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内部资料 一、对极限定义的研究

1、对中学极限定义的研究

数列极限概念：一般地，如果当项数n无限增大时，无穷数列na的项na无限的趋近于某个常数a（即naa无限的接近于0），那么就说数列na以a为极限，或者说a是数列na的极限。

函数极限概念：一般地，当自变量x取正值并且无限增大时，如果函数fx无限趋近于一个常数a，就说当x趋向于正无穷大时，函数fx的极限是a，记作limxfxa，也可记作当x时，fxa

当自变量x取负值并且绝对值无限增大时，如果函数fx无限趋近于一个常数a，就说当x趋向于负无穷大时，函数fx的极限是a，记作limxfxa，也可记作当x时，fxa

一般地，当自变量x无限趋近于常数0x（但x不等于0x）时，如果函数fx无限趋近于一个常数a，就说当x趋近于0x时，函数fx的极限是a，记作0limxxfxa，也可记作当0xx时，fxa.0limxxfx也叫做函数fx在点0xx处的极限.

2、对大学极限定义的研究

数列极限的定义：设有数列na和一个数a。若对预先任意给定的不论怎样小的一个数，总存在自然数N，只要当nN时，恒有naa成立，则称数a为数列na的极限。记作limnxaa.我们也说na无限趋近于a，并写成naan.此时，称数列收敛.如果数列不存在极限，称数列发散.

内部资料 有关概念的几点说明：1掌握极限概念的关键在于对正数二重性的理解. 的二重性是：一方面，必须具有任意性. 可以代表任意小的正数，只有这样才能保证描述数列na无限地趋近a.另一方面，必须具有相对固定性.在论证过程中，一旦给了，那么它是相对固定的，否则论证工作就无法进行.

极限概念中的二重性，深刻反映了静与动，近似与精确，有限与无限的对立统一.因此，极限方法是人们从静认识动，从近似认识精确，从有限认识无限的一种数学方法. 2 自然数N显然依赖于正数，一般地说，所给定的越小，N应该越大，有时为了表示这种关系，就写成N.另外，从极限定义可以看出，如果当nN时，naa成立，那么对任一个1NN,当1nN时，naa亦必然成立.

函数的极限概念：设函数fx定义在区间,a上，且存在常数A.如果对任意给定的0，总存在正数M，当xM时，恒有fxA成立，则称A为x时函数fx的极限，记作limxfxA或fxA x.

设函数fx定义在区间,a上，且存在常数A.如果对任意给定的0，总存在0M，xM时，恒有fxA成立，则称A为x时函数fx的极限，记作limxfxA或fxA x.

设函数fx定义在区间,a与,a上（其中0a），且存在常数A.如果对任意给定的0，总存在Ma，当xM时，恒有fxA成立，则称A为x时函数fx的极限，记作limxfxA或fxA

x.

内部资料 设函数fx在点a某邻域有定义（在点a可能除外），并有数A.如果对任意给定的0，总存在0，当0xa时，恒有fxA，则称数A为函数fx在点a的极限，记作limxfxA或fxA xa

上述函数极限的几点说明：1 在极限定义中，要求0xa是为了去掉xa的情形.因为函数fx当xa时，有没有极限，只与函数fx在点a附近的取值状态有关而与函数fx在xa处的值没有必要联系，甚至fx在xa处有没有定义，都无关紧要. 2显然，正数依赖于预先给定的；一般地说，给定的小，也应当随着取得更小.有时为了表示这种依赖关系，就写成.另外，从定义可看出，如果当0xa时，恒有fxA，那么对任一1，10，当0xa时， fxA成立. 3从定义求极限时，通常需要加强不等式.为此，常常先限定自变量x的变化范围：0xa，由于我们考擦的是，当xa时，函数fx的变化趋势；所以，对点a邻域00,aa之外，fx是怎样的，那是无关紧要的.

