高二数学人教选修1-2同步练习：综合检测(二) Word版含解析

第二章综合素质检测时间120分钟，满分150分。

一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．有如下一段演绎推理：“有些有理数是真分数，整数是有理数，则整数是真分数”，这个推理的结论显然是错误的，是因为( )A ．大前提错误B ．小前提错误C ．推理形式错误D ．非以上错误 [答案] C[解析] 推理形式不完全符合三段论推理的要求，故推出的结论是错误的．2．已知数列{a n }的前n 项和S n ＝n 2·a n (n ≥2)，而a 1＝1，通过计算a 2、a 3、a 4，猜想a n ＝( )A.2(n ＋1)2 B.2n (n ＋1) C.22n －1 D.22n －1 [答案] B[解析] 考查归纳推理．a 2＝S 2－S 1＝22a 2－1∴a 2＝13a 3＝S 3－S 2＝32·a 3－22·a 2＝9a 3－4×13∴a 3＝16a 4＝S 4－S 3＝42·a 4－32a 3＝16a 4－9×16∴a 4＝110由此猜想a n ＝2n (n ＋1)3．观察数列1,2,2,3,3,3,4,4,4,4，…的特点，问第100项为( )A ．10B ．14C ．13D ．100[答案] B[解析] 设n ∈N *，则数字n 共有n 个所以n (n ＋1)2≤100即n (n ＋1)≤200， 又因为n ∈N *，所以n ＝13，到第13个13时共有13×14291项，从第92项开始为14，故第100项为14.4．如果x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0与x 轴相切于原点，那么( )A ．F ＝0，D ≠0，E ≠0B ．E ＝0，F ＝0，D ≠0C ．D ＝0，F ＝0，E ≠0D ．D ＝0，E ＝0，F ≠0 [答案] C[解析] ∵圆x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0与x 轴相切于原点，∴圆过原点，F ＝0，又圆心在y 轴上，∴D ＝0，E ≠0.5．已知a <b <0，下列不等式中成立的是( )A ．a 2<b 2B.a b <1 C ．a <4－bD.1a <1b [答案] C[解析] ∵a <b <0，∴－b >0,4－b >4，∴a <4－b .6．已知f 1(x )＝cos x ，f 2(x )＝f 1′(x )，f 3(x )＝f 2′(x )，f 4(x )＝f 3′(x )，…，f n (x )＝f n －1′(x )，则f 2011(x )等于( )A ．sin xB ．－sin xC ．cos xD ．－cos x [答案] D[解析] 由已知，有f 1(x )＝cos x ，f 2(x )＝－sin x ，f 3(x )＝－cos x ，f 4(x )＝sin x ，f 5(x )＝cos x ，…，可以归纳出：f 4n (x )＝sin x ，f 4n ＋1(x )＝cos x ，f 4n ＋2(x )＝－sin x ，f 4n ＋3(x )＝－cos x (n ∈N *)．所以f 2011(x )＝f 3(x )＝－cos x .7．已知数列{a n }满足a 1＝0，a n ＋1＝a n －33a n ＋1(n ∈N *)，则a 20等于( ) A ．0B ．－ 3 C. 3D.32[答案] B[解析] a 2＝0－30＋1＝－3，a 3＝－3－3－3·3＋1＝3，a 4＝0，所以此数列具有周期性，0，－3，3依次重复出现．因为20＝3×6＋2，所以a 20＝－ 3.8．已知1＋2×3＋3×32＋4×32＋…＋n ×3n －1＝3n (na －b )＋c 对一切n ∈N *都成立，那么a ，b ，c 的值为( )A ．a ＝12，b ＝c ＝14B ．a ＝b ＝c ＝14C ．a ＝0，b ＝c ＝14D ．不存在这样的a ，b ，c[答案] A[解析] 令n ＝1,2,3，得⎩⎪⎨⎪⎧3(a －b )＋c ＝1，9(2a －b )＋c ＝7，27(3a －b )＋c ＝34.所以a ＝12，b ＝c ＝14. 9．已知f (x )＝x 3＋x ，a ，b ，c ∈R ，且a ＋b >0，a ＋c >0，b ＋c >0，则f (a )＋f (b )＋f (c )的值( )A ．一定大于零B ．一定等于零C ．一定小于零D ．正负都有可能 [答案] A[解析] f (x )＝x 3＋x 是奇函数，且在R 上是增函数，由a ＋b >0得a >－b ，所以f (a )>f (－b )，即f (a )＋f (b )>0，同理f (a )＋f (c )>0，f (b )＋f (c )>0，所以f (a )＋f (b )＋f (c )>0.10．用反证法证明命题“若整数系数一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)有有理根，那么a 、b 、c 中至少有一个是偶数”，下列各假设中正确的是( )A ．假设a ，b ，c 都是偶数B ．假设a ，b ，c 都不是偶数C ．假设a ，b ，c 中至多有一个是偶数D ．假设a ，b ，c 中至多有两个偶数[答案] B[解析] 对命题的结论“a ，b ，c 中至少有一个是偶数”进行否定假设应是“假设a ，b ，c 都不是偶数”．因为“至少有一个”即有一个、两个或三个，因此它的否定应是“都不是”．11．已知数列{a n }的通项公式a n ＝1(n ＋1)2(n ∈N *)，记f (n )＝(1－a 1)(1－a 2)(1－a 3)…(1－a n )，通过计算f (1)、f (2)、f (3)、f (4)的值，由此猜想f (n )＝( )A.n ＋22(n ＋1) B.n ＋24n C.2n －1(n ＋1)2 D.n ＋1n (n ＋1) [答案] A12．若sin A a ＝cos B b ＝cos C c，则△ABC 是( ) A ．等边三角形B ．有一个内角是30°的直角三角形C ．等腰直角三角形D ．有一个内角是30°的等腰三角形[答案] C[解析] ∵sin A a ＝cos B b ＝cos C c，由正弦定理得， sin A a ＝sin B b ＝sin C c ，∴sin B b ＝cos B b ＝cos C c ＝sin C c， ∴sin B ＝cos B ，sin C ＝cos C ，∴∠B ＝∠C ＝45°，∴△ABC 是等腰直角三角形．二、填空题(本大题共4个小题，每小题4分，共16分，将正确答案填在题中横线上)13．对于“求证函数f (x )＝－x 3在R 上是减函数”，用“三段论”可表示为：大前提是“对于定义域为D 的函数f (x )，若对任意x 1，x 2∈D 且x 2－x 1>0，有f (x 2)－f (x 1)<0，则函数f (x )在D 上是减函数”，小前提是“________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________”，结论是“f (x )＝－x 3在 R 上是减函数”．[答案] 对于任意x 1，x 2∈R 且x 2－x 1>0，有f (x 2)－f (x 1)＝－x 32＋x 31＝－(x 2－x 1)(x 22＋x 1x 2＋x 21)＝－(x 2－x 1)·⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫x 2＋x 122＋34x 21<0 14．在△ABC 中，D 为边BC 的中点，则AD →＝12(AB →＋AC →)．将上述命题类比到四面体中去，得到一个类比命题：________________________________________________________________________.[答案] 在四面体A －BCD 中，G 为△BCD 的重心，则AG →＝13(AB →＋AC →＋AD →)15．已知数列{a n }，a 1＝12，a n ＋1＝3a n a n ＋3，则a 2、a 3、a 4、a 5分别为________，猜想a n ＝________.[答案] 37，38，39，310，3n ＋5. 16．已知函数f (x )＝x 2－cos x ，对于⎣⎡⎦⎤－π2，π2上的任意x 1，x 2，有如下条件： ①x 1>x 2；②x 21>x 22；③|x 1|>x 2.其中能使f (x 1)>f (x 2)恒成立的条件序号是______．[答案] ②[解析] 易知函数f (x )是偶函数，且在⎝⎛⎭⎫0，π2上是增函数，故能使f (x 1)>f (x 2)恒成立的条件只有②x 21>x 22.三、解答题(本大题共6个小题，共74分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17．(本题满分12分)已知：a 、b 、c ∈R ，且a ＋b ＋c ＝1.求证：a 2＋b 2＋c 2≥13[解析] 证明：由a 2＋b 2≥2ab ，b 2＋c 2≥2bc ，c 2＋a 2≥2ca .三式相加得a 2＋b 2＋c 2≥ab ＋bc ＋ca .∴3(a 2＋b 2＋c 2)≥(a 2＋b 2＋c 2)＋2(ab ＋bc ＋ca )＝(a ＋b ＋c )2.由a ＋b ＋c ＝1，得3(a 2＋b 2＋c 2)≥1，即a 2＋b 2＋c 2≥13. 18．(本题满分12分)设{a n }，{b n }是公比不相等的两个等比数列，若c n ＝a n ＋b n ，请证明数列{c n }不是等比数列．[证明] 假设数列{c n }是等比数列，则(a n ＋b n )2＝(a n －1＋b n －1)(a n ＋1＋b n ＋1)．①因为{a n }，{b n }是等比数列，设公比分别为p ，q ，则有a 2n ＝a n －1·a n ＋1，b 2n ＝b n －1·b n ＋1.②整理①式，并将②代入得2a n b n ＝a n ＋1b n －1＋a n －1b n ＋1.所以2a n b n ＝a n p ·b n q ＋a n p ·b n q ，即2＝p q ＋q p. 因为p ≠q ，所以p q ＋q p≠2，得出矛盾，所以假设不成立． 故数列{c n }不是等比数列．19．(本题满分12分)若x >0，y >0，用分析法证明：(x 2＋y 2)12>(x 3＋y 3)13.[证明] 要证(x 2＋y 2)12>(x 3＋y 3)13， 只需证(x 2＋y 2)3>(x 3＋y 3)2，即证x 6＋3x 4y 2＋3x 2y 4＋y 6>x 6＋2x 3y 3＋y 6，即证3x 4y 2＋3y 4x 2>2x 3y 3.又因为x >0，y >0，所以x 2y 2>0，故只需证3x 2＋3y 2>2xy .而3x 2＋3y 2>x 2＋y 2≥2xy 成立，所以(x 2＋y 2)12>(x 3＋y 3)13成立． 20．(本题满分12分)证明下列等式，并从中归纳出一个一般性的结论．2cos π4＝2， 2cos π8＝2＋2， 2cos π16＝2＋2＋2， ……[证明] 2cos π4＝2·22＝ 2 2cos π8＝21＋cos π42 ＝2·1＋222＝2＋ 22cos π16＝21＋cos π82 ＝21＋122＋22 ＝2＋2＋ 2 …2cos π2n ＋1＝2＋2＋2＋…n 个根号21．(本题满分12分)已知数列{a n }满足a 1＝3，a n ·a n －1＝2·a n －1－1.(1)求a 2，a 3，a 4；(2)求证：数列⎩⎨⎧⎭⎫1a n －1是等差数列，并求出数列{a n }的通项公式．[解析] (1)由a n ·a n －1＝2·a n －1－1得a n ＝2－1a n －1， 代入a 1＝3，n 依次取值2,3,4，得a 2＝2－13＝53，a 3＝2－35＝75，a 4＝2－57＝97(2)证明：由a n ·a n －1＝2·a n －1－1变形，得(a n －1)·(a n －1－1)＝－(a n －1)＋(a n －1－1)，即1a n －1－1a n －1－1＝1， 所以{1a n －1}是等差数列． 由1a 1－1＝12，所以1a n －1＝12＋n －1，变形得a n －1＝22n －1， 所以a n ＝2n ＋12n －1为数列{a n }的通项公式． 22．(本题满分14分)已知函数f (x )对任意实数a 、b 都有f (a ＋b )＝f (a )＋f (b )－1，并且当x >0时，f (x )>1.(1)求证：f (x )是R 上的增函数．(2)若f (4)＝5，解不等式f (3m 2－m －2)<3.[解析] (1)证明：设任意x 1，x 2∈R ，且x 2>x 1，则有x 2－x 1>0，利用已知条件“当x >0时，f (x )>1”得f (x 2－x 1)>1，而f (x 2)－f (x 1)＝f [(x 2－x 1)＋x 1]－f (x 1)＝f (x 2－x 1)＋f (x 1)－1－f (x 1)＝f (x 2－x 1)－1>0，即f (x 2)>f (x 1)，所以f (x )是R 上的增函数．(2)由于f (4)＝f (2)＋f (2)－1＝5，所以f (2)＝3.由f (3m 2－m －2)<3得f (3m 2－m －2)<f (2)．由f (x )是R 上的增函数，得3m 2－m －2<2，解得－1<m <43.。

第二章单元综合检测(二)(时间分钟满分分)一、选择题(本大题共小题，每小题分，共分)．下面几种推理是合情推理的是( )①由圆的性质类比出球的有关性质；②由直角三角形、等腰三角形、等边三角形内角和都是°归纳出所有三角形的内角和都是°；③某次考试张军成绩是分，由此推出全班同学成绩都是分；④三角形内角和是°，四边形内角和是°，五边形内角和是°，由此得凸多边形内角和是(－)·°.．仅①②．①③④．①②④．仅②④解析：合情推理包括归纳推理和类比推理，都是根据已有的事实，经过观察、分析、比较、联想，再进行归纳、类比，然后提出猜想的推理．归纳推理，应是由部分对象的特征，推出全部对象的特征．②④都具备此特征，①是类比推理，③中仅有一个同学的成绩，并不能推出全班同学的成绩，故选.答案：．下列有关三段论推理“凡是自然数是整数，是自然数，所以是整数”的说法正确的是( )．推理正确．推理形式错误．大前提错误．小前提错误解析：三段论中的大前提、小前提以及推理形式都是正确的，所以结论正确．答案：．由“正三角形的内切圆切于三边的中点”可类比猜想：“正四面体的内切球切于四个面．”( )．各正三角形内一点．各正三角形的某高线上的点．各正三角形的中心．各正三角形外的某点解析：正三角形的边对应正四面体的面，即正三角形所在的正四面体的侧面，所以边的中点对应的就是正四面体各正三角形的中心．故选.答案：．已知命题为真命题，命题为假命题，则在命题：∨，：∧，：(¬)∨和：∧(¬)中，真命题是( )．，．，．，．，解析：由复合命题的真值表知，：∨为真，：∧为假，：(¬)∨为假，：∧(¬)为真，故真命题是，，故选.答案：．用反证法证明：若≥>，则＋－≤＋－的假设为( )．＋－<＋－．＋－≥＋－．＋－>＋－．＋－≤＋－解析：易知“≤”的对立面为“>”．故选.答案：．已知数列{}满足＋＝，＝，则可归纳出{}的一个通项公式为( )．＝．＝．＝．＝解析：由＋＝和＝得＝＝，＝＝＝，＝＝，＝＝＝.归纳上述结果，得到猜想：＝.答案：．如下图所示，个小动物换座位，开始时鼠，猴，兔，猫分别坐号座位，如果第次前后排动物互换座位，第次左右列动物互换座位，第次前后排动物互换座位，第次左右列动物互换座位，…，这样交替进行下去，那么第次互换座位后，小兔所坐的座位号为( )．．．．解析：由题意得第次互换座位后，个小动物又回到了原座位，即每经过次互换座位后，小动物回到原座位，而＝×＋，所以第次互换座位后的结果与第次互换座位后的结果相同，故小兔坐在号座位上，应选.答案：．已知>，不等式＋≥，＋≥，＋≥，…，可推广为＋≥＋，则的值为( )．．．．－解析：由＋≥，＋＝＋≥，＋＝＋≥，…，可推广为＋≥＋，故＝.答案：．若实数，满足<<，且＋＝，则下列四个数中最大的是( )．．。

模块综合质量测评一、选择题(本大题共小题，每小题分，共分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)．在复平面内，复数(－)对应的点位于( )．第一象限．第二象限．第三象限．第四象限解析：利用复数乘法的运算法则及复数的几何意义求解．∵＝(－)＝－＝＋，∴复数在复平面内的对应点为()，在第一象限．答案：．设有一个回归方程＝－，变量每增加一个单位时，变量平均( )．增加个单位．增加个单位．减少个单位．减少个单位解析：＝－的斜率为－，故每增加一个单位，就减少个单位．答案：．下列框图中，可作为流程图的是( )解析：流程图具有动态特征，只有答案符合．答案：．下列推理正确的是( )．如果不买彩票，那么就不能中奖，因为你买了彩票，所以你一定中奖．因为>，>，所以－>－．若，均为正实数，则＋≥．若为正实数，<，则＋＝－≤－＝－解析：中推理形式错误，故错；中，关系不确定，故错；中，正负不确定，故错．答案：．设，是复数，则下列命题中的假命题是( )．若－＝，则＝．若＝，则＝．若＝，则·＝·．若＝，则＝解析：结合复数的模、共轭复数及复数的运算等判断求解．，－＝⇒－＝⇒＝⇒＝，真命题；，＝⇒＝＝，真命题；，＝⇒＝⇒·＝·，真命题；，当＝时，可取＝，＝，显然＝，＝－，即≠，假命题．答案：．已知数列{}满足＋＝－－(≥，且∈)，＝，＝，记＝＋＋…＋，则下列选项中正确的是( )．＝－，＝－．＝－，＝－．＝－，＝－．＝－，＝－解析：＝－＝－，＝＋＋＝；＝－＝－，＝＋＝－；＝－＝－，＝＋＝－；＝－＝－，＝＋＝；＝－＝，＝＋＝.通过观察可知，都是项一重复，所以由归纳推理得＝＝－，＝＝－，故选.答案：．三点()，()，()的线性回归方程是( )＝－＝－＋＝－＝＋解析：由三点()，()，()，可得＝＝，＝＝，即样本中心点为()，∴＝＝，＝－×＝，所以＝＋.答案：．由①正方形的四个内角相等；②矩形的四个内角相等；③正方形是矩形，根据“三段论”推理出一个结论，则作为大前提、小前提、结论的分别为( )．②①③．③①②．①②③．②③①解析：①是结论形式，③是小前提．答案：．阅读如下程序框图，如果输出＝，那么空白的判断框中应填入的条件是( )。

模块综合检测(一)(时间分钟，满分分)一、选择题(本大题共小题，每小题分，共分)．(新课标全国卷Ⅱ)设复数，在复平面内的对应点关于虚轴对称，＝＋，则＝()．．－．－－．－＋解析：选由题意可知＝－＋，所以＝(＋)·(－＋)＝－＝－.．下列平面图形中，与空间中的平行六面体作为类比对象较为合适的是()．梯形．三角形．平行四边形．矩形解析：选只有平行四边形与平行六面体较为接近．．实数的结构图如图所示，其中三个方格中的内容分别为()．有理数、零、整数．有理数、整数、零．零、有理数、整数．整数、有理数、零解析：选由实数的包含关系知正确．．已知数列，＋，＋＋，＋＋＋，…，则数列的第项是()．＋＋＋…＋．－＋＋…＋－．－＋＋…＋．－＋＋…＋－解析：选利用归纳推理可知，第项中第一个数为－，且第项中有项，次数连续，故第项为－＋＋…＋－.．下列推理正确的是()．如果不买彩票，那么就不能中奖，因为你买了彩票，所以你一定中奖．因为>，>，所以－>－．若，均为正实数，则＋≥· )．若为正实数，<，则＋＝－＋≤－＝－解析：选中推理形式错误，故错；中，关系不确定，故错；中，正负不确定，故错．．已知复数＝＋，＝－.若为实数，则实数的值为()．－．－解析：选＝＝＝.∵为实数，∴＋＝，∴＝－.．观察下列等式：(＋)＝×(＋)(＋)＝××(＋)(＋)(＋)＝×××…照此规律，第个等式为()．(＋)(＋)…(＋)＝×××…×(－)．(＋)(＋)…(＋＋＋)＝×××…×(－)．(＋)(＋)…(＋)＝×××…×(＋)．(＋)(＋)…(＋＋)＝＋×××…×(－)解析：选观察规律，等号左侧为(＋)(＋)…(＋)，等号右侧分两部分，一部分是，另一部分是××…×(－)．．观察下列各式：＝＝＝，…，则的末四位数字为()．．．．解析：选∵＝＝＝，＝＝＝，…，∴(∈，且≥)的末四位数字呈周期性变化，且最小正周期为.记(∈，且≥)的末四位数为()，则( )＝(×＋)＝()，∴与的末四位数相同，均为 .．(重庆高考)执行如图所示的程序框图，则输出的的值是()。

