巧解生活中的双曲线问题

双曲线实际应用生活馆张献锋双曲线来自于生活，又服务于生活。

利用双曲线方程可以解决生活中许多实际问题，本文举两例加以说明，供同学们赏析。

1.小李的手机在哪里例1小李真是个小马虎，一不小心把手机丢了，这可是花了整整5400元买的手机呀，小李心急如焚，立即报告给了相距10am的两个派出所。

而那位拾手机者同时使用了手机。

A、B两个派出所的监听仪器听到手机发声的时间差为6s，且B处的声强是A处声强的4倍（设声速为am/s，声强与距离的平方成反比），试确定持手机者的位置。

解析：如图1，以A、B的中点0为原点，直线AB为x轴建立坐标系，则A、B的坐标分别为A（-5a，0）、B（5a，0）。

由于A、B两派出所监听器听到手机发声的时间差为6s，知手机位置点P在双曲线可知手机位置点P到AB中点的距离|OP|为√65am，而∠POB的正切值是所以只要锁定点P位置就能很快找到拾手机者。

评注：本问题利用坐标法将实际问题转化为数学问题，借助双曲线和圆使实际问题得到解决。

想一想：双曲线和圆的方程是怎样建立起来的？是利用题目中哪些已知条件建立起来的？2.如何搜救航天员例2“神舟九号”飞船返回仓顺利到达地球后，为了及时将航天员安全接出，地面指挥中心在返回仓预计到达区域安排了三个救援中心（记为A，B，C），A在B的正东方向，相距6km，C在B的北偏西30°方向，相距4km，P为航天员着陆点。

某一時刻，A接收到P的求救信号，由于B，C两地比A地距P远，在此4s后，B，C两个救援中心才同时接收到这一信号。

已知该信号的传播速度为1km/s，求在A地发现P的方位角。

解析：由“A接收到P的求救信号的时间比其他两个救援中心早4s”能否得到|PB|与|PA|的差为定值？是否说明点P在以A、B为焦点的双曲线的一支，上？因为|PC|=|PB|，所以P在线段BC的垂直平分线上。

又因为|PB|-|PA|=4，所以P在以A，B为焦点的双曲线的右支上。

双曲线大题解题思路
求解双曲线大题的思路如下：
1. 确定双曲线的方程形式：双曲线的一般方程形式为Ax^2 - By^2 = C，其中A、B和C为常数。

根据具体题目给出的信息，确定双曲线的方程形式。

2. 判断双曲线的类型：根据方程中A和B的值的正负情况来判断双曲线的类型。

当A和B同号时，双曲线的轴在x轴和y轴上；当A和B异号时，双曲线的轴不在坐标轴上。

3. 确定双曲线的中心和焦点：通过对方程进行标准化处理，将其转化为标准方程形式，可以得到双曲线的中心和焦点的位置。

4. 确定双曲线的渐近线：根据方程中A和B的值，可以确定双曲线的渐近线的位置和方程。

5. 确定双曲线的顶点和准线：根据方程中的参数，可以确定双曲线的顶点和准线的位置。

6. 确定双曲线的图像特征：根据方程中的参数，可以确定双曲线的离心率、焦距等图像特征。

7. 绘制双曲线的图像：根据确定的各个参数，可以绘制双曲线的图像，并且通过图像来验证之前的计算结果。

以上是求解双曲线大题的一般思路，具体问题具体分析，根据题目给出的条件和要求进行相应的推导和计算。

高中数学：双曲线难题,3个技巧全破解!
“老师，怎么判断焦点在x轴，还是y轴呢？”
“老师，焦点到底怎么求啊？”
“老师，这个圆锥的双曲线方程我做对了吗？”
……
同学们的问题太多了，但是这些问题我在课堂上讲了无数次了，当时他们个个都说听懂了，但是，一下课后还是不会做，我也真是头疼。

