极值的求法

物理解题中求极值的常用方法

运用数学工具处理物理问题的能力是高考重点考查的五种能力之一,其中极值的计算在教学中频繁出现;因为极值问题范围广、习题多,会考、高考又经常考查,应该得到足够重视;另外很多学生数、理结合能力差,这里正是加强数理结合的“切人点”;学生求极值,方法较少,教师应该在高考专题复习中提供多种求极值的方法;求解物理极值问题可以从物理过程的分析着手,也可以从数学方法角度思考,下面重点对数学方法求解物理极值问题作些说明;

1、利用顶点坐标法求极值

对于典型的一元二次函数y=ax2+bx+c,

若a>0,则当x=-ab2时,y有极小值,为ymin=abac442；

若a<0,则当x=-ab2时,y有极大值,为ymax =abac442；

2、利用一元二次函数判别式求极值

对于二次函数y=ax2+bx+c,用判别式法

利用Δ＝b2-4ac≥0;式中含y

若y≥A,则ymin＝A;

若y≤A,则ymax＝A;

3、利用配方法求极值

对于二次函数y=ax2+bx+c,函数解析式经配方可变为y=x-A2+常数：1当x＝A时,常数为极小值；或者函数解析式经配方可变为y = － x－A 2+常数;2当x＝A时,常数为极大值;

4、利用均值定理法求极值 均值定理可表述为2baab,式中a、b可以是单个变量,也可以是多项式;

当a＝b时, a+bmin＝2ab ;

当a＝b时, a+b max＝2)(2ba;

5、利用三角函数求极值

如果所求物理量表达式中含有三角函数,可利用三角函数的极值求解;若所求物理量表达式可化为“y=Asincos”的形式,则y=21Asin2α,在=45o时,y有极值2A;

对于复杂的三角函数,例如y=asinθ+bcosθ,要求极值时先需要把不同名的三角函数sinθ和cosθ,变成同名的三角函数,比如sinθ+ф ;这个工作叫做“化一”;首先应作辅助角如所示;

求极值的方法与技巧

一、求函数极值的最基本方法

1、用微积分中的导数（Derivatives）法。即要求函数极值问题，可以将其转化为求解极值点，也就是求求函数的导函数为0时，函数的值最大最小的解，即求函数的极值点。

2、用泰勒展开（Taylor Series）法。这是一种利用因式分解法求函数极值。如果一个函数f(x)可以被表示为f(x)，则它就可以按一定形式分解成：f(x)=a₁+a₂x+a₃x2+a₄x3....，在这种分解的基础上，再算出f'(x)=a₂+2a₃x+3a₄x2....，将f'(x)的值设置为0，即可求出此时函数f(x)的极值点。

3、用函数增减（Functional Increasing and Decreasing）法：研究函数的单调增减性，通过对函数的单调增减性来判断函数的极大值和极小值。

根据单调性原理，函数在单调递增的区间或单调递减的区间内，极值只有一个，该函数极值即为极大值或极小值。当函数在同一区间内的一些点发生折点时，这个折点对应的函数值，即为函数在整个区间的极值，此时的折点为函数的极值点。

二、极值点的确定方法

1、求解函数的单调性。单调性主要是指函数在其中一区间上的曲线轨迹是单调递增或者是单调递减的。当函数在区间内的特定点发生折点时，这个折点就是函数的极值点。

2、求解导函数的

高考复习专题四—求极值的六种方法

高中学生可以体会

1.极值的定义

极值（extremum）是指函数在其中一区间的最大值或最小值。也就是说，当函数在一定范围内取得最大（或最小）值时，该值称为該函数在该范围上的极值。

2.求极值的六种方法

（1）最值法

即直接从函数的图形上来确定函数最大值和最小值，只要找到这样的定义域点，使它是图的最高点或最低点，那么该点就是函数的极大值或极小值点。

（2）十字法

即使用十字观测的方法，通过求解相邻两点的切线的斜率，搭配图形定义域，确定函数的极值点，进而确定函数的最大值和最小值。

（3）观察法

即对函数进行全面性的观察，然后根据函数的规律，用数值验证的方法，确定该函数的最大值和最小值。

（4）求导数法

即通过求解函数的导数，然后观察函数的单调性，从而求得函数的极值点，进而确定函数的最大值和最小值。 （5）二分法

即把定义域分成二份，根据函数的单调性，确定极值点，从而确定函数的最大值和最小值。

（6）逐段求和法

即把定义域分成多份，根据函数的单调性，对每一点分段求解，确定极值点，从而确定函数的最大值和最小值。

求极值的三种方法

一、直接法。先判断函数的单调性，若函数在定义域内为单调函数，则最大值为极大值，最小值为极小值

二、导数法

（1）、求导数f'(x)；

（2）、求方程f'(x)=0的根；

（3）、检查f'(x)在方程的左右的值的符号，如果左正右负，那么f(x)在这个根处取得极大值；如果左负右正那么f(x)在这个根处取得极小值。

举例如下图：该函数在f'(x)大于0，f'(x)小于0，在f'(x)=0时，取极大值。同理f'(x)小于0，f'(x)大于0时，在f'(x)=0时取极小值。

扩展资料： 寻求函数整个定义域上的最大值和最小值是数学优化的目标。如果函数在闭合区间上是连续的，则通过极值定理存在整个定义域上的最大值和最小值。此外，整个定义域上最大值（或最小值）必须是域内部的局部最大值（或最小值），或必须位于域的边界上。

因此，寻找整个定义域上最大值（或最小值）的方法是查看内部的所有局部最大值（或最小值），并且还查看边界上的点的最大值（或最小值），并且取最大值或最小的）一个。

1、求极大极小值步骤：

求导数f'(x)；

求方程f'(x)=0的根；

检查f'(x)在方程的左右的值的符号，如果左正右负，那么f(x)在这个根处取得极大值；如果左负右正那么f(x)在这个根处取得极小值。

f'(x)无意义的点也要讨论。即可先求出f'(x)=0的根和f'(x)无意义的点，再按定义去判别。

2、求极值点步骤：

求出f'(x)=0,f"(x)≠0的x值；

用极值的定义（半径无限小的邻域f(x)值比该点都小或都大的点为极值点），讨论f(x)的间断点。

上述所有点的集合即为极值点集合。 扩展资料：

定义：

若函数f(x)在x₀的一个邻域D有定义，且对D中除x₀的所有点，都有f(x)

同理，若对D的所有点，都有f(x)>f(x₀)，则称f(x₀)是函数f(x)的一个极小值。

极值的概念来自数学应用中的最大最小值问题。根据极值定律，定义在一个有界闭区域上的每一个连续函数都必定达到它的最大值和最小值，问题在于要确定它在哪些点处达到最大值或最小值。