点的运动学

1第二部分 运动学

第六章

点的运动学

一、基本要求

1．掌握描述点的运动的矢量法、直角坐标法和自然法（弧坐标法）。

2．了解描述点的运动的极坐标法。

3．能求点的运动轨迹。

4．能熟练地应用直角坐标法和自然法求解与点的速度和加速度有关的问题。

二、理论要点

1．描述点的运动的三种基本方法

（1）矢量法

z 运动方程

点的运动方程为动点在空间的几何位置随时间变化的规律。以矢量形式表示

的点的运动方程为

)(trr=

z 轨迹

轨迹为动点在空间运动时所经过的一条连续曲线。在矢量法中，矢径r的矢端

曲线即为点的运动轨迹。

z 速度

点的速度是个矢量，它等于矢径对时间的一阶导数，即

dtdr

v=

z 加速度

点的加速度也是个矢量，它等于速度矢对时间的一阶导数，或等于矢径对时

间的二阶导数，即

22

dtd

dtd2

rv

a==

（2）直角坐标法

z 运动方程

)()()(

321

tfztfytfx

===

z 轨迹

从上面点的运动方程中消去时间t即可得轨迹方程。如：

0),(0),(

21

==

zyFyxF

z 速度

kjiv

zyxvvv++=

dtdz

vdtdy

vdtdx

v

zyx

===

即速度在各坐标轴上的投影等于动点的各对应坐标对时间的一阶导数。由此可求

得速度的大小和方向余弦。

z 加速度

kjia

zyxaaa++=

222222

dtzd

dtdv

adtyd

dtdv

adtxd

dtdv

a

z

zy

yx

x

======

即加速度在各坐标轴上的投影等于动点的各对应坐标对时间的二阶导数。由此可

求得加速度的大小和方向余弦。

（3）自然法（弧坐标法） 3利用点的运动轨迹建立弧坐标及自然轴系，并用它们来描述和分析点的运动

的方法称为自然法。

z 运动方程

)(tfs=

z 速度

ττv

dtds

v==

z 加速度

nτaaa

nτnτaa+=+=

22

dtsd

dtdv

a

τ==

ρ2

v

a

n=

式中，ρ

为曲率半径。由此可求得全加速度的大小及其与法线间的夹角

22

nτaaa+=

第六章：点的运动学

第六章

点的运动学

⼀、要求1、能⽤⽮量法建⽴点的运动⽅程，求速度和加速度。

2、能熟练地应⽤直⾓坐标法建⽴点的运动⽅程，求轨迹、速度和加速度。

3、能熟练地应⽤⾃然法求点在平⾯上作曲线运动时的运动⽅程、速度和加速度，并正确

理解切向加速度和法向加速度的物理意义。

⼆、重点、难点

点的曲线运动的直⾓坐标法，点的运动⽅程，点的速度和加速度在直⾓坐标轴上的投影。点的曲线运动的⾃然法（以在平⾯内运动为主），点沿已知轨迹的运动⽅程，点的切向加速度与法向加速度。

三、学习指导

点的运动学是整个运动学的基础。三种⽅法描述同⼀点的运动，其结果是⼀样的。如果将⽮量法中的⽮量r 、v 、a ⽤解析式表⽰，就是坐标法；⽮量v 、a 在⾃然轴投影，就得出⾃然法中的速度与加速度。

直⾓坐标系与⾃然轴系都是三轴相互垂直的坐标系。直⾓坐标系是固定在参考系上，可⽤来确定每⼀瞬时动点的位置。点沿空间曲线运动有三个运动⽅程，点沿平⾯曲线运动有两个运动⽅程，点沿直线运动有⼀个运动⽅程。⾃然轴系是随动点⼀起运动的直⾓轴系（切向轴τ、法向轴n 及副法向轴b ），因此不能⽤⾃然轴系确定动点的位置。⾃然法以已知轨迹为前提，⽤弧坐标来建⽴点的运动⽅程，以确定动点每⼀瞬时在轨迹上的位置。

⽤直⾓坐标法求速度和加速度是将三个坐标分别对时间取⼀次和⼆次导数，得到速

度和加速度在三轴上的投影，然后再求它的⼤⼩和⽅向。⽤⾃然法求速度，则将坐标对时间取⼀次导数，就得到速度的⼤⼩和⽅向。⾃然法中的加速度物理概念清楚，τa 和n a 分别反映了速度⼤⼩和速度⽅向改变的快慢程度。需注意的是不能将dtdv

