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二次根式复习复习目标：1.了解二次根式的定义，掌握二次根式有意义的条件和性质。
2.会根据公式2)(a=a(a≥0)∣a∣进行计算。
3.熟练进行二次根式的乘除法运算。
4.了解最简二次根式的定义，能运用相关性质化简二次根式。
复习重点：二次根式有意义的条件和性质，二次根式的计算和化简。
复习难点：正确依据二次根式相关性质计算和化简。
复习过程：一．知识结构：三个概念：二次根式最简二次根式同类二次根式三个性质：二次根式的双重非负性2(a=a(a≥∣a∣)四种运算：加.减.乘.除二．复习过程1.二次根式的概念（１）．二次根式的定义：形如a(a≥0)的式子叫做二次根式２．二次根式的识别：（１）．被开方数a ≥0 （２）．根指数是２例．下列各式中哪些是二次根式？哪些不是？为什么？①②③④⑤⑥⑦⑧３．二次根式的性质（1）.双重非负性：a ≥0(a ≥0) （2）．2)(a =a (a ≥0)（3）∣a ∣题型1:确定二次根式中被开方数所含字母的取值范围 （1）.当X_____时，x -3有意义。
（2）.求下列二次根式中字母的取值范围x 315x --+ 说明：二次根式被开方数不小于0，所以求二次根式中字母的取值范围常转化为不等式（组） 题型2．求下列各式的值（１）2（３）2（４）4.二次根式的乘除 （1）.二次根式的乘法法则)0,0(≥≥=⋅b a ab b a例1.化简8116)1(⨯ 2000)2( 例2.计算 721)1(⋅ 15253)2(⋅)521(154)3(-⋅-xyx 11010)4(-⋅（2）.二次根式的除法法则)0,0(>≥=b a b aba例3、计算4540)1(245653)2(n m n m ÷5.最简二次根式的两个条件： （1）被开方数不含分母；（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式；抢答:判断下列二次根式是否是最简二次根式,并说明理由。
621)6())(()5(75.0)4()3()2(50)1(2222b a b a y x bc a -++6.化简二次根式的方法：（1）如果被开方数是整数或整式时，先因数分解或因式分解,然后利用积的算术平方根的性质,将式子化简。
二次根式学案
二次根式复习课（1）
课型: 上课时间：课时：
学习目标：
1．使学生进一步理解二次根式的意义及基本性质，并能熟练地化简含二次根式的式子；
2．熟练地进行二次根式的加、减、乘、除混合运算．学习重点和难点
重点：含二次根式的式子的混合运算．
难点：综合运用二次根式的性质及运算法则化简和
计算含二次根式的式子．
学习过程
一、自主学习
（一）复习
1．二次根式有哪些基本性质？用式子表示出来，并说明各式成立的条件．
（1）（2）（3）
2．二次根式的乘法及除法的法则是什么？用式子表示出来．
乘法法则： . 除法法则：
反过来:．在二次根式的化简或计算中，还常用到以
下两个二次根式的关系式：
4．在含有二次根式的式子的化简及求值等问题中，常运用三个可逆的式子：
二、复习练习课本知识
重点题目：习题21.1、 1、2、习题21.2、 1、2、3、6、7、10.
习题21.3、 1、3、4、5、复习题：1、2、3、5、6、9、。
学校班级姓名【若缺失公式、图片现象属于系统读取不成功，文档内容齐全完整，请放心下载。
】 第5课时 二次根式 姓名 班级 学习目标： 1.掌握二次根式有意义的条件，理解同类二次根式、最简二次根式的概念。
2.掌握二次根式的主要性质，会灵活进行二次根式的化简和运算。
学习重难点：二次根式的概念及化简运算学习方法：学习过程： 【复习指导】1. 一般地，式子 叫做二次根式.特别地，被开方数不小于 .2. 二次根式的性质：⑴a (a )； ⑵()2a ＝ (a )；⑶2a ＝__ ___. 3. 二次根式乘法法则：⑴a b ＝ (00a b ≥≥，)；⑵ab ＝ (00a b ≥≥，).4. 二次根式除法法则：⑴a b＝ (00a b ≥>，)； ⑵a b ＝ (00a b ≥>，. 5. 化简二次根式实际上就是使二次根式满足：⑴ ；⑵ ；⑶ .6. 经过化简后， 的二次根式，称为同类二次根式.7. 一般地，二次根式相加减，先化简每个二次根式，然后 .8. 实数中的运算律、乘法公式同样适用于二次根式的混合运算二、精典题例例1 如果代数式1x x -有意义，那么x 的取值范围是（ ） A ．0x ≥B ．1x ≠C ．0x ＞D ．01x x ≥≠且 例2 设n 为正整数，且651n n +＜＜，则n 的值为（ ）A ． 5B ． 6C ． 7D ． 8例3 计算：()()2033327323π+++-－－例4 已知：12x =-，12y =+，求2222x y xy x y +--+的值．例5（自我评估12）小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如：()232212+=+，善于思考的小明进行了以下探索：设()222a b m n +=+（其中a b m n 、、、均为整数），则22222a b m mn n +=++， ∴2222a m n b mn =+=，，这样小明就找到了一种把部分2a b +的式子化为平方式的方法。
二次根式的概念与基本性质年 月 日学习目标：1、知道二次根式的概念及其非负性，会求二次根式有意义的条件；2、知道两个基本性质，即 ，并利用这两个性质解决简单的二次根式相关问题；3、会估计实数（无理数）的大小，并会利用基本性质比较根式大小。
【自主学习】1、一般地，形如_______________________的式子，叫做二次根式，其中_________叫做二次根号，_________叫做被开方数．说说你对二次根式概念的理解：2、请举出两个二次根式，且根号内为只含有x 的多项式，并写出你所举出二次根式的x 的取值范围。
3、填写出下列问题的答案：（1）要使根式3-x 有意义，则字母x 的取值范围是____________．（2）当x ______________时，式子121-x 有意义． （3）若14+a 有意义，则a 能取得的最小整数值是______________．4、将学习目标中的二次根式的基本性质补充完整，并利用这两个性质计算下列各题：（1）36的平方根是 ；（2）化简2)2(-的结果是 ；（3）下列式子中，不成立的是( ) (A)6)6(2= (B)6)6(2=-- (C)6)6(2=- (D)6)6(2-=--说说你自主学习之后的收获：【典型例题】例1：下列各式一定是二次根式的是（ ）（A ）3-．（B ）3m ．（C ）21a +（D ）35．例2：要使下列式子有意义，字母x 的取值必须满足什么条件?(1)x 21-； (2)x +21； (3)232+x ； (4)x x 2)1(-； ※(5)222++x x .解决此类问题的经验：例3：计算下列各式：（1）()213= ；（2）257⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭= ；（3）()225a += ． （4）23=______；（5）20.01=______；（6）=-2)53(______；20=_____. 例4：已知1224y x x =-+-+，求x y 的值； 例5：下面四个数中与11最接近的数是（ ）A ．2B ．3C ．4D ．5例6：某公共场所准备改善原有楼梯的安全性能，把倾角由45o 减至30o （楼梯的高度不变）．已知原楼梯的长为4m ，那么调整后的楼梯会增加多长？楼梯多占了多长一段地面？（结果可用根号表示）经历上述问题后你的感悟有哪些：【同步训练】一、填选题：1．使式子23+x 有意义的实数x 的取值范围是( ) (A)x ≥0 (B)32->x (C)23-≥x (D)32-≥x 2． x 为实数，下列式子一定有意义的是( )(A)21x (B)x x +2 (C)112-x (D)12+x3．若x x -+有意义，则=+1x ______．4．使等式032=-⋅+x x 成立的x 的值为______．5．已知05|3|=-++y x ，则yx 2的值为______． 6．一只蚂蚁沿图1中所示的折线由A 点爬到了C 点，则蚂蚁一共爬行了______cm ．(图中小方格边长代表1cm)※7．有一个长、宽、高分别为5cm 、4cm 、3cm 的木箱，在它里面放入一根细木条(木条的粗细、形变忽略不计)，要求木条不能露出木箱，请你算一算，能放入的细木条的最大长度是( )(A)cm 41 (B)cm 34 (C)cm 25 (D)cm 35※8．如图2，点E 、F 、G 、H 、I 、J 、K 、N 分别是正方形各边的三等分点，要使中间阴影部分的面积是5，那么大正方形的边长应是( )(A)525 (B)53 (C)25 (D)54 9．下列式子中，不成立的是( )(A)6)6(2= (B)6)6(2=-- (C)6)6(2=- (D)6)6(2-=-- 10．代数式)0(2=/a a a 的值是( )(A)1 (B)－1 (C)±1 (D)1(a ＞0时)或－1(a ＜0时)11．