15.4 .3角的平分线(判定)

初中数学什么是角的平分线定理
角的平分线定理是指：如果一条直线通过一个角的顶点，将这个角分成两个相等的角，那么这条直线称为这个角的平分线。

详细解释如下：
1. 角的平分线：角的平分线是指一条直线，通过一个角的顶点，将这个角分成两个相等的角。

平分线可以从角的内部或外部出发，但必须经过角的顶点。

2. 平分线的性质：如果一条直线是一个角的平分线，那么它具有以下性质：
-平分线将角分为两个相等的部分。

这意味着分割后的两个角的度数相等，它们具有相同的大小和形状。

-平分线与角的两边相交于不同的点。

这些交点分别位于角的两边上，且与角的顶点不重合。

3. 角的平分线定理：根据角的平分线的定义和性质，我们可以得出角的平分线定理，即："如果一条直线通过一个角的顶点，将这个角分成两个相等的角，那么这条直线称为这个角的平分线。

"
角的平分线定理在几何证明和构造中经常被使用。

它提供了角度分割和角度计算的便利，使我们能够更方便地处理角度相关的问题。

对于初中数学学习者来说，理解角的平分线定理非常重要，它可以帮助他们解决与角有关的几何问题，并在构造角的过程中正确应用平分线的性质。

初二数学角的平分线知识点
关于初二数学角的平分线知识点
初二数学角的平分线知识点
一条射线把这个角分成两个相等的角，称这条射线为这个角的平分线。

角的平分线
静态：一条射线把一个角分成两个相等的`角，这条射线叫做这个角的平分线(angular bisector)。

动态：从一个角的顶点引出一条射线，把这个角分成两个相等的角，这条射线叫做这个角的平分线(angul-ar bisector)。

三角形顶点到其内角的角平分线交对边的点连的一条线段，叫三角形的角平分线。

三角形的三条角平分线相交于一点，此点称为三角形的内心，三角形的内心到三条边的距离相等,是三角形内切圆的圆心。

三角形内角平分线分对边所得的两条线段和这个角的两边对应成比例。

三角形的角平分线上的点到角两边的距离(垂线)相等。

其实初中我们学过的角的平分线知识要领很简单，只需掌握基础性质就好。

12.3角平分线的性质及判定第3课时角平分线的应用一、教学目标知识与技能：理解和掌握角平分线性质定理和它的逆定理．能应用这两个性质解决一些简单的实际问题过程与方法：经历探索、猜想、证明的过程，进一步发展学生的推理证明意识和能力．情感态度与价值观：学生通过观察，亲自动手实验获得数学的猜想，体验数学活动充满着探索性和创作性，培养学生克服困难的意志，激发学生的学习兴趣二、教学准备多媒体课件，教学三角板三、重点难点重点：角平分线的性质难点：角平分线的应用四、教学方法讲练结合五、教学过程（一）、复习旧知1、角平分线的定义：从一个角的顶点引出一条射线，把这个角分成两个相等的角，这条射线叫做这个角的角平分线。

2、角平分线的性质定理：在角平分线上的点到这个角的两条边的距离相等。

3、判定定理：在角的内部到这个角的两边距离相等的点在这个角的角平分线上。

（二）、情境导入在S区有一个集贸市场P，它建在公路与铁路所成角的平分线上，要从P点建两条路，一条到公路，一条到铁路．问题1：怎样修建道路最短？问题2：往哪条路走更近呢？（三）探究新知关于三角形三条角平分线的交点问题如图，如果AP、BQ、CR分别是△ABC的内角∠BAC、∠ABC、∠ACB 的平分线，那么：①AP、BQ、CR相交于一点吗？②若ID、IE、IF分别垂直于BC、CA、AB于点D、E、F，DI、EI、FI 有什么关系？结论：三角形三个内角角平分线的交点一定在三角形的内部. 三角形三条角平分线相交于一点，并且这一点到三边的距离相等. （四）例题精析例1三角形内（外）角平分线夹角结论（1）如图①PB、PC分别平分∠ABC和∠ACB（2）如图②PB、PC分别平分∠ABC和∠ACB的外角（3）如图③PB平分∠ABC、PC平分∠ACB的外角结论：（1）∠P=90°+21∠A（2）∠P=90°-21∠A（3）∠P=21∠A应用：如图在△ABC中，PB平分∠ABC，PC平分∠ACB的外角，若∠BPC=30°，则∠BAC= °例2、在△ABC中，O是角平分线BE和CD的交点，∠A=60°，求证：OD=OE例3、在△ABC中，AD是角平分线，2∠C=∠B， AC-AB=BDDEOBADA课堂练习在正方形ABCD中，∠1=∠2 AE=BE+DF（六）、课堂小结本节课我们学习了什么内容？首先复习了角平分线的定义，性质定理和逆定理。