模块综合检测(二)(时间90分钟，满分120分)一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分) 1．设z ＝10i3＋i，则z 的共轭复数为( ) A ．－1＋3i B ．－1－3i C ．1＋3iD ．1－3i解析：选D ∵z ＝10i3＋i ＝10i (3－i )(3＋i )(3－i )＝1＋3i ，∴＝1－3i.2．以下说法，正确的个数为( )①公安人员由罪犯的脚印的尺寸估量罪犯的身高状况，所运用的是类比推理． ②农谚“瑞雪兆丰年”是通过归纳推理得到的．③由平面几何中圆的一些性质，推想出球的某些性质，这是运用的类比推理．④个位是5的整数是5的倍数，2 375的个位是5，因此2 375是5的倍数，这是运用的演绎推理． A ．0 B ．2 C ．3 D ．4解析：选C ①人的身高与脚长的关系：身高＝脚印长×6.876(中国人)，是通过统计数据用线性回归的思想方法得到的，故不是类比推理，所以错误．②农谚“瑞雪兆丰年”是人们在长期的生产生活实践中提炼出来的，所以是用的归纳推理，故正确．③由球的定义可知，球与圆具有很多类似的性质，故由平面几何中圆的一些性质，推想出球的某些性质是运用的类比推理是正确的．④这是运用的演绎推理的三段论．大前提是“个位是5的整数是5的倍数”，小前提是“2 375的个位是5”，结论为“2 375是5的倍数”，所以正确．故选C.3．观看下图中图形的规律，在其右下角的空格内画上合适的图形为( )解析：选A 表格中的图形都是矩形、圆、正三角形的不同排列，规律是每一行中只有一个图形是空心的，其他两个都是填充颜色的，第三行中已经有正三角形是空心的了，因此另外一个应当是阴影矩形．4．三段论：“①全部的中国人都坚强不屈；②雅安人是中国人；③雅安人肯定坚强不屈”，其中“大前提”和“小前提”分别是( )A ．①②B ．①③C ．②③D ．②①解析：选A 解本题的关键是透彻理解三段论推理的形式和实质：大前提是一个“一般性的命题”(①全部的中国人都坚强不屈)，小前提是“这个特殊事例是否满足一般性命题的条件”(②雅安人是中国人)，结论是“这个特殊事例是否具有一般性命题的结论”(③雅安人肯定坚强不屈)．故选A.5．已知a ，b 是异面直线，直线c 平行于直线a ，那么c 与b 的位置关系为( ) A ．肯定是异面直线 B ．肯定是相交直线 C ．不行能是平行直线 D ．不行能是相交直线解析：选C 假设c ∥b ，而由c ∥a ，可得a ∥b ，这与a ，b 异面冲突，故c 与b 不行能是平行直线．故应选C.6．给出下面类比推理命题(其中Q 为有理数集，R 为实数集，C 为复数集)： ①“若a ，b ∈R ，则a －b ＝0⇒a ＝b ”类比推出：“a ，b ∈C ，则a －b ＝0⇒a ＝b ”；②“若a ，b ，c ，d ∈R ，则复数a ＋b i ＝c ＋d i ⇒a ＝c ，b ＝d ”类比推出：“若a ，b ，c ，d ∈Q ，则a ＋b 2＝c ＋d 2⇒a ＝c ，b ＝d ”；③“若a ，b ∈R ，则a －b >0⇒a >b ”类比推出：“若a ，b ∈C ，则a －b >0⇒a >b ”； ④“若x ∈R ，则|x |<1⇒－1<x <1”类比推出：“若z ∈C ，则|z |<1⇒－1<z <1”． 其中类比结论正确的个数是( ) A ．1 B ．2 C ．3D ．4解析：选B ①②正确，③④错误，由于③④中虚数不能比较大小． 7．执行如图所示的程序框图，则输出s 的值为( )A ．10B ．17C ．19D ．36解析：选C 执行程序：k ＝2，s ＝0；s ＝2，k ＝3；s ＝5，k ＝5；s ＝10，k ＝9；s ＝19，k ＝17，此时不满足条件k <10，终止循环，输出结果为s ＝19.选C.8．p ＝ab ＋cd ，q ＝ma ＋nc ·b m ＋dn (m ，n ，a ，b ，c ，d 均为正数)，则p ，q 的大小为( ) A ．p ≥q B ．p ≤q C ．p >q D ．不确定解析：选B q ＝ab ＋mad n ＋nbc m＋cd ≥ab ＋2abcd ＋cd ＝ab ＋cd ＝p .9．下图所示的是“概率”学问的( )A ．流程图B ．结构图C ．程序框图D ．直方图解析：选B 这是关于“概率”学问的结构图．10．为了解某班同学宠爱打篮球是否与性别有关，对该班50名同学进行了问卷调查，得到如下的2×2列联表：宠爱打篮球不宠爱打篮球总计 男生 20 5 25 女生 10 15 25 总计302050那么在犯错误的概率不超过________的前提下，认为“宠爱打篮球与性别有关”．( ) 附参考公式：K 2＝n (ad －bc )2(a ＋b )(c ＋d )(a ＋c )(b ＋d )P (K 2＞k 0)0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 k 02.7063.8415.0246.6357.78910.828A.0.05 B ．0.010 C ．0.005D ．0.001解析：选C 由2×2列联表可得，K 2的估量值k ＝50×(20×15－10×5)230×20×25×25＝253≈8.333>7.789，所以在犯错误的概率不超过0.005的前提下，认为“宠爱打篮球与性别有关”．二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)11．设a ＝3＋22，b ＝2＋7，则a ，b 的大小关系为________________．解析：a ＝3＋22，b ＝2＋7两式的两边分别平方，可得a 2＝11＋46，b 2＝11＋47，明显，6<7.∴a <b .答案：a <b 12．复数z ＝i1＋i(其中i 为虚数单位)的虚部是________． 解析：化简得z ＝i 1＋i ＝i (1－i )(1＋i )(1－i )＝12＋12i ，则虚部为12.答案：1213．依据如图所示的框图，对大于2的整数N ，输出的数列的通项公式是________(填序号)．①a n ＝2n ②a n ＝2(n －1) ③a n ＝2n ④a n ＝2n －1解析：由程序框图可知：a 1＝2×1＝2，a 2＝2×2＝4，a 3＝2×4＝8，a 4＝2×8＝16，归纳可得：a n ＝2n . 答案：③14．(福建高考)已知集合{a ，b ，c }＝{0,1,2}，且下列三个关系：①a ≠2；②b ＝2；③c ≠0 有且只有一个正确，则100a ＋10b ＋c 等于________．解析：可分下列三种情形：(1)若只有①正确，则a ≠2，b ≠2，c ＝0，所以a ＝b ＝1与集合元素的互异性相冲突，所以只有①正确是不行能的；(2)若只有②正确，则b ＝2，a ＝2，c ＝0，这与集合元素的互异性相冲突，所以只有②正确是不行能的； (3)若只有③正确，则c ≠0，a ＝2，b ≠2，所以b ＝0，c ＝1，所以100a ＋10b ＋c ＝100×2＋10×0＋1＝201. 答案：201三、解答题(本大题共4小题，共50分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)15．(本小题满分12分)已知复数z1满足(z1－2)(1＋i)＝1－i(i为虚数单位)，复数z2的虚部为2，且z1·z2是实数，求z2.解：(z1－2)(1＋i)＝1－i⇒z1＝2－i.设z2＝a＋2i，a∈R，则z1·z2＝(2－i)(a＋2i)＝(2a＋2)＋(4－a)i.∵z1·z2∈R，∴a＝4.∴z2＝4＋2i.16．(本小题满分12分)某高校远程训练学院网上学习流程如下：(1)同学凭录用通知书到当地远程训练中心报到，交费注册，领取网上学习注册码．(2)网上选课，课程学习，完成网上平常作业，获得平常作业成果．(3)预约考试，参与期末考试获得期末考试成果，获得综合成果，成果合格获得学分，否则重修．试画出该远程训练学院网上学习流程图．解：某高校远程训练学院网上学习流程如下：17．(本小题满分12分)某同学对其亲属30人的饮食习惯进行了一次调查，并用下图所示的茎叶图表示30人的饮食指数．(说明：图中饮食指数低于70的人，饮食以蔬菜为主；饮食指数高于70的人，饮食以肉类为主)(1)依据以上数据完成下面的2×2列联表：主食蔬菜主食肉类总计50岁以下50岁以上总计(2)能否在犯错误的概率不超过0.010的前提下认为“其亲属的饮食习惯与年龄有关”？并写出简要分析．解：(1)2×2列联表如下：＝30×(8－128)212×18×20×10＝(2)由于K2的观测值k10>6.635，所以在犯错误的概率不超过0.010的前提下认为“其亲属的饮食习惯与年龄有关”．18．(本小题满分14分)为了探究同学选报文、理科是否与对外语的爱好有关，某同学调查了361名高二在校同学，调查结果如下：理科对外语有爱好的有138人，无爱好的有98人，文科对外语有爱好的有73人，无爱好的有52人．试分析同学选报文、理科与对外语的爱好是否有关？解：依据题目所给的数据得到如下列联表：理科文科总计有爱好13873211无爱好9852150总计2361253612k＝361×(138×52－73×98)2236×125×211×150≈1.871×10－4.由于1.871×10－4<2.706，所以据目前的数据不能认为同学选报文、理科与对外语的爱好有关，即可以认为同学选报文、理科与对外语的爱好无关．主食蔬菜主食肉类总计50岁以下481250岁以上16218总计201030。

选修1－2 综合学业质量标准检测时间120分钟，满分150分．一、单项选择题(本大题共8个小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．下列各式的运算结果为纯虚数的是( C ) A ．i(1＋i)2 B ．i 2(1－i) C ．(1＋i)2D ．i(1＋i)[解析] A 中，i(1＋i)2＝i(1＋2i －1)＝－2；B 中，i 2(1－i)＝－(1－i)＝－1＋i ；C 中，(1＋i)2＝1＋2i －1＝2i ；D 中，i(1＋i)＝i ＋i 2＝－1＋i ，故选C ．2．设复数z 1，z 2在复平面内的对应点关于实轴对称，复数z 1，z 3在复平面内的对应点关于虚轴对称，z 1＝3＋2i ，则z 2z 3＝( C )A ．－13B ．13C ．－5＋12iD ．－5－12i[解析] 由题意知z 2＝3－2i ，z 3＝－3＋2i ， 所以z 2z 3＝(3－2i)(－3＋2i) ＝－9＋6i ＋6i ＋4 ＝－5＋12i ． 故选C ．3．执行下面的程序框图，如果输入的N ＝4，那么输出的S 等于( B )A ．1＋12＋13＋14B ．1＋12＋13×2＋14×3×2C ．1＋12＋13＋14＋15D ．1＋12＋13×2＋14×3×2＋15×4×3×2[解析] 第一次循环，T ＝1，S ＝1，K ＝2； 第二次循环，T ＝12，S ＝1＋12，K ＝3；第三次循环，T ＝12×3，S ＝1＋12＋12×3，K ＝4；第四次循环，T ＝12×3×4，S ＝1＋12＋12×3＋12×3×4，K ＝5，循环结束，输出S ＝1＋12＋12×3＋12×3×4，故选B ． 4．由命题“周长为定值的长方形中，正方形的面积取得最大”可猜想：在表面积为定值的长方体中( A )A ．正方体的体积取得取大B ．正方体的体积取得取小C ．正方体各棱长之和取得取大D ．正方体各棱长之和取得取小[解析] 利用类比猜想得“在表面积为定值的长方体中，正方体的体积取得取大”，故选A ．5．下列是用“三段论”形式写出的演绎推理：因为指数函数y ＝a x (a ＞0，且a ≠1)在(－∞，＋∞)上是减函数，y ＝2x 是指数函数，所以y ＝2x 在(－∞，＋∞)上是减函数．该结论显然是错误的，其原因是( A )A ．大前提错误B ．小前提错误C ．推理形式错误D ．以上都可能[解析] 大前提是：指数函数y ＝a x (a ＞0，且a ≠1)在(－∞，＋∞)上是减函数，显然不正确，故选A ．6．某程序框图如图所示，现输入如下四个函数，其中可以输出的函数是( D )A ．f (x )＝x 2B ．f (x )＝1xC ．f (x )＝ln x ＋2x －6D ．f (x )＝sin x[解析] 第一个判断框的目的是判断输入的函数是否为奇函数，第二个判断框的目的是判断输入的函数是否存在零点．结合选项知，函数f (x )＝sin x 为奇函数，且存在零点，故选D ．7．某考察团对全国10大城市的职工人均工资水平x (千元)与居民人均消费水平y (千元)进行统计调查后发现，y 与x 具有相关关系，回归方程为y ^＝0.66x ＋1.562，若某城市居民消费水平为7.765(千元)，估计该城市人均消费额占人均工资收入的百分比约为( A )A ．83%B ．72%C ．67%D ．66%[解析] 因为(x ，7.765)在回归直线y ^＝0.66x ＋1.562上，所以7.765＝0.66x ＋1.562，则x ＝9.4，所以该城市人均消费额占人均工资收入的百分比为7.7659.4×100%≈83%．8．已知复数z ＝(x －2)＋y i(x 、y ∈R )在复平面内对应的向量的模为3，则yx 的最大值是( D )A ．32B ．33C ．12D ． 3[解析] 因为|(x －2)＋y i|＝3，所以(x －2)2＋y 2＝3，所以点(x ，y )在以C (2,0)为圆心，以3为半径的圆上，如图，由平面几何知识知－3≤yx≤3．二、多项选择题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分)9．下列命题是真命题的是( ABC ) A ．复数的模是非负实数B ．复数等于零的充要条件是它的模等于零C ．两个复数模相等是这两个复数相等的必要条件D ．复数z 1>z 2的充要条件是|z 1|>|z 2|[解析] ①任意复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )的模|z |＝a 2＋b 2≥0总成立，故A 为真命题；②由复数相等的条件z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )＝0⇔⎩⎪⎨⎪⎧a ＝0b ＝0⇔|z |＝0，故B 为真命题；③令z 1＝a 1＋b 1i ，z 2＝a 2＋b 2i(a 1，b 1，a 2，b 2∈R )．若z 1＝z 2，则有a 1＝a 2，b 1＝b 2，所以|z 1|＝|z 2|，反之由|z 1|＝|z 2|，推不出z 1＝z 2，如当z 1＝1＋3i ，z 2＝1－3i 时，|z 1|＝|z 2|，而z 1≠z 2，故C 为真命题；④不全为实数的两个复数不能比较大小，但任意两个复数的模总能比较大小，故D 为假命题．故选ABC ．10．下列说法正确的是( ACD )A ．相关关系是一种非确定性关系B ．线性回归方程对应的直线y ^＝b ^x ＋a ^，至少经过其样本数据点(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，…，(x n ，y n )中的一个点C ．在残差图中，残差点分布的带状区域的宽度越窄，其模型拟合的精度越高D ．在回归分析中，R 2为0.98的模型比R 2为0.80的模型拟合效果好[解析] 对于A ，相关关系是一种非确定的关系，而函数关系是一种确定的关系，A 选项正确；对于B ，回归直线y ^＝b ^x ＋a ^过样本数据(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，…，(x n ，y n )的中心点(x ，y )，但并不一定过样本数据中的某一个点，B 选项错误；C 、D 显然正确，故选ACD ．11．随着国家二孩政策的全面放开，为了调查一线城市和非一线城市的二孩生育意愿，某机构用简单随机抽样方法从不同地区调查了100位育龄妇女，结果如表.算得K 2＝100×(45×22－20×13)258×42×35×65≈9.616．附表参照附表，得到的结论不正确的是( ABD )A ．在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为“生育意愿与城市级别有关”B ．在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为“生育意愿与城市级别无关”C ．有99%以上的把握认为“生育意愿与城市级别有关”D ．有99%以上的把握认为“生育意愿与城市级别无关”[解析] ∵K 2≈9.616＞6.635，∴有99%以上的把握认为“生育意愿与城市级别有关”，故选ABD ．12．某学校运动会的立定跳远和30秒跳绳两个单项比赛分为预赛和决赛两个阶段，下表为10学生的预赛成绩，其中有三个数据漏记了(见表中空白处)在这10名学生中进入立定跳远决赛的有8人，同时进入立定跳远决赛和30秒跳绳决赛的有6人，则以下判断不正确的为( ABC )A ．4号学生一定进入30秒跳绳决赛B ．5号学生一定进入30秒跳绳决赛C ．9号学生一定进入30秒跳绳决赛D ．10号学生一定进入30秒跳绳决赛[解析] 进入立定跳远决赛的学生是1、3、4、6、7、8、9、10号的8个学生，由同时进入两项决赛有6人可知，1、3、4、6、7、8、9、10号有6个学生进入30秒跳绳决赛，在这8个学生的30秒跳绳决赛成绩中，3、6、7号学生成绩依次排名为1、2、3名，1号和10号成绩相同，若1号和10号不进入30秒跳绳决赛，则4号肯定也不进入，这样同时进入立定跳远决赛和30秒跳绳决赛的只有5人，所以1、3、6、7、10进入30秒跳绳决赛，故选ABC ．三、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分，将正确答案填在题中横线上)13．复数z ＝－1＋3i2－i，则|z |＝．[解析] 解法一：z ＝－1＋3i 2－i ＝(－1＋3i )(2＋i )(2－i )(2＋i )＝－5＋5i5＝－1＋i ，∴|z |＝(－1)2＋12＝2．解法二：∵z ＝－1＋3i 2－i ，∴|z |＝|－1＋3i 2－i |＝(－1)2＋3222＋(－1)2＝105＝2．14．已知变量x ，y 具有线性相关关系，它们之间的一组数据如下表所示，若y 关于x 的回归方程为y ^＝1.3x －1，则m ＝__3.1__.[解析] 由已知得x ＝14×(1＋2＋3＋4)＝2.5．y ＝14(0.1＋1.8＋m ＋4)＝14×(5.9＋m )．∵(x ，y )在直线y ^＝1.3x －1上，所以y ^＝1.3×2.5－1＝2.25， ∴14×(5.9＋m )＝2.25，解得m ＝3.1．15．观察下列等式 1＝1 2＋3＋4＝9 3＋4＋5＋6＋7＝25 4＋5＋6＋7＋8＋9＋10＝49 …照此规律，第五个等式应为__5＋6＋7＋8＋9＋10＋11＋12＋13＝81__． [解析] 第1个等式有1项，从1开始； 第2个等式有3项，从2开始； 第3个等式有5项，从3开始； 第4个等式有7项，从4开始．每个等式左边都是相邻自然数的和，右边是项数的平方，故由已知4个等式的变化规律可知，第5个等式有9项，从5开始，等式右边是92，故为5＋6＋7＋8＋9＋10＋11＋12＋13＝81．16．为了研究某班学生的脚长x (单位：cm)和身高y (单位：cm)的关系，从该班随机抽取10名学生，根据测量数据的散点图可以看出y 与x 之间有线性相关关系，设其线性回归方程y ^＝b ^x ＋a ^.已知∑i ＝110x i ＝225，∑i ＝110y i ＝1 600，b ^＝4，该班某学生的脚长为24 cm ，据此估计其身高为__166__cm ．[解析] ∵∑i ＝110x i ＝225，∴x ＝110∑i ＝110x i ＝22.5．∵∑i ＝110y i ＝1 600，∴y ＝110∑i ＝110y i ＝160．又b ^＝4，∴a ^＝y －b ^x ＝160－4×22.5＝70． 则线性回归方程为y ^＝4x ＋70 将x ＝24代入得y ＝166． ∴其身高约为166 cm ．四、解答题(本大题共6个小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17．(本题满分10分)(1)计算(1＋i 2)2＋5i3＋4i ；(2)复数z ＝x ＋y i(x 、y ∈R )满足z ＋2i z －＝3＋i ，求复数z 的对应点Z 所在的象限． [解析] (1)原式＝2i2＋5i (3－4i )(3＋4i )(3－4i )＝i ＋4＋3i 5＝45＋85i ．(2)由z ＋2i z －＝3＋i 得 (x ＋2y )＋(y ＋2x )i ＝3＋i ，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y ＝3y ＋2x ＝1， 解得x ＝－13，y ＝53，∴z ＝－13＋53i ，∴复数z 对应点Z 的坐标为(－13，53)，即在第二象限．18．(本题满分12分)关于复数z 的方程z 2－(a ＋i)z －(i ＋2)＝0(a ∈R )． (1)若此方程有实数解，求a 的值；(2)用反证法证明：对任意的实数a ，原方程不可能有纯虚数根．[解析] (1)设z ＝m ∈R ，代入方程可得m 2－(a ＋i)m －(i ＋2)＝0，即m 2－am －2＋(－m －1)i ＝0，则m 2－am －2＝0，且－m －1＝0，故m ＝－1，a ＝1．(2)假设原方程有纯虚数根，令z ＝n i ，n ∈R 且n ≠0，则有(n i)2－(a ＋i)n i －(i ＋2)＝0，整理可得－n 2＋n －2＋(－an －1)i ＝0，则⎩⎪⎨⎪⎧－n 2＋n －2＝0 ①－an －1＝0 ②，对于①，判别式Δ＜0，方程无解，故方程组无解，即假设不成立，从而原方程不可能有纯虚数根．19．(本题满分12分)近年来随着我国在教育科研上的投入不断加大，科学技术得到迅猛发展，国内企业的国际竞争力得到大幅提升．伴随着国内市场增速放缓，国内有实力企业纷纷进行海外布局，第二轮企业出海潮到来，如在智能手机行业，国产品牌已在赶超国外巨头，某品牌手机公司一直默默拓展海外市场，在海外共设30多个分支机构，需要国内公司外派大量70后、80后中青年员工．该企业为了解这两个年龄层员工是否愿意被外派工作的态度，按分层抽样的方式从70后和80后的员工中随机调查了100位，得到数据如下表：参考数据：(参考公式：K 2＝n (ad －bc )2(a ＋b )(c ＋d )(a ＋c )(b ＋d )，其中n ＝a ＋b ＋c ＋d )根据调查的数据，是否有90%的把握认为“是否愿意被外派与年龄有关”，并说明理由； [解析] K 2＝n (ad －bc )2(a ＋b )(c ＋d )(a ＋c )(b ＋d )＝100×(20×20－40×20)260×40×60×40＝400×400×1005 760 000≈2.778>2.706所以有90%以上的把握认为“是否愿意被外派与年龄有关”． 20．(本题满分12分)已知a 、b 、c 是全不相等的正实数，求证：b ＋c －a a ＋a ＋c －bb＋a ＋b －cc>3． [解析] 解法一：(分析法)要证b ＋c －a a ＋a ＋c －b b ＋a ＋b －c c >3，只需证明b a ＋c a －1＋c b ＋a b －1＋a c ＋bc －1>3，即证b a ＋c a ＋c b ＋a b ＋a c ＋bc>6．而事实上，由a 、b 、c 是全不相等的正实数， 得b a ＋a b >2，c a ＋a c >2，c b ＋bc >2． 从而b a ＋c a ＋c b ＋a b ＋a c ＋bc >6．故b ＋c －a a ＋a ＋c －b b ＋a ＋b －cc>3得证． 解法二：(综合法) ∵a 、b 、c 全不相等，∴b a 与a b ，c a 与a c ，c b 与bc 全不相等． ∴b a ＋a b >2，c a ＋a c >2，c b ＋bc >2． 三式相加得b a ＋c a ＋c b ＋a b ＋a c ＋bc >6，∴(b a ＋c a －1)＋(c b ＋a b －1)＋(a c ＋bc －1)>3， 即b ＋c －a a ＋a ＋c －b b ＋a ＋b －cc>3． 21．(本题满分12分)某少数民族的刺绣有着悠久的历史，如图(1)(2)(3)(4)为她们刺绣中最简单的四个图案，这些图案都是由小正方形构成的，小正方形数越多刺绣越漂亮．现按同样的规律刺绣(小正方形的摆放规律相同)，设第n 个图形中包含f (n )个小正方形．(1)求f (5)的值；(2)利用合情推理的“归纳推理思想”，归纳出f (n ＋1)与f (n )之间的关系式，并根据你得到的关系式求出f (n )的表达式；(3)求1f (1)＋1f (2)－1＋1f (3)－1＋…＋1f (n )－1的值． [解析] (1)由图可知，f (1)＝1，f (2)＝1＋4＝5，f (3)＝1＋4＋8＝13， f (4)＝1＋4＋8＋12＝25， ∴f (5)＝1＋4＋8＋12＋16＝41．(2)∵f (2)－f (1)＝4＝4×1，f (3)－f (2)＝8＝4×2；f (4)－f (3)＝12＝4×3，f (5)－f (4)＝16＝4×4，∴f (n )－f (n －1)＝4(n －1)，将上述n －1个式子相加得f (n )－f (1)＝4[1＋2＋3＋…＋(n －1)]＝4×[1＋(n －1)](n －1)2＝2n (n －1)＝2n 2－2n ，∴f (n )＝f (1)＋2n 2－2n ＝2n 2－2n ＋1．(3)当n ≥2时，1f (n )－1＝12n 2－2n ＋1－1＝12(1n －1－1n )，∴1f (1)＋1f (2)－1＋1f (3)－1＋…＋1f (n )－1＝1＋12(1－12＋12－13＋…＋1n －1－1n)＝1＋12(1－1n )＝32－12n． 22．(本题满分12分)某工厂每日生产一种产品x (x ≥1)吨，每日生产的产品当日销售完毕，日销售额为y 万元，产品价格随着产量变化而有所变化，经过一段时间的产销，得到了x ，Y 的一组统计数据，如下表：日产量x (吨) 1 2 3 4 5 日销售额Y (万元)512161921(1)请判断y ＝bx ＋a 与y ＝d ln x ＋c 中，哪个模型更适合刻画x ，Y 之间的关系，可从函数增长趋势方面给出简单的理由；(2)根据你的判断及下面的数据和公式，求出Y 关于x 的回归方程，并估计当日产量x ＝6时，日销售额是多少．(结果保留整数)参考公式：线性回归方程y ^＝b ^x ＋a ^中，b ^＝∑i ＝1nx i y i －n x ·y∑i ＝1nx 2i －n x2，a ^＝y －b ^·x ．参考数据：ln 1＋ln 2＋ln 3＋ln 4＋ln 55≈0.96,5ln 1＋12ln 2＋16ln 3＋19ln 4＋21ln 5≈86，ln 6≈1.8，(ln 1)2＋(ln 2)2＋(ln 3)2＋(ln 4)2＋(ln 5)2≈6.2．[解析] (1)y ＝d ln x ＋c 更适合刻画x ，Y 之间的关系．理由如下：x 值每增加1，函数值的增加量分别为7,4,3,2，增加得越来越缓慢，适合对数型函数的增长规律，与直线型函数的增长存在较大差异，故y ＝d ln x ＋c 更适合刻画x ，Y 之间的关系．(2)令z ＝ln x ，由题意得y ＝y 1＋y 2＋y 3＋y 4＋y 55＝735＝14.6，所以d ^＝∑i ＝15z i y i －5z ·y∑i ＝15z 2i －5z2≈86－5×0.96×14.66.2－5×0.962＝10，c ^＝y －d ^·z ≈14.6－10×0.96＝5，所以所求的回归方程为y ^＝10ln x ＋5.当x ＝6时，销售额为y ^＝10ln 6＋5≈23(万元)．莘莘学子，最重要的就是不要去看远方模糊的，而要做手边清楚的事。