若a a -=2，则数a 在数轴上对应的点的位置应是( )(A)原点(B)原点及原点右侧 (C)原点及原点左侧 (D)任意点12．不用计算器，估计13的大致范围是( )(A)1＜13＜2 (B)2＜13＜3 (C)3＜13＜4 (D)4＜13＜513．某同学编出了一个关于实数运算的程序：输入一个数值后，屏幕输出的结果总比该数的平方小1，若某同学输入7后，把屏幕输出的结果再次输入，则最后屏幕输出的结果是( )(A)6(B)8 (C)35 (D)37二、解答题：14．计算： (1);)12(|3|)2(02---+- (2)⋅-+-|21|2)3(0215．化简： (1));1()2()1(22>++-x x x (2).||2)(2x y y x ---16．已知实数x ，y 满足04|5|=++-y x ，求代数式(x ＋y )2011的值．17．已知x x y y x =-+-+7135，求2)3(|1|-+-y x 的值．※18．在实数范围内分解因式（1）36x x -； （2）2232a b -； （3）2232x x -+．※19．一物体从高处自由落下，落到地面所用的时间t (单位：秒)与开始落下时的高度h (单位：米)有下面的关系式：⋅=5h t (结果保留根号) (1)已知h ＝125米，求落下所用的时间t = ；(2)一人手持一物体从五楼让它自由落到地面，需多少时间?(每层楼高约3.5米，手拿物体高为1.5米；(3)如果一物体落地的时间为3.6秒，求物体开始下落时的高度．。
二次根式教案（实用7篇）二次根式教案第1篇一、教学目标1．理解分母有理化与除法的关系．2．掌握二次根式的分母有理化．3．通过二次根式的分母有理化，培养学生的运算能力．4．通过学习分母有理化与除法的关系，向学生渗透转化的数学思想二、教学设计小结、归纳、提高三、重点、难点解决办法1．教学重点：分母有理化．2．教学难点：分母有理化的技巧．四、课时安排1课时五、教具学具准备投影仪、胶片、多媒体六、师生互动活动设计复习小结，归纳整理，应用提高，以学生活动为主七、教学过程【复习提问】二次根式混合运算的步骤、运算顺序、互为有理化因式．例1 说出下列算式的运算步骤和顺序：（1）（先乘除，后加减）．（2）（有括号，先去括号；不宜先进行括号内的运算）．（3）辨别有理化因式：有理化因式：与，与，与…不是有理化因式：与，与…化简一个式子，如果分母是二次根式，采用分子、分母同乘以分母的有理化因式的方法（依据分式的基本性质）．例如：等式子的化简，如果分母是两个二次根式的和，应该怎样化简？引入新课题．【引入新课】化简式子，乘以什么样的式子，分母中的根式符号可去掉，结论是分子与分母要同乘以的有理化因式，而这个式子就是，从而可将式子化简．例2 把下列各式的分母有理化：（1）；（2）；（3）解：略．注：通过例题的讲解，使学生理解和掌握化简的步骤、关键问题、化简的依据．式子的化简，若分子与分母可分解因式，则可先分解因式，再约分，使化简变得简单．二次根式教案第2篇1.教学目标(1)经历二次根式的乘法法则和积的算术平方根的性质的形成过程;会进行简单的二次根式的乘法运算;(2)会用公式化简二次根式.2.目标解析(1)学生能通过计算发现规律并对其进行一般化的推广，得出乘法法则的内容;(2)学生能利用二次根式的乘法法则和积的算术平方根的性质，化简二次根式.教学问题诊断分析本节课的学习中，学生在得出乘法法则和积的算术平方根的性质后，对于何时该选用何公式简化运算感到困难.运算习惯的养成与符号意识的养成、运算能力的形成紧密相关，由于该内容与以前学过的实数内容有较多的联系，例如，整式中的乘法公式在二次根式的运算中也成立，在教学中，要多从联系性上下力气.，培养学生良好的运算习惯.在教学时，通过实例运算，对于将一个二次根式化为最简二次根式，一般有两种情况：(1)如果被开方数是分数或分式(包括小数)，可以采用直接利用分式的性质，结合二次根式的性质进行化简(例见教科书例6解法1)，也可以先写成算术平方根的商的形式，再利用分式的性质处理分母的根号(例见教科书例6解法2);(2)如果被开方数不含分母，可以先将它分解因数或分解因式，然后吧开得尽方的因数或因式开出来，从而将式子化简.本节课的教学难点为：二次根式的性质及乘法法则的正确应用和二次根式的化简.教学过程设计1.复习引入，探究新知我们前面已经学习了二次根式的概念和性质，本节课开始我们要学习二次根式的乘除.本节课先学习二次根式的乘法.问题1 什么叫二次根式?二次根式有哪些性质?师生活动学生回答。
《二次根式》教学教案《二次根式》教学教案（精选6篇）《二次根式》教学教案篇1一、内容和内容解析1、内容二次根式的概念。
2、内容解析本节课是在学生学习了平方根、算术平方根、立方根的概念，会用根号表示数的平方根、立方根，知道开方与乘方互为逆运算的基础上，来学习二次根式的概念。
它不仅是对前面所学知识的综合应用，也为后面学习二次根式的性质和四则运算打基础。
教材先设置了三个实际问题，这些问题的结果都可以表示成二次根式的形式，它们都表示一些正数的算术平方根，由此引出二次根式的定义。
再通过例1讨论了二次根式中被开方数字母的取值范围的问题，加深学生对二次根式的定义的理解。
本节课的教学重点是：了解二次根式的概念；二、目标和目标解析1、教学目标（1）体会研究二次根式是实际的需要。
（2）了解二次根式的概念。
2、教学目标解析（1）学生能用二次根式表示实际问题中的数量和数量关系，体会研究二次根式的必要性。
（2）学生能根据算术平方根的意义了解二次根式的概念，知道被开方数必须是非负数的理由，知道二次根式本身是一个非负数，会求二次根式中被开方数字母的取值范围。
三、教学问题诊断分析对于二次根式的定义，应侧重让学生理解“ 的双重非负性，”即被开方数≥0是非负数，的算术平方根≥0也是非负数。
教学时注意引导学生回忆在实数一章所学习的有关平方根的意义和特征，帮助学生理解这一要求，从而让学生得出二次根式成立的条件，并运用被开方数是非负数这一条件进行二次根式有意义的判断。
本节课的教学难点为：理解二次根式的双重非负性。
四、教学过程设计1、创设情境，提出问题问题1你能用带有根号的的式子填空吗？（1）面积为3 的正方形的边长为_______，面积为S 的正方形的边长为_______。
（2）一个长方形围栏，长是宽的2 倍，面积为130?，则它的宽为______。
（3）一个物体从高处自由落下，落到地面所用的时间t（单位：s）与开始落下的高度h（单位：）满足关系 h =5t?，如果用含有h 的式子表示 t ，则t= _____。
2023年二次根式教案2023年二次根式教案篇1【学习目标】1、知识与技能：了解二次根式的概念，能求根号内字母范围，理解二次根式的双重非负性，并能应用它解决相关问题。
2、过程与方法：进一步体会分类讨论的数学思想。
3、情感、态度与价值观：通过小组合作学习，体验在合作探索中学习数学的乐趣。
【学习重难点】1、重点：准确理解二次根式的概念，并能进行简单的计算。
2、难点：准确理解二次根式的双重非负性。
【学习内容】课本第2— 3页【学习流程】一、课前准备(预习学案见附件1)学生在家中认真阅读理解课本中相关内容的知识，并根据自己的理解完成预习学案。
二、课堂教学(一)合作学习阶段。
教师出示课堂教学目标及引导材料，各学习小组结合本节课学习目标，根据课堂引导材料中得内容，以小组合作的形式，组内交流、总结，并记录合作学习中碰到的问题。
组内各成员根据课堂引导材料的要求在小组合作的前提下认真完成课堂引导材料。
教师在巡视中观察各小组合作学习的情况，并进行及时的引导、点拨，对普遍存在的问题做好记录。
(二)集体讲授阶段。
(15分钟左右)1. 各小组推选代表依次对课堂引导材料中的问题进行解答，不足的本组成员可以补充。
2. 教师对合作学习中存在的普遍的不能解决的问题进行集体讲解。
3. 各小组提出本组学习中存在的困惑，并请其他小组帮助解答，解答不了的由教师进行解答。
(三)当堂检测阶段为了及时了解本节课学生的学习效果，及对本节课进行及时的巩固，对学生进行当堂检测，测试完试卷上交。
(注：合作学习阶段与集体讲授阶段可以根据授课内容进行适当调整次序或交叉进行)三、课后作业(课后作业见附件2)教师发放根据本节课所学内容制定的针对性作业，以帮助学生进一步巩固提高课堂所学。
