判断函数奇偶性应注意的问题
代红芳
一般地，如果对于函数xf的定义域内的任意一个x，都有xfxf，那么就称函数xf为这一定义域内的偶函数，一般地，如果对于函数xf的定义域内的任意一个x，都有xfxf，那么就称函数xf为这一定义域内的奇函数。
为理解定义，在学习时应注意以下两点：
1. 定义中要求“对于函数xf的定义域内任意一个x，都有xfxf或xfxf”成立，可见xf必有意义，即x也必属于xf的定义域，于是奇偶函数的定义域应是一个在数轴上表示为关于原点对称的点集，也就是说，若一个函数的定义域不关于原点对称，则此函数一定不是奇函数也不是偶函数，所以说，函数的定义域关于原点对称是函数为奇偶函数的必要不充分条件。
2. 定义中的等式xfxf（或xfxf）是定义域上的恒等式，即对定义域内所有的x成立而不是仅对部分x成立。如函数,1|x|1x,1|x|1xf当1|x|时，都有xfxf，但它并不是偶函数，显然2x时，3xf，而当2x时，1xf，两者并不相等。
由上可知利用奇偶函数的定义判断函数的奇偶性，关键看两点：（1）定义域是否关于原点对称；（2）关系式xfxf，xfxf哪个成立。
判断函数奇偶性具体步骤如下：先求函数的定义域，若定义域不关于原点对称，则为非奇非偶函数，若定义域关于原点对称，则有成为奇偶函数的可能，此时，若xfxf成立，则为偶函数；若xfxf成立，则为奇函数；若xfxf成立，则既是奇函数也是偶函数；若xfxf和xfxf都不成立，则为非奇非偶函数。
下面就判断函数奇偶性应注意的问题，列举几个方面。
一、忽视定义域出错。
例1. 判断下列各函数是否具有奇偶性。
第二章 基本初等函数、导数及其应用
函数的奇偶性及周期性
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和课梳理
1.函数的奇偶性
奇偶性 定义 图象特点
偶函数 如果对于函数f（x）的定义域内任意
一个兀，都有/（一沪沧）,那么 函数/仗）是偶函数 关于 y轴
对称
奇函数 如果对于函数/仗）的定义域内任意 一个兀，都有Li）,
那么函数/匕）是奇函数 关于 原点
对称
课本温故追根求源
2. 周期性
(1)周期函数：对于函数j=/(x),如果存在一个非零常数T,
那么就称函数y=/a)为周期函数，称F为这个函数的周期.
(2)最小正周期：如果在周期函数/(兀)的所有周期中存在一个
正周期.
要点整會尸
1. 辨明三个易误点 （1）应用函数的周期性时，应保证自变量在给定的区间内. 使得当兀取定义域内的任何值时，都有 f(x+T)=f(x)
的正数，那么这个最小 正数就叫做沧)的最小
（2）判断函数的奇偶性，易忽视函数定义域是否关于原点对
称.定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的一个必要条 件.
（3）判断函数/（兀）是奇函数，必须对定义域内的每一个x,均
有/（一兀）=一/（兀），而不能说存在丸使/（一兀0）=—/（兀0），对 于偶函数的判断以此类推.
2. 活用周期性三个常用结论
(1) ® f(x+a)= —f(x)9 则 T=2a；
i
⑵若 Z(x+a)=y (乂),则 T=2a；
… 1
(3) 若 f(x-\-a)=— 屮(比)“,则 T= 2a.
3. 奇、偶函数的三个性质
(1) 在奇、偶函数的定义中，f(-x)=-f(x)^ 定义域上的恒等式. 对/(*)定义域内任一自变量的值
(2) 奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于y轴对 称，反之也成立.利用这一性质可简化一些函数图象的画法.
(3) 设心)，g(x)的定义域分别是Di，6,那么在它们的公共 定义域上：奇+奇=奇，奇＞＜奇=偶，偶+偶=偶，偶X偶 =偶,奇乂偶=奇.