“老师，双曲线这部分的内容，同学们都觉得很难，您可不可以帮我们简要的归纳一下，我们自己看啊？”保障来到办公室对我说。

“其实您在课堂上讲的时候，大家真的都听懂了，但是一做题还是不会，可能是我们没有掌握到。

”
看着一身瘦削的班长渴望的眼神，心里便不禁地颤抖了一下子。

现在的题目真的是越来越难了，孩子们学习起来的确是吃力。

为了帮助孩子们更好的学习，我应了班长的请求，去收集了历年关于双曲线的高考题，分析了其中的重点和关键，给同学们做了归纳。

关于高中数学中的双曲线考题，一般情况下只有三种形式，这三种形式分别用三个方法即可解答，分别是：直接法、定义法、待定系数法。

在高中数学的双曲线部分，双曲线的标准方程是主要的点，常考的题目是求实半轴长、虚半轴长，所以这个部分大家一定要掌握。

高中数学中的双曲线，虽然说考题很多，也经常做了很多练习，但我只是想要让通许们能够把知识掌握牢固、运用熟练，其实要考的点并不是很多，主要就是这三个题目，所以，请同学们一定要掌握好。

现在，一学期又要完了，希望同学们在最后阶段能够成功冲刺，考出高分。

双曲线大题解题思路摘要：1.双曲线概念及性质回顾2.双曲线大题常见类型与解题思路3.解题技巧与策略4.实例分析与解答正文：在高中数学中，双曲线是一个重要的几何对象，其性质和应用广泛，高考中也常常出现相关的大题。

为了更好地应对这类题目，下面我们将对双曲线大题的解题思路进行梳理。

一、双曲线概念及性质回顾双曲线是一个平面曲线，它的每个点到两个给定点的距离之差等于一个常数。

这个常数称为双曲线的离心率。

根据离心率的不同，双曲线可以分为两类：椭圆、双曲线和抛物线。

双曲线具有以下几个重要性质：1.双曲线的两个焦点距离为定值，记作2c。

2.双曲线的离心率e（0<e<1）与焦距之间的关系：e = c/a，其中a为双曲线的半轴长。

3.双曲线的渐近线方程为y = ±(b/a)x，其中b为双曲线的半焦距。

二、双曲线大题常见类型与解题思路1.求解双曲线方程：根据题意，通过待定系数法、椭圆与双曲线性质转化等方法求解双曲线方程。

2.求解双曲线焦点坐标、离心率：利用双曲线性质，建立方程组求解。

3.探究双曲线与直线的位置关系：分析直线的斜率、截距与双曲线的关系，判断直线与双曲线的位置关系。

4.双曲线与参数方程：将双曲线方程转化为参数方程，利用参数方程求解问题。

5.双曲线与几何变换：平移、旋转等几何变换对双曲线性质的影响。

三、解题技巧与策略1.熟悉双曲线性质，善于转化和灵活运用。

2.分类讨论思想：根据题目的特点，对不同情况进行分类讨论。

3.数形结合：结合图形，直观分析问题。

4.方程与不等式：熟练掌握双曲线与方程、不等式的关系。

四、实例分析与解答以下为一个高考真题实例：已知双曲线方程为x^2/a^2 - y^2/b^2 = 1，其中a>b>0，点P(x, y)在双曲线上，且满足x + y = 2。

求点P到双曲线左焦点的距离。

解析：根据双曲线方程，可以得到a、b、c的关系，进而求得左焦点坐标。

将点P的坐标代入距离公式，即可求得答案。

双曲线解题技巧
嘿，朋友们！今天咱就来好好唠唠双曲线解题技巧这个超级有趣的话题！
咱就拿这个例子来说哈，已知双曲线方程，让咱求它的焦点坐标。

哎呀，这可咋整呢？别急呀！你得先把方程转化成标准形式，就像给它整了个容一样，让它更好看更清楚嘛！这不，一下就找到关键信息了。

比如说，方程里的 a、b 值，那可太重要啦！
然后呢，再想想，双曲线的性质咱得掌握吧！它就像一个有个性的家伙，有着独特的特点呢。

好比说渐近线，那可是双曲线的标志性特征呀！就像每个人都有自己独特的标志一样。

在解题的时候，你得跟双曲线培养感情呀！不能硬邦邦地去对待它。

就
像你跟好朋友相处，得用心去了解呀！比如说，看到一个条件，得马上联想到它背后隐藏的那些知识点，哎呀，这不是明摆着的嘛！
再看看这个例子，求双曲线与直线的交点，别急着下手呀！得先分析分
析它们的关系，是相切呀还是相交呀，这可大有讲究呢！要是没搞清楚就贸然行动，那可不行哟！
哎呀呀，其实双曲线解题技巧就像一把钥匙，能打开好多难题的大门呢！只要咱用心去琢磨，去和它打交道，还怕搞不定它？我的观点就是，只要认真学，多练习，就没有搞不定的双曲线题！加油吧，朋友们！。