最新人教A版高二数学选修1-2综合测试题带答案解析2套模块综合测评（一）（时间120分钟,满分150分）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给岀的四个选项中，只冇一项是符合题目要求的・）1.设i为虚数单位,则复数（1+址=（）A.0 B・ 2C. 2iD. 2 + 2i【解析】（1 + i）2 = 1 + 2i + i2 = 2i.【答案】C2•根据二分法求方程?-2=0的根得到的程序框图町称为（）A.工序流程图B.程序流程图C.知识结构图D.组织结构图【解析】由于该框图是动态的且可以通过计算机来完成，故该程序框图称为程序流程图・【答案】B3.利用独立性检测来考查两个分类变量X, 丫是否冇关系，当随机变量K?的值（）A.越大，“X与丫有关系”成立的可能性越大B.越大，“X与丫有关系”成立的可能性越小C.越小，“X与丫有关系”成立的可能性越大D.与“X与Y有关系”成立的可能性无关【解析】由K?的意义可知，K?越大，说明X与y有关系的可能性越大.【答案】A4.用反证法证明命题“a, bGN,如果必可被5整除”,那么d, b至少冇一个能被5 整除.则假设的内容是（）A.a, b都能被5整除B.ci, b都不能被5整除C・a不能被5整除D. a, b右一个不能被5整除【解析】“至少有一个”的否定为“一个也没有”石攵应假设“Q力都不能被5整除”.【答案】B5.有一段演绎推理是这样的“有些右理数是真分数，整数是有理数，则整数是真分数” 结论显然是错误的，是因为()A.大前提错误B.小前提错误C.推理形式错误D.非以上错误【解析】一般的演绎推理是三段论推理：大前提——已知的一般原理；小前提——所研究的特殊情况；结论——根据一般原理对特殊情况作出的判断・此题的推理不符合上述特征，故选C.【答案】C6.设i是虚数单位，如果复数尖的实部与虚部相等，那么实数Q的值为()1 1A3 B・一亍C・3 D・—3【解析】貯二2— 1 ；(° + 2)1,由题意知2— 1二Q +2 ,解得Q =3.【答案】C7.在两个变量的回归分析中，作散点图是为了()A.直接求出回归直线方程B.直接求出回归方程C.根据经验选定回归方程的类型D.估计回归方程的参数【解析】散点图的作用在于判断两个变量更近似于什么样的函数关系，便于选择合适的函数模型•【答案】C8.给出下而类比推理：①“若2a<2b9贝lj a<b v类比推出“若a2<b29贝lj a<b"；②“(a + b)c=Qc+bc(cHO)” 类比推出“厲也=E+°(cHO)” ；C C C③“a, bWR,若a—b = O,则a=b”类比推出“a, b^C,若a~b=O f贝a=b v；④“°, /)GR,若Q —b>0,贝类比推岀"ci, bWC,若a~b>O f则a>b(C为复数其中结论正确的个数为（）【解析】 第一次循环S=2 , /; = 2 ,第二次循环S=6Z H = 3 ,第三次循环S = 2 ,n = 4f 弟四次循环S - 18 , n = 5 ,弟五次循环5 = 14 , A ? = 6 ,弟7X 次循环S 二78 , /? = 7 ,需满足S2K , 此时输出//= 7 ,所以18VKW78 ,所以整数K 的最大值为7&【答案】C10. 已知 Q1=3, Q2 = 6, A a n+2=a n+\—a n ,则的3 为（ ） B. —3C- 6［角军析］ Q1 = 3 , Q2 = 6 ,幺3 = Q2 ・ Q ］ = 3 ,幺4 = 03 ・ ^2 二・ 3 , ^5 = ^4 ・ ^3 = ~ 6 , <26 = ^5■ 04 = ■ 3 ,= 3 卩= 07 ■= 6观察可知仏｝是周期为6的周期数列,故的3 = 03 = 3.A. 1B. 2C. 3D. 4【解析】 ①显然是错误的；因为复数不能比较大小，所以④错误，②③正确，故选B. 【答案】B9. 执行如图1所示的程序框图，若输出的〃 =7,则输入的整数K 的最大值是（）A. 18B. 50 C- 78D. 306A. 311.下列推理合理的是（）A.fix)是增函数，则f (x)>0B・因为ci>b(a, bWR),贝U+2i>6+2i(i是虚数单位)C.g ”是锐角AMC的两个内角，贝ijsiz>cos"D.%是三角形/EC的内角，若cos/f>0,则此三角形为锐角三角形【解析】A不正确，若/(工)是增函数，则f (x)^0 ；B不正确・复数不能比较大小；C7C正确，•/«+/?> 2 ,兀、a > 2 - sin a > cos “ ； D 不正确,只有cos A> 0 , cos B> 0 , cos C> 0 ,才能说明此三角形为锐角三角形・【答案】C12.有人收集了春节期间平均气温X与某取暖商品销售额尹的有关数据如下表：A A根据以上数据，用线性冋归的方法，求得销售额y与平均气温X之间线性冋归方^.y=bxA A+a的系数-2.4,则预测平均气温为一8°C时该商品销售额为()A. 34.6万元B. 35.6万元C. 36.6万元D. 37.6万元-.,- —_2-3-5_6【角牛析】x = 彳=■ 4 ,—20 + 23 + 27 + 30y = 4 =25”所以这组数据的样本中心点是(・4,25)・A因为b 二-2.4 ,把样本中心点代入线性回归方程得>15.4 ,所以线性回归方程为彳二-2.4X+15.4.当x =・8时,y = 346故选A.二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分.将答案填在题中的横线上・)13. ___________________________________________________________ 已知复数z=m2( 1 + i)—m(m + i)(mR),若z是实数，则加的值为_____________________________ ・【解析1 z二〃，+加2).加2 . 〃打二(加2 . m y x ,m - m = 0 ,・•・加=0或1.【答案】0或114.心理学家分析发现视觉和空间想彖能力与性别有关，某数学兴趣小组为了验证这个结论，从所在学校屮按分层抽样的方法抽取50名同学（男30女20）,给所有同学儿何题和代数题各一题，让各位同学自由选择一道题进行解答.选题情况如下表：（单位：人）几何题代数题总计男同学22830女同学81220总计302050根拯上述数据，推断视觉和空间想象能力与性别有关系，则这种推断犯错误的概率不超过 .附表：P 艮2k)0.150.100.050.0250.0100.0050.001k 2.072 2.706 3.841 5.024 6.6357.87910.828【解析】由列联表计算疋的观测值50X(22X 12 - 8X8)2〜5.556 >5.02430X20X20X30・•・推断犯错误的概率不超过0.025.【答案】0.02515.二维空间屮圆的一维测度（周长）/=2血，二维测度（面积）S=十，观察发现s，=1；三维空间小球的二维测度（表面积）S=4兀三维测度（体积）7=兑/,观察发现厂=S.则四维空间屮“超球”的四维测度W=2nr\猜想其三维测度V= _______________ .【解析】由已知,可得圆的一维测度为二维测度的导函数；球的二维测度是三维测度的导函数.类比上述结论•“超球”的三维测度是四维测度的导函数,即V=旷二（2兀/）' =8兀尸3.【答案】如彳16.已知等差数列｛如中，右5十常•+20/十2事•+30,贝恠等比数列©｝中, 会有类似的结论【解析】 由寺比数列的性质可知/ b\hyo - /?2^29 =…=伤］/?20 /"Q®ibi2・・・b20 =先如仇…加).【答案】 1守如1伤2・・・仇0 =彳躺血…加）三、解答题（木大题共6小题，共70分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤•）l+i ・ 4i + 4 + 2 + 4i 7 + i z=3+4i =3+4i z・・・|z| =18.（木小题满分12分）我校学生会有如下部门：文娱部、体育部、宣传部、生活部、学 习部•请画出学生会的组织结构图.【解】 学生会的组织结构图如图.19・（本小题满分12分）给岀如下列联表:由以上数拯判断高血压与患心肌病之间在多大程度上有关系?（参考数据：卩（疋26.635） = 0.010, P （^2>7.879） = 0.005） 【解】 由列联表中数据可得110X （20X50 ・ 10X30）2k = ------- ------------------- —^7 48630X80X50X60又卩（疋26.635）二 0.010 ,17. （本小题满分 10分）设(l —4i)(l+i) + 2+4i3+4i,求|z|.【解】所以在犯错误的概率不超过0.010的前提下,认为高血压与患心脏病有关系・20.（本小题满分12分）已知非零实数a, b, c构成公差不为0的等差数列，求证：十，丄不能构成等差数列.【证明】假设+ /1, +能构成等差数列,则| = ~ + |,因此b(a + c) = lac.而由于a , h , c构成等差数列，且公差,可得2b = a^c f:.(a + c)2 = 4ac ,即(a - c)1 2 3 = 0 ,于是得a-b-c ,这与a ,h ,c构成公差不为0的等差数列矛盾・故假设不成立，即+不能构成等差数列・21.(本小题满分12分)已知a2 + b2=i f x2+y2=i f求证：分别用综合法、分析法证明).【证明】综合法：•・・2axW/+x2,2/?yW Z)2+b ,・・・ 2(ax + + b2) + (x2 +/)・又•.•/ + 护=1 , x2 = 1 ,/. 2(ax + by)W2 , ax + byW 1.分析法：要证ax + byW 1成立，只要证1・(ax +切20 ,只要证2 - 2ax - 2by$0 ,又•・• / + 护二1 t x1 +y2= I ,・°・只要证cr + A2 + x2 +y2 ・2ax - 2byM0 ,即证(a - x)2 + (b - y)2^0 ,显然成立・22.(木小题满分12分)某班5名学生的数学和物理成绩如下表：1 画出散点图；2 求物理成绩y对数学成绩x的冋归直线方程；3 —名学生的数学成绩是96,试预测他的物理成绩.附：回归直线的斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为:n ____»少厂〃兀yf=lAA ------------ A ______h=, a= y ~b x .■7x 2/=1【解】（1）散点图如图,~0.625・A —— A .a= y ・ bx ^67.8 ・ 0.625X73.2 = 22.05.所以y 对x 的回归直线方程是Aj^ = 0.625x +22.05.⑶当x = 96 ,贝I© = 0.625X96+ 22.05 = 82 r 即可以预测他的物理成绩是82分・模块综合测评（二）（时间120分钟，满分150分）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只 有9080 • 70 • 60 ■ • •50l.~~-_-_-_«__一55 60 65 70 75 80 85 90 x(2)7 二*X(88 + 76 + 73 + 66 + 63) = 73.2 , 7 =|x (78 + 65 + 71 + 64 + 61) = 67.8.5为効= 88X78+ 76X65 + 73X71 +66X64 + 63X61 =25 054. /=!= 882 + 762 + 732 + 662 + 632 = 27 174.z=l5》＞閃・5x y A /=!所以b 二一; ------- fx?-5x 2 /=125 054 ・ 5X73.2X67.8=~27 174 - 5X73.22一项是符合题目要求的.）1.冇下列关系：①人的年龄与他（她）拥冇的财富之间的关系；②曲线上的点与该点的坐 标之间的关系；③苹果的产量与气候之间的关系；④森林中的同一种树木，其横断面宜径与 高度Z 间的关系.其中有和关关系的是（）A.①②③C.②③B.①② D.①③④【解析】 曲线上的点与该点的坐标之间是确定关系——函数关系,故②不正确・其余 均为相关关系・【答案】DZ2・若z —4 + 3i,则恻—( )A. 1B ・一1cMi r 十5】D Mu5 51【解析】・.・z = 4 + 3i ,・•・ z =4 ・ 3i , |z| = ^/42 + 32 = 5 , z4・ 3i 4 3. •・|z| 5 5 51-【答案】D3. 有一段演绎推理：直线平行于平面，则平行于平面内所有直线；已知直线庆平面°, 直线QU 平而直线b 〃平而6（,则直线b 〃直线Q.这个结论显然是错误的，这是因为（ ）A.大前提错误C.推理形式错误B.小前提错误 D.非以上错误【解析】 大前提错误,直线平行于平面,未必平行于平面内的所有直线・ 【答案】A4. 如图1所示的知识结构图为什么结构（）A.树形 C.对称性【解析】 由题图可知结构图为树形结构・ 【答案】A5. 执行如图2所示的程序框图，若输入的〃的值为8,则输出的s 的值为（） （开始）/綸人聽/*图2 A. 4 B ・ 8 C- 10【解析】 初始值 \ n = S f i = 2 , k = \ , s = \ } z<A7 /5=1X(1X2) = 2 9 z = 2 + 2 = 4 , k=1 + 1=2 ； i < n , 5 = ^X(2X4) = 4 r 24 + 2 = 6 , Z: = 2 + 1 = 3 ； i < n , 5 = |x (4X6) = 8 r i 6 + 2 = 8 ,^=3+1=4；/ = /?,退出循环・故输出的s 的值为&【答案】B6. 已知回归直线的斜率的估计值是1.23,样本点的中心为（4,5）,则回归直线的方程是B.环形 D.左右形D. 12图1k=k+]1=2,5=i=i+2AAAy = 1.23x+4 By = 1.23x+5 C.J=1.23x+0.08D.J=0.08x+1.23【解析】 由题意可设回归直线方程为;=1.23x + d ，又样本点的中心(4,5)在回归直线上, 故 5 二 1.23X4 + ^ ,即 ° 二 0.08 , 故回归直线的方程为尹=1.23% + 0.08. 【答案】C7. 设的三边长分别为a, b, g N4BC 的面积为S,内切圆半径为r,则r=类比这个结论可知：四而体S-ABC 的四个而的而积分别为Si ，S2, S3, S4,内切球半径为7?, 四面体S-ABC 的体积为兀则/?=(V A ---SI+S2+S3+S4【解析】 四面体中以内切球的球心为顶点,四面体的各个面为底面,可把四面体分割37• R = ------------------S1+S2+S3 + S,【答案】c8. 已知数列仇｝的前n 项和S”=/・d 〃(Q2),而°] = 1,通过计算。

