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角平分线的历史故事
角平分线的历史故事最早可以追溯到古希腊三大几何难题之一的“化圆为方”问题的求解。
公元前5世纪，著名辨士、诗人安提丰首次利用圆内接正多边形试图解决该问题，从圆内接正方形出发，不断倍增边数，当边数无限多时，圆就被化成了方（实际上是正多边形，而正多边形面积总可以化为正方形面积），即其面积（近似值）得以求出。
而倍增边数，需要通过作角平分线来完成。
欧几里得《几何原本》的第1卷命题9：“平分一个已知角”，即作一个已知角的平分线。
我们在六年级第二学期的时候已经学习了如何通过尺规作图求一个已知角的平分线。
角平分线作图角平分线作图是在初中数学中常见的一种题型，它是指将一个角平分成两个相等的角的过程，也就是将角所在的直线分为相等的两段。
实际上，角平分线作图是一种利用尺规作图原理解决问题的方法，它的实现需要借助一些基本工具和构造方式。
下面我们就来详细介绍一下角平分线作图的具体方法。
一、基本工具准备在进行角平分线作图之前，我们需要准备好以下基本工具：1、圆规：用来画圆和测量距离的工具。
2、尺子：用来画直线和测量长度的工具。
3、铅笔：用来绘制图形或做笔记的工具。
二、角平分线作图步骤1、已知一角OAB，要求作出它的平分线。
2、首先用铅笔和尺子画出OA和OB两条直线。
3、以O点为圆心，任取一个半径作圆弧，使这个圆弧与OA和OB两条直线交于A1和B1两点。
4、以A1和B1两点为圆心，取相等的半径，画2个圆弧，它们交于C点。
5、连接OC，OC就是角OAB的平分线。
6、检验：通过对角OAB和角OBC进行测量，可以验证OC 是这两个角的平分线。
三、方法总结以上就是角平分线作图的具体步骤，通过这样的方法可以对角进行平分，将一个角划分为两个相等的角，从而解决与角有关的一些问题。
除此之外，角平分线作图还可以借助一些其他的方法来进行，比如说三角形内部角平分线作图、四边形对角线作图等，不同的角平分线作图方法都有相应的基本步骤，需要根据不同的题目进行选择和使用。
总之，角平分线作图是初中数学中非常基础的一个知识点，它虽然看似简单，但是却是解决一些题目和问题的重要工具。
因此，我们需要仔细学习并熟练掌握这个知识点，才能够在日后的学习和工作中取得良好的成绩和效果。
1．作已知角的平分线用尺规作已知角的平分线．已知：∠AOB，求作：∠AOB的平分线．作法：（1）以点O为圆心，适当长为半径画弧，交OA于点M，交OB于点N．（2）分别以点M，N为圆心，大于__________的长为半径画弧，两弧在∠AOB的内部相交于点C．（3）画射线OC．射线OC即为所求．如图所示：★作图依据：构造△OMC≌△ONC（SSS）．2．角的平分线的性质内容：角的平分线上的点到角的两边的距离__________．【提示】（1）这里的距离指的是点到角的两边垂线段的长；（2）该性质可以独立作为证明两条线段相等的依据，不需要再用全等三角形；（3）使用该结论的前提条件是图中有角平分线、有垂直；（4）运用角的平分线时常添加的辅助线：由角的平分线上的已知点向两边作垂线段，利用其相等来推导其他结论．3．证明几何命题的一般步骤一般情况下，我们要证明一个几何命题时，可以按照以下的步骤进行：（1）明确命题中的已知和求证；（2）根据题意，画出图形，并用符号表示已知和求证；（3）经过分析，找出由已知推出要证的结论的途径，写出证明过程．4．角的平分线的判定（1）内容：角的内部到角的两边的距离__________的点在角的平分线上．（2）角的平分线的判定的前提条件是指在角的内部的点到角两边的距离相等时，它才是在角的平分线上，角的外部的点不会在角的平分线上．K知识参考答案：1．（2）12MN 2．相等3．相等K—重点尺规作图作角的平分线，角的平分线的性质和判定K—难点证明几何命题的一般步骤K—易错角的平分线的判定一、角的平分线的性质遇到已知一个点在某个角的平分线上时，一般过该点向角的两边作垂线，运用角的平分线上的点到角两边的距离相等寻找线段的相等关系，有时可结合全等三角形建立未知线段与已知线段的关系，从而求出待求线段．【例1】如图，Rt△ABC中，∠C=90°，∠ABC的平分线BD交AC于D，若CD=3 cm，则点D到AB的距离DE是A．5 cm B．4 cmC．3 cm D．2 cm【答案】C【解析】如图，过D作DE⊥AB于E，∵BD是∠ABC的平分线，∠C=90°，DE⊥AB，∴DE=CD，∵CD=3 cm，∴DE=3 cm．故选C．【例2】如图，OP平分∠AOB，PA⊥OA，PB⊥OB，垂足分别为A，B．