双曲线曲线解题技巧和方法综合(经典)1.概述本文将介绍双曲线曲线解题的经典技巧和方法。

双曲线是数学中常见的曲线类型，解题时需要掌握一些基本的技巧和方法。

2.双曲线的特点双曲线的方程通常具有以下形式：\[x^2/a^2 - y^2/b^2 = 1\] 或\[x^2/a^2 - y^2/b^2 = -1\]，其中\(a\)和\(b\)是常数。

双曲线的特点包括：- 双曲线在原点有渐近线，其方程为\(y = \pm \frac{b}{a}x\)。

可以利用渐近线的存在来确定双曲线的位置和形状。

- 双曲线有两条对称轴，分别与\(x\)轴和\(y\)轴重合。

对称轴可用于确定双曲线的中心和方向。

- 双曲线的焦点和准线也是其重要特征，通过计算焦点和准线的位置，可以更好地理解双曲线的性质。

3.双曲线的解题技巧和方法在解题过程中，可以采用以下技巧和方法来处理双曲线相关的问题：3.1 理解双曲线的方程对于给定的双曲线方程，首先要理解其形式和性质。

通过观察方程中的系数和常数项，可以判断曲线的形状、中心、方向等属性。

3.2 确定渐近线和对称轴根据双曲线方程，可以计算出渐近线和对称轴的方程。

这些信息有助于确定双曲线的位置和形状。

3.3 计算焦点和准线双曲线的焦点和准线是其重要特征，可以通过一定的计算方法来确定它们的位置。

焦点和准线的位置可以进一步帮助理解双曲线的性质。

3.4 利用基本的几何关系在解题过程中，利用双曲线的基本几何关系是很有用的。

例如，通过确定曲线上的特定点的坐标，可以计算出其他关键点的坐标。

4.实例分析为了更好地理解双曲线解题的技巧和方法，这里给出一个实例分析。

例题：已知双曲线方程为\(\frac{{x^2}}{{9}} - \frac{{y^2}}{{4}} = 1\)，求出焦点和准线的位置，并画出曲线的草图。

解析：通过观察方程，可以确定该双曲线的中心为原点，横轴上的半轴长为3，纵轴上的半轴长为2。

利用方程可以计算出焦点的位置为\((\pm3, 0)\)，准线的位置为\(y = \pm\frac{2}{3}x\)。

双曲线解题方法技巧
1. 嘿，双曲线解题可不能瞎碰运气呀！就像找宝藏要有地图一样。

比如给你个双曲线方程，那你是不是得先找出它的中心呀！这可太关键啦！就好比去一个陌生地方先得找到它的中心位置一样。

2. 哇塞，在解双曲线问题时，渐近线可是个大宝贝啊！你不利用它那可太亏啦！比如说，通过渐近线能迅速判断曲线的大致走向，这难道不神奇嘛！就像通过蛛丝马迹就能知道事情的发展方向。

3. 嘿哟，计算双曲线的离心率可别马虎呀！这可是反映双曲线“胖瘦”的关键。

举个例子，离心率大的双曲线那可就“瘦瘦”的，反之就“胖胖”的，是不是很形象呀！
4. 哎呀呀，遇到双曲线的焦点问题可别发怵！把焦点当成指引方向的灯塔呀！比如说根据焦点就能确定很多关键信息，就像有了灯塔船就不会迷失方向一样。

