2012年高考理科数学试题及答案-全国卷2

2012年高考数学试题（理） 第1页【共10页】 2012年普通高等学校招生全国统一考试(新课标Ⅱ卷)

理 科 数 学

第Ⅰ卷

一、选择题：(本大题共12小题,每小题5分,共60分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）

1. 已知集合A=｛1, 2， 3， 4， 5},B={(x,y）｜ x∈A， y∈A, x—y∈A},则B中所含元素的个数为（ ）

A。 3 B. 6 C. 8 D。 10

2. 将2名教师，4名学生分成两个小组，分别安排到甲、乙两地参加社会实践活动，每个小组由一名教师和2名学生组成，不同的安排方案共有（ ）

A. 12种 B. 10种 C。 9种 D。 8种

3。 下面是关于复数iz12的四个命题中,真命题为( ）

P1： |z|=2， P2: z2=2i， P3： z的共轭复数为1+i， P4： z的虚部为-1 。

A。 P2，P3 B。 P1,P2 C。

P2，P4 D. P3,P4

4。 设F1，F2是椭圆E： 12222byax )0(ba的左右焦点，P为直线23ax上的一点，12PFF△是底角为30º的等腰三角形,则E的离心率为（ ）

A。21 B。32 C.43 D。54

5。 已知｛an}为等比数列，a4 + a7 = 2，a5 a6 = 8，则a1 + a10 =（ ）

A. 7 B. 5 C. —5 D. —7

6. 如果执行右边的程序框图，输入正整数N(N≥2）和实数a1，

a2，…,aN,输入A、B,则（ )

A。 A+B为a1， a2，…，aN的和

B。2BA为a1， a2，…，aN的算术平均数

C。 A和B分别是a1， a2,…，aN中最大的数和最小的数

D。 A和B分别是a1， a2,…，aN中最小的数和最大的数

7. 如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则此几何体的体积为（ ） 2012年高考数学试题（理） 第2页【共10页】 A。 6 B。 9 C. 12 D。 18

8。 等轴双曲线C的中心在原点，焦点在x轴上,C与抛物线y2=16x的准线交于A，B两点,|AB｜=34，则C的实轴长为( ）

A.2 B. 22 C. 4 D。 8

9. 已知0,函数)4sin()(xxf在),2(单调递减，则的取值范围是( )

A。 15[,]24 B. 13[,]24 C. 1(0,]2 D。 (0,2]

10。 已知函数xxxf)1ln(1)(,则)(xfy的图像大致为（ ）

A. B. C. D。

11。 已知三棱锥S—ABC的所有顶点都在球O的球面上，△ABC是边长为1的正三角形,SC为球O的直径，且SC=2，则此棱锥的体积为( ）

A.62 B. 63 C. 32 D. 22

12。 设点P在曲线xey21上,点Q在曲线)2ln(xy上，则||PQ的最小值为（ )

A。 2ln1 B。 )2ln1(2 C. 2ln1 D。 )2ln1(2

第Ⅱ卷

本卷包括必考题和选考题两部分.第13题~第21题为必考题，每个试题考生必须做答.第22题~第24题为选考题，考生根据要求做答.

二、填空题：(本大题共4小题，每小题5分，共20分.）

13。 已知向量a，b夹角为45º，且1||a，102||ba，则||b 。

14. 设x,y满足约束条件0031yxyxyx,则2zxy的取值范围为 。 1

1 y

x o 1

1 y

x o 1

1 y

x o 1

1 y

x o 2012年高考数学试题（理） 第3页【共10页】 15. 某一部件由三个电子元件按下图方式连接而成，元件1或元件2正常工作,且元件3正常工作，则部件正常工作. 设三个电子元件的使用寿命（单位:小时）服从正态分布N（1000，502）,且各元件能否正常工作互相独立，那么该部件的使用寿命超过1000小时的概率为 。

16. 数列}{na满足12)1(1naannn，则}{na的前60项和为 。

三、解答题:（解答题应写出文字说明，证明过程或演算步骤。）

17。 （本小题12分）已知a，b，c分别为△ABC三个内角A，B，C的对边，0sin3coscbCaCa.

（Ⅰ）求A；

（Ⅱ）若a=2，△ABC的面积为3，求b，c。

18. （本小题12分）某花店每天以每枝5元的价格从农场购进若干枝玫瑰花，然后以每枝10元的价格出售,如果当天卖不完，剩下的玫瑰花做垃圾处理.

（Ⅰ）若花店某天购进16枝玫瑰花,求当天的利润y（单位：元）关于当天需求量n(单位：枝，n∈N）的函数解析式;

(Ⅱ)花店记录了100天玫瑰花的日需求量（单位：枝)，整理得下表：

日需求量n 14 15 16 17 18 19 20

频 数 10 20 16 16 15 13

10

以100天记录的各需求量的频率作为各需求量发生的概率。

（i）若花店一天购进16枝玫瑰花,X表示当天的利润（单位：元），求X的分布列、数学期望及方差;

（ii）若花店计划一天购进16枝或17枝玫瑰花，你认为应购进16枝还是17枝？请说明理由.

19. （本小题12分）如图,直三棱柱ABC-A1B1C1中，121AABCAC，D是棱AA1的中点，DC1⊥BD.

