2020高考之解答题通关练满分练(14)

满分练(9)一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分)1．已知i 为虚数单位，(1＋i)x ＝2＋y i ，其中x ，y ∈R ，则|x ＋y i|等于( )A ．2 2 B. 2 C ．2 D ．4答案 A解析 ∵(1＋i)x ＝2＋y i ，其中x ，y ∈R ，∴x ＋x i ＝2＋y i ，∴x ＝2，y ＝2，∴|x ＋y i|＝2 2.2．已知集合A ＝{1,2,3}，B ＝{x |(x ＋1)(x －2)<0，x ∈Z }，则A ∩B 等于( )A ．{1}B ．{1,2}C ．{0,1,2,3}D ．{－1,0,1,2,3}答案 A解析 因为A ＝{1,2,3}，B ＝{x |(x ＋1)(x －2)<0，x ∈Z }＝{x |－1<x <2，x ∈Z }＝{0,1}，所以集合A ∩B ＝{1}．3．已知椭圆mx 2＋4y 2＝1的离心率为22，则实数m 等于( ) A ．2 B ．2或83C ．2或6D ．2或8 答案 D解析 因为e ＝c a ＝22，所以b 2a 2＝a 2－c 2a 2＝12， 若焦点在x 轴，则a 2＝1m ，b 2＝14，且1m >14， 所以m 4＝12，解得m ＝2； 若焦点在y 轴，a 2＝14，b 2＝1m ，且14>1m， 所以4m ＝12，解得m ＝8，所以m 等于2或8. 4．(2019·咸阳三模)已知平面向量a ＝(1，x )，b ＝(4,2)，若向量2a ＋b 与向量b 共线，则x 等于( ) A.13 B.12 C.25 D.27解析 由a ＝(1，x )，b ＝(4,2)，得2a ＋b ＝(6,2x ＋2)，因为(2a ＋b )∥b ，所以6×2－(2x ＋2)×4＝0，解得x ＝12，故选B. 5．已知(2x －1)4＝a 0＋a 1(x －1)＋a 2(x －1)2＋a 3(x －1)3＋a 4(x －1)4，则a 2等于( )A ．18B ．24C ．36D ．56答案 B解析 (2x －1)4＝[1＋2(x －1)]4，故a 2(x －1)2＝C 24[2(x －1)]2＝4C 24(x －1)2，a 2＝4C 24＝24.6．(2019·株洲模拟)已知等差数列{a n }单调递增且满足a 1＋a 10＝4，则a 8的取值范围是( )A ．(2,4)B ．(2，＋∞)C ．(－∞，2)D ．(4，＋∞)答案 B解析 ∵等差数列{a n }单调递增，∴d >0，∵a 1＋a 10＝4，即a 1＋a 1＋9d ＝4，即a 1＝2－92d ，∴a 8＝a 1＋7d ＝2－92d ＋7d ＝2＋52d >2.故选B. 7．(2019·临川联考)已知扇形AOB ，∠AOB ＝θ，扇形半径为3，C 是弧AB 上一点，若OC →＝233OA →＋33OB →，则θ等于( ) A.π6 B.π3 C.π2 D.2π3答案 D解析 由OC →＝233OA →＋33OB →， 两边同时平方得OC →2＝⎝⎛⎭⎫233OA →＋33OB →2， 则有3＝4＋1＋2×233OA →·33OB →＝5＋2×2cos θ， ∴cos θ＝－12，θ＝2π3. 8．已知正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的体积为1，点M 在线段BC 上(点M 异于B ，C 两点)，点N 为线段CC 1的中点，若平面AMN 截正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1所得的截面为五边形，则线段BM 的取值范围是( ) A.⎝⎛⎦⎤0，12 B.⎝⎛⎭⎫12，1 C.⎣⎡⎦⎤13，1 D.⎣⎡⎦⎤12，13解析 ∵正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的体积为1，∴正方体的棱长为1，点M 在线段BC 上(点M 异于B ，C 两点)，当点M 为线段BC 的中点时，MN ∥AD 1，A ，M ，N ，D 1共面，截面为四边形AMND 1，如图，即BM ＝12，不合题意，排除选项A ，C ，D ； 当BM >12时，截面为五边形，如图，符合题意，即平面AMN 截正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1所得的截面为五边形，线段BM 的取值范围为⎝⎛⎭⎫12，1.故选B.二、多项选择题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分)9．设O 是平行四边形ABCD 的两条对角线AC ，BD 的交点，则可作为这个平行四边形所在平面的一组基底的向量组是( )A.AD →与AB →B.DA →与BC →C.CA →与DC →D.OD →与OB →答案 AC解析 平面内任意两个不共线的向量都可以作为基底，如图：对于A ，AD →与AB →不共线，可作为基底；对于B ，DA →与BC →为共线向量，不可作为基底；对于C ，CA →与DC →是两个不共线的向量，可作为基底；对于D ，OD →与OB →在同一条直线上，是共线向量，不可作为基底．10．已知正态分布密度函数φμ，σ(x )＝12πσ222e x μσ(-)-，x ∈(－∞，＋∞)，以下关于正态曲线的说法正确的是( )A ．曲线与x 轴之间的面积为1B ．曲线在x ＝μ处达到峰值12πσC ．当σ一定时，曲线的位置由μ确定，曲线随着μ的变化而沿x 轴平移D ．当μ一定时，曲线的形状由σ确定，σ越小，曲线越“矮胖”答案 ABC解析 由概率之和为1可知A 正确；因为－(x －μ)22σ2≤0，所以φ(x )≤12πσ，当且仅当x ＝μ时取等号，故B 正确； 当σ一定时，曲线的形状是固定的，曲线关于直线x ＝μ对称，随着μ的变化沿x 轴平移，故C 正确；当μ一定时，曲线的对称轴固定，所以σ越小时，曲线的最大值12πσ越大，故曲线越高瘦，故D 错误．11．函数f (x )＝23sin x ·cos x －2cos 2x ＋1图象向左平移a (a >0)个单位长度后图象关于y 轴对称，则a 的值可能为( )A.π6B.π3C.π2D.5π6答案 BD解析 函数f (x )＝23sin x ·cos x －2cos 2x ＋1＝3sin 2x －cos 2x ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6， 将其图象向左平移a 个单位长度(a >0)，所得图象的解析式为y ＝2sin ⎣⎡⎦⎤2(x ＋a )－π6， 由平移后所得图象关于y 轴对称， 则2a －π6＝k π＋π2，k ∈Z ，即a ＝k π2＋π3，k ∈Z ， 又a >0，当k ＝0时，a ＝π3.当k ＝1时，a ＝5π6. 12．(2019·青岛模拟)已知圆C ：(x －3)2＋(y －3)2＝72，若直线l ：x ＋y －m ＝0垂直于圆C 的一条直径，且经过这条直径的一个三等分点，则直线l 的方程是( )A ．x ＋y －2＝0B ．x ＋y －4＝0C ．x ＋y －8＝0D ．x ＋y －10＝0答案 AD解析 根据题意，圆C ：(x －3)2＋(y －3)2＝72，其圆心C (3,3)，半径r ＝62，若直线l ：x ＋y －m ＝0垂直于圆C 的一条直径，且经过这条直径的一个三等分点，则圆心到直线的距离为22，则有d ＝|6－m |1＋1＝22，变形可得|6－m |＝4， 解得m ＝2或10，即l 的方程为x ＋y －2＝0或x ＋y －10＝0.三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)13．已知数列{a n }满足a n ＋3a n －1＝0(n ≥2，n ∈N *)，a 5＝81，前n 项和为S n ，则S 5的值是________．答案 61解析 因为a n ＝－3a n －1(n ≥2，n ∈N *)，即a n a n －1＝－3(n ≥2，n ∈N *)， 所以数列{a n }是公比为－3的等比数列，由a 5＝81，可得a 1＝1，故S 5＝1－3＋9－27＋81＝61.14．(2019·临川模拟)已知平面四边形ABCD 中，∠ABC ＝2π3，AC ＝219，2AB ＝3BC ，AD ＝2BD ，△BCD 的面积为23，则BD ＝________.答案 2 3解析 如图，在△ABC 中，由余弦定理，可得AC 2＝BC 2＋AB 2－2BC ·AB ·cos ∠ABC ＝4×19，又2AB ＝3BC ，∠ABC ＝2π3， ∴AB ＝6，BC ＝4，设∠DBC ＝θ，0<θ<2π3，BD ＝x ，则AD ＝2x ，又S △BCD ＝12BD ·BC sin θ＝23， ∴sin θ＝3x；在△ABD 中，由余弦定理，可得AD 2＝BD 2＋AB 2－2BD ·AB ·cos ⎝⎛⎭⎫2π3－θ，整理得x 2－6－2x cos θ＝0，即cos θ＝x 2－62x， 由sin 2θ＋cos 2θ＝1，即⎝⎛⎭⎫x 2－62x 2＋⎝⎛⎭⎫3x 2＝1， 解得x 4－16x 2＋48＝0，解得x 2＝12或4，又0<θ<2π3，cos θ>－12，所以x 2＝12，x ＝2 3. 15．已知抛物线C ：y 2＝2px (p >0)的焦点为F (2,0)，则抛物线C 的方程是________；若M 是C 上一点，FM 的延长线交y 轴于点N ，且M 为FN 的中点，则|FN |＝________.(本题第一空2分，第二空3分)答案 y 2＝8x 6解析 抛物线C ：y 2＝2px (p >0)的焦点为F (2,0)，可得p ＝4，则抛物线C 的方程是y 2＝8x .由M 为FN 的中点，得M 的横坐标为1，代入抛物线方程得y ＝±22，则M (1，±22)，则|FN |＝2(1＋2)＝6.16.已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧|lg x |，x >0，2|x |，x ≤0.若函数y ＝|2f (x )－a |－1存在5个零点，则实数a 的取值范围为________．答案 (1,3)解析 作出函数y ＝f (x )的图象，如图，由|2f (x )－a |－1＝0，得f (x )＝a ＋12或f (x )＝a －12，∵a ＋12－a －12＝1， ∴要使函数y ＝|2f (x )－a |－1存在5个零点，则0<a －12<1，∴1<a <3.。

