vandermonde行列式的推广式及其应用

范特蒙德矩阵行列式范特蒙德矩阵行列式矩阵理论作为现代数学的重要分支，在科学领域和应用领域中有着广泛的应用。

而矩阵行列式是矩阵理论中的重要概念。

本文将介绍范特蒙德矩阵行列式（Vandermonde determinant），并探讨其相关性质和应用。

一、范特蒙德矩阵行列式的定义范特蒙德矩阵行列式，又称范德蒙行列式，是由范特蒙德（Vandermonde）于1772年引入的。

它的定义如下：对于正整数n和n个实数a1, a2,…, an，范特蒙德矩阵V是一个n×n的矩阵，其中第i行第j列的元素是ai的j−1次方，即：$$V = \begin{pmatrix}1 & a_1 & a_1^2 & \cdots & a_1^{n-1} \\1 & a_2 & a_2^2 & \cdots & a_2^{n-1} \\\vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\1 & a_n & a_n^2 & \cdots & a_n^{n-1}\end{pmatrix}$$范特蒙德矩阵行列式（Vandermonde determinant）是矩阵V的行列式，记作：$$\prod_{1 \le i < j \le n} (a_j - a_i)$$二、范特蒙德矩阵行列式的性质范特蒙德矩阵行列式具有以下性质：1. 对任意正整数n和n个实数a1, a2,..., an，范特蒙德矩阵行列式的绝对值等于$\prod_{i<j}(ai - aj)$，即范德蒙定理。

2. 范特蒙德矩阵行列式的值只与a1, a2,…, an的大小关系有关，而与它们的顺序无关。

3. 当a1, a2,..., an等距时，即存在正整数k和h，使得ai=a1+(i−1)k（i=1,2,…,n），则Vandermonde determinant等于$\prod_{i<j}(j-i)$，即n个不同的有理数的秩次数。

