人教新课标版数学高一人教A必修1试题 1.函数的最值

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高中数学 第一章 1.3 1.3.1 第二课时

基础巩固

一、选择题

1．函数f(x)在区间[－2,5]上的图象如下图所示，则此函数的最小值、最大值分别是( )

A．－2，f(2) B．2，f(2)

C．－2，f(5) D．2，f(5)

[答案] C

[解析]

由函数最值的几何意义知，当x＝－2时，有最小值－2；当x＝5时，有最大值f(5)，故选C.

2．函数f(x)＝11－x1－x的最大值是( )

A.45 B.54

C.34

D.43

[答案] D

[解析] f(x)＝1x－122＋34≤43.

3．函数f(x)＝ 2x＋6，x∈[1，2]x＋7，x∈[－1，1]，则f(x)的最大值与最小值分别为( )

A．10,6 B．10,8

C．8,6 D．以上都不对

[答案] A

[解析] ∵x∈[1,2]时，f(x)max＝2×2＋6＝10，

f(x)min＝2×1＋6＝8；x∈[－1,1]时，f(x)max＝1＋7＝8，f(x)min＝－1＋7＝6，

∴f(x)max＝10，f(x)min＝6.

4．若函数y＝ax＋1在[1,2]上的最大值与最小值的差为2，则实数a的值为( )

A．2 B．－2

C．2或－2 D．0 打印版

高中数学 [答案] C

[解析] 由题意知a≠0，当a＞0时，有(2a＋1)－(a＋1)＝2，解得a＝2；当a＜0时，有(a＋1)－(2a＋1)＝2，解得a＝－2.综上知a＝±2.

5．函数y＝x＋2x－1的最值的情况为( )

A．最小值为12，无最大值

B．最大值为12，无最小值

C．最小值为12，最大值为2

D．无最大值，也无最小值

[答案] A

[解析] ∵y＝x＋2x－1在定义域[12，＋∞)上是增函数，∴函数最小值为12，无最大值，故选A.

6．已知函数f(x)＝－x2＋4x＋a，x∈[0,1]，若f(x)有最小值－2，则f(x)的最大值为( )

A．－1 B．0

C．1 D．2

[答案] C

[解析] f(x)＝－(x2－4x＋4)＋a＋4＝－(x－2)2＋4＋a，

∴函数f(x)图象的对称轴为直线x＝2，

∴f(x)在[0,1]上单调递增．

又∵f(x)min＝f(0)＝a＝－2，

∴f(x)max＝f(1)＝－1＋4－2＝1.

二、填空题

7．函数y＝|x＋1|＋|x－2|的最小值为________．

[答案] 3

[解析] f(x)＝ 2x－1，x＞23，－1≤x≤21－2x，x＜－1图象为 打印版

高中数学

故最小值为3.

8．已知函数f(x)＝x2－6x＋8，x∈[1，a]，并且f(x)的最小值为f(a)，则实数a的取值范围是________．

[答案] 1＜a≤3

[解析] 画f(x)＝x2－6x＋8的图象，

∴f(x)的单调递减区间为(－∞，3]，∴1＜a≤3.

三、解答题

9．已知函数f(x)＝x＋12x＋2，其中x∈[1，＋∞)．(1)试判断它的单调性；(2)试求它的最小值．

[解析] (1)函数f(x)＝x＋12x＋2，

设1≤x1＜x2，

f(x1)－f(x2)＝(x1－x2)＋(12x1－12x2)＝(x1－x2)(1－12x1x2)＝(x1－x2)2x1x2－12x1x2，

∵1≤x1＜x2，∴x1－x2＜0，x1x2＞1，

∴2x1x2－1＞0，∴f(x1)－f(x2)＜0.

即f(x1)＜f(x2)，所以f(x)在区间[1，＋∞)上单调递增．

(2)从而当x＝1时，f(x)有最小值72.

10．已知函数f(x)＝|x|(x＋1)，试画出函数f(x)的图象，并根据图象解决下列两个问题．

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高中数学 (1)写出函数f(x)的单调区间；

(2)求函数f(x)在区间[－1，12]的最大值．

[解析] f(x)＝|x|(x＋1)＝

－x2－x，x≤0，x2＋x，x＞0的图象如图所示．

(1)f(x)在(－∞，－12]和[0，＋∞)上是增函数，在[－12，0]上是减函数，

因此f(x)的单调区间为(－∞，－12]，[－12，0]，[0，＋∞)．

(2)∵f(－12)＝14，f(12)＝34，∴f(x)在区间[－1，12]的最大值为34.