5. 哇哦，双曲线的定义可别小瞧呀！它能帮你解决大问题呢！举个例子，根据定义能很快判断某些点是否在双曲线上，多省事呀！
6. 嘿嘿，求解双曲线的最值问题的时候要动动脑筋呀！这就像是打游戏冲关一样刺激呢！比如说可以通过巧妙转化来求出最值，多有意思呀！
我的观点结论：双曲线解题方法技巧真的很有趣也很实用呀，掌握了这些，面对双曲线问题就不会头疼啦！。

双曲线在生活中的应用
双曲线在生活中的应用
双曲线，是由椭圆推广而来的，是椭圆的广义，它虽然并不是一个围绕着坐标系一个椭圆的形状，但它仍然有椭圆的特征，被用于各种各样的生活中的应用。

1、双曲线应用于艺术设计。

双曲线在许多艺术设计中有着重要的地位。

例如，在服装设计中，双曲线是一个重要的部分，它可以用来表现女性魅力，给人以浪漫的感觉。

也可以将双曲线用于汽车、建筑等设计方面，为它们增添美感。

2、双曲线用于射线检测。

双曲线可以用于射线检测，如电子射线检测技术。

它能够有效地检查出分子、细胞等天然结构中的不规则图形，以探测特定的病灶。

双曲线也可以用于台球游戏中的拍照定位，实现球袋和桌面的精准定位。

3、双曲线应用于数据拟合。

双曲线可以用于数据拟合，给出更准确的数据理解，以便对数据进行分析和改进。

例如，可以根据双曲线，快速估计和拟合温度和湿度的变化趋势，实现对室内环境的优化。

4、双曲线在核工业中应用。

双曲线不仅可以用于艺术设计，也可以用于核工业。

例如，在核反应堆技术中，双曲线可以用来模拟核反应的反应原子运动轨迹和反应物的变化趋势。

它还可以应用于医疗影像诊断，用于检测和诊断病
人的器官疾病。

总之，双曲线在生活中有着很多重要的应用，它既可以实现艺术美感，又可以应用于科学技术，为人们生活增添舒适和便利。

巧解生活中的双曲线问题圆锥曲线在日常生产和生活中的应用非常广泛，为解决这些实际应用问题，首先要把实际问题数学化，即根据题目给出的文字、数据、图形、现象等各种信息，将实际问题抽象为数学问题，并用数学语言将其表达出来；其次，利用已有的数学知识，选择适当的数学方法，求出数学模型的解；最后对解答结果进行说明并验证其准确性，看其是否符合实际。

例1 一炮弹在某处爆炸，在1(5000,0)F -处听到爆炸声的时间比在2(5000,0)F 处晚30017s，已知坐标轴的单位长度为1m ，声速为340/m s ，爆炸点应在什么样的曲线上？并求爆炸点所在的曲线方程。

分析：可将听到爆炸声的时间差转化为爆炸点与两定点之间的距离差。

解析：由声速为340/m s 可知，1F 、2F 两处与爆炸点的距离差为3003406000()17m ⨯=，因此爆炸点在以1F 、2F 为焦点的双曲线上。

设爆炸点P 的坐标为(,)x y ，则126000PF PF -=， 即26000a =，∴3000a =，而5000c =，∴2222500030004000b =-=。

∵1260000PF PF -=>，∴0x >， ∴所以所求双曲线的方程为22221(0)30004000xyx -=>。

评注：在1F 处听到爆炸声的时间比在2F 处晚30017s，相当于爆炸点离1F 的距离比2F 远6000m ，这是解应用题的第一关——审题关；根据审题结合数学知识知爆炸点所在的曲线是双曲线，这是解应用题的第二关——文化关（用数学文化反映实际问题）；借助双曲线的标准方程写出爆炸点的轨迹方程是解决应用题的第三关——数学关（用数学知识解决第二关提出的问题）。

例2 如图所示，某村在P 有一堆肥，今要把此堆肥沿道路P A 或P B 送到成矩形的一块田A B C D 中去，已知100P A m =，150PB m =，60B C m =，060APB ∠=，能否在田中确定一条界线，使位于界线一侧的点沿道路P A 送肥较近，而另一侧的点则沿P B送肥较近？如果能，请说出这条界线是什么曲线，并求出它的方程。