（Ⅰ）证明：DC1⊥BC；

（Ⅱ）求二面角A1—BD-C1的大小.

20. （本小题满分12分）设抛物线:Cpyx22)0(p的焦点为F，准线为l，A为C上的一点，已知以F为圆心,FA为半径的圆F交l于B,D两点.

（Ⅰ）若∠BFD=90º，△ABD面积为24，求p的值及圆F的方程；

（Ⅱ）若A、B、F三点在同一直线m上，直线n与m平行，且n与C只有一个公共点,求坐标原点到m，n的距离的比值. 元件1

元件2

元件3

C B

A D C1

A1 B1 2012年高考数学试题（理） 第4页【共10页】 21. （本小题12分）已知函数121()(1)(0)2xfxfefxx.

（Ⅰ）求)(xf的解析式及单调区间;

（Ⅱ）若baxxxf221)(，求ba)1(的最大值.

请考生在第22、23、24题中任选择一题作答，如果多做,则按所做的第一题评分，做答时请用2B铅笔在答题卡上将所选题目对应的题号方框涂黑.

22. （本小题10分）【选修4-1：几何证明选讲】

如图，D，E分别为△ABC边AB，AC的中点，直线DE交于△ABC的外接圆于F,G两点，若CF // AB，证明：

（Ⅰ）CD = BC；

（Ⅱ）△BCD∽△GBD。

23。 （本小题10分)【选修4-4:坐标系与参数方程】

已知曲线C1的参数方程是2cos3sinxy(为参数)，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程是ρ = 2。 正方形ABCD的顶点都在C2上，且A,B，C，D依逆时针次序排列,点A的极坐标为)3,2(.

（Ⅰ）点A,B,C,D的直角坐标；

（Ⅱ)设P为C1上任意一点,求|PA|2 + ｜PB|2 + ｜PC|2 + ｜PD|2的取值范围。

24. (本小题10分）【选修4—5：不等式选讲】

已知函数f (x） = ｜x + a| + ｜x-2｜。

（Ⅰ）当a =-3时，求不等式f （x) ≥ 3的解集；

（Ⅱ）若f (x） ≤ | x—4 ｜的解集包含［1， 2]，求a的取值范围.

FGDEABC2012年高考数学试题（理） 第5页【共10页】 2012年普通高等学校招生全国统一考试（新课标Ⅱ卷）

理 科 数 学【参考答案】

一、选择题：

1．【答案：D】

解析：要在1，2，3，4，5中选出两个，大的是x，小的是y,共2510C种选法。

2．【答案：A】

解析：只需选定安排到甲地的1名教师2名学生即可，共有1224CC种安排方案。

3．【答案:C】

解析:经计算2221,||2(1)21zizziii =，，复数z的共轭复数为1i，z的虚部为1,综上可知P2,P4正确.

4．【答案：C】

解析：由题意可得，21FPF△是底角为30º的等腰三角形可得212PFFF，即32()22acc， 所以34cea.

5．【答案：D】

解析：472∵aa，56478aaaa，4742aa，或4724aa，，14710∵，，，aaaa成等比数列,1107aa.

6．【答案：C】

解析：由程序框图判断x>A得A应为a1，a2，…，aN中最大的数，由x〈B得B应为a1，a2，…，aN中最小的数。

7．【答案：B】

解析:由三视图可知，此几何体为底面是斜边为6的等腰直角三角形（俯视图）,高为3的三棱锥，故其体积为1132323932V.

8．【答案：C】

解析:抛物线的准线方程是x=4，所以点A(4,23)在222xya上，将点A代入得24a，所以实轴长为24a.

9．【答案：A】

解析：由322,22442kkkZ得，1542,24kkkZ，15024∵，∴。

10．【答案：B】 2012年高考数学试题（理） 第6页【共10页】 解析:易知ln(1)0yxx对(1,0)(0,)x恒成立，当且仅当0x时,取等号，故的值域是（—∞, 0)。 所以其图像为B.

11．【答案：A】

解析：易知点S到平面ABC的距离是点O到平面ABC的距离的2倍.显然O-ABC是棱长为1的正四面体，其高为63，故136234312OABCV，226SABCOABCVV。

12．【答案：B】

解析：因为12xye与ln(2)yx互为反函数，所以曲线12xye与曲线ln(2)yx关于直线y=x对称，故要求｜PQ｜的最小值转化为求与直线y=x平行且与曲线相切的直线间的距离，设切点为A,则A点到直线y=x距离的最小值的2倍就是|PQ|的最小值。

则11()122xxyee，2xe，即ln2x，故切点A的坐标为(ln2,1)，因此，切点A点到直线y=x距离为|ln21|1ln222d，所以||22(1ln2)PQd.

二、填空题:

13．【答案：32】

解析：由已知得222222|2|(2)444||4||||cos45||ababaabbaabb

2422||||10bb，解得||32b。

14．【答案：[3,3]】

解析：画出可行域，易知当直线2Zxy经过点(1,2)时，Z取最小值—3；当直线2Zxy经过点(3,0)时，Z取最大值3. 故2Zxy的取值范围为[3,3].

15．【答案：38】

解析:由已知可得，三个电子元件使用寿命超过1000小时的概率均为12，所以该部件的使用寿命超过1000小时的概率为2113[1(1)]228。