一次函数压轴题经典

Page 1 of 20 一次函数压轴题 1．如图1，在平面直角坐标系中，已知△AOB是等边三角形，点A的坐标是（0，4），点B在第一象限，点P是x轴上的一个动点，连接AP，并把△AOP绕着点A按逆时针方向旋转，使边AO与AB重合，得到△ABD． （1）求直线AB的解析式； （2）当点P运动到点（3，0）时，求此时DP的长及点D的坐标； （3）是否存在点P，使△OPD的面积等于34？若存在，请求出符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由． 2．如图，直线142yx与坐标轴分别交于点A、B，与直线yx交于点C．在线段OA上，动点Q以每秒1个单位长度的速度从点O出发向点A做匀速运动，同时动点P从点A出发向点O做匀速运动，当点P、Q其中一点停止运动时，另一点也停止运动．分别过点P、Q作x轴的垂线，交直线AB、OC于点E、F，连接EF．若运动时间为t秒，在运动过程中四边形PEFQ总为矩形（点P、Q重合除外）． （1）求点P运动的速度是多少？ （2）当t为多少秒时，矩形PEFQ为正方形？ （3）当t为多少秒时，矩形PEFQ的面积S最大？并求出最大值． 3．如图，直线MN与x轴，y轴分别相交于A，C两点，分别过A，C两点作x轴，y轴的垂线相交于B点，且OA，OC（OA＞OC）的长分别是一元二次方程214480xx的两个实数根． （1）求C点坐标； （2）求直线MN的解析式； （3）在直线MN上存在点P，使以点P，B，C三点为顶点的三角形是等腰三角形，请直接写出P点的坐标． Page 2 of 20 4．如图，平面直角坐标系中，直线l分别交x轴、y轴于A、B两点（OA＜OB）且OA、OB的长分别是一元二次方程2(31)30xx的两个根，点C在x轴负半轴上，且AB：AC=1：2 （1）求A、C两点的坐标； （2）若点M从C点出发，以每秒1个单位的速度沿射线CB运动，连接AM，设△ABM的面积为S，点M的运动时间为t，写出S关于t的函数关系式，并写出自变量的取值范围； （3）点P是y轴上的点，在坐标平面内是否存在点Q，使以 A、B、P、Q为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出Q点的坐标；若不存在，请说明理由． 5．如图，四边形OABC是菱形，点C在x轴上，AB交y轴于H，AC交y轴于M．已知点A（﹣3，4）． （1）求AO的长； （2）求直线AC的解析式和点M的坐标； （3）点P从点A出发，以每秒2个单位的速度沿折线A﹣B﹣C运动，到达点C终止．设点P的运动时间为t秒，△PMB的面积为S． ①求S与t的函数关系式； ②求S的最大值． 6．如图，正方形ABCO的边OA、OC在坐标轴上，点B坐标（3，3），将正方形ABCO绕点A顺时针旋转角度α（0°＜α＜90°），得到正方形ADEF，ED交线段OC于点G，ED的延长线交线段BC于点P，连AP、AG． （1）求证：△AOG≌△ADG； （2）求∠PAG的度数；并判断线段OG、PG、BP之间的数量关系，说明理由； （3）当∠1=∠2时，求直线PE的解析式． Page 3 of 20 7．如图，点A在y轴上，点B在x轴上，且OA=OB=1，经过原点O的直线l交线段AB于点C，过C作OC的垂线，与直线x=1相交于点P，现将直线L绕O点旋转，使交点C从A向B运动，但C点必须在第一象限内，并记AC的长为t，分析此图后，对下列问题作出探究： （1）当△AOC和△BCP全等时，求出t的值； （2）通过动手测量线段OC和CP的长来判断它们之间的大小关系并证明你得到的结论； （3）①设点P的坐标为（1，b），试写出b关于t的函数关系式和变量t的取值范围． ②求出当△PBC为等腰三角形时点P的坐标． 8．如图1，在平面直角坐标系中，直线AB与x轴交于点A，与y轴交于点B，与直线OC交于点C． （1）若直线AB解析式为212yx，直线OC解析式为yx， ①求点C的坐标； ②求△OAC的面积． （2）如图2，作∠AOC的平分线ON，若AB⊥ON，垂足为E，△OAC的面积为6，且OA=4，P、Q分别为线段OA、OE上的动点，连接AQ与PQ，试探索AQ+PQ是否存在最小值？