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平面向量复习教案

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第二十二教时教材：复习一——向量、向量的加法与减法、实数与向量的积目的：通过复习对上述内容作一次梳理，使学生对知识的理解与应用提高到一个新的水平。

过程：一、 知识（概念）的梳理：1． 向量：定义、表示法、模、几种特殊向量2． 向量的加法与减法：法则（作图）、运算律3． 实数与向量的积：定义、运算律、向量共线的充要条件、平面向量的基本定义二、 例题：1． 若命题M ：'=；命题N ：四边形ABB ’A ’是平行四边形。

则M 是N 的 （ C ）(A )充分不必要条件 (B ) 必要不充分条件(C )充要条件 (D ) 既不充分也不必要条件 解：若'=，则 ||=|'|，且, '方向相同∴AA ’∥BB ’ 从而ABB ’A ’是平行四边形，即：M ⇒N若ABB ’A ’是平行四边形，则|AA ’|=|BB ’|，且AA ’∥BB ’∴|'AA |=|'BB | 从而'AA ='BB ，即：N ⇒M2． 设A 、B 、C 、D 、O 是平面上的任意五点，试化简：1︒++ 2︒++ 3︒-+--解：1︒ 原式= =+=++)(2︒ 原式= =+=++)(3︒ 原式= AB AB CO OC AB CO OC OA OB =+=+-=--+-0)()()(3． a =“向东走5km ”，b =“向西走12km ”，试求a +b 的长度与方向。

解：如图：13125||22=+=OB (km )tan ∠AOB =512 , ∴∠AOB = arctan 512 ∴a + b 的长为13km ，方向与成arctan 512的角。

4． 如图：1︒已知a 、b 、c 、d ，求作向量a -b 、c -d 。

2︒已知a 、b 、c ，求作a + c - b AOB a b a+ba a a ab b b bc c c c c -d d d a -b a+c -ba+c5． 设x 为未知向量，a 、b 为已知向量，解方程2x -(5a +3x -4b )+21a -3b =0 解：原方程可化为：(2x - 3x ) + (-5a +21a ) + (4b -3b ) = 0 ∴x =29-a + b 6． 设非零向量a 、b 不共线，c =k a +b ，d =a +k b (k ∈R)，若c ∥d ，试求k 。

解：∵c ∥d ∴由向量共线的充要条件得：c =λd (λ∈R)即：k a +b =λ(a +k b ) ∴(k -λ)a + (1-λk )b = 0又∵a 、b 不共线 ∴由平面向量的基本定理：1010±=⇒⎩⎨⎧=-=-k k k λλ 7． 如图：已知在 ABCD 中，AH =HD ，BF =MC =41BC ，设AB =a ，AD =b ，试用a 、b 分别表示、、。

解：∵ ABCD 中，BF =MC =21BC , ∴FM =21BC =21AD =AH ∴FM AH ∴四边形AHMF 也是平行四边形，∴AF =HM又：434343===a , 而4141-=-=b ∴+== a +43b , +=== -41b - a =-=-(-41b - a ) = 41b + a第二十三教时教材：复习二——实数与向量的数量积（续）目的：继续复习有关知识，提高学生数形结合、解决实际问题的能力。

过程：继续复习实数与向量的积、向量共线的充要条件、平面向量的基本定理——平几问题8． 如图：已知MN 是△ABC 的中位线， 求证：MN =21BC , 且MN ∥BC 证：∵MN 是△ABC 的中位线，∴AM 21=, 21= ∴AM MN 21)(212121=-=-=-= ∴MN =21BC , 且MN ∥BC 9． 证明：三角形重心与顶点的距离等于它到对边中点的距离的两倍。

A B CN M证：设= b ，= a ，则AD =+= b +21a , +== ∵A , G , D 共线，B , G , E 共线 ∴可设AG =λAD ，EG = μEB , 则=λAD =λ(b +21a )=λb +21λa , EG = μEB = μ(21b +a )=21μb +μa , ∵=+ 即：21b + (21μb +μa ) =λb +21λa ∴(μ-21λ)a + (21μ-λ+21)b = 0 ∵a , b 不平行， ∴AD AG 32313202121021=⇒⎪⎩⎪⎨⎧==⇒⎪⎩⎪⎨⎧=+-=-μλλμλμ 即：AG = 2GD 同理可化：AG = 2GD , CG = 2GF10． 设AB =22(a +5b )，=-2a + 8b ，=3(a -b )，求证：A ,B ,D 三点共线。

