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复数乘除法

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§3.2.2复数代数形式的乘除运算

【学习目标】

1.理解并掌握复数的代数形式的乘法与除法运算法则，深刻理解它是乘法运算的逆运算；

2.理解并掌握复数的除法运算实质是分母实数化类问题；

【重点难点】

重点：复数代数形式的除法运算. 难点：对复数除法法则的运用.

【学法指导】

复数乘法运算是按照多项式与多项式相乘展开得到，在学习时注意将2i换成1；除法是乘法的逆运算，所以复数的除法运算可由乘法运算推导获得，但是也可由互为共轭复数的两个复数的乘积为实数，先将复数的分母实数化，再化简可得，学习时注意体会第二种方法的优势和本质.

【知识链接】

1.复数1z与2z的和的定义：idbcadicbiazz21；

2.复数1z与2z的差的定义：idbcadicbiazz21；

3.复数的加法运算满足交换律:1221zzzz；

4.复数的加法运算满足结合律: 321321zzzzzz；

5.复数Rbabiaz,的共轭复数为biaz.

【问题探究】

探究一、复数的乘法运算

引导1:乘法运算规则

设biaz1、dicz2Rdcba,,,是任意两个复数，规定复数的乘法按照以下的法则进行：

21zz

其实就是把两个复数相乘，类似两个多项式相乘，在所得的结果中把2i换成－1，并且

把实部与虚部分别合并.两个复数的积仍然是一个复数.

引导2:试验证复数乘法运算律

（1）1221zzzz （2）321321zzzzzz

（3）3121321zzzzzzz

点拨：两个复数相乘，类似两个多项式相乘，在所得的结果中把2i换成－1，并且把实部与虚部分别合并.两个复数的积仍然是一个复数.

探究二、复数的除法运算

引导1：复数除法定义：

满足biayixdic的复数Ryxyix,叫复数bia除以复数dic

的商，记为：dicbia或者dicbia0dic.

引导2：除法运算规则：

利用22dcdicdic.于是将dicbia的分母有理化得：

原式=22()()[()]()()()abiabicdiacbidibcadicdicdicdicd

222222()()acbdbcadiacbdbcadicdcdcd.

∴(a+bi)÷(c+di)=idcadbcdcbdac2222.

点拨：利用初中我们学习的化简无理分式时，都是采用的分母有理化思想方法，而复数dic与复数dic，相当于我们初中学习的23的对偶式23，它们之积为1是有理数，而22dcdicdic是正实数.所以可以分母实数化. 把这种方法叫做分母实数化法

【典例分析】

例1计算iii24321

例2计算：（1）ii4343 ； （2）21i.

例3计算(12)(34)ii

例4计算iiii4342)1)(41(

【目标检测】

1.复数22i1+i等于（ ）

A．4i B．4i C．2i D．2i

2.设复数z满足12iiz，则z（ ）

A．2i B．2i C．2i D．2i

3.复数32321i的值是（ ）

A.i B.i C.1 D.1

4.已知复数z与iz822都是纯虚数，求z.

5*.(1)试求87654321,,,,,,,iiiiiiii的值.

(2)由（1）推测*Nnin的值有什么规律？并把这个规律用式子表示出来.

高考题体验

1.【2012高考安徽文1】复数z 满足iiiz2)(，则 z =（ ）

（A） i1 （B）i1 （C）i31（D）i21

2.【2012高考新课标文2】复数z＝－3+i2+i的共轭复数是（ ）

（A）2+i （B）2－i （C）－1+i （D）－1－i

3.【2012高考山东文1】若复数z满足(2)117i(izi为虚数单位)，则z为（ ）

(A)3+5i (B)3－5i (C)－3+5i (D)－3－5i

4.【2012高考浙江文2】已知i是虚数单位，则31ii=（ ）

A 1-2i B 2-i C 2+i D 1+2i

5.【2012高考上海文15】若12i是关于x的实系数方程20xbxc的一个复数根，则（ ）

A、2,3bc B、2,1bc

C、2,1bc D、2,3bc

6.【2012高考陕西文4】设,abR，i是虚数单位，则“0ab”是“复数bai为纯虚数”的（ ）

A.充分不必要条件 B. 必要不充分条件

C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件

7.【2012高考辽宁文3】复数11i（ ）

(A) 1122i (B)1122i (C) 1i (D) 1i

8.【2012高考江西文1】若复数iz1 （i为虚数单位) z是z的共轭复数 ， 则2z+z²的虚部为（ ）

A 0 B -1 C 1 D -2

9.【2012高考湖南文2】复数z=i（i+1）（i为虚数单位）的共轭复数是（ ）

A.-1-i B.-1+i C.1-i D.1+i10.【2012高考湖北文12】.若=a+bi（a，b为实数，i为虚数单位），则a+b=____________.

