2019年湖南省常德市中考数学试卷(含答案)
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2019湖南省常德市初中毕业生学业水平考试
数 学 试 卷 答 案
一、选择题（本大题8个小题，每小题3分，满分24分）
1．点（﹣1，2）关于原点的对称点坐标是（ ）
A．（﹣1，﹣2） B．（1，﹣2） C．（1，2） D．（2，﹣1）
2．下列各数中比3大比4小的无理数是（ ）
A． B． C．3.1 D．
3．下列运算正确的是（ ）
A．+＝ B．＝3 C．＝﹣2 D．＝
4．某公司全体职工的月工资如下：
月工资（元） 18000 12000 8000 6000 4000 2500 2000 1500
1200
人数 1（总经理） 2（副总经理） 3 4 10 20 22 12 6
该公司月工资数据的众数为2000，中位数为2250，平均数为3115，极差为16800，公司的普通员工最关注的数据是（ ）
A．中位数和众数 B．平均数和众数
C．平均数和中位数 D．平均数和极差
5．如图是由4个大小相同的小正方体摆成的几何体，它的左视图是（ ）
A. B． C． D．
6．小明网购了一本《好玩的数学》，同学们想知道书的价格，小明让他们猜．甲说：“至少15元．”乙说：“至多12元．”丙说：“至多10元．”小明说：“你们三个人都说错了”．则这本书的价格x（元）所在的范围为（ ）
A．10＜x＜12 B．12＜x＜15 C．10＜x＜15 D．11＜x＜14
7．如图，在等腰三角形△ABC中，AB＝AC，图中所有三角形均相似，
其中最小的三角形面积为1，△ABC的面积为42，则四边形DBCE的
面积是（ ）
A．20 B．22 C．24 D．26
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8．观察下列等式：70＝1，71＝7，72＝49，73＝343，74＝2401，75＝16807，…，根据其中的规律可得70+71+72+…+72019的结果的个位数字是（ ）
A．0 B．1 C．7 D．8
二、填空题（本大题8个小题，每小题3分，满分24分）
9．（数轴上表示﹣3的点到原点的距离是 ．
10．不等式3x+1＞2（x+4）的解为 ．
11．从甲、乙、丙三人中选一人参加环保知识抢答赛，经过两轮初赛，他们的平均成绩都是89.7，方差分别是S甲2＝2.83，S乙2＝1.71，S丙2＝3.52，你认为适合参加决赛的选手是
．
12．国产手机芯片麒麟980是全球首个7纳米制程芯片，已知1纳米＝0.000 000 001米，将7纳米用科学记数法表示为 米．
13．二元一次方程组的解为 ．
14．如图，已知△ABC是等腰三角形，AB＝AC，∠BAC＝45°，
点D在AC边上，将△ABD绕点A逆时针旋转45°得到△ACD′，
且点D′、D、B三点在同一条直线上，则∠ABD的度数是 ．
15．若x2+x＝1，则3x4+3x3+3x+1的值为 ．
16．（规定：如果一个四边形有一组对边平行，一组邻边相等，那么称此四边形为广义菱形．根据规定判断下面四个结论：①正方形和菱形都是广义菱形；②平行四边形是广义菱形；③对角线互相垂直，且两组邻边分别相等的四边形是广义菱形；④若M、N的坐标分别为（0，1），（0，﹣1），P是二次函数y＝x2的图象上在第一象限内的任意一点，PQ垂直直线y＝﹣1于点Q，则四边形PMNQ是广义菱形．其中正确的是 ．（填序号）
三、（本大题2个小题，每小题5分，满分10分）
17．（5分）计算：6sin45°+|2﹣7|﹣（）﹣3+（2019﹣）0．
18．（5分）解方程：x2﹣3x﹣2＝0．
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四、（本大题2个小题，每小题6分，满分12分）
19．（6分）先化简，再选一个合适的数代入求值：（﹣）÷（﹣1）．
20．（6分）如图，一次函数y＝﹣x+3的图象与反比例函数y＝（k≠0）在第一象限的图象交于A（1，a）和B两点，与x轴交于点C．
（1）求反比例函数的解析式；
（2）若点P在x轴上，且△APC的面积为5，求点P的坐标．
五、（本大题2个小题，每小题7分，满分14分）
21．（7分）某生态体验园推出了甲、乙两种消费卡，设入园次数为x时所需费用为y元，选择这两种卡消费时，y与x的函数关系如图所示，解答下列问题
（1）分别求出选择这两种卡消费时，y关于x的函数表达式；
（2）请根据入园次数确定选择哪种卡消费比较合算．
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22．（7分）如图，⊙O与△ABC的AC边相切于点C，与AB、BC边分别交于点D、E，DE∥OA，CE是⊙O的直径．
（1）求证：AB是⊙O的切线；
（2）若BD＝4，EC＝6，求AC的长．
六、（本大题2个小题，每小题8分，满分16分）