证：=++=22(a +5b ) + ( -2a + 8b ) + 3(a -b ) = (1+22)a + (5 + 522)b = (1+22)(a + 5b ) 而=22(a +5b ) ∴= (2+ 1) 又∵AD , AB 有公共点 ∴A ,B ,D 三点共线11． 求证：起点相同的三个非零向量a 、b 、3a -2b 的终点在同一直线上。

证：依题意，可设OA = a , OB = b , OC = 3a -2bAB =OB -OA = b - a , AC =OC -OB = 3a -2b - a = 2(a - b ) ∴= -2 由于,起点均为A ，∴三点A ,B ,C 共线，即起点相同的三个非零向量a 、b 、3a -2b 的终点在同一直线上12． 已知：平面上三点O 、A 、B 不共线，求证：平面上任一点C 与A 、B 共线的充要条件是存在实数λ和μ，使=λ+ μ，且λ+ μ = 1。

证：必要性：设A ,B ,C 三点共线，则可设AC = t AB (t ∈R)C则OC =OA +AC =OA + t AB =OA + t (OB -OA ) = (1-t )OA + t OB令1-t =λ，t = μ，则有：=λ+ μ，且λ+ μ = 1 充分性：=-=λ+ μ-= (λ-1)+ μ= -μ+ μ= μ(-) = μ∴三点A 、B 、C 共线13． 某人骑车以每小时a 公里的速度向东行驶，感到风从正东方向吹来，而当速度为2a 时，感到风从东北方向吹来，试求实际风速和方向。

解：设a 表示此人以每小时a 公里的速度向东行驶的向量，无风时此人感到风速为-a ，设实际风速为v ， 那么此时人感到的风速为v - a ， 设OA = -a ，OB = -2a ∵+= ∴= v - a ，这就是感到由正北方向吹来的风速， ∵+= ∴= v -2a ，于是当此人的速度是原来的2倍时所感受到由东北方向吹来的风速就是，由题意：∠PBO = 45︒, P A ⊥BO , BA = AO从而，△POB 为等腰直角三角形，∴PO = PB =2a 即：|v | =2a ∴实际风速是2a 的西北风第二十五教时教材：复习四——平面向量的数量积及运算律目的：对平面向量的数量积的概念理解更清晰，并能教熟练地应用于平行、垂直等问题。

过程：复习：1． 定义、其结果是一个数量。

2． a •b >0⇔0≤θ<90︒；a •b =0⇔=θ=90︒ 即a ⊥b ；a •b <0⇔90︒<θ≤180︒3． 性质1︒ —5︒4． 运算律三、 例题：14． 已知|a | = 5，|b | = 8，a 与b 的夹角为60︒，求 |a + b |解：a •b = |a ||b |cos60︒ = 5×8×21= 20 ∴|a + b |2 = (a + b )2 = |a |2 + |b |2 + 2a •b= 129O∴|a + b | =12915． 求证：|a + b |≤|a | + |b |证：|a + b |2 = (a + b )2 = |a |2 + |b |2 + 2a •b = |a |2 + |b |2 + 2|a ||b |cos θ≤ |a |2 + |b |2 + 2|a ||b | = ( |a | + |b | )2即：|a + b |≤|a | + |b |16． 设非零向量a 、b 、c 、d ，满足d = (a •c ) b - (a •b )c ，求证：a ⊥d证：内积a •c 与a •b 均为实数，∴a •d = a •[(a •c ) b - (a •b )c ] = a •[(a •c ) b ] - a •[(a •b )c ]= (a •b )(a •c ) - (a •c )(a •b ) = 0 ∴a ⊥d17． 已知非零向量a 、b ，满足a ≠±b ，求证：b -a 垂直于a +b 的充要条件是|a | = |b |证：由题设：b -a 与a +b 均为非零向量必要性：设b -a 垂直于a +b ，则(b -a )(a +b ) = 0又：(b -a )(a +b ) = b 2 - a 2 = |b |2 - |a |2∴|b |2 - |a |2 = 0 即：|a | = |b |充分性：设|a | = |b |，则(b -a )(a +b ) = b 2 - a 2 = |b |2 - |a |2 = 0即：(b -a )(a +b ) = 0 ∴(b -a ) ⊥ (a +b )5．已知a 、b 都是非零向量，且a + 3b 与7a - 5b 垂直，a - 4b 与7a - 2b 垂直，求a 与b 的夹角。

解：由(a + 3b )(7a - 5b ) = 0 ⇒ 7a 2 + 16a ⋅b -15b 2 = 0 ①(a - 4b )(7a - 2b ) = 0 ⇒ 7a 2 - 30a ⋅b + 8b 2 = 0 ②两式相减：2a ⋅b = b 2 代入①或②得：a 2 = b 2设a 、b 的夹角为θ，则cos θ =1222==⋅||||||b b b a b a ∴θ = 60︒ 6．用向量方法证明：菱形对角线互相垂直。