下列结论中不一定成立的是A．PA=PB B．PO平分∠AOBC．OA=OB D．AB垂直平分OP【答案】D二、角的平分线的判定1．当题目中出现角内的一点到角两边的距离相等时，可以考虑应用角的平分线的判定方法证明两个角相等．2．角的平分线的性质和判定恰好是条件和结论互换，即点在角平分线上的一点到角两边的距离相等．【例3】如图，PA=PB，∠1+∠2=180°．求证：OP平分∠AOB．三、角的平分线的性质的应用证明角平分线的方法：只需从要证的线上的某一点向角的两边作垂线段，再证明垂线段相等即可．这样把证“某线是角的平分线”的问题转化为证“垂线段相等”的问题，体现了转化思想．【例4】如图，直线l1，l2，l3表示三条相互交叉的公路，现要建一个货物中转站，要求它到三条公路的距离相等，则可供选择的地址有A．1处B．2处C．3处D．4处【答案】D【解析】如图，A、B、C、D为三条直线组成的三角形内角和外角的角平分线的交点，由角平分线上的点到角两边距离相等可得在这四点处，货物中转站到三条公路距离相等．故选D．【例5】如图，两条笔直的公路l1、l2相交于点O，公路的旁边建三个加工厂A、B、D，已知AB=AD=5.2 km，CB=CD=5 km，村庄C到公路l1的距离为4 km，则C村到公路l2的距离是A．3 km B．4 km C．5 km D．5.2 km【答案】B。
2021年12.3角的平分线的性质按知识点分类按题型分类易错点试题解析知识点一作已知角的平分线1．（2010秋•泾县期末）作图题（1）读句画图，填空．①如图，∠AOB是平角，过点O画射线OC②用直尺和圆规分别画出∠AOC和∠BOC的平分线OD，OE③∠DOE是角（填“直”、“钝”或“锐”）知识点二角平分线的性质2．（2020秋•肇源县期末）如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠CAB，DE⊥AB于点E，点F在AC上，BE＝FC．求证：BD＝DF．知识点三角平分线的判定3．已知：如图所示，BE＝CF，DF⊥AC于点F，DE⊥AB于点E，BF和CE相交于点D，求证：AD平分∠BAC．知识点四证明几何文字命题的一般步骤4．（2019春•金水区校级期中）（1）如图1，求证：三角形的三条角平分线相交于一点，并且这一点到三边的距离相等；（2）如图2，若∠ABC的平分线与∠ACB外角∠ACD的平分线相交于点P，连接AP，若∠BAC＝62°，则∠P AC是度．题型一利用角平分线的性质解决方案设计问题5．如图，李明计划在张村、李村之间建一家超市，张、李两村坐落在两相交公路内，超市的位置应满足下列条件：①使其到两公路的距离相等；②为了方便群众，超市到两村的距离之和最短．请你通过作图确定所要建超市的位置．题型二与面积有关的角平分线的问题6．如图所示，在△ABC中，求证：（1）若AD为∠BAC的平分线，则S△ABD：S△ACD＝AB：AC；（2）设D为BC上的一点，连接AD，若S△ABD：S△ACD＝AB：AC，则AD为∠BAC的平分线．易错题易错点：不能正确理解角平分线的性质及判定7．（2014秋•阳谷县期末）如图，在△ABC中，BD平分∠ABC，交AC于点D，BC边上有一点E，连接DE，则AD与DE的关系为（）A．AD＜DE B．AD＝DE C．AD＞DE D．不确定8．如图，已知BE⊥AC于点E，CF⊥AB于点F，BE，CF相交于点D，连接AD，BD＝CD．求证：AD平分∠BAC．王刚的做法如下：证明：∵BE⊥AC，CF⊥AB，BD＝CD，∴点D在∠BAC的平分线上，∴AD平分∠BAC．王刚的做法正确吗？若不正确，请写出正确的证明过程．2021年12.3角的平分线的性质按知识点分类按题型分类易错点试题解析参考答案与试题解析一．试题（共8小题）1．（2010秋•泾县期末）作图题（1）读句画图，填空．①如图，∠AOB是平角，过点O画射线OC②用直尺和圆规分别画出∠AOC和∠BOC的平分线OD，OE③∠DOE是直角（填“直”、“钝”或“锐”）解：作图题．（1）①画出OC如图：②用圆规以O为圆心，以OA、OB为半径画圆，在线与圆的两个交点处用线连接起来找到中点，再把中点和顶点连起来即可画出OD、OE如图：③直角，2．（2020秋•肇源县期末）如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠CAB，DE⊥AB于点E，点F在AC上，BE＝FC．求证：BD＝DF．