广义Vandermonde 行列式作者：袁敏 指导老师：舒阿秀摘要 Vandermonde 行列式是行列式的一种特殊形式，而广义Vandermonde 行列式是Vandermonde行列式的一种推广形式，在实际应用中占有十分重要的地位，如在Hermite 插值问题适定性证明等问题中都可以用到它. 本文主要在Vandermonde 行列式基础上介绍广义Vandermonde 行列式及其性质、计算与应用，并在此基础上加以适当推广，介绍增次广义Vandermonde 矩阵的含义和一些相关性质.关键词 Vandermonde 行列式 广义Vandermonde 行列式 增次广义Vandermonde 矩阵1引言在高等代数中，行列式是一个极其重要的概念，而Vandermonde 行列式又是行列式的一种特殊形式，目前许多文献都对它进行了广泛的研究并得到了许多丰富的成果. 本文主要在Vandermonde 行列式的基础上对广义Vandermonde 行列式及其性质、应用等进行一些归纳和讨论.1.1 Vandermonde 行列式的定义称形如12322221231111123111...1........................n nn n n n nD a a a a a a a a aaaa----=(1.1)的行列式为n 级范德蒙德（V andermonde ）行列式.1.2 性质任意的(2)n n ≥级范德蒙德行列式等于12,,,n a a a 这n 个数的所有可能的差i α-j α(1)j i n ≤<≤的乘积. 用连乘号，这个结果可以简写成123222212311111123111...1......()..................n nijj i nn n n n na a a a a a a a a a aaaa≤<≤----=-∏由这个结果立即得出，V andermonde 行列式为零的充分必要条件是12,,,n a a a 这n 个数中至少有两个相等.2 广义Vandermonde 行列式 2.1 定义设m 维向量21(;)(1,,,...,)m F m λλλλ-=,它对λ的一阶导数为()2(;)0,1,2,...,(1)m F m m λλλ-'=- （2.1）同样可以定义(;)F m λ对λ的k 阶导数()(;)k F m λ，显然，当k m ≥时，()(;)k F m λ是零向量，令(1)F(,)1F (,)1!1F (,)(;;)2!...1F (,)(1)!d d mm m m F d m m d λλλλλ-⨯⎡⎤⎢⎥⎢⎥'⎢⎥⎢⎥''⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦ （2.2）考虑如下的Vandermonde 型的12(...)t d d d m +++⨯阶矩阵11221212F(;;)F(;;)(,,...;,,...;)...F(;;)t t t t d m d m V d d d m d m λλλλλλ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦（2.3） 这里,1,2,...,i d N i t ∈=.显然，当12...t d d d m +++=时，1212(,,...;,,...;)t t V d d d m λλλ是m 阶方阵.当i λ在（2.3）式中不出现时，约定0i d =，这里仍写成121112111212(,,...,,,...,;,,...,,,...,;)(,,...;,,...;)i i t i i t t t V d d d d d m V d d d m λλλλλλλλ-+-+≡ （2.4）显然，行列式1212(,,...;,,...,;)t t V d d d m λλλ是通常的Vandermonde 行列式2111121222121211...1...(,,...,)()...............1...n n n i j j i n n n n n V λλλλλλλλλλλλλλ--≤<≤-==-∏的一种推广，即当12...1t d d d ====时，有121212(,,...;,,...;)(,,...),tt tV m V d dd λλλλλλ=.以下称1212(,,...;,,...;)t t V m d d d λλλ为广义Vandermonde 行列式.2.2 性质定理 设12121,1,...,1,...t t d d d d d d m ≥≥≥+++=且，则有 1212(,,...;,,...;)t t V m d d d λλλ=1223341......2131132422....1()()()()()()()t t t t d d d d d d d d d t t dt t λλλλλλλλλλλλλλ-⎡⎤⎡⎤⋅⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎡⎤⋅⋅-⎢⎥⎣⎦------- （2.5）证明 将1212(,,...;,,...;)t t V m d d d λλλ的第1,2,...,2,1m m --列各乘以1()λ-，然后分别加到第,1,2,...,2m m m --列，并按第1行展开得到一个1m -阶行列式，设为1V ，也即11212(,,...;,,...;)t t V V m d d d λλλ==111111121122113211211112122212122122121112112221132212121()().........() (00)0...1...()()().........()1.........m m m d d m d m m m m m m C C C C C C C C C C C C C C λλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλ----------------------22211321211122221111112212.....................000...1...()....................()()........()0...1...t t t tm d d m d m m m t t tt t t t d m d d m d m m C C C C λλλλλλλλλλλλλλλλλ--------------------（1V 是1m -阶） 显然1V 的第一行是1m -维向量1(;1)F m λ-，1V 的第二行是1132121(0,1,,...,)m m C C λλ--， 1V 的第三行是2243121(0,0,1,,...,)m m C C λλ--，………1V 的第11d -行是1111221121(0,0,...,0,1,,...,)d d m d d m C C λλ-----. 从而知1V 的前11d -行是11(;1;1)F d m λ--，又易知21λλ-是1V 的第1d 行各元素的公因子，故第1d 行可变成（将21λλ-提到行列式的外边相乘）：222222;1(1,,,...,)()m m F λλλλ--=.再把第1d 行乘以1-加到第11d +行上去，得第11d +行为()()1011011021212113222112221211321221222120,(),(),...,()0,,(),...,()m m m m m m C C C C C C CC C c c λλλλλλλλλλλλλλλ------------=---它也有公因子21λλ-，也提到行列式外边相乘，这时，第11d +行变成11322222(0,1,,...,)(;1)m m C C F m λλλ--'=-. 再把第11d +行乘以1-加到第12d +行，于是第12d +行变成为()()2122122132432221432312323122224221321232120,0,(),(),...,()0,0,(),(),...,()m m m m m m m C C C C C C C CC C C C λλλλλλλλλλλλλλλ----------------，它也有公因子21()λλ-，可提到行列式外边相乘，这时，第12d +行变为21(;1)2!F m λ''-，这样一直进行到第121d d +-行（共2d 次）为2(1)221(;1)(1)!d F m d λ---，而提出到行列式外面的因子为221()d λλ-，同理，可依次得到1V 的其余121m d d --+行，最后得出1122112112122F(;1;1)F(;;1)()...F(;;1)()(,,...,;1,,...,;1)ii td i i t t td i t t i d m d m V d m V d d d m λλλλλλλλλλ==---=--=---∏∏即有212122111212(,,...;,,...;)()...()V(,,...,;1,,...,;1)tt t d d t t t V m d d d m d d d λλλλλλλλλλ=---- （2.6）反复用（2.6）式即得（2.5）式：()1211212112122123231212123(,,...;,,...;)()V(,,...,;1,,...,;1)...=()V(,,...,;,,...,;)...=()()...()ii j i t t t td it t i d t d i t t i d dt t d d d i j t t i j V m d d d m d d d m d d d d λλλλλλλλλλλλλλλλλλλ==-===---=⎛⎫--= ⎪⎝⎭⎛⎫⎛⎫--- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∏∏∏∏1.t d -于是定理得证.2.3 应用在Hermite 插值问题适定性的证明中将用到广义Vandermonde 行列式，下面我们将介绍这个应用.首先，我们陈述一下Hermite 插值问题.对1,2...,()i s s z +=∈ ,设i x R ∈是第i 个插值结点,且s 个结点互异；设ix z +∈是关于第i 个结点的插值重度，记()k i y R ∈为关于第i 个结点k 阶导数的任意给定参数(0,1,...,1)i k α=-，确定满足条件：()()()(0,1,...,1;1,...,)k k n i i i p x y k i s α==-=的一元n 次多项式()n p x ，其中01,1si i n Z n α=∈+=∑，且称上条件为Hermite 插值条件；称满足Hermite 插值条件的一元n 次多项式()n p x 为Hermit 插值多项式.现在我们给出Hermite 插值问题的直观性证明.定理2.1[1] Hermit 插值多项式是存在唯一的.证明 记一元多项式()n p x 为01()...n n n p x c c x c x =+++，其中(0,1,...,)i c i n =为待定系数，利用上Hermite 插值条件可得如下关于待定系数01,,...,n c c c 的方程组1()111...,!0,...,1;1,...,.k k k n k k k k i k n i n i i C c C x c C x c y k k i s α-++⎧+++=⎪⎨⎪=-=⎩ 显然上方程组的系数矩阵为广义Vandermonde 矩阵V ，利用定理2.1由插值结点互异知，广义Vandermonde 行列式不等于0，从而上方程组的解存在且唯一.定理2.2 Hermit 插值多项式可表为111111,,...,,...,()/,...,,...,,...,ns n s s s x x x x p x V x x y V αααα⎡⎤=-⎛⎫⎢⎥⎣⎦ ⎪⎝⎭其中(1)(0)(1)111(,...,);(,,...,),(1,...,)1!(1)i T s i i i i i y y y y y y y i s αα-===- .证明 参见文献[1].另外，在图书流通管理中可应用广义范德蒙德（V andermonde ）行列式的纵向思维过程；关于WJ-A VE5数字特技机在电视节目制作过程中的使用可应用广义范德蒙德（Vandermonde ）行列式的统计运算功能；目前许多行业，如饲料工业上的应用、肉碱在畜禽水产养殖上的应用、计算机应用基础课程教学模式的探讨、计算机辅助教学课件的应用分析等等，都在利用数学模拟计算方法包括广义范德蒙德（V andermonde ）行列式在内的一系列的基础数学理论，以精确的理论数据进行可维护的实践操作. 