四、板书设计课题：二次根式(1)二次根式概念例题例题二次根式性质反思：2023年二次根式教案篇2第十六章二次根式代数式用运算符号把数和表示数的字母连接起来的式子叫代数式①式子中不能出现“=,≠,≥,≤,<,>”;②单个的数字或单个的字母也是代数式5.5(解析:这类题保证被开方数是最小的完全平方数即可得出结论.20=22×5,所以正整数的最小值为5.)6.(1)(x+)(x-) (2)n(n+)2(n-)2(解析:关键是逆用()2=a(a≥0)将3变成()2.(1)x2-3=(x+)(x-).(2)n5-6n3+9n=n(n4-6n2+9)=n(n2-3)2=n(n+)2(n-)2.)7.解:(1) . (2)宽:3 ;长:5 .8.解:(1) =. (2)(3)2=32×()2=18. (3)=(-2)2×=. (4)-=-=-3π. (5) = =.9.解:原式=-=-.∵x=6,∴x+1>0,x-8<0.∴原式=x+1-=x+1+x-8=2x-7=12-7=5.10.解析:在利用=|a|=化简二次根式时,当根号内的因式移到根号外面时,一定要注意原来根号里面的符号,这也是化简时最容易出错的地方.解:乙的解答是错误的.因为当a=时,=5,a-<0,所以≠a-,而应是 =-a.本节课通过“观察——归纳——运用”的模式,让学生对知识的形成与掌握变得简单起来,将一个一个知识点落实到位,适当增加了拓展性的练习,层层递进,使不同的学生得到了不同的发展和提高.在探究二次根式的性质时,通过“提问——追问——讨论”的形式展开,保证了活动有一定的针对性,但是学生发挥主体作用不够.在探究完成二次根式的性质1后,总结学习方法,再放手让学生自主探究二次根式的性质2.既可以提高学习效率,又可以培养学生自学能力.练习(教材第4页)1.解:(1)()2=3. (2)(3)2=32×()2=9×2=18.2.解:(1)=0.3. (2) =. (3)-=-π. (4)=10-1=.习题16.1(教材第5页)1.解:(1)欲使有意义,则必有a+2≥0,∴a≥-2,∴当a≥-2时,有意义. (2)欲使有意义,则必有3-a≥0,∴a≤3,∴当a≤3时,有意义. (3)欲使有意义,则必有5a≥0,∴a≥0,∴当a≥0时,有意义. (4)欲使有意义,则必有2a+1≥0,∴a≥-,∴当a≥-时,有意义.2.解:(1)()2=5. (2)(-)2=()2=0.2. (3)=. (4)(5)2=52×()2=25×5=125.(5)==10. (6)=72×=49×=14. (7) =. (8)- =- =-.3.解:(1)设圆的半径为R,由圆的面积公式得S=πR2,所以R2=,所以R=± .因为圆的半径不能是负数,所以R=-不符合题意,舍去,故R= ,即面积为S的圆的半径为 . (2)设较短的边长为2x,则它的邻边长为3x.由长方形的面积公式得2x3x=S,所以x=±,因为x=-不符合题意,舍去,所以x=,所以2x=2=,3x=3=,即这个长方形的相邻两边的长分别为和.4.解:(1)32. (2)()2. (3)()2. (4)0.52. (5). (6)02.5.解:由题意可知πr2=π22+π32,∴r2=13,∴r=±.∵r=-不符合题意,舍去,∴r=,即r的值是.6.解:设AB=x,则AB边上的高为4x,由题意,得x4x=12,则x2=6,∴x=±.∵x=-不符合题意,舍去,∴x=.故AB的长为.7.解:(1)∵x2+1>0恒成立,∴无论x取任何实数,都有意义. (2)∵(x-1)2≥0恒成立,∴无论x取任何实数,都有意义. (3)∵即x>0,∴当x>0时, 在实数范围内有意义. (4)∵即x>-1,∴当x>-1时,在实数范围内有意义.8.解:设h=t2, 则由题意,得20=×22,解得=5,∴h=5t2,∴t= (负值已舍去).当h=10时,t= =,当h=25时,t= =.故当h=10和h=25时,小球落地所用的时间分别为 s和 s.9.解:(1)由题意知18-n≥0且为整数,则n≤18,n为自然数且为整数,∴符合条件的n的所有可能的值为2,9,14,17,18. (2)∵24n≥0且是整数,n为正整数,∴符合条件的n的最小值是6.10.解:V=πr2×10,r= (负值已舍去),当V=5π时, r= =,当V=10π时,r= =1,当V=20π时,r= =.如图所示,根据实数a,b在数轴上的`位置,化简:+.〔解析〕根据数轴可得出a+b与a-b的正负情况,从而可将二次根式化简.解:由数轴可得:a+b<0,a-b>0,∴+=|a-b|+|a+b|=a-b-(a+b)=-2b.[解题策略] 结合数轴得出字母的取值范围,再化简二次根式,此题体现了数形结合的思想.已知a,b,c为三角形的三条边,则+= .〔解析〕根据三角形三边的关系,先判断a+b-c与b-a-c的符号,再去根号、绝对值符号并化简.因为a,b,c为三角形的三条边,所以a+b-c>0,b-a-c<0,所以原式=(a+b-c)+[-(b-a-c)]=a+b-c-b+a+c=2a.故填2a.[解题策略] 此类化简问题要特别注意符号问题.化简:.〔解析〕题中并没有明确字母x的取值范围,需要分x≥3和x<3两种情况考虑.解:当x≥3时,=|x-3|=x-3;当x<3时,=|x-3|=-(x-3)=3-x.[解题策略] 化简时,先将它化成|a|,再根据绝对值的意义分情况进行讨论.5OM2023年二次根式教案篇3教学设计思想新教材打破了旧教材从定义出发，由理论到理论，按部就班的旧格局，创造出从实践到理论再回到实践，由浅入深，符合认知结构的新模式。
XX年中考数学一轮复习二次根式讲学案XX年中考数学一轮复习第4讲《二次根式》【考点解析】二次根式的意义及性质【例题】若式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是x≥1 ．【考点】二次根式有意义的条件．【分析】先根据二次根式有意义的条件列出关于x的不等式，求出x的取值范围即可．【解答】解：∵式子在实数范围内有意义，∴x﹣1≥0，解得x≥1．故答案为：x≥1．【变式】要使二次根式在实数范围内有意义，则x的取值范围是A．x=B．x≠c．x≥D．x≤【答案】c.【解析】由题意得：5x﹣3≥0，解得：x≥，故选c．若x、y满足，则的值等于A.B.c.D.【答案】B.【解析】∵，∴.∴.故选B.最简二次根式与同类二次根式【例题】下列计算正确的是A．=2B．=c．=xD．=x【分析】直接利用二次根式的性质分别化简求出答案．【解答】A、=2，正确；B、=，故此选项错误；c、=﹣x，故此选项错误；D、=|x|，故此选项错误；故选：A．【点评】此题主要考查了二次根式的化简，正确掌握二次根式的性质是解题关键．【变式】下列各式与是同类二次根式的是A．B．c．D．【答案】D．【解析】A、=2，故不与是同类二次根式，故错误；B、=2，故不与是同类二次根式，故错误；c、=5，故不与是同类二次根式，故错误；D、=2，故，与是同类二次根式，故正确；故选D．二次根式的运算例.(XX•黑龙江哈尔滨）计算＝【答案】【分析】原式先化为同类二次根式,然后再合并即可.【解析】原式=2－3×=2－=.【点评】本题考查了二次根式的加减法，正确把握运算法则是解题的关键。
【变式】化简：。
【答案】2.【解析】原式==4-2=2【典例解析】【例题1】要使式子有意义，则x的取值范围是A．x＞1B．x＞﹣1c．x≥1D．x≥﹣1【考点】二次根式有意义的条件．【分析】直接利用二次根式有意义的条件进而得出x﹣1≥0，求出答案．【解答】解：要使式子有意义，故x﹣1≥0，解得：x≥1．则x的取值范围是：x≥1．故选：c．【例题2】实数a，b在数轴上对应点的位置如图所示，化简|a|+的结果是A．﹣2a+bB．2a﹣bc．﹣bD．b【考点】二次根式的性质与化简；实数与数轴．【分析】直接利用数轴上a，b的位置，进而得出a＜0，a﹣b＜0，再利用绝对值以及二次根式的性质化简得出答案．【解答】解：如图所示：a＜0，a﹣b＜0，则|a|+=﹣a﹣=﹣2a+b．故选：A．【例题3】计算：6﹣2= ﹣4 ．【考点】二次根式的混合运算．【分析】首先化简二次根式，进而利用完全平方公式计算，求出答案．【解答】解：原式=6×﹣=2﹣4﹣2=﹣4．故答案为：﹣4．【中考热点】在函数中，自变量x的取值范围是x≤1且x≠﹣2 ．【分析】根据二次根式的性质和分式的意义，被开方数大于等于0，分母不等于0，就可以求解．【解答】解：根据二次根式有意义，分式有意义得：1﹣x≥0且x+2≠0，解得：x≤1且x≠﹣2．故答案为：x≤1且x≠﹣2．【点评】本题考查的知识点为：分式有意义，分母不为0；二次根式的被开方数是非负数．先化简下式，再求值：+，其中x=+1．【分析】二次根式的化简求值；整式的加减．根据去括号、合并同类项，可化简代数式，根据代数式的求值，可得答案．【解答】原式=x2﹣2x﹣4=2﹣5，把x=+1代入原式，=2﹣5=﹣3．【点评】本题考查了二次根式的化简求值，先去括号、合并同类项，再求值．已知任意三角形的三边长，如何求三角形面积？古希腊的几何学家海伦解决了这个问题，在他的著作《度量论》一书中给出了计算公式﹣﹣海伦公式，并给出了证明例如：在△ABc中，a=3，b=4，c=5，那么它的面积可以这样计算：∵a=3，b=4，c=5∴p==6∴S===6事实上，对于已知三角形的三边长求三角形面积的问题，还可用我国南宋时期数学家秦九韶提出的秦九韶公式等方法解决．如图，在△ABc中，Bc=5，Ac=6，AB=9用海伦公式求△ABc的面积；求△ABc的内切圆半径r．【考点】三角形的内切圆与内心；二次根式的应用．【分析】先根据Bc、Ac、AB的长求出P，再代入到公式S=即可求得S的值；根据公式S=r，代入可得关于r的方程，解方程得r的值．【解答】解：∵Bc=5，Ac=6，AB=9，∴p===10，∴S===10；故△ABc的面积10；∵S=r，∴10=r，解得：r=，故△ABc的内切圆半径r=．。
