极限四则运算

2.4 极 限 的 四 则 运 算 （一）

古浪五中---姚祺鹏

【教学目标】

（一）知识与技能

1．掌握函数极限四则运算法则；

2．会用极限四则运算法则求较复杂函数的极限；

3．提高问题的转化能力，体会事物之间的联系与转化的关系；

（二） 过程与方法

1.掌握极限的四则运算法则，并能使用它求一些复杂数列的极限.

2.从函数极限联想到数列极限，从“一般”到“特殊”.

（三） 情态与价值观

1.培养学习进行类比的数学思想

2.培养学习总结、归纳的能力，学会从“一般”到“特殊 ”，从“特殊”到“一般”转化的思想.同时培养学生的创新精神，加强学生的的实践能力。

(四)高考阐释：

高考对极限的考察以选择题和填空题为主，考察基本运算，此类题目的特点在于需要进行巧妙的恒等变形，立足课本基础知识和基本方法

【教学重点与难点】

重点：掌握函数极限的四则运算法则；

难点：难点是运算法则的应用（会分析已知函数由哪些基本函数经过怎样的运算结合而成的）．

【教学过程】

1．提问复习，引入新课

对简单函数，我们可以根据它的图象或通过分析函数值的变化趋势直接写出它们的极限．如 1lim,2121lim11xxxx．

让学生求下列极限：

（1）xx1lim； （2）xx21lim1； （3）)12(lim21xx； （4）xx2lim1

对于复杂一点的函数，如何求极限呢？例如计算xxx21lim1即xxx212lim21，显然通过画图或分析函数值的变化趋势找出它的极限值是不方便的．因此、我们有必要探讨有关极限的运算法则，通过法则，把求复杂函数的极限问题转化为求简单函数的极限．

板书课题：极限的四则运算．

2．特殊探路，发现规律

考察xxx212lim21完成下表：

x

0.9

0.99 0.999 1 1.001 1.01

Xupeisen110 高中数学

1 数列极限的四则运算

教材：数列极限的四则运算

目的：要求学生掌握数列极限的四则运算法则，并能运用法则求数列的极限。

过程：

一、复习：数列极限的N定义

二、提出课题：数列极限的四则运算法则

1．几个需要记忆的常用数列的极限

01limnn 11limnnn 0limnnq )1(q )(lim为常数aaan

2．运算法则：

如果 Aannlim Bbnnlim

则： BAbannn)(lim BAbannn)(lim )0(,limBBAbannn

3．语言表达（见教材，略）

此法则可以推广到有限多个数列的情形

解释：如数列 ,1,,43,32,21nn 它的极限为1

,2,,2,2,2 它的极限为2

则 ,12,,432,322,212nn它的极限为3

即：3121lim2lim)12(limnnnnnnn

三、处理课本 例一、例二 略

例三（机动，作巩固用）求下列数列的极限：

1．2312limnnn

解：原式=3203022lim3lim1lim2lim)23(lim)12(lim2312limnnnnnnnnnnnnn Xupeisen110 高中数学

2 2．1645lim323nnnnn 解：原式=65116415lim323nnnnn

3．1645lim523nnnnn 解：原式=060116415lim54532nnnnnn

数列极限四则运算法则的证明

work Information Technology Company.2020YEAR 2 数列极限四则运算法则的证明

设limAn=A,limBn=B,则有

法则1:lim(An+Bn)=A+B

法则2:lim(An-Bn)=A-B

法则3:lim(An·Bn)=AB

法则4:lim(An/Bn)=A/B.

法则5:lim(An的k次方)=A的k次方(k是正整数)

(n→+∞的符号就先省略了,反正都知道怎么回事.)

首先必须知道极限的定义:

如果数列{Xn}和常数A有以下关系:对于ε＞0(不论它多么小),总存在正数N,使得对于满足n＞N的一切Xn,不等式|Xn-A|＜ε都成立,

则称常数A是数列{Xn}的极限,记作limXn=A.

根据这个定义,首先容易证明: 引理1: limC=C. (即常数列的极限等于其本身)

法则1的证明:

∵limAn=A, ∴对任意正数ε,存在正整数N₁,使n＞N₁时恒有|An-A|＜ε.①(极限定义)

同理对同一正数ε,存在正整数N₂,使n＞N₂时恒有|Bn-B|＜ε.②

设N=max{N₁,N₂},由上可知当n＞N时①②两式全都成立.

此时|(An+Bn)-(A+B)|=|An-A)+(Bn-B)|≤|An-A|+|Bn-B|＜ε+ε=2ε.

由于ε是任意正数,所以2ε也是任意正数.

即:对任意正数2ε,存在正整数N,使n＞N时恒有|(An+Bn)-(A+B)|＜2ε.

由极限定义可知,lim(An+Bn)=A+B.

为了证明法则2,先证明1个引理.

引理2:若limAn=A,则lim(C·An)=C·A.(C是常数)

证明:∵limAn=A, ∴对任意正数ε,存在正整数N,使n＞N时恒有|An-A|＜ε.①(极限定义)

①式两端同乘|C|,得: |C·An-CA|＜Cε.

由于ε是任意正数,所以Cε也是任意正数.

极限四则运算公式

好的，以下是为您生成的关于“极限四则运算公式”的文章：

咱们来聊聊极限四则运算公式，这可是数学里挺重要的一块儿呢！

先说说加法吧，极限的加法公式就像是搭积木，把两个趋近的数值加在一起。比如说，当 x 趋近于某个数 a 时，f(x)的极限是 A，g(x)的极限是 B，那么 f(x) + g(x) 的极限就是 A + B。这就好比你有一堆苹果，左边这堆有 A 个，右边那堆有 B 个，加起来就是总的个数。

我记得有一次，我在课堂上给学生们讲这个知识点。有个调皮的小家伙一直坐不住，眼睛到处乱瞟。我就故意叫他起来回答问题，问他如果一个函数当 x 趋近于 3 时极限是 5，另一个函数当 x 趋近于 3 时极限是 7，那它们相加的极限是多少。这小家伙一开始还懵懵的，后来抓耳挠腮想了会儿，居然答对了！从那以后，他上课认真多了，对极限的四则运算也更上心了。

再说说减法，其实和加法差不多，就是把趋向的数值相减。还是那个例子，当 x 趋近于 a 时，f(x)的极限是 A，g(x)的极限是 B，那么 f(x)

- g(x) 的极限就是 A - B。这就像你有两堆钱，一堆有 A 元，另一堆有

B 元，算一下多出来多少，就是 A - B 元呗。

乘法的极限运算公式呢，就像是面积的计算。如果当 x 趋近于 a 时，f(x)的极限是 A，g(x)的极限是 B，那么 f(x)×g(x) 的极限就是 A×B。比如说，一个长方形的长随着某个变量趋近于一个值时极限是 A，宽趋近于的值极限是 B，那这个长方形面积的极限就是 A×B。

除法的极限运算相对复杂点儿，但也不难理解。当 x 趋近于 a 时，f(x)的极限是 A，g(x)的极限是 B（B 不能为 0 哦，不然就没意义啦），那么 f(x)÷g(x) 的极限就是 A÷B。这就好比你有 A 个苹果要分给 B 个人，每个人能分到的苹果数的极限就是 A÷B 个。

在实际应用中，极限四则运算公式用处可大了。比如说，在物理中计算物体的运动速度，或者在经济中分析成本和收益的变化趋势，都可能会用到这些公式。