11.【2012高考广东文1】设i为虚数单位，则复数34ii（ ）

A. 43i B. 43i C. 43i

D. 43i

12.【2102高考福建文1】复数（2+i）2等于（ ）

A.3+4i

B.5+4i C.3+2i

D.5+2i

13.【2102高考北京文2】在复平面内，复数103ii对应的点的坐标为（ ）

A． (1 ,3) B．(3,1) C．(-1,3) D．(3 ,-1)

14.【2012高考天津文科1】i是虚数单位，复数534ii=（ ）

（A）1-i （B）-1+I （C）1+I （D）-1-i

15.【2012高考江苏3】（5分）设abR，，117ii12iab（i为虚数单位），则ab的值为 ▲ ．

16.【2012高考上海文1】计算：31ii （i为虚数单位）

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复数乘除法公开课优秀教案

复数乘除法公开课优秀教案

§3.2.2复数代数形式的乘除运算

【学习目标】

1.理解并掌握复数的代数形式的乘法与除法运算法则，深刻理解它是乘法运算的逆运算；

2.理解并掌握复数的除法运算实质是分母实数化类问题；

【重点难点】

重点：复数代数形式的除法运算. 难点：对复数除法法则的运用.

【学法指导】

复数乘法运算是按照多项式与多项式相乘展开得到，在学习时注意将2i换成1；除法是乘法的逆运算，所以复数的除法运算可由乘法运算推导获得，但是也可由互为共轭复数的两个复数的乘积为实数，先将复数的分母实数化，再化简可得，学习时注意体会第二种方法的优势和本质.

【知识链接】

1.复数1z与2z的和的定义：idbcadicbiazz21；

2.复数1z与2z的差的定义：idbcadicbiazz21；

3.复数的加法运算满足交换律:1221zzzz；

4.复数的加法运算满足结合律: 321321zzzzzz；

5.复数Rbabiaz,的共轭复数为biaz.

【问题探究】

探究一、复数的乘法运算

引导1:乘法运算规则

设biaz1、dicz2Rdcba,,,是任意两个复数，规定复数的乘法按照以下的法则进行：

21zz

其实就是把两个复数相乘，类似两个多项式相乘，在所得的结果中把2i换成－1，并且

把实部与虚部分别合并.两个复数的积仍然是一个复数.

引导2:试验证复数乘法运算律

（1）1221zzzz （2）321321zzzzzz

（3）3121321zzzzzzz

点拨：两个复数相乘，类似两个多项式相乘，在所得的结果中把2i换成－1，并且把实部与虚部分别合并.两个复数的积仍然是一个复数.

复数的乘除法运算

复数的乘除法运算

哈五中高二数学——复数课堂小测

1 【基础过关】

1．复数：形如 ),(Rba的数叫做复数，其中a , b分别叫它的 和 ．

2．分类：设复数 (,)zabiabR： (1) 当 ＝0时，z为实数； (2) 当 0时，z为虚数； (3) 当 ＝0, 且 0时，z为纯虚数.

3．复数相等：如果两个复数 相等且 相等就说这两个复数相等.

4．共轭复数：当两个复数实部 ，虚部 时．这两个复数互为共轭复数．

5．若z＝a＋bi, (a, bR), 则 | z |＝ ； zz＝ .

6．复数z＝a＋bi(a, bR)与复平面上的点 建立了一一对应的关系．

【实战演练】

1．（2013年高考重庆卷（文））已知复数12zi(i是虚数单位),则z____________.