证明：∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，∠C＝90°，∴DC＝DE，在△DCF 和△DEB 中，{DC =DE∠C =∠BED CF =BE，∴△DCF ≌△DEB ，（SAS ），∴BD ＝DF ．3．已知：如图所示，BE ＝CF ，DF ⊥AC 于点F ，DE ⊥AB 于点E ，BF 和CE 相交于点D ，求证：AD 平分∠BAC ．证明：∵BF ⊥AC 于点F ，CE ⊥AB 于点E ，∴∠BDE +∠B ＝∠CDF +∠C ＝90°，∵∠CDF ＝∠BDE ，∴∠B ＝∠C ，在△BDE 和△CDF 中，{∠B =∠C BE =CF ∠BED =∠CFD，∴△BDE ≌△CDF （ASA ），∴DE ＝DF ，∴AD 平分∠BAC ．4．（2019春•金水区校级期中）（1）如图1，求证：三角形的三条角平分线相交于一点，并且这一点到三边的距离相等；（2）如图2，若∠ABC 的平分线与∠ACB 外角∠ACD 的平分线相交于点P ，连接AP ，若∠BAC ＝62°，则∠P AC 是 59 度．解：（1）已知：△ABC ．求证：∠ABC 、∠BCA 、∠ACB 三个角的平分线相交于点F ，且点F 到三边的距离相等． 证明：如图，作∠ABC 的角平分线FB ，作∠BCA 的角平分线FC ，两条线相交于点F ， 作FG ⊥AB 于点G ，FD ⊥BC 边于点D ，FE ⊥AC 于点E ，∵点F 是∠ABC 平分线上的一点，在△AGF 和△AEF 中，{∠AGF =∠AEF =90°∠GAF =∠EAF AF =AF，∴FG ＝FE ，同理可得，FD ＝FE ，∴FG ＝FD ＝FE （等量代换），∴点F 在∠BAC 的平分线上，∴三角形的三条角平分线相交于一点，并且这一点到三边的距离相等；（2）解：延长BA ，作PN ⊥BD 于N ，PF ⊥BA 于F ，PM ⊥AC 于M ，∵CP 平分∠ACD ，∴∠ACP ＝∠PCD ，PM ＝PN ，∵BP 平分∠ABC ，∴∠ABP ＝∠PBC ，PF ＝PN ，∴PF ＝PM ，∴∠F AP ＝∠P AC ，∴∠F AC ＝2∠P AC ，∵∠F AC+∠BAC＝180°，∴2∠P AC+∠BAC＝180°，∴∠P AC=12（180°﹣∠BAC）=12（180°﹣62°）＝59°．故答案为：59．5．如图，李明计划在张村、李村之间建一家超市，张、李两村坐落在两相交公路内，超市的位置应满足下列条件：①使其到两公路的距离相等；②为了方便群众，超市到两村的距离之和最短．请你通过作图确定所要建超市的位置．解：（1）画出角平分线；（2）连接线段．交点P即满足条件．6．如图所示，在△ABC中，求证：（1）若AD为∠BAC的平分线，则S△ABD：S△ACD＝AB：AC；（2）设D为BC上的一点，连接AD，若S△ABD：S△ACD＝AB：AC，则AD为∠BAC的平分线．（1）证明：过A作AH⊥BC于H，过C作CE∥AB交AD延长线于E，则∠E＝∠BAD，∵AD平分∠BAC，∴∠CAD＝∠BAD，∴∠E ＝∠CAD ，∴AC ＝CE ，∵CE ∥AB ，∴△ECD ∽△ABD ，∴BD CD =AB CE ， ∴BD CD =AB AC ，∴S △ABD ：S △ACD ＝（12×BD ×AH ）：（12×CD ×AH ）＝BD ：CD ＝AB ：AC ；（2）证明：过A 作AH ⊥BC 于H ，过C 作CE ∥AB 交AD 延长线于E∵S △ABD ：S △ACD ＝（12×BD ×AH ）：（12×CD ×AH ）＝BD ：CD ＝AB ：AC ， 又∵CE ∥AB ，∴△ECD ∽△ABD ，∴BD CD =AB CE ， ∴AB CE =AB AC ，∴CE ＝AC ，∴∠E ＝∠CAD ，∵CE ∥AB ，∴∠E ＝∠BAD ，∴∠BAD ＝∠CAD ，∴AD 平分∠BAC ．7．（2014秋•阳谷县期末）如图，在△ABC 中，BD 平分∠ABC ，交AC 于点D ，BC 边上有一点E ，连接DE ，则AD 与DE 的关系为（ ）A ．AD ＜DEB ．AD ＝DEC ．AD ＞DE D ．不确定解：∵BD 平分∠ABC ，∴点D 到AB 、BC 的距离相等，∵AD 不是点D 到AB 的距离，点E 是BC 上一点，∴AD 、DE 的大小不确定．故选：D ．8．如图，已知BE ⊥AC 于点E ，CF ⊥AB 于点F ，BE ，CF 相交于点D ，连接AD ，BD ＝CD ．求证：AD 平分∠BAC ．王刚的做法如下：证明：∵BE ⊥AC ，CF ⊥AB ，BD ＝CD ，∴点D 在∠BAC 的平分线上，∴AD 平分∠BAC ．王刚的做法正确吗？若不正确，请写出正确的证明过程．解：王刚的做法不正确．证明如下：∵BE ⊥AC ，CF ⊥AB ，∴∠BFD ＝∠CED ＝90°．在△BDF 和△CDE 中，{∠BFD =∠CED ∠BDF =∠CDE BD =CD,∴△BDF ≌△CDE (AAS )，∴DF ＝DE ．∴点D 在∠BAC 的平分线上．∴AD 平分∠BAC ．。