最新2020年高考理综选择题专项训练（14）可能用到的相对原子质量：H 1 C 12 N 14 O 16 S 32 Fe 56 Zn 65一、选择题：本大题共13小题，每小题6分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.有关核膜的叙述不正确的是（）A. 核膜以磷脂双分子层为基本支架B. 核膜属于细胞的生物膜系统，其外膜可与内质网膜直接相连C. 核膜上核孔是ATP、tRNA等大分子物质进出细胞核的通道D. 核膜使DNA的合成及发挥作用隔在一定区域内进行，与其他化学反应互不干扰2.如图为某细胞物质跨膜运输的示意图，下列有关叙述正确的是（）A. 物质甲进出该细胞均不需要消耗能量B. 载体①与载体②都运载物质甲，因此没有特异性C. 若温度升高，物质甲进出该细胞的速率可能会加快D. 若③在神经细胞中起作用，则该神经细胞正在产生动作电位3.下列有关实验的说法正确的是（）A. 黑藻是观察真核细胞叶绿体和线粒体的好材料B. 用醋酸洋红液对紫色洋葱鳞片叶的内表皮细胞进行染色，可观察到细胞核被染成红色C. 用健那绿染色后在光学显微镜下可看到线粒体内膜某些部位向内腔折叠形成的嵴D. 测定酵母菌的呼吸作用时，溴麝香草酚蓝水溶液由蓝变绿再变黄，说明酵母菌的呼吸作用速率不断增强4.科研人员将感染了烟草花叶病毒的烟草叶片的提取液分成甲、乙、丙、丁四组，甲组不做处理，乙组加入蛋白酶，丙组加入RNA酶，丁组加入DNA酶。

然后分别接种到正常烟草叶片上一段时间，观察并记录烟叶上病斑的数量。

下列结果正确的是（）A. B. C. D.5.人体感染乳头瘤病毒（HPV）后容易诱发宫颈癌等恶性肿瘤。

目前，HPV疫苗有预防性和治疗性两大类：预防性疫苗主要通过诱导有效的体液免疫抵抗HPV感染，而治疗性疫苗主要通过刺激细胞免疫应答以清除病毒感染或已变异的细胞。

下列相关叙述正确的是（）A. 体液免疫和细胞免疫都属于非特异性免疫B. 疫苗会刺激B细胞产生淋巴因子，促进免疫细胞的增殖、分化C. 细胞免疫应答是通过产生记忆细胞来清除靶细胞D. 有效的体液免疫是通过浆细胞产生对应抗体抵抗HPV感染6.基因型为AaBbDd的精原细胞（2n=4），经过减数分裂，产生4种不同的精细胞，如图所示。

满分练(5)一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分)1．已知集合A ＝{x |x 2－x －2<0}，B ＝{x |1<2x <8}，则( )A ．A ∩B ＝(2,3)B ．A ∩B ＝(0,3)C ．A ∪B ＝(－∞，3)D ．A ∪B ＝(－1,3) 答案 D解析 A ＝{x |x 2－x －2<0}＝(－1,2)，B ＝{x |1<2x <8}＝(0,3)，所以A ∩B ＝(0,2)，A ∪B ＝(－1,3)．2．若复数z 满足(1＋i)z ＝|3＋4i|，则z 的虚部为( )A ．5 B.52 C ．－52 D ．－5 答案 C解析 ∵z ＝|3＋4i|1＋i＝5(1－i )2＝52－52i ， ∴z 的虚部为－52. 3．已知抛物线y 2＝4x 的准线过双曲线x 2m －y 22m 2＝1(m ≠0)的焦点，则双曲线的渐近线方程是( )A ．y ＝±2xB ．y ＝±xC ．y ＝±22x D ．y ＝±12x 答案 B解析 抛物线y 2＝4x 的准线方程为x ＝－1，由题意得1＝m ＋2m 2，且m >0，解得m ＝12， 于是可得双曲线的渐近线方程为y ＝±x .4.(2019·吉林期末)八卦是中国道家文化的深奥概念，是一套用三组阴阳组成的哲学符号．八卦表示事物自身变化的阴阳系统，用“”代表阳，用“”代表阴，用这两种符号，按照大自然的阴阳变化平行组合，组成八种不同的形式(如图所示)．从图中的八卦中随机选取一卦，则此卦中恰有两个“”的概率为( )A.12B.14C.38D.18答案 C解析 由图可知，恰有两个“”的是坎、艮、震，根据古典概型及其概率的计算公式，可得所求概率为38，故选C. 5．(2019·甘肃诊断)(1－2x )3(2＋x )4展开式中x 2的系数为( )A ．0B ．24C ．192D ．408答案 B解析 由题意知(1－2x )3的通项公式为T r ＋1＝C r 3(－2x )r ，(2＋x )4的通项公式为T k ＋1＝C k 424－k x k ，若(1－2x )3中提供常数项，(2＋x )4的展开式中提供二次项，此时r ＝0，k ＝2，则系数为C 03C 2422＝24；若(1－2x )3中提供一次项，(2＋x )4中提供一次项， 此时r ＝1，k ＝1，则系数为－2C 13C 1423＝－192；若(1－2x )3中提供二次项，(2＋x )4中提供常数项，此时r ＝2，k ＝0，则系数为4C 23C 0424＝192，故展开式中x 2的系数为24－192＋192＝24，故选B.6．已知f (x )是定义域为R 的函数，满足f (x ＋1)＝f (x －3)，f (1＋x )＝f (3－x )，当0≤x ≤2时，f (x )＝x 2－x ，则当6≤x ≤8时，函数f (x )的最小值为( )A ．1B ．－12C ．－14D ．0 答案 C解析 方法一 由f (x ＋1)＝f (x －3)得，f (x )＝f [(x －1)＋1]＝f [(x －1)－3]＝f (x －4)，故函数f (x )的周期为4，由f (1＋x )＝f (3－x )可得f (2＋x )＝f (2－x )，所以函数f (x )的图象关于直线x ＝2对称，作出函数f (x )在[0,8]上的大致图象如图所示，由图可知，当6≤x ≤8时，函数f (x )的最小值为f ⎝⎛⎭⎫152＝f ⎝⎛⎭⎫12＝－14. 方法二 由f (x ＋1)＝f (x －3)，得f (x )＝f [(x －1)＋1]＝f [(x －1)－3]＝f (x －4)，由f (1＋x )＝f (3－x )，得f (x －4)＝f [1＋(x －5)]＝f [3－(x －5)]＝f (8－x )，故f (x )＝f (8－x )，因为0≤x ≤2时，f (x )＝x 2－x ，所以当6≤x ≤8时，0≤8－x ≤2，f (x )＝f (8－x )＝(8－x )2－(8－x )＝x 2－15x ＋56，所以当x ＝152时，函数f (x )取得最小值， 为f ⎝⎛⎭⎫152＝－14. 7．已知F 1，F 2分别是双曲线x 2－y 2b 2＝1(b >0)的左、右焦点，点P 为双曲线右支上的一点，满足(OP →＋OF 2→)·F 2P →＝0(O 为坐标原点)，且cos ∠PF 1F 2＝255，则该双曲线的离心率为( ) A. 3 B ．2 C ．3 D. 5答案 D解析 由(OP →＋OF 2→)·F 2P →＝0，得|OP |＝|OF 2|，∴在△PF 1F 2中，OP 是边F 1F 2上的中线，且|OP |＝12|F 1F 2|， ∴∠F 1PF 2＝90°.在Rt △PF 1F 2中，由cos ∠PF 1F 2＝255， 得|PF 1||F 1F 2|＝|PF 1|2c ＝255， ∴|PF 1|＝455c ，|PF 2|＝|F 1F 2|2－|PF 1|2＝255c . 由双曲线的定义可知|PF 1|－|PF 2|＝455c －255c ＝255c ＝2a ， ∴离心率e ＝c a＝ 5. 8．已知不共线向量OA →，OB →的夹角为α，|OA →|＝1，|OB →|＝2，OP →＝(1－t )OA →，OQ →＝tOB →(0≤t ≤1)，|PQ →|在t ＝t 0处取最小值，当0<t 0<15时，α的取值范围为( ) A.⎝⎛⎭⎫0，π3 B.⎝⎛⎭⎫π3，π2 C.⎝⎛⎭⎫π2，2π3 D.⎝⎛⎭⎫2π3，π答案 C解析 |PQ →|2＝|OQ →－OP →|2＝|tOB →－(1－t )OA →|2＝(5＋4cos α)·t 2－(4cos α＋2)t ＋1，∴当t ＝2cos α＋15＋4cos α时，|PQ →|取最小值， 令0<t 0＝2cos α＋15＋4cos α<15，得－12<cos α<0， 又α∈[0，π]，∴α的取值范围为⎝⎛⎭⎫π2，2π3.二、多项选择题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分)9．如图所示的折线图表示某商场一年中各月的收入、支出情况，则下列说法中正确的有( )A ．全年收入1至2月份增速最快B ．全年中2月份支出最高C ．四个季度中第二季度的月平均支出最低D ．利润最低的月份是5月份(利润＝收入－支出)答案 ABC解析 从折线图看出1至2月份收入数据的连线斜向上，且最陡，故A 正确；由折线图可以看出支出的最高点在2月份，故B 正确；由折线图可看出第二季度的总支出最低，故第二季度的月平均支出最低，故C 正确；5月份的利润为30－10＝20(万元)，8月份的利润为50－40＝10(万元)，20>10，故D 错误．10．对于实数a ，b ，c ，下列命题是真命题的为( )A ．若a >b ，则ac <bcB ．若ac 2>bc 2，则a >bC ．若a <b <0，则a 2>ab >b 2D ．若c >a >b >0，则a c －a >b c －b答案 BCD解析 当c ＝0时，ac ＝bc ，故A 为假命题；若ac 2>bc 2，则c ≠0，c 2>0，故a >b ，故B 为真命题；若a <b <0，则a 2>ab 且ab >b 2，即a 2>ab >b 2，故C 为真命题；若c >a >b >0，则c a <c b ，则0<c －a a <c －b b， 则a c －a >b c －b，故D 为真命题． 11．对于函数y ＝f (x )，若存在区间[a ，b ]，当x ∈[a ，b ]时，f (x )的值域为[ka ，kb ](k >0)，则称y ＝f (x )为k 倍值函数．下列函数为2倍值函数的是( )A ．f (x )＝x 2B ．f (x )＝x 3＋2x 2＋2xC ．f (x )＝x ＋ln xD ．f (x )＝x e x 答案 ABD解析 若函数f (x )存在“2倍值区间”，则函数f (x )＝2x 在定义域内至少存在两个不相等的实根， 对于选项A ，令f (x )＝x 2＝2x (x ∈R )，解得x ＝0或x ＝2，函数存在“2倍值区间”；对于选项B ，令f (x )＝x 3＋2x 2＋2x ＝2x ，解得x ＝0或x ＝－2，函数存在“2倍值区间”； 对于选项C ，令f (x )＝x ＋ln x ＝2x ，无解．故函数不存在“2倍值区间”；对于选项D ，令f (x )＝x e x ＝2x ，即x ＝0或x ＝－ln 2，故函数存在“2倍值区间”． 12．已知向量m ＝(2cos 2x ，3)，n ＝(1，sin 2x )，设函数f (x )＝m ·n ，则下列关于函数y ＝f (x )的性质的描述正确的是( )A ．关于直线x ＝π6对称 B ．关于点⎝⎛⎭⎫5π12，0对称C ．周期为π2D ．y ＝f (x )在⎝⎛⎭⎫－π3，0上是增函数 答案 AD解析 f (x )＝2cos 2x ＋3sin 2x ＝cos 2x ＋3sin 2x ＋1＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6＋1. 当x ＝π6时，sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6＝sin π2＝1，所以f (x )关于直线x ＝π6对称，选项A 正确； 当x ＝5π12时，sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6＝0，所以f (x )关于点⎝⎛⎭⎫5π12，1对称，不关于点⎝⎛⎭⎫5π12，0对称，选项B 错误； f (x )的周期T ＝2π2＝π≠π2，选项C 错误； 当x ∈⎝⎛⎭⎫－π3，0时，2x ＋π6∈⎝⎛⎭⎫－π2，π6，所以f (x )在⎝⎛⎭⎫－π3，0上是增函数，选项D 正确．三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)13．已知数列{a n }前n 项和是S n ，满足3S n ＝a n ＋1，则a n ＝________.答案 (－1)n －1·⎝⎛⎭⎫12n解析 n ＝1时，3S 1＝a 1＋1，解得a 1＝12； n ≥2时，3S n －1＝a n －1＋1，两式作差，得3a n ＝a n －a n －1，即a n a n －1＝－12， 所以数列{a n }是等比数列，首项为a 1＝12，公比为－12， 所以a n ＝12·⎝⎛⎭⎫－12n －1＝(－1)n －1·⎝⎛⎭⎫12n . 14．过点P ⎝⎛⎭⎫32，32的直线l 与圆C ：(x －1)2＋y 2＝4交于A ，B 两点，当∠ACB 最小时，此时直线l 的方程为____________________________________________________，∠ACB ＝________.(本题第一空2分，第二空3分)答案 x ＋3y －3＝0 2π3解析 圆C ：(x －1)2＋y 2＝4的圆心为C (1,0)，验证知点P 在圆内，当∠ACB 最小时，|AB |最短，即CP 和AB 垂直，因为CP 的斜率k CP ＝32－032－1＝3， 所以直线AB 的斜率为－33， 所以直线l 的方程为y －32＝－33⎝⎛⎭⎫x －32， 即x ＋3y －3＝0.此时|CP |＝|2|1＋3＝1， 所以∠ACP ＝π3，∠ACB ＝2π3. 15．点A ，B ，C ，D 在同一个球面上，AB ＝BC ＝2，AC ＝2，若球的表面积为25π4，则四面体ABCD 体积的最大值为________．答案 23解析 设球的半径为R ，S 球＝4πR 2＝25π4，R ＝54. △ABC 所在小圆的半径为1，h max ＝54＋2516－1＝2， V max ＝13×12×2×2×2＝23. 16．已知抛物线C ：y 2＝4x 的焦点是F ，直线l 1：y ＝x －1交抛物线于A ，B 两点，分别从A ，B 两点向直线l 2：x ＝－2作垂线，垂足是D ，C ，则四边形ABCD 的周长为________． 答案 18＋4 2解析 由题意知，p ＝2，F (1,0)，准线l 的方程是x ＝－1. 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x －1，y 2＝4x ，消去y ， 得x 2－6x ＋1＝0.因为直线l 1经过焦点F (1,0)，所以|AB |＝x 1＋x 2＋p ＝8.由抛物线上的点的几何特征知|AD |＋|BC |＝|AB |＋2＝10，因为直线l 1的倾斜角是π4， 所以|CD |＝|AB |sin π4＝8×22＝42， 所以四边形ABCD 的周长是|AD |＋|BC |＋|AB |＋|CD |＝10＋8＋4 2＝18＋4 2.。