《双曲线》典型例题12例典型例题一例1 讨论192522=-+-ky k x 表示何种圆锥曲线，它们有何共同特征． 分析：由于9≠k ，25≠k ，则k 的取值范围为9<k ，259<<k ，25<k ，分别进行讨论．解：（1）当9<k 时，025>-k ，09>-k ，所给方程表示椭圆，此时k a -=252，k b -=92，16222=-=b a c ，这些椭圆有共同的焦点（－4，0），（4，0）．（2）当259<<k 时，025>-k ，09<-k ，所给方程表示双曲线，此时，k a -=252，k b -=92，16222=+=b a c ，这些双曲线也有共同的焦点（－4，0），）（4，0）．（3）25<k ，9=k ，25=k 时，所给方程没有轨迹．说明：将具有共同焦点的一系列圆锥曲线，称为同焦点圆锥曲线系，不妨取一些k 值，画出其图形，体会一下几何图形所带给人们的美感．典型例题二例2 根据下列条件，求双曲线的标准方程．（1）过点⎪⎭⎫ ⎝⎛4153，P ，⎪⎭⎫⎝⎛-5316，Q 且焦点在坐标轴上． （2）6=c ，经过点（－5，2），焦点在x 轴上．（3）与双曲线141622=-y x 有相同焦点，且经过点()223， 解：（1）设双曲线方程为122=+ny m x ∵ P 、Q 两点在双曲线上，∴⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=+12592561162259nm n m 解得⎩⎨⎧=-=916n m∴所求双曲线方程为191622=+-y x 说明：采取以上“巧设”可以避免分两种情况讨论，得“巧求”的目的． （2）∵焦点在x 轴上，6=c ，∴设所求双曲线方程为：1622=--λλy x （其中60<<λ） ∵双曲线经过点（－5，2），∴16425=--λλ∴5=λ或30=λ（舍去）∴所求双曲线方程是1522=-y x说明：以上简单易行的方法给我们以明快、简捷的感觉．（3）设所求双曲线方程为：()160141622<<=+--λλλy x ∵双曲线过点()223，，∴1441618=++-λλ ∴4=λ或14-=λ（舍）∴所求双曲线方程为181222=-y x 说明：（1）注意到了与双曲线141622=-y x 有公共焦点的双曲线系方程为141622=+--λλy x 后，便有了以上巧妙的设法． （2）寻找一种简捷的方法，须有牢固的基础和一定的变通能力，这也是在我们教学中应该注重的一个重要方面．典型例题三例3 已知双曲线116922=-y x 的右焦点分别为1F 、2F ，点P 在双曲线上的左支上且3221=PF PF ，求21PF F∠的大小．分析：一般地，求一个角的大小，通常要解这个角所在的三角形． 解：∵点P 在双曲线的左支上 ∴621=-PF PF∴362212221=-+PF PF PF PF ∴1002221=+PF PF∵()100441222221=+==b a c F F ∴ 9021=∠PF F说明：（1）巧妙地将双曲线的定义应用于解题当中，使问题得以简单化． （2）题目的“点P 在双曲线的左支上”这个条件非常关键，应引起我们的重视，若将这一条件改为“点P 在双曲线上”结论如何改变呢？请读者试探索．典型例题四例 4 已知1F 、2F 是双曲线1422=-y x 的两个焦点，点P 在双曲线上且满足9021=∠PF F ，求21PF F ∆的面积．分析：利用双曲线的定义及21PF F ∆中的勾股定理可求21PF F ∆的面积．解：∵P 为双曲线1422=-y x 上的一个点且1F 、2F 为焦点．∴4221==-a PF PF ,52221==c F F ∵ 9021=∠PF F∴在21F PF Rt ∆中，202212221==+F F PF PF ∵()162212221221=-+=-PF PF PF PF PF PF∴1622021=-PF PF ∴221=⋅PF PF ∴1212121=⋅=∆PF PF S PF F说明：双曲线定义的应用在解题中起了关键性的作用．