十二章 角平分线的性质基础题一、选择题1．用尺规作已知角的平分线的理论依据是（ ）A ．SASB ．AASC ．SSSD ．ASA 2．三角形中到三边距离相等的点是（ ）A ．三条边的垂直平分线的交点B ．三条高的交点C ．三条中线的交点D ．三条角平分线的交点1．如图1所示，AD ⊥OB ，BC ⊥OA ，垂足分别为D 、C ，AD 与BC 相交于点P ，若PA ＝PB ，则∠1与∠2的大小是（）A.∠1＝∠2B.∠1＞∠2C.∠1＜∠2D.无法确定3．△ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝BC ，AD 是∠BAC 的平分线，DE ⊥AB ，垂足为E ，若AB ＝12cm ，则△DBE 的周长为（）A 、12cmB 、10cmC 、14cmD 、11cm4．如图2所示，已知PA 、PC 分别是△ABC 的外角∠DAC 、∠ECA 的平分线，PM ⊥BD ，PN ⊥BE ，垂足分别为M 、N ，那么PM 与PN 的关系是（） A.PM ＞PN B.PM ＝PN C.PM ＜PN D.无法确定5．如图3所示，△ABC 中，AB=AC ，AD 是∠A 的平分线，DE ⊥AB ，DF ⊥AC ，垂足分别是E 、F ，下面给出四个结论，其中正确的结论有( ) ①AD 平分∠EDF ； ②AE=AF ； ③AD 上的点到B 、C 两点的距离相等 ④到AE 、AF 距离相等的点，到DE 、DF 的距离也相等A 、1个B 、2个C 、3个D 、4个 6． 如图，已知点D 是∠ABC 的平分线上一点，点P 在BD 上，PA ⊥AB ，PC ⊥BC ，垂足分别为A ，C ．下列结论错误的是D M ANPE图2图3图1ABC DPB A O E PDB DC A （第3题） （第2题）（ ）．A ．AD=CPB ．△ABP ≌△CBPC ．△ABD ≌△CBD D ．∠ADB=∠CDB ．7．如图，OP 平分∠AOB， PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为D ，E ， 下列结论错误的是（ ）A ．PD ＝PEB ．OD ＝OEC ．∠DPO＝∠EPOD ．PD ＝OD二、填空题 1．如图，在△ABC 中，∠C＝90°，AD 是∠BAC 的角平分线，若BC ＝5㎝，BD ＝3㎝，则点D 到AB 的距离为______㎝．6．在直角△ABC 中，∠C=90°，AD 平分∠BAC 交BC 于点D ，若CD=8，则点D 到斜边AB 的距离等于_____________． 2．如图5所示，已知点C 是∠AOB 平分线上的一点，点P 、P ′分别在边OA 、OB 上，如果要得到OP ＝OP ′，需要添加以下条件中的某一个即可，请你写出所有可能结果的序号为___________________．①∠OCP ＝∠OCP ′；②∠OPC ＝∠OP ′C ；③PC ＝P ′C ；④PP ′⊥OC ．3．如图，已知BO 平分CBA ∠，CO 平分ACB ∠，MN BC ∥，且过点O ，若12AB =，14AC =，则AMN △的周长是．4．如图，在△ABC 中，∠C=900，AD 平分∠CAB ，BC ＝8cm ，BD ＝5cm ，那么D 点到直线AB 的距离是 cm ．5．如图所示：⑴若∠BAD ＝∠CAD ，且BD ⊥AB 于B ，DC ⊥AC 于C ，则BD ＝CD ，⑵若BD ⊥AB 于B ，DC ⊥AC 于C ，且BD ＝CD ，则∠BAD ＝∠CAD ，试利用上述知识，EBDCA解决下面的问题：三条公路两两相交于A 、B 、C 三点，现计划修建一个商品超市，要求这个超市到三条公路距离相等，问可供选择的地方有 处．三、证明题1、已知：如图，BD=CD ，CF⊥AB 于点F ，BE⊥AC 于点E ．求证：AD 平分∠BAC．2．已知：AD 是△ABC 的角平分线，DE ⊥AB ，DF ⊥AC ，垂足分别是E 、F ，BD ＝CD ，求证：∠B ＝∠C.3．如图，已知在△ABC 中，90C ∠=，点D 是斜边AB 的中点，2AB BC =，DE AB ⊥ 交AC 于E ．求证：BE 平分ABC ∠．E F A D B CＢＡＣDE AF B C十二章 角平分线的性质提高题一、选择题1．