教学过程一、复习预习角平分线的定义：从一个角的顶点引出一条射线，把这个角分成两个相等的角，这条射线叫做这个角的角平分线。

二、知识讲解考点1尺规作图画角平分线（1）、以O为圆心，适当长为半径画弧，交OA于M，交OB于N。

（2）、分别以M、N为圆心，大于1/2MN的长为半径画弧，两弧在∠AOB的内部交于点C。

（3）、画射线OC。

射线OC即为所求.考点2 角平分线的性质定理：角平分线的性质定理：角平分线上的点到这个角的两边的距离相等.定理的数学表示：如图，已知OE是∠AOB的平分线，F是OE上一点，若CF⊥OA于点C，DF⊥OB于点D，则CF＝DF.定理的作用：①证明两条线段相等；②用于几何作图问题；考点3 角平分线性质定理的逆定理：角平分线性质定理的逆定理：在角的内部，且到角的两边距离相等的点在这个角的角平分线上. 定理的数学表示：如图5，已知点P在∠AOB的内部，且PC⊥OA于C，PD⊥OB于D，若PC＝PD，则点P 在∠AOB的平分线上.定理的作用：用于证明两个角相等或证明一条射线是一个角的角平分线注意角平分线的性质定理与逆定理的区别和联系 .考点4 关于三角形三条角平分线的定理：（1）关于三角形三条角平分线交点的定理：三角形三条角平分线相交于一点，并且这一点到三边的距离相等.定理的数学表示：如图6，如果AP、BQ、CR分别是△ABC的内角∠BAC、∠ABC、∠ACB的平分线，那么：①AP、BQ、CR相交于一点I；②若ID、IE、IF分别垂直于BC、CA、AB于点D、E、F，则DI＝EI＝FI.定理的作用：①用于证明三角形内的线段相等；②用于实际中的几何作图问题.（2）三角形三条角平分线的交点位置与三角形形状的关系：三角形三个内角角平分线的交点一定在三角形的内部.三、例题精析【例题1】【题干】在△ABC中，∠C是直角，AD平分∠BAC，交BC于点D。