另外上定理可将控制论中许多关于iA e 的计算得到简化.3 增次广义Vandermonde 行列式 3.1 定义对于第2节中给出的广义范德蒙德行列式的定义（2.4），若去掉1212(,,...;,,t V d d λλλ...;t d )m 的第1,...,r k k 列，11...,1r k k m r m ≤<<≤≤≤，而在末尾增加诸i λ次数顺序为,...,1m m r +-的列，则所得矩阵称为增r 次广义Vandermonde 矩阵，记为111(,...,;,...,;;,...,)t t r V d d m k k λλ=111111112221111111131311111112212112111111122221.........01..........................................00.........1.........1...rrrrrrk k k k m rk k k k m r k k k k m r d m d rm r C C C C C C C λλλλλλλλλλλλλλλλλ---+-----+---+--+-+111111222212222313111111122222222212112......01..........................................000.........1...............................rr rrrrk k k km rk k k k m rk k k k m r d m d r m r C C C C C C C λλλλλλλλλλλ---+-----+---+--+-+111111222131311111112222111...........1.........01 (00).........1.........rrrrrrt t k k k k m rt t t t t t t k k k k m rt k t k t k tk t m r td m d r m r t C C C C C C C λλλλλλλλλλλλλλ---+-----+---+--+-+⎛⎫ ⎪ ⎪⎪⎪ ⎪ ⎪⎪⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪⎪⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭3.2性质Laplace 定理的引理 行列式D 的任一k 阶子式M 与它的代数余子式A 的乘积MA 中的每一项都是D 的一项，而且符号一致.定理3.1 11111(,...,;,...,;;)(,...,;,...,;)t t t t k V d d m k V d d m λλλλτ-=⋅. （3.1） 证明 11(,...,;,...,;;)t t V d d m k λλ是111(,...,,;,...,;1;1)t t t V d d m λλλ++的按最后一行展开式中项11k t λ-+的系数1×(1)m k++-，而13221341112131132422111112121(,...,,;,...,;1;1)()()()()()()...()()(,,...;,,...;)()t t tti id d d d t t t t td d d d d d d t t t t i i td t i t t i V d d m V m d d d λλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλ-+-+=+=⎡⎤+=--⋅⋅⋅-⎣⎦⎡⎤⎡⎤⋅--⋅⋅⋅-⋅⋅--⎣⎦⎣⎦=⋅-∏∏.再由韦达定理知11()i td t i i λλ+=-∏中11k t λ-+的系数为(1)1(1)m k k τ----，所以1(1)11111(,...,;,...,;;)(,...,;,...,;)(1)(1)m k m k t t t t k V d d m k V d d m λλλλτ++---=⋅-⋅-.化简即得（3.1）式.推论3.1 111111(,...,;,...,;;)(,...,;,...,;)(...)t t t t t t V d d m m V d d m d d λλλλλλ=⋅++. 推论3.2 当12...1t d d d ====时，有：111(,...,;1,...,1;;)(,...,)t t k V m k V λλλλτ-=，且仅当k t =时，有111(,...,;1,...,1;;)(...)()t t ijj i tV m t λλλλλλ≤<≤=++-∏.推论3.3 若()i j i j λλ≠≠，则1212(,,...;,,...;)t t V d d d m λλλ的秩为m . 推论3.4 若1(),0i j k i j λλτ-≠≠≠，则11(,...,;,...,;;)t t V d d m k λλ的秩为m . 推论3.5 若12(),(...)0i j t i j λλλλλ≠≠++≠时，1(,...,;1,...,1;;)t V m t λλ的秩为m . 推论3.6 若11(),(...)0i j t t i j d d λλλλ≠≠++≠时,11(,...,;,...,;;)t t V d d m m λλ的秩为m .定理3.2 12121112111221(,...,;,...,;;;)(,...,;,...,;)()t t t t k k k k V d d m k k V d d m λλλλττττ----=-.证明 设1121(,...,,,;,...,,1,1;2)t t t t V d d m λλλλ+++按最后两行展开后， 121221121111111112121122k k k k k k t t t t t t k k t t λλλλλλλλ------++++++--++=- 的系数为12,k k D ，则1212121112,(,...,;,...,;;;)(1)m m k k t t k k V d d m k k D λλ+++++=-从而112111122111(,...,,,;,...,,1,1;2)(,...,;,...,;)()()()jit t t t t t ttd d t i t j t t i j V d d m V m d d λλλλλλλλλλλλ++++++==+=⋅---∏∏.注意到11()i td t i i λλ+=-∏,展开式中111211,k k t t λλ--++的系数分别为11111212(1),(1)m k m k k k ττ-+-+----；而21()jtd t j j λλ+=-∏展开式中221222,k k t t λλ--++的系数分别为22221212(1),(1)m k m k k k ττ-+-+----，于是1121(,...,,,;,...,,1,1;2)t t t t V d d m λλλλ+++中121112,k k t t λλ--++的系数是12121212(1)(1)m k m k k k ττ-+-+-----12122121(1)(1)m k m k k k ττ-+-+----.由Laplace 定理的引理知：121212121111211121221(,...,;,...,;;;)(,...,;,...,;)(1)()(1)k k t t t t m m k k k k k k V d d m k k V d d m λλλλττττ--+++++----=⋅--⋅-化简上式即得定理成立.推论3.7 若12121221(),ij k k k k i j λλττττ----≠≠≠，则11(,...,;,...,;)t t V d d m λλ的秩为m .3.3 计算例1 计算234623524234623523461012346001361510123461x x x x x x x x x x x x V y y y y y y y y y zz z z z =.解63232V (x ,y ,z ,u ;3,2,1,1;7)()()()()()()y x z x z y u x u y u z =------. V是V(x,y,z,u;3,2,1,1;7)的按最后一行展开式中5u 项系数⨯6+7（-1），得63267632()()()[(32)](1)()()()(32).V y x z x z y x y z y x z x z y x y z +=----++⨯-=---++例2 计算236725645236725623671012367013152110123671x x x x x x x x x x x x V y y y y y y y y y zz z z z =. 解 6323213V (x ,y ,z ,u ,v ;3,2,1,1,1;8)()()()()()()(y x z xz yu x u y u z v x=------- 21()()()v y v z v u ---V 是V(x,y,z,u,v;3,2,1,1,1;8)的按最后两行展开中45455445u u u v u v v v=-项系数5678(1)+++⨯-，得321()()()u x u y u z ---中43,u u 的系数为2343(1),(1)ττ--，54,v v 的系数为254(1),(1)ττ--，所以6322453()()()()V y x z x z y τττ=----.结 束 语本文主要在Vandermonde 行列式的基础上对广义Vandermonde 行列式的概念、性质及其应用等加以归纳和讨论，并在此基础上适当推广，讨论了增次广义Vandermonde 行列式的含义、性质与计算. 由于广义Vandermonde 行列式的应用较为广泛，目前在这方面的研究已经取得了丰硕的成果，对此本文不再深入讨论.参考文献[1] 盛中平. 林正华, 广义Vandermonde行列式及其应用[J]，高等学校计算数学学报，3（1996），217-225.[2] 邱建霞. 吴康，广义Vandermonde行列式的再推广[J]，西华师范大学学报(自然科学版)，25：3（2004），328-332.[3] 王向东,，广义Vandermonde行列式[J]，佛山科学技术学院报，19：1（2001），1-4.[4] 邱建霞，增次广义Vandermonde行列式[J]，大学数学，21：3（2005），85-90.[5] 邱建霞，增次广义Vandermonde行列式的计算[J]，高等数学研究，9：1（2006），19-21.[6] 普丰山. 陈军，广义Vandermonde行列式及其应用[J]，河南科学，24：5（2006），26-28.[7] SEYMOURL Inpschut. Schaum’s outline of Theory and problems of Linear Algebra [M]. McGraw 2 Hill Book Company, 1968Generalized Vandermonde DeterminantAuthor: Yuan Min Supervisor: Shu AxiuAbstract: Vandermonde determinant is a special determinant, and generalized Vandermonde determinant is promotion of Vandermonde determinant which is important in practical application. For instance, it can be used to solve the question of qualitative property of Hermit interpolation. In this paper , we introduced the property , calculation and application of generalized Vandermonde determinant, extended appropriately ,and introduced the definition and property of generalized additional involution Vandermonde matrixesKey words: Vandermonde determinant; generalized Vandermonde determinant;generalized additional involution Vandermonde matrixes。