（2007广东茂名）Rt 90ABC C BAC ∠∠在△中，＝，的角平分 线AD 交BC 于 点D ，2CD ＝，则点D 到AB 的距离是（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．42．如图，△ABC 中，AB=AC ，AD 是△ABC 的角平分线，DE⊥A B 于点E ，DF⊥AC 于点F ，有下面四个结论：①DA 平分∠EDF；②AE=AF ；③AD 上的点到B ，C 两点的距离相等；④到AE ，AF 的距离相等的点到DE ，DF 的距离也相等．其中正确的结论有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个2、（2008·重庆）△ABC 中，AB=AC ，∠BAC=100°，两腰AB 、AC 的垂直平分线交于点P ，则（ ）A 、点P 在△ABC 内B 、点P 在△ABC 底边上C 、点P 在△ABC 外D 、点P 的位置与△ABC 的边长有关3、如果三角形两边的垂直平分线的交点恰好落在第三边上，则这个三角形是（ ）A 、锐角三角形B 、直角三角形C 、钝角三角形D 、等边三角形 4、已知A 和B 两点在线段EF 的中垂线上，且∠EAF=100°，∠EBF=70°,则∠AEB 等于( )A 、95°B 、15°C 、95°或15°D 、170°或30° 5、（2009·陕西）如图1，在锐角△ABC 中，AB=4,∠BAC=45°，∠BAC 的平分线交BC 于点D ，M 、N 分别是AD 和AB 上的动点，则BM ＋MN 的最小值是 。
尺规作图：角的平分线、线段垂直平分线尺规作图是指用直尺和圆规作图，根据特定几何问题作出相应图形，这对培养大家动手能力和分析问题的能力非常有帮助。
必备工具：圆规、直尺、铅笔、橡皮1、作已知角的角平分线。
已知：如图，∠AOB ，求作：射线OP, 使∠AOP ＝∠BOP （即OP 平分∠AOB ）。
作法：（1）以O 为圆心，任意长度为半径画弧，分别交OA ，OB 于M ，N ；（2）分别以M 、Ｎ为圆心，大于 的相同线段为半径画弧，两弧交∠AOB 内于Ｐ；（3）作射线OP 。
则射线OP 就是∠AOB 的角平分线练：如图，在∠MON 的内部找一点P ，使得P 点到OM 、ON 距离相等.(不写作法，但是要保留作图痕迹)2、作已知线段的垂直平分线。
已知：如图，线段MN.求作：直线PQ 是线段MN 的垂直平分线.作法：（１）分别以M 、N 为圆心，大于 的相同线段为半径画弧，两弧相交于P ，Q ； （２）连接PQ.则直线PQ 就是所求作的ＭＮ的垂直平分线。
练：青岛国际帆船中心要修建一处公共服务设施，使它到运动员公寓A .B .C 的距离相等．（1）若三所运动员公寓A .B .C 的位置如图所示，请你在图中确定这处公共服务设施（用点P 表示）的位置；(不写作法，但是要保留作图痕迹) （2）若∠BAC ＝66º，则∠BPC ＝ º.【操作】 3、某旅游景区内有一块三角形绿地ABC ，如图所示，现要在道路AB 上建一个休息点M ，使他到A ，C 两个点的距离相等. 在图中确定休息点M 的位置；AB CN M B A O 4、如图，点A 是ON 上一点，在图中作出点C ，使得C 是∠MON 平分线上的点，且AC =OC ．(不写作法，但是要保留作图痕迹)5、如图，已知∠AOB 及M 、N 两点，求作：点P ，使点P 到∠AOB 的两边距离相等，且到M 、N 的两点也距离相等。
6、如图所示,已知∠AOB 和两点M 、N 画一点P,使得点P 到∠AOB 的两边距离相等,且PM=PN.7、如图所示,A,B 为2个村庄，现在政府想在河道l 上建一个供水站点C,请你设计一个方案,使供水站的到两村庄的距离和最短写画法,但要保留作图痕迹，（预习课本获得答案）B O A N M A . . B l。
学会如何作角的平分线学习几何知识是每个学生都要经历的一部分，而其中一个重要的概念就是角。
在几何学中，角可以分为锐角、直角、钝角等。
而平分线是指将一个角分成两个相等的角的直线。
本文将介绍如何作角的平分线，以帮助读者更好地理解和运用这一几何概念。
在开始之前，我们需要明确一些基础知识。
首先，角由两条射线共同组成，这两条射线的起点称为角的顶点。
其次，我们需要了解两个重要的角度概念：内角和外角。
内角是两条射线所夹的角度，而外角则是与内角相邻但不相交的角度。
要构建一个角的平分线，我们需要遵循以下步骤：第一步：选定一个角在开始作角的平分线之前，我们首先需要确定一个合适的角。
