高中数学 第一章 三角函数 1.3 第一课时 诱导公式(一)学案 新人教A版必修4-新人教A版高一必

第一课时 诱导公式(一)

预习课本P23～25，思考并完成以下问题

(1)π±α，－α的终边与α的终边有怎样的对称关系？

(2)诱导公式的内容是什么？

(3)诱导公式1～4有哪些结构特征？

[新知初探]

1．诱导公式二

(1)角π＋α与角α的终边关于原点对称．

如图所示．

(2)公式：sin(π＋α)＝－sin_α，

cos(π＋α)＝－cos_α，

tan(π＋α)＝tan_α.

2．诱导公式三

(1)角－α与角α的终边关于x轴对称．

如图所示．

(2)公式：sin(－α)＝－sin_α.

cos(－α)＝cos_α.

tan(－α)＝－tan_α.

3．诱导公式四

(1)角π－α与角α的终边关于y轴对称．

如图所示．

(2)公式：sin(π－α)＝sin_α.

cos(π－α)＝－cos_α.

tan(π－α)＝－tan_α.

4．α＋k·2π(k∈Z)，－α，π±α的三角函数值，等于α的同名函数值，前面加上一个把α看成锐角时原函数值的符号．

[小试身手]

1．判断下列命题是否正确．(正确的打“√”，错误的打“×”)

(1)诱导公式中角α是任意角．( )

(2)公式sin(－α)＝－sin α，α是锐角才成立．( )

(3)公式tan(π＋α)＝tan α中，α＝π2不成立．( )

答案：(1)× (2)× (3)√

2．已知cos(π＋θ)＝36，则cos θ＝( )

A．36 B．－36

C．336 D．－336

答案：B

3．若sin(π＋α)＝13，则sin α等于( )

A．13 B．－13

C．3 D．－3

答案：B

4．已知tan α＝4，则tan(π－α)＝________.

答案：－4

给角求值问题

[典例] 求下列三角函数值：

(1)sin(－1 200°)；(2)tan 945°；(3)cos119π6.

[解] (1)sin(－1 200°)＝－sin 1 200°＝－sin(3×360°＋120°)＝－sin 120°＝－sin(180°－60°)＝－sin 60°＝－32.

(2)tan 945°＝tan(2×360°＋225°)＝tan 225°＝tan(180°＋45°)＝tan 45°＝1.

(3)cos119π6＝cos20π－π6＝cos－π6＝cosπ6＝32.

利用诱导公式解决给角求值问题的步骤

[活学活用]

求下列各式的值：

(1)cos(－120°)sin(－150°)＋tan 855°；

(2)sin 4π3·cos 19π6·tan 21π4.

解：(1)原式＝cos 120°(－sin 150°)＋tan 855°

＝－cos(180°－60°)sin(180°－30°)＋tan(135°＋2×360°)

＝cos 60°sin 30°＋tan 135°

＝cos 60°sin 30°＋tan(180°－45°)

＝cos 60°sin 30°－tan 45°＝12×12－1＝－34. (2)原式＝sin 4π3·cos2π＋7π6·tan4π＋5π4

＝sin 4π3·cos 7π6·tan 5π4

＝sinπ＋π3·cosπ＋π6·tanπ＋π4

＝－sinπ3·－cosπ6·tanπ4

＝3-2×3-2×1＝34.

化简求值问题

[典例] 化简：(1)cos－αtan7π＋αsinπ－α；

(2)sin1 440°＋α·cosα－1 080°cos－180°－α·sin－α－180°.

[解] (1)cos－αtan7π＋αsinπ－α＝cos αtanπ＋αsin α＝cos α·tan αsin α＝sin αsin α＝1.

(2)原式＝sin4×360°＋α·cos3×360°－αcos180°＋α·[－sin180°＋α]＝sin α·cos－α－cos α·sin α＝cos α－cos α＝－1.

利用诱导公式一～四化简应注意的问题

(1)利用诱导公式主要是进行角的转化，从而达到统一角的目的；

(2)化简时函数名没有改变，但一定要注意函数的符号有没有改变；

(3)同时有切(正切)与弦(正弦、余弦)的式子化简，一般采用切化弦，有时也将弦化切．

[活学活用]

化简下列各式： (1)cosα＋πsin2α＋3πtanα＋πcos3－α－π；

(2)sinkπ－αcos[k－1π－α]sin[k＋1π＋α]coskπ＋α(k∈Z)．

解：(1)原式＝－cos α·sin2α－tan α·cos3α＝tan2

αtan α＝tan α .