阶段质量检测（二）(A卷学业水平达标)(时间90分钟，满分120分)一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分)1．下列三句话按三段论模式排列顺序正确的是()①y＝cos x(x∈R)是三角函数；②三角函数是周期函数；③y＝cos x(x∈R)是周期函数．A．①②③B．②①③C．②③①D．③②①解析：选B按三段论的模式，排列顺序正确的是②①③.2．将平面向量的数量积运算与实数的乘法运算相类比，易得下列结论：①a·b＝b·a；②(a·b)·c＝a·(b·c)；③a·(b＋c)＝a·b＋a·c；④由a·b＝a·c(a≠0)可得b＝c.则正确的结论有()A．1个B．2个C．3个D．4个解析：选B平面向量的数量积的运算满足交换律和分配律，不满足结合律，故①③正确，②错误；由a·b＝a·c(a≠0)得a·(b－c)＝0，从而b－c＝0或a⊥(b－c)，故④错误．3．(山东高考)用反证法证明命题“设a，b为实数，则方程x3＋ax＋b＝0 至少有一个实根”时，要做的假设是()A．方程x3＋ax＋b＝0没有实根B．方程x3＋ax＋b＝0至多有一个实根C．方程x3＋ax＋b＝0 至多有两个实根D．方程x3＋ax＋b＝0 恰好有两个实根解析：选A“至少有一个实根”的否定是“没有实根”，故要做的假设是“方程x3＋ax＋b＝0没有实根”．4．由“正三角形的内切圆切于三边的中点”可类比猜想：“正四面体的内切球切于四个面________．”()A．各正三角形内一点B ．各正三角形的某高线上的点C ．各正三角形的中心D ．各正三角形外的某点解析：选C 正三角形的边对应正四面体的面，边的中点对应正四面体的面正三角形的中心．5．已知a ∈(0，＋∞)，不等式x ＋1x ≥2，x ＋4x 2≥3，x ＋27x 3≥4，…，可推广为x ＋a x n ≥n＋1，则a 的值为( )A ．2nB ．n 2C ．22(n－1)D ．n n解析：选D 将四个答案分别用n ＝1,2,3检验即可，故选D.6．下列四类函数中，具有性质“对任意的x >0，y >0，函数f (x )满足[f (x )]y ＝f (xy )”的是( )A ．指数函数B ．对数函数C ．一次函数D ．余弦函数解析：选A 当函数f (x )＝a x (a >0，a ≠1)时，对任意的x >0，y >0，有[f (x )]y ＝(a x )y ＝a xy＝f (xy )，即指数函数f (x )＝a x (a >0，a ≠1)满足[f (x )]y ＝f (xy )，可以检验，B 、C 、D 选项均不满足要求．7．观察下列各等式：22－4＋66－4＝2，55－4＋33－4＝2，77－4＋11－4＝2，1010－4＋－2－2－4＝2，依照以上各式成立的规律，得到一般性的等式为( )A.nn －4＋8－n (8－n )－4＝2 B.n ＋1(n ＋1)－4＋(n ＋1)＋5(n ＋1)－4＝2 C.nn －4＋n ＋4(n ＋4)－4＝2 D.n ＋1(n ＋1)－4＋n ＋5(n ＋5)－4＝2 解析：选A 观察分子中2＋6＝5＋3＝7＋1＝10＋(－2)＝8. 8．用火柴棒摆“金鱼”，如图所示：按照上面的规律，第n 个“金鱼”图形需要火柴棒的根数为( ) A ．6n －2 B ．8n －2 C ．6n ＋2D ．8n ＋2解析：选C 归纳“金鱼”图形的构成规律知，后面“金鱼”都比它前面的“金鱼”多了去掉尾巴后6根火柴组成的鱼头部分，故各“金鱼”图形所用火柴棒的根数构成一首项为8，公差是6的等差数列，通项公式为a n ＝6n ＋2.9．观察下列各式：a ＋b ＝1，a 2＋b 2＝3，a 3＋b 3＝4，a 4＋b 4＝7，a 5＋b 5＝11，…，则a 10＋b 10＝( )A ．28B ．76C ．123D ．199解析：选C 记a n ＋b n ＝f (n )， 则f (3)＝f (1)＋f (2)＝1＋3＝4； f (4)＝f (2)＋f (3)＝3＋4＝7； f (5)＝f (3)＋f (4)＝11. 通过观察不难发现f (n )＝f (n －1)＋f (n －2)(n ∈N *，n ≥3)， 则f (6)＝f (4)＋f (5)＝18； f (7)＝f (5)＋f (6)＝29； f (8)＝f (6)＋f (7)＝47； f (9)＝f (7)＋f (8)＝76； f (10)＝f (8)＋f (9)＝123. 所以a 10＋b 10＝123.10．数列{a n }满足a 1＝12，a n ＋1＝1－1a n ，则a 2 015等于( )A.12 B.－1 C ．2D ．3 解析：选B ∵a 1＝12，a n ＋1＝1－1a n ，∴a 2＝1－1a 1＝－1，a 3＝1－1a 2＝2，a 4＝1－1a 3＝12，a 5＝1－1a 4＝－1，a 6＝1－1a 5＝2，∴a n ＋3k ＝a n (n ∈N *，k ∈N *)，∴a 2 015＝a 2＋3×671＝a 2＝－1.二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分) 11．已知 2＋23＝2 23， 3＋38＝3 38， 4＋415＝4 415，…，若 6＋a b＝6ab(a ，b 均为实数)，则a ＝________，b ＝________. 解析：由前面三个等式，推测归纳被平方数的整数与分数的关系，发现规律，由三个等式知，整数和这个分数的分子相同，而分母是这个分子的平方减1，由此推测 6＋ab 中：a＝6，b ＝62－1＝35，即a ＝6，b ＝35.答案：6 3512．已知圆的方程是x 2＋y 2＝r 2，则经过圆上一点M (x 0，y 0)的切线方程为x 0x ＋y 0y ＝r 2.类比上述性质，可以得到椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1类似的性质为________．解析：圆的性质中，经过圆上一点M (x 0，y 0)的切线方程就是将圆的方程中的一个x 与y 分别用M (x 0，y 0)的横坐标与纵坐标替换．故可得椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1类似的性质为：经过椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1上一点P (x 0，y 0)的切线方程为x 0x a 2＋y 0yb2＝1. 答案：经过椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1上一点P (x 0，y 0)的切线方程为x 0x a 2＋y 0yb2＝113．若定义在区间D 上的函数f (x )对于D 上的n 个值x 1，x 2，…，x n ，总满足1n [f (x 1)＋f (x 2)＋…＋f (x n )]≤f ⎝⎛⎭⎫x 1＋x 2＋…＋x n n ，称函数f (x )为D 上的凸函数．现已知f (x )＝sin x 在(0，π)上是凸函数，则△ABC 中，sin A ＋sin B ＋sin C 的最大值是________．解析：因为f (x )＝sin x 在(0，π)上是凸函数(小前提)， 所以13(sin A ＋sin B ＋sin C )≤sin A ＋B ＋C 3(结论)，即sin A ＋sin B ＋sin C ≤3sin π3＝332.因此，sin A ＋sin B ＋sin C 的最大值是332.答案：33214．观察下图： 1 2 3 43 4 5 6 74 5 6 7 8 9 10……则第________行的各数之和等于2 0152.解析：观察知，图中的第n 行各数构成一个首项为n ，公差为1，共2n －1项的等差数列，其各项和为S n ＝(2n －1)n ＋(2n －1)(2n －2)2＝(2n －1)n ＋(2n －1)(n －1)＝(2n －1)2，令(2n －1)2＝2 0152，得2n －1＝2 015，解得n ＝1 008. 答案：1 008三、解答题(本大题共4小题，共50分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 15．(本小题满分12分)已知等差数列{a n }的公差为d ，前n 项和为S n ，{a n }有如下性质：(m ，n ，p ，q ∈N *)①通项a n ＝a m ＋(n －m )d ；②若m ＋n ＝p ＋q ，则a m ＋a n ＝a p ＋a q ； ③若m ＋n ＝2p ，则a m ＋a n ＝2a p ； ④S n ，S 2n －S n ，S 3n －S 2n 构成等差数列．类比上述性质，在等比数列{b n }中，写出相类似的性质．解：在等比数列{b n }中，公比为λ(λ≠0)，前n 项和为S n ′，{b n }有如下性质：(m ，n ，p ，q ∈N *)①通项b n ＝b m ·λn－m；②若m ＋n ＝p ＋q ，则b m ·b n ＝b p ·b q ； ③若m ＋n ＝2p ，则b m ·b n ＝b 2p ；④S n ′，S 2n ′－S n ′，S 3n ′－S 2n ′(S n ′≠0)构成等比数列． 16．(本小题满分12分)观察：①sin 210°＋cos 240°＋sin 10°cos 40°＝34；②sin 26°＋cos 236°＋sin 6°cos 36°＝34.由上面两式的结构规律，你能否提出一个猜想？并证明你的猜想． 解：猜想：sin 2α＋cos 2(30°＋α)＋sin αcos(30°＋α)＝34.证明如下：sin 2α＋cos 2(30°＋α)＋sin αcos(30°＋α) ＝1－cos 2α2＋1＋cos (60°＋2α)2＋12[sin(30°＋2α)＋sin(－30°)]＝1＋cos (60°＋2α)－cos 2α2＋12sin(2α＋30°)－14＝34＋12[cos 60°cos 2α－sin 60°sin 2α－cos 2α]＋12sin(2α＋30°) ＝34－12⎝⎛⎭⎫12cos 2α＋32sin 2α＋12sin(2α＋30°) ＝34－12sin(2α＋30°)＋12sin(2α＋30°)＝34， 即sin 2α＋cos 2(30°＋α)＋sin α·cos(30°＋α)＝34.17．(本小题满分12分)已知△ABC 的三边长分别为a ，b ，c ，且其中任意两边长均不相等，若1a ，1b ，1c成等差数列．(1)比较b a 与cb 的大小，并证明你的结论；(2)求证：角B 不可能是钝角． 解：(1) b a ＜ cb.证明如下： 要证b a ＜c b ，只需证b a ＜c b .∵a ，b ，c ＞0，∴只需证b 2＜ac . ∵1a ，1b ，1c 成等差数列， ∴2b ＝1a ＋1c ≥2 1ac， ∴b 2≤ac .又∵a ，b ，c 均不相等， ∴b 2＜ac .故所得大小关系正确．(2)证明：法一：假设角B 是钝角，则cos B ＜0. 由余弦定理得，cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ≥2ac －b 22ac ＞ac －b 22ac ＞0，这与cos B ＜0矛盾，故假设不成立． 所以角B 不可能是钝角．法二：假设角B 是钝角，则角B 的对边b 为最大边，即b ＞a ，b ＞c ，所以1a ＞1b ＞0，1c ＞1b ＞0，则1a ＋1c ＞1b ＋1b ＝2b ，这与1a ＋1c ＝2b 矛盾，故假设不成立．所以角B 不可能是钝角．18．(本小题满分14分)我们已经学过了等比数列，你有没有想到是否也有等积数列呢？ (1)类比“等比数列”，请你给出“等积数列”的定义．(2)若{a n }是等积数列，且首项a 1＝2，公积为6，试写出{a n }的通项公式及前n 项和公式． 解：(1)如果一个数列从第2项起，每一项与它前一项的乘积是同一个常数，那么这个数列叫做等积数列，其中，这个常数叫做公积．(2)由于{a n }是等积数列，且首项a 1＝2，公积为6，所以a 2＝3，a 3＝2，a 4＝3，a 5＝2，a 6＝3，…，即{a n }的所有奇数项都等于2，偶数项都等于3，因此{a n }的通项公式为a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧2，n 为奇数，3，n 为偶数.其前n 项和公式S n＝⎩⎨⎧5n2，n 为偶数，5(n －1)2＋2＝5n －12，n 为奇数.(时间90分钟，满分120分)一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分)1．命题“有些有理数是无限循环小数，整数是有理数，所以整数是无限循环小数”是假命题，推理错误的原因是( )A ．使用了归纳推理B ．使用了类比推理C ．使用了三段论，但大前提使用错误D ．使用了三段论，但小前提使用错误解析：选D 应用了三段论推理，小前提与大前提不对应，小前提使用错误导致结论错误．2．用演绎推理证明函数y ＝x 3是增函数时的小前提是( ) A ．增函数的定义B ．函数y ＝x 3满足增函数的定义C ．若x 1<x 2，则f (x 1)<f (x 2)D ．若x 1>x 2，则f (x 1)>f (x 2)解析：选B 三段论中，根据其特征，大前提是增函数的定义，小前提是函数y ＝x 3满足(B 卷 能力素养提升)增函数的定义，结论是y＝x3是增函数，故选B.3．下列推理中属于归纳推理且结论正确的是()A．由a n＝2n－1，求出S1＝12，S2＝22，S3＝32，…，推断：数列{a n}的前n项和S n＝n2 B．由f(x)＝x cos x满足f(－x)＝－f(x)对∀x∈R都成立，推断：f(x)＝x cos x为奇函数C．由半径为r的圆的面积S＝πr2，推断单位圆的面积S＝πD．由(1＋1)2>21，(2＋1)2>22，(3＋1)2>23，…，推断：对一切n∈N*，(n＋1)2＞2n解析：选A选项A：为归纳推理，且∵a n＝2n－1，∴{a n}是等差数列，首项a1＝1，公差d＝2，则S n＝n＋n(n－1)2×2＝n2，故A正确；选项B：为演绎推理；选项C：为类比推理；选项D：为归纳推理，当n＝7时，(n＋1)2＝82＝64<2n＝27＝128，故结论错误．故选A.4．命题“关于x的方程f(x)＝0有唯一解”的结论的否定是()A．无解B．两解C．至少有两解D．无解或至少有两解答案：D5．观察按下列顺序排列的等式：9×0＋1＝1,9×1＋2＝11,9×2＋3＝21,9×3＋4＝31，…，猜想第n(n∈N*)个等式应为()A．9(n＋1)＋n＝10n＋9B．9(n－1)＋n＝10n－9C．9n＋(n－1)＝10n－1D．9(n－1)＋(n－1)＝10n－10解析：选B先观察已知等式的左边，可得第n(n∈N*)个等式的左边应为9(n－1)＋n；再观察已知等式的右边结果1,11,21,31，…，知它们构成以1为首项，10为公差的等差数列，所以第n(n∈N*)个等式的右边应为1＋10(n－1)＝10n－9，故选B.6．已知圆x2＋y2＝r2(r>0)的面积为S＝πr2，由此类比椭圆x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)的面积最有可能是()A．πa2B．πb2C．πab D．π(ab)2解析：选C圆的方程可以看作是椭圆的极端情况，即a＝b时的情形，因为S圆＝πr2，可以类比出椭圆的面积最有可能是S＝πab.7．若P＝a＋a＋7，Q＝a＋3＋a＋4(a≥0)，则P，Q的大小关系是()A．P>Q B．P＝QC．P<Q D．由a的取值确定解析：选C P2＝(a＋a＋7)2＝2a＋7＋2a2＋7a，Q2＝(a＋3＋a＋4)2＝2a＋7＋2a2＋7a＋12，∴P 2<Q 2.又∵P >0，Q >0，∴P <Q .8．已知a ，b ∈R ，若a ≠b ，且a ＋b ＝2，则( ) A ．1<ab <a 2＋b 22B ．ab <1<a 2＋b 22C ．ab <a 2＋b 22<1D.a 2＋b 22<ab <1解析：选B ∵b ＝2－a ，∴ab ＝a (2－a )＝－(a 2－2a )＝－(a －1)2＋1<1， a 2＋b 22＝a 2＋(2－a )22＝2a 2－4a ＋42＝a 2－2a ＋2 ＝(a －1)2＋1>1，故选B.9．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 1＝1，S n ＝n 2a n (n ∈N *)，可归纳猜想出S n 的表达式为( )A.2n n ＋1B.3n －1n ＋1C.2n ＋1n ＋2D.2n n ＋2解析：选A 由a 1＝1，得a 1＋a 2＝22a 2， ∴a 2＝13，S 2＝43；又1＋13＋a 3＝32a 3，∴a 3＝16，S 3＝32＝64；又1＋13＋16＋a 4＝16a 4，得a 4＝110，S 4＝85.由S 1＝22，S 2＝43，S 3＝64，S 4＝85可以猜想S n ＝2n n ＋1.10．记S k ＝1k ＋2k ＋3k ＋…＋n k ，当k ＝1,2,3，…时，观察下列等式：S 1＝12n 2＋12n ，S 2＝13n 3＋12n 2＋16n ，S 3＝14n 4＋12n 3＋14n 2，S 4＝15n 5＋12n 4＋13n 3－130n ，S 5＝16n 6＋12n 5＋512n 4＋An 2，…由此可以推测A ＝( ) A ．－112 B.114 C ．－116 D.118解析：选A 根据所给等式可知，各等式右边的各项系数之和为1，所以16＋12＋512＋A ＝1，解得A ＝－112.二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)11．已知x ，y ∈R ，且x ＋y >2，则x ，y 中至少有一个大于1，在用反证法证明时，假设应为________________________________________________________________________．解析：“至少有一个”的反面为“一个也没有”，即“x ，y 均不大于1”，亦即“x ≤1且y ≤1”．答案：x ，y 均不大于1(或者x ≤1且y ≤1)12．函数y ＝a 1－x (a >0，a ≠1)的图象恒过定点A ，若点A 在直线mx ＋ny －1＝0(mn >0)上，则1m ＋1n的最小值为________． 解析：因为函数y ＝a 1－x的图象所过的定点为A (1，1)，且点A 在直线mx ＋ny －1＝0上，所以m ＋n ＝1. 又因为mn >0，所以必有m >0，n >0， 于是1m ＋1n ＝(m ＋n )·⎝⎛⎭⎫1m ＋1n ＝2＋n m ＋mn ≥2＋2 n m ·mn ＝4.答案：413．给出以下数对序列： (1,1) (1,2)(2,1) (1,3)(2,2)(3,1) (1,4)(2,3)(3,2)(4,1) ……记第i 行的第j 个数对为a ij ，如a 43＝(3,2)，则 (1)a 54＝________；(2)a nm ＝________. 解析：由前4行的特点，归纳可得： 若a nm ＝(a ，b )，则a ＝m ，b ＝n －m ＋1， ∴a 54＝(4,5－4＋1)＝(4,2)， a nm ＝(m ，n －m ＋1)．答案：(1)(4,2) (2)(m ，n －m ＋1) 14．请阅读下面材料：若两个正实数a 1，a 2满足a 21＋a 22＝1，求证：a 1＋a 2≤ 2.证明：构造函数f(x)＝(x－a1)2＋(x－a2)2＝2x2－2(a1＋a2)x＋1，因为对一切实数x，恒有f(x)≥0，所以Δ≤0，从而得4(a1＋a2)2－8≤0，所以a1＋a2≤ 2.根据上述证明方法，若n个正实数满足a21＋a22＋…＋a2n＝1时，你能得到的结论是________．解析：类比给出的材料，构造函数f(x)＝(x－a1)2＋(x－a2)2＋…＋(x－a n)2＝nx2－2(a1＋a2＋…＋a n)x＋1，由对一切实数x，恒有f(x)≥0，所以Δ≤0，即可得到结论．故答案为a1＋a2＋…＋a n≤n.答案：a1＋a2＋…＋a n≤n三、解答题(本大题共4小题，共50分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)15．(本小题满分12分)若x，y∈R，且满足(x2＋y2＋2)·(x2＋y2－1)－18≤0.(1)求x2＋y2的取值范围；(2)求证：xy≤2.解：(1)由(x2＋y2)2＋(x2＋y2)－20≤0得(x2＋y2＋5)(x2＋y2－4)≤0.因为x2＋y2＋5>0，所以有0≤x2＋y2≤4，即x2＋y2的取值范围为[0,4]．(2)证明：由(1)知x2＋y2≤4，由基本不等式得xy≤x2＋y22≤42＝2，所以xy≤2.16．(本小题满分12分)把下面在平面内成立的结论类比推广到空间，并判断类比的结论是否成立．(1)如果一条直线和两条平行线中的一条相交，则必和另一条相交；(2)如果两条直线同时垂直于第三条直线，则这两条直线互相平行．解：(1)类比为：如果一个平面和两个平行平面中的一个相交，则必和另一个相交．结论是正确的．证明如下：设α∥β，且γ∩α＝a，则必有γ∩β＝b，若γ与β不相交，则必有γ∥β.又∵α∥β，∴α∥γ，与γ∩α＝a矛盾，∴必有γ∩β＝b.(2)类比为：如果两个平面同时垂直于第三个平面，则这两个平面互相平行．结论是错误的，这两个平面也可能相交．17．(本小题满分12分)已知：sin2 30°＋sin2 90°＋sin2 150°＝32，sin2 5°＋sin2 65°＋sin 2 125°＝32，通过观察上述两等式的规律，请你写出对任意角度α都成立的一般性的命题，并给予证明．解：一般形式为：sin 2α＋sin 2(α＋60°)＋sin 2(α＋120°)＝32. 证明：左边＝1－cos 2α2＋1－cos (2α＋120°)2＋ 1－cos (2α＋240°)2＝32－12[cos 2α＋cos(2α＋120°)＋cos(2α＋240°)] ＝32－12(cos 2α＋cos 2αcos 120°－sin 2αsin 120°＋cos 2αcos 240°－sin 2αsin 240°) ＝32－12cos 2α－12cos 2α－32sin 2α－12cos 2α＋32sin 2α＝32＝右边． 将一般形式写成sin 2(α－60°)＋sin 2α＋sin 2(α＋60°)＝32也正确 18．(本小题满分14分)如右图，设抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，经过点F 的直线交抛物线于A ，B 两点，点C 在抛物线的准线上，且BC ∥x 轴．求证：直线AC 经过原点O .证明：因为抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点为F ⎝⎛⎭⎫p 2，0，所以经过点F 的直线AB 的方程可设为x ＝my ＋p 2， 代入抛物线方程，可得y 2－2pmy －p 2＝0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则y 1，y 2是该方程的两个根，所以y 1y 2＝－p 2.因为BC ∥x 轴，且点C 在准线x ＝－p 2上， 所以点C 的坐标是⎝⎛⎭⎫－p 2，y 2， 故直线CO 的斜率为k ＝y 2－p 2＝2p y 1＝y 1x 1， 即k 也是直线OA 的斜率，所以直线AC 经过原点O .。

