01_02(第3讲)第1章离散时间信号傅里叶变换

离散时间傅⾥叶变换1. 离散时间傅⾥叶变换的导出针对离散时间⾮周期序列，为了建⽴它的傅⾥叶变换表⽰，我们将采⽤与连续情况下完全类似的步骤进⾏。

考虑某⼀序列x[n]，它具有有限持续期；也就是说，对于某个整数N1和N2，在 −N1⩽以外，x[n]=0。

下图给出了这种类型的⼀个信号。

由这个⾮周期信号可以构成⼀个周期序列\tilde x[n]，使x[n]就是\tilde x[n]的⼀个周期。

随着N的增⼤，x[n]就在⼀个更长的时间间隔内与\tilde x[n]相⼀致。

⽽当N\to \infty，对任意有限时间值n⽽⾔，有\tilde x[n]=x[n]。

现在我们来考虑⼀下\tilde x[n]的傅⾥叶级数表⽰式\tag{1}\tilde x[n] = \sum_{k=(N)}a_ke^{jk{(2\pi/N)}n}\tag{2}a_k = \frac{1}{N} \sum_{n=(N)} \tilde x[n]e^{-jk{(2\pi/N)}n}因为在-N_1 \leqslant N \leqslant N_2区间的⼀个周期上\tilde x[n]=x[n]，因此我们将上式的求和区间就选在这个周期上\tag{3}a_k = \frac{1}{N} \sum_{n=-N_1}^{N_2} x[n]e^{-jk{(2\pi/N)}n} = \frac{1}{N} \sum_{n=-\infty}^{+\infty} x[n]e^{-jk{(2\pi/N)}n}现定义函数\tag{4}X(e^{j\omega})=\sum_{n=-\infty}^{+\infty}x[n]e^{-j\omega n}可见这些系数a_k正⽐于X(e^{j\omega})的各样本值，即\tag{5}a_k = \frac{1}{N}X(e^{jk\omega_0})式中，\omega_0=2\pi/N⽤来记作在频域中的样本间隔。

傅里叶变换的基础知识傅里叶变换是一项基础的数学工具，广泛应用于物理学、工程学、计算机科学、信号处理等领域。

本文将介绍傅里叶变换的基本概念，其中包括连续傅里叶变换和离散傅里叶变换。

1. 连续傅里叶变换在介绍傅里叶变换之前，我们需要先了解两个概念：周期函数和Fourier 级数。

周期函数是指在一定区间内具有重复特征的函数，而 Fourier 级数是将一个周期函数表示为正弦和余弦函数的和。

傅里叶变换是将一个函数表示为一系列不同频率的正弦和余弦函数的和，可以理解为是将 Fourier 级数推广到了一般的非周期函数上。

具体来说，若一个函数 f(x) 满足某些条件，那么它可以被表示为如下形式：F(ω) = ∫ f(x) e^(-iωx) dx其中，F(ω) 是函数 f(x) 的傅里叶变换，ω 表示角频率，即单位时间内变化的弧度数。

从公式可以看出，傅里叶变换将函数 f(x) 转化成一个复数F(ω)，表示了该函数在不同频率下的振幅和相位信息。

特别地，若函数f(x) 是实函数且满足对称性条件，那么它的傅里叶变换F(ω) 是一个实函数。

2. 离散傅里叶变换连续傅里叶变换适用于连续信号的处理，但在实际应用中，我们往往处理的是数字信号，即离散信号。

为了将连续傅里叶变换推广到离散信号上，人们发明了离散傅里叶变换。

离散傅里叶变换的定义如下：F_k = ∑_{n=0}^{N-1} f_n e^{(-i2πkn)/N}其中，f_n 表示离散信号在第 n 个采样点处的取值，N 表示采样点数量，k 表示在 K 点处的频率。

离散傅里叶变换是计算机领域中常用的算法，广泛应用于音频、图像等信号处理领域。

它可以将复杂的信号分解成一组频率，从而实现信号的压缩、降噪等处理操作。

需要注意的是，离散傅里叶变换对于周期信号是有局限性的，因为在离散信号中，我们无法表示无穷长的周期函数，因此在处理周期信号时，我们需要采用其他方法。

3. 傅里叶变换的应用傅里叶变换广泛应用于多个领域，下面简要介绍几个应用场景：(1) 信号处理：傅里叶变换可以将一个信号分解成它的频率成分，从而实现信号降噪、信号压缩等处理操作。

