湖北省鄂东南省级示范高中教育教学改革联盟学校2021-2022学年高二上学期期中联考数学试卷

2021年秋鄂东南教改联盟学校期中联考高二数学试卷（共4页）第1页2021年秋季鄂东南省级示范高中教育教学改革联盟学校期中联考

高二数学试卷

考试时间：2021年11月15日下午15:00－17:00试卷满分：150分

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合

题目要求的.

1．已知直线l的倾斜角为45

，且过点(1,2)，则在直线上的点是（）

A．)1,0(

B．)3,2(

C．)3,3(

D．)2,3(

2．两直线01:

1yaxl和01:2

2yaxl互相垂直，则a的值是（）

A．0

B．1

C．0

或1

D．1

3．月球绕地球公转的轨道近似于一个以地心为焦点的椭圆．已知近地点距离（月心到地心的最小距离）

约为36.4万公里，远地点距离（月心到地心的最大距离）约为40.6万公里，据此可估算月球轨道的

离心率为（）

A．

293

B．

2926

C．

553

D．

5552

4．如图，在空间四边形OABC中，点E在OA上，满足2OEEA

，点F为BC的中点，则EF

（）

A．121

232OAOBOC

B．211

322OAOBOC

C．111

222OAOBOC

D．211

322OAOBOC

5．“1k”是“两点)2,1(A，)4,3(B到直线kxyl:的距离相等”的（）

A．充分不必要条件B．必要不充分条件

C．充要条件D．既不充分也不必要条件

6．设直线l的方程为sin20xy

，则直线l的倾斜角

的取值范围是（）

A．[0,π]B．ππ

[,]

42C．π3π

[,]

44D．πππ3π

[,)(,]

4224

7．如图所示，平行六面体

1111ABCDABCD中，2AB，2AD，

13AA，

1160BADBAADAA

，则

1BC与

1CA所成角的余

弦值为（）

A．

21

B．

22

C．

23

D．0

8．设,AB是椭圆22

:1

3xy

C

m长轴的两个端点，若C上存在点M满

足120AMB

，则m的取值范围是（

）O

E

A

BFC

D

1

A

BC

DA

1B

1C12021年秋鄂东南教改联盟学校期中联考高二数学试卷（共4页）第

2页A．(0,1][9,)B．(0,3][9,)C．(0,1][4,)D．(0,3][4,)

二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分,在每小题给出的选项中有多项符合题目要

求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.

9．下列关于空间向量的命题中，正确的是（）

A．若空间向量ba



,

，满足||||ba





，则ba





B．若非零向量cba



,,

足cbba



，

，则有ca

//

C．若,,OAOBOC是空间的一组基底，且111

333ODOAOBOC

，则,,,ABCD四点共面

D．若向量accbba



,，是空间的一组基底，则cba



,,

也是空间的一组基底

10．设有一组圆22:()()4()

kCxkykkR，下列命题正确的是（）

A．不论k如何变化，圆心

kC始终在一条直线上

B．存在圆

kC经过点)0,3(

C．存在定直线与圆

kC

都相切

D．经过点)2,2(

的圆

kC

有且只有一个

11．已知O

是边长为22的正方形ABCD的中心，点,EF分别是,ADBC的中点，沿对角线AC把

正方形ABCD折成直二面角BACD

，以下说法正确的是（）

A．60EOFB．EF的长度为6

C．异面直线,OEBC所成的角是60D．点D到平面EOF的距离

332

12．数学中的很多符号具有简洁、对称的美感，是形成一些常见的漂亮图案的基石，也是许多艺术

家设计作品的主要几何元素．如我们熟悉的∞符号，我们把形状类似∞的曲线称为“∞曲线”．经

研究发现，在平面直角坐标系xOy

中，到定点)0,(),0,(aBaA

距离之积等于)0(2

aa

的点的轨迹

C

是“∞曲线”．若点),(

00yxP是轨迹C

上一点，则下列说法中正确的有（）

A．曲线C

关于原点O

成中心对称

B．

0x

的取值范围是],[aa

C．曲线C上有且仅有一点P满足||||PBPA

D．曲线C

上所有的点P都在圆222

2ayx

的内部或圆上

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13．已知对于任意实数m

，直线047)1()12(mymxm

恒过定点

P，则点P的坐标是．

14．如图，在一个

120的二面角的棱上有两点,,BA线段BDAC,分别在

这个二面角的两个半平面内，且都与棱AB垂直，

若2AB，1AC

，C

B

A

D2021年秋鄂东南教改联盟学校期中联考高二数学试卷（共4页）第3页2BD

，则CD的长为．

15．已知椭圆C的中心在原点，)0,3(F

是它的一个焦点，过F的直线l

与C交于BA,两点，且AB的

中点为)1,2(N，则C的方程是．

16．若双曲线的一个焦点关于渐近线的对称点恰好也在双曲线上，则双曲线的离心率e

．

四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17．（本题满分10分）已知△ABC的顶点(1,3)B，AB边上的高CE所在的直线方程为4370xy，

