两直线的位置关系

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直线的方程与两直线的位置关系

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来源：《数学金刊·高考版》2014年第05期

掌握直线方程的几种形式（点斜式、斜截式、两点式及一般式）的特点与适用范围，能根据问题的具体条件选择恰当的形式求直线的方程；了解直线方程的斜截式与一次函数的关系.

两直线的位置关系主要是能根据斜率判定两条直线平行或垂直.

直线与方程是解析几何的基础，是高考重点考查的内容，单独考查时多以客观题的形式出现；综合考查则以直线与圆、椭圆、双曲线、抛物线等知识综合为主，多为中档题，或较难题.

对本考点知识的直接考查主要以基本概念题和求在不同条件下的直线方程为主. 基本概念重点考查：

（1）与直线方程的特征值（主要指斜率、截距）有关的问题.

（2）直线平行和垂直的条件. 当直线l1，l2的方程分别为y=k1x+b1和y=k2x+b2（即它们的斜率都存在时），可由k1，k2的具体值来判断它们的位置关系；当直线l1，l2的方程分别为A1x+B1y+C1=0和A2x+B2y+C2=0时，可由l1⊥l2？圳A1A2+B1B2=0来判断它们是否垂直.

在解题时还应注意两条直线的斜率都不存在且不重合时，它们也相互平行，一条直线斜率不存在时也可以垂直，否则就会造成漏解.

（3）与距离有关的问题等. 此类题大都属于中、低档题，以选择题和填空题的形式出现，每年必考. 中心对称与轴对称问题虽然在《考试说明》中没有提及，但也是高考的重点，复习时也应很好掌握. 间接考查一定会出现在高考卷中，主要考查直线与圆锥曲线的综合问题. 能根据已知条件求解直线方程，特别是对直线斜率不存在的情况的考查.

直线的方程与两直线的位置关系

一,选择题

1,过两点A(4,y),B(2,-3)的直线的倾斜角是43,则y=

A,-1 B,-5 C,1 D,5

2,直线l:143yx的倾斜角是

A,arctan34 B,arctan(-34) C,+arctan(-34) D,-arctan(-34)

3,两直线l1:A1x+B1y+C1=0与l2: A2x+B2y+C2=0垂直的充要条件是

A,A1A2+B1B2=0 B,A1A2-B1B2=0 C,2121BBAA=-1 D,2121BBAA=1

4,若AC<0,BC<0,则直线l:Ax+By+C=0不通过

A,第一象限期 B,第二象限 C,第三象限 D,第四象限

5,直线l1:3x+5y+m=0与l2:6x+ny+4=0的平行条件是

A,n=-10,m=-2 B,n=-10,m=2 C,n=10,m-2 D,n=10,m2

6,直线l1:2x+y-10=0,l2⊥l1,且过点(-10,0),则l1,l2的交点坐标是

A,(2,6) B,(-2,6) C,(6,-2) D,(6,2)

7,点P(2,m)到直线l:5x-12y+6=0的距离为4,则m=

A,1 B,-3 C,1或35 D,-3或317

8,ABC顶点A(2,8),B(-4,0),C(6,0),则A的平分线所在直线方程是

A,x-2y+4=0 B,x-2y-4=0 C,2x+y+4=0 D,2x+y-4=0

9,点A(3,3),B(-1,5),直线l:y=kx+1与线段AB有公共点,则k的取值范围是

教学反思------两直线的位置关系

本节课教学中，学生始终以积极的态度、主人翁的姿态投入到每一个环节的学习中。通过自主探究得到了知识，获得了发展。主要体现在以下几个方面：

1.从生活情境入手，创设数学研究的问题，用数学的魅力感染学生。带领学生进行空间想象，把两条直线的位置关系进行归纳、梳理分类。学生对直线的特点已有了初步认识，有一定的知识基础和空间想象能力，对两条直线的位置关系有更丰富的想象，而生活中平行、垂直的现象居多，情况较单一，不利于展开研究；

2.以分类为主线，通过学生自主探索，体会同一平面内两条直线间的位置关系。

从教材上来看，是由“点”到“面”，把这部分知识分成垂直和平行两个内容进行教学，最后再把这部分知识汇总起来，总结出垂直与平行是同一平面内两条直线的位置关系。而这节课我把二者合为一课，从研究同一平面内两条直线的位置关系入手，逐步分析出两条直线的位置关系有相交和不相交之分，相交中还有相交成直角与不成直角的情况，是一种由“面”到“点”的研究，这样设计，不仅符合学生的认知规律，也更有利于学生展开探索与讨论，研究的意味浓了。通过两次分类、分层理解，提高学生的空间想象能力，培养学生初步研究问题意识。

但是有时容易忽略基础较差的学生，因此，在总体把握上有一定的欠缺。其一、在教学过程中，不能更全面的把握学生。对于一个问题，认为只要学生异口同声地回答正确，就不存在什么难度，却忽略了那些基础比较薄弱的学生，他们可能还在知识点掌握上存在一定的难度。在以后的教学过程中，要全面地顾及学生，特别对一些成绩有些落后的学生，更要多多关注他们学习的成效。其二、在教学过程中，练习的难易程度没有太好的过渡层次，有一些简单的小题目，也有难度比较大的题目，中间适中的过渡不太好，学生培养的自信心，可能因为一下子接触难度较大的题目，会感觉有些吃力，在以后的练习中，应该逐步的提高难度，让学生得到更大的提高，引导他们进一步的学习。课后思考一下，应该再多一些时间多做一些练习，让学生对知识点有更牢固的掌握。再有，不足之处:重难点处理速度较快,后进生没有理解到位,以后的教学中应因材施教,照顾后进生。

1 直线方程与两直线的位置关系

【知识点】

【1】. 直线斜率的概念：

（1）直线的倾斜角：在平面直角坐标系中，对于一条与x轴相交的直线，如果把x轴绕着交点按逆时针方向旋转到和直线重合时所转的最小正角记为α，那么α就叫做直线的倾斜角。当直线和x轴平行或重合时，规定直线的倾斜角为0º。因此，直线的倾斜角α的取值范围是0º≤α＜180º。

（2）直线的斜率：倾斜角α≠90º的直线，它的倾斜角的正切叫做这条直线的斜率，常用k表示，即k=tanα(α≠90º)。

（3）直线的方向向量：设F1(x1，y1)、F2(x2，y2)是直线上不同的两点，则向量21FF=( x2-

x1，y2- y1)称为直线的方向向量。向量21121FFxx=(1，1212xxyy)=(1，k)也是该直线的方向向量，k是直线斜率。

（4）求直线斜率的方法：

①定义法：已知直线的倾斜角为α，且α≠90º，则斜率k=tanα

②公式法：已知直线过两点P1(x1，y1)、P2(x2，y2)，且x1≠x2，则斜率k=1212xxyy

③方向向量法：若a=(m，n)为直线的方向向量，则直线的斜率为k=mn

说明：平面直角坐标系内，每一条直线都有倾斜角，但不是每一条直线都有斜率。

【2】. 直线方程的几种形式：

（1）点斜式：）（11xxkyy，其特例是：bkxy（斜截式）；

（2）两点式：121121xxxxyyyy，其特例是：1byax（截距式）；

（3）一般式：0CByAx（A、B不同时为0）

说明：使用直线方程时，要注意限制条件。如点斜式的使用条件是直线必须存在斜率；截距式的使用条件是两截距都存在且不为0；两点式的使用条件是直线不与x轴垂直，也不与y轴垂直。

【3】. 两条直线的位置关系：