第4讲二次根式一、知识梳理二次根式概念1．形如________的式子叫做二次根式．2．二次根式有意义的条件 要使二次根式a 有意义，则a 0.3、最简二次根式、同类二次根式概念我们把满足被开方数不含分母，被开方数中不含能开得尽方的______或______的二次根式，叫做最简二次根式．同类二次根式的概念几个二次根式化成________________以后，如果被开方数相同，那么这几个二次根式就叫做同类二次根式．二次根式的性质1．(a)2＝a(______)．2．a2＝|a|＝⎩⎪⎨⎪⎧ ，3．ab ＝______(a≥0，b≥0)．4．a b＝______(a≥0，b ＞0)． 二次根式的运算1．二次根式的加减法合并同类二次根式：在二次根式的加减运算中，把几个二次根式化为最简二次根式后，若有同类二次根式，可把同类二次根式合并成一个二次根式．2．二次根式的乘除法 (1)二次根式的乘法：a ·b ＝____(a≥0，b≥0)．(2)二次根式的除法：ab ＝____(a≥0，b ＞0)．3、把分母中的根号化去掉(1)1a ＝ (2)1a ＋b ＝ 二、题型、技巧归纳考点1 二次根式概念例1 有意义的x 的取值范围是_____技巧归纳：此类有意义的条件问题主要是根据：①二次根式的被开方数大于或等于零；②分式的分母不为零等列不等式组，转化为求不等式组的解集．考点2 二次根式的性质例2 已知实数x ，y 满||x －4＋y －8＝，则以x ，y 的值为两边长的等腰三角形的周长是( )A. 20或16 B ．20C ．16D ．以上答案均不对技巧归纳：1.的非负性的意义；2. 例3、 12的负的平方根介于( )A ．－5与－4之间B ．－4与－3之间C ．－3与－2之间D ．－2与－1之间 技巧归纳：比较两个二次根式大小时要注意：(1)负号不能移到根号内；(2)根号外的正因数要平方后才能从根号外移到根号内．例4计算48÷3－12×12＋24技巧归纳：1、二次根式的性质，两个重要公式，积的算术平方根，商的算术平方根；2、二次根式的加减乘除运算．考点3 二次根式的运算例5 先化简，再求值⎝ ⎛⎭⎪⎫1x －1x ＋1·x x2＋2x ＋1()x ＋12－()x －12其中x ＝12技巧归纳：此类分式与二次根式综合计算与化简问题，一般先化简再代入求值；最后的结果要化为分母没有根号的数或者是最简二次根式．例6 50－15＋220－45＋22技巧归纳：按步骤进行，把分母中的根号化去掉，化简，再合并同类二次根式．三、随堂检测1、下列根式中，不是．．最简二次根式的是（ ）A B C D2 ）A 、B -CD 、3、已知a ）A 、 aB 、 a -C 、－ 1D 、 0 4、使代数式43--x x 有意义的x 的取值范围是（ ）A 、x>3B 、x≥3C 、 x>4D 、x≥3且x≠452的值在下列哪两个数之间 ( )A 、1和2B 、2和3C 、3和4D 、4和56、若x y ，为实数，且20x +=，则2009x y ⎛⎫ ⎪⎝⎭的值为（）A 、1B 、1-C 、2D 、2-参考答案例1、 要使有意义，则1－x≥0，所以x≤1.例2、 B例3、 B例4、 48÷3－12×12＋24＝16－6＋24＝4－6＋26＝4＋ 6 例5、 解：原式＝1x ()x ＋1·x ||x ＋14x ＝||x ＋14x ()x ＋1. ① 当x ＋1＞0时，原式＝14x ②当x ＋1＜0时，原式＝－14x. ∵当x ＝12时，x ＋1＞0，∴原式＝12. 例6、 解：原式＝52－55＋45－35＋22 ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫52＋22＋⎝ ⎛⎭⎪⎫45－35－55 ＝1122＋455. 随堂检测1、C2、D3、D4、D5、C6、B。
二次根式复习课教案一、教学背景二次根式属于人教版初中数学九年级上教材中“数与代数”领域，它是在学生学习了平方根、立方根等内容的基础上进行的，是对七年级上册“实数”“代数式”等内容的延伸和补充。
本章的主要内容有二次根式的概念、性质、运算和应用。
二、教学目标1、知识与技能目标（1）理解二次根式的概念，二次根式的性质及运算法则。
（2）熟练运用二次根式的性质及运算法则。
2、过程与方法目标（1）夯实二次根式的性质、运算法则（2）在解决问题的过程中，让学生学会聆听、学会思考，同时发展学生归纳和概括能力。
3、情感、态度与价值观目标培养学生勇于探索的精神，激发学生的学习兴趣和学习积极性。
三、教学重难点重点：二次根式的性质与运算法则难点：利用数形结合的思想解决问题。
四、教学设计（一）创设情境学生利用思维导图对知识点进行系统复习，各组展示。
（二）探究复习1.基础达标：1（y>0）化为最简二次根式结果是（）．A（y>0）B y>0）C y>0）D．以上都不对2（）．A．①和②B．②和③C．①和④D．③和④3. 当x 在实数范围内有意义？4．已知，求x y的值．5，求a 2004+b 2004的值．6.计算（1）（2(231⎛+ ⎝（3）(08，荆门)（4）（08，庆阳）．()5()6⎛÷ ⎝2.能力提升1．_________．2. 已知〉xy 0，化简二次根式_________．3.如果 , 则x 的取值范围是 。
1=-4.n m 、n 的值． （三）拓展思维如图所示的Rt △ABC 中，∠B=90°，点P 从点B 开始沿BA 边以1厘米/•秒的速度向点A 移动；同时，点Q 也从点B 开始沿BC 边以2厘米/秒的速度向点C 移动．问：几秒后△PBQ 的面积为35平方厘米？PQ 的距离是多少厘米？（结果用最简二次根式表示）（四）小结通过这节课的学习，（1）谈谈你的收获；（2）提提你的疑惑。
专题05 二次根式【热考题型】【知识要点】知识点一二次根式相关概念和性质二次根式的概念：一般地，我们把形如（a≥0）的式子叫做二次根式，“”称为二次根号。
【注意】1）二次根式中，被开方数a可以是具体的数或代数式。
2）二次根式中a是一个非负数。
二次根式有意义的条件：当a≧0时，即被开方数大于或等于0，有意义。
考查题型一二次根式有意义的条件题型1．（2022·贵州贵阳·中考真题）若式子√x−3在实数范围内有意义，则x的取值范围是A．x≥3B．x≤3C．x＞3D．x＜3有意义时，x应满足的条件为（）题型1-1．（2022·广东广州·中考真题）代数式√x+1A．x≠−1B．x>−1C．x<−1D．x≤-1题型1-2．（2022·黑龙江绥化·中考真题）若式子√x+1+x−2在实数范围内有意义，则x的取值范围是（）A．x>−1B．x⩾−1C．x⩾−1且x≠0D．x⩽−1且x≠0题型1-3．（2022·四川雅安·中考真题）使√x−2有意义的x的取值范围在数轴上表示为（）A ．B ．C ．D ．题型1-4．（2022·湖北黄石·中考真题）函数y =√x+31x−1的自变量x 的取值范围是（ ）A ．x ≠−3且x ≠1B ．x >−3且x ≠1C ．x >−3D ．x ≥−3且x ≠1题型1-5．（2022·内蒙古内蒙古·中考真题）已知x ，y 是实数，且满足y=√x −2＋√2−x ＋18，则√x ⋅√y 的值是______． 易错点总结：二次根式的性质：1）2）⎪⎩⎪⎨⎧<-=>==），（），（），（00002a a a a a a a ，即任意一个数的平方的算术平方根等于它本身的绝对值。
【扩展】与的区别于联系区别：联系：1）两者都需要进行平方和开方。
2023二次根式教案三篇二次根式教案篇1（779字）一、复习引入学生活动：请同学们完成下列各题:1．计算（1）（2x+y）·zx（2）（2x2y+3xy2）÷xy二、探索新知如果把上面的x、y、z改写成二次根式呢？以上的运算规律是否仍成立呢？•仍成立．整式运算中的x、y、z是一种字母，它的意义十分广泛，可以代表所有一切，•当然也可以代表二次根式，所以，整式中的运算规律也适用于二次根式．例1．计算:（1）（+）×（2）（4-3）÷2分析：刚才已经分析，二次根式仍然满足整式的运算规律，•所以直接可用整式的运算规律．解：（1）（+）×=×+×=+=3+2解：（4-3）÷2=4÷2-3÷2=2-例2．计算（1）（+6）（3-）（2）（+）（-）分析：刚才已经分析，二次根式的多项式乘以多项式运算在乘法公式运算中仍然成立．解：（1）（+6）（3-）=3-（）2+18-6=13-3（2）（+）（-）=（）2-（）2=10-7=3三、巩固练习课本P20练习1、2．四、应用拓展例3．已知=2-，其中a、b是实数，且a+b≠0，化简+，并求值．分析：由于（+）（-）=1，因此对代数式的化简，可先将分母有理化，再通过解含有字母系数的一元一次方程得到x的值，代入化简得结果即可?二次根式教案篇2（1889字）教学目标1．使学生进一步理解二次根式的意义及基本性质，并能熟练地化简含二次根式的式子；2．熟练地进行二次根式的加、减、乘、除混合运算．教学重点和难点重点：含二次根式的式子的混合运算．难点：综合运用二次根式的性质及运算法则化简和计算含二次根式的式子．教学过程设计一、复习1．请同学回忆二次根式有哪些基本性质？用式子表示出来，并说明各式成立的条件．指出：二次根式的这些基本性质都是在一定条件下才成立的，主要应用于化简二次根式．2．二次根式的乘法及除法的法则是什么？用式子表示出来．指出：二次根式的乘、除法则也是在一定条件下成立的'．把两个二次根式相除，计算结果要把分母有理化．3．在二次根式的化简或计算中，还常用到以下两个二次根式的关系式：4．