几类不同增长的函数模型

创设情境

组织探究

探索研究

巩固反思

作业布置

课外活动 视屏引入，激发学生兴趣．

选择变量、建立模型，利用数据表格、函数图象讨论模型，体会不同函数模型增长的差异．

总结例题的探究方法，并进一步探索研究幂函数、指数函数、对数函数的增长差异，形成结论性报告．

师生交流共同小结，通过折纸试验进一步体会直线上升，指数爆炸等增长的差异.

强化基本方法．

收集一些社会生活中普遍使用的递增的一次函数、指数函数、对数函数的实例 几类不同增长的函数模型

重庆市黔江新华中学校 陈富兴 2010年12月21日星期二

一、三维目标

（一）知识与技能

结合实例体会直线上升、指数爆炸、对数增长等不同增长的函数模型意义，理解它们的增长差异性．

(二)过程与方法

能够借助信息技术，利用函数图象及数据表格，对几种常见增长类型的函数的增长状况进行比较，初步体会它们的增长差异性；收集一些社会生活中普遍使用的函数模型（指数函数、对数函数、幂函数等），了解函数模型的广泛应用．

(三)情感、态度与价值观

体验函数是描述宏观世界变化规律的基本数学模型，体验指数函数、对数函数等函数与现实世界的密切联系及其在刻画现实问题中的作用．培养学生学数学，用数学，完善数学的正确数学意识.

二、教学重点

将实际问题转化为函数模型，一次函数、指数函数、对数函数、幂函数模型的增长差异，结合实例体会直线上升、指数爆炸、对数增长等不同函数类型增长的含义．

三、教学难点

怎样选择数学模型分析解决实际问题．

四、教具准备

多媒体课件、与教材内容相关的资料

五、教学方法

启发式与探究式相结合

六、教学程序设计

x/月 y/百万

O 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 七、教学过程

（一）创设情境：

（视屏片段一）：猪八戒开招聘会，引出招聘的试题：猪氏集团旗下的“天鹏大酒店”于2012年元旦开张，生意蒸蒸日上。第一个月营业额达到100万，第二个月达到了150万.

课时跟踪检测(二十三) 几类不同增长的函数模型

一、选择题

1．下面对函数f(x)＝log12x、g(x)＝12x，与h(x)＝x－12在区间(0，＋∞)上的衰减情况说法正确的是( )

A．f(x)衰减速度越来越慢，g(x)衰减速度越来越快，h(x)衰减速度越来越慢

B．f(x)衰减速度越来越快，g(x)衰减速度越来越慢，h(x)衰减速度越来越快

C．f(x)衰减速度越来越慢，g(x)衰减速度越来越慢，h(x)衰减速度越来越慢

D．f(x)衰减速度越来越快，g(x)衰减速度越来越快，h(x)衰减速度越来越快

2．y1＝2x，y2＝x2，y3＝log2x，当2

A．y1>y2>y3

B．y2>y1>y3

C．y1>y3>y2 D．y2>y3>y1

3．有一组实验数据如下表所示：

t 1 2 3 4 5

s 1.5 5.9 13.4 24.1 37

下列所给函数模型较适合的是( )

A．y＝logax(a>1) B．y＝ax＋b(a>1)

C．y＝ax2＋b(a>0) D．y＝logax＋b(a>1)

4．若x∈(0,1)，则下列结论正确的是( )

A．2x>x12>lg x B．2x>lg x>x12

C．x12>2x>lg x D．lg x>x12>2x

5．某林区的森林蓄积量每年比上一年平均增长10.4%，要增长到原来的x倍，需经过y年，则函数y＝f(x)的图象大致为( )

二、填空题

6．以下是三个变量y1，y2，y3随变量x变化的函数值表：

x 1 2 3 4 5 6 7 8 …

y1 2 4 8 16 32 64 128 256 … y2 1 4 9 16 25 36 49 64 …

y3 0 1 1.585 2 2.322 2.585 2.807 3 …

其中，关于x呈指数函数变化的函数是________．

7.某工厂8年来某种产品的总产量C与时间t(年)的函数关系如图所示．

《几类不同增长的函数模型》教学设计

教学目的 1．使学生能够借助计算器或计算机制作数据表格和函数图像，对几种常见的函数类型的增长情况进行比较，在实际应用的背景中理解直线上升、指数爆炸、对数增长等不同函数类型增长的差异。