离散傅里叶变换公式离散傅里叶变换（DiscreteFourierTransform，简称DFT）是一种重要的数学工具，在生活中有广泛的应用。

它的发明者是法国数学家傅里叶，现在也被称为“傅里叶变换”。

本文的目的是提供有关离散傅里叶变换的概述，以及它的重要应用。

一、离散傅里叶变换的概念简单来说，离散傅里叶变换（DFT）是通过求解微积分方程来计算信号函数的值的一种数学工具。

它可以用来表示信号函数在时间域上的内容，也可以用来表示信号函数在频率域上的内容。

离散傅里叶变换对正交函数求值有很大的优势，因为它把正交函数分解为一个和平方和的形式。

DFT的计算公式如下：$$ X_k=sum_{n=0}^{N-1} x_ncdot e^{-frac{2{pi}ink}{N}} $$ 其中，$x_n$是信号函数的采样值，$X_k$是信号函数时域上和频率域上的系数，$N$是信号函数的采样频率，$k$是离散傅里叶变换后的频率系数，$n$是信号函数在时域上每个采样点的标号。

二、离散傅里叶变换的重要应用1.频处理离散傅里叶变换的强大的数学特性使它成为音频处理的理想工具。

它可以用来将音频信号从时域转换成频域。

换句话说，它可以用来把声音转换成不同的频率的峰值。

因此，离散傅里叶变换可以用来调节、增强或者减弱各个频率的信号，从而获得更好音质的音频信号。

2.像处理离散傅里叶变换也可以用来处理图像，比如，将图像从时域转换成频域。

它可以把图像拆分成不同的频率部分，从而将图像模糊处理、滤除噪声或增强图像。

三、结论离散傅里叶变换是一种强大的数学工具，它可以用来处理音频信号和图像信号，从而获得更好的效果。

它的应用范围可能会扩展到其他领域，例如信号处理，它将会成为更多的工程应用中的绝佳选择。

离散时间信号的傅里叶变换和离散傅里叶变换摘要本文主要介绍了离散时间信号的离散时间傅里叶变换及离散傅里叶变换，说明其在频域的具体表示和分析，并通过定义的方法和矩阵形式的表示来给出其具体的计算方法。

同时还介绍了与离散时间傅里叶变换（DTFT ）和离散傅里叶变换（DFT ）相关的线性卷积与圆周卷积，并讲述它们之间的联系，从而给出了用圆周卷积计算线性卷积的方法，即用离散傅里叶变换实现线性卷积。

1. 离散时间傅里叶变换1.1离散时间傅里叶变换及其逆变换离散时间傅里叶变换为离散时间序列x[n]的傅里叶变换，是以复指数序列｛｝的序列来表示的（可对应于三角函数序列），相当于傅里叶级数的展n j e ω-开，为离散时间信号和线性时不变系统提供了一种频域表示，其中是实频率ω变量。

时间序列x[n]的离散时间傅里叶变换定义如下：)(ωj e X （1.1）∑∞-∞=-=nnj j e n x e X ωω][)(通常是实变量的复数函数同时也是周期为的周期函数，并且)(ωj e X ωπ2的幅度函数和实部是的偶函数，而其相位函数和虚部是的奇函数。

)(ωj e X ωω这是由于：（1.2）)()()(tan )()()()(sin )()()(cos )()(222ωωωωωωωωωωθωθωθj re j im j im j re j j j im j j re e X e X e X e X e X e X e X e X e X =+===由于式（1.1）中的傅里叶系数x[n]可以用下面给出的傅里叶积分从中算出：)(ωj e X 1（1.3）ωπωππωd e eX n x n j j )(21][⎰-=故可以称该式为离散时间傅里叶逆变换（IDTFT ），则式（1.1）和（1.3）构成了序列x[n]的离散时间傅里叶变换对。

上述定义给出了计算DTFT 的方法，对于大多数时间序列其DTFT 可以用收敛的几何级数形式表示，例如序列x[n]=,此时其傅里叶变换可以写成简单n α的封闭形式。