大学毕业论文论文题目：浅析Vandermonde行列式的相关性质及其应用姓名：年级：专业：数学与应用数学浅析Vandermonde行列式的相关性质及其应用摘要：在高等数学的学习中，行列式无疑是一个重点和难点，它是后续课程线性方程组、矩阵、向量空间和线性变换的基础。

而行列式的计算具有一定的规律性和技巧性。

Vandermonde行列式是一类很重要的行列式。

本文系统的阐述了Vandermonde 行列式的相关性质及其应用,通过各种方法说明了行列式中的一些计算问题以及如何利用Vandermonde行列式计算一般的行列式，用多个例子论述并总结了Vandermonde 行列式在科研和实践生活中如何更好的应用。

关键字: 行列式；Vandermonde行列式；Vandermonde目录第一章引言 (1)第二章预备知识 (2)2.1 定义 (2)2.2 行列式的性质 (2)2.3 行列式计算中的几种基本方法 (3)2.3.1 三角形法 (3)2.3.2 加边法或升级法 (4)2.3.3 递推法或数学归纳法 (5)第三章行列式的一种特殊类型Vandermonde行列式 (6)3.1 Vandermonde行列式的证法 (6)3.2 Vandermonde行列式的性质 (7)3.2.1 推广的性质定理]7[：行列式 (7)3.2.2 一个Vandermonde行列式为0的充分必要条件 (9)3.2.3 V andermonde行列式的偏导数]8[ (9)3.3 Vandermonde行列式的翻转与变形 (11)3.4 Vandermonde行列式的应用 (12)第四章小结 (17)第五章参考文献 (18)第六章谢辞 (19)引言在中学数学和解析几何里，我们学习过两个未知量和三个未知量的线性方程组及其解法。