全章闯关检测一、选择题1.在一杯清水中滴一滴墨汁,制成悬浊液在显微镜下进行观察。

若追踪一个小炭粒的运动,每隔30 s把观察到的炭粒的位置记录下来,然后用直线把这些位置依次连接起来,就得到如图所示的折线。

则以下判断正确的是( )A.图中折线为小炭粒运动的轨迹B.可以看出小炭粒的运动是无规则的C.记录的是炭分子无规则运动的状况D.可以看出炭粒越大布朗运动越明显答案　B　图中的折线由炭粒在不同时刻的位置连接而成,无法反映炭粒在任意时刻的位置,即该折线不是炭粒的运动轨迹,但能反映出炭粒的运动的无规则性,所以选项A和C错误而选项B正确。

炭粒越小布朗运动越明显,故选项D错误。

2.下列说法正确的是( )A.外界对气体做功,气体的内能一定增大B.气体从外界吸收热量,气体的内能一定增大C.气体的温度越低,气体分子无规则运动的平均动能越大D.气体的温度越高,气体分子无规则运动的平均动能越大答案　D　做功和热传递是改变物体内能的两种方式,A项未知热传递情况而B项未知做功情况,故无法判断气体内能的变化情况,A和B选项均错误;温度是分子热运动平均动能的标志,温度高的物体分子做无规则运动的平均动能也越大,故C项错误而D选项正确。

3.一定质量的气体,在体积膨胀的过程中,气体对外界做了60 J 的功,同时从外界吸收了40 J 的热量,在这一过程中,该气体的内能的变化量是( )A.增加了60 JB.增加了20 JC.减少了20 JD.减少了100 J答案　C 由热力学第一定律ΔU=Q+W 可得ΔU=40 J+(-60) J=-20 J,该结果表明气体的内能减少了20 J,故选项C 正确。

4.关于物体的内能、温度和分子的平均动能,下列说法正确的是( )A.温度低的物体内能一定小B.温度低的物体分子运动的平均动能一定小C.外界对物体做功时,物体的内能一定增加D.做加速运动的物体,由于速度越来越大,因此物体分子的平均动能一定增大答案　B 温度低的物体分子平均动能一定小,但内能不一定小,选项B 正确,A 错误;外界对物体做功,若同时散热,物体的内能不一定增加,选项C 错误;做加速运动的物体,速度越来越大,物体的动能越来越大但温度不一定升高,物体分子的平均动能不一定增大,选项D 错误。

