零，那么函数在该点上呈现凸的曲线形状。

二、定积分的定义和性质1. 定积分的定义：对于函数f(x)，在区间[a,b]上的定积分定义为：∫[a,b] f(x) dx = lim(n→∞) Σ[f(x_k) Δx_k]，其中Σ表示求和，Δx_k是区间[a,b]上一个子区间的长度，x_k是该子区间内任意一点。

2.定积分的几何意义：定积分表示了函数f(x)在区间[a,b]上的曲线下面积。

如果函数在该区间上为正值，则积分值为正；如果函数在该区间上为负值，则积分值为负；如果函数在该区间上变号，则通过积分可以得到曲线上和曲线下的面积差。

3.定积分的计算方法：可以使用定积分的基本公式来计算定积分，如幂函数的定积分、三角函数的定积分等。

此外，还可以利用换元积分法、分部积分法等方法来计算更复杂的定积分。

4. 积分的性质：积分具有线性性质，即∫[a,b] (f(x) + g(x)) dx = ∫[a,b] f(x) dx + ∫[a,b] g(x) dx；积分也具有保号性质，即如果在[a,b]上f(x) ≤ g(x)，那么∫[a,b] f(x) dx ≤ ∫[a,b] g(x) dx。

导数、定积分

导数、定积分

导数、定积分要点精讲:1．导数的概念函数y=f(x),如果自变量x 在x 0处有增量x ∆，那么函数y 相应地有增量y ∆=f （x 0+x ∆）－f （x 0），比值xy ∆∆叫做函数y=f （x ）在x 0到x 0+x ∆之间的平均变化率，即xy ∆∆= 。

如果当0→∆x 时，y x∆∆有极限，我们就说函数y=f(x)在点x 0处可导，并把这个极限叫做f （x ）在点x 0处的导数，记作f’（x 0）或y’|0x x =。

即f （x 0） = 。

由导数的定义可知，求函数y=f （x ）在点x 0处的导数的步骤： （1）求函数的增量 ； （2）求平均变化率 ； （3）取极限，得导数 。

2．导数的几何意义函数y=f （x ）在点x 0处的导数的几何意义是曲线y=f （x ）在点p （x 0，f （x 0））处的切线的斜率。

也就是说，曲线y=f （x ）在点p （x 0，f （x 0））处的切线的斜率是 。

相应地，切线方程为 。

3．常见函数的导出公式．(1)()C '= ；（C 为常数）(2)()n x '= ；(3)(sin )x '= ；(4)(cos )x '= ；(5) '(ln )x = ； (6) '(log )a x = (01a a >>且);(7) ()x e '= ； (8) ()xa '= (01a a >>且)；4．两个函数的和、差、积的求导法则法则1： (')u v ±=法则2： '()uv = ；若C 为常数'()C u = 法则3：⎪⎭⎫⎝⎛v u ‘= （v ≠0）。

形如y=f [x (ϕ])的函数称为复合函数。

复合函数求导步骤：分解——求导——回代。

法则：y ＇|X = y ＇|U ·u ＇|X5．导数的应用（1）一般地，设函数)(x f y =在某个区间可导，如果'f )(x 0>，则)(x f 为 函数；'f 0)(<x ，则)(x f 为 函数；如果在某区间内恒有'f 0)(=x ，则)(x f 为 ；（2）曲线在极值点处切线的斜率为 ，极值点处的导数为 ；曲线在极大值点左侧切线的斜率为 ，右侧为 ；曲线在极小值点左侧切线的斜率为 ，右侧为 ；（3）一般地，在区间[a ，b]上连续的函数f )(x 在[a ，b]上必有最大值与最小值。

高三数学总复习知识梳理之六(导数及其应用)

高三数学总复习知识梳理之六(导数及其应用)

高三复习知识梳理之四：导数及其应用（含定积分）【考点综述】本部分的要求一般有三个层次：第一层次是主要考查导数的概念，求导的公式和求导法则，为基础层面；第二层次是导数的简单应用，包括求单调区间、函数的极值、证明函数的增减性等，为导数应用的重点层次，以求导考察单调性为突破口；第三层次是综合考查，包括解决应用问题，将导数内容和传统内容中有关不等式和函数的单调性等有机地结合在一起，设计综合题，通过将新课程内容和传统内容相结合，加强了能力考查力度，使试题具有更广泛的实际意义，体现了导数作为工具分析和解决一些函数性质问题的思想方法，这类问题用传统教材是难以甚至无法解决的；为导数应用的较高层次，用于设计压轴题，突出导数应用的灵活性与思想方法的交汇性。

预测：重点放在第二层次，已向第三层次进军（还常设计压轴题）！即：考查对导数本质的理解和计算，并力求结合应用问题，已经表现出逐步加深与综合考查的趋势，如已涉及理论探讨和较为严格的逻辑证明。

【重点知识】1. 平均变化率及瞬时变化率：(1) 函数f(x)从x 1到x 2的平均变化率：yx ∆∆()()11f x x f x x +∆-=∆()()2121.f x f x x x -=- （2）函数f(x)在x 0处的瞬时变化率：x yx ∆∆→∆0lim =()()xx f x x f x ∆-∆+→∆000lim =()().lim 000x x x f x f x x --→ 2. 导（函）数的定义：（1）．)(x f 在点x 0处可导⇔()()xx f x x f x ∆-∆+→∆000lim 存在 ⇔()()000lim x f x x f x x+∆→+∆-∆、()()x x f x x f x ∆-∆+-→∆000lim 都存在且相等。

（2）．)(x f 在一点x=x 0处的导数为=')(0x f x yx ∆∆→∆0lim =()()xx f x x f x ∆-∆+→∆000lim =()().lim 000x x x f x f xx --→ （3）．若对任意()b a x ,∈都有x y x f x ∆∆='→∆lim )(=()()xx f x x f x ∆-∆+→∆0lim 成立，则函数)(x f 在区间()b a ,上可导；在端点a 、b 处判断是否可导的方法是：若0lim x y x+∆→∆∆存在，则)(x f 在（a,b]上可导；若在x y x ∆∆-→∆0lim 存在，则)(x f 在[a,b ）上可导；若x y x ∆∆+→∆0lim ，xy x ∆∆-→∆0lim 都存在，则)(x f 在[a,b]上可导。