但是在数学研究和实际问题的解决过程中，经常会遇到由多个未知量而组成的多个方程组，并且未知量的个数和方程组的个数也未必相等。

浅析Vandermonde行列式的性质与应用摘要：在线性代数与高等代数的学习中，行列式无疑是一个重点和难点，它是后续课程矩阵、向量空间和线性变换等的基础，且其计算具有一定的规律性和技巧性.而Vandermonde行列式是一类很重要的行列式,它构造独特、形式优美、性质特殊，是行列式中的一颗璀璨明珠.为了使我们对vandermonde行列式进一步加深了解与应用，同时开阔数学视野、培养发散思维能力，以便更好地为我们的科研和生活服务，本文主要阐述了Vandermonde行列式的证法及其相关性质,并用例举法介绍及总结了如何利用Vandermonde行列式计算某些特殊的行列式与其在多项式、向量空间等中的简单应用.关键词：行列式 Vandermonde Vandermonde行列式宁夏师范学院2012届本科毕业生毕业论文Analysis of Vandermonde determinant Properties and ApplicationsAbstract:Linear algebra and advanced algebra learning, the determinant is undoubtedly a key and difficult points, it is the follow-up course matrix, the basis of vector spaces and linear transformations, and its calculation with a certain regularity and skill. Vandermonde determinant is a very important determinant, it constructs a unique, beautiful form of special nature, is a shining pearl in the determinant. To enable us to further deepen the understanding and application of the Vandermonde determinant, and at the same time broaden their mathematical horizons, develop divergent thinking ability in order to better serve our research and living services, the paper mainly expounds the Vandermonde determinant permit law and its related properties, and introduced with examples of France and summarizes how to use the Vandermonde determinant for the calculation of some of the special determinant of the Vandermonde determinant polynomial, the vect or space.Keywords: Determinant Vandermonde Vandermonde determinant宁夏师范学院2012届本科毕业生毕业论文目录1 引言 (1)2 VANDERMONDE行列式的定义与证法 (2)2.1V ANDERMONDE行列式的定义 (2)2.2V ANDERMONDE行列式的证法 (2)3 VANDERMONDE行列式的性质 (4)3.1V ANDERMONDE行列式的翻转与变形 (4)3.2V ANDERMONDE行列式为0的充分必要条件 (5)3.3V ANDERMONDE行列式推广的性质定理 (5)4 VANDERMONDE行列式的应用 (7)4.1V ANDERMONDE行列式在行列式计算中的应用 (7)4.1.1 计算准Vandermonde行列式 (7)4.1.2 计算特殊的行列式 (7)4.2V ANDERMONDE行列式在多项式与向量空间中的应用 (10)4.2.1 Vandermonde行列式在多项式中的应用 (10)4.2.2 Vandermonde行列式在向量空间中的应用 (13)5 小结 (15)参考文献 (16)谢辞 (17)1 引言行列式最早出现在17世纪关于线性方程组的求解问题中，由日本数学家关孝和德国数学家莱布尼茨分别发明，而法国数学家范德蒙德(A-T.Vander- monde，1735-1796)对行列式理论做出了连贯的、逻辑的阐述，并命名了著名的Vandermonde 行列式.后许多数学家如柯西、雅可比、泰勒等对其不断发展完善，做了进一步的解析与应用，使得19世纪中期行列式与向量、矩阵完美融合.时至今日，行列式成为了线性代数与高等代数的主要内容与重点内容之一，是后续课程矩阵、向量空间和线性变换等的基础，而vandermonde行列式在多项式、向量空间、线性方程组、线性变换、矩阵的特征值与特征向量、微积分等理论中都有大量应用，例如对Cramer法则的补充、Lagrange插值公式的推导、向量空间基的证明、与Taylor公式结合求微积分问题等起了重要的作用[1]，而其在简化行列式计算方面，更是灵活巧妙，成为了广大学生的有力工具.出于对n阶vandermonde行列式其独特的构造、优美的形式、特殊的性质的好奇与喜爱，我查阅了大量的参考文献后，决定就Vandermonde行列式的证法与相关性质，浅谈其在行列式计算、多项式、向量空间中的基本应用，使得对vandermonde行列式进一步加深了解与应用，培养自身的科研素养.当然我相信，随着科技的进步与更多数学家的进一步研究，Vandermonde行列式这颗璀璨明珠，将会在各领域绽放更耀眼的光芒.2 Vandermonde 行列式的定义与证法 2.1 Vandermonde 行列式的定义我们把型如 n V =121111211...1..................nn n n na a a a a a ---的行列式叫做Vandermonde 行列式，其值为1()i j j i na a ≤<≤-∏，即n V =121111211...1..................nn n n na a a a a a ---=1()i j j i na a ≤<≤-∏其中1()i j j i na a ≤<≤-∏表示12,,...n a a a 这n 个数的所有可能的差i j a a -（1j i n ≤<≤）的乘积（2n ≥）[2].2.2 Vandermonde 行列式的证法方法一：消元法（降阶法）[3]证明 从第n 行开始，每一行加上前一行的1a -倍，根据行列式的性质可知行列式的值不变，此时有n V =)()(...)(0)()(...)(0............... (01)1...111211211222131131123211112a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a n n n n n n n n n n n n n n n n -------------------- 再按行列式首项展开得：n V =1·)()(...)()()(...)(......... (121121)1222131131123211112a a aa a aa a aa a a a a a a a a a a a a a a n n nn n n n n n n n n n n n n --------------------各列提公因式得：n V =21111()...()()n n a a a a a a ----·2313333231222223111...11........................n nn n n n n nn n n n n na a a a a a a a a a a a ----------- 注意到行列式2313333231222223111...11........................n nn n n n n nn n n n n na a a a a a a a a a a a -----------是1n -阶Vandermonde 行列式1-n V ，即已经将n V 用1-n V 表示出来,降了一阶，并且少了一元1a .重复用上述方法对1-n V 再进行求解，经过有限步则可以得到：1n V -=（(21a a -)…111()()n n a a a a ---）·(()32122()...()n n a a a a a a ----)…(1n n a a --) =1()i j j i na a ≤<≤-∏即证.方法二：数学归纳法[4] 证明 （1）当2n =时, 221121 1 V a a a a ==-成立.（2）假设对于1n -阶成立，则对于n 阶，首先构造一个辅助的n 阶行列式： 11-n 112112212221121)(11 1 1------=n n n n n n x xa a a xa a a xa a a V显然，n aV V n =)(，将)(x V 按第n 列展开，得：1)(=x V ·n A 1x +·n A 22x +·13-++n n x A ·nn A其中),,2,1(n i A in =是行列式)(x V 中元素),,2,1(1n i x a i in ==-的代数余子式，且不含x ，因此可知)(x V 是一个n-1次的多项式，它的最高次1-n x 的系数是nn A ，按定义知11)1(--+=-=n n n n nn V V A .另一方面，根据行列式的性质知121,,-n a a a 是)(x V 的n-1个根，根据多项式的理论，得：)())((1211)(-----=n n x a x a x a x V V取n a x =代入，得：)())((1211)(-----=n n n n n x a a a a a a V V即 )())((1211-----=n n n n n n a a a a a a V V根据归纳假设，1-n V =11()i j j i n a a ≤<≤--∏，因此n V =1()i j j i na a ≤<≤-∏.由（1）（2）结论得证.3 Vandermonde 行列式的性质3.1 Vandermonde 行列式的翻转与变形n V =121111211...1..................n n n n nx x x x x x ---(1)将Vandermonde 行列式逆时针旋转90，得11(1)11211111(1)1n nn n n n n n n n x x x x V x x ------=-.