解答题通关练(10)1．设数列{a n }满足a 1＝12，a n ＋1＝a 2n ＋a n ＋1(n ∈N *)． (1)证明：a n ＋1a n≥3；(2)设数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 的前n 项和为S n ，证明S n <3.证明 (1)因为a 1＝12，且a n ＋1－a n ＝a 2n ＋1>0， 所以a n >0，由条件得a n ＋1a n ＝a n ＋1a n ＋1≥3，当且仅当a n ＝1时“＝”成立． (2)由(1)得a n a n ＋1≤13，即1a n ＋1≤13·1a n ，所以S n ＝1a 1＋1a 2＋…＋1a n≤1a 1＋13·1a 1＋132·1a 1＋…＋13n －1·1a 1 ＝1a 1⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋13＋…＋13n －1 ＝3⎝⎛⎭⎫1－13n <3. 2．在△ABC 中，∠BAC ＝90°，AD 是∠BAC 的内角平分线，点D 在线段BC 上，且BD ＝2CD . (1)求sin B 的值；(2)若AD ＝1，求△ABC 的面积． 解 (1)在△ABD 中，由正弦定理得 BD sin ∠BAD ＝AD sin B，即BD sin 45°＝ADsin B ，在△ACD 中，由正弦定理得CD sin ∠CAD ＝ADsin (90°－B )，即CD sin 45°＝ADcos B， 两式相除得sin B cos B ＝CD BD ＝12，即sin B ＝12cos B ，∴sin 2B ＝14cos 2B ＝14(1－sin 2B )，即sin 2B ＝15，又0°<B <180°，所以sin B >0，故sin B ＝55. (2)由∠BAC ＝90°，得B 是锐角，于是cos B ＝255，所以sin ∠BDA ＝sin(B ＋45°) ＝sin B cos 45°＋cos B sin 45°＝31010， 在△ABD 中，由正弦定理得AB ＝AD sin ∠BDA sin B ＝322，于是AC ＝AB tan B ＝324，所以S △ABC ＝12AB ·AC ＝12·322·324＝98.3.如图，菱形ABCD 的边长为a ，∠D ＝60°，点H 为DC 边中点，现以线段AH 为折痕将△DAH 折起使得点D 到达点P 的位置且平面PHA ⊥平面ABCH ，点E ，F 分别为AB ，AP 的中点．(1)求证：平面PBC ∥平面EFH ； (2)若三棱锥P －EFH 的体积等于312，求a 的值． (1)证明 菱形ABCD 中，E ，H 分别为AB ，CD 的中点，所以BE ∥CH 且BE ＝CH ， 所以四边形BCHE 为平行四边形，所以BC ∥EH ， 又EH ⊄平面PBC ，BC ⊂平面PBC ， 所以EH ∥平面PBC .又点E ，F 分别为AB ，AP 的中点，则EF ∥BP ， 又EF ⊄平面PBC ，BP ⊂平面PBC ，所以EF ∥平面PBC .又EF ∩EH ＝E ，EF ，EH ⊂平面EFH ， 所以平面EFH ∥平面PBC .(2)解 在菱形ABCD 中，∠D ＝60°， 则△ACD 为正三角形， 所以AH ⊥CD ，AH ＝32a ，DH ＝PH ＝CH ＝12a ， 折叠后，PH ⊥AH ，又平面PHA ⊥平面ABCH ，平面PHA ∩平面ABCH ＝AH ， PH ⊂平面PHA ，从而PH ⊥平面ABCH .在△P AE 中，点F 为AP 的中点，则S △PEF ＝S △AEF ， 所以V H －PEF ＝V H －AEF ， 而V H －PEF ＋V H －AEF ＝V H －P AE ， 所以V P －EFH ＝V H －PEF ＝12V H －P AE＝12V P －AEH ＝12×13S △AEH ·PH ＝12×13×12×12a ×32a ×12a ＝396a 3＝312，所以a 3＝8，a ＝2. 4．甲、乙两个数学兴趣小组的同学举行了赛前模拟考试，成绩记录如下(单位：分)： 甲：79,81,82,78,95,93,84,88 乙：95,80,92,83,75,85,90,80(1)画出甲、乙两组同学成绩的茎叶图；(2)计算甲、乙两组同学成绩的平均分和方差，并从统计学的角度分析，哪组同学在此次模拟考试中发挥比较稳定；(3)在甲、乙两组同学中，若对成绩不低于90分的再随机地抽3名同学进行培训，求抽出的3人中既有甲组同学又有乙组同学的概率．(参考公式：样本数据x1，x2，…，x n的标准差：s＝1n[(x1－x)2＋(x2－x)2＋…＋(x n－x)2]，其中x为样本平均数)解(1)甲、乙两组同学成绩的茎叶图如下：(2)从平均分和方差的角度看，甲组同学在此次模拟考试中发挥比较稳定，理由如下：x甲＝18(79＋81＋82＋78＋95＋93＋84＋88)＝85，x乙＝18(95＋80＋92＋83＋75＋85＋90＋80)＝85，s2甲＝18[(79－85)2＋(81－85)2＋(82－85)2＋(78－85)2＋(95－85)2＋(93－85)2＋(84－85)2＋(88－85)2]＝35.5，s2乙＝18[(95－85)2＋(80－85)2＋(92－85)2＋(83－85)2＋(75－85)2＋(85－85)2＋(90－85)2＋(80－85)2]＝41，由于x甲＝x乙，s2甲<s2乙，所以，甲组同学在此次模拟考试中发挥比较稳定．(3)若甲组同学中成绩不低于90分的两人设为A，B，乙组同学中成绩不低于90分的三人设为a，b，c，则从他们中抽出3名同学有以下10种可能：ABa，ABb，ABc，Aab，Aac，Abc，Bab，Bac，Bbc，abc，其中全是乙组的只有abc一种情况，没有全是甲组的情况，所以抽出的3人中既有甲组又有乙组同学的概率是P＝1－110＝9 10.5．已知点M ⎝⎛⎭⎫233，33在椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)上，且点M 到C 的左、右焦点的距离之和为2 2. (1)求C 的方程；(2)设O 为坐标原点，若C 的弦AB 的中点在线段OM (不含端点O ，M )上，求OA →·OB →的取值范围．解 (1)由条件知43a 2＋13b 2＝1,2a ＝22，∴a ＝2，b ＝1，∴椭圆C 的方程为x 22＋y 2＝1.(2)设点A ，B 的坐标为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 则AB 中点⎝⎛⎭⎪⎫x 1＋x 22，y 1＋y 22在线段OM 上，且k OM＝12， ∴x 1＋x 2＝2(y 1＋y 2)．又x 212＋y 21＝1，x 222＋y 22＝1， 两式相减得(x 1－x 2)(x 1＋x 2)2＋(y 1－y 2)(y 1＋y 2)＝0，易知x 1－x 2≠0，y 1＋y 2≠0，所以y 1－y 2x 1－x 2＝－x 1＋x 22(y 1＋y 2)＝－1，即k AB ＝－1.设AB 的方程为y ＝－x ＋m ，代入x 22＋y 2＝1并整理得3x 2－4mx ＋2m 2－2＝0.由Δ＝8(3－m 2)>0，解得m 2<3，由根与系数的关系得x 1＋x 2＝4m3，x 1x 2＝2(m 2－1)3，又由x 1＋x 22＝2m 3∈⎝⎛⎭⎫0，233，∴0<m < 3.故OA →·OB →＝x 1x 2＋y 1y 2＝x 1x 2＋(－x 1＋m )(－x 2＋m ) ＝2x 1x 2－m (x 1＋x 2)＋m 2＝4(m 2－1)3－4m 23＋m 2＝m 2－43.而0<m <3，∴OA →·OB →的取值范围是⎝⎛⎭⎫－43，53. 6．已知f (x )＝e x －mx .(1)若曲线y ＝ln x 在点(e 2,2)处的切线也与曲线y ＝f (x )相切，求实数m 的值； (2)试讨论函数f (x )零点的个数．解 (1)曲线y ＝ln x 在点(e 2,2)处的切线方程为y －2＝1e 2(x －e 2)，即y ＝1e2x ＋1，设该切线与曲线f (x )＝e x －mx 相切于点(x 0，0e x－mx 0)，则切线方程为y ＝(0e x－m )x －0e x(x 0－1)，∴⎩⎪⎨⎪⎧0e x －m ＝e －20e x －x 00e x＝1，∴(m ＋e －2)[1－ln(m ＋e －2)]＝1， 令m ＋e －2＝t ，t >0，则t (1－ln t )＝1.记g (t )＝t (1－ln t )，g ′(t )＝1－(1＋ln t )＝－ln t .于是，g (t )在(0,1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减， ∴g (t )max ＝g (1)＝1，于是t ＝m ＋e －2＝1，m ＝1－e －2， (2)f ′(x )＝e x －m ，①当m <0时，f ′(x )>0恒成立，f (x )在R 上单调递增，且f (0)＝1－m >0，f ⎝⎛⎭⎫1m ＝e 1m －1<0， ∴函数f (x )在R 上有且仅有一个零点． ②当m ＝0时，f (x )＝e x 在R 上没有零点．③当m >0时，令f ′(x )>0，则x >ln m ，即函数f (x )的增区间是(ln m ，＋∞)． 同理，减区间是(－∞，ln m )， ∴f (x )min ＝f (ln m )＝m (1－ln m )．(ⅰ)若0<m <e ，则f (x )min ＝m (1－ln m )>0，f (x )在R 上没有零点； (ⅱ)若m ＝e ，则f (x )＝e x －e x 有且仅有一个零点； (ⅲ)若m >e ，则f (x )min ＝m (1－ln m )<0， f (2ln m )＝m 2－2m ln m ＝m (m －2ln m )． 令h (m )＝m －2ln m ，则h ′(m )＝1－2m .∴当m >e 时，h (m )单调递增，h (m )>h (e)>0，∴f(2ln m)＝m2－2m ln m＝m(m－2ln m)>0，又∵f(0)＝1>0，∴f(x)在R上恰有两个零点，综上所述，当0≤m<e时，函数f(x)没有零点；当m<0或m＝e时，函数f(x)恰有一个零点；当m>e时，f(x)恰有两个零点．。

