全国初中数学联赛浙江省复赛试卷
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全国初中数学联赛浙江省复赛试卷
一、解答题（共 5 小题，满分 100 分）
1．（20 分）已知 a2+b2＝1，对于满足条件 0≤x≤1 的一切实数 x，不等式 a（1﹣x）（1﹣x
﹣ax）﹣bx（b﹣x﹣bx）≥0（1）
恒成立．当乘积 ab 取最小值时，求 a，b 的值．
2．（20 分）如图，圆 O 与圆 D 相交于 A，B 两点，BC 为圆 D 的切线，点 C 在圆 O 上，且
AB＝BC．
（1）证明：点 O 在圆 D 的圆周上．
（△2）设 ABC 的面积为 S，求圆 D 的半径 R 的最小值．
3．（20 分）设 a 为质数，b 为正整数，且 9（2a+b）2＝509（4a+511b）（1）
求 a，b 的值．
4．（20 分）已知 a2+b2＝1，对于满足条件 x+y＝1，xy≥0 的一切实数对（x．y），不等式 ay2
﹣xy+bx2≥0（1）恒成立．当乘积 ab 取最小值时，求 a，b 的值．
5．（20 分）设 a 为质数，b，c 为正整数，且满足
求 a（b+c）的值．
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全国初中数学联赛浙江省复赛试卷
参考答案与试题解析
一、解答题（共 5 小题，满分 100 分）
1．（20 分）已知 a2+b2＝1，对于满足条件 0≤x≤1 的一切实数 x，不等式 a（1﹣x）（1﹣x
﹣ax）﹣bx（b﹣x﹣bx）≥0（1）
恒成立．当乘积 ab 取最小值时，求 a，b 的值．
【分析】由已知条件 a2+b2＝1，代入已知不等式重新整理，利用特殊值法确定关于 a，b
的不等式，利用二次函数的增减性，确定判别式的取值范围，进而可以解决．
【解答】解：整理不等式（1）并将 a2+b2＝1 代入，得
（1+a+b）x2﹣（2a+1）x+a≥0（2）
在不等式（2）中，令 x＝0，得 a≥0；令 x＝1，得 b≥0．
易知 1+a+b＞0，0＜ ＜1，
故二次函数 y＝（1+a+b）x2﹣（2a+1）x+a 的图象（抛物线）的开口向上，且顶点的横
坐标在 0 和 1 之间．
由题设知，不等式（2）对于满足条件 0≤x≤1 的一切实数 x 恒成立，
所以它的判别式 ＝（△2a+1）2﹣4（1+a+b）a≤0，即 ab≥ ．
由方程组
（3）
消去 b，得 16a4﹣16a2+1＝0，所以 a2＝
又因为 a≥0，所以 a＝ 或 a＝ 或 a2＝
， ．
于是方程组（3）的解为 或 ，
所以 ab 的最小值为 ，此时 a，b 的值有两组，分别为
a＝ ，b＝ 和 a＝ ，b＝
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． （
【点评】此题主要考查了二次函数与不等式以及二元二次方程的解法，综合性较强，需
耐心思考．
2．（20 分）如图，圆 O 与圆 D 相交于 A，B 两点，BC 为圆 D 的切线，点 C 在圆 O 上，且
AB＝BC．
（1）证明：点 O 在圆 D 的圆周上．
（△2）设 ABC 的面积为 S，求圆 D 的半径 R 的最小值．
【分析】 1）连 OA，OB，OC，△AC，可证 OBA∽△OBC，即可证明∠OBA＝∠OBC，
所以 DB＝DO，即可证点 O 在圆 D 的圆周上；
（2）设圆 O 的半径为 a，BO 的延长线交 AC 于点 E，设 AC＝2y（0＜y≤△a）即可求证
BDO∽△ABC，进而可以 r ，即可求 r 的最小值，即可解题．
【解答】解：（1）连 OA，OB，OC，AC，因为 O 为圆心，AB＝BC，
所以△OBA∽△OBC，从而∠OBA＝∠OBC．
因为 OD⊥AB，DB⊥BC，所以
∠DOB＝90°﹣∠OBA＝90°﹣∠OBC＝∠DBO，
所以 DB＝DO，因此点 O 在圆 D 的圆周上．
（2）设圆 O 的半径为 a，BO 的延长线交 AC 于点 E，易知 BE⊥AC．
设 AC＝2y（0＜y≤a），OE＝x，AB＝l，则 a2＝x2+y2，S＝y（a+x），
l2＝y2+（a+x）2＝y2+a2+2ax+x2＝2a2+2ax＝2a（a+x）＝
因为∠ABC＝2∠OBA＝2∠OAB＝∠BDO，AB＝BC，DB＝DO，
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所以△BDO∽△ABC，所以 ＝ ，即 ，故 r＝ ．
所以 r2＝ ＝ × ＝ × ≥ ，即 r≥ ，
其中等号当 a＝y 时成立，
这时 AC 是圆 O 的直径．所以圆 D 的半径 r 的最小值为 ．
【点评】本题考查了相似三角形对应角相等、对应边比值相等的性质，考查了不等式的
极值问题，考查了勾股定理在直角三角形中的运用，本题中求点O 在圆 D 的圆周上是解
题的关键．
3．（20 分）设 a 为质数，b 为正整数，且 9（2a+b）2＝509（4a+511b）（1）
求 a，b 的值．
【分析】首先将 9（2a+b）2＝509（4a+511b）变形为 ＝ ，此时假
设 m＝ ，n＝ ，则可得到 b＝ ＝ 与 n＝m2．因而可转
化为关于 m 的一元二次方程 3m2﹣511m+6a＝0．利用根与系数的关系，求得 m 的取值进
而讨论 a、b 的取值．
【解答】解：①式即 ＝ ，
故设 m＝ ，n＝ ，则 b＝ ＝ ②
∴3n﹣511m+6a＝0，又 n＝m2，所以 3m2﹣511m+6a＝0 ③
由①式可知，（2a+b）2 能被 509 整除，而 509 是质数，于是 2a+b 能被 509 整除，故 m
为整数，即关于 m 的一元二次方程③有整数根，所以它的判别式△＝5112﹣72a 为完全
平方数．
不妨设△＝5112﹣72a＝t2（t 为自然数），则 72a＝5112﹣t2＝（511+t）（511﹣t）．
由于 511+t 和 511﹣t 的奇偶性相同，且 511+t≥511，所以只可能有以下几种情况：
①
②
③
④ 两式相加，得 36a+2＝1022，没有整数解．
两式相加，得 18a+4＝1022，没有整数解．
两式相加，得 12a+6＝1022，没有整数解．
两式相加，得 6a+12＝1022，没有整数解．
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