证：设== a , == b∵ABCD 为菱形 ∴|a | = |b |∴AC ⋅BD = (b + a )(b - a ) = b 2 - a 2 = |b |2 - |a |2 = 0 ∴AC ⊥BD7．如图，AD 、BE 、CF 是△ABC 的三条高，求证：AD 、BE 、CF 相交于一点。

证：设BE 、CF 交于一点H ，= a , = b , = 则= h - a , = h - b , = b - a∵BH ⊥AC , CH ⊥AB∴0)()()(0)(0)(=-⋅⇒⋅-=⋅-⇒⎭⎬⎫=⋅-=⋅-a b h a b h b a h a a h b a h ∴AH ⊥BCC C A又∵点D 在AH 的延长线上，∴AD 、BE 、CF 相交于一点第二十六教时教材：复习五——平面向量的数量积的坐标表示、平移目的：让学生对平面向量的数量积的理解更深刻，尤其在两个非零向量垂直与平行的充要条件的平行上更熟练。

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(完整word版)高三一轮复习平面向量复习优秀教案

(完整word版)高三一轮复习平面向量复习优秀教案

平面向量第一课时平面向量的概念【重要知识】知识点一：向量的概念既有大小又有方向的量叫向量。

注意数量与向量的区别：数量只有大小，是一个代数量，可以进行代数运算、比较大小；向量有方向，大小，双重性，不能比较大小.知识点二：向量的表示法①用有向线段表示；②用字母ａ、ｂ（黑体，印刷用）等表示；①用有向线段表示；③用有向线段的起点与终点字母：AB；④向量AB的大小――长度称为向量的模，记作|AB|.知识点三：有向线段（1）有向线段：具有方向的线段就叫做有向线段，三个要素：起点、方向、长度.（2）向量与有向线段的区别：①向量只有大小和方向两个要素，与起点无关，只要大小和方向相同，则这两个向量就是相同的向量；②有向线段有起点、大小和方向三个要素，起点不同，尽管大小和方向相同，也是不同的有向线段.知识点四：两个特殊的向量（1）零向量：长度为0的向量叫零向量，记作0. 0的方向是任意的.注意0与0的含义与书写区别.（2）单位向量：长度为1个单位长度的向量，叫单位向量.说明：零向量、单位向量的定义都只是限制了大小。

知识点五：平行向量、共线向量（1）定义：方向相同或相反的非零向量叫平行向量。

（2）规定：规定0与任一向量平行.（3）共线向量与平行向量关系：平行向量就是共线向量，这是因为任一组平行向量都可移到同一直线上（与有向线段的起点无关）.说明：①综合(1)、(2)才是平行向量的完整定义;a b c平行，记作a∥b∥c②向量,,③平行向量可以在同一直线上，要区别于两平行线的位置关系；④共线向量可以相互平行，要区别于在同一直线上的线段的位置关系.知识点六：相等向量（1） 定义长度相等且方向相同的向量叫相等向量.（2）向量a 与b 相等，记作a b =；（3）零向量与零向量相等；（4）任意两个相等的非零向量，都可用同一条有向线段来表示，并且与有向线段的起点无关.【典型例题】1．下列命题正确的是 （ ）A ．向量AB 与BA 是两平行向量B ．若b a 、都是单位向量,则a b =C ．若AB =DC ,则A 、B 、C 、D 四点构成平行四边形D ．两向量相等的充要条件是它们的始点、终点相同2．若b a 、都是单位向量，则||b a -的取值范围是 （） A ．（1，2） B ．（0，2）C ．［1，2］ D ．［0，2］3.在正六边形ABCDEF 中，O 为其中心，则2FA AB BO ED +++等于（ ）A ．FE B.AC C DC D FC 4. 如图，在△ABC 中，AB = a , BC = b ，AD 为边BC 的中线，G 为△ABC 的重心，求：向量AG ．5．已知△ABC 及一点O ，求证：O 为△ABC 的重心的充要条件是.O OC OB OA =++D A B C ab G·6.设平面内有四边形ABCD 和O 点，,,,OA a OB b OC c OD d ====，若a c b d +=+，则四边形ABCD 的形状为 。