(2)将Vandermonde 行列式顺时针旋转90，得1111(1)222111(1)1n n n n n n nn x x x x V x x ----=-.(3)将Vandermonde 行列式旋转180，得1111111111n n n n n n n x x x V x x x -----=.3.2 Vandermonde 行列式为0的充分必要条件一个Vandermonde 行列式121111211...1..................nn n n na a a a a a ---为0的充分必要条件是：12,,,n a a a 这n 个数中至少有两个相等.3.3 Vandermonde 行列式推广的性质定理行列式()n k V =122221211112111121211...1.......................................nnk k k n k k k nnn n nx x x x x x x x x x x x x x x ---+++=1212......n k n kp p p p p p x x x --∑·V (k=0,1,2…n -1)其中符号“()n k V ”中的下标“n ”表示n 阶行列式，“(k)”表示仅缺少的k 次方幂元素行；12,...n k p p p -是1,2,...n 中（n k -）个数的一个正序排列；12...n kp p p -∑表示对所有（n k -）阶排列求和；1(x -x )i j j i nV ≤<≤=∏[5].证明 （i ）在行列式()1,2(...)n k n V x x x 中增补第（1k +）行和（1n +）列相应的元素，考虑（1n +）阶Vandermonde 行列式1211111212121111121211...11.....................()(,...,)........................n k k k k nn k k k k nk k k k nnn n nnx x x x x x x x f x V x x x x x x x x x x x x x x x x ----++++===213111()()()()n x x x x x x x x ----·))(()(2223x x x x x x n --- ·… … … … ))((11----n n n x x x x · ()n x x -=12()()...()n x x x x x x ---·1()i j j i nx x ≤<≤-∏(ii)由上式的两端分别计算多项式k x 中项的系数.在上式左端，由行列式 计算k x 的系数为：行列式中该元素对应的代数余子式(1)k n +-·()n k V ，在上式右端，由多项式计算知12,,...,n x x x 为()0f x =的n 个不同根，根据根与系数的关系，k x 项的系数为：(1)n k n k a --=-·1212,......n k n kp p p p p p x x x --∑·1(x -x )i j j i n≤<≤∏(k=0,1,2…n -1)其中12,...n k p p p -是1，2…n 中（n k -）个数的一个正序排列，12,...n kp p p -∑表示对所有（n k -）阶排列求和.（iii ）比较)(x f 中k x 项的系数，计算行列式)(k n V .因为(*)式左右两端k x 项系数应该相等，所以(1)k n +-·)(k n V (1)n k -=-·1212,......n k n kp p p p p p x x x --∑·1(x -x )i j j i n≤<≤∏，则1212(),......n k n kn k p p p p p p V x x x --=∑·1(x -x )i j j i n≤<≤∏1212......n k n kp p p p p p x x x --=∑·V (k=0,1,2…n -1)定理得证.4 Vandermonde 行列式的应用4.1 Vandermonde 行列式在行列式计算中的应用4.1.1 计算准Vandermonde 行列式利用Vandermonde 行列式推广的性质定理可以计算各阶准Vandermonde 行列式（缺行的Vandermonde 行列式也叫做超Vandermonde 行列式或准Vandermon -de 行列式），简便易行[6].特别地，当k n =时，令0p =1，()n k V 即为Vandermonde 行列式n V .例1 计算准Vandermonde 行列式1234562222221234566(3)444444123456555555123456666666123456111111a a a a a a a a a a a a V a a a a a a a a a a a a a a a a a a =解 由定理，n =6,k =3,所以 1231236(3)p p p p p p V aa a =∑·∏≤<≤-61)(i j j ia a=123124456(...)a a a a a a a a a +++·∏≤<≤-61)(i j j ia a4.1.2 计算特殊的行列式Vandermonde 行列式在行列式计算中的应用，除了应用其推广的性质定理来计算各阶准Vandermonde 行列式之外，还可以用以下一些方法来计算某些类似Vandermonde 行列式的特殊的行列式.（1）法一: 所给行列式各行（列）都是某元素的不同方幂，但其方幂次数或其排列与Vandermonde 行列式不完全相同，需利用行列的性质（如提取公因式，调换各行（列）的次序等）将其化为Vandermonde 行列式[7].例2 计算n 阶行列式n nn n n n D 22222111=解 n D 1212122211111!--=n n n n n n)1()13)(12(!---=n n ·)]1([)2()24)(23(-----n n n!n =·)!1(-n ·)!2(-n ·!2·!1（2）法二：利用行列式性质，改变原行列式中的元素，产生以新元素为行（列）的Vandermonde 行列式.例3 计算)1(+n 阶行列式n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n nn b b a b a b a a b b a b a b a a b b a b a b a a D 1111212111112122222221221111212111111+-+++-++-++------+=其中0≠i b ，0≠i a ，（1,,2,1+=n i ）解 提取1+n D 各行的公因式，得：n n n n n a a a D 211=+·11222211111)(1)(1)(1---n n n nnn n a b a b a b a b a b a b （Vandermonde 行列式）上式右端的行列式是以新元素112211,,,++n n a b a b a b 为列元素的1+n 阶Vandermonde 行列式，所以：1+n D =n nn n a a a 21·∏+≤<≤-11)(n i j j jii a b a b（3）法三：如n 阶行列式n D 的第i 行（列）由两个分行（列）所组成，其中任意相邻两行（列）均含有相同分行（列），且n D 中含有n 个分行（列）组成的Vandermonde 行列式，那么将n D 的第i 行（列）乘以（1-）加到（1+i ）行（列），消除一些分行（列），即可化成Vandermonde 行列式[8].例4 计算行列式△4=434233322322213124243232221214321sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin 1sin 1sin 1sin 11111ϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕ++++++++++++解 在△4的第2行中去掉与第一行成比例的分行，得到△4=434233322322213124243232221214321sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin 1111ϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕ++++++++在上面行列式的第3行中去掉与第2行成比例的分行，得到一个新的行列式，在此新行列式的第4行中去掉与第3行成比例的分行，得:△4=4333232134********321sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin 1111ϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕ=∏≤<≤-41)sin (sin i j j i ϕϕ（4）法四：行列式中其他各行（列）都是元素的不同方幂，只有一行（列）的元素不是相应元素的零次幂（即该行（列）元素都不是1），而是各行（列）元素的函数，利用行列式的性质将这一行（列）元素化为全是1的元素.例5 证明△3=ba a c cbc b a cb a +++222证明 将△3的第1行加到第3行上，得到△3=c b a c b a c b a c b a cba++++++222=222111)(c b a c b a c b a ++ ))()()((b c a c a b c b a ---++=4.2 Vandermonde 行列式在多项式与向量空间中的应用在线性方程组中，Cramer 法则有着非常重要的作用，它给出了一类重要的线性方程组的解的存在唯一性.而在许多行列式的计算与证明中，Vandermonde 行列式又是一个十分重要的行列式.两个如此“重要”的数学元素相结合，其产生的作用将更重要.Vandermonde 行列式在多项式与向量空间中的应用，主要就是结合Cramer 法则来证明相关的问题[9].下面一起来看几个典型的例子. 4.2.1 Vandermonde 行列式在多项式中的应用例6 证明一个n 次多项式至多有n 个互异的根. 证明 用反证法.