能力提升

一、选择题

1．下列函数在[1,4]上最大值为3的是( )

A．y＝1x＋2 B．y＝3x－2

C．y＝x2 D．y＝1－x

[答案] A

[解析] y＝1x＋2在[1,4]上为减函数，当x＝1时y最大值为3，故选A.

2．(2015·石家庄高一检测)若函数y＝2axb 在[1,2]上的最大值与最小值的差为2，则实数a的值是(

)

A．1

B．－1

C．1或－1 D．0

[答案] C

[解析] 当a>0时，最大值为4a－b，最小值为2a－b，差为2a，∴a＝1；当a≤0时，最大值为2a－b，最大值为4a－b，差为－2a，∴a＝－1.

3．若0

A．－2 B.154 打印版

高中数学 C．2 D．0

[答案] B

[解析] y＝1t－t在(0，14]上为减函数，当t＝14时y有最小值154，故选B.

4．已知函数y＝x2－2x＋3在闭区间[0，m]上有最大值3，最小值2，则m的取值范围是( )

A．[1，＋∞) B．[0,2]

C．(－∞，2] D．[1,2]

[答案] D

[解析] f(x)＝(x－1)2＋2，∵f(x)min＝2，f(x)max＝3，且f(1)＝2，f(0)＝f(2)＝3，

∴1≤m≤2，故选D.

二、填空题

5．定义在R上的函数f(x)对任意两个不等实数a，b，总有fa－fba－b＞0成立，且f(－3)＝2，f(－1)＝4，则f(x)在[－3，－1]上的最大值是________．

[答案] 4[解析] 由题意可知函数f(x)在R上为增函数，则其在[－3，－1]上最大值应为f(－1)＝4.

6．对于函数f(x)＝x2＋2x，在使f(x)≥M成立的所有实数M中，我们把M的最大值Mmax＝－1叫做函数f(x)＝x2＋2x的下确界，则对于a∈R，且a≠0，a2－4a＋6的下确界为________．

[答案] 2

[解析] a2－4a＋6＝(a－2)2＋2≥2，则a2－4a＋6的下确界为2.

三、解答题

7．(2015·湖北孝感期中)设f(x)是定义在R上的函数，且对任意实数x，有f(1－x)＝x2－3x＋3.

(1)求函数f(x)的解析式；

(2)若函数g(x)＝f(x)－5x＋1在[m，m＋1]上的最小值为－2，求实数m的取值范围．

[解析] (1)令1－x＝t，

得f(t)＝(1－t)2－3(1－t)＋3，

化简得f(t)＝t2＋t＋1，

即f(x)＝x2＋x＋1，x∈R.

(2)由(1)知g(x)＝x2－4x＋2＝(x－2)2－2(m≤x≤m＋1)，

∵g(x)min＝－2，

∴m≤2≤m＋1，∴1≤m≤2. 打印版

高中数学 8．已知定义在区间(0，＋∞)上的函数f(x)满足f(x1x2)＝f(x1)－f(x2)，且当x＞1时，f(x)＜0.

(1)求f(1)的值；

(2)判定f(x)的单调性；

(3)若f(3)＝－1，求f(x)在[2,9]上的最小值．

[解析] (1)令x1＝x2，则f(1)＝f(x1x2)＝f(x1)－f(x2)＝0.

(2)任取x1，x2满足0＜x1＜x2，则x2x1＞1，∴f(x2x1)＜0.

∵f(x2x1)＝f(x2)－f(x1)，

∴f(x2)－f(x1)＜0，即f(x1)＞f(x2)，

∴f(x)在(0，＋∞)上是减函数．

(3)∵f(3)＝f(93)＝f(9)－f(3)，∴f(9)＝2f(3)＝－2.

又f(x)在(0，＋∞)上是减函数，∴f(x)在[2,9]上是减函数．

∴f(x)在[2,9]上的最小值为f(9)＝－2.