平面向量的概念教案

平面向量的概念教案

平面向量的概念教案一、教学目标：1. 知识与技能：学生能够理解平面向量的概念，掌握平面向量的基本运算法则，并能够熟练进行向量的相加、相减、数量乘法等运算。

2. 过程与方法：通过例题演练，培养学生独立思考、分析问题、解决问题的能力；通过实际应用，加深学生对平面向量概念的理解和运用。

3. 情感态度与价值观：激发学生对数学的兴趣，形成积极的学习态度，提高解决实际问题的能力。

二、教学重点和难点：重点：平面向量的概念及基本运算法则。

难点：向量的数量乘法及在平面向量应用中的解决问题。

三、教学步骤：1. 导入新课：通过提问和引导学生联想等方式，引出向量的概念。

例如：什么是向量？向量有哪些性质？向量在生活中的应用等。

2. 确定学习目标：向学生解释接下来我们要学习平面向量，所以我们需要了解什么是平面向量及其基本性质，以及平面向量的加法、减法和数量乘法等基本运算，掌握这些内容。

3. 学习新知识：向学生详细讲解平面向量的定义、表示方法、平行向量、零向量、共线向量等基本概念和性质。

并讲解平面向量的基本运算法则，如向量的加法、减法、数量乘法等。

4. 练习与巩固：布置练习题，让学生积极参与，巩固学习内容。

5. 拓展应用：引导学生通过实际问题，运用平面向量的概念进行解决问题，提高学生的综合运用能力。

6. 总结归纳：通过本节课学习，对平面向量的概念和基本运算法则进行归纳总结，巩固所学知识。

四、教学手段：1. 教师讲解2. 学生讨论3. 课堂练习4. 实例演练五、教学资源：1. 教科书2. 多媒体课件3. 平面向量的实际应用例题材料六、教学反馈：1. 教师在学习过程中及时纠正学生的错误认识和解题方法。

2. 布置练习题，检验学生学习效果，及时发现学生的问题。

七、教学设计理念：通过让学生参与讨论和思考，培养其分析问题、解决问题的思维能力；通过实例演练，加深学生对平面向量概念的理解和运用；通过应用实际问题，引导学生运用所学知识解决实际问题的能力。

平面向量基本定理(教案)

平面向量基本定理(教案)

平面向量基本定理(教案)教案章节一：向量的概念回顾1.1 向量的定义向量是有大小和方向的量，通常用箭头表示。

向量可以用坐标形式表示，例如在二维空间中，向量可以表示为(a, b)。

1.2 向量的加法向量的加法是指在同一平面内，将两个向量首尾相接，形成的第三个向量。

向量的加法满足交换律和结合律，即a + b = b + a，(a + b) + c = a + (b + c)。

教案章节二：平面向量的基本定理2.1 定理的定义平面向量的基本定理是指在平面内，任何两个不共线的向量可以作为平面的基底。

基底是线性无关的向量组，可以通过线性组合表示平面内的任意向量。

2.2 基底的性质基底是线性无关的，即不存在非零的线性组合使得向量组的和为零。

基底可以任意选择，但选择不同的基底会导致向量的坐标不同。

教案章节三：向量的线性组合3.1 线性组合的定义向量的线性组合是指将向量与实数相乘后相加的结果。

例如，a u + b v 表示将向量u 乘以实数a，向量v 乘以实数b，将两个结果相加。

3.2 线性组合的性质线性组合满足分配律，即(a u + b v) + c w = a (u + c w) + b v。

线性组合的系数可以是任意实数，包括正数、负数和零。

教案章节四：向量的坐标表示4.1 坐标系的建立坐标系是由两个或多个轴组成的，用于表示向量的位置和方向。

在二维空间中，通常使用x 轴和y 轴作为坐标轴。

4.2 向量的坐标表示向量可以用坐标形式表示，即(x, y)，其中x 表示向量在x 轴上的投影，y 表示向量在y 轴上的投影。

向量的长度可以用勾股定理计算，即|u| = √(x^2 + y^2)。

教案章节五：向量的线性相关性5.1 线性相关的定义向量组线性相关是指存在一组不全为零的实数，使得向量组的和为零。

例如，向量组(u, v, w) 线性相关，当存在不全为零的实数a, b, c，使得a u +b v +c w = 0。

5.2 线性相关性的性质如果向量组线性相关，其中任意一个向量都可以表示为其他向量的线性组合。

平面向量基本定理教案(精选10篇)

平面向量基本定理教案(精选10篇)

平面向量基本定理教案(精选10篇)(实用版)编制人：______审核人：______审批人：______编制单位：______编制时间：__年__月__日序言下载提示：该文档是本店铺精心编制而成的，希望大家下载后，能够帮助大家解决实际问题。

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