梯度散度和旋度——定义及公式

第３３卷　２０１３芷　第４期　７月　高师理科学刊　Ｊｏｕｒｎａｌ　ｏｆ　Ｓｃｉｅｎｃｅ　ｏｆ　Ｔｅａｃｈｅｒｓ　ＣｏＨｅｇｅ　ａｎｄ　Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ　Ｖ０１．３３　Ｎｏ．４　Ｊｕ１．２０１３　

文章编号：１００７—９８３１（２０１３）０４—００２７—０３　

关于梯度、旋度和散度的相互关系　

周玉兴　，张丹丹　，韦儒和　

（１．广西师范学院师园学院，广西南宁５３０２２６；２．广西师范学院数学科学学院，广西南宁５３００２３）　

摘要：运用梯度、散度和旋度等价表示方法，点积及叉积的性质，研究了梯度、旋度和散度的相　互关系，得到若干新的结果．　

关键词：梯度；旋度；散度　中图分类号：０１７２．１　文献标识码：Ａ　ｄｏ　Ｊ：１０．３９６９／ｊ．ｉｓｓｎ．１００７—９８３１．２０１３．０４．００９　

Ｔｈｅ　ｃｏｒｒｅｌａｔｉｏｎｓ　ｏｆ　ｇｒａｄｉｅｎｔ，ｃｕｒｌ　ａｎｄ　ｄｉｖｅｒｇｅｎｃｅ　

ＺＨＯＵ　Ｙｕ－ｘｉｎｇ　，ＺＨＡＮＧ　Ｄａｎ—ｄａｎ　，ＷＥＩ　Ｒｕ—ｈｅ　

（１．Ｓｃｈｏｏｌ　ｏｆＳｈｉｙｕａｎ，ＧｎａｎｇｘｉＴｅａｃｈｅｒｓＥｄｕｃａｔｉｏｎＵｎｉｖｅｒｓｉｔｙ，Ｎａｎｎｉｎｇ５３０２２６，Ｃｈｉｎａ；　２．Ｓｃｈｏｏｌ　ｏｆＭａｔｈｅｍａｔｉｃａｌＳｃｉｅｎｃｅｓ，ＧｎａｎｇｘｉＴｅａｃｈｅｒｓＥｄｕｃａｔｉｏｎＵｎｉｖｅｒｓｉｔｙ，Ｎａｎｎｉｎｇ５３００２３，Ｃｈｉｎａ）　

Ａｂｓｔｒａｃｔ：Ｒｅｓｅａｒｃｈｅｄ　ｔｈｅ　ｃｏｒｒｅｌａｔｉｏｎｓ　ｏｆ　ｇｒａｄｉｅｎｔ，ｃｕｒｌ　ａｎｄ　ｄｉｖｅｒｇｅｎｃｅ　ｂｙ　ｕｓｉｎｇ　ｏｆ　ｔｈｅ　ｅｑｕｉｖａｌｅｎｔ　ｒｅｐｒｅｓｅｎｔａｔｉｏｎ　ｏｆ　ｔｈｅ　

ｇｒａｄｉｅｎｔ，ｄｉｖｅｒｇｅｎｃｅ　ａｎｄ　ｃｕｒｌ，ｔｈｅ　ｐｒｏｐｅｒｔｉｅｓ　ｏｆ　ｔｈｅ　ｄｏｔ　ｐｒｏｄｕｃｔ　ａｎｄ　ｃｒｏｓｓ　ｐｒｏｄｕｃｔ，ｓｏｍｅ　ｎｅｗ　ｒｅｓｕｌｔｓ　ｗａｓ　ｇａｉｎｅｄ．　

梯度散度和旋度——定义及公式

梯度、散度和旋度是矢量场的重要属性，它们帮助我们理解和描述矢量场的变化特征。梯度表示了矢量场的变化率和方向，散度表示了矢量场的流出或流入程度，旋度表示了矢量场的循环或旋转程度。在物理学、工程学和应用数学等领域，梯度、散度和旋度被广泛应用于描述流体力学、电磁场和温度分布等问题。

首先，让我们来看看梯度的定义和公式。梯度表示了矢量场在一个点上的最大变化率和该变化的方向。对于一个标量场（只有大小没有方向的场），梯度是一个矢量场。设f(x,y,z)是一个三维空间中的标量场，梯度∇f(x,y,z)可以表示为：

∇f(x,y,z)=(∂f/∂x,∂f/∂y,∂f/∂z)

其中，∂f/∂x、∂f/∂y和∂f/∂z分别表示f对x、y和z的偏导数。梯度的大小表示了函数在该点上变化最快的方向。

接下来，我们来看看散度的定义和公式。散度表示了矢量场的流出或流入程度。对于一个三维矢量场F(x,y,z)=(P(x,y,z),Q(x,y,z),R(x,y,z))，它的散度∇·F可以表示为：