在含有二次根式的式子的化简及求值等问题中，常运用三个可逆的式子：二、例题例1 x取什么值时，下列各式在实数范围内有意义：分析：(1)题是两个二次根式的和，x的取值必须使两个二次根式都有意义；(3)题是两个二次根式的和， x的取值必须使两个二次根式都有意义；(4)题的分子是二次根式，分母是含x的单项式，因此x的取值必须使二次根式有意义，同时使分母的值不等于零．x-2且x0．解因为n2-90， 9-n20，且n-30，所以n2=9且n3，所以例3分析：第一个二次根式的被开方数的分子与分母都可以分解因式．把它们分别分解因式后，再利用二次根式的基本性质把式子化简，化简中应注意利用题中的隐含条件3 -a0和1-a＞0．解因为1-a＞0，3-a0，所以a＜1，|a-2|＝2-a．(a-1)(a-3)=[-(1-a)][-(3-a)]=(1-a)(3-a)0．这些性质化简含二次根式的式子时，要注意上述条件，并要阐述清楚是怎样满足这些条件的．问：上面的代数式中的两个二次根式的被开方数的式子如何化为完全平方式？分析：先把第二个式子化简，再把两个式子进行通分，然后进行计算．注意：所以在化简过程中，例6分析：如果把两个式子通分，或把每一个式子的分母有理化再进行计算，这两种方法的运算量都较大，根据式子的结构特点，分别把两个式子的分母看作一个整体，用换元法把式子变形，就可以使运算变为简捷．a+b＝2(n+2)，ab=(n+2)2-(n2-4)＝4(n+2)，三、课堂练习1．选择题：A．a2B．a2C．a2D．a＜2A ．x+2 B．-x-2C．-x+2D．x-2A．2x B．2aC．-2x D．-2a2．填空题：4．计算：四、小结1．本节课复习的五个基本问题是“二次根式”这一章的主要基础知识，同学们要深刻理解并牢固掌握．2．在一次根式的化简、计算及求值的过程中，应注意利用题中的使二次根式有意义的条件(或题中的隐含条件)，即被开方数为非负数，以确定被开方数中的字母或式子的取值范围．3．运用二次根式的四个基本性质进行二次根式的运算时，一定要注意论述每一个性质中字母的取值范围的条件．4．通过例题的讨论，要学会综合、灵活运用二次根式的意义、基本性质和法则以及有关多项式的因式分解，解答有关含二次根式的式子的化简、计算及求值等问题．五、作业1．x是什么值时，下列各式在实数范围内有意义？2．把下列各式化成最简二次根式：二次根式教案篇3（1225字）目标1．熟练地运用二次根式的性质化简二次根式；2．会运用二次根式解决简单的实际问题；3．进一步体验二次根式及其运算的实际意义和应用价值。
中考数学一轮复习学案05 二次根式考点课标要求考查角度1乘方与开方了解平方根、算术平方根、立方根的概念，会用根号表示数的平方根、算术平方根、立方根．了解乘方与开方互为逆运算．会用平方运算求百以内整数的平方根，会用立方运算求百以内整数（对应的负整数）的立方根，会用计算器求平方根和立方根．常以选择、填空题为主．2二次根式的概念和性质了解二次根式、最简二次根式的概念．考查二次根式的概念和基本性质．能掌握形如：123+，2323+-的化简与运算（分母有理化）．常以选择、填空题、解答题的形式命题．3二次根式的运算了解二次根式（根号下仅限于数）加、减、乘、除运算法则，会用它们进行有关的简单四则运算．考查二次根式的运算．常以选择、填空题、解答题的形式命题．中考命题说明思维导图1. 数的乘方：负数的奇次幕是负数，负数的偶次幂是正数，正数的任何次幂都是正数，0的任何正整数次幂都是0．2. 数的开方：（1）正数有两个平方根，负数没有平方根，0的平方根是0，正数的正的平方根叫做算术平方根．（2）若3b a ，则b 叫做a 的立方根．【例1】（2022•宜宾）4的平方根是（ ） A ．2 B ．－2C ．16D ．±2【考点】平方根【分析】根据平方根的定义即可求出答案． 【解答】解：∵(±2)2＝4，知识点1：数的乘方与开方知识点梳理典型例题∴4的平方根是±2，故选：D．【点评】本题考查平方根的定义，解题的关键是正确理解平方根的定义，本题属于基础题型．【例2】（2022•凉山州=（）A．±2B．－2C．4D．2【考点】算术平方根【分析】根据算术平方根的意义，即可解答．＝2，故选：D．【点评】本题考查了算术平方根，熟练掌握算术平方根的意义是解题的关键．【例3】（3分）（2021•上海9/253=，则x= ．【考点】算术平方根【分析】根据算术平方根的概念：一般地，如果一个正数x的平方等于a，即x2=a，那么这个正数x叫做a=，3∴x+4=9∴x=5．故答案为：5．【例4】（2022•淮安）实数27的立方根是．【考点】立方根【分析】如果一个数x的立方等于a，那么x是a的立方根，根据此定义求解即可．【解答】解：∵3的立方等于27，∴27的立方根等于3．故答案为3．【点评】此题主要考查了求一个数的立方根，解题时先找出所要求的这个数是哪一个数的立方．由开立方和立方是互逆运算，用立方的方法求这个数的立方根．注意一个数的立方根与原数的性质符号相同．【例5】（3分）（2021•包头15/26）一个正数a的两个平方根是2b-1和b+4，则a+ b的立方根为 ． 【考点】平方根；立方根【分析】根据一个正数的两个平方根互为相反数列出方程，求解即可得出b 的值，再求得两个平方根中的一个，然后平方可得a 的值；将a 、b 的值代入计算得出a + b 的值，再求其立方根即可．【解答】解：∵一个正数a 的两个平方根是2b -1和b +4， ∴2b -1+b +4=0， ∴b =-1． ∴b +4=-1+4=3， ∴a =9．∴a +b =9+(-1)=8， ∵8的立方根为2， ∴a +b 的立方根为2． 故答案为：2．【点评】本题主要考查平方根和立方根，解题的关键是熟练掌握平方根和立方根的定义和性质．【例6】若a 满足3a a =，则a 的值为（ ）A. 1B. 0C. 0或1D. 0或1或–1【分析】∵3a a =，∴a 为0或1．故选C ．【答案】C ．1. 二次根式：形如(a ≥0)的式子叫做二次根式．2. 二次根式有意义的条件：被开方数大于或等于 0 ．3. 最简二次根式：必须同时满足以下两个条件： （1）被开方数不含分母；知识点2：二次根式的概念和性质知识点梳理（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式． 如：5，21x +是最简二次根式，而8，12，22a 都不是最简二次根式． 4. 同类二次根式：当二次根式化为最简二次根式后，如果被开方数相同，那么这几个二次根式叫做同类二次根式． 5. 二次根式的性质：（1）(a )2= a (a ≥0) ． （2）2a =|a|=(0)(0).aa aa ⎧⎨-<⎩≥，（3）ab ab =(a ≥ 0，b ≥ 0) ．（4）a ab b=(a ≥ 0，b > 0) ．【例7】（2022•贵阳）代数式3x -在实数范围内有意义，则x 的取值范围是（ ） A ．x ≥3B ．x ＞3C ．x ≤3D ．x ＜3【考点】二次根式有意义的条件【分析】直接利用二次根式的定义得出x －3≥0，进而求出答案． 【解答】解：∵代数式3x -在实数范围内有意义， ∴x －3≥0， 解得：x ≥3，∴x 的取值范围是：x ≥3． 故选：A ．【点评】此题主要考查了二次根式有意义的条件，正确得出x －3的取值范围是解题关键． 【例8】（2022•雅安）使2x -有意义的x 的取值范围在数轴上表示为（ ）A ．B ．典型例题C．D．【考点】二次根式有意义的条件；在数轴上表示不等式的解集【分析】根据二次根式有意义的条件，得出关于x的不等式，解不等式，即可得出答案．∴x－2≥0，∴x≥2，故选：B．【点评】本题考查了二次根式有意义的条件及在数轴上表示不等式的解集，掌握二次根式有意义的条件是被开方数为非负数是解决问题的关键．有意义时，x应满足的条件为（）【例9】（2022•广州【考点】二次根式有意义的条件；分式有意义的条件【分析】直接利用二次根式有意义的条件、分式有意义的条件分析得出答案．有意义时，x＋1＞0，解得：x＞－1．故选：B．【点评】此题主要考查了二次根式有意义的条件以及分式有意义的条件，正确掌握相关定义是解题关键．【例10】（3分）（2020•上海1/25（）A B C D【考点】同类二次根式．【分析】根据同类二次根式的定义，先化简，再判断．【解答】解：AB3=C=D故选：C ．【点评】此题主要考查了同类二次根式的定义：化成最简二次根式后，被开方数相同，这样的二次根式叫做同类二次根式．【例11】（3分）（2021•上海1/25）下列实数中，有理数是（ ） A ．12B ．13C ．14D ．15【考点】实数；二次根式的性质与化简【分析】直接利用二次根式的性质分别化简得出答案． 【解答】解：A 、1222=，不是有理数，不合题意； B 、1333=，不是有理数，不合题意； C 、1142=，是有理数，符合题意； D 、1555=，不是有理数，不合题意； 故选：C ．【点评】此题主要考查了二次根式的性质与化简，正确化简二次根式是解题关键．1. 概念：正数和零叫做非负数．常见的非负数有|a|，a 2，a (a ≥0)．2. 性质：若几个非负数的和等于零，则这几个数都为零． 如：若a 2+|b|+c =0，则a 2=0，|b|=0，c =0，可得a =b =c =0．【例12】（2022•贺州）若实数m ，n 满足|5|240m n m n --++-=，则3m ＋n ＝ ． 