微积分基本定理

微积分基本定理

一、教材分析

1、教材的地位及作用

微积分基本定理是普通高中课程标准实验教科书（人教版）高二年级数学（选修2-2）第一章第六节内容，本节内容共设计两个课时，这是第一课时，这节课的主要内容是微积分基本公式的导出以及用它求定积分。

本节课是学生学习了导数和定积分这两个概念后的学习，它不仅揭示了导数和定积分之间的内在联系，同时也提供计算定积分的一种有效方法，为后面的学习奠定了基础。因此它在教材中处于极其重要的地位，起到了承上启下的作用，不仅如此，它甚至给微积分学的发展带来了深远的影响，是微积分学中最重要最辉煌的成果。

2、教学目标

根据学生的认知结构特征以及教材内容的特点，依据新课程标准要求，确定本节课的教学目标如下：

（1）知识与技能目标：通过实例，直观了解微积分基本定理的含义，会求简单的定积分。

（2）过程与方法目标：通过实例体会用微积分基本定理求定积分的方法。

（3）情感、态度与价值观目标：通过微积分基本定理的学习，体会事物间的相互转化、对立统一的辩证关系，培养学生辩证唯物主义观点，提高理性思维能力。

3、教学重点、难点

重点：通过探究变速直线运动物体的速度与位移的关系，使学生直观了解微积分基本定理的含义，并能正确运用基本定理计算简单的定积分。（根据教材内容特点及教学目标的要求）

难点：了解微积分基本定理的含义。（根据学生的年龄结构特征和心理认知特点）

——以学生现有的知识水平对于微积分基本定理的严密证明是存在着一定难度的，而突破难点的关键在于让学生主动去探索，体会微积分基本公式的导出以及利用它来计算简单的定积分，这样才能从真正意义上把握该定理的含义，提高学生的能力，体现学生的主体地位。

二、教法和学法

1、教法：

素质教育理论明确要求：教师是主导，学生是主体，只有教师在教学过程中注重引导，才能充分发挥学生的主观能动性，有利于学生创造性思维的培养和能力的提高，根据本节的教学内容及教学目标和学生的认识规律，我采用类比、启发、引导、探索式相结合的方法，启发、引导学生积极思考本节课所遇到的问题，引导学生联想旧知识来解决和探索新知识，从而使学生产生浓厚的学习兴趣和求知欲，体现了学生的主体地位。

2014——2015年度第二学期高二数学导学案

编号： 姓名： 班级： 使用时间：第 周

主备人: 备课组长: 教研组长: 教导处:

1.6微积分基本定理

学习重点与难点

1．理解定积分的概念和定积分的性质，理解微积分基本原理;

2．掌握微积分基本定理，并会求简单的定积分;

一．自主学习

1．函数33cosyxx的导数为

2.基础求导公式x ，ex ，xsin ,xcos

3.新知：如果函数()Fx是[,]ab上的连续函数，并且 ，那么

这个结论叫做 ，也叫

为了方便起见，还常用()|baFx表示()()FbFa，即

试试：计算120xdx= = =

（计算定积分()bafxdx的关键是找到满足()()Fxfx的函数()Fx. 通常我们可以运用基本初等函数的求导公式的四则运算法则从反方向求出()Fx .

二．合作探究

例1 计算下列定积分：

（1）211dxx； （2）dxx10 （3）3211(2)xdxx

原函数 =

代值 =

=

例2计算下列定积分，试利用定积分的几何意义做出解释

0sinxdx， 2sinxdx， 20sinxdx.

微积分基本定理证明

微积分基本定理也被称为奥尔森定理，它是十九世纪数学家利希马克·奥尔森首先提出的重要定理。它表达了微积分在处理数字和曲线的连续性之间的对应关系，并将分段函数拓展到更多更复杂的函数。它的形式如下：

若$f$为$[a,b]$上的连续函数，则有：

$$\int_a^bf(x)dx=F(b)-F(a)$$

其中$F$为$f$的一个可微分函数（也称为$f$的积分）。这里所说的可微分函数指在$[a, b]$上定义的函数$F$，使得$F'(x)=f(x)，\forall x \in [a, b]$。

要证明这个定理，我们将用反证法。假设该定理不成立，即：

$$\int_a^bf(x)dx\neq F(b)-F(a)$$

那么，则有：

$$\int_a^bf(x)dx-F(b)+F(a)\neq 0$$

将$f$代入上式，则有：

$$\int_a^bF'(x)dx-[F(b)-F(a)]\neq 0$$

令$\Delta x=x_1-x_0>0$，由$[a, b]$的分割定理得：

$$\int_a^bf(x)dx-F(b)+F(a)=[F'(x_1)-F'(x_0)]\sum_{i=0}^{n-1}\Delta x+o(\Delta x)$$

同时，将$F'(x)=f(x)$代入上式，可得：

$$\int_a^bf(x)dx-F(b)+F(a)=f(x_1)-f(x_0)\sum_{i=0}^{n-1}\Delta x+o(\Delta x)$$

因此，当$\Delta x$趋近于零时，上式又转化为： $$\int_a^bf(x)dx-F(b)+F(a)=f(x_1)-f(x_0)\int_a^bdx+o(\Delta x)$$

由于$\Delta x$任意取值，所以，当$\Delta x$趋近于零时，$o(\Delta x)$也趋近于零，即：

2015届高二数学选修2-2导学案NO 29 编写 审核 审批

【使用说明】 1、依据学习目标。课前认真预习，完成自主学习内容；

2、课上思考，积极讨论，大胆展示，充分发挥小组合作优势，解决疑难问题；

3、当堂完成课堂检测题目；

4、★的多少代表题目的难以程度。★越多说明试题越难。不同层次学生选择相应题目完成

【学习目标】1．理解定积分的概念和定积分的性质，理解微积分基本原理;

2．掌握微积分基本定理，并会求简单的定积分;

3．能够运用基本初等函数的求导公式和导数的四则运算法则从反方向上求出，满足()()Fxfx的函数()Fx.

【教学重点】理解定积分的概念和定积分的性质，理解微积分基本原理;

【教学难点】掌握微积分基本定理，并会求简单的定积分;

【学习方法】合作探究、学案导学法

【自主学习·梳理基础】

1、微积分基本定理

如果函数()Fx是[,]ab上的连续函数()fx的任意一个原函数，则 ，

为了方便起见，还常用 表示

该式称之为微积分基本公式或牛顿—莱布尼兹公式.它指出了求连续函数定积分的一般方法，把求定积分的问题，转化成求原函数的问题，是微分学与积分学之间联系的桥梁。 它不仅揭示了导数和定积分之间的内在联系，同时也提供计算定积分的一种有效方法，微积分基本定理是微积分学中最重要的定理，它使微积分学蓬勃发展起来，成为一门影响深远的学科，为后面的学习奠定了基础。因此它在教材中处于极其重要的地位，起到了承上启下的作用，

说明：

①它指出了求连续函数定积分的一般方法，把求定积分的问题，转化成求原函数的问题。我们可以用()fx的原函数（即满足()()Fxfx）的数值差()()FbFa来计算()fx在[,]ab上的定积分.