集合论介绍
一．集合论的历史
1.基本概念
关于集合的理论是19世纪末开始形成的。当时德国数学家康托尔试图回答一些涉及无穷量的数学难题，例如“整数究竟有多少？”“一个圆周上有多少点？”0—1之间的数比1寸长线段上的点还多吗？”等等。而“整数”、“圆周上的点”、“0—1之间的数”等都是集合，因此对这些问题的研究就产生了集合论。
康托尔（Georg Cantor，1845-1918，德） 康托尔1845年出生于俄国的圣彼得堡，后来离开俄国迁入德国，其家庭是犹太人后裔。
集合是什么呢？用康托尔的话说，集合就是把具体的或思想上的一些确定的、彼此不同的对象聚集成的整体。简单说来，集合就是一组事物。
有一些集合，它们的元素是有穷的，如｛1，4，9，……100｝，｛里根，布什，克林顿｝，这种集合称为有穷集合。而有些集合则有无穷多个元素，如整数的集合等，这种集合称为无穷集合。无穷集合的基数大于任何有穷集合的基数。由上节的分析可以看出，无穷集合可以通过一一对应的方法进行比较，但却出现了令人惊讶的结果，如偶数集合与自然数集合的元素一样多，一条线上点的集合与平面上点的集合其元素也是相等的。康托尔把无穷集合的概念作为集合理论的基础，并证明无穷集合的一个显著特点就是无穷集合自身可与其部分具有一一对应关系。
为了将有穷集合的元素个数的概念推广到无穷集合，他以一一对应为原则，提出了集合等价的概念。两个集合只有它们的元素间可以建立一一对应才称为是等价的。这样就第一次对各种无穷集合按它们元素的“多少”进行了分类。他还引进了“可列”这个概念，把凡是能和正整数构成一一对应的任何一个集合都称为可列集合。
有1个元素的集合其子集有2个，有2个元素的集合其子集共有4个，一般地，有n个元素的集合其子集有2n个,n个元素的集合其基数为n，而其所有子集组成的集合的基数为2^n ，显然2^n＞n。因此有“康托尔定理”：任意集合（包括无穷集）的幂集的基数大于该任意集合的基数。
第1章 集合论与测度论
1.1 集合、势及其运算
1.1.1 集合的基本概念
定义1.1.1 由具有某种共同特点的个体构成的集体称为集合，（或：集，族，类，簇等）。集合中的个体称为元素。
aA，aA（或：aA），—空集，
AB或BA（或：AB或BA），,ABAB.
{:}ABxxAxB或称为集A与集B的并集（或：和（集））；
{:}ABxxAxB且称为集A与集B的交集（或：通（集））；
{:,}IAxIxA使， {:,}IAxIxA对一切均有，
其中I称为A的指标集.
定义1.1.2 若AB（AB），则称集A与集B不相交（相交）；若{}A的任何两个集没有公共元素，则{}A是一个不相交的集族.
定义1.1.3 {:,}ABxxAxB称为A与B的差（集），（读作A减去B，或A差B）.
当BA时，称差（集）AB为B关于A的补（集）或余集；记为ACB.
当从上下文能清楚地知道是对哪一个较大的集取余集时，A的余集记为cA.
称集()()ABBA为集A与集B的对称差，记为AB, 即
()()ABABBA.
注 下列记号在本课程中是固定的：
N: 全体自然数构成的集合；
:Z 全体整数构成的集合； 2 :Q 全体有理数构成的集合；
1:R 全体实数构成的集合；
1C：全体复数构成的集合.
设X是一个集合，用2X表示X的所有子集构成的集合（或：X的所有子集构成的集簇，或：X的所有子集构成的集类），称之为X的幂集（合）。
1.1.2 集合的运算
1) ,AAAAAA； （并、交的幂等性）若AB，则ABB，ABA；
2) AA（空集是加法的零元），A
3) ABBA （并的交换律）
第2讲 感应电动势大小的计算
1.求解感应电动势常见的情况与方法
情景图
研究对象 回路(不一定闭合) 一段直导线(或等效成直导线) 绕一端转动的一段导体棒 绕与B垂直的轴转动的导线框
表达式 E＝nΔΦΔt E＝BLv E＝12BL2ω E＝NBSω·sin(ωt＋φ0)
2.导线切割磁感线产生的感应电动势E＝Blv，公式中l指有效切割长度，即导线在与v垂直的方向上的投影长度．
(1)图甲中的有效切割长度为：沿v1方向运动时，l＝c dsin θ；沿v2方向运动时，l＝c d.