2．使学生通过对投资方案的选择，学会利用数据表格和函数图像分析问题和解决问题；引导学生充分体验将实际问题“数学化”解决的过程， 从而理解“数学建模”的思想方法解决问题的有效性。

3．鼓励学生收集一些社会生活中普遍使用的函数模型（指数函数、对数函数、幂函数、分段函数等），体验函数是描述宏观世界变化规律的基本数学模型，从而培养学习数学的兴趣。

教学难点 如何选择和利用不同函数模型增长差异性分析解决实际问题。

知识重点 集合含义将实际问题转化为函数模型，比较常数函数、一次函数、指数函数、对数函数模型的增长差异，结合实例体会直线上升、指数爆炸、对数增长等不同函数类型增长的含义。

教学方法 启发式，自主探究式

教学过程 设计说明

引

入

生活中的增长现象比比皆是，在我们学过的许多函数中也有许多成增长形态发 教师提问：你们能例举出以前学习过的增长型的函数吗？

展的。 学生回答、教师点评，并提出增长不同研究的必要性。

讲

解

新

课 例1．假设你有一笔资金用于投资，现有三种投资方案供你选择，这三种方案的回报如下：

方案一：每天回报40元；

方案二：第一天回报10元，以后每天比前一天多回报10元；

方案三：第一天回报0 .4元，以后每天的回报比前一天翻一番．

请问，你会选择哪种投资方案？

探究活动1：（解析法）

① 在本例中涉及哪些数量关系？

（选择变量）

② 如何用函数描述这些数量关系？

（建立模型）

③ 分析比较（分析模型）

④ 给予解答（形成结论）

探究活动2：（列表法）

师：创设问题情境，以问题引入能激起学生的热情，使课堂里的有效思维增强。

生：阅读题目，理解题意，思考探究问题。

《几类不同增长的函数模型》教案

教学目标

使学生通过投资回报实例，对直线上升和指数爆炸有感性认识.

通过阅读理解题目中文字叙述所反映的实际背景，领悟其中的数学本质，弄清题中出现的量及起数学含义.

体验由具体到抽象及数形结合的思维方法.

教学重难点

重点：将实际问题转化为函数模型，比教常数函数、一次函数、指数函数模型的增长差异；结合实例让学生体会直线上升，指数爆炸等不同函数型增长的函义.

难点：怎样选择数学模型分析解决实际问题.

教学过程

背景:(1)圆的周长随着圆的半径的增大而增大：

L=2πR (一次函数)

(2)圆的面积随着圆的半径的增大而增大：

S=πR2 (二次函数)

（3）某种细胞分裂时，由1个分裂成两 个，两个分裂成4个……，一个这样的细

胞分裂x次后，得到的细胞个数y与x的函数关系是 y = 2x (指数 型函数) .

2、例题

例1、假设你有一笔资金用于投资，现有三种投资方案供你选择，这三种方案的回报如下：

方案一：每天回报40元；

方案二：第一天回报10元，以后每天比前一天多 回报10元；

方案三：第一天回报0.4元，以后每天的回报比前一天翻一番.

请问，你会选择哪种投资方案呢？

投资方案选择原则：

投入资金相同，回报量多者为优

(1)比较三种方案每天回报量

(2) 比较三种方案一段时间内的总回报量

哪个方案在某段时间内的总回报量最多，我们就在那段时间选择该方案.

x/天 方案一 方案二 方案三

y/元 增长量/元 y/元 增长量/元 y/元 增长量/元

1 40 0 10 0.4 2 40 0 20 10 0.8 0.4

3 40 0 30 10 1.6

0.8

4 40 0 40 10 3.2 1.6

5 40 0 50 10 6.4 3.2

6 40 0 60 10 12.8 6.4

7 40 0 70 10 25.6 12.8