设n n x a x a x a a x f ++++= 2210)(有n+1个互异的根，分别为：121 , , ,+n x x x ，则有：0)(2210=++++=n i n i i i x a x a x a a x f （11+≤≤n i ）即⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=++++=++++=+++++++000122111022221201221110n n n n n n nn na x a x a x a a x a x a x a a x a x a x a这个关于n a a a , , ,10 的齐次线性方程组的系数行列式是一个Vandermonde 行列式:0)( 11 111121!22221211≠-=∏+≤<≤+++n i j j in n n n n nx xx x x x x x x x x则由Cramer法则知该方程组只有零解，即0210=====n a a a a ，而n 次多项式)(x f 的最高次项的系数n a 是不为零的.这个矛盾表明)(x f 至多有n 个互异的根.例7 设多项式n k n k k x a x a x a x f +++= 2121)(，0≠i a ， j i k k ≠，j i ≠，},,2,1{,n j i ∈，则)(x f 不可能有非零且重数大于1-n 的根.证明 用反证法.设0≠α是)(x f 的重数大于1-n 的根，则0)(,,0)(,0)()1('===-αααn ff f进而有0)(,,0)(,0)()1(1'===--αααααn n ff f即：⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=+--+++--++--=+++=+++0)2()1()2()1()2()1(0021212122221111221121n n n k n n nn k k k n n kk k n k k a n k k k a n k k k a n k k k a k a k a k a a a ααααααααα 把上式看作是以n k n k k a a a ααα，，， 2121为未知量的齐次线性方程组，则其系数行列式为：)2()1()2()1()2()1()1()1()1(111222111221121+--+--+-----n k k k n k k k n k k k k k k k k k k k k n n n n n n1121121111---=n nn n n k k k k k k∏≤<≤≠-=ni j j ik k10)(由Cramer 法则知上面的齐次线性方程组只有零解，从而),,2,1(,0n i a k i ==α因为0≠i a ，所以必须0=α，这与假设0≠α矛盾，故)(x f 没有非零且重数大于1-n 的根.例8 证明：对于平面上n 个点),(i i b a （n a a a n i , , , , 121 ≤≤互不相等），必存在唯一的一个次数不超过n-1的多项式)(x f 通过这n 个点， 即 i i b a f =)()(1 n i ≤≤.分析 要证明n 个等式成立，也就是要证明n 个方程组成的方程组有解，很自然地会想到Cramer 法则，再根据系数行列式的特点，考虑用Vandermonde 行列式的结论.证明 设n n n n c x c x c x c x f ++++=---12211)( ，要使)(1 )(n i b a f i i ≤≤=，即满足关于n c c c , , , 21 的线性方程组：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=++++=++++=++++---------n n n n n n n n n n n n n n n n bc c a c a c a b c c a c a c a b c c a c a c a 12211212222112111221111该方程组的系数行列式为Vandermonde 行列式：111212221212111n n n n n n n n n a a a a a a a a a------，当n a a a , , , 21 互不相等时，该行列式不为0，由Cramer 法则知方程组有唯一解，即对于平面上n 个点),(i i b a （n a a a n i , , , , 121 ≤≤互不相等），必存在唯一的一个次数不超过n-1的多项式)(x f 通过这n 个点. 4.2.2 Vandermonde 行列式在向量空间中的应用例9 设n t t t 21 ,是互不相同的实数，证明向量组（12, , ,1-n i i i t t t ）i=1,2,…n 是n 维向量空间n R 中的一个基.证明 只需证明12, , ,1-n i i i t t t 线性无关即可.令 ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=---12122221121121 1 1 1 n m m m n n n t t t t t t t t t a a a A ， 因为n t t t 21 ,是互不相同的实数，所以 0)(1≠-==∑≤<≤ni j j iT t tA A ，故12, , ,1-n i i i t t t （i=1,2,…n ）线性无关，是n 维向量空间n R 中的一个基.例10 C[a,b]={f(x)|f(x)是定义在[a,b]上的连续实函数}，证明 C[a,b]是R 上的向量空间.证明 我们知道，C[a,b]是R 上的无限维向量空间，要证该结论，只需对任意的正整数n ，可证得n x x x , , ,12线性无关即可.设R k k k k n ∈∃, , , , 210 ，使得02210=++++n n x k x k x k k取n+1个实数121, , , +n c c c ，使得b c c c a n ≤<<<≤+121 ，则由上式知：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=++++=++++=+++++++00121211022222101212110n n n n n nn nn c k c k c k k c k c k c k k c k c k c k k 即A ·⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛0 00 10 n k k k ， 其中⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=+++n n n n nn c c c c c c c c c A 121122221211 1 1 1 而0)(det 11≠-==∏+≤<≤n i j j i c c A A ，则A 可逆，用1-A 左乘A ·⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛0 00 10 n k k k 的两端，得：0210=====n k k k k ，所以n x x x , , ,12线性无关. 故C[a,b]是R 上的向量空间，且是R 上的无限维向量空间.例11 设0dim >=n V F （即V 的维数为n ），存在集合V S ⊆， 使S 含无穷多个向量，且S 中任意n 个不同的向量都是V 的一个基.证明 设n ααα, , , 21 是V 的一个基，令{}F k k k k S n n ∈+++==-|13221αααα ，n n k k k k ααααβ13221-++++= ，让n k k k , , , 21 互不相同，则⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=---11211222212121 1 11), , , (), , , (21n n n n nn n k k k k k k k k k k k k n αααβββ由于⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=---112112222121 1 11n n n n nn k k k k k k k k k T ，其行列式是Vandermonde 行列式，即0)(det 1≠-==∏≤<≤ni j j ik kT T ，故), , , (21n k k k βββ 线性无关，是V 的一个基，且S 中含无穷多个向量.当然，Vandermonde 行列式与Cramer 法则相结合的应用远不仅此，二者还可用于求缺项)11( -≤≤n k x k 的多项式的表达式、Lagrange 插值公式的推导等，还可与泰勒公式相结合来证明有关高阶微积分的问题，因所需的专业 知识较深、综合性较强、推导计算等过程较复杂，这里不作研究.5 小结以上我们在回顾行列式相关知识的基础上，进一步比较系统地阐述了Vandermonde 行列式的一些重要性质与其在行列式计算、多项式、向量空间中的基本应用等知识，使得我们对vandermonde 行列式进一步加深了解与应用.在本文的撰写中，我通过查阅大量文献，在各代数学家研究的理论基础上选择并总结了适合大学生学习与应用的部分，通过举例向大家具体呈现了Vandermonde 行列式的应用方法，同时开阔了自己的数学视野，培养了发散思维能力与科研素养，为今后继续对行列式及vandermonde 行列式更深层次、更复杂层次的相关研究做铺垫.对于第一次论文的撰写，难免有纰漏，望老师提出宝贵的意见，以便更好地为我们的学习、科研和生活服务.参考文献[1] 张贤科，许甫华.高等代数[M].北京:清华大学出版社,1998年4月:102.[2] 王萼芳，石生明.高等代数[M].北京:高等教育出版社.2003年6月:79-81.[3] 李师正.高等代数解题方法与技巧[M].北京:高等教育出版社.2004年7月:95-96.[4] 张禾瑞，郝炳新. 高等代数[M].北京:高等教育出版社.1999年5月:119-120.[5] 黄玉蝉.多项式、线性方程组及Vandermonde行列式的相互应用[J].济南大学学报.1994(2):4-6.[6] 刘建中.范德蒙德行列式的一个性质的证明及其应用[J].河北大学学报（自然科学版）.2000(4):8-10.[7] 袁旭华，杨海文，赵耀峰.几种类Vandermonde行列式的计算[J].延安大学学报（自然科学版）.2006(1):7-9.[8] 王新长.Vandermonde行列式在高等代数中的应用[J].井冈山师范学院学报（自然科学版）.2002(3):3-5.[9] 宴林.范德蒙行列式的应用[J].文山师范高等专科学校学报.2001(2):10-13.谢辞在论文的选题及撰写过程中得到我的指导教师的悉心指导，在此表示衷心的感谢！李老师严谨治学的态度使我受益匪浅，在论文写作的这段时间里,她时刻关心着我的论文完成情况,并时常给我指出论文中的缺点和需要改进的地方,并指导我如何查找资料，使得我最后顺利完成论文.同时感谢其他所有帮助过我的老师、同学以及一起努力过的朋友.。