可以选择任意一个已知角度的角，以简化问题的难度。
在这个例子中，我们将以一个锐角为例。
假设我们要作一个60度的角的平分线。
第二步：以顶点为圆心画一个圆根据题目要求，我们以该角的顶点为圆心，在平面上画一个圆。
这个圆将与两条射线相交于两个不同的点。
第三步：以圆与射线的交点为半径画两个弧以圆与两条射线相交的两个点为半径，分别画两个弧。
确保这两个弧的长度相等，以确保后续构建平分线的准确性。
第四步：将两个弧的顶点连接用直尺将两个弧的顶点连线，这条连线即为角的平分线。
平分线将原始角度分成两个相等的角度。
第五步：测试角的平分线为了验证我们构建的平分线是否正确，可以测量两个新形成的角的度数是否相等。
如果角的度数相等，则说明我们成功地作出了角的平分线。
通过上述步骤，我们可以轻松地作出一个角的平分线。
然而，需要注意的是，这只是简单的示范，实际应用中，会存在更复杂的情况，需要综合运用其他几何知识和工具以解决。
总结起来，学会如何作角的平分线对于理解几何学中的角度概念和几何构造有着重要的作用。
通过遵循上述步骤，我们可以在平面上准确地划出一个角的平分线。
然而，需要强调的是，这只是一个简单的示范，实际运用中可能会遇到更复杂的情况。
因此，熟练掌握几何知识和技巧，并进行大量的练习是至关重要的。
专题12.3 角的平分线的性质1.角平分线的定义将一个已知的角平分为两个相等的角的射线叫做这个已知角的平分线。
2.作角平分线（尺规作图，四弧一线）角平分线的作法（尺规作图）①以点O为圆心，任意长为半径画弧，交OA、OB于C、D两点；②分别以C、D为圆心，大于CD长为半径画弧，两弧交于点P；③过点P作射线OP，射线OP即为所求．3.角平分线的性质定理：角平分线上的点到角的两边的距离相等。
符号语言：∵OP平分∠AOB，AP⊥OA，BP⊥OB，∴AP=BP.4.角平分线性质定理的逆定理：到角的两边距离相等的点在角的平分线上。
符号语言：∵AP⊥OA，BP⊥OB，AP=BP，∴点P在∠AOB的平分线上.5.角平分线的综合应用（1）为推导线段相等、角相等提供依据和思路；（2）实际生活中的应用．6.证明命题基本方法（1）明确命题中的已知和求（包括隐含条件，如公共边、公共角、对顶角、角平分线、中线、高、等腰三角形等所隐含的边角关系）（2）根据题意，画出图形，并用数字符号表示已知和求证.（3）经过分析，找出由已知推出求证的途径，写出证明过程.【例题1】已知：OC平分∠MON，P是OC上任意一点，PA⊥OM，PB⊥ON，垂足分别为点A、点B．求证：PA＝PB．【答案】见解析。
【解析】证明：∵PA⊥OM，PB⊥ON∴∠PAO＝∠PBO＝90°∵OC平分∠MON∴∠1＝∠2在△PAO和△PBO中，∴△PAO≌△PBO∴PA＝PB【例题2】已知：点P是∠MON内一点，PA⊥OM于A，PB⊥ON于B，且PA＝PB．求证：点P在∠MON的平分线上．【答案】见解析。
【解析】证明：连结OP在Rt△PAO和Rt△PBO中，PA=PB OP=OP∴Rt△PAO≌Rt△PBO（HL）∴∠1＝∠2∴OP平分∠MON即点P在∠MON的平分线上．【例题3】已知：如图，在R t△ABC中，∠C＝90°，D是AC上一点，DE⊥AB于E，且DE＝DC．（1）求证：BD平分∠ABC；（2）若∠A＝36°，求∠DBC的度数．【答案】见解析。
《作已知角的平分线》导学案一、学习目标1、理解角平分线的定义和性质。
2、掌握用尺规作已知角平分线的方法。
3、能够运用角平分线的性质解决简单的几何问题。
二、学习重难点1、重点（1）角平分线的定义和性质。
（2）用尺规作已知角的平分线。
2、难点理解角平分线性质的证明过程。
三、学习过程（一）知识回顾1、什么是角？角由哪几个部分组成？2、如何度量一个角的大小？（二）引入新课在三角形中，角平分线是一个重要的线段。
那么，如何作出一个已知角的平分线呢？这就是我们本节课要学习的内容。
（三）角平分线的定义从一个角的顶点引出一条射线，把这个角分成两个完全相同的角，这条射线叫做这个角的角平分线。
（四）角平分线的性质角平分线上的点到角两边的距离相等。
（五）用尺规作已知角的平分线1、以角的顶点 O 为圆心，任意长为半径画弧，分别交角的两边于A、B 两点。
2、分别以点 A、B 为圆心，大于 1/2AB 的长为半径画弧，两弧在角的内部相交于点 C。
3、画射线 OC。
射线 OC 即为所求作的角的平分线。
（六）证明角平分线的作法是正确的连接 AC、BC。
由作图可知：OA ＝ OB，AC ＝ BC，OC ＝ OC。
所以△OAC ≌△OBC（SSS）。
所以∠AOC ＝∠BOC，即 OC 平分∠AOB。