如果AB＝8，CD＝2，那么△ABD的面积等于。

一、角的平分线性质定理1.角平分线上的点到这个角的两边的距离相等。

2.到一个角的两边距离相等的点在这个角的平分线上。

3.三角形的三条角平分线交于一点，称作内心。

内心到三角形三边的距离相等；4.三角形一个角的平分线，把对边所分成的两条线段与这个角的两邻边对应成比例。

判定：角的内部到角的两边距离相等的点，都在这个角的平分线上。

二、角平分线画法方法11、以点O为圆心，以任意长为半径画弧，两弧交角AOB两边于点M、N。

2、分别以点M、N为圆心，以大于1/2MN的长度为半径画弧，两弧交于点P。

3、作射线OP。

射线OP即为角平分线。

方法21、在两边OA、OB上分别截取OM、OC和ON、OD，使OM=ON，OC=OD。

2、连接CN与DM，相交于P。

3、作射线OP。

射线OP即为角平分线。

三、角平分线定义1、从一个角的顶点引出一条射线，把这个角分成两个完全相同的角，这条射线叫做这个角的角平分线。

2、三角形的一个角的平分线与这个角的对边相交，连结这个角的顶点和与对边交点的线段叫做三角形的角平分线（也叫三角形的内角平分线）。

三角形的角平分线是一条线段。

由于三角形有三个内角，所以三角形有三条角平分线。

三角形的角平分线交点一定在三角形内部。

三角形三条角平分线的交点叫做三角形的内心。

三角形的内心到三边的距离相等，是该三角形内切圆的圆心。

四、角的平分线的定义：一条射线把一个角分成两个相等的角，这条射线叫做这个角的平分线。

1、角的平分线的定义：一条射线把一个角分成两个相等的角，这条射线叫做这个角的平分线。

五、角平分线的性质：角平分线上的点，到角两边的距离相等定理：角平分线上的任意一点，到角两边的距离相等。

垂直于两边为最短距离。

角平分线能得到相同的两个角。

三角形三条角平分线相交于一点，并且这一点到三边的距离相等。

逆定理：到角两边的距离相等的点在角平分线上。

5道判定平分线五道判定平分线一、什么是平分线平分线是指将一个角平分为两个相等的角的线段。

在几何学中，平分线是一种重要的概念，它可以帮助我们解决一些与角度有关的问题。

二、如何判定平分线1. 通过角度相等判定：如果一条线段将一个角分成两个相等的角，那么这条线段就是这个角的平分线。

2. 通过垂直相等判定：如果一条线段与另外两条垂直线段相交，且与其中一条垂直线段的两个交点到另一条垂直线段的距离相等，那么这条线段就是这两条垂直线段所夹角的平分线。

3. 通过三角形内角相等判定：如果一条线段与三角形的两边相交，且与其中一条边的两个交点到另一条边的距离相等，那么这条线段就是这个三角形内角的平分线。

4. 通过三角形外角相等判定：如果一条线段与三角形的一边相交，且与另一条边的延长线上的一点和这条边的另一点连线的角度相等，那么这条线段就是这个三角形外角的平分线。