选修1－2 综合测试时间120分钟，满分150分。

一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．复数1－3i2－i ＝( B )A ．1＋iB ．1－iC ．iD ．－i[解析]1－3i 2－i ＝(1－3i )(2＋i )(2－i )(2＋i )＝5－5i5＝1－i.2．已知集合A ＝{2，a }，B ＝{1,2,3}，则“a ＝3”是“A ⊆B ”的( A ) A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件[解析] 本题考查了充要条件的判断．当a ＝3时，A ＝{2,3}，故A ⊆B ，若A ⊆B ⇒a ＝1或a ＝3，故为充分不必要条件． 3．下列命题的否命题为“邻补角互补”的是( C ) A ．邻补角不互补 B ．互补的两个角是邻补角 C ．不是邻补角的两个角不互补 D ．不互补的两个角不是邻补角[解析] “邻补角”的否定是“不是邻补角”，“互补”的否定是“不互补”，故选C ． 4．(2016·江西抚州高二检测)为了帮家里减轻负担，高二学生小明利用暑假时间打零工赚学费，他统计了其中五天的工作时间x (小时)与报酬y (元)的数据，分别是(2,30)、(4,40)、(5，m )、(6,50)、(8,70)，他用最小二乘法得出y 与x 的线性回归方程为y ＝6.5x ＋17.5，则其中m 为( D )A ．45B ．50C ．55D ．60[解析] 由题意知x －＝2＋4＋5＋6＋85＝5，又∵点(x －，y －)在回归直线y －＝6.5x ＋17.5上，∴y －＝6.5×5＋17.5＝50，∴50＝30＋40＋m ＋50＋705，∴m ＝60，故选D ．5．用反证法证明命题“2＋3是无理数”时，下列假设正确的是( D ) A ．假设2是有理数 B ．假设3是有理数 C ．假设2或3是有理数 D ．假设2＋3是有理数[解析] “2＋3是无理数”的否定是“2＋3不是无理数”，故选D ． 6．某程序框图如图所示，现输入如下四个函数，其中可以输出的函数是( D )A ．f (x )＝x 2B ．f (x )＝1xC ．f (x )＝ln x ＋2x －6D ．f (x )＝sin x[解析] 第一个判断框的目的是判断输入的函数是否为奇函数，第二个判断框的目的是判断输入的函数是否存在零点．结合选项知，函数f (x )＝sin x 为奇函数，且存在零点，故选D ．7．利用独立性检验来考虑两个分类变量X 和Y 是否有关系时，通过查阅下表来确定断言“X 和Y 有关系”的可信度，如果k >5.024，那么就有把握认为“X 和Y 有关系”的百分比为( D )p (K 2>k ) 0.50 0.40 0.25 0.15 0.10 k 0.455 0.708 1.323 2.072 2.706 p (K 2>k ) 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 k3.845.0246.6357.87910.83A ．25% C ．2.5%D ．97.5%[解析] 查表可得K 2>5.024.因此有97.5%的把握认为“x 和y 有关系”．8．如图是《选修1－2》第二章“推理与证明”的知识结构图，不是证明方法的是( A )A ．类比B ．综合法C ．反证法D ．分析法[解析] 据推理的相关知识及结构图知，类比不是证明方法．故选A ．9．过抛物线焦点F 的直线与抛物线相交于A 、B 两点，若A 、B 在抛物线准线上的射影是A 1、B 1，则∠A 1FB 1等于( C )A ．45°B ．60°C ．90°D ．120°[解析] 如图由抛物线的定义得，|AF |＝|AA 1|，|BF |＝|BB 1|，∴∠1＝∠2，∠3＝∠4，又∠1＋∠2＋∠3＋∠4＋∠A 1AF ＋∠B 1BF ＝360°，且∠A 1AF ＋∠B 1BF ＝180°，∴∠1＋∠2＋∠3＋∠4＝180°，∴2(∠2＋∠4)＝180°，即∠2＋∠4＝90°，故∠A 1FB 1＝90°.10．已知双曲线中心在原点且一个焦点为F (7，0)，直线y ＝x －1与其相交于M 、N 两点，MN 中点的横坐标为－23，则此双曲线的方程是( D )A ．x 23－y 24＝1B ．x 24－y 23＝1C ．x 25－y 22＝1D ．x 22－y 25＝1[解析] 由题知c ＝7，设双曲线方程为x 2t －y 27－t ＝1(t >0)由⎩⎪⎨⎪⎧x 2t －y 27－t ＝1y ＝x －1消去y 得， (7－2t )x 2＋2tx －8t ＋t 2＝0.由题意知x 1＋x 22＝－23，∴x 1＋x 2＝2t 2t －7＝－43，∴t ＝2，∴双曲线方程为x 22－y 25＝1.11．函数y ＝2x 3－3x 2－12x ＋5在[0,3]上的最大值和最小值依次是( B ) A ．12，－15 B ．5，－15 C ．5，－4D ．－4，－15[解析] y ′＝6x 2－6x －12＝6(x 2－x －2)＝6(x －2)·(x ＋1)，令y ′＝0，得x ＝－1或x ＝2，∵x ∈[0,3]，∴x ＝－1舍去． 列表如下：12．已知函数f (x )(x ∈R )满足f ′(x )＞f (x )，则( D ) A ．f (2)<e 2f (0) B ．f (2)≤e 2f (0) C ．f (2)＝e 2f (0)D ．f (2)>e 2f (0)[分析] 所给四个选项实质是比较f (2)与e 2f (0)的大小，即比较f (2)e 2与f (0)e 0的大小，故构造函数F (x )＝f (x )ex 解决．[解析] 设F (x )＝f (x )e x ，则f ′(x )＝f ′(x )－f (x )e x >0，∴F (x )在R 上为增函数，故F (2)>F (0)， ∴f (2)e 2>f (0)e0，即f (2)>e 2f (0)． 二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分，将正确答案填在题中横线上) 13．已知命题p ：∃x ∈R ，使sin x ＝52，则¬p ＝ ∀x ∈R ，使sin x ≠2. [解析] 全称命题的否定是特称命题．14．(2016·福建宁德市高二检测)已知复数z 满足z (1＋i)＝1(i 为虚数单位)，则z ＝ 12－12i .[解析] z ＝11＋i ＝1－i 2＝12－12i.15．观察下列等式 1＝1 2＋3＋4＝9 3＋4＋5＋6＋7＝25 4＋5＋6＋7＋8＋9＋10＝49 ……照此规律，第五个等式应为__5＋6＋7＋8＋9＋10＋11＋12＋13＝81__. [解析] 第1个等式有1项，从1开始； 第2个等式有3项，从2开始； 第3个等式有5项，从3开始； 第4个等式有7项，从4开始．每个等式左边都是相邻自然数的和，右边是项数的平方，故由已知4个等式的变化规律可知，第5个等式有9项，从5开始，等式右边是92，故为5＋6＋7＋8＋9＋10＋11＋12＋13＝81.16．已知点A (x 1，ax 1)、B (x 2，ax 2)是函数y ＝a x (a >1)的图象上任意不同的两点，依据图象可知，线段AB 总是位于A ，B 两点之间的函数图象的上方，因此有结论ax 1＋ax 22>ax 1＋x 22成立．运用类比的思想方法可知，若点A (x 1，sin x 1)、B (x 2，sin x 2)是函数y ＝sin x (x ∈(0，π))的图象上任意不同的两点，则类似地有sin x 1＋sin x 22<sin x 1＋x 22成立. [解析] 依据函数y ＝sin x (x ∈(0，π))的图象可知，线段AB 总是位于A 、B 两点之间函数图象的下方，所以有sin x 1＋sin x 22<sin x 1＋x 22.三、解答题(本大题共6个小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17．(本题满分10分)(1)计算(1＋i 2)2＋5i3＋4i ；(2)复数z ＝x ＋y i(x 、y ∈R )满足z ＋2i z －＝3＋i ，求复数z 的对应点Z 所在的象限． [解析] (1)原式＝2i2＋5i (3－4i )(3＋4i )(3－4i )＝i ＋4＋3i 5＝45＋85i.(2)由z ＋2i z －＝3＋i 得 (x ＋2y )＋(y ＋2x )i ＝3＋i ，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y ＝3y ＋2x ＝1， 解得x ＝－13，y ＝53，∴z ＝－13＋53i ，∴复数z 对应点Z 的坐标为(－13，53)，即在第二象限．18．(本题满分12分)已知命题p ：方程x 22－m ＋y 2m －1＝1的曲线是焦点在y 轴上的双曲线，命题q ：方程4x 2＋4(m －2)x ＋1＝0无实根，又p ∨q 为真，¬q 为真，求实数m 的取值范围.[解析] p ：⎩⎪⎨⎪⎧2－m <0m －1>0，∴m >2.故p ：m >2.q ：△＝16(m －2)2－16<0， 即m 2－4m ＋3<0， ∴1<m <3. 故q ：1<m <3.又∵p ∨q 为真，¬q 为真， ∴p 真q 假，即⎩⎪⎨⎪⎧m >2m ≤1或m ≥3， ∴m ≥3.19．(本题满分12分)(2016·广东河源市高二检测)为了解人们对于国家新颁布的“生育二胎开放”政策的热度，现在某市进行调查，随机抽调了50人，他们年龄的频数分布及支持“生育二胎”人数如下表：“生育二胎放开”政策的支持度有差异.[解析]由公式得K 2＝n (ad －bc )(a ＋b )(c ＋d )(a ＋c )(b ＋d )＝50(3×11－7×29)210×40×32×18≈6.272<6.635. 故没有99%的把握认为以45岁为分界点对“生育二胎放开”政策的支持度有差异． 20．(本题满分12分)已知a 、b 、c 是全不相等的正实数，求证：b ＋c －a a ＋a ＋c －bb ＋a ＋b －cc>3. [解析] 解法一：(分析法)要证b ＋c －a a ＋a ＋c －b b ＋a ＋b －c c >3，只需证明b a ＋c a －1＋c b ＋a b －1＋a c ＋bc －1>3，即证b a ＋c a ＋c b ＋a b ＋a c ＋bc>6.而事实上，由a 、b 、c 是全不相等的正实数， 得b a ＋a b >2，c a ＋a c >2，c b ＋b c >2. 从而b a ＋c a ＋c b ＋a b ＋a c ＋b c >6.故b ＋c －a a ＋a ＋c －b b ＋a ＋b －cc>3得证． 解法二：(综合法) ∵a 、b 、c 全不相等，∴b a 与a b ，c a 与a c ，c b 与bc 全不相等． ∴b a ＋a b >2，c a ＋a c >2，c b ＋b c>2.三式相加得b a ＋c a ＋c b ＋a b ＋a c ＋bc >6，∴(b a ＋c a －1)＋(c b ＋a b －1)＋(a c ＋bc －1)>3， 即b ＋c －a a ＋a ＋c －b b ＋a ＋b －cc>3. 21．(本题满分12分)(2017·全国Ⅲ文，20)在直角坐标系xOy 中，曲线y ＝x 2＋mx －2与x 轴交于A ，B 两点，点C 的坐标为(0,1)．当m 变化时，解答下列问题：(1)能否出现AC ⊥BC 的情况？说明理由．(2)证明过A ，B ，C 三点的圆在y 轴上截得的弦长为定值． [解析] (1)解：不能出现AC ⊥BC 的情况．理由如下： 设A (x 1,0)，B (x 2,0)，则x 1，x 2满足x 2＋mx －2＝0， 所以x 1x 2＝－2. 又点C 的坐标为(0,1)，故AC 的斜率与BC 的斜率之积为－1x 1·－1x 2＝－12，所以不能出现AC ⊥BC 的情况．(2)证明：BC 的中点坐标为(x 22，12)，可得BC 的中垂线方程为y －12＝x 2(x 2－x 22)．由(1)可得x 1＋x 2＝－m ， 所以AB 的中垂线方程为x ＝－m2.联立⎩⎨⎧x ＝－m 2，y －12＝x 2(x －x22)，又x 22＋mx 2－2＝0，可得⎩⎨⎧x ＝－m 2，y ＝－12.所以过A ，B ，C 三点的圆的圆心坐标为(－m 2，－12)，半径r ＝m 2＋92.故圆在y 轴上截得的弦长为2r 2－(m2)2＝3，即过A ，B ，C 三点的圆在y 轴上截得的弦长为定值．22．(本题满分12分)(2017·全国Ⅱ文，21)设函数f (x )＝(1－x 2)e x .(1)讨论f(x)的单调性；(2)当x≥0时，f(x)≤ax＋1，求a的取值范围．[解析](1)解：f′(x)＝(1－2x－x2)e x.令f′(x)＝0得x＝－1－2或x＝－1＋ 2.当x∈(－∞，－1－2)时，f′(x)<0；当x∈(－1－2，－1＋2)时，f′(x)>0；当x∈(－1＋2，＋∞)时，f′(x)<0.所以f(x) 在(－∞，－1－2)，(－1＋2，＋∞)单调递减，在(－1－2，－1＋2)单调递增．(2)解：f(x)＝(1＋x)(1－x)e x.当a≥1时，设函数h(x)＝(1－x)e x，则h′(x)＝－x e x<0(x>0)，因此h(x)在[0，＋∞)单调递减．而h(0)＝1，故h(x)≤1所以f(x)＝(x＋1)h(x)≤x＋1≤ax＋1.当0<a<1时，设函数g(x)＝e x－x－1，则g′(x)＝e x－1>0(x>0)，所以g(x)在[0，＋∞)单调递增．而g(0)＝0，故e x≥x＋1.当0<x<1时，f(x)>(1－x)(1＋x)2，(1－x)(1＋x)2－ax－1＝x(1－a－x－x2)，取x0＝5－4a－12，则x0∈(0,1)，(1－x0)(1＋x0)2－ax0－1＝0，故f(x0)>ax0＋1.当a≤0时，取x0＝5－12，则x0∈(0,1)，f(x0)>(1－x0)(1＋x0)2＝1≥ax0＋1.综上，a的取值范围是[1，＋∞)．。

模块综合检测(一)(时间90分钟，满分120分)一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分)1．(新课标全国卷Ⅱ)设复数z1，z2在复平面内的对应点关于虚轴对称，z1＝2＋i，则z1z2＝()A．－5 B．5C．－4＋i D．－4－i解析：选A由题意可知z2＝－2＋i，所以z1z2＝(2＋i)·(－2＋i)＝i2－4＝－5.2．下列平面图形中，与空间中的平行六面体作为类比对象较为合适的是()A．三角形B．梯形C．平行四边形D．矩形解析：选C只有平行四边形与平行六面体较为接近．3．实数的结构图如图所示，其中1,2,3三个方格中的内容分别为()A．有理数、零、整数B．有理数、整数、零C．零、有理数、整数D．整数、有理数、零解析：选B由实数的包含关系知B正确．4．已知数列1，a＋a2，a2＋a3＋a4，a3＋a4＋a5＋a6，…，则数列的第k项是()A．a k＋a k＋1＋…＋a2kB．a k－1＋a k＋…＋a2k－1C．a k－1＋a k＋…＋a2kD．a k－1＋a k＋…＋a2k－2解析：选D利用归纳推理可知，第k项中第一个数为a k－1，且第k项中有k项，次数连续，故第k项为a k－1＋a k＋…＋a2k－2.5．下列推理正确的是()A．如果不买彩票，那么就不能中奖，因为你买了彩票，所以你一定中奖B ．因为a >b ，a >c ，所以a －b >a －cC ．若a ，b 均为正实数，则lg a ＋lg b ≥lg a ·lg bD ．若a 为正实数，ab <0，则a b ＋ba ＝－－ab ＋－b a≤－2⎝⎛⎭⎫－a b ·⎝⎛⎭⎫－b a ＝－2解析：选D A 中推理形式错误，故A 错；B 中b ，c 关系不确定，故B 错；C 中lg a ，lg b 正负不确定，故C 错．6．已知复数z 1＝m ＋2i ，z 2＝3－4i.若z 1z 2为实数，则实数m 的值为( )A.83B.32 C ．－83D ．－32解析：选D z 1z 2＝m ＋2i 3－4i ＝(m ＋2i )(3＋4i )(3－4i )(3＋4i )＝(3m －8)＋(6＋4m )i32＋42.∵z 1z 2为实数， ∴6＋4m ＝0， ∴m ＝－32.7．观察下列等式： (1＋1)＝2×1(2＋1)(2＋2)＝22×1×3(3＋1)(3＋2)(3＋3)＝23×1×3×5 …照此规律，第n 个等式为( )A ．(n ＋1)(n ＋2)…(n ＋n )＝2n ×1×3×…×(2n －1)B ．(n ＋1)(n ＋2)…(n ＋1＋n ＋1)＝2n ×1×3×…×(2n －1)C ．(n ＋1)(n ＋2)…(n ＋n )＝2n ×1×3×…×(2n ＋1)D ．(n ＋1)(n ＋2)…(n ＋1＋n )＝2n ＋1×1×3×…×(2n －1)解析：选A 观察规律，等号左侧为(n ＋1)(n ＋2)…(n ＋n )，等号右侧分两部分，一部分是2n ，另一部分是1×3×…×(2n －1)．8．观察下列各式：55＝3 125,56＝15 625,57＝78 125，…，则52 015的末四位数字为( ) A ．3 125 B ．5 625 C ．0 625D ．8 125解析：选D ∵55＝3 125,56＝15 625,57＝78 125，58＝390 625,59＝1 953 125,510＝9 765 625，…，∴5n(n∈Z，且n≥5)的末四位数字呈周期性变化，且最小正周期为4.记5n(n∈Z，且n≥5)的末四位数为f(n)，则f(2 015)＝f(502×4＋7)＝f(7)，∴52 015与57的末四位数相同，均为8 125.9．(重庆高考)执行如图所示的程序框图，则输出的k的值是()A．3 B．4C．5 D．6解析：选C第一次运行得s＝1＋(1－1)2＝1，k＝2；第二次运行得s＝1＋(2－1)2＝2，k＝3；第三次运行得s＝2＋(3－1)2＝6，k＝4；第四次运行得s＝6＋(4－1)2＝15，k＝5；第五次运行得s＝15＋(5－1)2＝31，满足条件，跳出循环，所以输出的k的值是5，故选C.10．某车间为了规定工时定额，需要确定加工零件所花费的时间，为此进行了5次试验．根据收集到的数据(如表)，由最小二乘法求得回归方程为＝0.67x＋54.9.现发现表中有一个数据模糊不清，经推断可知该数据为()零件数x/个1020304050加工时间y/min62758189A.70 B．解析：选B依题意得，＝15×(10＋20＋30＋40＋50)＝30.由于直线＝0.67x＋54.9必过点(，)，于是有＝0.67×30＋54.9＝75，因此表中的模糊数据是75×5－(62＋75＋81＋89)＝68.二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)11．复数z＝－3＋i2＋i的共轭复数为________．解析：z ＝－3＋i 2＋i ＝(－3＋i )(2－i )(2＋i )(2－i )＝－5＋5i5＝－1＋i ，所以＝－1－i.答案：－1－i12．“一群小兔一群鸡，两群合到一群里，数腿共40，数脑袋共15，多少小兔多少鸡？”其解答流程图如图所示，空白部分应为________．设有x 只鸡，y 只小兔→列方程组→ →得到x ，y 的值 答案：解方程组13．图1有面积关系：S △PA ′B ′S △PAB ＝PA ′·PB ′PA ·PB ，则图2有体积关系：V PA ′B ′C ′V PABC＝________.解析：把平面中三角形的知识类比到空间三棱锥中，得V PA ′B ′C ′V PABC ＝PA ′·PB ′·PC ′PA ·PB ·PC .答案：PA ′·PB ′·PC ′PA ·PB ·PC14.蜜蜂被认为是自然界中最杰出的建筑师，单个蜂巢可以近似地看作是一个正六边形，右图为一组蜂巢的截面图．其中第一个图有1个蜂巢，第二个图有7个蜂巢，第三个图有19个蜂巢，按此规律，以f (n )表示第n 个图的蜂巢总数，则用n 表示的f (n )＝________.解析：由于f (2)－f (1)＝7－1＝6， f (3)－f (2)＝19－7＝2×6，推测当n ≥2时，有f (n )－f (n －1)＝6(n －1)，所以f (n )＝[f (n )－f (n －1)]＋[f (n －1)－f (n －2)]＋…＋[f (2)－f (1)]＋f (1)＝6[(n －1)＋(n －2)＋…＋2＋1]＋1＝3n 2－3n ＋1.又f (1)＝1＝3×12－3×1＋1， 所以f (n )＝3n 2－3n ＋1. 答案：3n 2－3n ＋1三、解答题(本大题共4小题，共50分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 15．(本小题满分12分)已知复数ω满足ω－4＝(3－2ω)i(i 为虚数单位)，z ＝5ω＋|ω－2|，求.解：由ω－4＝(3－2ω)i ，得8ω(1＋2i)＝4＋3i ， ∴ω＝4＋3i1＋2i＝2－i.∴z ＝52－i＋|－i|＝3＋i. 则z ＝3＋i 的共轭复数＝3－i.于是＝3＋i 3－i ＝(3＋i )2(3－i )(3＋i )＝8＋6i 10＝45＋35i.16．(本小题满分12分)从某居民区随机抽取10个家庭，获得第i 个家庭的月收入x i (单位：千元)与月储蓄y i (单位：千元)的数据资料，算得∑i ＝110x i ＝80，∑i ＝110y i ＝20，∑i ＝110x i y i ＝184，∑i ＝110x 2i ＝720.(1)求家庭的月储蓄y 对月收入x 的线性回归方程＝x ＋； (2)若该居民区某家庭月收入为7千元，预测该家庭的月储蓄． 解：(1)由题意知， n ＝10，＝1n ∑i ＝1n x i ＝8010＝8，＝1n ∑i ＝1n y i ＝2010＝2，＝＝184－10×8×2720－10×82＝2480＝0.3，＝－b ＝2－0.3×8＝－0.4， 故所求回归方程为y ＝0.3x －0.4.(2)将x ＝7代入回归方程可以预测该家庭的月储蓄为y ＝0.3×7－0.4＝1.7(千元)． 17．(本小题满分12分)先解答(1)，再通过结构类比解答(2)． (1)求证：tan ⎝⎛⎭⎫x ＋π4＝1＋tan x1－tan x .(2)设x ∈R ，a 为非零常数，且f (x ＋a )＝1＋f (x )1－f (x )，试问：f (x )是周期函数吗？证明你的结论．解：(1)根据两角和的正切公式得 tan ⎝⎛⎭⎫x ＋π4＝tan x ＋tanπ41－tan x tanπ4 ＝tan x ＋11－tan x ＝1＋tan x1－tan x，即tan ⎝⎛⎭⎫x ＋π4＝1＋tan x 1－tan x ，命题得证． (2)猜想：f (x )是以4a 为周期的周期函数．证明：因为f (x ＋2a )＝f ((x ＋a )＋a ) ＝1＋f (x ＋a )1－f (x ＋a )＝1＋1＋f (x )1－f (x )1－1＋f (x )1－f (x )＝－1f (x )，所以f (x ＋4a )＝f ((x ＋2a )＋2a ) ＝－1f (x ＋2a )＝f (x )．所以f (x )是以4a 为周期的周期函数．18．(本小题满分14分)某企业有两个分厂生产某种零件，按规定内径尺寸(单位：mm)的值落在(29.94,30.06)上的零件为优质品．从两个分厂生产的零件中各抽出500件，量其内径尺寸，得结果如下表所示：甲厂：(2)由以上统计数据填下面2×2列联表，问：能否在犯错误的概率不超过0.010的前提下认为“两个分厂生产的零件的质量有差异”？解：(1)甲厂抽查的产品中有360件优质品，从而甲厂生产的零件的优质品率估计为360500＝72%.乙厂抽查的产品中有320件优质品，从而乙厂生产的零件的优质品率估计为320500＝64%.(2)优质品360320680非优质品140180320总计500500 1 000K2的观测值k＝500×500×680×320≈7.35>6.635，所以在犯错误的概率不超过0.010的前提下认为“两个分厂生产的零件的质量有差异”．模块综合检测(二)(时间90分钟，满分120分)一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分)1．设z＝10i3＋i，则z的共轭复数为()A．－1＋3i B．－1－3i C．1＋3i D．1－3i解析：选D∵z＝10i3＋i＝10i(3－i)(3＋i)(3－i)＝1＋3i，∴＝1－3i.2．以下说法，正确的个数为()①公安人员由罪犯的脚印的尺寸估计罪犯的身高情况，所运用的是类比推理．②农谚“瑞雪兆丰年”是通过归纳推理得到的．③由平面几何中圆的一些性质，推测出球的某些性质，这是运用的类比推理．④个位是5的整数是5的倍数，2 375的个位是5，因此2 375是5的倍数，这是运用的演绎推理．A．0 B．2 C．3 D．4解析：选C①人的身高与脚长的关系：身高＝脚印长×6.876(中国人)，是通过统计数据用线性回归的思想方法得到的，故不是类比推理，所以错误．②农谚“瑞雪兆丰年”是人们在长期的生产生活实践中提炼出来的，所以是用的归纳推理，故正确．③由球的定义可知，球与圆具有很多类似的性质，故由平面几何中圆的一些性质，推测出球的某些性质是运用的类比推理是正确的．④这是运用的演绎推理的三段论．大前提是“个位是5的整数是5的倍数”，小前提是“2 375的个位是5”，结论为“2 375是5的倍数”，所以正确．故选C.3．观察下图中图形的规律，在其右下角的空格内画上合适的图形为()解析：选A表格中的图形都是矩形、圆、正三角形的不同排列，规律是每一行中只有一个图形是空心的，其他两个都是填充颜色的，第三行中已经有正三角形是空心的了，因此另外一个应该是阴影矩形．4．三段论：“①所有的中国人都坚强不屈；②雅安人是中国人；③雅安人一定坚强不屈”，其中“大前提”和“小前提”分别是()A．①②B．①③C．②③D．②①解析：选A解本题的关键是透彻理解三段论推理的形式和实质：大前提是一个“一般性的命题”(①所有的中国人都坚强不屈)，小前提是“这个特殊事例是否满足一般性命题的条件”(②雅安人是中国人)，结论是“这个特殊事例是否具有一般性命题的结论”(③雅安人一定坚强不屈)．故选A.5．已知a，b是异面直线，直线c平行于直线a，那么c与b的位置关系为()A．一定是异面直线B．一定是相交直线C．不可能是平行直线D．不可能是相交直线解析：选C假设c∥b，而由c∥a，可得a∥b，这与a，b异面矛盾，故c与b不可能是平行直线．故应选C.6．给出下面类比推理命题(其中Q为有理数集，R为实数集，C为复数集)：①“若a，b∈R，则a－b＝0⇒a＝b”类比推出：“a，b∈C，则a－b＝0⇒a＝b”；②“若a，b，c，d∈R，则复数a＋b i＝c＋d i⇒a＝c，b＝d”类比推出：“若a，b，c，d ∈Q，则a＋b2＝c＋d2⇒a＝c，b＝d”；③“若a，b∈R，则a－b>0⇒a>b”类比推出：“若a，b∈C，则a－b>0⇒a>b”；④“若x∈R，则|x|<1⇒－1<x<1”类比推出：“若z∈C，则|z|<1⇒－1<z<1”．其中类比结论正确的个数是()A．1 B．2 C．3 D．4解析：选B①②正确，③④错误，因为③④中虚数不能比较大小．7．执行如图所示的程序框图，则输出s的值为()A．10 B．17C．19 D．36解析：选C执行程序：k＝2，s＝0；s＝2，k＝3；s＝5，k＝5；s＝10，k＝9；s＝19，k＝17，此时不满足条件k<10，终止循环，输出结果为s＝19.选C.8．p＝ab＋cd，q＝ma＋nc·bm＋dn(m，n，a，b，c，d均为正数)，则p，q的大小为()A．p≥q B．p≤qC．p>q D．不确定解析：选B q＝ab＋madn＋nbcm＋cd≥ab＋2abcd＋cd＝ab＋cd＝p.9．下图所示的是“概率”知识的()A．流程图B．结构图C．程序框图D．直方图解析：选B这是关于“概率”知识的结构图．10．为了解某班学生喜爱打篮球是否与性别有关，对该班50名学生进行了问卷调查，得到如下的2×2列联表：喜爱打篮球不喜爱打篮球总计男生20525女生101525总计302050．()附参考公式：K2＝n(ad－bc)2(a＋b)(c＋d)(a＋c)(b＋d)P(K2＞k0)0.100.050.0250.0100.0050.001 k0 2.706 3.841 5.024 6.6357.78910.828C．0.005 D．0.001解析：选C由2×2列联表可得，K2的估计值k＝50×(20×15－10×5)230×20×25×25＝253≈8.333>7.789，所以在犯错误的概率不超过0.005的前提下，认为“喜爱打篮球与性别有关”．二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)11．设a＝3＋22，b＝2＋7，则a，b的大小关系为________________．解析：a＝3＋22，b＝2＋7两式的两边分别平方，可得a2＝11＋46，b2＝11＋47，显然，6<7.∴a<b.答案：a<b12．复数z＝i1＋i(其中i为虚数单位)的虚部是________．解析：化简得z＝i1＋i＝i(1－i)(1＋i)(1－i)＝12＋12i，则虚部为12.答案：1 213．根据如图所示的框图，对大于2的整数N，输出的数列的通项公式是________(填序号)．①a n＝2n②a n＝2(n－1)③a n＝2n④a n＝2n－1解析：由程序框图可知：a1＝2×1＝2，a2＝2×2＝4，a3＝2×4＝8，a4＝2×8＝16，归纳可得：a n＝2n.答案：③14．(福建高考)已知集合{a，b，c}＝{0,1,2}，且下列三个关系：①a≠2；②b＝2；③c≠0 有且只有一个正确，则100a＋10b＋c等于________．解析：可分下列三种情形：(1)若只有①正确，则a≠2，b≠2，c＝0，所以a＝b＝1与集合元素的互异性相矛盾，所以只有①正确是不可能的；(2)若只有②正确，则b＝2，a＝2，c＝0，这与集合元素的互异性相矛盾，所以只有②正确是不可能的；(3)若只有③正确，则c≠0，a＝2，b≠2，所以b＝0，c＝1，所以100a＋10b＋c＝100×2＋10×0＋1＝201.答案：201三、解答题(本大题共4小题，共50分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)15．(本小题满分12分)已知复数z1满足(z1－2)(1＋i)＝1－i(i为虚数单位)，复数z2的虚部为2，且z1·z2是实数，求z2.解：(z1－2)(1＋i)＝1－i⇒z1＝2－i.设z2＝a＋2i，a∈R，则z1·z2＝(2－i)(a＋2i)＝(2a＋2)＋(4－a)i.∵z1·z2∈R，∴a＝4.∴z2＝4＋2i.16．(本小题满分12分)某大学远程教育学院网上学习流程如下：(1)学生凭录取通知书到当地远程教育中心报到，交费注册，领取网上学习注册码．(2)网上选课，课程学习，完成网上平时作业，获得平时作业成绩．(3)预约考试，参加期末考试获得期末考试成绩，获得综合成绩，成绩合格获得学分，否则重修．试画出该远程教育学院网上学习流程图．解：某大学远程教育学院网上学习流程如下：17．(本小题满分12分)某学生对其亲属30人的饮食习惯进行了一次调查，并用下图所示的茎叶图表示30人的饮食指数．(说明：图中饮食指数低于70的人，饮食以蔬菜为主；饮食指数高于70的人，饮食以肉类为主)(1)根据以上数据完成下面的2×2列联表：主食蔬菜主食肉类总计 50岁以下 50岁以上 总计(2)能否在犯错误的概率不超过0.010的前提下认为“其亲属的饮食习惯与年龄有关”？并写出简要分析．解：(1)2×2列联表如下： (2)因为K 2的观测值 30×(8－128)212×18×20×10＝k＝10>6.635，所以在犯错误的概率不超过0.010的前提下认为“其亲属的饮食习惯与年龄有关”．18．(本小题满分14分)为了探究学生选报文、理科是否与对外语的兴趣有关，某同学调查了361名高二在校学生，调查结果如下：理科对外语有兴趣的有138人，无兴趣的有98人，文科对外语有兴趣的有73人，无兴趣的有52人．试分析学生选报文、理科与对外语的兴趣是否有关？解：根据题目所给的数据得到如下列联表：理科 文科 总计 有兴趣 138 73 211 无兴趣 98 52 150 总计236125361k ＝361×(138×52－73×98)2236×125×211×150≈1.871×10－4.因为1.871×10－4<2.706，所以据目前的数据不能认为学生选报文、理科与对外语的兴趣有主食蔬菜主食肉类总计 50岁以下 4 8 12 50岁以上 16 2 18 总计201030关，即可以认为学生选报文、理科与对外语的兴趣无关．。