满分练(7)一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分) 1．已知集合A ＝{x |ln(3－2x )<0}，B ＝{x |x 2－2x ≤0}，则( ) A ．A ＝B B ．A ⊆B C ．A ⊇B D ．A ∩B ＝∅答案 B解析 因为A ＝{x |0<3－2x <1}＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪1<x <32， B ＝{x |0≤x ≤2}，所以A ⊆B .2．设复数z 满足(z ＋1)i ＝－1＋2i ，则z 等于( ) A ．1＋i B ．－1＋i C ．－1－i D ．1－i 答案 D解析 由(z ＋1)i ＝－1＋2i ，得z ＝－1＋i i ＝(－1＋i )(－i )－i 2＝1＋i ，z ＝1－i.3．(2019·青岛模拟)已知平面向量a ，b 的夹角为2π3，且|a |＝3，|b |＝2，则a ·(a －2b )等于( )A ．3B ．9C ．12D ．15 答案 D解析 a ·(a －2b )＝a 2－2a ·b ＝|a |2－2|a |·|b |cos 〈a ，b 〉＝9－12×⎝⎛⎭⎫－12＝15，故选D. 4．(2019·江西省临川第一中学等九校联考)某兄弟俩都推销某一小家电，现抽取他们其中8天的销售量(单位：台)，得到的茎叶图如图所示，已知弟弟的销售量的平均数为34，哥哥的销售量的中位数比弟弟的销售量的众数大2，则x ＋y 的值为( )A ．5B ．13C ．15D ．20 答案 B解析 根据茎叶图中的数据知，弟弟的销售量的众数是34，则哥哥的销售量的中位数是34＋2＝36， ∴x ＋72＝36－30，解得x ＝5，又(27＋20＋y ＋32＋34＋34＋34＋42＋41)÷8＝34， 解得y ＝8，∴x ＋y ＝5＋8＝13.5．已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的右焦点为F ，以F 为圆心，a 为半径的圆与双曲线C 的渐近线相切，则双曲线C 的渐近线方程为( ) A ．y ＝±x B ．y ＝±2x C ．y ＝±3xD ．y ＝±2x答案 A解析 点F (c,0)到渐近线y ＝b a x 的距离为|bc |a 2＋b 2＝a ，所以a ＝b ，故双曲线C 的渐近线方程为y ＝±x .6．(2019·晋城模拟)《九章算术》是我国古代第一部数学专著，它有如下问题：“今有圆堡瑽(cōng)，周四丈八尺，高一丈一尺．问积几何？”意思是“今有圆柱体形的土筑小城堡，底面周长为4丈8尺，高1丈1尺．问它的体积是多少？”(注：1丈＝10尺，取π＝3)( ) A ．704立方尺 B ．2 112立方尺 C ．2 115立方尺 D ．2 118立方尺 答案 B解析 设圆柱体底面圆半径为r ，高为h ，底面圆周长为C .因为C ＝2πr ，所以r ＝C2π，所以V＝πr 2h ＝π×C 24π2×h ＝C 2h 4π＝482×1112＝2 112(立方尺)．故选B. 7．(2019·江西省红色七校联考)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知b ＝a ⎝⎛⎭⎫cos C ＋33sin C ，a ＝2，c ＝263，则角C 等于( ) A.π3 B.π6 C.3π4 D.π4 答案 D解析 ∵b ＝a ⎝⎛⎭⎫cos C ＋33sin C ，∴由正弦定理，可得sin B ＝sin A cos C ＋33sin C sin A ， 又∵sin B ＝sin(A ＋C )＝sin A cos C ＋cos A sin C ， 又∵sin C ≠0，∴33sin A ＝cos A ，∴tan A ＝3， ∵A ∈(0，π)，∴A ＝π3，sin A ＝32，又∵a ＝2，c ＝263，∴由正弦定理，可得sin C ＝c ·sin A a ＝263×322＝22，∵c <a ，C 为锐角，∴C ＝π4.8．已知椭圆Γ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的长轴长是短轴长的2倍，右焦点为F (c,0)，过F 的直线与椭圆Γ相交于A ，B 两点，其中点A 在x 轴的下方，且AF →＝3FB →，若M 为AB 的中点，则直线OM 的方程为( ) A ．y ＝24x B ．y ＝－24x C ．y ＝28x D ．y ＝－28x 答案 D解析 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， ∵AF →＝3FB →，∴y 1＝－3y 2，∵长轴长是短轴长的2倍，设a ＝2t ，b ＝t ，c ＝3t ， ∴x 2＋4y 2－4t 2＝0，①设直线AB 的方程为x ＝sy ＋3t ，代入①中消去x ， 可得(s 2＋4)y 2＋23sty －t 2＝0， ∴y 1＋y 2＝－23sts 2＋4，y 1y 2＝－t 2s 2＋4，由y 1＝－3y 2可得－2y 2＝－23sts 2＋4，－3y 22＝－t 2s 2＋4，解得s 2＝12，又∵s >0，则s ＝22，k AB ＝ 2. 又在椭圆中，有k AB k OM ＝－b 2a 2＝－14，∴k OM ＝－142＝－28，故直线OM 的方程为y ＝－28x .二、多项选择题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分)9．已知a ＋a －1＝3，在下列各选项中，其中正确的是( ) A ．a 2＋a －2＝7 B ．a 3＋a －3＝18 C ．12a ＋12a-＝±5D ．a a ＋1a a＝2 5答案 ABD解析 在选项A 中，因为a ＋a －1＝3，所以a 2＋a －2＝(a ＋a －1)2－2＝9－2＝7.故A 正确； 在选项B 中，因为a ＋a －1＝3，所以a 3＋a －3＝(a ＋a －1)·(a 2－1＋a －2)＝(a ＋a －1)·[(a ＋a －1)2－3]＝3×6＝18，故B 正确；在选项C 中，因为a ＋a －1＝3，所以(12a ＋12a -)2＝a ＋a －1＋2＝5，且a >0，所以12a ＋12a-＝5，故C 错误；在选项D 中，因为a 3＋a －3＝18，且a >0，所以⎝⎛⎭⎫a a ＋1a a 2＝a 3＋a －3＋2＝20，所以a a ＋1a a ＝25，故D 正确．10．数列{a n }满足a 1＝1，且对任意的n ∈N *都有a n ＋1＝a n ＋n ＋1，则( ) A ．a n ＝n (n ＋1)2B ．数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 的前100项的和为200101C ．数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 的前100项的和为99100D ．数列{a n }的第100项为50 050 答案 AB解析 因为a n ＋1＝a n ＋n ＋1，所以a n ＋1－a n ＝n ＋1，又a 1＝1，所以a n ＝(a n －a n －1)＋(a n －1－a n －2)＋…＋(a 2－a 1)＋a 1＝n ＋(n －1)＋(n －2)＋…＋2＋1＝n (n ＋1)2，数列{a n }的第100项为5 050，故A 正确，D 错误． 所以1a n ＝2n (n ＋1)＝2⎝⎛⎭⎫1n －1n ＋1，所以数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 的前100项和为2⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫1－12＋⎝⎛⎭⎫12－13＋…＋⎝⎛⎭⎫1100－1101 ＝2⎝⎛⎭⎫1－1101＝200101.故B 正确，C 错误．11．已知△ABC 的外接圆圆心为O ，半径为2，OA →＋AB →＋AC →＝0，且|OA →|＝|AB →|，下列结论正确的是( )A.CA →在CB →方向上的投影为－ 3 B.OA →·AB →＝OA →·AC →C.CA →在CB →方向上的投影为 3 D.OB →·AB →＝OC →·AC → 答案 BCD解析 由OA →＋AB →＋AC →＝0得OB →＝－AC →＝CA →，所以四边形OBAC 为平行四边形．又O 为△ABC 外接圆的圆心，所以|OB →|＝|OA →|，又|OA →|＝|AB →|，所以△OAB 为正三角形，因为△ACB 的外接圆半径为2，所以四边形OBAC 是边长为2的菱形， 所以∠ACB ＝π6，所以CA →在CB →方向上的投影为|CA →|cos π6＝2×32＝3，故C 正确．因为OA →·AB →＝OA →·AC →＝－2， OB →·AB →＝OC →·AC →＝2， 故B ，D 正确．12．如图1，直线EF 将矩形纸ABCD 分为两个直角梯形ABFE 和CDEF ，将梯形CDEF 沿边EF 翻折，如图2，在翻折的过程中(平面ABFE 和平面CDEF 不重合)，下面说法不正确的是( )A ．存在某一位置，使得CD ∥平面ABFEB ．存在某一位置，使得DE ⊥平面ABFEC ．在翻折的过程中，BF ∥平面ADE 恒成立D ．在翻折的过程中，BF ⊥平面CDEF 恒成立答案 ABD解析 在A 中，因为四边形DEFC 是梯形，DE ∥CF ，所以CD 与EF 相交，所以CD 与平面ABFE 相交，故A 错误；在B 中，因为四边形DEFC 是梯形，DE ⊥CD ，所以DE 与EF 不垂直，所以不存在某一位置，使得DE ⊥平面ABFE ，故B 错误；在C 中，因为四边形ABFE 是梯形，AE ∥BF ，BF ⊄平面ADE ，AE ⊂平面ADE ，所以在翻折的过程中，BF ∥平面ADE 恒成立，故C 正确；在D 中，因为四边形ABFE 是梯形，AB ⊥BF ，所以BF 与FE 不垂直，在翻折的过程中，BF ⊥平面CDEF 不成立，故D 错误． 三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)13．已知某运动员每次投篮命中的概率都是40%.现采用随机模拟的方法估计该运动员三次投篮恰有两次命中的概率：先由计算器产生0到9之间取整数值的随机数，指定1,2,3,4表示命中，5,6,7,8,9,0表示不命中；再以每三个随机数作为一组，代表三次投篮的结果．经随机模拟产生了如下20组随机数：907,966,191,925,271,932,812,458,569,683,431,257,393,027,536,488, 730,853,537,989.据此估计，该运动员三次投篮恰有两次命中的概率为________． 答案 0.25解析 由题意知模拟三次投篮的结果，经随机模拟产生了20组随机数，在20组随机数中表示三次投篮恰有两次命中的有：191,271,932,812,393，共5组随机数．∴所求概率为520＝14＝0.25.14．古希腊著名的毕达哥拉斯学派把1,3,6,10，…这样的数称为“三角形数”，而把1,4,9,16，…这样的数称为“正方形数”．如图，可以发现任何一个大于1的“正方形数”都可以看作两个相邻“三角形数”之和，例如①4＝1＋3；②9＝3＋6；③16＝6＋10；…，按照这一规律，第19个等式为________．答案 400＝190＋210解析 第n 个“三角形数”S n ＝1＋2＋3＋…＋n ＝n (n ＋1)2，第n 个“正方形数”为n 2，所以第19个等式为202＝19×(19＋1)2＋20×(20＋1)2＝190＋210.15．已知F 1，F 2分别为椭圆C ：x 2a 2＋y 2＝1(a >1)的左、右焦点，点F 2关于直线y ＝x 的对称点为Q 在椭圆上，则长轴长为________；若P 是椭圆上的一点，且|PF 1|·|PF 2|＝43，则12F PF S V ＝________.(本题第一空2分，第二空3分)答案 2233解析 由椭圆C ：x 2a2＋y 2＝1(a >1)，知c ＝a 2－1，所以F 2(a 2－1，0)，点F 2关于直线y ＝x 的对称点Q (0，a 2－1)，由题意可得a 2－1＝1，即a ＝2，则长轴长为2 2. 所以椭圆方程为x 22＋y 2＝1，则|PF 1|＋|PF 2|＝2a ＝22，又|PF 1|·|PF 2|＝43，所以cos ∠F 1PF 2＝|PF 1|2＋|PF 2|2－|F 1F 2|22|PF 1|·|PF 2|＝(|PF 1|＋|PF 2|)2－2|PF 1|·|PF 2|－|F 1F 2|22|PF 1|·|PF 2|＝8－83－483＝12，所以sin ∠F 1PF 2＝32，则12F PF S V ＝12|PF 1|·|PF 2|·sin ∠F 1PF 2＝12×43×32＝33. 16.如图所示，三棱锥A －BCD 的顶点A ，B ，C ，D 都在同一球面上，BD 过球心O 且BD ＝22，△ABC 是边长为2的等边三角形，点P ，Q 分别为线段AO ，BC 上的动点(不含端点)，且AP ＝CQ ，则三棱锥P －QCO 体积的最大值为________．答案112解析 ∵BD 过球心O ，∠BCD ＝90°，又BD ＝22，△ABC 是边长为2的等边三角形， ∴AO ＝BO ＝CO ＝2，∴BO 2＋CO 2＝BC 2， ∴BO ⊥CO ，△BCD 是等腰直角三角形， 同理，AO 2＋CO 2＝AC 2⇒AO ⊥CO ， AO 2＋BO 2＝AB 2⇒AO ⊥BO ，又∵CO ∩BO ＝O ，CO ，BO 在平面BCD 内， ∴AO ⊥平面BCD ， 即PO ⊥平面CQO ，设AP ＝CQ ＝x (0<x <2)， S △QCO ＝12CQ ·CO · sin 45°＝12x ，则三棱锥P －QCO 的体积V ＝13×12x (2－x )＝16x (2－x )≤16⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋2－x 22＝112， 当且仅当x ＝2－x ，即x ＝22时取等号．。

重难点14 任务型阅读之回答问题【命题趋势】为了弥补阅读理解客观题(判断是非题与单项选择题)一统天下、考生容易猜测的局面,近年来各地中考英语阅读理解部分都引入了属于主观题性质的任务型阅读，要求考生或填写表格（一般限定词数)，或回答问题。

这类试题的难度最大，考生如果不能真正读懂并理解文章，就无法下笔。

值得一提的是，近年来任务型阅读的主观题在各地中考英语试题中所占的比例越来越大，有的地方试题甚至采用两篇，既要求考生根据文章填写表格,又要求考生在阅读文章后回答问题，但是，综观任何一组中考英语阅读理解试题，试题的难易度分布非常有序.【满分技巧】1。

快速通读课文，掌握文章大意。

浏览完题目后，带着问题快速通读全文,对文章的大意有一个初步的了解，同时找到文章中的关键句，并确定第二遍细读的重点部分,对于不影响理解和做题的部分可以一带而过，更不必在个别词上花时间。

2. 提取有效信息，根据题目要求进行改写.在速度短文后，再回头看题后的问题。

这时，能一锤定音的答案就先写好，不能马上确定的答案，根据第一遍速读时的印象到原文中找相关的信息，再进行推敲.尽管有相当的一部分题在原文中能找到答案，不需要推敲,但是大多数还是需要大家进行改写和重组的。

3。

仔细推敲，认真复查做完题目后，要立足整体，将完成后的句子再通读一遍，看看所改写的句子是否流畅，语句是否通顺。

同时还要照顾原文，看看答案是否与原文意义相符，时态一致.确保答案正确，大小写无误，语法正确,逻辑合理。

【热点话题】任务型阅读之回答问题型热衷于科普类、故事类等。

【限时检测】（建议用时：30分钟）A（2019 •黑龙江省齐齐哈尔市）There are many holidays and festivals。

Dads have Father’s Day Mums have Mother’s Day But do our grandparents have a special festival? Yes, they do！The Double Ninth Festival is a special day for older people in China. It started long ago。