BC边上中线AD所在的直线方程为330xy．

（1）求点C的坐标；

（2）求点C到直线AB的距离．

18．（本题满分12分）在平面直角坐标系xOy中，已知四点(0,1)A，(0,3)B，(3,0)C，(1,4)D．

（1）这四点是否在同一个圆上？如果是，求出这个圆的方程；如果不是，请说明理由；

（2）以线段AB为直径作圆M，过点D作圆M的切线，求切线的方程．

19．（本题满分12分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，四边形ABCD为菱形，∠BAD＝60°，△PAD

为正三角形，平面PAD⊥平面ABCD，且E，F分别为AD，PC的中点．

（1）求证：DF∥平面PEB；

（2）求直线EF与平面PDC所成角的正弦值．

P

A

BCED

F2021年秋鄂东南教改联盟学校期中联考高二数学试卷（共4页）第

4页20．（本题满分12分）如图，正方形ABCD和ABEF所在面互相垂直，且边长都是1．M，N，G

分别为线段AC，BF，AB上的动点，CMBN，AF∥平面MNG，记(01)BGaa．

（1）证明：MG⊥平面ABEF；

（2）当MN的长最小时，求二面角AMNB的余弦值．

21．（本题满分12分）已知双曲线22

22:1(0,0)xy

Cab

ab

的离心率为2，且过点(2,3)

．

（1）求双曲线C的方程；

（2）设点B、F分别为双曲线C的右顶点、左焦点，点A为C上位于第二象限的动点，是否存

在常数

，使得AFBABF



？如果存在，请求出

的值；如果不存在，请说明理由．

22．（本题满分12分）设O是坐标原点，以

12,FF为焦点的椭圆22

22:=1(0)xy

Cab

ab的长轴长

为22,以

12||FF

为直径的圆和C恰好有两个公共点．

（1）求C的方程；

（2）P是C外的一点，过P的直线

12,ll

均与C相切，且

12,ll的斜率之积为1

(1)

2≤≤mm

，

记u

为||PO

的最小值，求u

的取值范围

．C

A

FEBD

M

N

G2021年秋鄂东南教改联盟学校期中联考高二数学参考答案（共6页）第1页2021年秋季鄂东南省级示范高中教育教学改革联盟学校期中联考

高二数学参考答案

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目

要求的．

1．【答案】A

【解答】直线的斜率tan451k

，方程为21yx，即1yx，将A，B，C，D中各点代入知，

选A．

2．【答案】C

【解答】由题知211()0aa，解得0a，或1a，选C．

3．【答案】C

【解答】建立直角坐标系，使月球绕地球公转的轨道的中心在原点，右焦点为地心．设轨道长半轴为a，

半焦距为c，则由题意得36.4ac，40.6ac．由此解得38.5a，2.1c，故月球轨道的离心率为2.13

38.555c

e

a，故选C．

4．【答案】D

【解答】由2OEEA得2

3OEOA

；由点F为线段BC的中点得11

22OFOBOC，

112211

223322EFOFOEOBOCOAOAOBOC

，故选D.

5．【答案】A

【解答】“两点)2,1(A

，)4,3(B

到直线kxyl:

的距离相等”“ABl//

，或l

过AB的中点”.

当ABl//时，由1

1324







ABk

得，1k

；当l

过AB

的中点时，由AB

的中点为)3,2(得，

23

k

.

所以“两点)2,1(A，)4,3(B到直线kxyl:的距离相等”“







23

,1k

”，故选A．

6．【答案】C

【解答】当0sin

时，l的方程为20x，

2

；当)0,1[sin

时，l的斜率]1,(

sin1



k

，

]1,(tan，]

4π3

,

2π

(

；当]1,0(sin

时，l的斜率),1[

sin1



k

，),1[tan，

)

2π

,

4π

[．综上所述]

4π3

,

4π

[

，选C．

7．【答案】D

【解答】设cAAbADaAB

1,,

，则3,2cbcaba

，9,4222

cba

．

111BCBCCCADAAbc

，

111CACBBAAAADABAAabc，

0)()(22

11cbcabacbacbCABC，

1BC

⊥

1CA

，

1BC

与

1CA

所成的角为90

°，

1BC

与

1CA

所成角的余弦值为0

，选D．

8．【答案】A

【解答】当03m

时，焦点在x

轴上，要使C

上存在点M

满足120AMB

，则tan603a

b

≥

，