【考点】非负数的性质：绝对值；非负数的性质：算术平方根；解二元一次方程组 【分析】根据非负数的性质求出m 和n 的值，再代入3m ＋n 计算可得． 【解答】解：∵|5|240m n m n --++-=， ∴m －n －5＝0，2m ＋n －4＝0，知识点3：非负性 知识点梳理典型例题∴m ＝3，n ＝－2， ∴3m ＋n ＝9－2＝7． 故答案为：7．【点评】本题考查的是非负数的性质，掌握非负数之和等于0时，各项都等于0是解题的关键．【例13】（2022•黔东南州）若2(25)0x y +-=，则x －y 的值是 ． 【考点】非负数的性质：偶次方；非负数的性质：算术平方根【分析】根据非负数的性质可得250240x y x y +-=⎧⎨++=⎩，应用整体思想①－②即可得出答案．【解答】解：根据题意可得， 250240x y x y +-=⎧⎨++=⎩①②， 由①－②得， x －y ＝9． 故答案为：9．【点评】本题主要考查了非负数的性质及解二元一次方程组，熟练掌握非负数的性质及解二元一次方程组的方法进行求解是解决本题的关键．【例14】（3分）（2021•青海3/25）已知a ，b 是等腰三角形的两边长，且a ，b +（2a +3b ﹣13）2＝0，则此等腰三角形的周长为（ ） A ．8B ．6或8C ．7D ．7或8【考点】非负数的性质：偶次方；非负数的性质：算术平方根；解二元一次方程组；三角形三边关系；等腰三角形的性质．【分析】（2a +3b ﹣13）2＝0，并根据非负数的性质列方程组求得a 、b 的值，然后求得等腰三角形的周长即可．（2a +3b ﹣13）2＝0，∴235023130a b a b -+=⎧⎨+-=⎩，解得：23a b =⎧⎨=⎩， 当b 为底时，三角形的三边长为2，2，3，周长为7； 当a 为底时，三角形的三边长为2，3，3，则周长为8， ∴等腰三角形的周长为7或8． 故选：D ．【点评】本题考查了等腰三角形的性质，三角形三边关系定理、二元一次方程方程组，关键是根据2，3分别作为腰，由三边关系定理，分类讨论．1. 加减运算：先将二次根式化为最简二次根式，再将被开方数相同的二次根式进行合并．2. 乘除运算：=ab ab (a ≥0，b ≥0)；=a ab b(a ≥0，b > 0) ． 3. 混合运算：与实数的运算顺序相同．运算结果必须为最简二次根式． 4. 把分母中的根号化去（分母有理化）的方法： （1）1=a aa a a a=； （2）1=()()a b a ba b a b a b a b ++=---+．【例15】（2022•六盘水）计算：1223-= ． 【考点】二次根式的加减法【分析】先化简各个二次根式，再合并同类二次根式．知识点4：二次根式的化简与运算知识点梳理典型例题=．故答案为0．【点评】本题考查二次根式的加减，解题的关键是首先化简各个二次根式，再合并同类二次根式．【例16】（2022•哈尔滨的结果是．【考点】二次根式的加减法；二次根式的性质与化简【分析】先化简各二次根式，再根据混合运算的顺序依次计算可得答案．【解答】解：原式3===故答案为：【点评】此题考查的是二次根式的运算，掌握其运算法则是解决此题的关键．【例17】（2022•山西的结果为．【考点】二次根式的乘除法【分析】按照二次根式的乘法法则计算即可．【解答】解：原式3==．故答案为：3．【点评】本题主要考查了二次根式的乘法运算．二次根式的运算法则：乘法法则=【例18】（2022•青岛）计算的结果是（）A B．1C D．3【考点】二次根式的混合运算【分析】先根据二次根式的乘法进行计算，再根据二次根式的性质进行计算，最后算减法即可．【解答】解：11=⨯-⨯271233=-94＝3－2＝1，故选：B．【点评】本题考了二次根式的混合运算，能正确运用二次根式的运算法则进行计算是解此题的关键．【例19】（2022•天津）计算(191)(191)+-的结果等于．【考点】平方差公式；二次根式的混合运算【分析】根据平方差公式即可求出答案．【解答】解：原式22=-＝19－1＝18，(19)1故答案为：18．【点评】本题考查平方差公式与二次根式的混合运算，解题的关键是熟练运用平方差公式，本题属于基础题型．【例20】（2022•济宁）已知25b=-，求代数式a2b＋ab2的值．a=+，25【考点】二次根式的混合运算；代数式求值【分析】利用因式分解，进行计算即可解答．【解答】解：∵25b=-，a=+，25∴a2b＋ab2＝ab(a＋b)=+-++-(25)(25)(2525)＝(4－5)×4＝－1×4＝－4．【点评】本题考查了二次根式的混合运算，代数式求值，熟练掌握因式分解是解题的关键．知识点5：二次根式的估值一般步骤：1. 一般先对根式进行平方，如2(5)5=；2. 找出与平方后所得数相邻的两个完全平方数，如4<5<9；3. 对以上两个整数开方，如42=，93=；4. 这个根式的值在这两个相邻整数之间，如253＜＜．【例21】（3分）（2021•天津6/25）估计17的值在（ ）A ．2和3之间B ．3和4之间C ．4和5之间D ．5和6之间 【考点】估算无理数的大小．【分析】本题需先根据17的整数部分是多少，即可求出它的范围． 【解答】解：∵17 4.12≈， ∴17的值在4和5之间． 故选：C ．【点评】本题主要考查了估算无理数的大小，在解题时确定无理数的整数部分即可解决问题． 【例22】（2022•安顺）估计1(2552)5+⨯的值应在（ ） A ．4和5之间B ．5和6之间C ．6和7之间D ．7和8之间【考点】估算无理数的大小；二次根式的混合运算【分析】直接利用二次根式的性质结合估算无理数的大小方法得出答案． 【解答】解：原式210=+， ∵3104<<， ∴52106<+<， 故选：B ．【点评】此题主要考查了二次根式的混合运算，估算无理数的大小，正确估算无理数是解题知识点梳理典型例题关键．【例23】（2022•荆州）若32+⋅的-的整数部分为a，小数部分为b，则代数式(22)a b值是．【考点】估算无理数的大小；二次根式的混合运算【分析】根据2的范围，求出32-的范围，从而确定a、b的值，代入所求式子计算即可．【解答】解：∵122<<，∴1322<-<，∵若32-的整数部分为a，小数部分为b，∴a＝1，32122b=--=-，∴(22)(22)(22)2a b+⋅=+-=，故答案为：2．【点评】本题考查了估算无理数的大小的应用，解题的关键是求出a、b的值．【例24】（2分）（2021•北京7/28）已知432＝1849，442＝1936，452＝2025，462＝2116．若n为整数且n＜2021＜n+1，则n的值为（）A．43 B．44 C．45 D．46【考点】估算无理数的大小．【分析】先写出2021所在的范围，再写2021的范围，即可得到n的值．【解答】解：∵1936＜2021＜2025，∴44＜2021＜45，∴n＝44，故选：B．【点评】本题考查了无理数的估算，无理数的估算常用夹逼法，用有理数夹逼无理数是解题的关键．巩固训练1．（2022•攀枝花）2的平方根是()A ．2B ．2±CD ．2．（2022(= )A ．2±B ．2C ．D3．（2022•烟台）如图，正方形ABCD 边长为1，以AC 为边作第2个正方形ACEF ，再以CF 为边作第3个正方形FCGH ，⋯，按照这样的规律作下去，第6个正方形的边长为()A ．5B ．6C ．5D ．64．（2022•泸州）(= ) A ．2-B ．12-C ．12D ．25.（2022x 的取值范围是( ) A ．2x >B ．2x <C ．2xD ．2x6．（2022•常州）若二次根式x 的取值范围是( ) A ．1xB ．1x >C ．0xD ．0x >7.（20222x -在实数范围内有意义，则x 的取值范围是( ) A ．1x >-B ．1x -C ．1x -且0x ≠D ．1x -且0x ≠8．（2022a 的取值范围是( ) A ．1a >B ．1aC ．1a <D ．1a9．（2022x 的取值范围是( ) A ．2x >B ．2xC ．2x <D ．2x10．（2022•内蒙古）实数a 1|1|a +-的化简结果是( )A ．1B ．2C ．2aD ．12a -11．（2022( )A ．B ．3C ．D ．212．（2022•永州）下列各式正确的是( )A B ．020=C ．321a a -=D ．2(2)4--=13．（2022•河南）下列运算正确的是( )A ．2B ．22(1)1a a +=+C ．235()a a =D ．2322a a a ⋅=14．（2022•河北）下列正确的是( )A 23=+B 23⨯C 23=D 0.715．（2022•苏州）下列运算正确的是( )A 7=-B ．2693÷= C ．222a b ab += D ．235a b ab ⋅=16．（2022•呼和浩特）下列运算正确的是( )A 2=±B ．222()m n m n +=+C ．1211x x x-=--D ．2229332y x xy x y-÷=-17．（2022•宁夏）下列运算正确的是( )A ．220--=BC ．3362x x x +=D ．326()x x -=18．（2022•鞍山）下列运算正确的是( )A =B ．