(2)当k＝2n(n∈Z)时，

原式＝sin2nπ－αcos[2n－1π－α]sin[2n＋1π＋α]cos2nπ＋α

＝sin－α·cos－π－αsinπ＋α·cos α＝－sin α·－cos α－sin α·cos α＝－1；

当k＝2n＋1(n∈Z)时，

原式＝sin[2n＋1π－α]·cos[2n＋1－1π－α]sin[2n＋1＋1π＋α]·cos[2n＋1π＋α]

＝sinπ－α·cos αsin α·cosπ＋α＝sin α·cos αsin α·－cos α ＝－1.

综上，原式＝－1.

给值(或式)求值问题

[典例] 已知cosπ6－α＝33，求cos5π6＋α的值．

[解] 因为cos5π6＋α＝cosπ－π6－α

＝－cosπ6－α＝－33.

[一题多变]

1．[变设问]在本例条件下，求：

(1)cosα－13π6的值；

(2)sin2α－π6的值．

解：(1)cosα－13π6＝cos13π6－α＝cosπ6－α＝33.

(2)sin2α－π6＝sin2－π6－α＝sin2π6－α ＝1－cos2π6－α＝1－233＝23.

2．[变条件]若将本例中条件“cosπ6－α＝33”改为“sinα－π6＝33，α∈2π3，7π6”，则结论如何？

解：因为α∈2π3，7π6，则α－π6∈π2，π.

cos5π6＋α＝－cosπ6－α＝－cosα－π6

＝ 1－sin2α－π6＝ 1－13＝63.

3．[变条件，变设问]tanπ6－α＝33，求tan5π6＋α.

解：tan5π6＋α＝－tanπ－5π6＋α

＝－tanπ6－α＝－33.

解决条件求值问题的策略

(1)解决条件求值问题，首先要仔细观察条件与所求式之间的角、函数名称及有关运算之间的差异及联系．

(2)可以将已知式进行变形向所求式转化，或将所求式进行变形向已知式转化．

层级一 学业水平达标

1．sin 600°的值是( )

A．12 B．－12

C．32 D．－32

解析：选D sin 600°＝sin(360°＋240°)＝sin 240° ＝sin(180°＋60°)＝－sin 60°＝－32.

2．若sin(π＋α)＝－12，则sin(4π－α)的值是(

)

A．12 B．－12

C．－32 D．32

解析：选B 由题知，sin α＝12，所以sin(4π－α)＝－sin α＝－12.

3．如图所示，角θ的终边与单位圆交于点P－55，255，则cos(π－θ)的值为( )

A．－255 B．－55

C．55 D．255

解析：选C ∵r＝1，∴cos θ＝－55，

∴cos(π－θ)＝－cos θ＝55.

4．已知tanπ3－α＝13，则tan2π3＋α＝( )

A．13 B．－13

C．233 D．－233

解析：选B ∵tan2π3＋α＝tanπ－π3－α

＝－tanπ3－α，

∴tan2π3＋α＝－13.

5．设tan(5π＋α)＝m，则sinα＋3π＋cosπ＋αsin－α－cosπ＋α的值等于( ) A．m＋1m－1 B．m－1m＋1

C．－1 D．1

解析：选A ∵tan(5π＋α)＝tan[4π＋(π＋α)]

＝tan(π＋α)＝tan α，∴tan α＝m，

∴原式＝sinπ＋α－cos

α－sin α＋cos α＝－sin

α－cos α－sin α＋cos α＝tan α＋1tan

α－1

＝m＋1m－1，故选A.

6．求值：(1)cos

29π6＝______；(2)tan(－855°)＝______.

解析：(1)cos 29π6＝cos4π＋5π6＝cos 5π6

＝cosπ－π6＝－cos π6＝－32.

(2)tan(－855°)＝－tan

855°＝－tan(2×360°＋135°)＝－tan 135°＝－tan(180°－45°)＝tan 45°＝1.

答案：(1)－32 (2)1

7．已知sin(π－α)＝log814，且α∈－π2，0，则tan(2π－α)的值为________．

解析：sin(π－α)＝sin α＝log814＝－23，

又α∈－π2，0，

所以cos α＝1－sin2α＝53，tan(2π－α)＝tan(－α)＝－tan α＝－sin

αcos α＝255.

答案：255

8．已知cos(508°－α)＝1213，则cos(212°＋α)＝________.

解析：由于cos(508°－α)＝cos(360°＋148°－α)＝cos(148°－α)＝1213，

所以cos(212°＋α)＝cos(360°＋α－148°)＝cos(α－148°)＝cos(148°－α)