满分练(10)一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分) 1．若z ＝i2＋i ，则复数z 对应的点在( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限答案 D解析 z ＝i 2＋i ＝i (2－i )(2＋i )(2－i )＝15＋25i ，z ＝15－25i ，z 对应的点⎝⎛⎭⎫15，－25 在第四象限． 2.已知集合A ＝{x |2x 2－7x ＋3<0}，B ＝{x ∈Z |lg x <1}，则阴影部分所表示的集合的元素个数为( )A ．1B ．2C ．3D ．4答案 B解析 依题意，A ＝{x |2x 2－7x ＋3<0}＝{x |(2x －1)(x －3)<0}＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪12<x <3， B ＝{x ∈Z |lg x <1}＝{x ∈Z |0<x <10} ＝{1,2,3,4,5,6,7,8,9}，阴影部分表示集合A ∩B ，故A ∩B ＝{1,2}． 3．函数f (x )＝x e cos x (x ∈[－π，π])的图象大致是( )答案 B解析 由题设可知f (－x )＝－x e cos (－x )＝－x e cos x ＝－f (x )，所以函数f (x )＝x e cos x 是奇函数， 依据图象排除A ，C ， 由于f ⎝⎛⎭⎫π2＝π2，f (π)＝πe －1＝πe ， 即f ⎝⎛⎭⎫π2>f (π)，故排除D ，应选B.4．已知向量a 与b 满足|a |＝|b |＝2，且b ⊥(2a ＋b )，则向量a 与b 的夹角为( ) A.π6 B.π3 C.2π3 D.5π6 答案 C解析 因为b ⊥(2a ＋b )，所以b ·(2a ＋b )＝0，即2a ·b ＋b 2＝0，因为|a |＝|b |＝2，所以2|a ||b |cos 〈a ，b 〉＋4＝0， 解得cos 〈a ，b 〉＝－12，所以向量a 与b 的夹角为2π3.5．(2019·渭南模拟)费马素数是法国大数学家费马命名的，形如22n＋1(n ∈N )的素数(如：022＋1＝3)为费马素数，在不超过30的正偶数中随机选取一数，则它能表示为两个不同费马素数的和的概率是( ) A.215 B.15 C.415 D.13 答案 B解析 在不超过30的正偶数中随机选取一数，基本事件总数n ＝15，能表示为两个不同费马素数的和的只有8＝3＋5,20＝3＋17,22＝5＋17，共有3个，则它能表示为两个不同费马素数的和的概率是P ＝315＝15，故选B.6．(2019·吉林省实验中学月考)O 为正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1底面ABCD 的中心，则直线D 1O 与A 1C 1的夹角为( ) A.π2 B.π3 C.π4 D.π6 答案 A解析 因为ABCD －A 1B 1C 1D 1是正方体，所以A 1C 1⊥BD ，A 1C 1⊥D 1D ， 所以A 1C 1⊥平面BDD 1，又因为D 1O ⊂平面BDD 1，故A 1C 1⊥D 1O . 所以直线D 1O 与A 1C 1的夹角为π2.7．已知函数f (x )＝sin(x ＋φ)－2cos(x ＋φ)(0<φ<π)的图象关于直线x ＝π对称，则cos 2φ等于( )A.35 B ．－35 C.45 D ．－45 答案 A解析 f (x )＝5sin(x ＋φ－θ)(其中tan θ＝2)， 则f (π)＝sin(π＋φ)－2cos(π＋φ)＝±5， 即2cos φ－sin φ＝±5，因为0<φ<π，所以φ是钝角(若φ是锐角或直角，则－5<2cos φ－sin φ<5)， 则2cos φ－sin φ＝－5，又cos 2φ＋sin 2φ＝1， 消去sin φ，化简可得5cos 2φ＋45cos φ＋4＝0， 则cos φ＝－25， 所以cos 2φ＝2cos 2φ－1＝35.8．已知点A 是抛物线M ：y 2＝2px (p >0)与圆C ：x 2＋(y －4)2＝a 2在第一象限的公共点，且点A 到抛物线M 焦点F 的距离等于a ，若抛物线M 上一动点到其准线与到点C 的距离之和的最小值为2a ，O 为坐标原点，则直线OA 被圆C 所截得的弦长为( ) A ．2 B ．2 3 C.723 D.726答案 C解析 ∵抛物线M 上一动点到其准线与到点C 的距离之和的最小值为2a ，∴|CF |＝2a ， 又|CA |＋|AF |＝2a ，∴C ，A ，F 三点共线，且A 是线段CF 的中点， ∵C (0,4)，F ⎝⎛⎭⎫p 2，0，∴A ⎝⎛⎭⎫p4，2， 则4＝2p ·p4，解得p ＝22，∴a ＝p 4＋p 2＝322，∵圆心C 到直线OA ：y ＝22x 的距离为|0－4|3＝43，∴所求的弦长为2a 2－⎝⎛⎭⎫432＝723.二、多项选择题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分) 9．下列选项正确的是( )A.na n ＝aB ．若a ∈R ，则(a 2－a ＋1)0＝1 C.3x 4＋y 3＝13x ＋yD.35＝6(－5)2 答案 BD解析 当n 是正偶数时，na n ＝|a |，故A 错误； 因为a 2－a ＋1＝⎝⎛⎭⎫a －122＋34>0恒成立，则B 正确； 当x ＝y ＝1时，3x 4＋y 3＝31＋1＝32，13x ＋y ＝1＋1＝2，等式不成立，故C 错误；6(－5)2＝652＝35，故D 正确．10．(2019·威海模拟)若a ，b 是不同的直线，α，β是不同的平面，则下列命题中不正确的是( ) A ．若a ∥α，b ∥β，a ⊥b ，则α⊥β B ．若a ∥α，b ∥β，a ∥b ，则α∥β C ．若a ⊥α，b ⊥β，a ∥b ，则α∥β D ．若a ∥α，b ⊥β，a ⊥b ，则α∥β 答案 ABD解析 A 中，若a ∥α，b ∥β，a ⊥b ，平面α，β可能垂直也可能平行或相交；B 中，若a ∥α，b ∥β，a ∥b ，平面α，β可能平行也可能相交；C 中，若a ⊥α，b ⊥β，则a ，b 分别是平面α，β的法线，a ∥b 必有α∥β；D 中，若a ∥α，b ⊥β，a ⊥b ，平面α，β可能平行也可能相交．故选ABD.11．空气质量指数AQI 是反映空气质量状况的指数，AQI 指数值越小，表明空气质量越好，其对应关系如表： AQI 指数值 0～50 51～100 101～150 151～200 201～300 >300 空气质量 优良轻度污染中度污染重度污染严重污染如图是某市10月1日～20日AQI 指数变化趋势：下列叙述正确的是( )A ．这20天中AQI 指数值的中位数略高于100B ．这20天中的中度污染及以上的天数占14C ．该市10月的前半个月的空气质量越来越好D ．总体来说，该市10月上旬的空气质量比中旬的空气质量好 答案 ABD解析 对于A,20天中AQI 指数值有10个低于100,10个高于100，其中位数略高于100，正确； 对于B,20天中AQI 指数值高于150的天数为5，即占总天数的14，正确；对于C ，该市10月的前4天的空气质量越来越好，从第5天到第15天，空气质量越来越差，错误；对于D ，总体来说，该市10月上旬的空气质量比中旬的空气质量要好些，D 正确． 12．对于数列{a n }(n ∈N *)，满足性质“对任意的正整数n ，a n ＋2＋a n2≤a n ＋1都成立”的数列是( )A ．a n ＝n 2＋n ＋1B ．a n ＝2n ＋1C ．a n ＝ln nn ＋1D ．a n ＝2n －1答案 BCD解析 对于A ，a 1＋a 32＝3＋132＝8>a 2＝7，不满足性质“对任意的正整数n ，a n ＋2＋a n2≤a n ＋1都成立”；对于B ，D ，数列{2n ＋1}和{2n －1}都是等差数列，故有a n ＋2＋a n2＝a n ＋1，满足性质“对任意的正整数n ，a n ＋2＋a n2≤a n ＋1都成立”；对于C ，a n ＝ln n n ＋1，a n ＋2＋a n ＝ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫n ＋2n ＋3·n n ＋1，2a n ＋1＝ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫n ＋1n ＋22，又n ＋2n ＋3·n n ＋1－⎝ ⎛⎭⎪⎫n ＋1n ＋22＝－2n －3(n ＋3)(n ＋1)(n ＋2)2<0， 即有a n ＋2＋a n 2≤a n ＋1，因此数列{a n }满足性质“对任意的正整数n ，a n ＋2＋a n2≤a n ＋1都成立”．综上所述，满足性质“对任意的正整数n ，a n ＋2＋a n2≤a n ＋1都成立”的数列为B ，C ，D.三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分) 13．(2019·贵阳考试)⎝⎛⎭⎫x 2－1x 6展开式中的常数项为________． 答案 15解析 通项公式T k ＋1＝C k 6(x 2)6－k ⎝⎛⎭⎫－1x k ＝(－1)k C k 6x 12－3k ，令12－3k ＝0，解得k ＝4.∴展开式中的常数项为C 46＝15.14．已知y 与x 之间的一组数据为若拟合这5组数据的回归直线恒经过的点是(4,6)，则表中的M 的值为________，N 的值为________．(本题第一空2分，第二空3分) 答案 7 7解析 根据题意，回归直线恒经过的点是(4,6)， 所以由x ＝15×(1＋M ＋3＋4＋5)＝4，解得M ＝7，由y ＝15×(3＋5＋6＋N ＋9)＝6，解得N ＝7.15．(2019·三湘名校联考)已知数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝1.当n ≥2时，a n ＋2S n －1＝n ，则S 2 019＝________. 答案 1 010解析 由题意可得a n ＋2S n －1＝n ，a n ＋1＋2S n ＝n ＋1， 两式作差可得a n ＋1－a n ＋2a n ＝1， 即a n ＋1＋a n ＝1，即当n ≥2时，数列任意连续两项之和为1， 据此可知S 2 019＝1＋2 0182＝1 010.16．(2019·吉林省实验中学月考)在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且b ＝3，3sin C ＝(sin A ＋3cos A )sin B ，则AC 边上的高的最大值为________． 答案 32解析 由3sin C ＝(sin A ＋3cos A )sin B 以及内角和定理sin C ＝sin(A ＋B )， 代入化简可得3sin A cos B ＝sin A sin B ，在△ABC 中sin A ≠0，cos B ≠0，故tan B ＝3，又0<B <π，∴B ＝π3，由余弦定理b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ， ∴3＝a 2＋c 2－ac ≥ac ，∴△ABC 的面积S ＝12ac sin B ＝34ac ≤334，又S ＝12bh ＝32h ≤334，∴h ≤32(当且仅当a ＝c ＝3时，等号成立)．。