若存在，求出这个最小值；若不存在，说明理由． 9．如图，在平面直角坐标系xOy中，已知直线PA是一次函数yxm（m＞0）的图象，直线PB是一次函数3yxn（n＞m）的图象，点P是两直线的交点，点A、B、C、Q分别是两条直线与坐标轴的交点． （1）用m、n分别表示点A、B、P的坐标及∠PAB的度数； （2）若四边形PQOB的面积是112，且CQ：AO=1：2，试求点P的坐标，并求出直线PA与PB的函数表达式； （3）在（2）的条件下，是否存在一点D，使以A、B、P、D为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点D的坐标；若不存在，请说明理由． Page 4 of 20 10．如图，一次函数33yx的函数图象与x轴、y轴分别交于点A、B，以线段AB为直角边在第一象限内作Rt△ABC，且使∠ABC=30°． （1）求△ABC的面积； （2）如果在第二象限内有一点P（m，32），试用含m的代数式表示△APB的面积，并求当△APB与△ABC面积相等时m的值； （3）是否存在使△QAB是等腰三角形并且在坐标轴上的点Q？若存在，请写出点Q所有可能的坐标；若不存在，请说明理由． Page 5 of 20 答案 1．如图1，在平面直角坐标系中，已知△AOB是等边三角形，点A的坐标是（0，4），点B在第一象限，点P是x轴上的一个动点，连接AP，并把△AOP绕着点A按逆时针方向旋转，使边AO与AB重合，得到△ABD． （1）求直线AB的解析式； （2）当点P运动到点（，0）时，求此时DP的长及点D的坐标； （3）是否存在点P，使△OPD的面积等于？若存在，请求出符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由． 分析： （1）过点B作BE⊥y轴于点E，作BF⊥x轴于点F．依题意得BF=OE=2，利用勾股定理求出OF，然后可得点B的坐标．设直线AB的解析式是y=kx+b，把已知坐标代入可求解． （2）由△ABD由△AOP旋转得到，证明△ABD≌△AOP．AP=AD，∠DAB=∠PAO，∠DAP=∠BAO=60°，△ADP是等边三角形．利用勾股定理求出DP．在Rt△BDG中，∠BGD=90°，∠DBG=60°．利用三角函数求出BG=BD•cos60°，DG=BD•sin60°．然后求出OH，DH，然后求出点D的坐标． （3）本题分三种情况进行讨论，设点P的坐标为（t，0）： ①当P在x轴正半轴上时，即t＞0时，关键是求出D点的纵坐标，方法同（2），在直角三角形DBG中，可根据BD即OP的长和∠DBG的正弦函数求出DG的表达式，即可求出DH的长，根据已知的△OPD的面积可列出一个关于t的方程，即可求出t的值． ②当P在x轴负半轴，但D在x轴上方时．即＜t≤0时，方法同①类似，也是在直角三角形DBG用BD的长表示出DG，进而求出GF的长，然后同①． ③当P在x轴负半轴，D在x轴下方时，即t≤时，方法同②． 综合上面三种情况即可求出符合条件的t的值． 解答： 解：（1）如图1，过点B作BE⊥y轴于点E，作BF⊥x轴于点F．由已知得： BF=OE=2，OF==， ∴点B的坐标是（，2） 设直线AB的解析式是y=kx+b（k≠0），则有． 解得． ∴直线AB的解析式是y=x+4； （2）如图2，∵△ABD由△AOP旋转得到， ∴△ABD≌△AOP， ∴AP=AD，∠DAB=∠PAO， ∴∠DAP=∠BAO=60°， ∴△ADP是等边三角形， ∴DP=AP=． Page 6 of 20 如图2，过点D作DH⊥x轴于点H，延长EB交DH于点G，则BG⊥DH． 方法（一） 在Rt△BDG中，∠BGD=90°，∠DBG=60°． ∴BG=BD•cos60°=×=． DG=BD•sin60°=×=． ∴OH=EG=，DH= ∴点D的坐标为（，） 方法（二） 易得∠AEB=∠BGD=90°，∠ABE=∠BDG， ∴△ABE∽△BDG， ∴；而AE=2，BD=OP=，BE=2，AB=4， 则有，解得BG=，DG=； ∴OH=，DH=； ∴点D的坐标为（，）． （3）假设存在点P，在它的运动过程中，使△OPD的面积等于． 