选修模块综合测试（二）(时间分钟满分分)一、选择题(本大题共小题，每小题分，共分)．[·江西高考]已知集合＝{，}，为虚数单位，＝{}，∩＝{}，则复数＝( ).. －. －.解析：由∩＝{}知∈，所以＝，＝－，选.答案：．凡自然数是整数，是自然数，所以是整数，以上三段论推理( ). 正确. 推理形式不正确. 两个“自然数”概念不一样. 两个“整数”概念不一致解析：此三段论中的大前提，小前提以及推理形式都是正确的，因此，此三段论推理是正确的，故选.答案：．设两个变量和之间具有线性相关关系，它们的相关系数是，关于的回归直线的斜率是，纵轴上的截距是，那么必有( ). 与的符号相同. 与的符号相同. 与的符号相反. 与的符号相反解析：正相关时，>，>；负相关时，<，<，选.答案：．勾股定理：在直角边长为、，斜边长为的直角三角形中，有＋＝.类比勾股定理可得，在长、宽、高分别为、、，体对角线长为的长方体中，有( ). ＋＋＝. ＋＋＝. ＋＋＝. ＋＋＋＋＋＝解析：类比即可．答案：．观察()′＝，()′＝，()′＝－，由归纳推理可得：若定义在上的函数()满足(－)＝()，记()为()的导函数，则(－)等于( ). －(). (). －(). ()解析：由题知偶函数的导数为奇函数，选.答案：．设＝(－－)＋(－)(∈)，若对应的点在直线－＋＝上，则的值是( )．±．．－解析：(－－)－(－)＋＝，＝－，＝，＝±，而>，＝.答案：．[·贵州六校联考]如图，，，为某次考试三个评阅人对同一道题的独立评分，为该题的最终得分，得＝，＝，＝时，等于 ( )....解析：＝，＝，－＝，－<－不成立，取＝⇒＋＝×⇒＝.答案：．[·安徽高考]设是虚数单位，是复数的共轭复数．若·＋＝，则＝( ). －. ＋. －－. －＋解析：设＝＋(，∈)，则·＋＝(＋)·(－)·＋＝＋(＋)，故＝，＋＝，解得＝，＝.即＝＋.答案：．[·昆明调研]执行如图的程序框图，如果输入的＝，那么输出的＝( )。

学期综合测评(二)本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，满分150分，考试时间120分钟．第Ⅰ卷 (选择题，共60分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分) 1．若复数z 满足(3－4i)z ＝|4＋3i|，则z 的虚部为( ) A ．－4 B ．－45 C ．4 D.45答案 D解析 z ＝|4＋3i|3－4i ＝53－4i ＝53＋4i 25＝35＋45i ，故z 的虚部是45.2．设⊕是R 内的一个运算，A 是R 的非空子集．若对于任意a ，b ∈A ，有a ⊕b ∈A ，则称A 对运算⊕封闭．下列数集对加法、减法、乘法和除法(除数不等于零)四则运算都封闭的是( )A ．自然数集B ．整数集C ．有理数集D ．无理数集 答案 C解析 A 错：因为自然数集对减法不封闭；B 错：因为整数集对除法不封闭；C 对：因为任意两个有理数的和、差、积、商都是有理数，故有理数集对加、减、乘、除法(除数不等于零)四则运算都封闭；D 错；因为无理数集对加、减、乘、除法都不封闭．3．设a ，b ∈R ，i 是虚数单位，则“ab ＝0”是“复数a ＋bi 为纯虚数”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件 答案 B解析 ∵ab ＝0，∴a ＝0或b ＝0.由复数a ＋bi ＝a －b i 为纯虚数，得a ＝0且b ≠0.∴“ab ＝0”是“复数a ＋bi 为纯虚数”的必要不充分条件．4．下列说法正确的有( ) ①回归方程适用于一切样本和总体． ②回归方程一般都有时间性．③样本取值的X 围会影响回归方程的适用X 围． ④回归方程得到的预报值是预报变量的精确值． A ．①② B．②③ C．③④ D．①③ 答案 B解析 回归方程只适用于所研究样本的总体，所以①不正确；而“回归方程一般都有时间性”，②正确，③也正确；而回归方程得到的预报值是预报变量的近似值，④不正确，故选B.5．已知x >0，不等式x ＋1x ≥2，x ＋4x 2≥3，x ＋27x 3≥4，…，可推广为x ＋axn ≥n ＋1，则a的值为( )A ．n 2B ．n nC ．2nD ．22n －2答案 B解析 由x ＋1x ≥2，x ＋4x 2＝x ＋22x2≥3，x ＋27x 3＝x ＋33x3≥4，…，可推广为x ＋n n xn ≥n ＋1，故a ＝n n.6．某地财政收入x 与支出y 满足线性回归方程y ＝bx ＋a ＋e (单位：亿元)，其中b ＝0.8，a ＝2，|e |<0.5，如果今年该地区财政收入10亿元，年支出预计不会超过( )A ．10亿B ．9亿C ．10.5亿D ．9.5亿 答案 C解析 代入数据得y ＝10＋e ，因为|e |<0.5， 所以|y |≤10.5，故不会超过10.5亿．7．执行如图所示的程序框图，如果输入的x ＝0，y ＝1，n ＝1，则输出x ，y 的值满足( )A ．y ＝2xB ．y ＝3xC ．y ＝4xD ．y ＝5x 答案 C解析 输入x ＝0，y ＝1，n ＝1，得x ＝0，y ＝1，x 2＋y 2＝1<36，不满足条件，执行循环：n ＝2，x ＝12，y ＝2，x 2＋y 2＝14＋4<36，不满足条件，执行循环：n ＝3，x ＝12＋1＝32，y ＝6，x 2＋y 2＝94＋36>36，满足条件，结束循环，所以输出的x ＝32，y ＝6，满足y ＝4x ，故选C.8．观察数列1,2,2,3,3,3,4,4,4,4，…的特点，第100项为( ) A ．10 B ．14 C ．13 D ．100答案 B解析 由于1有1个，2有2个，3有3个，…，则13有13个，所以1～13的总个数为13×1＋132＝91，故第100个数为14.9．满足条件|z －i|＝|3－4i|的复数z 在复平面上对应点的轨迹是( ) A ．一条直线 B ．两条直线 C ．圆 D ．椭圆 答案 C解析 |z －i|＝|3－4i|＝5，∴复数z 对应点到定点(0,1)的距离等于5，故轨迹是个圆． 10．如果执行下面的框图，输入N ＝5，则输出的数等于( )A.54B.45C.65D.56 答案 D 解析 N ＝5，S ＝11×2＋12×3＋13×4＋14×5＋15×6＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12－13＋⎝ ⎛⎭⎪⎫13－14＋⎝ ⎛⎭⎪⎫14－15＋⎝ ⎛⎭⎪⎫15－16＝1－16＝56，故选D. 11．下面给出了关于复数的四种类比推理：①复数的加减法运算可以类比多项式的加减法运算法则；②由向量a 的性质|a |2＝a 2类比得到复数z 的性质|z 2|＝z 2；③方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ，b ，c ∈R )有两个不同实数根的条件是b 2－4ac >0可以类比得到：方程az 2＋bz ＋c ＝0(a ，b ，c ∈C )有两个不同复数根的条件是b 2－4ac >0；④由向量加法的几何意义可以类比得到复数加法的几何意义．其中类比得到的结论错误的是 ( ) A ．①③ B ．②④ C ．②③ D ．①④ 答案 C解析 因为复数z 中，|z |2为实数，z 2不一定为实数，所以|z |2≠z 2，故②错；当方程az 2＋bz ＋c ＝0(a ，b ，c ∈C )有两个不同复数根时，应设出复数根的表达式，利用复数相等的条件列关系式，故③错．12．有人收集了春节期间平均气温x 与某取暖商品销售额y 的有关数据如下表：平均气温/℃ －2 －3 －5 －6 销售额/万元20232730根据以上数据，用线性回归的方法，求得销售额y 与平均气温x 之间线性回归方程y ^＝b ^x ＋a ^的系数b ^＝－2.4，则预测平均气温为－8 ℃时该商品销售额为( )A ．34.6万元B ．35.6万元C ．36.6万元D ．37.6万元 答案 A解析 x ＝－2－3－5－64＝－4，y ＝20＋23＋27＋304＝25，所以这组数据的样本中心点是(－4,25)．因为b ^＝－2.4，把样本中心点代入线性回归方程得a ^＝15.4，所以线性回归方程为y ^＝－2.4x ＋15.4. 当x ＝－8时，y ＝34.6.故选A.第Ⅱ卷 (非选择题，共90分)二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)13．设z ＝(2－i)2(i 为虚数单位)，则复数z 的模为________． 答案 5解析 z ＝(2－i)2＝3－4i ，所以|z |＝|3－4i|＝32＋－42＝5.14．用反证法证明“x 2－(a ＋b )x ＋ab ≠0，则x ≠a ，且x ≠b ”时应假设结论为________． 答案 x ＝a 或x ＝b解析 否定时一定要全面否定，“x ≠a ，且x ≠b ”的否定是“x ＝a 或x ＝b ”．15．在平面上，我们如果用一条直线去截正方形的一个角，那么截下的一个直角三角形，按如图所标边长，由勾股定理有：c2＝a2＋b2.设想正方形换成正方体，把截线换成如图的截面，这时从正方体上截下三条侧棱两两垂直的三棱锥O－LMN，如果用S1，S2，S3表示三个侧面面积，S4表示截面面积，那么类比得到的结论是________．答案S24＝S21＋S22＋S23解析将侧面面积类比为直角三角形的直角边，截面面积类比为直角三角形的斜边，可得S24＝S21＋S22＋S23.16．2014年世界杯期间，某一电视台对年龄高于40岁和不高于40岁的人是否喜欢西班牙队进行调查，40岁以上调查了50人，不高于40岁调查了50人，所得数据制成如下列联表：不喜欢西班牙队喜欢西班牙队总计40岁以上p q 50 不高于40岁153550 总计 a b 100，则有超已知工作人员从所有统计结果中任取一个，取到喜欢西班牙队的人的概率为5过________的把握认为年龄与西班牙队的被喜欢程度有关．答案95%解析设“从所有人中任意抽取一个取到喜欢西班牙队的人”为事件A，由已知得P(A)＝q ＋35100＝35，所以p ＝25，q ＝25，a ＝40，b ＝60，K 2＝100×25×35－25×15240×60×50×50＝25×40040×60＝256≈4.167>3.841，故有超过95%的把握认为年龄与西班牙队的被喜欢程度有关． 三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17．(本小题满分10分)设z ＝log 2(1＋m )＋i·log 12(3－m )(m ∈R )．(1)若z 在复平面内对应的点在第三象限，求m 的取值X 围； (2)若z 在复平面内对应的点在直线x －y －1＝0上，求m 的值．解 (1)由已知，得⎩⎪⎨⎪⎧ log 21＋m <0，log 123－m <0，1＋m >0，3－m >0，即⎩⎪⎨⎪⎧－1<m <0，m <2，m >－1，m <3.解得－1<m <0，∴m 的取值X 围是(－1,0)．(2)由已知得，点(log 2(1＋m )，log 12(3－m ))在直线x －y －1＝0上，即log 2(1＋m )－log 12(3－m )－1＝0，∴log 2[(1＋m )(3－m )]＝1， ∴(1＋m )(3－m )＝2， ∴m 2－2m －1＝0，∴m ＝1±2，且当m ＝1±2时都能使1＋m >0，且3－m >0， ∴m ＝1± 2.18．(本小题满分12分)某公司做人事调整：设总经理一名，配有经理助理一名；设副经理两人，直接对总经理负责，设有6个部门，其中副经理A 管理生产部、安全部和质量部，副经理B 管理销售部、财务部和保卫部；生产车间由生产部和安全部共同管理，公司配有质检中心和门岗．请根据以上信息设计并画出该公司的人事结构图．解 人事结构图如图所示．19．(本小题满分12分)求证：对于任意的正实数a ，b ，c ，31a ＋1b ＋1c≤a ＋b ＋c3(当且仅当a ＝b ＝c 时取等号)．证明 对于任意正实数a ，b ，c ， 要证31a ＋1b ＋1c≤a ＋b ＋c3成立，只需证9≤(a ＋b ＋c )⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1b ＋1c ，即证9≤3＋a b ＋a c ＋b a ＋b c ＋c a ＋cb，即证6≤⎝ ⎛⎭⎪⎫a b ＋b a ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫a c ＋c a ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b c ＋c b (*)因为对于任意正实数a ，b ，c ， 有a b ＋b a≥2a b ·ba ＝2， 同理a c ＋c a≥2，b c ＋c b≥2，所以不等式(*)成立，且要使(*)的等号成立必须b a ＝a b 且c a ＝a c 且b c ＝c b.所以原不等式成立． 即当且仅当a ＝b ＝c 时等号成立．20．(本小题满分12分)某某市第一次联考后，某校对甲、乙两个文科班的数学考试成绩进行分析，规定：大于或等于120分为优秀，120分以下为非优秀．统计成绩后，得到如下的2×2列联表，且已知在甲、乙两个文科班全部110人中随机抽取1人为优秀的概率为311.优秀 非优秀 总计 甲班 10乙班 30总计110(1)请完成上面的列联表；(2)根据列联表中的数据，若按99.9%的可靠性要求，能否认为“成绩与班级有关系”？ (3)若按下面的方法从甲班优秀的学生中抽取一人：把甲班优秀的10名学生从2到11进行编号，先后两次抛掷一枚均匀的骰子，出现的点数之和为被抽取人的序号．试求抽到9号或10号的概率．参考公式与临界值表：K 2＝n ad －bc 2a ＋bc ＋d a ＋cb ＋d. P (K 2≥k 0)0.100 0.050 0.025 0.010 0.001 k 02.7063.8415.0246.63510.828解 (1)优秀 非优秀 总计 甲班 10 50 60 乙班 20 30 50 总计3080110(2)根据列联表中的数据，得到 K 2＝110×10×30－20×50260×50×30×80≈7.486<10.828.因此按99.9%的可靠性要求，不能认为“成绩与班级有关系”．(3)设“抽到9号或10号”为事件A ，先后两次抛掷一枚均匀的骰子，出现的点数为(x ，y )．所有的基本事件有：(1,1)，(1,2)，(1,3)，…，(6,6)，共36个．事件A 包含的基本事件有：(3,6)，(4,5)，(5,4)，(6,3)，(5,5)，(4,6)，(6,4)，共7个．所以P (A )＝736，即抽到9号或10号的概率为736.21．(本小题满分12分)已知f (x )＝bx ＋1ax ＋12⎝ ⎛⎭⎪⎫x ≠－1a ，a >0，且f (1)＝log 162，f (－2)＝1. (1)求函数f (x )的表达式；(2)已知数列{x n }的项满足x n ＝[1－f (1)]·[1－f (2)]·…·[1－f (n )]，试求x 1，x 2，x 3，x 4；(3)猜想{x n }的通项．解 (1)把f (1)＝log 162＝14，f (－2)＝1代入f (x )＝bx ＋1ax ＋12，得⎩⎪⎨⎪⎧b ＋1a ＋12＝14，－2b ＋11－2a2＝1，整理，得⎩⎪⎨⎪⎧4b ＋4＝a 2＋2a ＋1，－2b ＋1＝4a 2－4a ＋1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝0，所以f (x )＝1x ＋12(x ≠－1)．(2)x 1＝1－f (1)＝1－14＝34，x 2＝34×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－19＝23，x 3＝23×⎝⎛⎭⎪⎫1－116＝58，x 4＝58×⎝⎛⎭⎪⎫1－125＝35.(3)由(2)，得x 1＝34，x 2＝23，x 3＝58，x 4＝35，可变形为34，46，58，610，…，从而可归纳出{x n }的通项x n ＝n ＋22n ＋1. 22．(本小题满分12分)某农科所对冬季昼夜温差大小与某反季节大豆新品种发芽多少之间的关系进行分析研究，他们分别记录了12月1日至12月5日的每天昼夜温差与实验室每天每100颗种子中的发芽数，得到如下资料：日期 12月 1日 12月 2日 12月 3日 12月 4日 12月 5日 温差x (℃) 10 11 13 12 8 发芽数y (颗)2325302616归方程，再对被选取的2组数据进行检验．(1)求选取的2组数据恰好是不相邻2天数据的概率；(2)若选取的是12月1日与12月5日的两组数据，请根据12月2日至12月4日的数据，求出y 关于x 的线性回归方程y ^＝b ^x ＋a ^；(3)若由线性回归方程得到的估计数据与所选出的检验数据的误差均不超过2颗，则认为得到的线性回归方程是可靠的，试问(2)中所得的线性回归方程是否可靠？解 (1)设事件A 表示“选取的2组数据恰好是不相邻2天的数据”，则A 表示“选取的数据恰好是相邻2天的数据”．基本事件总数为10，事件A 包含的基本事件数为4.所以P (A )＝410＝25， 所以P (A )＝1－P (A )＝35.(2)x ＝12，y ＝27，∑i ＝13x i y i ＝977，∑i ＝13x 2i ＝434，所以b ^＝∑i ＝13x i y i －3x y∑i ＝13x 2i －3x 2＝977－3×12×27434－3×122＝2.5， a ^＝y －b ^x ＝27－2.5×12＝－3，所以y ^＝2.5x －3.(3)由(2)知：当x ＝10时，y ^＝22，误差不超过2颗；当x ＝8时，y ^＝17，误差不超过2颗．故所求得的线性回归方程是可靠的．。