∇·F=∂P/∂x+∂Q/∂y+∂R/∂z

其中，∂P/∂x、∂Q/∂y和∂R/∂z分别表示F的各个分量对x、y和z的偏导数。散度的值正表示流出，负表示流入。

最后，我们来看看旋度的定义和公式。旋度表示了矢量场的循环或旋转程度。对于一个三维矢量场F(x,y,z)=(P(x,y,z),Q(x,y,z),R(x,y,z))，它的旋度∇×F可以表示为： ∇×F=(∂R/∂y-∂Q/∂z,∂P/∂z-∂R/∂x,∂Q/∂x-∂P/∂y)

其中，∂R/∂y-∂Q/∂z、∂P/∂z-∂R/∂x、∂Q/∂x-∂P/∂y分别表示F的各个分量对x、y和z的偏导数之差。旋度的大小表示了场的循环或旋转的强度。

梯度、散度和旋度提供了一种描述矢量场的数学工具，帮助我们分析矢量场的性质和行为。通过计算这些属性，我们可以得到关于矢量场的重要信息，如流体的速度分布、电磁场的演化和温度场的变化。这些概念及其相应公式的理解对于理论和实际问题的解决都至关重要。

在正交曲线坐标系（321,,uuu），中，梯度、散度、和旋度的表达式分别为

1231122332313121231231232233112123111222333332212323111ˆˆˆ1()()()1()()()1ˆ[()()]eeehuhuhuAhhAhhAhhAhhhuuuhhhhhhhhhuhuuhuuhuAhAhAehhuu1133231312211312121ˆ[()()]1ˆ[()()]hAhAehhuuhAhAehhuu

式中321ˆ,ˆ,ˆeee为正交曲线坐标系的三个基矢；123,,hhh为标度因子（scale factor）,或拉梅（lame’）系数；为空间的标量函数，A为空间的矢量函数。

试根据上面的公式，分别写出AA、和在柱坐标系中的表达式。

（1）柱坐标系

123121123,,1,,1ˆˆˆˆˆˆ,,zdVdddzuuuzhhheeeeee体积微元

1ˆˆˆ1()()()11 ()1ˆˆ[()()][()()]1ˆ[()()]1ˆ[][zzzzzzzzeeezAAAAzAAAzAAAeAAezzAAeAAAAezzˆ]1ˆ[()]zeAAe

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1 关于梯度、旋度和散度的直观理解

散度为零，说明是无源场；散度不为零时，则说明是有源场（有正源或负源）

若你的场是一个流速场,则该场的散度是该流体在某一点单位时间流出单位体积的净流 量. 如果在某点,某场的散度不为零,表示该场在该点有源,例如若电场在某点散度不为零,表 示该点有电荷,若流速场不为零,表是在该点有流体源源不绝地产生或消失(若散度为负).

一个场在某处,沿着一无穷小的平面边界做环积分,平面法向量即由旋度向量给定,旋度 向量的长度则是单位面积的环积分值.基本上旋度要衡量的是一向量场在某点是否有转弯.

梯度: 运算的对像是纯量,运算出来的结果会是向量在一个纯量场中,梯度的计算结果会是" 在每个位置都算出一个向量,而这个向量的方向会是在任何一点上从其周围(极接近的周围, 学过微积分该知道甚么叫极限吧?) 纯量值最小处指向周围纯量值最大处. 而这个向量的大小会是上面所说的那个最小与最大的差距程度" 举例子来讲会比较简单,如果现在的纯量场用一座山来表示, 纯量值越大的地方越高,反之则越低.经过梯度这个运操作数的运算以后, 会在这座山的每一个点上都算出一个向量,这个向量会指向每个点最陡的 那个方向,而向量的大小则代表了这个最陡的方向到底有多陡. 散度: 运算的对像是向量,运算出来的结果会是纯量 散度的作用对像是向量场, 如果现在我们考虑任何一个点(或者说这个点的周围极小的一块区域), 在这个点上,向量场的发散程度, 如果是正的,代表这些向量场是往外散出的. 如果是负的,代表这些向量场是往内集中的. 一样,举例子: 因为散度的作用对像是向量场,所以就不能用上面所讲的山来想象, 这百度文库 - 让每个人平等地提升自我

2 次要想象一个大广场里挤了很多人,如果每个人都在到处走动, 是不是可以把每个人的行动都看成是一个向量, 假如现在某人放了一个屁,周围的人(可能包含他自己)都想要赶快闪远一点, 就会发现,在这块区域的人都往这小块区域以外的方向移动. 对啦..这就是散度(你也可以想说是闪远一点的闪度....冷....), 大家如果散得越快,散得人越多,这个散度算出来就就越大. 旋度: 运算的对像是向量,运算出来的结果会是向量 旋度的作用对象也是向量场,这次直接用上面的例子来讲: 如果现在散开的众人都是直直的往那个屁的反方向散开, 这时候你看到这些人的动线是不是就是一个标准的幅射状?? 不过事实上,每个人在闻到屁的时候是不会确切的知道 屁到底是来自哪个方向的.