设点P为（t，0），下面分三种情况讨论： ①当t＞0时，如图，BD=OP=t，DG=t， ∴DH=2+t． ∵△OPD的面积等于， ∴， 解得，（舍去） ∴点P1的坐标为（，0）． ②∵当D在y轴上时，根据勾股定理求出BD==OP， ∴当＜t≤0时，如图，BD=OP=﹣t，DG=﹣t， ∴GH=BF=2﹣（﹣t）=2+t． ∵△OPD的面积等于， ∴， 解得，， ∴点P2的坐标为（，0），点P3的坐标为（，0）． Page 7 of 20 ③当t≤时，如图3，BD=OP=﹣t，DG=﹣t， ∴DH=﹣t﹣2． ∵△OPD的面积等于， ∴（﹣t）[﹣（2+t）]=， 解得（舍去）， ∴点P4的坐标为（，0）， 综上所述，点P的坐标分别为P1（，0）、P2（，0）、P3（，0）、 P4（，0）． 2．如图，直线y=﹣x+4与坐标轴分别交于点A、B，与直线y=x交于点C．在线段OA上，动点Q以每秒1个单位长度的速度从点O出发向点A做匀速运动，同时动点P从点A出发向点O做匀速运动，当点P、Q其中一点停止运动时，另一点也停止运动．分别过点P、Q作x轴的垂线，交直线AB、OC于点E、F，连接EF．若运动时间为t秒，在运动过程中四边形PEFQ总为矩形（点P、Q重合除外）． （1）求点P运动的速度是多少？ （2）当t为多少秒时，矩形PEFQ为正方形？ Page 8 of 20 （3）当t为多少秒时，矩形PEFQ的面积S最大？并求出最大值． 分析： （1）根据直线y=﹣x+4与坐标轴分别交于点A、B，得出A，B点的坐标，再利用EP∥BO，得出==，据此可以求得点P的运动速度； （2）当PQ=PE时，以及当PQ=PE时，矩形PEFQ为正方形，分别求出即可； （3）根据（2）中所求得出s与t的函数关系式，进而利用二次函数性质求出即可． 解答： 解：（1）∵直线y=﹣x+4与坐标轴分别交于点A、B， ∴x=0时，y=4，y=0时，x=8， ∴==， 当t秒时，QO=FQ=t，则EP=t， ∵EP∥BO， ∴==， ∴AP=2t， ∵动点Q以每秒1个单位长度的速度从点O出发向点A做匀速运动， ∴点P运动的速度是每秒2个单位长度； （2）如图1，当PQ=PE时，矩形PEFQ为正方形， 则∵OQ=FQ=t，PA=2t， ∴QP=8﹣t﹣2t=8﹣3t， ∴8﹣3t=t， 解得：t=2； 如图2，当PQ=PE时，矩形PEFQ为正方形， ∵OQ=t，PA=2t， ∴OP=8﹣2t， ∴QP=t﹣（8﹣2t）=3t﹣8， ∴t=3t﹣8， 解得：t=4； （3）如图1，当Q在P点的左边时， ∵OQ=t，PA=2t， ∴QP=8﹣t﹣2t=8﹣3t， ∴S矩形PEFQ=QP•QF=（8﹣3t）•t=8t﹣3t2， 当t=﹣=时， S矩形PEFQ的最大值为：=， 如图2，当Q在P点的右边时， ∵OQ=t，PA=2t， ∴2t＞8﹣t， Page 9 of 20 ∴t， ∴QP=t﹣（8﹣2t）=3t﹣8， ∴S矩形PEFQ=QP•QF=（3t﹣8）•t=3t2﹣8t， ∵当点P、Q其中一点停止运动时，另一点也停止运动， ∴＜t≤4， 当t=﹣=时，S矩形PEFQ的最大， ∴t=4时，S矩形PEFQ的最大值为：3×42﹣8×4=16， 综上所述，当t=4时，S矩形PEFQ的最大值为：16． 3．如图，直线MN与x轴，y轴分别相交于A，C两点，分别过A，C两点作x轴，y轴的垂线相交于B点，且OA，OC（OA＞OC）的长分别是一元二次方程x2﹣14x+48=0的两个实数根． （1）求C点坐标； （2）求直线MN的解析式； （3）在直线MN上存在点P，使以点P，B，C三点为顶点的三角形是等腰三角形，请直接写出P点的坐标． 分析： （1）通过解方程x2﹣14x+48=0可以求得OC=6，OA=8．则C（0，6）； （2）设直线MN的解析式是y=kx+b（k≠0）．把点A、C的坐标分别代入解析式，列出关于系数k、b的方程组，通过解方程组即可求得它们的值； （3）需要分类讨论：PB为腰，PB为底两种情况下的点P的坐标．根据等腰三角形的性质、两点间的距离公式以及一次函数图象上点的坐标特征进行解答．