3412a a a ⋅=C ．222()a b a b -=-D ．2336(2)8ab a b -=-19．（2022•鄂尔多斯）下列运算正确的是( ) A ．32235523a b a b a b += B ．2363(2)6a b a b -=-C ．2124-=-D =20．（2022•广州）下列运算正确的是( )A 2=B ．11(0)a a a a a+-=≠C D ．235a a a ⋅=21．（2022•广安）下列运算中，正确的是( ) A ．224325a a a += B ．933a a a ÷=C =D ．236(3)27x x -=-22．（2022•梧州）下列计算错误的是( )A ．358a a a ⋅=B ．2363()a b a b =C ．D ．222()a b a b +=+ 23．（2022•雅安）下列计算正确的是( )A ．236=B ．328()55-=-C ．224(2)2a a -=D =24．（2022•云南）下列运算正确的是( )A =B ．030=C ．33(2)8a a -=-D ．632a a a ÷=25．（2022 ．26．（2022= ． 27．（2022•恩施州）9的算术平方根是 ．28．（2022= ． 29．（2022在实数范围内有意义，则实数x 的取值范围是 ．30．（2022x 的取值范围为 ． 31．（2022有意义，则实数x 的取值范围是 ．32．（2022a 的取值范围是 ．33．（2022x 的取值范围是 ．34．（2022在实数范围内有意义，则实数x 的取值范围是 ．35．（20221x+在实数范围内有意义，则x 的取值范围是 ．36．（2022在实数范围内有意义，则实数x 的取值范围为 ．37．（2022x 的取值范围为 ．38．（2022= ．39．（2022的结果是 ．40．（2022•遂宁）实数a 、b 在数轴上的位置如图所示，化简|1|a + ．41．（2022= ；2(2)-= ．42．（2022•随州）已知m 为正整数，若是整数，则根据可知m 有最小值3721⨯=．设n 于1的整数，则n 的最小值为 ，最大值为 ．43．（2022 ．44．（2022 ．45．（2022•衢州）计算2= ．46．（2022= ． 47．（2022•大连）下列计算正确的是( )A 2=B 3=-C ．D ．21)3+=48．（2022•湖北）下列各式计算正确的是( )A =B ．1=C 2÷D =49．（2022|4|-= ．50．（2022 ．51．（2022•内蒙古）已知x ，y 是实数，且满足18y =，则xy 的值是 ．52．（2022•襄阳）先化简，再求值：2(2)(2)(2)2()a b a b a b a b a +++-+-，其中a =b =53．（2022•河池）计算：10|22|342(5)π----⨯+-． 54．（2022•泰州）（1）计算：21833-⨯； （2）按要求填空： 小王计算22142x x x --+的过程如下： 解：22142x x x --+ 21(2)(2)2x x x x =-⋯⋯+-+第一步 22(2)(2)(2)(2)x x x x x x -=-⋯⋯+-+-第二步22(2)(2)x x x x --=⋯⋯+-第三步2(2)(2)x x x -=⋯⋯+-第四步12x =+．⋯⋯第五步 小王计算的第一步是 （填“整式乘法”或“因式分解” )，计算过程的第 步出现错误．直接写出正确的计算结果是 ． 55．（2022•甘肃）计算：2324⨯-．1．（2022•攀枝花）2的平方根是( ) A ．2 B ．2±C ．2D ．2±【考点】平方根【分析】根据平方根的定义即可求解． 【解答】解：因为2(2)2±=， 所以2的平方根是2±， 故选：D ．【点评】本题主要考查了平方根，掌握平方根的定义是解题的关键． 2．（2022•兰州）计算：4(= ) A ．2±B ．2C ．2±D ．2巩固训练解析【考点】算术平方根【分析】利用算术平方根的性质求解．==．【解答】解：2故选：B．【点评】本题考查了算术平方根的性质，掌握性质特征是解题的关键．3．（2022•烟台）如图，正方形ABCD边长为1，以AC为边作第2个正方形ACEF，再以CF为边作第3个正方形FCGH，⋯，按照这样的规律作下去，第6个正方形的边长为( )A．5B．6C．5D．6【考点】算术平方根；规律型：图形的变化类【分析】1个正方形的边长为1，其对2，其对角线长为2；第3个正方形的边长为n-所以，第6个正方形的边2，其对角线长为3；⋅⋅⋅；第n个正方形的边长为1.长5．【解答】解：由题知，第1个正方形的边长1AB=，根据勾股定理得，第2个正方形的边长ACCF=，根据勾股定理得，第3个正方形的边长2GF=，根据勾股定理得，第4个正方形的边长3GN=，根据勾股定理得，第5个正方形的边长4=．根据勾股定理得，第6个正方形的边长5故选C．【点评】本题利用勾股定理找到相邻两个正方形的边长之间的根号2倍关系，由此依次推出第2个、第3个、⋅⋅⋅、第6个正方形的边长．4．（2022•泸州）(= ) A ．2-B ．12-C ．12D ．2【考点】算术平方根【分析】根据算术平方根的定义判断即可．【解答】解：2=-． 故选：A ．【点评】本题考查了算术平方根，掌握算术平方根的定义是解答本题的关键．5.（2022x 的取值范围是( ) A ．2x >B ．2x <C ．2xD ．2x【考点】二次根式有意义的条件【分析】根据二次根式有意义的条件：被开方数是非负数即可得出答案． 【解答】解：360x -，2x ∴，故选：D ．【点评】本题考查了二次根式有意义的条件，掌握二次根式有意义的条件：被开方数是非负数是解题的关键．6．（2022•常州）若二次根式x 的取值范围是( ) A ．1xB ．1x >C ．0xD ．0x >【考点】二次根式有意义的条件【分析】根据二次根式有意义的条件，可得：10x -，据此求出实数x 的取值范围即可．【解答】解：10x ∴-，解得：1x ． 故选：A ．【点评】此题主要考查了二次根式有意义的条件，解答此题的关键是要明确：二次根式中的被开方数是非负数．7.（20222x -在实数范围内有意义，则x 的取值范围是( ) A ．1x >-B ．1x -C ．1x -且0x ≠D ．1x -且0x ≠【考点】负整数指数幂；二次根式有意义的条件 【分析】根据二次根式的被开方数是非负数，1(0)p pa a a -=≠即可得出答案． 【解答】解：10x +，0x ≠，1x ∴-且0x ≠，故选：C ．【点评】本题考查了二次根式有意义的条件，负整数指数幂，掌握二次根式的被开方数是非负数，1(0)p p a a a-=≠是解题的关键．8．（2022a 的取值范围是( ) A ．1a >B ．1aC ．1a <D ．1a【考点】二次根式有意义的条件【分析】根据二次根式有意义的条件：被开方数为非负数，即可得出a 的取值范围． 【解答】解：由题意得：10a -，1a ∴，故选：B ．【点评】本题考查了二次根式有意义的条件，属于基础题，解答本题的关键是熟练掌握二次根式有意义的条件：被开方数为非负数．9．（2022x 的取值范围是( ) A ．2x >B ．2xC ．2x <D ．2x【考点】二次根式有意义的条件【分析】根据二次根式有意义，被开方数大于等于0，列不等式求解． 【解答】解：根据题意，得20x -，解得2x ． 故选：B ．【点评】本题主要考查二次根式有意义的条件的知识点，代数式的意义一般从三个方面考虑：（1）当代数式是整式时，字母可取全体实数；（2）当代数式是分式时，分式的分母不能为0；（3）当代数式是二次根式时，被开方数为非负数．10．（2022•内蒙古）实数a 1|1|a +-的化简结果是( )A ．1B ．2C ．2aD ．12a -【考点】二次根式的性质与化简；实数与数轴【分析】根据数轴得：01a <<，得到0a >，10a -<||a =和绝对值的性质化简即可．【解答】解：根据数轴得：01a <<， 0a ∴>，10a -<，∴原式||11a a =++-11a a =++-2=．故选：B ．【点评】||a =是解题的关键．11．（2022( )A ．B ．3C ．D ．2【考点】二次根式的性质与化简【分析】将被开方数12写成平方数4与3的乘积，再将4开出来为2，易知化简结果为【解答】=， 故选：A ．【点评】本题考查了二次根式的化简，关键在于被开方数要写成平方数乘积的形式再进行化简．12．（2022•永州）下列各式正确的是( )A B ．020=C ．321a a -=D ．2(2)4--=【考点】有理数的减法；合并同类项；零指数幂；二次根式的性质与化简【分析】根据二次根式的性质与化简判断A 选项；根据零指数幂判断B 选项；根据合并同类项判断C 选项；根据有理数的减法判断D 选项． 【解答】解：A 选项，原式2=，故该选项不符合题意；B 选项，原式1=，故该选项不符合题意；C 选项，原式a =，故该选项不符合题意；D 选项，原式224=+=，故该选项符合题意；故选：D ．【点评】本题考查了二次根式的性质与化简，零指数幂，合并同类项，有理数的减法，掌握减去一个数等于加上这个数的相反数是解题的关键． 13．（2022•河南）下列运算正确的是( )A ．2B ．22(1)1a a +=+C ．