满分练(6)一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分) 1．已知i 为虚数单位，复数z ＝1＋ii －i ，则z 等于( )A ．1－2iB ．－1－2iC ．1＋2iD ．－1＋2i 答案 A解析 z ＝1＋i i －i ＝(1＋i )(－i )－i 2－i ＝1－2i.2．已知集合A ＝{x |－3<x <1}，B ＝{x |(x ＋1)(x －3)≤0}，则A ∩B 等于( ) A ．(－3,3] B ．[－3,1) C ．(－1,3) D ．[－1,1) 答案 D解析 ∵集合A ＝{x |－3<x <1}， B ＝{x |(x ＋1)(x －3)≤0}＝{x |－1≤x ≤3}， ∴A ∩B ＝{x |－1≤x <1}＝[－1,1)．3．已知a ＝1312⎛⎫⎪⎝⎭，b ＝log 23，c ＝log 47，则( ) A ．a <b <c B ．b <a <c C ．c <a <b D ．a <c <b 答案 D解析 由题意知，a ＝1312⎛⎫⎪⎝⎭<⎝⎛⎭⎫120＝1， b ＝log 23＝log 49>log 47>log 44＝1， 所以a <c <b .4．(2019·河南省十所名校联考)已知S n 为等差数列{a n }的前n 项和，若a 3＋a 6＝25，S 5＝40，则数列{a n }的公差d 等于( ) A ．4 B ．3 C ．2 D ．1 答案 B解析 设等差数列{a n }的首项为a 1，公差为d ， 由a 3＋a 6＝25及S 5＝40得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋2d ＋a 1＋5d ＝25，5a 1＋5×42d ＝40，解得d ＝3.5．(2019·长春质检)圆C ：x 2＋y 2－2x ＝0被直线y ＝x 截得的线段长为( ) A ．2 B. 3 C ．1 D. 2 答案 D解析 因为圆C ：x 2＋y 2－2x ＝0的圆心为(1,0)，半径r ＝1.所以圆心(1,0)到直线y ＝x 的距离为d ＝|1－0|2＝22，因此，弦长＝2r 2－d 2＝21－12＝ 2.故选D.6．从数字1,2,3中任取两个不同的数字构成一个两位数，则这个两位数大于30的概率为( ) A.16 B.13 C.12 D.23 答案 B解析 依题意，从数字1,2,3中任取两个不同的数字构成的两位数有12,13,23,21,31,32，共6个，其中大于30的两位数有31,32，共2个，因此所求的概率为26＝13.7．已知F 1，F 2分别为双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点，过F 1的直线l 与圆x 2＋y 2＝b 2相切于点M ，且|MF 2|＝3|MF 1|，则双曲线的离心率为( ) A. 2 B ．2 C ．3 D. 3 答案 D解析 由题意知，F 1(－c,0)，F 2(c,0)， 由过F 1的直线l 与圆x 2＋y 2＝b 2相切， 可得圆心(0,0)到直线l 的距离d ＝b ， 从而可得|MF 1|＝a ，所以|MF 2|＝3|MF 1|＝3a ， 设O 为坐标原点，则在△MF 1O 中，cos ∠MF 1O ＝ac ，在△MF 1F 2中，由余弦定理，得 cos ∠MF 1F 2＝|MF 1|2＋|F 1F 2|2－|MF 2|22|MF 1||F 1F 2|＝a 2＋4c 2－9a 24ac，又∠MF 1O ＝∠MF 1F 2，所以a c ＝a 2＋4c 2－9a 24ac ，可得ca＝3，故双曲线的离心率为 3.8．已知函数f (x )＝x 2＋ax －ln x ，若m ，n ∈[1，＋∞)，且f (m )－f (n )m －n >3恒成立，则a 的取值范围是( ) A ．[1，＋∞) B ．[3－22，＋∞) C ．(2，＋∞)D ．[2，＋∞)答案 C解析 函数f (x )＝x 2＋ax －ln x ， 可得f ′(x )＝2x ＋a －1x，若m ，n ∈[1，＋∞)，且f (m )－f (n )m －n >3 恒成立，即2x ＋a －1x >3，x ∈[1，＋∞)时恒成立．即a >3－2x ＋1x恒成立，令y ＝3－2x ＋1x ，则其在x ∈[1，＋∞)时是减函数，可得a >3－2＋1＝2.二、多项选择题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分)9．某同学给出了以下判断，其中正确的结论是( )A ．将y ＝cos x 的图象向右平移π2个单位长度，得到y ＝sin x 的图象B ．将y ＝sin x 的图象向右平移2个单位长度，可得到y ＝sin(x ＋2)的图象C ．将y ＝sin(－x )的图象向左平移2个单位长度，得到y ＝sin(－x －2)的图象D ．函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3的图象是由y ＝sin 2x 的图象向左平移π3个单位长度而得到的 答案 AC10.如图，在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，O 是DB 的中点，直线A 1C 交平面C 1BD 于点M ，则下列结论正确的是( )A ．C 1，M ，O 三点共线B ．C 1，M ，O ，C 四点共面 C ．C 1，O ，A 1，M 四点共面D ．D 1，D ，O ，M 四点共面 答案 ABC解析 连接A 1C 1，AC ，则AC ∩BD ＝O ，又A 1C ∩平面C 1BD ＝M ，所以三点C 1，M ，O 在平面C 1BD 与平面ACC 1A 1的交线上，所以C 1，M ，O 三点共线，所以选项A ，B ，C 均正确，选项D 错误．11．设数列{a n }，{b n }满足a n ＋b n ＝700，a n ＋1＝710a n ＋25b n ，n ∈N *，若a 6＝400，则下列说法正确的是( )A ．a 4＝a 3B ．b 4<b 3C ．a 3>b 3D ．a 4<b 4 答案 AC解析 a n ＋b n ＝700，a n ＋1＝710a n ＋25b n ， 可得b n ＝700－a n ，即有a n ＋1＝310a n＋280. 可得a n ＋1－400＝310(a n －400)，可得数列{a n －400}是等比数列，可得a n －400＝(a 6－400)·⎝⎛⎭⎫310n －6＝0， 即有a n ＝400，b n ＝300， 则a 4＝a 3，b 4＝b 3，a 3>b 3，a 4>b 4.12．若实数x ，y ，z 满足2y ＝x ＋z (x ≠y ≠z )，则下列四个不等式中，正确的是( ) A.⎪⎪⎪⎪y －x ＋1z －y ≥2B ．x 3y ＋y 3z ＋xz 3≤x 4＋y 4＋z 4C ．y 2>xzD ．xy ＋yx ＋xz ≥x 2＋y 2＋z 2 答案 ABC解析 因为2y ＝x ＋z ，所以设y －x ＝z －y ＝k ，则z －x ＝2k . 对于A ，⎪⎪⎪⎪y －x ＋1z －y ＝⎪⎪⎪⎪k ＋1k ≥2，所以A 成立； 对于B ，x 3y ＋y 3z ＋xz 3－x 4－y 4－z 4＝x 3(y －x )＋y 3(z －y )＋z 3(x －z )＝k (x 3＋y 3－2z 3)＝k [(x 3－z 3)＋(y 3－z 3)]＝k [(x －z )(x 2＋xz ＋z 2)＋(y －z )(y 2＋yz ＋z 2)]＝－k 2⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x ＋z 22＋3z 22＋⎝⎛⎭⎫y ＋z 22＋34z 2≤0，所以B 成立； 对于C ，y 2－xz ＝⎝⎛⎭⎫x ＋z 22－xz ＝(x －z )24>0，所以C 成立；对于D ，取x ＝1，y ＝2，z ＝3，xy ＋yz ＋xz ＝11，x 2＋y 2＋z 2＝14，所以D 不成立． 三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)13．(2019·云南质检)已知随机变量ξ服从正态分布N (1,2)，则D (2ξ＋3)＝__________. 答案 8解析 ∵随机变量ξ服从正态分布N (1,2)，∴D (ξ)＝2，则D (2ξ＋3)＝22×D (ξ)＝8. 14．已知f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π3(ω>0)的最小正周期是4π，则ω＝________；若f ⎝⎛⎭⎫θ＋π3＝35， 则cos θ＝________.(本题第一空2分，第二空3分) 答案 12 －725解析 因为函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π3(ω>0)的最小正周期是2πω＝4π，则ω＝12，f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫12x ＋π3； 若f ⎝⎛⎭⎫θ＋π3＝sin ⎝⎛⎭⎫θ2＋π2＝cos θ2＝35， 则cos θ＝2cos 2θ2－1＝－725.15．动点P 在函数y ＝4x 的图象上，以点P 为圆心作圆与直线x ＝－1相切，则该圆过定点________． 答案 (1,0)解析 由y ＝4x 可得y 2＝4x (y ≥0)，函数y 2＝4x (y ≥0)的图象是开口向右的抛物线且在x 轴的上方的部分(含原点)，其焦点为F (1,0)，准线方程为x ＝－1，由抛物线定义可得|PF |等于点P 到准线的距离，所以以点P 为圆心且与直线x ＝－1相切的圆过点F (1,0)．16．(2019·哈尔滨师大附中、东北师大附中、辽宁省实验中学模拟)各项均为正数的等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 2a 6＝4，a 3＝1，则⎝⎛⎭⎫S n ＋9422a n的最小值为________．答案 8解析 因为a 2a 6＝4，且等比数列{a n }各项均为正数， 所以a 24＝4，a 4＝2，设{a n }的公比为q ， 则q ＝a 4a 3＝2，首项a 1＝14，所以S n ＝a 1(1－q n )1－q＝2n －14，通项a n ＝a 1q n －1＝2n －14，所以⎝⎛⎭⎫S n ＋9422a n＝2n4＋162n ＋4≥22n 4·162n＋4＝8，当且仅当2n 4＝162n ，即n ＝3时等号成立，所以当n ＝3时，⎝⎛⎭⎫S n ＋9422a n的最小值为8.。