一次函数压轴题精选

一次函数压轴题精选

一次函数是数学中的基础知识之一。掌握了一次函数的基本概念和解题方法，可以为我们在学习数学的过程中打下坚实的基础。下面是一些常见的一次函数压轴题，了解和掌握这些题目的解法，对于提高我们的数学水平有很大的帮助。

1、已知一次函数f(x)=4x-3，求当x=2时的函数值。

解法：将x=2代入函数f(x)中，即f(2)=4×2-3=5，所以当x=2时，函数值为5。

2、已知一次函数f(x)=3x+2，求其图像在坐标系中的截距。

解法：当x=0时，f(x)=3×0+2=2，所以函数图像在y轴上的截距为2。

3、已知一次函数kx+2y-4=0是直线L的解析式，求直线L在坐标系中的斜率。

解法：将kx+2y-4=0转化为y-intercept的形式为y=-(k/2)x+2，斜率即为-(k/2)。

4、已知一次函数f(x)=ax+b，若f(-3)=6，f(2)=7，则a和b的值分别为多少？

解法：将x=-3代入函数f(x)中，得a(-3)+b=6，将x=2代入函数f(x)中，得a(2)+b=7。将两式相加，得a=-1。将a=-1代入其中一式，得-3-b=6，解得b=-9。所以a=-1，b=-9。

5、已知一次函数y=kx，在坐标系中，直线y=kx与x轴的交点为(-3,0)，且这条直线过点(1,5)，则k的值为多少？

解法：将直线y=kx化为截距式为y=k(x-(-3))=kx+3k，根据已知条件可以列出方程组：5=k(1)+3k，0=k(-3)+3k。解得k=5/4。所以k=5/4。

