空间几何中的平面与直线的位置关系

第２２卷第６期　２　０　０　７年１　２月　宿州学院学报　Ｊｏｕｒｎａｌ　ｏｆ　Ｓｕｚｈｏｕ　Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ　ＶＯＩ．２２，ＮＯ．６　Ｄｅｃ．２　０　０　７　

空间中平面与平面、直线与直线及直线　

与平面间位置关系研究　

费绍金　

（宿迁学院教师教育系，江苏宿迁２２３８００）　

摘要：利用线性方程组解的理论讨论空间中平面与平面、直线与直线及直线与平面间位置关系，给出用矩阵的秩判　定以上关系的方法及结论。　关键词：平面；直线；直线与平面；位置关系；矩阵的秩　中图分类号：Ｏ１８７　文献标识码：Ａ　文章编号：１６７３—２００６（２００７）０６－－００９５—０３　

１引言　Ｂｉｙ＋ＣＩ　＋Ｄ＿一Ｏ（ｉ　２＇３），记Ａ　ＢＳ：ｌ　则　判断空间中平面与平面、直线与直线及直线与　、Ａ　Ｂ　Ｃ　平面位置关系，是代数知识在空间解析几何上的应　用，体现了几何与代数的完美结合，因此也是历年考　研常考题型。在文献［１　中作者给出了两条判定定理，　在实际应用中这两条定理是不够用的，本文用矩阵　的秩对这三个关系作了系统研究，给出一些有用结　论。　

２主要命题及证明　

引理非齐次线性方程组：　』ａｌｌｘ１＋ａｌｚ　２＋Ａ＋　ｌａｘ　＝ｂｌ　Ｊ　ａｚｌｘ１＋ａ２２ｘ２＋Ａ＋ａ２　ｘ　＝ｂ２　ｌ　Ａ　Ａ　Ａ　Ａ　Ａ　Ａ　Ａ　Ａ　’ａｍｌｘ１＋ａ扣２ｘ２＋＋ａ…ｘ　ｊｂｍ　有解的充要条件是：系数矩阵Ａ与增广矩阵Ｂ的秩　Ｒ（Ａ）一Ｒ（Ｂ），且Ｒ（Ａ）一Ｒ（Ｂ）一ｎ时有唯一解。　２．１平面与平面的位置关系　２．１．１两平面间位置关系　命题１　设平面７ｃ　、７ｃ　的方程分别为Ａ　ｘ＋Ｂ　Ｙ　＋Ｃｌｚ＋Ｄｌ一０，Ａｚｘ＋Ｂ２Ｙ＋Ｃ２ｚ＋Ｄ２＝＝：０，记Ａ一　

［　：　］，则（１）当Ｒ（Ａ）＝＝＝２时，平面丌－与丌ｚ相交　

于一条直线；（２）当Ｒ（Ｂ）＝１时，平面７ｃ　与７ｃ　重合；　（３）当Ｒ（Ａ）＝＝＝１，Ｒ（Ｂ）＝＝：２时，平面７ｃ　与７ｃ　平行。　证明由引理易证。　２．１．２三个平面间位置关系　命题２设平面丌　、丌　、丌。的方程分别为Ａ　ｘ＋　

1 即墨市第五中学高一数学导学案

空间中直线与平面、平面与平面的位置关系

编写：刘鸿星 审核：宁伟丽 时间：2013-03 编号：8

【课前预习导读】

一、学习目标：

借助长方体模型，在直观认识和理解空间中直线与平面、平面与平面的位置关系。

二、学习重点：直线与平面、平面与平面的位置关系

三、学习难点：直线与平面、平面与平面的位置关系

四、自主预习

1．一条直线与一个平面的位置关系可能有 。

2．如图，线段BA1所在直线与长方体

1111DCBAABCD的六个面所在平面的位置

关系有 。

3．通过生活实例以及对长方体模型的观察、思考，我们可以得出，直线与平面的位置关系有三种：

（1） ——有 个公共点；

（2） —— 个公共点；

（3） —— 个公共点。

直线与平面 的情况统称为直线在平面外。

4．请画图表示直线与平面的三种位置关系，并用符号表示。

5．观察长方体1111DCBAABCD的六个面，两个平面的位置关系可能有 。

6．通过生活实例以及对长方体模型的观察、思考，我们可以得出，两个平面的位置关系有两种：

（1） —— 公共点；

（2） —— 。 班级： 姓名：

A B C D A1B1 C1 D1

2 7．请画图表示两个平面的两种位置关系，并用符号表示。

空间点、直线、平面之间的位置关系

一、知识要点：

1.平面的基本性质：

公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内。

公理2：过不在同一直线上的三点，有且只有一个平面。

公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线。

2.空间中直线与直线之间的位置关系：

空间两条直线的位置关系有且只有三种：

如图：AB与BC相交于B点，AB与A′B′平行，AB与B′C′异面。

公理4：平行于同一条直线的两条直线互相平行。

定理：空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补。

3.空间中直线与平面之间的位置关系：

（1）直线在平面内……有无数个公共点；

（2）直线与平面相交……有且只有一个公共点；

（3）直线与平面平行……没有公共点。

其中直线与平面相交或平行的情况统称为直线在平面外。

注意，我们不提倡如下画法．

4.平面与平面之间的位置关系：

（1）两个平面平行……没有公共点；

（2）两个平面相交……有一条公共直线。

二、例题讲解：

例1、根据图形，写出图形中点、直线和平面之间的关系．

图1可以用几何符号表示为：___________________________________________．

图2可以用几何符号表示为：___________________________________________．

分析：本题关键是找出图中基本元素点、直线、平面，然后再仔细分析点与直线、点与平面、直线与平面的位置关系，最后用文字语言和符号语言写出．

解：图1可以用几何符号表示为：

即：平面与平面相交于直线AB，直线a在平面内，直线b在平面内，直线a平行于直线AB，直线b平行于直线AB．

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精锐教育学科教师辅导讲义

讲义编号_

学员编号： 年 级： 高三 课时数：3

学员姓名： 辅导科目：数学 学科教师:

课 题 空间直线与平面，平面与平面的位置关系

授课日期及时段

教学目的 1、 掌握空间平面与直线的位置关系，并会求直线与平面所称的角；

2、 掌握空间平面与平面的位置关系，会画二面角的平面角

教学内容

【知识梳理】

1、 直线与平面有哪些位置关系？

2、 直线与平面所称的角的取值范围是 0,2

3、 直线与平面平行

判定定理： ；

性质定理： ；

4、 直线与平面垂直

（1） 定义：

（2） 判定定理：

（3） 性质定理：

5、 二面角的概念：

6、 二面角的取值范围： 0, _