（七）角平分线性质的证明已知：OC 平分∠AOB，点 P 是 OC 上任意一点，PD⊥OA 于点 D，PE⊥OB 于点 E。
求证：PD ＝ PE。
证明：因为 OC 平分∠AOB所以∠AOC ＝∠BOC因为 PD⊥OA，PE⊥OB所以∠PDO ＝∠PEO ＝ 90°在△PDO 和△PEO 中∠PDO ＝∠PEO∠AOC ＝∠BOCOP ＝ OP所以△PDO ≌△PEO（AAS）所以 PD ＝ PE（八）例题讲解例 1：如图，在△ABC 中，∠C ＝ 90°，AD 平分∠BAC，交 BC 于点 D。
若 BC ＝ 8，BD ＝ 5，求点 D 到 AB 的距离。
尺规作图画角平分线的多种方法
尺规作图画角平分线的多种方法有以下几种：
1. 三等分法：直接使用尺规作图，以角的顶点为圆心，任意取一个半径作圆，然后分别画两个弧交于圆上的两点，连接这两个点与角的顶点，即可得到角的平分线。
2. 比例法：利用角的平分线将整个角分为两部分，然后再将其中一部分再次平分，直到得到所需的比例。
具体步骤如下：取一条尺寸大于一半角的任意直线段AD，以D为圆心作一个尺规圆，交BC于E和F。
再从E和F分别画直线段连接圆心D，与角的两边交于G和H。
直线GH即为所求的角平分线。
3. 三辅圆法：与三等分法类似，利用尺规作图画三个辅助圆，然后通过相交弧来求解角的平分线。
具体步骤如下：以角的两边分别为半径，在空白纸上画两个圆，分别与角的两边相切，并且两个圆心在同一直线上。
再以角的顶点为圆心，画一个辅助圆与两个已知圆相切。
连接辅助圆上两个切点与角的顶点，即可得到角的平分线。
4. 辅助线法：在需要画角平分线的角内引入辅助线，然后利用已知条件来求解。
具体步骤根据具体情况而定，可以使用角的内切圆、垂直线、平行线等辅助线来求解角的平分线。
八年级数学上册角平分线的性质精选练习题八年级上册数学的角平分线的性质知识点即将学完，教师们腰围同学们准备精选练习题，下面是店铺为大家带来的关于八年级数学上册角平分线的性质精选的练习题，希望会给大家带来帮助。
八年级数学上册角平分线的性质精选练习题目一、选择题1. 用尺规作已知角的平分线的理论依据是( )A.SASB.AASC.SSSD.ASA2. ∠1=∠2，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为D，E，下列结论错误的是( )A、PD=PEB、OD=OEC、∠DPO=∠EPOD、PD=OD3. Rt△ABC中，∠C=90°，∠ABC的平分线BD交AC于D，若CD=3cm，则点D到AB的距离DE是( )A.5cmB.4cmC.3cmD.2cm4. △ABC中，∠C=90°，AC=BC，AD平分∠CAB交BC于D，DE⊥AB于E，且AB=6㎝，则△DEB的周长为( )A. 4㎝B. 6㎝C. 10㎝D. 不能确定5.OP平分，，，垂足分别为A，B.下列结论中不一定成立的是( )A. B. 平分 C. D. 垂直平分6.AD是△ABC中∠BAC的平分线，DE⊥AB于点E，DF⊥AC交AC于点F.S△ABC =7，DE=2，AB=4，则AC长是( )A. 4B. 3C. 6D. 57.AD是△ABC的角平分线，DF⊥AB，垂足为F，DE=DG，△ADG和△AED的面积分别为50和39，则△EDF的面积为( )A、11B、5.5C、7D、3.58.已知：△ABC中，∠C=90o，点O为△ABC的三条角平分线的交点，OD⊥BC，OE⊥AC，OF⊥AB，点D、E、F分别是垂足，且AB=10cm，BC=8cm，CA=6cm，则点O到三边AB、AC和BC的距离分别等于( )(A)2cm、2cm、2cm. (B)3cm、3cm、3cm.(C)4cm、4cm、4cm. (D)2cm、3cm、5cm.二、填空题9.P是∠AOB的角平分线上的一点，PC⊥OA于点C，PD⊥OB于点D，写出中一对相等的线段(只需写出一对即可) .10.在△ABC中，∠A=90°，BD平分∠AB C，AD=2 cm，则点D到BC的距离为________cm.11 .OP平分∠MON，PA⊥ON于点A，点Q是射线OM上一个动点，若PA=3，则PQ的最小值为.12.在Rt△ABC中，∠A=90°，∠ABC的平分线BD交AC于点D，AD=3，BC=10，则△BDC的面积是13.在Rt△ABC中，∠C=90°，若BC=10，AD平分∠BAC交BC于点D，且BD：CD=3：2，则点D到线段AB的距离为14.