函数的单调性、奇偶性、对称性、周期性
湖南祁阳四中 何双桥整理
一、函数的单调性
1.单调性的定义
一般地，设函数()fx的定义域为I：
如果对于定义域I内的某个区间D上的任意两个自变量值1x、2x，当12xx时，都有12()()fxfx，那么就说函数()fx在区间D上是增函数，区间D我们称为函数()fx的单调增区间；
如果对于定义域I内的某个区间D上的任意两个自变量值1x、2x，当12xx时，都有12()()fxfx，那么就说函数()fx在区间D上是减函数，区间D我们称为函数()fx的单调减区间。
2.单调函数与严格单调函数
设()fx为定义在I上的函数，若对任何12,xxI，当12xx时，总有
(ⅰ) )()(21xxff，则称()fx为I上的增函数，特别当且仅当严格不等式12()()fxfx成立时称()fx为I上的严格单调递增函数。
(ⅱ) )()(21xxff，则称()fx为I上的减函数，特别当且仅当严格不等式12()()fxfx成立时称()fx为I上的严格单调递减函数。
2.函数单调的充要条件
★若()fx为区间I上的单调递增函数，1x、2x为区间内两任意值，那么有：
1212()()0ffxxxx或1212)[()()]0ffxxxx（
★若()fx为区间I上的单调递减函数，1x、2x为区间内两任意值，那么有：
1212()()0ffxxxx或1212)[()()]0ffxxxx（
3.函数单调性的判断(证明)
(1)作差法(定义法)
(2)作商法
4.复合函数的单调性的判定
对于函数()yfu和()ugx，如果函数()ugx在区间(,)ab上具有单调性，当,xab时,umn，且函数()yfu在区间(,)mn上也具有单调性，则复合函数(())yfgx在区间,ab具有单调性。
高三数学复习：函数的奇偶性和周期性
知识要点：
一、函数的奇偶性
1.定义：对于函数f(x)，如果对于定义域内任意一个x，都有f(-x)=-f(x)，那么f(x)为奇函数；
对于函数f(x)，如果对于定义域内任意一个x，都有f(-x)=f(x)，那么f(x)为偶函数；
2.性质：
(1)函数依据奇偶性分类可分为：奇函数非偶函数，偶函数非奇函数，既奇且偶函数，非奇非偶函数；
(2) f(x),g(x)的定义域为D；
(3)图象特点：奇函数的图象关于原点对称；偶函数的图象关于原点对称；
(4)定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要不充分条件，奇函数f(x)在原点处有定义，则有f(0)=0；
(5)任意一个定义域关于原点对称的函数f(x)总可以表示为一个奇函数与偶函数的和的形式：f(x)=g(x)+h(x)，其中g(x)=-[f(x)+f(-x)]为偶函数，h(x)=-[f(x)-f(-x)]为奇函数； (6)奇函数在关于原点对称的区间具有相同的单调性，偶函数在关于原点对称的区间具有相反的单调性。
3.判断方法：
(1)定义法
(2)等价形式：f(-x)+f(x)=0，f(x)为奇函数；
f(-x)-f(x)=0,f(x)为偶函数。
4.拓展延伸：
(1)一般地，对于函数y=f(x)，定义域内每一个自变量x，都有f(a+x)=2b-f(a-x)，则y=f(x)的图象关于点(a,b)成中心对称；
(2)一般地，对于函数y=f(x)，定义域内每一个自变量x都有f(a+x)=f(a-x)，则它的图象关于x=a成轴对称。
二、周期性：
1.定义：对于函数y=f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当自变量x取定义域内的每一个值时，都有f(x)=f(x+T)成立，那么就称函数y=f(x)为周期函数。
2.图象特点：
将函数y=f(x)的图象向左(右)平移的整数倍个单位，所得的函数图象与函数y=f(x)的图象重合。