离散傅里叶变换基础知识离散傅里叶变换基础知识傅里叶是一位法国数学家，他发现任何周期函数都可以用正弦函数和余弦函数构成的无穷级数做为基函数来表示，也就是我们数学上面学到的傅里叶级数，设一个周期函数f(t)，其周期为T，则其角频率为w0=2πT，则该函数可以展开为一系列三角函数的累加：f(t)=a0+a1cosw0t+b1sinw0t+a2cos2w0t+b2sinw2t+?=a02+∑a n cosnw0t+b n sinnw0t ∞n=1其中，上式中的各个系数：a0=2T∫f(t)dtT2T2a n=2T∫f(t)cosnw0tdt T2T2b n=2T∫f(t)sinnw0tdt T2T2但这个形式不太好用，因为正弦和余弦项是分开的，我们要考虑把他们两个整合起来，这样对每一个频率nw0我们就可以得到一个系数项（比如上式的a n或者b n），这其实就是该频率对应的幅值。

然后我们以频率为X轴，以其对应的幅值为Y轴，就可以得到该函数在频域里面的图像了。

对于周期函数，其频域里面的图像是不连续的，只在w=0,±w0,±2w0…才有图像。

那么我们该如何将上面的正弦项和余弦项整合到一块呢？答案是欧拉公式。

下面就是鼎鼎大名的欧拉公式：e iwt=coswt+isinwt换个表达方式：coswt=12(e iwt+e?iwt)sinwt=12i(e iwt?e?iwt)将上面的公式代入傅里叶级数中：f(t)=a0+a1cosw0t+b1sinw0t+a2cos2w0t+b2sinw2t+?=a02+∑a n cosnw0t+b n sinnw0t ∞n=1=a02+∑{a ne inw0t+e?inw0t+b ne inw0t?e?inw0t2i}∞n=1=a02+∑{a n?b n i2e inw0t+a n+b n i2e?inw0t}∞n=1=a02+∑{c n e inw0t+c?n e?inw0t}∞n=1我们将上面的a n和b n的计算式代入，可以发现：c n=1T∫f(t)(cosnw0t?isinnw0t)dt=1T∫f(t)e?inw0t dtT2T2T2T2c?n=1T∫f(t)(cosnw0t+isinnw0t)dt=1T∫f(t)e inw0t dtT2T2T2T2所以我们可以将级数中的累计范围变为-∞到∞，这样就可以将c n 和c?n给统一起来，即：f(t)=∑c n e inw0t∞∞其中c n=1T∫f(t)e?inw0t dt T2T2上式的c n就是我们在频域所需要的，它是关于频率w的函数，其函数值为频率w对应的幅值。

离散傅里叶变换公式傅里叶变换（Fouriertransform）是一种重要的数学变换工具，它可以将复杂的函数从时域变换到频域，从而帮助分析问题。

离散傅里叶变换（Discrete Fourier Transform，简称DFT）是一种可以分析时域信号的频谱分布的非常有用的数学工具。

它是傅里叶变换的数字化形式，可以将一个有限的时域信号，变换成一个有限的频域信号。

本文对离散傅里叶变换的原理和公式做一个深入的介绍，同时提供一些常用离散傅里叶变换的应用实例。

#### 二、原理离散傅里叶变换是一种从时域到频域的变换，它可以将一个有限定义的信号从时域变换到频域，从而可以更清楚地理解信号在一段时间内的变化规律。

对于一个序列X(t)，定义其基础离散傅里叶变换（DFT）为：$$ X_k = sum_{n=0}^{N-1}x_n e^-j 2 pi n frac{k}{N}, quad text{for} quad k=0, 1, dots , N-1$$其中：$x_n$ 为时域信号的采样值，$N$ 为采样点的个数；$X_k$ 为频域信号的采样值，$k$ 为采样点的个数；$e$ 为自然对数的底数；$pi$ 为圆周率=3.1415926……可以看出，DFT是一种由时域信号到频域信号的双边离散变换，它可以表示一个定义区间上函数的离散变换，在信号处理方面有重要的应用。

#### 三、应用DFT有各种实际应用，包括数字图像处理中的图像增强、数字信号处理中的频谱分析和滤波等。

其中，最重要也是最常用的就是语音识别、信号提取、频率域平滑、声音去噪等。

1、语音识别技术语音识别技术的核心就是识别不同的语音，DFT是实现这个功能的重要工具。

此技术可以把一段音频信号在频率域（frequency domain）转换为另一段音频，进而实现对声音特征分析，进而分析出不同的声音（例如不同语音）。

2、信号提取信号提取技术是利用傅里叶变换（Fourier transform）从信号的频率域中提取信号的一项重要技术，它可以有效检测出一个信号中的特征频率，并将其进行分析，从而获取有用的信息。