已知△ABC中，AD是角平分线，AB=5，AC=3，且S△ADC=6，则S△ABD=.15.AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为点E，F，连接EF，则EF与AD的关系是16.通过学习我们已经知道三角形的三条内角平分线是交于一点的.P是△ABC的内角平分线的交点，已知P点到AB边的距离为1，△ABC的周长为10，则△ABC的面积为.17.AD∥BC，∠ABC的角平分线BP与∠BAD的角平分线AP相交于点P，作PE⊥AB于点E.若PE=2，则两平行线AD与BC间的距离为18. △ABC的三边AB、BC、CA长分别为40、50、60.其三条角平分线交于点O，则S△ABO：S△BCO：S△CAO =三、解答题19.已知：AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别是E、F，BD=CD，求证：∠B=∠C.20. 画∠AOB=90°，并画∠AOB的平分线OC，将三角尺的直角顶点落在OC的任意一点P上，使三角尺的两条直角边与∠AOB的两边分别相交于点E、F，试猜想PE、PF的大小关系，并说明理由.21.AB∥CD，以点A为圆心，小于AC长为半径作圆弧，分别交AB，AC于E，F两点，再分别以E，F为圆心，大于 EF长为半径作圆弧，两条圆弧交于点P，作射线AP，交CD于点M.(1)若∠ACD=114°，求∠MAB的度数;(2)若CN⊥AM，垂足为N，求证：△ACN≌△MCN.22. 已知△ABC中，AB=AC，BE平分∠ABC交AC于E，若∠A=90°，那么BC、BA、AE三者之间有何关系?并加以证明.23. △ABC中，D为BC的中点，DE⊥BC交∠BAC的平分线AE于点E，EF⊥AB于F，EG⊥AG交AC的延长线于G.求证：BF=CG.八年级数学上册角平分线的性质精选练习题答案一、选择题1.C2.D3.C4.B5.D6.B7.B8.A二、填空题9. PC=PD(答案不唯一) 10. 2 11. 3 12. 15 13. 4 14. 1015. AD垂直平分EF 16. 5 17. 4 18. 4：5：6三、解答题19.证明：∵AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，∴DE=DF，在Rt△DEB与Rt△DFC中，BD=CD，DE=DF，∴Rt△DEB≌Rt△DFC(HL)，∴∠B=∠C.20. 解：PE=PF，理由是：过点P作PM⊥OA，PN⊥OB，垂足是M，N，则∠PME=∠PNF=90°，∵OP平分∠AOB，∴PM=PN，∵∠AOB=∠PME=∠PNF=90°，∴∠MPN=90°，∵∠EPF=90°，∴∠MPE=∠FPN，在△PEM和△PFN中∴△PEM≌△PFN，∴PE=PF.21.(1)解：∵AB∥CD，∴∠ACD+∠CAB=180°，又∵∠ACD=114°，∴∠CAB=66°，由作法知，AM是∠CAB的平分线，∴∠MAB= ∠CAB=33°(2)证明：∵AM平分∠CAB，∴∠CAM=∠MAB，∵AB∥CD，∴∠MAB=∠CMA，∴∠CAM=∠CMA，又∵CN⊥AM，∴∠ANC=∠MNC，在△ACN和△MCN中，∴△ACN≌△MCN.22 . 解：BC、BA、AE三者之间的关系：BC=BA+AE，理由如下：过E作ED⊥BC交BC于点D，∵BE平分∠ABC，BA⊥CA，∴AE=DE，∠EDC=∠A=∠BDE=90°，∵在Rt△BAE和Rt△BDE中∴Rt△BAE≌Rt△BDE(HL)，∴BA=BD，∵AB=AC，∠A=90°∴∠C=45°，∴∠CED=45°=∠C，∴DE=CD，∵AE=DE，∴AE=CD=DE，∴BC=BD+DC=BA+AE. 23. 证明：连接BE、EC，∵ED⊥BC，D为BC中点，∴BE=EC，∵EF⊥AB EG⊥AG，且AE平分∠FAG，∴FE=EG，在Rt△BFE和Rt△CGE中，∴Rt△BFE≌Rt△CGE (HL)，∴BF=CG。
第二步时为什么要取大于线段BC长的一半为半径画弧呢?
说出以上作角平分线的根据是什么？
疑难解答。
3.自主质疑。
在自学的过程中你如果还有什么疑问，请写在
右面或书上。
4.自主测评。
1
已知/ A,试作/ B= 1
2 （不写作法，保留作图痕迹）
5.小组互查。
B
巡视掌握讨论情
况。
组织课堂讨论和
展示。
难点点
拨，讲解。
引导
学生总结。
教后反思
作一个角等于已知角是尺规作图中五种基本作图之一，中考必考，是学生学习集合必须熟练掌握的基本能力，必须使学生了解尺规作图的含义，即使用无刻度直尺和圆规作图，基本作图是最基本，最常用的尺规作图，学生应明确和熟练掌握，基本作图步骤和常用作图语言，并多加以练习。