典型例题五例5 已知两点()051，-F 、()052，F ，求与它们的距离差的绝对值是6的点的轨迹．分析：问题的条件符合双曲线的定义，可利用双曲线定义直接求出动点轨迹． 解：根据双曲线定义，可知所求点的轨迹是双曲线． ∵5=c ，3=a∴16435222222==-=-=a c b∴所求方程116922=-y x 为动点的轨迹方程，且轨迹是双曲线． 说明：（1）若清楚了轨迹类型，则用定义直接求出其轨迹方程可避免用坐标法所带来的繁琐运算．（2）如遇到动点到两个定点距离之差的问题，一般可采用定义去解．典型例题六例6 在ABC ∆中，2=BC ，且A B C sin 21sin sin =-，求点A 的轨迹．分析：要求点A 的轨迹，需借助其轨迹方程，这就要涉及建立坐标系问题，如何建系呢？解：以BC 所在直线为x 轴，线段BC 的中垂线为y 轴建立平面直角坐标系，则()01，-B ，()01，C ．设()y x A ，，由A B C sin 21sin sin =-及正弦定理可得：121==-BC AC AB ∵2=BC∴点A 在以B 、C 为焦点的双曲线右支上设双曲线方程为：()0012222>>=-b a b y a x ， ∴12=a ，22=c ∴21=a ，1=c ∴43222=-=a c b ∴所求双曲线方程为134422=-y x ∵01>=-AC AB ∴21>x ∴点A 的轨迹是双曲线的一支上挖去了顶点的部分典型例题七例7 求下列动圆圆心M 的轨迹方程：（1）与⊙()2222=++y x C ：内切，且过点()02，A（2）与⊙()11221=-+y x C ：和⊙()41222=++y x C ：都外切．（3）与⊙()93221=++y x C ：外切，且与⊙()13222=+-y x C ：内切． 分析：这是圆与圆相切的问题，解题时要抓住关键点，即圆心与切点和关键线段，即半径与圆心距离．如果相切的⊙1C 、⊙2C 的半径为1r 、2r 且21r r >，则当它们外切时，2121r r O O +=；当它们内切时，2121r r O O -=．解题中要注意灵活运用双曲线的定义求出轨迹方程．解：设动圆M 的半径为r（1）∵⊙1C 与⊙M 内切，点A 在⊙C 外 ∴2-=r MC ，r MA =，2=-MC MA∴点M 的轨迹是以C 、A 为焦点的双曲线的左支，且有：22=a ，2=c ，27222=-=a c b ∴双曲线方程为()2172222-≤=-x y x （2）∵⊙M 与⊙1C 、⊙2C 都外切 ∴11+=r MC ，22+=r MC ，112=-MC MC∴点M 的轨迹是以2C 、1C 为焦点的双曲线的上支，且有：21=a ，1=c ，43222=-=a c b ∴所求的双曲线的方程为：⎪⎭⎫⎝⎛≥=-43134422y x y （3）∵⊙M 与⊙1C 外切，且与⊙2C 内切 ∴31+=r MC ，12-=r MC ，421=-MC MC∴点M 的轨迹是以1C 、2C 为焦点的双曲线的右支，且有：2=a ，3=c ，5222=-=a c b∴所求双曲线方程为：()215422≥=-x y x 说明：（1）“定义法”求动点轨迹是解析几何中解决点轨迹问题常用而重要的方法．（2）巧妙地应用“定义法”可使运算量大大减小，提高了解题的速度与质量．（3）通过以上题目的分析，我们体会到了，灵活准确地选择适当的方法解决问题是我们无休止的追求目标．典型例题八例8 在周长为48的直角三角形MPN 中，︒=∠90MPN ，43tan =∠PMN ，求以M 、N 为焦点，且过点P 的双曲线方程．分析：首先应建立适当的坐标系．由于M 、N 为焦点，所以如图建立直角坐标系，可知双曲线方程为标准方程．由双曲线定义可知a PN PM 2=-，c MN 2=，所以利用条件确定MPN ∆的边长是关键．解：∵MPN ∆的周长为48，且43tan =∠PMN ， ∴设k PN 3=，k PM 4=，则k MN 5=． 由48543=++k k k ，得4=k ． ∴12=PN ，16=PM ，20=MN ．以MN 所在直线为x 轴，以∴MN 的中点为原点建立直角坐标系，设所求双曲线方程为12222=+by a x )0,0(>>b a ．