二元函数极限定义：设f为定义在2DR上的二元函数，0P为D的一个聚点，A是一个确定的实数。若对任给正数，总存在某正数，使得当0;oPUPD时，都有fPA,则称f在D上当0PP时，以A为极限，记作0limPPPDfPA.在对于PD不至于产生误解时，也可以简单地写作0limPPfPA.当0,PP分别用坐标00,,,xyxy表示时，0limPPfPA也常写作00,,lim,xyxyfxyA

二、对极限解题方法进行研究

1、对中学极限解法的研究

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2、对大学极限解法的研究

1 利用极限的四则运算的性质

这是很基础的极限思想 若两个函数在同一点的有极限，可以用此四则运算直接给出这两个函数在这点的和.差.积.商的极限值。

即 若 Axfxx)(lim0 Bxgxx)(lim0

(I))()(lim0xgxfxx )(lim0xfxxBAxgxx)(lim0

(II)BAxgxfxgxfxxxxxx)(lim)(lim)()(lim000

(III)若 B≠0 则：

BAxgxfxgxfxxxxxx)(lim)(lim)()(lim000

IV）cAxfcxfcxxxx)(lim)(lim00 （c为常数）

上述性质对于时也同样成立xxx,,

直接用代值法求极限，当所求函数在极限点不间断时，求其极限只需将该点值带入函数（即等于该点的函数值）

例：求 453lim22xxxx

解: 453lim22xxxx=254252322

2 利用无穷小量性质法

对于求两个函数的相乘类型的函数，特别是利用无穷小量与有界量之乘积仍为无穷小量的性质，我可以使用此方法，如果两函数f（x）.g（x）符合有以下条件：

（I）0)(lim0xfxx

(II) Mxg)( (M为正整数)

则：0)()(lim0xfxgxx

例: 求 xxx1sinlim0

内部资料 解: 由 0lim0xx 而 11sinx

故 原式 =01sinlim0xxx

拓展：对于无穷小量的另一种方法 如果我们可以得出

（I）若：)(limxf 则 0)(1limxf

(II) 若: 0)(limxf 且 f(x)≠0 则 )(1limxf

例: 求下列极限

① 51limxx ②11lim1xx

解: 由 )5(limxx 故 051limxx

由 0)1(lim1xx 故 11lim1xx=

3 约去零因式

对于函数极限的型时00,0xx

不能直接求极限。那么可以通过一个小技巧就是对函数的分子 分母进行分解，约去零因式 这类型在求极限的过程中很常用和使用，如例题：

求121672016lim23232xxxxxxx

解:原式=)12102(65)2062(103lim2232232xxxxxxxxxxx

=)65)(2()103)(2(lim222xxxxxxx

=)65()103(lim222xxxxx=)3)(2()2)(5(lim2xxxxx

=2limx735xx

这样就轻而易举的得出的函数极限值。

4 利用两个重要的极限

1sinlim)(0xxAx exBxx)11(lim)(

对于这两个极限的使用勿用累赘。对号入座 直接使用。

内部资料 但我们经常使用的是它们的变形：

))((,))(11lim()()0)((,1)()(sinlim)()(''xexBxxxAx：

例 求下列函数极限

xaxx1lim)1(0、 bxaxxcoslncoslnlim)2(0、

)1ln(ln1 ln)1ln( ,11 uauxaauxuaxx于是则）令解：（

auauuauauxauxuuuuxxln)1ln(lnlim)1ln(lnlim)1ln(lnlim1lim00

10000故有：时，又当

)]1(cos1ln[)]1(cos1ln[(lim)2(0bxaxx、原式

1cos1cos1cos)]1(cos1ln[1cos)]1(cos1ln[(lim0axbxbxbxaxaxx

1cos1coslim0axbxx

222222220220)2()2()2(2sin)2(2sinlim2sin22sin2limabxaxbxbxbxaxaxbxxx

重要公式3 0010111011,lim0,,nnnnmmxmmanmbaxaxaxanmbxbxbxbnm

求x时的极限，通常“抓大头”的方法处理。所谓“抓大头”就是抓住关于x的最高

内部资料 次数的项，而把其余的项略掉，例如：1011010110limlimnnnnnmmmxxmmaxaxaxaaxbxbxbxbbx.

例题44211lim321xxxx 310ln100252limln231xxxxx

20305023323lim21xxxx

解：14422=lim33xxx原式

310ln100ln1003ln3ln32=limlimlimln210ln10ln10ln2xxxxxxxxx原式

203030502333=lim22xxxx原式

重要公式4

5 利用函数的连续性利用函数的连续性

)()](lim[))((lim)()(lim)]([)()()(lim)()(000000afxfxfauufaxxfiixfxfxxxfixxxxxxxx处连续，则在且是复合函数，又若处连续，则在若 对于要求简单函数在连续点的极限而言 只要能证明函数在这点连续 那么这点的极限值等于这点的函数值，较为简单。如果所求函数是复合函数，可以用换元法的原理，利用两次简单函数就可以得出复合函数的值。以例题分别进行解析：