235()a a =D ．2322a a a ⋅=【考点】同底数幂的乘法；幂的乘方与积的乘方；完全平方公式；二次根式的性质与化简 【分析】利用二次根式的减法的法则，完全平方公式，幂的乘方的法则，单项式乘单项式的法则对各项进行运算即可．【解答】解：A 、=A 不符合题意；B 、22(1)21a a a +=++，故B 不符合题意；C 、236()a a =，故C 不符合题意；D 、2322a a a ⋅=，故D 符合题意．故选：D ．【点评】本题主要考查二次根式的加减，完全平方公式，幂的乘方，单项式乘单项式，解答的关键是对相应的运算法则的掌握． 14．（2022•河北）下列正确的是( )A 23=+B 23⨯C 23=D 0.7【考点】二次根式的性质与化简【分析】根据=A 选项；根据0,0)a b =判断B 选项；根据||a 判断C 选项；根据算术平方根的定义判断D 选项．【解答】解：A 、原式=B 、原式23=⨯，故该选项符合题意；C 、原式29=，故该选项不符合题意；D 、20.70.49=，故该选项不符合题意；故选：B ．【点评】0,0)a b =是解题的关键． 15．（2022•苏州）下列运算正确的是( )A 7=-B ．2693÷= C ．222a b ab += D ．235a b ab ⋅=【考点】有理数的除法；合并同类项；单项式乘单项式；二次根式的性质与化简【分析】直接利用二次根式的性质以及有理数的除法运算法则、合并同类项、单项式乘单项式，分别计算判断即可．【解答】解：7=，故此选项不合题意； 2.693B ÷=，故此选项，符合题意； .22C a b +，无法合并，故此选项不合题意； .236D a b ab ⋅=，故此选项不合题意；故选：B ．【点评】此题主要考查了二次根式的性质以及有理数的除法运算、合并同类项、单项式乘单项式，正确掌握相关运算法则是解题关键． 16．（2022•呼和浩特）下列运算正确的是( )A 2=±B ．222()m n m n +=+C ．1211x x x-=--D ．2229332y x xy x y-÷=-【考点】二次根式的性质与化简；分式的混合运算；二次根式的乘除法；完全平方公式 【分析】利用二次根式的乘法的法则，完全平方公式，分式的减法的法则，分式的除法的法则对各项进行运算即可．【解答】解：A 2，故A 不符合题意； B 、222()2m n m mn n +=++，故B 不符合题意；C 、21221xx x x x--=--，故C 不符合题意； D 、2229332y x xy x y-÷=-，故D 符合题意；故选：D ．【点评】本题主要考查二次根式的乘法，完全平方公式，分式的混合运算，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．17．（2022•宁夏）下列运算正确的是( )A ．220--=BC ．3362x x x +=D ．326()x x -=【考点】合并同类项；幂的乘方与积的乘方；二次根式的加减法【分析】直接利用二次根式的加减、合并同类项、幂的乘方与积的乘方法则分别化简，进而判断得出答案．【解答】解：A ．224--=-，故此选项不合题意；BC ．3332x x x +=，故此选项不合题意；D ．326()x x -=，故此选项符合题意；故选：D ．【点评】此题主要考查了二次根式的加减、合并同类项、幂的乘方与积的乘方，正确掌握相关运算法则是解题关键．18．（2022•鞍山）下列运算正确的是( )A =B ．3412a a a ⋅=C ．222()a b a b -=-D ．2336(2)8ab a b -=-【考点】二次根式的加减法；同底数幂的乘法；完全平方公式；幂的乘方与积的乘方 【分析】利用二次根式的加法的法则，完全平方公式，同底数幂的乘法的法则，积的乘方的法则对各项进行运算即可．【解答】解：A =A 不符合题意；B 、347a a a ⋅=，故B 不符合题意；C 、222()2a b a ab b -=-+，故C 不符合题意；D 、2336(2)8ab a b -=-，故D 符合题意；故选：D ．【点评】本题主要考查二次根式的加减法，积的乘方，同底数幂的乘法，完全平方公式，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．19．（2022•鄂尔多斯）下列运算正确的是( ) A ．32235523a b a b a b += B ．2363(2)6a b a b -=-C ．2124-=-D =【考点】合并同类项；幂的乘方与积的乘方；二次根式的加减法；负整数指数幂 【分析】把每一选项按照运算法则计算后判断结果即可．【解答】解：32232a b a b +不能合并，因为不是同类项，A 选项错误；2363(2)8a b a b -=-，B 选项也错误； 2124-=，C 选项也错误；=D 选项正确．故选：D ．【点评】本题考查了整式的运算和实数的运算，关键要掌握合并同类项、实数指数幂、二次根式的化简混合运算．20．（2022•广州）下列运算正确的是( )A 2=B ．11(0)a a a a a+-=≠C D ．235a a a ⋅=【考点】分式的加减法；二次根式的加减法；同底数幂的乘法；立方根【分析】直接利用立方根的性质以及分式的加减运算法则、二次根式的加减运算法则、同底数幂的乘法运算法则分别判断得出答案．【解答】解：A 2=-，故此选项不合题意；B ．111a a a+-=，故此选项不合题意；C =D ．235a a a ⋅=，故此选项符合题意；故选：D ．【点评】此题主要考查了立方根的性质以及分式的加减运算、二次根式的加减运算、同底数幂的乘法运算，正确掌握相关运算法则是解题关键．21．（2022•广安）下列运算中，正确的是( ) A ．224325a a a += B ．933a a a ÷=C =D ．236(3)27x x -=-【考点】同底数幂的除法；二次根式的加减法；合并同类项；幂的乘方与积的乘方 【分析】A ．应用合并同类项法则进行计算即可得出答案；B ．应用同底数幂除法法则进行计算即可得出答案；C ．应用二次根式加减法则进行计算即可得出答案；D ．应用积的乘方法则进行计算即可得出答案．【解答】解：A ．因为222325a a a +=，所以A 选项运算不正确，故A 选项不符合题意；B ．因为93936a a a a -÷==，所以B 选项运算不正确，故B 选项不符合题意；C C 选项运算不正确，故C选项不符合题意；D ．因为236(3)27x x -=-，所以D 选项运算正确，故D 选项符合题意．故选：D ．【点评】本题主要考查了二次根式的加减，合并同类项，幂的乘方与积的乘方，同底数幂除法，熟练掌握二次根式的加减，合并同类项，幂的乘方与积的乘方，同底数幂除法法则进行求解是解决本题的关键．22．（2022•梧州）下列计算错误的是( )A ．358a a a ⋅=B ．2363()a b a b =C ．D ．222()a b a b +=+【考点】同底数幂的乘法；幂的乘方与积的乘方；完全平方公式；二次根式的加减法 【分析】A ．应用同底数幂乘法法则进行计算即可得出答案；B ．应用积的乘方法则进行计算即可得出答案；C ．应用二次根式加减法则进行计算即可得出答案；D ．应用完全平方公式进行计算即可得出答案．【解答】解：A ．因为35358a a a a +⋅==，所以A 选项计算正确，故A 选项不符合题意；B ．因为2363()a b a b =，所以B 选项计算正确，故B 选项不符合题意；C ．因为，所以C 选项计算正确，故C 选项不符合题意；D ．因为222()2a b a ab b +=++，所以D 选项计算不正确，故D 选项符合题意．故选：D ．【点评】本题主要考查了二次根式的加减，同底数幂乘法，积的乘方，完全平方公式，熟练掌握二次根式的加减，同底数幂乘法，积的乘方，完全平方公式进行求解是解决本题的关键． 23．（2022•雅安）下列计算正确的是( )A ．236=B ．328()55-=-C ．224(2)2a a -=D =【考点】二次根式的加减法；有理数的乘方；幂的乘方与积的乘方【分析】根据有理数的乘方、幂的乘方与积的乘方以及二次根式的加法运算法则计算即可． 【解答】解：239=，故A 选项错误； 328()5125-=-，故B 选项错误； 224(2)4a a -=，故C 选项错误；，故D 选项正确．故选：D ．【点评】本题考查二次根式的加减法、有理数的乘方、幂的乘方与积的乘方，熟练掌握基本运算法则是解答本题的关键．24．（2022•云南）下列运算正确的是( )A =B ．030=C ．33(2)8a a -=-D ．632a a a ÷=【考点】二次根式的加减法；零指数幂；同底数幂的除法；幂的乘方与积的乘方【分析】根据二次根式的加减法判断A 选项；根据零指数幂判断B 选项；根据积的乘方判断C 选项；根据同底数幂的除法判断D 选项．【解答】解：AB 选项，原式1=，故该选项不符合题意；C 选项，原式38a =-，故该选项符合题意；D 选项，原式3a =，故该选项不符合题意；故选：C ．【点评】本题考查了二次根式的加减法，零指数幂，幂的乘方与积的乘方，同底数幂的除法，掌握01(0)a a =≠是解题的关键．。