满分练(12)一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分)1．(2019·安徽省合肥一中、马鞍山二中等六校联考)设z ＝1＋i1－i (i 是虚数单位)，z 是z 的共轭复数，则z ·z 等于( ) A ．－1 B ．i C ．1 D ．4 答案 C解析 z ＝1＋i 1－i ＝(1＋i )2(1－i )(1＋i )＝i ，则z ＝－i ，故z ·z ＝i·(－i)＝1，故选C.2．设a ＝20.3，b ＝0.32，c ＝log 20.3，则a ，b ，c 的大小关系是( ) A ．a <b <c B ．c <b <a C ．c <a <b D ．b <c <a 答案 B解析 方法一 c ＝log 20.3<0，a ＝20.3>0.30.3，b ＝0.32<0.30.3，所以c <b <a . 方法二 c ＝log 20.3<0，b ＝0.32＝0.09<1，a ＝20.3>20＝1，所以c <b <a .3．“搜索指数”是网民通过搜索引擎，以每天搜索关键词的次数为基础所得到的统计指标．“搜索指数”越大，表示网民对该关键词的搜索次数越多，对该关键词相关的信息关注度也越高．如图是2019年9月到2020年2月这半年中，某个关键词的搜索指数变化的走势图．根据该走势图，下列结论正确的是( )A ．这半年中，网民对该关键词相关的信息关注度呈周期性变化B ．这半年中，网民对该关键词相关的信息关注度不断减弱C ．从网民对该关键词的搜索指数来看，2019年10月份的方差小于11月份的方差D ．从网民对该关键词的搜索指数来看，2019年12月份的平均值大于2020年1月份的平均值 答案 D解析 A 选项错，并无周期变化；B 选项错，并不是不断减弱，中间有增强；C 选项错，10月份的波动大于11月份，所以方差要大；D 选项对，由题图可知，12月份到1月份有下降的趋势，所以12月份的平均值会比1月份的平均值大．4．(2019·枣庄模拟)将函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3图象上所有的点向左平移π6个单位长度，再将所得图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，则所得图象对应的函数解析式为( ) A ．y ＝cos ⎝⎛⎭⎫x ＋π6 B ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫4x ＋2π3 C ．y ＝cos x D ．y ＝sin 4x答案 A解析 先将函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3图象上所有的点向左平移π6个单位长度得y ＝sin ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x ＋π6＋π3＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋2π3，再将所得图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)得y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋2π3＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π2＋π6＝cos ⎝⎛⎭⎫x ＋π6. 5．已知点F 1是抛物线C ：x 2＝2py 的焦点，点F 2为抛物线C 的对称轴与其准线的交点，过F 2作抛物线C 的切线，切点为A ，若点A 恰好在以F 1，F 2为焦点的双曲线上，则双曲线的离心率为( ) A.6－22 B.2－1 C.2＋1 D.6＋22答案 C解析 由题意，得F 1⎝⎛⎭⎫0，p 2，F 2⎝⎛⎭⎫0，－p2， 设过F 2的抛物线C 的切线方程为y ＝kx －p2，联立⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝2py ，y ＝kx －p2， x 2－2pkx ＋p 2＝0，令Δ＝4p 2k 2－4p 2＝0，解得k 2＝1， 即x 2±2px ＋p 2＝0， 不妨设A ⎝⎛⎭⎫p ，p2， 由双曲线的定义得2a ＝|AF 2|－|AF 1|＝(2－1)p ， 2c ＝|F 1F 2|＝p ， 则该双曲线的离心率e ＝p(2－1)p＝2＋1.6．已知数列{a n }中，前n 项和为S n ，且S n ＝n ＋23a n ，则a na n －1的最大值为( )A ．－3B ．－1C ．3D ．1 答案 C解析 S n ＝n ＋23a n ，当n ≥2时，S n －1＝n ＋13a n －1，两式作差可得：a n ＝n ＋23a n －n ＋13a n －1⇒a n a n －1＝n ＋1n －1＝1＋2n －1，据此可得，当n ＝2时，a na n －1的最大值为3.7．(2019·湖北部分重点中学联考)已知抛物线C ：y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，准线为l ，O 为坐标原点，点M 在C 上，直线MF 与l 交于点N .若∠MFO ＝π3，则|MF ||MN |等于( )A.14B.13C.12D.23 答案 C解析 作MQ 垂直l 于Q ，则在Rt △MQN 中，∠MQN ＝π2，∠MNQ ＝π6，所以|MF ||MN |＝|MQ ||MN |＝12.8．(2019·湖北省黄冈中学模拟)已知正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱长为1，在对角线A 1D 上取点M ，在CD 1上取点N ，使得线段MN 平行于对角面A 1ACC 1，则MN 的最小值为( ) A ．1 B. 2 C.22 D.33答案 D解析 作MM 1⊥AD ，垂足为M 1，作NN 1⊥CD ，垂足为N 1，如图所示：在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，根据面面垂直的性质定理，可得MM 1，NN 1都垂直于平面ABCD ，由线面垂直的性质定理，可知MM 1∥NN 1，易知：M 1N 1NM ∥平面ACC 1A 1，由面面平行的性质定理可知：M 1N 1∥AC ，设DM 1＝DN 1＝x ，在直角梯形MM 1N 1N 中，MN 2＝(2x )2＋(1－2x )2＝6⎝⎛⎭⎫x －132＋13，当x ＝13时，MN 的最小值为33. 二、多项选择题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分)9．若不等式ax 2－bx ＋c >0的解集是(－1,2)，则下列选项正确的是( ) A ．b <0且c >0 B ．a －b ＋c >0 C ．a ＋b ＋c >0D ．不等式ax 2＋bx ＋c >0的解集是(－2,1) 答案 ABD解析 对于A ，a <0，－1,2是方程ax 2－bx ＋c ＝0的两个根， 所以－1＋2＝1＝b a ，－1×2＝ca ，所以b ＝a ，c ＝－2a ，所以b <0，c >0，所以A 正确； 令f (x )＝ax 2－bx ＋c ，对于B ，由题意可知f (1)＝a －b ＋c >0，所以B 正确； 对于C ，f (－1)＝a ＋b ＋c ＝0，所以C 错误， 对于D ，因为对于方程ax 2＋bx ＋c ＝0， 设其两根为x 1，x 2，所以x 1＋x 2＝－b a ＝－1，x 1·x 2＝ca ＝－2，所以两根分别为－2和1.所以不等式ax 2＋bx ＋c >0的解集是(－2,1)，所以D 正确． 10．有下列四个命题，其中不正确的命题有( )A ．已知A ，B ，C ，D 是空间任意四点，则AB →＋BC →＋CD →＋DA →＝0 B ．若两个非零向量AB →与CD →满足AB →＋CD →＝0，则AB →∥CD →C ．分别表示空间向量的有向线段所在的直线是异面直线，则这两个向量不是共面向量D ．对于空间的任意一点O 和不共线的三点A ，B ，C ，若OP →＝xOA →＋yOB →＋zOC →(x ，y ，z ∈R )，P ，A ，B ，C 四点共面 答案 ACD解析 对于A ，已知A ，B ，C ，D 是空间任意四点，则AB →＋BC →＋CD →＋DA →＝0，错误； 对于B ，若两个非零向量AB →与CD →满足AB →＋CD →＝0，则AB →∥CD →，正确；对于C ，分别表示空间向量的有向线段所在的直线是异面直线，则这两个向量可以是共面向量，不正确；对于D ，对于空间的任意一点O 和不共线的三点A ，B ，C ，若OP →＝xOA →＋yOB →＋zOC →(x ，y ，z ∈R )，当且仅当x ＋y ＋z ＝1时，P ，A ，B ，C 四点共面，故错误．11．若直线3x －y ＋c ＝0向右平移1个单位长度后再向下平移1个单位长度，平移后与圆x 2＋y 2＝10相切，则c 的值为( ) A ．14 B ．12 C ．－12 D ．－6 答案 AD解析 圆x 2＋y 2＝10的圆心坐标为(0,0)，半径r ＝10，直线3x －y ＋c ＝0变形为y ＝3x ＋c ，根据平移规律得到平移后直线的解析式为y ＝3(x －1)＋c －1，即3x －y ＋c －4＝0，由此时直线与圆相切，可得圆心到直线的距离d ＝|c －4|10＝r ＝10，解得c ＝14或－6.12．已知定义在区间[a ，b ]上的函数y ＝f (x )，f ′(x )是f (x )的导函数，若存在ξ∈(a ，b )，使得f (b )－f (a )＝f ′(ξ)(b －a )，则称ξ为函数f (x )在[a ，b ]上的“中值点”．下列函数，其中在区间[－2,2]上至少有两个“中值点”的函数为( ) A ．f (x )＝sin x B ．f (x )＝e x C ．f (x )＝ln(x ＋3) D ．f (x )＝x 3－x ＋1答案 AD解析 对于A ，f ′(x )＝cos x ，由sin 2－sin(－2)＝cos ξ[2－(－2)]，得cos ξ＝sin 22，根据余弦函数的图象知，在[－2,2]内有两个ξ值满足． 故函数f (x )＝sin x 在[－2,2]上有两个中值点，符合； 对于B ，f ′(x )＝e x ，由e 2－e －2＝e ξ[2－(－2)]，得e ξ＝e 2－1e24，根据指数函数的单调性知，此方程只有一解，故函数f (x )＝e x 在[－2,2]上只有一个中值点，不符合；对于C ，f ′(x )＝1x ＋3，由ln 5－ln 1＝1ξ＋3[2－(－2)]得，ξ＝4ln 5－3，故函数f (x )＝ln(x ＋1)在[－2,2]上只有一个中值点，不符合；对于D ，f ′(x )＝3x 2－1，由(23－2＋1)－[(－2)3－(－2)＋1]＝(3ξ2－1)[2－(－2)]，得ξ2＝43，ξ＝±233，故函数f (x )＝x 3－x ＋1在[－2,2]上有两个中值点，符合．故选AD.三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)13．已知函数f (x )＝x 3lg(x 2＋1＋x )＋2，若f (a )＝7(a ∈R )，则f (－a )＝________.答案 7解析 f (x )的定义域为R ，关于原点对称， 又f (－x )＝(－x )3lg((－x )2＋1－x )＋2 ＝－x 3lg ⎝⎛⎭⎪⎫1x 2＋1＋x ＋2＝x 3lg ()x 2＋1＋x ＋2＝f (x )， ∴f (x )是R 上的偶函数， ∴f (－a )＝f (a )＝7.14．已知m ，n 是两个非零向量，且|m |＝1，|m ＋2n |＝3，则|m ＋n |＋|n |的最大值为________． 答案10解析 (m ＋2n )2＝4n 2＋4m ·n ＋1＝9， 所以n 2＋m ·n ＝2，所以(m ＋n )2＝m 2＋2m ·n ＋n 2＝5－n 2， 所以|m ＋n |＋|n |＝5－|n |2＋|n |.令|n |＝x (0<x ≤5)，y ＝f (x )＝5－x 2＋x ， 再令x ＝5cos θ，θ∈⎣⎡⎭⎫0，π2， 则y ＝5cos θ＋5sin θ＝10sin ⎝⎛⎭⎫θ＋π4， 当θ＝π4时，y max ＝10.15．已知点A (－2,0)，B (0,1)在椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)上，则椭圆C 的方程为____________；若直线y ＝12x 交椭圆C 于M ，N 两点，则|MN |＝________.(本题第一空2分，第二空3分)答案 x 24＋y 2＝110解析 由题意可知，椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)上，由点A (－2,0)，B (0,1)在椭圆上，焦点在x 轴上， 则a ＝2，b ＝1，所以椭圆的标准方程为x 24＋y 2＝1.设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，则⎩⎨⎧x 24＋y 2＝1，y ＝12x消去y ，整理得x 2＝2，则x 1＝2，x 2＝－2，y 1＝22，y 2＝－22，则|MN |＝(2＋2)2＋⎝⎛⎭⎫22＋222＝10. 16．若直角坐标系内A ，B 两点满足：(1)点A ，B 都在f (x )的图象上；(2)点A ，B 关于原点对称，则称点对(A ，B )是函数f (x )的一个“姊妹点对”，点对(A ，B )与(B ，A )可看作一个“姊妹点对”．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋2x ，x <0，2e x ，x ≥0，则f (x )的“姊妹点对”有________个．答案 2解析 根据题意，作出函数y ＝x 2＋2x (x <0)的图象及其关于原点对称的图象，以及函数y ＝2e x(x ≥0)的图象，如图，观察图象可得：它们的交点个数是2，即f (x )的“姊妹点对”有2个．。