5. 通过对称性判定：如果一条线段与一个图形的两个对称点相连，那么这条线段就是这个图形的平分线。

三、平分线的性质1. 平分线与所分角的两边相交的点与角的顶点在同一直线上。

2. 平分线将所分角分成两个相等的角。

3. 平分线与所分角的两边相交的角度相等。

4. 平分线与所分角的两边相交的点到顶点的距离相等。

5. 平分线与所分角的两边相交的点与角的对顶点的距离相等。

6. 平分线与所分角的两边相交的点与两边的交点到顶点的距离的比等于所分角两边的比值。

四、平分线的应用1. 在解决角度问题时，可以利用平分线的性质来简化计算，减少出错的概率。

2. 在解决三角形问题时，平分线可以帮助我们判断三角形的形状和性质，进而推导出一些结论。

3. 在解决对称性问题时，平分线可以帮助我们找到图形的对称中心，从而分析图形的对称性质。

4. 平分线的概念也可以应用于其他几何图形，如四边形、多边形等，帮助我们解决与角度有关的问题。

5. 平分线的概念还可以应用于物理学和工程学等领域，例如在光学中，平分线可以用来解决光线的反射和折射问题。

角的平分线的性质（基础）责编：杜少波【学习目标】1．掌握角平分线的性质，理解三角形的三条角平分线的性质．2．掌握角平分线的判定及角平分线的画法．3. 熟练运用角的平分线的性质解决问题．【要点梳理】【高清课堂：388612 角平分线的性质，知识要点】要点一、角的平分线的性质角的平分线的性质：角的平分线上的点到角两边的距离相等.要点诠释：用符号语言表示角的平分线的性质定理：若CD平分∠ADB，点P是CD上一点，且PE⊥AD于点E，PF⊥BD于点F，则PE＝PF.要点二、角的平分线的判定角平分线的判定：角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上.要点诠释：用符号语言表示角的平分线的判定：若PE⊥AD于点E，PF⊥BD于点F，PE＝PF，则PD平分∠ADB要点三、角的平分线的尺规作图角平分线的尺规作图（1）以O为圆心，适当长为半径画弧，交OA于D，交OB于E.（2）分别以D、E为圆心，大于12DE的长为半径画弧，两弧在∠AOB内部交于点C.（3）画射线OC.射线OC即为所求.要点四、三角形角平分线的性质三角形三条角平分线交于三角形内部一点，此点叫做三角形的内心且这一点到三角形三边的距离相等.三角形的一内角平分线和另外两顶点处的外角平分线交于一点.这点叫做三角形的旁心.三角形有三个旁心.所以到三角形三边所在直线距离相等的点共有4个.如图所示：△ABC 的内心为1P ，旁心为234,,P P P ，这四个点到△ABC 三边所在直线距离相等.【典型例题】类型一、角的平分线的性质1．（2015春•启东市校级月考）如图，已知BD 为∠ABC 的平分线，AB=BC ，点P 在BD 上，PM⊥AD 于M ，PN⊥CD 于N ，求证：PM=PN ．【思路点拨】根据角平分线的定义可得∠ABD=∠CBD，然后利用“边角边”证明△ABD 和△CBD 全等，根据全等三角形对应角相等可得∠ADB=∠CDB，然后根据角平分线上的点到角的两边的距离相等证明即可．【答案与解析】证明：∵BD 为∠ABC 的平分线，∴∠ABD=∠CBD，在△ABD 和△CBD 中，，∴△ABD≌△CBD（SAS ），∴∠ADB=∠CDB，∵点P 在BD 上，PM⊥AD，PN⊥CD，∴PM=PN．【总结升华】本题考查了角平分线上的点到角的两边的距离相等的性质，全等三角形的判定与性质，确定出全等三角形并得到∠ADB=∠CDB 是解题的关键．2、（2016春•潜江校级期中）如图在△ABC中∠C=90°，AC=BC，AD平分∠CAB，DE⊥AB于E，若AB=6cm，求△DEB的周长．【思路点拨】利用角平分线的性质求得CD=DE，然后利用线段中的等长来计算△DEB的周长．【答案与解析】解：∵∠C=90°，AD平分∠CAB，DE⊥AB，∴CD=DE，∴△CAD≌△EAD(HL)∴AC=AE，∵AC=BC，∴∠B=45°，∴BE=DE，∴△DEB的周长=BE+DE+BD= BE+CD+BD = BE+BC =BE+AC=BE+AE =AB=6cm．【总结升华】将△DEB的周长用相等的线段代换是关键.举一反三：AB AC=ABD与△ACD 【变式】已知：如图，AD是△ABC的角平分线，且:的面积之比为（）A．3：2 B C．2：【答案】B；提示：∵AD是△ABC的角平分线，∴点D到AB的距离等于点D到AC的距离，又∵AB AC=ABD与△ACD:3、如图，OC是∠AOB的角平分线，P是OC上一点，PD⊥OA交于点D，PE⊥OB交于点E，F是OC上除点P、O外一点，连接DF、EF，则DF与EF的关系如何？证明你的结论．【思路点拨】利用角平分线的性质证明PD ＝PE ，再根据“HL ”定理证明△OPD ≌△OPE ，从而得到∠OPD ＝∠OPE ，∠DPF ＝∠EPF ．再证明△DPF ≌△EPF ，得到结论.【答案与解析】解：DF ＝EF ．理由如下：∵OC 是∠AOB 的角平分线，P 是OC 上一点，PD ⊥OA 交于点D ，PE ⊥OB 交于点E ， ∴PD ＝PE ，由HL 定理易证△OPD ≌△OPE ，∴∠OPD ＝∠OPE ，∴∠DPF ＝∠EPF ．在△DPF 与△EPF 中，PD PE DPF EPF PF PF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△DPF ≌△EPF ，∴DF ＝EF.【总结升华】此题综合运用了角平分线的性质、全等三角形的判定及性质．由角平分线的性质得到线段相等，是证明三角形全等的关键.类型二、角的平分线的判定【高清课堂：388612 角平分线的性质，例3】4、已知，如图，CE ⊥AB,BD ⊥AC,∠B ＝∠C ，BF ＝CF.求证：AF 为∠BAC 的平分线.【答案与解析】证明： ∵CE ⊥AB,BD ⊥AC （已知）∴∠CDF ＝∠BEF ＝90°∵∠DFC ＝∠BFE(对顶角相等)∵ BF ＝CF(已知)∴△DFC≌△EFB(AAS)∴DF＝EF(全等三角形对应边相等)∵FE⊥AB，FD⊥AC（已知）∴点F在∠BAC的平分线上(到一个角的两边距离相等的点在这个角的平分线上)即AF为∠BAC的平分线【总结升华】应用角平分线性质及判定时不要遗漏了“垂直”的条件.如果遗漏了说明没有认识到“垂直”条件在证明结论的必要性.举一反三：【变式】（2014秋•肥东县期末）已知：如图，P是OC上一点，PD⊥OA于D，PE⊥OB于E，F、G分别是OA、OB上的点，且PF=PG，DF=EG．求证：OC是∠AOB的平分线．【答案】证明：在Rt△PFD和Rt△PGE中，，∴Rt△PFD≌Rt△PGE（HL），∴PD=PE，∵P是OC上一点，PD⊥OA，PE⊥OB，∴OC是∠AOB的平分线．。