以上是一些常见的一次函数压轴题，希望大家都能够熟练掌握这些题目的解法，更好地掌握一次函数的基本知识。

二次函数常见压轴

1、y=322xx（以下几种分类的函数解析式就是这个）

和最小，差最大 在对称轴上找一点P，使得PB+PC的和最小，求出P点坐标

在对称轴上找一点P，使得PB-PC的差最大，求出P点坐标

求面积最大 连接AC,在第四象限找一点P，使得ACP面积最大，求出P坐标

讨论直角三角 连接AC,在对称轴上找一点P，使得ACP为直角三角形，求出P坐标

或者在抛物线上求点P，使△ACP是以AC为直角边的直角三角形．

讨论等腰三角 连接AC,在对称轴上找一点P，使得ACP为等腰三角形，求出P坐标

讨论平行四边形 1、点E在抛物线的对称轴上，点F在抛物线上，且以B，A，F，E四点为顶点的四边形为平行四边形，求点F的坐标

2、这里小改动，把C（0，-3）改成C（2，-3）

连接BC,在x轴上找一个点F，抛物线上找一点P，使得以B、C、F、G为顶点的四边形构成平行四边形

O x y

A B

C

D

O x y

A B

C

D

O x y

A B

C(2，-3) D O x y

A B

C

D O x y

A B

C

D

和最小差最大

3、如图所示，在平面直角坐标系xOy中，正方形OABC的边长为2cm，点A、C分别在y轴的负半轴和x轴的正半轴上，抛物线y=ax2+bx+c经过点A、B和D2(4,)3.

（1）求抛物线的解析式.

（2）如果点P由点A出发沿AB边以2cm/s的速度向点B运动，同时点Q由点B出发沿BC边以1cm/s的速度向点C运动，当其中一点到达终点时，另一点也随之停止运动. 设S=PQ2(cm2)

①试求出S与运动时间t之间的函数关系式，并写出t的取值范围；

②当S取54时，在抛物线上是否存在点R，使得以P、B、Q、R为顶点的四边形是平行四边形? 如果存在，求出R点的坐标；如果不存在，请说明理由.

（3）在抛物线的对称轴上求点M，使得M到D、A的距离之差最大，求出点M的坐标.

第1页（共99页）一次函数压轴题精选（含详细答案答案）1．如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y=2x+2与y轴交于点A，与x轴交于点B．直线l⊥x轴负半轴于点C，点D是直线l上一点且位于x轴上方．已知CO=CD=4．（1）求经过A，D两点的直线的函数关系式和点B的坐标；（2）在直线l上是否存在点P使得△BDP为等腰三角形，若存在，直接写出P点坐标，若不存在，请说明理由．2．如图，直线L：y=﹣x+2与x轴、y轴分别交于A、B两点，在y轴上有一点N（0，4），动点M从A点以每秒1个单位的速度匀速沿x轴向左移动．（1）点A的坐标：；点B的坐标：；（2）求△NOM的面积S与M的移动时间t之间的函数关系式；（3）在y轴右边，当t为何值时，△NOM≌△AOB，求出此时点M的坐标；（4）在（3）的条件下，若点G是线段ON上一点，连结MG，△MGN沿MG折叠，点N恰好落在x轴上的点H处，求点G的坐标．3．如图①，平面直角坐标系中，O为原点，点A坐标为（﹣4，0），AB∥y轴，点C在y轴上，一次函数y=x+3的图象经过点B、C．

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（1）点C的坐标为的坐标为 ，点B的坐标为的坐标为 ； （2）如图②，直线l经过点C，且与直线AB交于点M，O'与O关于直线l对称，连接CO'并延长，交射线AB于点D． ①求证：△CMD是等腰三角形； ②当CD=5时，求直线l的函数表达式． 4．如图1，在平面直角坐标系中，一次函数y=﹣2x+8的图象与x轴，y轴分别交于点A，点C，过点A作AB⊥x轴，垂足为点A，过点C作CB⊥y轴，垂足为点C，两条垂线相交于点B． （1）线段AB，BC，AC的长分别为AB= ，BC= ，AC= ； （2）折叠图1中的△ABC，使点A与点C重合，再将折叠后的图形展开，折痕DE交AB于点D，交AC于点E，连接CD，如图2． 请从下列A、B两题中任选一题作答，我选择两题中任选一题作答，我选择 题． A：①求线段AD的长； ②在y轴上，是否存在点P，使得△APD为等腰三角形？若存在，请直接写出符合条件的所有点P的坐标；若不存在，请说明理由． B：①求线段DE的长； ②在坐标平面内，是否存在点P（除点B外），使得以点A，P，C为顶点的三角形与△ABC全等？若存在，请直接写出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，