误认为是动点的全加速度。只有当0=n a 时，才有dtdv

a =

。学员可⾃⾏分析，这时点作什么运动。 下⾯对⽮量法、直⾓坐标法与⾃然法作⼀总结和⽐较：

解题指导

点的运动学问题类型⼤致有四类：1、⽤坐标法（直⾓坐标法、⾃然法等）建⽴点的运动⽅程。

对于点的运动轨迹未知，⼀般选⽤直⾓坐标法；对于点的运动轨迹已知，多选⽤⾃然法，当然亦可以直⾓坐标法。具体步骤如下：

点的运动学 班级

姓名 学号

一、是非题 （正确用√，错误用×，填入括号内。）

1、运动学只研究物体运动的几何性质，而不涉及引起运动的物理原因。 （ ）

2、在某瞬时，点的切向加速度和法向加速度都等于零，则该点一定作匀速直线运动。 （ ）

3、已知点运动的轨迹，并且确定了原点，则用弧坐标s（t）可以完全确定动点在轨迹上的位置。 （ ）

二、选择题 （请将答案的序号填入划线内。）

1、一点作曲线运动，开始时速度smv/100，某瞬时切向加速度2/4smat,则2s末该点的速度

的大小为﹍﹍﹍﹍﹍﹍。

① 2 m/s ; ②1 8 m/s ; ③1 2 m/s ; ④无法确定 。

2、点作曲线运动，若其法向加速度越来越大，则该点的速度﹍﹍﹍﹍﹍﹍。

① 越来越大 ； ② 越来越小 ； ③大小变化不能确定 。

3、点M沿半径为R的圆周运动，其速度为ｖ=ｋｔ，ｋ是有量纲的常数。则点M的全加速度为﹍﹍﹍﹍﹍。

①222)/(kRtk；② ；2222)/(kRtk；③2244)/(kRtk； ④2224)/(kRtk

三、填空题 （请将简要答案填入划线内。）

1、点沿半径为R=4 m的圆周运动，初瞬时速度smv/20，切向加速度2/4smat（为常量）。则st2时，该点速度的大小为﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍，加速度的大小为﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍。

2、在图示曲柄滑块机构中，曲柄OC绕O轴转动，(t为常量）。滑块A、B可分别沿通过O点且相互垂直的两直槽滑动。若AC=CB=OC=L，MB=d，则M点沿X方向的速度的大小为﹍﹍﹍﹍﹍﹍，沿X方向的加速度的大小为﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍。

理论力学

东北大学理学院力学系张英杰Northeastern University

Ⅱ运动学

参考系：与参考体固连的坐标系参考体：研究一个物体的运动时选作参考

的另一物体。研究目的：1、为学习动力学打基础；

2、为分析机构的运动打基础。研究对象：点和刚体运动学：研究物体运动的几何性质(运动轨迹、运动

方程、速度和加速度)静力学：研究物体在力系作用下的平衡条件

（一般取与地面固连坐标系为参考系）Northeastern University

1

2

3矢量法

直角坐标法

自然法第五章点的运动学Northeastern University

§5-1矢量法

矢径:点M相对原点O的位置矢量

点的运动轨迹:矢径的矢端曲线点的位置'MMr

r

'r

点的速度:—平均速度

—速度(m/s)v

速度方向:沿轨迹切线方向,

并与运动方向一致O)(trr

trv

trv

t



0limtr

dd

r以参考系上一点O为原点

点的运动方程Northeastern University

§5-1矢量法

点的加速度:

tva

t



0limtv

dd22

dd

tr

r点的速度:(m/s)trv

t



0limtr

dd

r

(m/s2)

速度矢端曲线:v

'v

"v

A

加速度方向:与速度矢端曲线在相应点的切线相平行把轨迹上各点的速度平移到

一点，并将各速度矢量的端点连

接起来，所构成的连续曲线。aNortheastern University

§5-2直角坐标法

取一固定的直角坐标系

或以t 为参变量的参数形式的轨迹方程

xyz

—以直角坐标表示的点的运动方程







)()()(

321

tfztfytfxxyz

ijk

点的运动轨迹:消去t,得点的轨迹方程0),,(zyxf

点的速度:rtrvddkzjyix











zvyvxv

zyx



kvjvivvzyxr