苏教版数学高一-数学苏教版必修一学案 函数的最值
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高中数学 第9课时 函数的最值
教学过程
一、 问题情境
在图1中,我们从图象上看出14时的气温为全天的最高气温,它表示在0~24时之间,气温于14时达到最大值;从图象上看出,图象在这一点的位置最高.
(图1)
在图1中,可以看出:对于任意的x∈R,都有f(x)≤f(14).
二、 数学建构
(一) 生成概念
一般地,设函数y=f(x)的定义域为A.
若存在定值x0∈A,使得对于任意x∈A,有f(x)≤f(x0)恒成立,则称f(x0)为函数y=f(x)的最大值,记为ymax=f(x0);
若存在定值x0∈A,使得对于任意x∈A,有f(x)≥f(x0)恒成立,则称f(x0)为函数y=f(x)的最小值,记为ymin=f(x0).
(二) 理解概念
1. 单调性与最值
设函数y=f(x)的定义域为[a, b],若y=f(x)是单调增函数,则ymax=f(b),
ymin=f(a);若y=f(x)是单调减函数,则ymax=f(a), ymin=f(b).
2. 奇偶性与最值
设奇函数y=f(x)的定义域为I, [a, b]⊆I,其中a>0,若f(x)在[a, b]上的最大值是M,则f(x)在[-b, -a]上的最小值是-M.
(三) 巩固概念
常常借助于图象,综合运用函数的性质来求函数的最值、值域. 打印版
高中数学 三、 数学运用
【例1】 求函数y=的值域. (见学生用书课堂本P27)
[处理建议] 根据它的图象,可以直观而准确地判断函数的值域.
[规范板书] 解 由图象可知,函数的值域为(-∞, 0)∪(0, +∞).
(例1)
[题后反思] 反比例函数的图象是基本初等函数图象,要熟练掌握.
变式 求函数y=|x-1|的值域.
[规范板书] 解 由图象可知,函数的值域为[0, +∞).
(变式)
[题后反思] 由图象观察得出函数的值域是常见的求值域的方法.
【例2】 求下列函数的最大值和最小值:
(1)y=3-2x-x2, x∈;
(2)y=|x+1|-|x-2|.(见学生用书课堂本P27)
[处理建议] 先画出函数的图象,然后根据图象观察最大值和最小值.
[规范板书] 解 (1) 二次函数y=3-2x-x2图象的对称轴为x=-1,其函数图象如图(1)所示.由图象可知,当x=-1时,ymax=4; 当x=时,ymin=-.
(1) (2) 打印版
高中数学 (例2)
(2) y=|x+1|-|x-2|=
其图象如图(2)所示.由图象可知,y∈[-3, 3].所以函数的最大值为3, 最小值为-3.
[题后反思] ①求二次函数在闭区间上的最大值或最小值,常根据闭区间与对称轴的关系,结合图象进行分析. ②求含绝对值的函数的最大值或最小值,常用分零点讨论去掉绝对值,转化为分段函数进行研究;分段函数的图象注意分段作出,然后直接观察图象得到函数的最大值或最小值.
变式 求函数f(x)=x2-2ax, x∈[0, 4)的最小值.
[规范板书] 解 f(x)=(x-a)2-a2,其图象是开口向上、对称轴为x=a的抛物线.
① 若a≤0,则函数f(x)在[0, 4)上是单调增函数,∴[f(x)]min=f(0)=0;
② 若0 ③ 若a≥4,则函数f(x)在[0, 4)上是单调减函数,∴f(x)的最小值不存在. 综上所述,当a≤0时,[f(x)]min=0;当0 [题后反思] 含参数问题的最值,一般情况下,我们先将参数看成是已知数,当不能解的时候,我们再进行讨论. 【例3 】 求函数y=2x+4的值域. (见学生用书课堂本P28) [处理建议] 本题应优先考虑函数的定义域,再利用换元法求值域. [规范板书] 解 设 t=,则t≥0, x=1-t2. ∴原函数可化为 y=2(1-t2)+4t=-2t2+4t+2=-2(t-1)2+4, ∵ t≥0, ∴ y≤4. [题后反思] 对于形如y=ax+b+(ac<0)型的函数的值域,常采用换元法(令=t)求解. 变式 求y=2x-3+的值域. 打印版 高中数学 [规范板书] 解 令t=,则t≥0, x=.∴ y=t2+t+=(t+1)2+3.∵ t≥0,∴ y∈, +∞. *【例4】 求函数y=4x-1+的值域. [处理建议] 先让学生思考,这时大部分学生会延续上一题的思路而采用换元法求解.教师可以说明:根据该函数解析式的特点,本题也可采用复合函数单调性法求解. [规范板书] 解 ∵ 2x-3≥0, ∴ x≥, ∴函数f(x)=4x-1+的定义域为.令f1(x)=4x-1, f2(x)=, ∴函数f1(x), f2(x)为单调增函数, ∴ f(x)=f1(x)+f2(x)在定义域上单调递增, ∴ y≥f=5,因此该函数的值域为[5, +∞). [题后反思] 本题既可以采用换元法求解,也可以采用复合函数单调性法求解,显然后一种方法简单很多.从上面2个例子,我们可以得到一些启示:求值域前可以先简单观察函数解析式的特点,然后再确定采用哪一种方法求解较简便. 变式 求函数y=3-的值域. [规范板书] 解 ∵ ≥0, ∴ -≤0, 3- ≤3,故该函数的值域是(-∞, 3]. 四、 课堂练习 1. 求下列函数的最大值、最小值与值域: (1) y=x2-4x-7; (2) y=x2-4x-7, x∈[2, 6]. 解 (1) y=x2-4x-7=(x-2)2-11≥-11,∴当x=2时,ymin=-11;函数无最大值;函数的值域是{y|y≥-11 }. (2) 函数的对称轴为x=2,所以函数在[2, 6]上单调递增,所以ymin=f(2)=-11, ymax=f(6)=5,函数的值域为[-11, 5]. 2. 已知二次函数f(x)=ax2+2ax+1在区间[-3, 2]上有最大值4,求实数a的值. 解 二次函数f(x)=ax2+2ax+1的对称轴为x=-1. 打印版 高中数学 当a>0时,则当x=2时函数取得最大值4,∴8a+1=4,解得a=; 当a<0时,则当x=-1时函数取得最大值4, ∴ 1-a=4,解得a=-3. 所以a=或-3. 五、 课堂小结 1. 最值的定义. 2. 求简单函数的最值的常用解法.