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综合质量评估(第一至第四章)(120分钟150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1.变量y与x之间的回归方程=x+( )A.表示y与x之间的函数关系B.表示y与x之间的确定关系C.反映y与x之间的真实关系D.反映y与x之间真实关系达到最大限度的吻合【解析】选D.回归方程是表示y与x具有相关关系，相关关系是一种非确定性关系，而回归方程是由最小二乘法求得的，它反映了y与x之间真实关系达到最大限度的吻合.2.(2016·上海高二检测)计算机系统、硬件系统、软件系统、CPU、存储器的知识结构图为( )【解析】选D.由于CPU、存储器属于硬件，故由元素间的从属关系知D正确.3.(2016·全国卷Ⅱ)设复数z满足z+i=3-i，则=( )A.-1+2iB.1-2iC.3+2iD.3-2i【解题指南】先解关于z的一元一次方程，再求其共轭复数.【解析】选C.由z+i=3-i得，z=3-2i，=3+2i.【补偿训练】(2016·西安高二检测)定义=ad-bc，若复数z满足=-1-i，则z等于( )A.1+iB.1-iC.-iD.3-i【解题指南】利用新定义直接化简=-1-i，则iz=1，求出复数z，它的分子、分母同乘分母的共轭复数，进行化简可得答案.【解析】选C.根据定义=-zi-i=-1-i，则iz=1.所以z===-i.4.(2016·石家庄高二检测)观察下图，可推断出“x”应该填的数字是( )A.171B.183C.205D.268【解析】选 B.由前两个图形发现：中间数等于四周四个数的平方和，即12+32+42+62=62，22+42+52+82=109，所以“x”处该填的数字是32+52+72+102=183.5.设两个变量x和y之间具有线性相关关系，它们的相关系数是r，y关于x的回归直线的斜率是b，纵轴上的截距是a，那么必有( )A.b与r的符号相同B.a与r的符号相同C.b与r的符号相反D.a与r的符号相反【解析】选A.当b>0时，两变量正相关，此时r>0；当b<0时，两变量负相关，此时r<0，所以选A.6.下列平面图形中，与空间中的平行六面体作为类比对象较为合适的是( )A.三角形B.梯形C.平行四边形D.矩形【解析】选C.只有平行四边形与平行六面体较为接近.7.根据二分法原理求解方程x2-2=0得到的程序框图可称为( )A.工序流程图B.程序流程图C.知识结构图D.组织结构图【解析】选B.根据二分法原理求解方程x2-2=0的过程既不是工业生产的流程，也不是知识结构或组织结构，所以排除A，C，D.8.已知数列1，a+a2，a2+a3+a4，a3+a4+a5+a6，…则数列的第k项是( )A.a k+a k+1+…+a2kB.a k-1+a k+…+a2k-1C.a k-1+a k+…+a2kD.a k-1+a k+…+a2k-2【解析】选D.利用归纳推理可知，第k项中第一个数为a k-1，且第k项中有k项，次数连续，故第k项为a k-1+a k+…+a2k-2.9.实数系的结构图如图所示，其中1，2，3三个方格中的内容分别为( )A.有理数、零、整数B.有理数、整数、零C.零、有理数、整数D.整数、有理数、零【解析】选B.由实数系的包含关系知B正确.10.(2016·兰州高二检测)已知面积为S的凸四边形中，四条边长分别记为a1，a2，a3，a4，点P为四边形内任意一点，且点P到四边的距离分别记为h1，h2，h3，h4，若====k，则h1+2h2+3h3+4h4=，类比以上性质，体积为V的三棱锥的每个面的面积分别记为S1，S2，S3，S4，此三棱锥内任一点Q到每个面的距离分别为H1，H2，H3，H4，若====k，则H1+2H2+3H3+4H4=( )A. B.C. D.【解题指南】由====k可得a i=ik，P是该四边形内任意一点，将P与四边形的四个顶点连接，得四个小三角形，四个小三角形面积之和为四边形面积，即采用分割法求面积；同理对三棱锥的体积可分割为4个已知底面积和高的小棱锥求体积.【解析】选B.根据三棱锥的体积公式V=Sh，得：S1H1+S2H2+S3H3+S4H4=V，即S1H1+S2H2+S3H3+S4H4=3V，所以H1+2H2+3H3+4H4=.11.(2015·安徽高考)执行如图所示的程序框图(算法流程图)，输出的n为( )A.3B.4C.5D.6【解题指南】利用循环结构逐次计算，直到退出循环，输出结果.【解析】选B.执行第一次循环体a=，n=2；此时|a-1.414|=|1.5-1.414|=0.086>0.005；执行第二次循环体a=，n=3；此时|a-1.414|=|1.4-1.414|=0.014>0.005；执行第三次循环体a=，n=4；此时|a-1.414|<0.005，此时不满足判断条件，输出n=4. 【补偿训练】(2014·陕西高考)根据如图所示的框图，对大于2的整数N，输出的数列的通项公式是( )A.a n=2nB.a n=2(n-1)C.a n=2nD.a n=2n-1【解题指南】搞清程序的算法功能是解题的关键，解题时按照程序框图的顺序执行求解，特别注意根据判断框中的条件来执行循环体或结束循环.【解析】选C.当S=1，i=1时，执行循环体，a1=2，S=2，i=2，若不满足条件i>N，执行循环体，a2=4，S=4，i=3，若不满足条件i>N，执行循环体，a3=8，S=8，i=4，若不满足条件i>N，执行循环体，a4=16，S=16，i=5，若输入条件N=4，此时满足条件i>N，即输出a4=16，所以a n=2n.12.(2016·济南高二检测)若在曲线f(x，y)=0上两个不同点处的切线重合，则称这条切线为曲线f(x，y)=0的“自公切线”.下列方程：①x2-y2=1；②y=x2-|x|；③y=3sinx+4cosx；④|x|+1=，对应的曲线中存在“自公切线”的有( ) A.①② B.②③C.①④D.③④【解析】选B.①x2-y2=1是一个等轴双曲线，没有“自公切线”.②y=x2-|x|=在x=和x=-处的切线都是y=-，故②有“自公切线”.③y=3sinx+4cosx=5sin(x+φ)，cosφ=，sinφ=，此函数是周期函数，过图象的最高点或最低点的切线都重合，故③有“自公切线”.④由于|x|+1=，即x2+2|x|+y2-3=0，结合图象可得，此曲线没有“自公切线”. 【拓展延伸】演绎推理的主要出题模式一般是给出一个一般原理，然后应用这一原理，如本题主要先理解什么叫“自公切线”，然后分别判断所给方程对应的曲线是否满足这一原理，进而选择出正确的结论.二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分.请把正确答案填在题中横线上)13.(2016·潍坊高二检测)若复数z=(a2+2a-3)+(a+3)i为纯虚数(i为虚数单位)，则实数a 的值是________.【解析】复数z=(a2+2a-3)+(a+3)i为纯虚数，所以解得a=1.答案：114.(2016·长沙高二检测)已知一个回归方程为=1.5x+4.5，x∈{1，5，7，13，19}，则=__________.【解析】=9，所以=1.5×9+4.5=18.答案：1815.若t∈R，t≠-1，t≠0，复数z=+i的模的取值范围是__________.【解析】|z|2=+≥2··=2.当且仅当t=-时取等号，所以|z|≥.答案：[，+∞)16.(2016·泰安高二检测)若集合A1，A2，…，A n满足A1∪A2∪…∪A n=A，则称A1，A2，…，A n为集合A的一种拆分.已知：①当A1∪A2={a1，a2，a3}时，有33种拆分；②当A1∪A2∪A3={a1，a2，a3，a4}时，有74种拆分；③当A1∪A2∪A3∪A4={a1，a2，a3，a4，a5}时，有155种拆分；……由以上结论，推测出一般结论：当A1∪A2∪…∪A n={a1，a2，a3，…，a n+1}时，有__________种拆分.【解析】因为当有两个集合时，33=(4-1)2+1=(22-1)2+1；当有三个集合时，74=(8-1)3+1=(23-1)3+1；当有四个集合时，155=(16-1)4+1=(24-1)4+1；由此可以归纳当有n个集合时，有(2n-1)n+1种拆分.答案：(2n-1)n+1【补偿训练】已知=2·，=3·，=4·，…. 若=8·(a，t均为正实数)，类比以上等式，可推测a，t的值，则a+t=__________. 【解析】因为=2·，=3·，=4·，由类比推理得：=5·，=6·，=7·，=8·，所以a=8，t=63，所以a+t=71.答案：71三、解答题(本大题共6小题，共70分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17.(10分)已知复数z=，ω=z+ai(a∈R)，当≤时，求a的取值范围.【解析】z=====1-i.因为ω=z+ai=1-i+ai=1+(a-1)i，所以===.所以=≤，所以a2-2a-2≤0，所以1-≤a≤1+.故a的取值范围是.18.(12分)小流域综合治理可以有3个措施：工程措施、生物措施和农业技术措施.其中，工程措施包括打坝建库、平整土地、修基本农田和引水灌溉，其功能是贮水拦沙、改善生产条件和合理利用水土；生物措施包括栽种乔木、灌木和草木，其功能是蓄水保土和发展多种经营；农业技术措施包括深耕改土、科学施肥、选育良种、地膜覆盖和轮作套种，其功能是蓄水保土、提高肥力和充分利用光和热.试画出小流域综合治理开发模式的结构图.【解析】根据题意，3个措施为结构图的第一层，每个措施中具体的实现方式为结构图的第二层，每个措施实施所要达到的治理功能为结构图的第三层，各类功能所体现的具体内容为结构图的第四层.小流域综合治理开发模式的结构图如图所示.19.(12分)某商品在销售过程中投入的销售时间x与销售额y的统计数据如下表：销售时间x(月) 1 2 3 4 5销售额y(万元) 0.4 0.5 0.6 0.6 0.4用线性回归分析的方法预测该商品6月份的销售额.【解析】由已知数据可得==3，==0.5，所以(x i-)(y i-)=(-2)×(-0.1)+(-1)×0+0×0.1+1×0.1+2×(-0.1)=0.1，(x i -)2=(-2)2+(-1)2+02+12+22=10，于是=0.01，=-=0.47.故=0.01x+0.47.令x=6，得=0.53.即该商品6月份的销售额约为0.53万元.20.(12分)为研究大气污染与人的呼吸系统疾病是否有关，对重污染地区和轻污染地区作跟踪调查，得出如下数据：患呼吸系统疾病未患呼吸系统疾病总计重污染地区103 1 397 1 500轻污染地区13 1 487 1 500总计116 2 884 3 000能否在犯错误的概率不超过0.001的前提下认为大气污染与人的呼吸系统疾病有关？【解析】假设H0：大气污染与人的呼吸系统疾病无关.由公式得k=≈72.636.因为72.636>10.828，所以拒绝H0，即我们在犯错误的概率不超过0.001的前提下认为大气污染与人的呼吸系统疾病有关. 21.(12分)已知正数a，b，c，d满足a+b=c+d，且a<c≤d<b，求证：+<+. 【证明】要证明+<+，需证明<，需证明a+b+2<c+d+2因为a+b=c+d，所以只需证明ab<cd，需证明ab-bc<cd-bc，需证明b(a-c)<c(d-b)，因为a+b=c+d，即a-c=d-b，需证明(a-c)(b-c)<0，因为a-c<0，需证明b-c>0，而b-c>0显然成立，所以+<+成立.22.(12分)(2016·烟台高二检测)已知等比数列{a n}的前n项和为S n，a n>0，a1=，且-，，成等差数列.(1)求数列{a n}的通项公式.(2)设数列{b n}满足b n·log3(1-S n+1)=1，求适合方程b1b2+b2b3+…+b n b n+1=的正整数n的值. 【解析】(1)设数列{a n}的公比为q，由-，，成等差数列，得-3+=，解得q=或q=-1(舍)，所以a n=2×.(2)因为S n+1==1-，得log3(1-S n+1)=log3=-n-1，所以b n=-，b n b n+1==-，b1b2+b2b3+…+b n b n+1=-+-+…+-=-，由题意得-=，解得n=100.【补偿训练】先解答(1)，再通过结构类比解答(2)：(1)求证：tan=.(2)设x∈R，a为非零常数，且f(x+a)=，试问：f(x)是周期函数吗？证明你的结论. 【解析】(1)根据两角和的正切公式得tan===，即tan=，命题得证.(2)f(x)是以4a为周期的周期函数.证明如下：因为f(x+2a)=f((x+a)+a)===-，所以f(x+4a)=f((x+2a)+2a)=-=f(x).所以f(x)是以4a为周期的周期函数.关闭Word文档返回原板块。

综合检测(二)一、选择题1． 如果(x ＋y )i ＝x －1，则实数x ，y 的值为( )A ．x ＝1，y ＝－1B ．x ＝0，y ＝－1C ．x ＝1，y ＝0D ．x ＝0，y ＝02． 设集合C ＝{复数}，A ＝{实数}，B ＝{纯虚数}，若全集S ＝C ，则下列结论正确的是( )A ．A ∪B ＝CB ．A ＝BC ．A ∩∁S B ＝∅D ．∁S A ∪∁S B ＝C3． 某一个网站针对“是否同意恢复五一长假”进行了随机调查，在参加调查的2 600名男性公民中有1 600名持反对意见，在2 400名女性公民中有1 300人持反对意见，在运用这些数据分析说明“是否同意恢复五一长假”与性别有无关系时，比较适合的方法是( )A ．平均数与方差B ．回归分析C ．独立性检验D ．求概率4． 已知某车间加工零件的个数x 与所花费时间y (h)之间的回归直线方程为y ^＝0.01x ＋0.5，则加工600个零件大约需要( )A ．6.5 hB ．5.5 hC ．3.5 hD ．0.5 h 5． 已知复数z 1＝3＋4i ，z 2＝t ＋i ，且z 1·z 2是实数，则实数t 等于( )A.34B.43C ．－43D ．－346． 观察下列各式：a ＋b ＝1，a 2＋b 2＝3，a 3＋b 3＝4，a 4＋b 4＝7，a 5＋b 5＝11，…，则a 10＋b 10等于( )A ．28B ．76C ．123D ．1997． 已知两个变量x 和y 之间具有线性相关关系，5次试验的观测数据如下：那么变量y 关于x( )A ．y ＝0.575x －14.9B ．y ＝0.572x －13.9C ．y ＝0.575x －12.9D ．y ＝0.572x －14.98． “因为指数函数y ＝a x 是增函数(大前提)，而y ＝(13)x 是指数函数(小前提)，所以y ＝(13)x是增函数(结论)．”上面推理的错误是( )A ．大前提错导致结论错B ．小前提错导致结论错C ．推理形式错导致结论错D ．大前提和小前提都错导致结论错9． 四个小动物换座位，开始是鼠、猴、兔、猫分别坐在1,2,3,4号位子上(如图)，第一次前后排动物互换座位，第二次左右列动物互换座位，…，这样交替进行下去，那么第2 013次互换座位后，小兔的座位对应的是( )A ．编号1B ．编号2C ．编号3D ．编号410．下面给出了关于复数的四种类比推理：①复数的加减法运算可以类比多项式的加减法运算法则；②由向量a 的性质|a |2＝a 2类比得到复数z 的性质|z |2＝z 2；③方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ，b ，c ∈R )有两个不同实数根的条件是b 2－4ac >0可以类比得到：方程az 2＋bz ＋c ＝0(a ，b ，c ∈C )有两个不同复数根的条件是b 2－4ac >0；④由向量加法的几何意义可以类比得到复数加法的几何意义． 其中类比得到的结论错误的是( )A ．①③B ．②④C ．②③D ．①④ 11．执行如图所示的程序框图，则输出的S 值是( )A ．4B.32C.23D ．－112．设f 0(x )＝sin x ，f 1(x )＝f 0′(x )，f 2(x )＝f 1′(x )，…，f n ＋1(x )＝f n ′(x )，n ∈N ，则f 2 013(x )等于( )A ．sin xB ．－sin xC ．cos xD ．－cos x二、填空题13．如图(1)有面积关系：S△P A′B′S△P AB ＝P A′·PB′P A·PB，则图(2)有体积关系：V P－A′B′C′V P－ABC＝________.14．若复数(m2＋i)(1＋m i)是实数，则实数m＝________.15．用反证法证明命题：“一个三角形中不能有两个直角”的过程归纳为以下三个步骤：①∠A＋∠B＋∠C＝90°＋90°＋∠C>180°，这与三角形内角和为180°相矛盾，因此∠A＝∠B＝90°不成立；②所以一个三角形中不能有两个直角；③假设∠A，∠B，∠C中有两个角是直角，不妨设∠A＝∠B＝90°.正确顺序的序号排列为________．三、解答题16．为了研究教师工作积极性和对待教育改革态度的关系，随机抽取了278名教师进行问卷调查，所得数据如下表：积极支持教育改革不太赞成教育改革合计工作积极5573128工作一般9852150合计1531252780.01的前提下认为态度与工作积极性有关？17．复数z1＝3a＋5＋(10－a2)i，z2＝21－a＋(2a－5)i，若z1＋z2是实数，求实数a的值．18．已知对两个变量x，y的观测数据如下表：x 3540423945y 5.90 6.20 6.30 6.55 6.53(1)画出x ，y (2)求出回归直线方程．19．f (x )＝13x ＋3，先分别求f (0)＋f (1)，f (－1)＋f (2)，f (－2)＋f (3)，然后归纳猜想一般性结论，并给出证明．20．按有关规定在国内投寄平信，每封信的重量x (g)不超过60 g 的邮费(分)的标准为：y ＝⎩⎪⎨⎪⎧80， x ∈(0，20]，160， x ∈(20，40]，240， x ∈(40，60].设计一个计算邮费的流程图．21．观察以下各等式：tan 30°＋tan 30°＋tan 120°＝tan 30°·tan 30°·tan 120°， tan 60°＋tan 60°＋tan 60°＝tan 60°·tan 60°·tan 60°， tan 30°＋tan 45°＋tan 105°＝tan 30°·tan 45°·tan 105°.分析上述各式的共同特点，猜想出反映一般规律的等式，并加以证明．答案1．A 2．D 3．C 4．A 5．A 6．C 7．A 8．A 9．A 10．C 11．D 12．C 13.P A ′·PB ′·PC ′P A ·PB ·PC 14．－1 15．③①②16．解 利用公式得χ2＝278×(55×52－73×98)2153×125×128×150≈13.959>6.635，故在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为该单位教师对待教育改革的态度与其工作积极性是有关的．17．解 z 1＋z 2＝3a ＋5＋(a 2－10)i ＋21－a＋(2a －5)i＝⎝⎛⎭⎫3a ＋5＋21－a ＋[(a 2－10)＋(2a －5)]i ＝a －13(a ＋5)(a －1)＋(a 2＋2a －15)i.∵z 1＋z 2是实数，∴a 2＋2a －15＝0，解得a ＝－5或a ＝3. 又(a ＋5)(a －1)≠0，∴a ≠－5且a ≠1，故a ＝3. 18．解 (1)散点图如下：(2)x ＝44.5，∑i ＝110x 2i ＝20 183，y ＝7.37，∑i ＝110x i y i ＝3 346.32，则b ^＝3 346.32－10×44.5×7.3720 183－10×44.52≈0.175，a ^＝7.37－0.175×44.5＝－0.417 5. ∴回归直线方程y ^＝0.175x －0.417 5. 19．解 f (0)＋f (1)＝130＋3＋131＋3＝11＋3＋13(1＋3)＝33(1＋3)＋13(1＋3)＝33，同理可得：f(－1)＋f(2)＝33，f(－2)＋f(3)＝33.由此猜想f(x)＋f(1－x)＝3 3.证明：f(x)＋f(1－x)＝13x＋3＋131－x＋3＝13x＋3＋3x3＋3·3x＝13x＋3＋3x3(3＋3x)＝3＋3x3(3＋3x)＝33.20．解流程图如下：21．解反映一般规律的等式是：若A＋B＋C＝π，则tan A＋tan B＋tan C＝tan A·tan B·tan C.证明：由于tan(A＋B)＝tan A＋tan B1－tan A tan B，∴tan A＋tan B＝tan(A＋B)(1－tan A tan B)．而A＋B＋C＝π，∴A＋B＝π－C.于是tan A＋tan B＋tan C＝tan(π－C)(1－tan A tan B)＋tan C＝－tan C＋tan A tan B tan C＋tan C＝tan A·tan B·tan C.故等式成立．小课堂：如何培养中学生的自主学习能力？自主学习是与传统的接受学习相对应的一种现代化学习方式。