上海沪科版初中数学重点知识精选掌握知识点，多做练习题，基础知识很重要！上海沪科版初中数学和你一起共同进步学业有成！15.4 角的平分线第2课时 角平分线的性质及判定【学习目标】1.理解角平分线的性质定理。

（重点）2.能运用角平分线的性质定理去解决问题。

（是重点也是难点）3.理解角平分线的性质定理的逆定理，会用该定理去解题（重点）。

4.理解三角形的三个内角的平分线相交于一点，该点到三角形三边的距离相等。

【学习过程】 一、学前准备复习旧知：1. 叫做角平分线；2. 怎样用圆规和直尺作角平分线？3．角是 对称图形， 是它的对称轴。

4.角平分线的性质定理是 。

5.这个定理的题设是 ，结论是 。

6.你能写出上述定理的逆命题吗？ 二、合作探究㈠操作：1.作∠AOB 的平分线OM ，在OM 上取点P ，过点P 作PC ⊥OA ，PD ⊥OB ，C 、D 是垂足。

2.量一量：PC 、PD 的长分别是多少？你有什么发现？3. 猜一猜：角平分线上的点具有什么性质？㈡根据你猜想的结论，写出这个问题的已知、求证、证明。

㈢形成结论：角平分线上的点到 距离相等。

㈣例题解析1.△ABC 中，AD 是平分线，BD=CD ，DE 、DF 分别垂直于AB 、AC ，E 、F 是垂足。

求证：EB=FC2．如图，CD 为Rt △ABC 斜边AB 上的高，∠BAC 的平分线分别交CD 、CB 于点E 、F,FG ⊥AB ，垂足为G 。

求证：CE=FGGFEDCBA根据所写的逆命题画出图形，写出、已知、求证并尝试证明：总结：在一个角的内部，的点在这个角的平分线上。

阅读教材P145的例题，完成下列问题已知：△ABC中，∠A、∠B的平分线AD、BE相交于点P。

求证：CP平分∠ACB本例说明，三角形三个内角的平分线一点，这点到的距离相等。

【学习检测】一、基础性练习1.已知：在△ABC中，AB=AC，AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E、F.判断下列结论是否正确：⑴DE=DF （）⑵BD=CD （）⑶AD上任一点到AB、AC的距离相等。