(2)图乙中的有效切割长度为：沿v1方向运动时，l＝2R；沿v2方向运动时，l＝0.
(3)图丙中的有效切割长度为：沿v1方向运动时，l＝2R；沿v2方向运动时，l＝R.
3.关于导体转动切割磁感线：当导体棒在垂直于磁场的平面内，其一端固定，以角速度ω匀速转动时，产生的感应电动势为E＝Blv＝12Bl2ω，如图所示．
若圆盘在磁场中以ω绕圆心匀速转动时，如图8所示，相当于无数根“辐条”转动切割，它们之间相当于电源的并联结构，圆盘上的感应电动势仍为E＝Brv＝12Br2ω.
题型典例
1．【多选】单匝线圈在匀强磁场中绕垂直于磁场的轴匀速转动，穿过线圈的磁通量Φ随时间t的关系图象如图所示，则( )
A．在t＝0时刻，线圈中磁通量最大，感应电动势也最大
B．在t＝1×10－2 s时刻，感应电动势最大
C．在t＝2×10－2 s时刻，感应电动势为零
D．在0～2×10－2 s时间内，线圈中感应电动势的平均值为零
2. 如图所示，一正方形线圈的匝数为n，边长为a，线圈平面与匀强磁场垂直，且一半处在磁场中．在Δt时间内，磁感应强度的方向不变，大小由B均匀地增大到2B.在此过程中，线圈中产生的感应电动势为( )
A.Ba22Δt B.nBa22Δt
C.nBa2Δt D.2nBa2Δt
3．如图所示，均匀磁场中有一由半圆弧及其直径构成的导线框，半圆直径与磁场边缘重合；磁场方向垂直于半圆面(纸面)向里，磁感应强度大小为B0.使该线框从静止开始绕过圆心O、垂直于半圆面的轴以角速度ω匀速转动半周，在线框中产生感应电流．现使线框保持图中所示位置，磁感应强度大小随时间线性变化．为了产生与线框转动半周过程中同样大小的电流，磁感应强度随时间的变化率ΔBΔt的大小应为( )
第八章 函数与集合的势
8.1 N是自然集，R是实数集，以下给出的关系中，哪些能构成函数关系？
（1）}10,,|),{(212121xxNxxxx
（2）},,|),{(2122121yyRyyyy
（3）},,|),{(1222121yyRyyyy
解
（1）不是函数，因为1x有多个2x与其对应。
（2）是函数，因为对于任意一个Ry1，存在唯一的212yy与之对应。
（3）不是函数，因为对于Ry41，不存在元素Ry2与之对应。
8.2 A，B是两个任意集合，且fXBA，，是集合X到集合Y的映射。证明：
（1）)B(f)A(f)BA(f
（2）)B(f)A(f)BA(f，并说明等号在什么时候成立，即给出等号成立的充分必要条件，并证明之。
证明
（1）对于)(BAfy，则存在一个BAx，使得yxf)(，即Ax或Bx。若Ax，根据映射的定义知，)()(Afxfy，因此)()(BfAfy，从而有)()()(BfAfBAf；若Bx，根据映射的定义知，)()(Bfxfy，因此)()(BfAfy，从而有)()()(BfAfBAf。总之，有)()()(BfAfBAf。
反之，对于)()(BfAfy，则有)(Afy或)(Bfy。若)(Afy，则存在唯一的Ax使得yxf)(。由Ax知，BAx，因此)()(BAfxfy，从而有)()()(BAfBfAf；若)(Bfy，则存在唯一的Bx使得yxf)(。由Bx知，BAx，因此)()(BAfxfy，从而有)()()(BfAfBAf。 综上所述，)B(f)A(f)BA(f。
（2）对于)(BAfy，则存在BAx，使得yxf)(，即存在Ax且Bx使得yxf)(。因此，)(Afy且)(Bfy。由交集的定义知，)()(BfAfy，故