选修1—2综合测试本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，满分120分，考试时间100分钟．参考公式：线性回归方程y^＝b^x＋a^中，第Ⅰ卷(选择题，共40分)一、选择题(本大题共10个小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的．) 1．(2018年高考·课标全国卷Ⅲ)(1＋i)(2－i)＝()A．－3－i B．－3＋iC．3－i D．3＋i解析：(1＋i)(2－i)＝2－i＋2i－i2＝3＋i.答案：D2．以下哪种推理方法是类比推理()A．∵数列{a n}中，a1＝1，a2＝3，a3＝5，∴a n＝2n－1(n∈N*)B．∵x2＝3，∴x＝±3C．∵平面内平行于同一直线的两直线平行，∴空间平行于同一平面的两个平面平行D ．∵f (x )＝x ＋3，∴f (0)＝3 答案：C3．执行如图1所示的程序框图，输出的s 值为( )图1A ．2 B.32 C.53 D .85解析：运行该程序，k ＝0，s ＝1，k <3； k ＝0＋1＝1，s ＝1＋11＝2，k <3； k ＝1＋1＝2，s ＝2＋12＝32，k <3； k ＝1＋2＝3，s ＝32＋132＝53，k ＝3.输出的s 值为53.故选C.答案：C4．在复平面内，O 为原点，向量OA→对应复数为－1－2i ，若点A 关于直线y ＝－x 的对称点为B ，则向量OB→对应复数为( ) A ．－2－i B ．2＋i C ．1＋2i D ．－1＋2i 答案：B5．对命题“正三角形的内切圆切于三边的中点”，可类比猜想出：正四面体的内切球切于四面各正三角形的什么位置( )A ．各正三角形内的点B ．各正三角形内的某高线上的点C ．各正三角形的中心D ．各正三角形外的某点 答案：C6．已知f (x ＋1)＝2f (x )f (x )＋2，f (1)＝1(x ∈N *)，猜想f (x )的表达式为( )A ．f (x )＝42x ＋2B ．f (x )＝2x ＋1C ．f (x )＝1x ＋1D ．f (x )＝22x ＋1解析：由f (1)＝1, 排除C 、D ，再由f (2)＝2f (1)f (1)＋2＝23，f (3)＝2f (2)f (2)＋2＝12，排除A. 答案：B7．一同学在电脑中打出如下若干个圈：○●○○●○○○●○○○○●○○○○○●…如果将此若干个圈依此规律继续下去，得到一系列的圈，那么在前120个圈中的●的个数为()A．12 B．13C．14 D．15解析：第k个黑球之前的白球数为S k′＝1＋2＋3＋…＋k＝k(k＋1)2，故k(k＋1)2＋k≤120，且(k＋1)[(k＋1)＋1]2＋(k＋1)>120且k∈N*解得k＝14，∴前120个圈中●的个数为14，选C.答案：C8．如图2的程序框图可用来估计圆周率π的值．设CONRND(－1,1)是产生随机数的函数，它能随机产生区间(－1,1)内的任何一个数，如果输入1200，输出的结果为943，则运用此方法，计算π的近似值为(保留四位有效数字)()图2A．3.143 B．3.142C．3.141 D．3.140解析：N 表示随机数对(A ，B )落在正方形⎩⎨⎧－1<x <1－1<y <1内的点，m表示随机数对(A ，B )落在单位圆内的点．由几何概型知m N ≈S 单位圆S 正方形，即π4≈9431 200，∴π≈3.143. 答案：A9．利用独立性检验来考虑两个分类变量X 和Y 是否有关系时，通过查阅下表来确定断言“X 和Y 有关系”的可信度．如果k >5.024，那么就有把握认为“X 和Y 有关系”的百分比为( )C ．2.5%D ．97.5% 答案：D10．如图3，小圆圈表示网络的结点，结点之间的连线表示他们有网线相连，连线标注的数字表示该段网线单位时间内可以通过的最大信息量，现从结点A 向结点B 传递信息，信息可以分开沿不同的路线同时传递，则单位时间内传递的最大信息量为( )图3A ．8B ．9C ．18D ．17 答案：D第Ⅱ卷(非选择题，共80分)二、填空题(本大题共4小题，每小题4分，共16分．) 11．由数列的前四项：32，1，58，38，…，归纳出通项公式a n ＝________. 解析：该数列前四项可变为：32，44，58，616，…， 由此猜想a n ＝n ＋22n . 答案：n ＋22n12．已知等差数列{a n }中，若m ＋n ＝p ＋q (m ，n ，p ，q ∈N *)，则a m ＋a n ＝a p ＋a q ，类比上述性质，在等比数列{a n }中，则有____________答案：a m·a n＝a p·a q13．若某程序框图如图4所示，则该程序运行后输出的k的值是________．图4解析：按程序框图的运算次序一步步写出来，便知k＝5.答案：514．若不全为0的实数k1，k2，…，k n满足向量k1a1＋k2a2＋…＋k n a n＝0成立，则称向量a1，a2，…，a n为“线性相关”．依据此规定，能说明向量a1＝(1,0)，a2＝(1,1)，a3＝(2,2)线性相关的k1，k2，k3依次可以取________．(写出一组数值即可)答案：0,2，－1三、解答题(本题共6小题，共64分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．)15．(8分)求证：a2＋b2＋3≥ab＋3(a＋b)．证明：∵a2＋b2≥2ab，a2＋3≥23ab 2＋3≥23b ，∴2(a 2＋b 2＋3)≥2(ab ＋3a ＋3b ) ∴a 2＋b 2＋3≥ab ＋3(a ＋b )．16．(8分)儿童乘火车时，若身高不超过1.1米，则无需购票，若身高超过1.1米但不超过1.4米，可买半票，若超过1.4米，应买全票．设计一个算法，并画框图．解：本问题中旅客的身高影响他的票价，属于分段函数问题．设身高为h 米，票价为a 元，旅客购票款为y ，则y ＝⎩⎪⎨⎪⎧0，h ≤1.1，a2，1.1<h ≤1.4，a ，h >1.4设计算法如下： 第一步：输入身高h ，第二步：若h ≤1.1，则不必购买车票，否则进行下一步； 第三步：若h >1.4，则购买全票，否则买半票． 框图表示如图5：图517．(10分)已知复数z 1＝m ＋(4－m 2)i(m ∈R )，z 2＝2 cos θ＋(λ＋3 sin θ)i(λ，θ∈R )，并且z 1＝z 2，求λ的取值范围．解：依题意，有⎩⎨⎧m ＝2 cos θ4－m 2＝λ＋3 sin θ∴λ＝4－(2 cos θ)2－3 sin θ＝4(1－cos 2θ)－3 sin θ ＝4 sin 2θ－3 sin θ＝4(sin θ－38)2－916∵－1≤sin θ≤1∴0≤(sin θ－38)2≤12164 ∴－916≤λ≤7为所求的取值范围．18．(12分)正三角形内任意一点到三边距离之和为定值，在四面体中类比你会得到类似结论，并证明你的结论．解：结论：正四面体内任意一点到四个面的距离之和为定值． 证明如下：在正四面体ABCD 中，O 是正四面体内任一点，连结OA 、OB 、OC 、OD ，设O 到面ABC 、面ACD 、面ABD 、面BCD 的距离分别为h 1、h 2、h 3、h 4，A 到面BCD 的距离为h ，正四面体的一个面的面积为S ，则V A —BCD ＝13S △BCD ·h ＝13ShV O —ABC ＋V O —ACD ＋V O —ABD ＋V O —BCD ＝13S ·h 1＋13Sh 2＋13Sh 3＋13Sh 4 ＝13S (h 1＋h 2＋h 3＋h 4)∵V A —BCD ＝V O —ABC ＋V O —ACD ＋V O —ABD ＋V O —BCD ∴13Sh ＝13S (h 1＋h 2＋h 3＋h 4) ∴h 1＋h 2＋h 3＋h 4＝h (定值)故正四面体内任意一点到四个面的距离之和为定值．19．(12分)为考察高中生的数学成绩与语文成绩之间的关系，对高二(1)班的55名学生进行了一次摸底考试，按照考试成绩优秀和不优秀统计成绩后，得到如下2×2列联表：解：假设“数学成绩与语文成绩没有关系”．而随机变量的观测值k＝110(21×42－34×13)2(21＋34)(13＋42)(21＋13)(34＋42)＝21 296 0007 816 600≈2.724>2.706.且P(K2≥2.706)≈0.10.这就意味着“数学成绩与语文成绩没有关系”这一结论是错误的可能性约为0.10，即有90%的把握认为“数学成绩与语文成绩有关系”．20．(14分)已知函数f(x)＝2xx＋a的图象关于直线x＋y＝0对称，定义数列{a n}，使a1＝2a，a2＝f(a1)，…，a n＋1＝f(a n)．(1)求数列{a n}的通项公式；(2)求证：∑=+niiiaa11<8.解：(1)函数f(x)＝2xx＋a的图象关于直线x＋y＝0对称的解析式为－x ＝2(－y )－y ＋a即y ＝axx ＋2，∴a ＝2.∴a n ＋1＝2a n a n ＋2，∴1a n ＋1＝1a n ＋12∴{1a n}为等差数列∴1a n ＝14＋12·(n －1)，∴a n ＝42n －1. (2)由(1)可知a i a i ＋1＝8⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫12i －1－12i ＋1 ∴(2)求证：∑=+ni i i a a 11=8⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1－12n ＋1<8.。

高中同步测试卷（二）
章末检测统计案例（B）
（时间：120分钟，满分：150分）
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分,共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．下面四个散点图中点的分布状态，可以直观上判断两个变量之间具有线性相关关系的是（）
A．①②B．③C．②③D．②③④
2．下面是2×2列联表：
y1y2总计
x1a2173
x222527
总
计
b46100
则表中a，b
A．94,96 B．52，50 C．52,54 D．54，52
3．为了研究变量x和y的线性相关性，甲、乙二人分别作了研
究，利用线性回归分析的方法得到回归直线方程l1和l2，两人计算得错误!相同，错误!也相同，则l1与l2的关系为( ）
A．一定重合B．一定平行C．一定相交于（错误!,错误!）D．无法判断
4．为调查某地区老年人是否需要志愿者提供帮助，用简单随机抽样方法从该地区调查了500位老人，结果如表：
由K2＝错误!
附表：
A．在犯错误的概率不超过0。

1%的前提下，认为“需要志愿
者提供帮助与性别有关"
B．在犯错误的概率不超过0。

1％的前提下,认为“需要志愿者提供帮助与性别无关”
C．有99％以上的把握认为“需要志愿者提供帮助与性别有关”
D．有99％以上的把握认为“需要志愿者提供帮助与性别无关”
5．有人发现,多看电视容易使人变冷漠，下表是一个调查机构对此现象的调查结果：
漠有关系（）
A．0.001 B．0.025 C．0。

05 D．0。

01。

模块综合测评(二)(时间120分钟，满分150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．)1．有下列关系：①人的年龄与他(她)拥有的财富之间的关系；②曲线上的点与该点的坐标之间的关系；③苹果的产量与气候之间的关系；④森林中的同一种树木，其横断面直径与高度之间的关系．其中有相关关系的是()A．①②③B．①②C．②③D．①③④【解析】曲线上的点与该点的坐标之间是确定关系——函数关系，故②不正确．其余均为相关关系．【答案】 D2．(2015·山东高考)若复数z满足z1－i＝i，其中i为虚数单位，则z＝()A．1－i B．1＋iC．－1－i D．－1＋i【解析】由已知得z＝i(1－i)＝i＋1，则z＝1－i，故选A.【答案】 A3．有一段演绎推理：直线平行于平面，则平行于平面内所有直线；已知直线b⊄平面α，直线a⊂平面α，直线b∥平面α，则直线b∥直线a.这个结论显然是错误的，这是因为()【导学号：19220073】A．大前提错误B．小前提错误C．推理形式错误D．非以上错误【解析】大前提错误，直线平行于平面，未必有直线平行于平面内的所有直线．【答案】 A4．如图1所示的知识结构图为什么结构()图1A．树形B．环形C．对称性D．左右形【解析】由题图可知结构图为树形结构．【答案】 A5．(2015·陕西高考)根据右边框图，当输入x为2 006时，输出的y＝()图2A．2 B．4C．10 D．28【解析】x每执行一次循环减少2，当x变为－2时跳出循环，y＝3－x＋1＝32＋1＝10.【答案】 C6．(2016·吉林高二检测)已知回归直线的斜率的估计值是1.23，样本点的中心为(4,5)，则回归直线的方程是()A.y^＝1.23x＋4B.y^＝1.23x＋5C.y^＝1.23x＋0.08D.y^＝0.08x＋1.23【解析】由题意可设回归直线方程为y^＝1.23x＋a，又样本点的中心(4,5)在回归直线上，故5＝1.23×4＋a，即a＝0.08，故回归直线的方程为y^＝1.23x＋0.08.【答案】 C7．设△ABC的三边长分别为a，b，c，△ABC的面积为S，内切圆半径为r，则r＝2Sa＋b＋c，类比这个结论可知：四面体S-ABC的四个面的面积分别为S1，S2，S3，S4，内切球半径为R，四面体S-ABC的体积为V，则R＝()A.VS1＋S2＋S3＋S4B.2VS1＋S2＋S3＋S4C.3VS1＋S2＋S3＋S4D.4VS1＋S2＋S3＋S4【解析】四面体中以内切球的球心为顶点，四面体的各个面为底面，可把四面体分割成四个高均为R的三棱锥，从而有13S1R＋13S2R＋13S3R＋13S4R＝V.即(S1＋S2＋S3＋S4)R＝3V.∴R＝3VS1＋S2＋S3＋S4.【答案】 C8．(2016·南昌高二检测)已知数列{a n}的前n项和S n＝n2·a n(n≥2)，而a1＝1，通过计算a2，a3，a4猜想a n等于()A.2(n＋1)2B.2n(n＋1)C.22n－1D.22n－1【解析】∵a1＝1，S n＝n2·a n(n≥2)，∴a1＋a2＝22·a2，得a2＝1 3；由a 1＋a 2＋a 3＝32· a 3，得a 3＝16； 由a 1＋a 2＋a 3＋a 4＝42·a 4，得a 4＝110；…. 猜想a n ＝2n (n ＋1).【答案】 B9．(2016·临沂高二检测)若关于x 的一元二次实系数方程x 2＋px ＋q ＝0有一个根为1＋i(i 为虚数单位)，则p ＋q 的值是( )A ．－1B ．0C ．2D ．－2【解析】 把1＋i 代入方程得(1＋i)2＋p (1＋i)＋q ＝0， 即2i ＋p ＋p i ＋q ＝0，即p ＋q ＋(p ＋2)i ＝0， ∵p ，q 为实数，∴p ＋q ＝0. 【答案】 B10．(2016·西安高二检测)满足条件|z －i|＝|3－4i|的复数z 在复平面上对应点的轨迹是( ) A ．一条直线 B ．两条直线 C ．圆D ．椭圆【解析】 |z －i|＝|3－4i|＝5，∴复数z 对应点到定点(0,1)的距离等于5，故轨迹是个圆． 【答案】 C11．(2016·大同高二检测)设a ，b ，c 均为正实数，P ＝a ＋b －c ，Q ＝b ＋c －a ，R ＝c ＋a －b ，则“PQR >0”是“P ，Q ，R 同时大于0”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【解析】 必要性显然成立；PQR >0，包括P ，Q ，R 同时大于0，或其中两个为负两种情况．假设P <0，Q <0，则P ＋Q ＝2b <0，这与b 为正实数矛盾．同理当P ，R 同时小于0或Q ，R 同时小于0的情况亦得出矛盾，故P ，Q ，R 同时大于0，所以选C.【答案】 C12．在正整数数列中，由1开始依次按如下规则将某些数染成红色．先染1，再染2个偶数2,4；再染4后面最邻近的3个连续奇数5,7,9；再染9后面最邻近的4个连续偶数10,12,14,16；再染16后面最邻近的5个连续奇数17,19,21,23,25.按此规律一直染下去，得到一红色子数列1,2,4,5,7,9,10,12,14,16,17，….则在这个红色子数列中，由1开始的第60个数是() A．103 B．105C．107 D．109【解析】由题可知染色规律是：每次染完色后得到的最后一个数恰好是染色个数的平方．故第10次染完后的最后一个数为偶数100，接下来应该染101,103,105,107,109，此时共60个数．【答案】 D二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．将答案填在题中的横线上．)13．(2015·上海高考)若复数z满足3z＋z＝1＋i，其中i为虚数单位，则z＝________.【解析】设复数z＝a＋b i，a，b∈R，则z＝a－b i，a，b∈R,3z＋z＝4a＋2b i＝1＋i，a，b∈R，则a＝14，b＝12，故z＝14＋12i.【答案】14＋12i14．(2016·郑州高二检测)某工程的工序流程图如图3所示，现已知工程总工时数为10天，则工序c所需工时为________天.【导学号：19220074】图3【解析】设工序c所需工时为x天．由题意知：按①→③→④→⑥→⑦→⑧所需工时为0＋2＋3＋3＋1＝9(天)，按①→②→④→⑥→⑦→⑧所需工时为1＋0＋3＋3＋1＝8(天)，故按①→②→⑤→⑦→⑧所需工时应为10天．∴1＋x＋4＋1＝10，∴x＝4.【答案】 415．在Rt△ABC中，若∠C＝90°，AC＝b，BC＝a，则△ABC外接圆半径r＝a2＋b2 2.运用类比方法，若三棱锥的三条侧棱两两互相垂直且长度分别为a，b，c，则其外接球的半径R＝________.【解析】通过类比可得R＝a2＋b2＋c22.证明：作一个在同一个顶点处棱长分别为a，b，c的长方体，则这个长方体的体对角线的长度是a2＋b2＋c2，故这个长方体的外接球的半径是a2＋b2＋c22，这也是所求的三棱锥的外接球的半径．【答案】a2＋b2＋c2216．(2016·三明高二检测)某考察团对中国10个城市进行职工人均工资水平x(千元)与居民人均消费水平y(千元)调查，y与x具有相关关系，回归方程为y^＝0.66x＋1.562，若A城市居民人均消费水平为7.765(千元)，估计该城市人均消费额占人均工资收入的百分比约为________.【导学号：19220075】【解析】因为y与x具有线性相关关系，满足回归方程y^＝0.66x＋1.562，A城市居民人均消费水平为y＝7.765，所以可以估计该城市的职工人均工资水平x满足7.765＝0.66x＋1.562，所以x≈9.4，所以该城市人均消费额占人均工资收入的百分比约为7.7659.4×100%≈83%.【答案】83%三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答时应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤．)17．(本小题满分10分)复数z＝1＋i，求实数a，b，使az＋2b z＝(a＋2z)2.【解】∵z＝1＋i，∴az＋2b z＝(a＋2b)＋(a－2b)i，又∵(a＋2z)2＝(a＋2)2－4＋4(a＋2)i＝(a2＋4a)＋4(a＋2)i，∵a，b都是整数，∴{a＋2b＝a2＋4a，a－2b＝4(a＋2)，解得{a1＝－2，b1＝－1或{a2＝－4，b2＝2.∴所求实数为a＝－2，b＝－1或a＝－4，b＝2.18．(本小题满分12分)在调查男女乘客是否晕机的情况中，已知男乘客晕机为28人，不会晕机的也是28人，而女乘客晕机为28人，不会晕机的为56人．(1)根据以上数据建立一个2×2列联表；(2)试判断晕机是否与性别有关？(参考数据：K 2>2.706时，有90%的把握判定变量A ，B 有关联；K 2>3.841时，有95%的把握判定变量A ，B 有关联；K 2>6.635时，有99%的把握判定变量A ，B 有关联．参考公式：K 2＝n (ad －bc )2(a ＋b )(c ＋d )(a ＋c )(b ＋d ))【解】 (1)2×2列联表如下：(2)得K 2的观测值k ＝140×(28×56－28×28)256×84×56×84＝359≈3.889>3.841，所以有95%的把握认为晕机与性别有关．19．(本小题满分12分)某省公安消防局对消防产品的监督程序步骤为：首先受理产品请求，如果是由公安部发证的产品，则审核考察，领导复核，不同意，则由窗口将信息反馈出去，同意，则报公安部审批，再经本省公安消防局把反馈信息由窗口反馈出去．如果不是由公安部发证的产品，则由窗口将信息反馈出去．试画出此监督程序的流程图．【解】 某省公安消防局消防产品监督程序的流程图如下：20．(本小题满分12分)(2016·中山高二检测)已知a ，b ，c 是全不相等的正实数，求证：b ＋c －aa＋a＋c－bb＋a＋b－cc>3.【证明】法一(分析法)：要证b＋c－aa＋a＋c－bb＋a＋b－cc>3，只需证明ba＋ca－1＋ab＋cb－1＋ac＋bc－1>3，即证ba＋ca＋ab＋cb＋ac＋bc>6，而事实上，由a，b，c是全不相等的正实数，∴ba＋ab>2，ca＋ac>2，cb＋bc>2.∴ba＋ca＋ab＋cb＋ac＋bc>6，∴b＋c－aa＋a＋c－bb＋a＋b－cc>3得证．法二(综合法)：∵a，b，c全不相等，∴ba与ab，ca与ac，cb与bc全不相等，∴ba＋ab>2，ca＋ac>2，cb＋bc>2，三式相加得ba＋ca＋ab＋cb＋ac＋bc>6，∴⎝⎛⎭⎪⎫ba＋ca－1＋⎝⎛⎭⎪⎫ab＋cb－1＋⎝⎛⎭⎪⎫ac＋bc－1>3，即b＋c－aa＋a＋c－bb＋a＋b－cc>3.21．(本小题满分12分)某产品的广告支出x(单位：万元)与销售收入y(单位：万元)之间有下表所对应的数据：(1)(2)求出y对x的线性回归方程；(3)若广告费为9万元，则销售收入约为多少万元？【导学号：19220076】【解】(1)散点图如图：(2)观察散点图可知各点大致分布在一条直线附近，列出下列表格，以备计算a ^，b ^.于是x ＝52，y ＝692， 代入公式得： b ^＝∑i ＝14x i y i －4x －y －∑i ＝14x 2i －4x－2＝418－4×52×69230－4×⎝ ⎛⎭⎪⎫522＝735，a^＝y －b ^x ＝692－735×52＝－2. 故y 与x 的线性回归方程为y ^＝735x －2，其中回归系数为735，它的意义是：广告支出每增加1万元，销售收入y 平均增加735万元．(3)当x ＝9万元时，y ＝735×9－2＝129.4(万元)．所以当广告费为9万元时，可预测销售收入约为129.4万元．22．(本小题满分12分)(2016·吉林临江高二检测)某少数民族的刺绣有着悠久的历史，如图4(1)、(2)、(3)、(4)为她们刺绣最简单的四个图案，这些图案都由小正方形构成，小正方形数越多刺绣越漂亮，现按同样的规律刺绣(小正方形的摆放规律相同)，设第n个图形包含f(n)个小正方形．图4(1)求出f(5)；(2)利用合情推理的“归纳推理思想”归纳出f(n＋1)与f(n)的关系式；(3)根据你得到的关系式求f(n)的表达式．【解】(1)∵f(1)＝1，f(2)＝5，f(3)＝13，f(4)＝25，∴f(5)＝25＋4×4＝41.(2)∵f(2)－f(1)＝4＝4×1.f(3)－f(2)＝8＝4×2，f(4)－f(3)＝12＝4×3，f(5)－f(4)＝16＝4×4，由上式规律得出f(n＋1)－f(n)＝4n.(3)∵f(2)－f(1)＝4×1，f(3)－f(2)＝4×2，f(4)－f(3)＝4×3，f(n－1)－f(n－2)＝4·(n－2)，f(n)－f(n－1)＝4·(n－1)，∴以上各式相加得f(n)－f(1)＝4[1＋2＋…＋(n－2)＋(n－1)]＝2(n－1)·n，∴f(n)＝2n2－2n＋1.。