角的平分线的性质(提高)【学习目标】1掌握角平分线的性质，理解三角形的三条角平分线的性质.2•掌握角平分线的判定及角平分线的画法.3.熟练运用角的平分线的性质解决问题.【要点梳理】要点一、角的平分线的性质角的平分线的性质：角的平分线上的点到角两边的距离相等要点诠释：用符号语言表示角的平分线的性质定理：若CD平分/ ADB点P是CD±一点，且/KAD于点E, PF丄BD于点F,则PE二PF.要点二、角的平分线的判定角平分线的判定：角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上要点诠释: 用符号语言表示角的平分线的判定：若PEL AD 于点E, PFL BD 于点F, PE二PF,贝U PD 平分/ ADB要点三、角的平分线的尺规作图角平分线的尺规作图(1) 以0为圆心，适当长为半径画弧，交0A于D, 交0B于E.1(2) 分别以D E为圆心，大于DE的长为半径画弧，两弧在/ AOB内部交于点C.2(3) 画射线0C.射线0C即为所求.要点四、三角形角平分线的性质三角形三条角平分线交于三角形内部一点，此点叫做三角形的内心且这一点到三角形三边的距离相等•三角形的一内角平分线和另外两顶点处的外角平分线交于一点•这点叫做三角形的旁心三角形有三个旁心•所以到三角形三边所在直线距离相等的点共有4个.如图所示：△ ABC的内心为R '旁心为Fa, F S,P4‘这四个点到△ ABC三边所在直线距离相等・P4【典型例题】类型一、角的平分线的性质及判定1、如图，在厶ABC中，/ ABC的平分线与/ ACB的外角的平分线相交于点P,连接AP.(1) 求证：PA平分/ BAC的外角/ CAM(2) 过点C作CELAP, E是垂足，并延长CE交BM于点D.求证：CE=EDB c N【思路点拨】C )过P作PTL BC于T, PSL AC于S, PCL BA于Q根据角平分线性质求出PQ=PS=PT根据角平分线性质得出即可；(2)根据ASA求出△ AED^AAEC即可.【答案与解析】证明：C)过p作PTLBC于T, PSI AC于S,PQLBA于Q如图，・••在△ ABC中，/ ABC的平分线与/ ACB的外角的平分线相交于点P,••• PQ=PT PS=PT••• PQ=PS・AP平分/ DAC即PA平分/ BAC的外角/ CAMR c r jV(2)T PA平分/ BAC的外角/ CAM•••/ DAE=/ CAE •••CEL AP, •••/ AEDM AEC=90 ,在厶AED 和厶AEC 中r ZDAE=ZCAE*AE 二AEL ZDEA=ZCEA•••A AED A A AEC・CE=ED【总结升华】本题考查了角平分线性质和全等三角形的性质和判定的应用，解此题的矢键是能正确作出辅助线并进一步求出PQ=PS A AAED^AAEC注意：角平分线上的点到角两边的距离相等.举一反三：【变式】如图，AD是/ BAC的平分线，DEIAB,交AB的延长线于点E, DF丄AC于点F,且DB二DC.求证：BE二CF.【答案】证明：・DELAE, DF丄AC,AD是/ BAC的平分线,• DE= DF,/ BED=Z DFC= 90°一- 出：DB=DC在RtA BDE 与Rt △ CDF 中，、DE = DF・R tA BDE A RtA CDF( HL)・B E= CF2、如图，久。