由4=-PN PM ，得42=a ，2=a ，42=a ． 由20=MN ，得202=c ，10=c ．由96222=-=a c b ，得所求双曲线方程为196422=-y x ． 说明：坐标系的选取不同，则又曲线的方程不同，但双曲线的形状不会变．解题中，注意合理选取坐标系，这样能使求曲线的方程更简捷．典型例题九例9 P 是双曲线1366422=-y x 上一点，1F 、2F 是双曲线的两个焦点，且171=PF ，求2PF 的值．分析：利用双曲线的定义求解．解：在双曲线1366422=-y x 中，8=a ，6=b ，故10=c ． 由P 是双曲线上一点，得1621=-PF PF ． ∴12=PF 或332=PF ．又22=-≥a c PF ，得332=PF ．说明：本题容易忽视a c PF -≥2这一条件，而得出错误的结论12=PF 或332=PF ．典型例题十例10 若椭圆122=+n y m x )0(>>n m 和双曲线122=-ty s x )0,(>t s 有相同的焦点1F 和2F ，而P 是这两条曲线的一个交点，则21PF PF ⋅的值是( ) ．A ．s m -B ．)(21s m - C ．22s m - D ．s m -分析：椭圆和双曲线有共同焦点，P 在椭圆上又在双曲线上，可根据定义得到1PF 和2PF的关系式，再变形得结果． 解：因为P 在椭圆上，所以m PF PF 221=+． 又P 在双曲线上，所以s PF PF 221=-．两式平方相减，得)(4421s m PF PF -=⋅，故s m PF PF -=⋅21．选(A)． 说明：(1)本题的方法是根据定义找1PF 与2PF的关系．(2)注意方程的形式，m ，s 是2a ，n ，t 是2b ．典型例题十一例11 若一个动点),(y x P 到两个定点)0,1(-A 、)0,1(1A 的距离之差的绝对值为定值a )0(≥a ，讨论点P 的轨迹．分析：本题的关键在于讨论a ．因21=AA ，讨论的依据是以0和2为分界点，应讨论以下四种情况：0=a ，)2,0(∈a ，2=a ，2>a ．解：21=AA ．(1)当0=a 时，轨迹是线段1AA 的垂直平分线，即y 轴，方程为0=x ． (2)当20<<a 时，轨迹是以A 、1A 为焦点的双曲线，其方程为14142222=--a y a x ． (3)当2=a 时，轨迹是两条射线)1(0≥=x y 或)1(0-≤=x y ． (4)当2>a 时无轨迹． 说明：(1)本题容易出现的失误是对参变量a 的取值范围划分不准确，而造成讨论不全面．(2)轨迹和轨迹方程是不同的，轨迹是图形，因此应指出所求轨迹是何种曲线．典型例题十二例12 如图，圆422=+y x 与y 轴的两个交点分别为A 、B ，以A 、B 为焦点，坐标轴为对称轴的双曲线与圆在y 轴左方的交点分别为C 、D ，当梯形ABCD 的周长最大时，求此双曲线的方程．分析：求双曲线的方程，即需确定a 、b 的值，而42=c ，又222b a c +=，所以只需确定其中的一个量．由双曲线定义a BC AC 2=-，又BCA ∆为直角三角形，故只需在梯形ABCD 的周长最大时，确定BC 的值即可．解：设双曲线的方程为12222=-bx a y (0,0>>b a )，),(00y x C (00<x ，00>y )，t BC =(220<<t )．连结AC ，则︒=∠90ACB ．作AB CE ⊥于E ，则有AB BE BC ⋅=2．∴4)2(02⨯-=y t ，即4220t y -=．∴梯形ABCD 的周长0224y t l ++=即10)2(21822122+--=++-=t t t l ．当2=t 时，l 最大．此时，2=BC ，32=AC ．又C 在双曲线的上支上，且B 、A 分别为上、下两焦点， ∴a BC AC 2=-，即2322-=a ． ∴13-=a ，即3242-=a ． ∴32222=-=a c b ．∴所求双曲线方程为13232422=--x y ． 说明：解答本题易忽视BC 的取值范围，应引起注意．。