2.（2012高考湖南文2）复数z=i（i+1）（i为虚数单位）的共轭复数是（ ）

A.-1-i B.-1+i C.1-i D.1+i

3．（2013年高考湖南（文））复数z=i·(1+i)(i为虚数单位)在复平面上对应的点位于 （ ）

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限

4．（2013年高考浙江卷（文））已知i是虚数单位,则(2+i)(3+i)=（ ）

A．5-5i B．7-5i C．5+5i D．7+5i

5．（2013年高考课标Ⅰ卷（文））212(1)ii（ ）

A．112i B．112i C．112i D．112i

6．（2013年高考安徽（文））设i是虚数单位,若复数10()3aaRi是纯虚数,则a的值为 （ ）

A．-3 B．-1 C．1 D．3

复数乘除法教案

复数乘除法教案

---------------------------------精选公文范文--------------------------

----------------精选公文范文---------------- 1 复数乘除法教案

各位读友大家好！你有你的木棉，我有我的文章，为了你的木棉，应读我的文章！若为比翼双飞鸟，定是人间有情人！若读此篇优秀文，必成天上比翼鸟！

教学建议一、知识结构二、重点、难点分析本节的重点和难点是复数乘除法运算法则及复数的有关性质．复数的代数形式相乘，与加减法一样，可以按多项式的乘法进行，但必须在所得的结果中把换成－1，并且把实部与虚部分合并．很明显，两个复数的积仍然是一个复数，即在复数集内，乘法是永远可以实施的，同时它满足并换律、结合律及乘法对加法的分配律．规定复数的除法是乘法的逆运算，它同多项式除法类似，当两个多项式相除，可以写成分式，若分母含有理式时，要进行分母有理化，而两个复数相除时，要使分母实数化，即分式的分子和分母都乘以分母的共轭复数，使分母变成实数．三、教学建议1．在学习复数的代数形式相乘时，复数---------------------------------精选公文范文--------------------------

----------------精选公文范文---------------- 2 的乘法法则规定按照如下法则进行．设是任意两个复数，那么它们的积：也就是说．复数的乘法与多项式乘法是类似的，注意有一点不同即必须在所得结果中把换成一1，再把实部，虚部分别合并，而不必去记公式．2．复数的乘法不仅满足交换律与结合律，实数集R中整数指数幂的运算律，在复数集C中仍然成立，即对任何，，及，有：，，；对于复数只有在整数指数幂的范围内才能成立．由于我们尚未对复数的分数指数幂进行定义，因此如果把上述法则扩展到分数指数幂内运用，就会得到荒谬的结果。复数乘除法教案责任编辑：小胥老师阅读：人次

复数的乘法与除法

复数的乘法与除法

复数的乘法与除法

教学目标

（1）掌握复数乘法与除法的运算法则，并能熟练地实行乘、除法的运算；

（2）能应用i和 的周期性、共轭复数性质、模的性质熟练地实行解题；

（3）让学生领悟到“转化”这个重要数学思想方法；

（4）通过学习复数乘法与除法的运算法则，培养学生探索问题、分析问题、解决问题的水平。

教学建议

一、知识结构

二、重点、难点分析

本节的重点和难点是复数乘除法运算法则及复数的相关性质．复数的代数形式相乘，与加减法一样，能够按多项式的乘法实行，但必须在所得的结果中把 换成－1，并且把实部与虚部分合并．很明显，两个复数的积仍然是一个复数，即在复数集内，乘法是永远能够实施的，同时它满足并换律、结合律及乘法对加法的分配律．规定复数的除法是乘法的逆运算，它同多项式除法类似，当两个多项式相除，能够写成分式，若分母含有理式时，要实行分母有理化，而两个复数相除时，要使分母实数化，即分式的分子和分母都乘以分母的共轭复数，使分母变成实数．

三、教学建议 1．在学习复数的代数形式相乘时，复数的乘法法则规定按照如下法则实行．设

是任意两个复数，那么它们的积：

也就是说．复数的乘法与多项式乘法是类似的，注意有一点不同即必须在所得结果中把 换成一1，再把实部，虚部分别合并，而不必去记公式．

2．复数的乘法不但满足交换律与结合律，实数集R中整数指数幂的运算律，在复数集C中仍然成立，即对任何 ， ， 及 ，有：

， ， ；

对于复数 只有在整数指数幂的范围内才能成立．因为我们尚未对复数的分数指数幂实行定义，所以如果把上述法则扩展到分数指数幂内使用，就会得到荒谬的结果。如 ，若由 ，就会得到 的错误结论，对此一定要重视。

3．讲解复数的除法，能够按照教材规定它是乘法的逆运算，即求一个复数

，使它满足

（这里 ，

是已知的复数）．列出上式后，由乘法法则及两个复数相等的条件得：

，

由此