角平分线的三个定理公式第一定理：角平分线的定义和性质角平分线是指从一个角的顶点出发，将角分成两个相等的角的线段。

角平分线有以下性质：1. 角平分线上的任意一点到角的两边的距离相等。

2. 角平分线将角分成两个相等的角。

第二定理：角平分线的垂直性质定理表述：在一个三角形中，如果一条边的角平分线与另外两条边相交，那么交点所在的线段垂直于边。

证明过程：假设在△ABC中，AD是角BAC的角平分线，且与BC相交于点D。

我们需要证明AD⊥BC。

根据角平分线的定义和性质，我们知道∠BAD=∠DAC，且AD与BC相交于点D。

假设AD不垂直于BC，即AD∥BC。

由于∠BAD=∠DAC，AD∥BC，根据平行线性质，我们可以得到∠ACD=∠CAB。

然而，根据角平分线的定义，∠ACD应该等于∠CAD，与∠ACD=∠CAB矛盾。

因此，假设AD不成立，即AD⊥BC。

第三定理：角平分线的比例性质定理表述：在一个三角形中，如果一条边的角平分线与另外两条边相交，那么该边与另外两边的比等于与它们对应的角的正弦比。

证明过程：假设在△ABC中，AD是角BAC的角平分线，且与BC相交于点D。

我们需要证明AB/BD=AC/CD。

根据角平分线的定义和性质，我们知道∠BAD=∠DAC，且AD与BC相交于点D。

根据正弦定理，我们可以得到：AB/BD = sin∠BAD/sin∠ABD，AC/CD = sin∠CAD/sin∠ACD。

由于∠BAD=∠DAC，∠ABD=∠ACD，我们可以将上述两个等式合并为：AB/BD = AC/CD。

因此，我们证明了定理的成立。

通过以上三个定理，我们可以更好地理解和应用角平分线的性质。

在几何问题中，角平分线的定理经常被用来求解角度的大小、证明几何关系等。

同时，掌握角平分线的性质还可以帮助我们更好地理解三角形的结构和性质。

总结起来，角平分线的三个定理为：1. 角平分线的定义和性质；2. 角平分线的垂直性质；3. 角平分线的比例性质。

证明三角平分线判定方法三角形是初中数学中比较重要的一个分支，它是由三条边和三个角组成。

在学习三角形的过程中，我们经常会涉及到三角形的中位线、高线，而其中最重要的就是三角形的平分线。

如何判断一个线段是三角形的平分线呢？在本文中，我们将证明三角形平分线的判定方法。

首先，我们需要明确三角形平分线的定义。

在三角形ABC 中，如果一条直线AD从角A出发，且过角A的另一边(即BC)，并且将角A分成两个相等的角，那么AD就是三角形ABC的平分线。

接下来，我们介绍三角形平分线判定方法的证明。

具体证明过程如下：1. 假设线段AD是三角形ABC的平分线，且相交于BC点E。

2. 证明角AED和角AEB相等，在三角形ABD中，由平分线的定义可知角BDA等于角EDA，而由直角相等可知角BDE等于角ADB。

因此，角BDE加上角BDA等于角EDA加上角ADB。

移项可得：角BDE等于角AED。

3. 证明角AEC和角BEA相等。

同样，在三角形ABC中，因为角BED和角DEA相等（因为AD是平分线），所以角AEC 等于角BED加上角BEA，而角BED已经通过前面的证明与角AED相等，因此可得角AEC等于角AED加上角BEA。

代入前一个结论，可得角BEA等于角BDE，即角AEC等于角BEA。

4. 证明线段AD平分BC。

在三角形ABC中，由角BEA等于角AEC可知，三角形ABE与三角形AEC相似，因此可以得到AB÷AC=AE÷EB，即AB×EB=AC×AE。

同时，因为角BED等于角AED（证明过程中已经得出），所以三角形BED与三角形AED 也相似，因此得到BD÷DE=BE÷AE，即BD×AE=DE×BE。

结合这两个式子，可得BD×AC=DC×AB，即线段AD平分线段BC。

通过以上证明过程，我们可以得出：如果一条直线AD从角A出发，且过角A的另一边(即BC)，并且将角A分成两个相等的角，那么AD就是三角形ABC的平分线。

初中数学什么是角的平分线在初中数学中，角的平分线是一个重要的概念，它在解决几何问题中具有重要的作用。

本篇文章将详细介绍角的平分线的定义、性质和定理，并探讨它在几何问题中的应用。

一、角的平分线的定义定义：在平面内，从角的顶点出发，将角分成两个相等的角的线段称为角的平分线。

二、角的平分线的性质1. 角的平分线将角分成两个相等的角。

- 由角的平分线的定义可知，角的平分线将角分成两个相等的角。

这个性质可以用来判断一个线段是否为角的平分线。

2. 在一个角中，存在且只存在一条角的平分线。

- 在一个角中，存在且只存在一条角的平分线。

也就是说，如果一条线段从角的顶点出发将角分成两个相等的角，那么这条线段就是这个角的平分线。

3. 角的平分线与角的另一条边相交于一个点，该点到角的两边距离相等。

- 角的平分线与角的另一条边相交于一个点，该点称为角的平分点。

角的平分点到角的两边距离相等。

这个性质可以用来求解角的平分点。

4. 如果一条线段是一个角的平分线，那么它将这个角分成两个相等的角，并且这两个角的正弦、余弦和正切值相等。

- 对于一个角ABC和其平分线AD，我们有∠BAD=∠CAD，sin(∠BAD)=sin(∠CAD)，cos(∠BAD)=cos(∠CAD)，tan(∠BAD)=tan(∠CAD)。

三、角的平分线的定理1. 定理1：如果一条线段是一个角的平分线，那么它将这个角分成两个相等的角。

- 这个定理是角的平分线的定义，也是角的平分线最基本的性质。

2. 定理2：如果一条直线将一个角分成两个相等的角，那么这条直线是这个角的平分线。

- 如果一条直线将一个角ABC分成两个相等的角∠ABD和∠CBD，那么这条直线BD就是角ABC的平分线。

3. 定理3：如果一条线段在一个角的内部，且将这个角分成两个相等的角，那么这条线段是这个角的平分线。

- 如果一条线段AD在角ABC的内部，且使∠BAD=∠CAD，那么线段AD就是角ABC的平分线。