(完整版)极限四则运算法则
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极限四则运算法则
由极限定义来求极限是不可取的，也是不行的，因此需寻求一些方法来求极限。
定理 1 若 limf(x) A,lim g(x) B，则 lim[f(x) g(x)]存在，且
lim[ f (x) g (x)] A B lim f (x) lim g(x)。
所以 lim(f (x) g(x))
x xo
其它情况类似可证。
注：本定理可推广到有限个函数的情形。
定理 2:若 lim f (x) A,lim g(x) B，则 lim f (x) 证明：只证lim[ f(x) g(x)] A B，过程为 x X0， 对 0, i 0，
x Xo 时，有f (x) A 3,对此， 2 0,当 0 x xo
时，有g(x)
(f(x) g(x)) (A 2，取 min{ 2｝，当 0 x xo 时，有
B)| |(f(x) A) (g(x) B) f(x) A |g(x)
lim f (x)g(x) AB lim f(x) lim g(x)。
证明：因为lim f (x) 代 lim g(x) B， f (x) A ,g(x)
(,均为无穷小) f(x)g(x) (A )(B ) AB (A )，记
为无穷小, lim f(x)g(x) AB。
推论1： lim[ cf (x)] clim f (x) ( c 为常数)。
推论2： lim[ f(x)]n [lim f (x)]n (n为正整数)。
定理3： 设 lim f (x) A,lim g(x) A lim f(x)
B lim g (x) g(x)存在, 证明：设f(x) A ,g(x) B (,为无穷小)，考虑差:【例 11 lim (ax b) lim ax lim b a lim x b axo b 。 x Xo x xo x xo x xo
【例 2】 lim xn [lim x]n xon。
x Xo x xo
推论 1: 设 f(x) aoxn a1xn 1 an 1x an为一多项式，当
lim f(x) n ao xo n 1 a1 xo an 1xo an f (xo)。
X x0 f(x) A A AB A
g(x) B B B B(B )
其分子B A为无穷小，分母B(B ) B2 0，我们不难证明
有界(详细过程见书上) 「为无穷小，记为，所以埸 1
~~)
A
- 5 B
..f(x) A lim g(x) B
注：以上定理对数列亦成立
定理4:如果(x) (x)，且 lim (x) a,lim (x) b，则 a b
【例5】求lim x： x 2 。
x 3 2x x 3
2 x x 2 广 x 2 所以 lim 2 lim x 1 2x2 x 3 x 1 2x 3
【例6】求lim (二 T3 4 )。 x 1 x 1 x3 1
1 3
解：当x 1,丄全没有极限，故不能直接用定理 3,但当x
x 1 x 1
2
3 3 (x 1)(x 2)
3 2 x 1 x3 1 (x 1)(x2 x 1)
【例7】求lim x—。
X 2 x 2 推论2: 设P(x),Q(x)均为多项式，且Q(X0)0，则傀鵲 鵲
【例3】 lim(x2 5x 10 12 5 1 1 3【例4】 lim X： 7x 9「
x 0 x5 x 3 05 0 J9 3 (因为 05 0 3 0 )。
3
注：若Q(x。) 0，则不能用推论 2来求极限，需采用其它手段。
解：当x 1时，分子、分母均趋于 0,因为x 1，约去公因子(x 1)
1时,
八，所以
x叫"*)㈣于 21 2 1。
(1) ( 1) 1
解：当x 故不能直接用定理5，又x2 4，考虑：
lim臂
X 2 x2 2 2c
T 0，
^2 2
x ax b 右 lim 2 ------ x 1 si n(x 1)
1 时，sin(x2 1) ~ x2 1，且 lim (x2 ax b) 0
x 1
a b 1 0, b= (a 1)
2 2
x ax b x ax (a 1) (x 1)(x a 1) x2 1 (x 1)(x 1) (x
1)(x 1)
x2 ax b a 2 lim 2 3 x 1 x2 1 2
a 4, b 5
【例11】证明lim
— 1, X为X的整数部分n r a°X
xim m x b°x n 1 a〔x
m 1 b1x an lim b x m a0 n x n m x x
b0 b
x bm
m x
1 a0 0 0
当n m时
b0 0 0
0 a0 0 0
当n m时
b0 0 0
a。 0 0
当n m时
b0 0 0
)】求lim
( 1 2
2 2 n )
2 。
n n n n 时，分子、分母极限均不存在，故不能用§ ai an
解：当n 时，这是无穷多项相加，故不能用定理 1,先变形: 1
原式 lim~v(1 2 n n2 n) lim A n n2 n(n 1)
2 lim^」丄 n 2n 2 【例8】 3，求a,b的值。
【例9】设a0 0, b0 0,m,n为自然数，则
X aa X aa anbm
证明：当x 1.6疋理5,先变形: n
证明：先考虑1 — ，因为XX是有界函数，且当x 时，- 0，所
XX X
以由有界量与无穷小量的乘积是无穷小，得
X X X X
lim 0 lim (1 ) 0 lim 1。 X X X X X X