23．（8分）为了扎实推进精准扶贫工作，某地出台了民生兜底、医保脱贫、教育救助、产业扶持、养老托管和易地搬迁这六种帮扶措施，每户贫困户都享受了2到5种帮扶措施，现把享受了2种、3种、4种和5种帮扶措施的贫困户分别称为A、B、C、D类贫困户．为检査帮扶措施是否落实，随机抽取了若干贫困户进行调查，现将收集的数据绘制成下面两幅不完整的统计图：
请根据图中信息回答下面的问题：
（1）本次抽样调查了多少户贫困户？
（2）抽查了多少户C类贫困户？并补全统计图；
（3）若该地共有13000户贫困户，请估计至少得到4项帮扶措施的大约有多少户？
（4）为更好地做好精准扶贫工作，现准备从D类贫困户中的甲、乙、丙、丁四户中随机选取两户进行重点帮扶，请用树状图或列表法求出恰好选中甲和丁的概率．
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24．（8分）图1是一种淋浴喷头，图2是图1的示意图，若用支架把喷头固定在点A处，手柄长AB＝25cm，AB与墙壁DD′的夹角∠D′AB＝37°，喷出的水流BC与AB形成的夹角∠ABC＝72°，现在住户要求：当人站在E处淋浴时，水流正好喷洒在人体的C处，且使DE＝50cm，CE＝130cm．问：安装师傅应将支架固定在离地面多高的位置？
（参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75，sin72°≈0.95，cos72°≈0.31，tan72°≈3.08，sin35°≈0.57，cos35°≈0.82，tan35°≈0.70）．
七、（本大题2个小题，每小题10分，满分20分）
25．（10分）如图，已知二次函数图象的顶点坐标为A（1，4），与坐标轴交于B、C、D三点，且B点的坐标为（﹣1，0）．
（1）求二次函数的解析式；
（2）在二次函数图象位于x轴上方部分有两个动点M、N，且点N在点M的左侧，过M、N作x轴的垂线交x轴于点G、H两点，当四边形MNHG为矩形时，求该矩形周长的最大值；
（3）当矩形MNHG的周长最大时，能否在二次函数图象上找到一点P，使△PNC的面积是矩形MNHG面积的？若存在，求出该点的横坐标；若不存在，请说明理由．
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26．（10分）在等腰三角形△ABC中，AB＝AC，作CM⊥AB交AB于点M，BN⊥AC交AC于点N．
（1）在图1中，求证：△BMC≌△CNB；
（2）在图2中的线段CB上取一动点P，过P作PE∥AB交CM于点E，作PF∥AC交BN于点F，求证：PE+PF＝BM；
（3）在图3中动点P在线段CB的延长线上，类似（2）过P作PE∥AB交CM的延长线于点E，作PF∥AC交NB的延长线于点F，求证：AM•PF+OM•BN＝AM•PE．
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湖南省常德市2019年中考数学试卷答案
一、选择题（本大题8个小题，每小题3分，满分24分）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 B A D A C B D
A
二、填空题（本大题8个小题，每小题3分，满分24分）
9． 3 10． x＞7
11． 乙 12． 7×10﹣9
13．
14． 22.5°
15． 4
16． ①④
三、（本大题2个小题，每小题5分，满分10分）
17．（5分）解：原式＝6×﹣2+7﹣8+1＝．
18．（5分）解：∵a＝1，b＝﹣3，c＝﹣2；
∴b2﹣4ac＝（﹣3）2﹣4×1×（﹣2）＝9+8＝17；
∴x＝
＝，
∴x1＝，x2＝．
四、（本大题2个小题，每小题6分，满分12分）
19．（6分）解：（﹣）÷（﹣1）
＝[]÷[]
＝
＝
＝
＝，
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当x＝2时，原式＝＝．
20．解：（1）把点A（1，a）代入y＝﹣x+3，得a＝2，
∴A（1，2）
把A（1，2）代入反比例函数y＝，
∴k＝1×2＝2；
∴反比例函数的表达式为y＝；
（2）∵一次函数y＝﹣x+3的图象与x轴交于点C，
∴C（3，0），
设P（x，0），
∴PC＝|3﹣x|，
∴S△APC＝|3﹣x|×2＝5，
∴x＝﹣2或x＝8，
∴P的坐标为（﹣2，0）或（8，0）．
五、（本大题2个小题，每小题7分，满分14分）
21．（7分）解：（1）设y甲＝k1x，根据题意得5k1＝100，解得k1＝20，∴y甲＝20x；
设y乙＝k2x+100，根据题意得：20k2+100＝300，解得k2＝10，∴y乙＝10x+100；
（2）①y甲＜y乙，即20x＜10x+100，解得x＜10，当入园次数小于10次时，选择甲消费卡比较合算；
②y甲＝y乙，即20x＝10x+100，解得x＝10，当入园次数等于10次时，选择两种消费卡费用一样；
③y甲＞y乙，即20x＞10x+100，解得x＞10，当入园次数大于10次时，选择乙消费卡比较合算．
22．（7分）（1）证明：连接OD、CD，
∵CE是⊙O的直径，∴∠EDC＝90°，
∵DE∥OA，∴OA⊥CD，
∴OA垂直平分CD，∴OD＝OC，
∴OD＝OE，∴∠OED＝∠ODE，