范德蒙行列式的推广及其在教学中的应用
范德蒙行列式的推广及其在教学中的应用
德蒙行列式是一种正交化处理方法，它也称作正交行列式。

它主要用于调整数据，使相应的变量之间形成一种平行关系。

在统计学中，德蒙行列式也称作正交因子分析的主成分分析。

范德蒙行列式是德蒙行式的一种推广，它将行列式的变量和系数扩展到多个变量之间形成多列。

范德蒙行列式对调整数据更有效，因为它考虑了多个变量之间的相互关系。

范德蒙行列式可以更好地探索数据集中的不同变量的关系。

此外，它还能估计出一个变量的综合指标，以衡量该变量出现的频率。

教学中，范德蒙行列式可以用于解释数据库中的复杂关系，帮助学生了解两个或多个变量之间的精确关系。

此外，该方法还可以建立一个可以衡量多个变量相互影响程度的联合指标，帮助学生更有效地理解多变量数据集和使用数据来测量其他变量时出现的潜在因素。

总体而言，范德蒙行列式可以提供有效的处理数据的方法，能够帮助学生学习多变量数据分析，解决复杂的理论问题。

它也可以用于教学过程中，帮助学生了解各种变量之间的关系，用数据形象化进行深入分析。

f范德蒙行列式-回复范德蒙行列式（Vandermonde determinant）是离散数学和线性代数中一种重要的行列式形式。

它由18世纪法国数学家亚历山大·范德蒙（Alexandre-Théophile Vandermonde）首次提出。

范德蒙行列式在数值计算、概率统计、多项式插值等领域中有广泛的应用。

本文将详细介绍范德蒙行列式的定义、性质以及应用。

一、范德蒙行列式的定义范德蒙行列式是指形如下面这样的行列式：\[V_n(x) = \begin{vmatrix}1 & x_1 & x_1^2 & \cdots & x_1^{n-1} \\1 & x_2 & x_2^2 & \cdots & x_2^{n-1} \\\vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\1 & x_n & x_n^2 & \cdots & x_n^{n-1} \\\end{vmatrix}\]其中，\(x_1, x_2, \ldots, x_n\)是n个实数或复数。

二、范德蒙行列式的性质范德蒙行列式具有以下几个重要的性质：1. 行互换性质：范德蒙行列式在交换任意两行（或列）的位置后，其值仍不变。

2. 行倍性性质：将范德蒙行列式的某一行（或列）乘以同一个数k后，其值变为原来的k倍。

3. 一阶行列式性质：当n=1时，范德蒙行列式为：\(V_1(x) = x_1\)。

4. 行列式的连乘性质：对于任意两个范德蒙行列式\(V_l(x_1, x_2, \ldots, x_l)\)和\(V_m(x_1, x_2, \ldots, x_m)\)，它们的连乘形式为：\[V_{l+m}(x_1, x_2, \ldots, x_l, x_{l+1}, \ldots, x_{l+m}) = V_l(x_1, x_2, \ldots, x_l) \cdot V_m(x_1, x_2, \ldots, x_m)\]三、范德蒙行列式的计算方法1. 当n=1时，\(V_1(x) = x_1\)。

范德蒙的行列式摘要：一、范德蒙行列式的定义二、范德蒙行列式的性质1.行列式与其转置行列式之间的关系2.行列式的可逆性3.行列式的乘积性质三、范德蒙行列式的计算方法1.递推法2.矩阵的行列式公式3.扩展行列式公式四、范德蒙行列式在数学中的应用1.线性方程组的求解2.矩阵的逆矩阵求解3.矩阵的LU 分解五、范德蒙行列式的推广1.范德蒙行列式的更高阶数2.带标号的范德蒙行列式正文：范德蒙行列式是一种特殊的行列式，它是以法国数学家范德蒙命名的。

范德蒙行列式具有很多重要的性质和应用，下面我们来详细了解一下。

一、范德蒙行列式的定义范德蒙行列式是一个n 阶行列式，它的定义如下：|A| = a11 * a22 * ...* ann- a12 * a21 * ...* an1+ a13 * a22 * ...* an2- a14 * a23 * ...* an3+ ...+ (-1)^(n-1) * a1n * a2n-1 * ...* ann其中，a11, a12, ..., ann 是矩阵A 的主对角线元素，a12, a21, ..., an1 是矩阵A 的次对角线元素，以此类推。

二、范德蒙行列式的性质1.行列式与其转置行列式之间的关系范德蒙行列式的转置行列式等于其本身，即|A| = |A^T|。

2.行列式的可逆性当且仅当矩阵A 可逆时，范德蒙行列式不为零。

3.行列式的乘积性质设矩阵A 和矩阵B 都是n 阶矩阵，则有|AB| = |A| * |B|。

三、范德蒙行列式的计算方法1.递推法对于n 阶矩阵A，我们可以通过递推的方式计算范德蒙行列式。

具体来说，我们可以先计算出n-1 阶矩阵A"的范德蒙行列式，然后用主对角线元素和次对角线元素的关系来计算n 阶矩阵A 的范德蒙行列式。

2.矩阵的行列式公式根据矩阵的行列式公式，我们可以直接计算出范德蒙行列式。

3.扩展行列式公式通过扩展行列式公式，我们也可以计算范德蒙行列式。

vandermonde行列式的一个推广及其在初等数学中的应用
拉斐尔·范德蒙德（Rafael de laVandermonde）是一位法国数学家，他发明了一种矩阵，被称为范德蒙德矩阵（Vandermonde Matrix）。

范德蒙德矩阵是一种特殊的矩阵，它的每一行都是一个等差数列，每一列都是一个等比数列。

它的行列式可以用来计算一组数字的组合数。

范德蒙德矩阵的一个推广是多项式矩阵，它是一种特殊的范德蒙德矩阵，它的每一行都是一个多项式，每一列都是一个多项式的系数。

多项式矩阵的行列式可以用来计算一组多项式的组合数。

范德蒙德矩阵和多项式矩阵在初等数学中有着广泛的应用。

它们可以用来计算一组数字或多项式的组合数，这在求解多项式方程时非常有用。

此外，它们还可以用来计算组合数学中的组合数，以及概率论中的概率分布。

总之，范德蒙德矩阵和多项式矩阵是一种特殊的矩阵，它们的行列式可以用来计算一组数字或多项式的组合数，在初等数学中有着广泛的应用。