选修4-1 第二节 课时限时检测

高中化学学习材料鼎尚图文收集整理4-1 原电池1．下列说法正确的是()A．原电池中，负极上发生的反应是还原反应B．原电池中，电流的方向是负极—导线—正极C．双液原电池中的盐桥是为了联通电路，所以也可以用金属导线代替D．在原电池中，阳离子移向正极，阴离子移向负极【答案】D【解析】A项，负极上发生氧化反应。

B项，电流的方向应是正极—导线—负极。

C项，盐桥不能用导线代替。

2．在铜—锌—硫酸构成的原电池中，当导线中有1 mol电子通过时，理论上的两极变化是()①锌片溶解32.5 g②锌片增重32.5 g③铜片上析出1 g H2④铜片上析出1 mol H2A．①③B．①④C．②③D．②④【答案】A【解析】负极：Zn－2e－===Zn2＋。

0.5 mol 1 mol正极：2H＋＋2e－===H2↑1 mol 0.5 mol所以Zn溶解32.5 g，铜片上析出1 g H2，①③正确。

3. 如图所示装置，电流计G发生偏转，同时A极逐渐变粗、B极逐渐变细，C为电解质溶液，则A、B、C应是下列各组中的()A．A是Zn，B是Cu，C为稀H2SO4B．A是Cu，B是Zn，C为稀H2SO4C．A是Fe，B是Ag，C为AgNO3液D．A是Ag，B是Fe，C为AgNO3液【答案】D【解析】根据电极现象可以判断，A为正极，B为负极，电解质溶液必须为不活泼金属的盐溶液，D项符合。

4．某原电池的总反应离子方程式为：2Fe3＋＋Fe===3Fe2＋，不能实现该反应的原电池为() A．正极为Cu，负极为Fe，电解质溶液为FeCl3溶液B．正极为Fe，负极为Zn，电解质溶液为Fe2(SO4)3溶液C．正极为C，负极为Fe，电解质溶液为Fe2(SO4)3溶液D．正极为Ag，负极为Fe，电解质溶液为Fe(NO3)3溶液【答案】B【解析】根据2Fe3＋＋Fe===3Fe2＋可以判断，铁作负极，比Fe活泼性弱的Cu、Ag或C棒作正极，电解质溶液中含有Fe3＋，B不符合。

人教版选修4第一章《化学反应与能量变化》测试题（A卷）（45分钟，100分）一、单项选择题（每小题4分，共60分）1．下列措施不能达到节能减排目的的是（）A．利用太阳能制氢燃料B．用家用汽车代替公交车C．利用潮汐能发电D．用节能灯代替白炽灯2. 未来氢气将作为新能源的优点的是（）①燃烧时发生氧化反应②充分燃烧的产物不污染环境③氢气是一种再生能源④燃烧时放出大量热量A. ①②③B. ①②④C. ①③④D. ②③④3．下列变化过程，属于放热反应的是（）①液态水变成水蒸气②酸碱中和反应③浓H2SO4稀释④固体NaOH溶于水⑤ H2在Cl2中燃烧⑥弱酸电离A、②③④⑤B、②③④C、②⑤D、①③⑤4．下列对化学反应的认识错误的是（）A．一定有化学键的变化B．一定会产生新的物质C．一定有物质状态的变化D．一定伴随着能量的变化5．25℃、101 kPa下，2g氢气燃烧生成液态水，放出285.8kJ热量，表示该反应的热化学方程式正确的是（）A．2H2(g)+O2(g) == 2H2O(1) △H＝―285.8kJ／molB．2H2(g)+ O2(g) == 2H2O(1) △H＝+571.6 kJ／molC．2H2(g)+O2(g) == 2H2O(g) △H＝―571.6 kJ／molD．H2(g)+1/2O2(g) == H2O(1) △H＝―285.8kJ／mol6．热化学方程式C(s)＋H2O(g) ==CO(g)＋H2(g)；△H ＝+131.3kJ/mol表示（）A．碳和水反应吸收131.3kJ能量B．1mol碳和1mol水反应生成一氧化碳和氢气，并吸收131.3kJ热量C．1mol固态碳和1mol水蒸气反应生成一氧化碳气体和氢气，并吸热131.3kJD．1个固态碳原子和1分子水蒸气反应吸热131.1kJ7．已知25℃、101kPa条件下：4Al (s) + 3O2 (g) == 2Al2O3 (s) △H = -2834.9 kJ·mol-14Al (s) +2O3 (g) ==2Al2O3 (s) △H = -3119.91 kJ·mol-1由此得出的结论正确的是（）A．等质量的O2比O3能量低，由O2变O3为吸热反应B．等质量的O2比O3能量低，由O2变O3为放热反应C ．O 3比O 2稳定，由O 2变O 3 为吸热反应D ．O 2比O 3稳定，由O 2变O 3 为放热反应8．在同温同压下,下列各组热化学方程式中，△H 2>△H 1的是( ) A ．2H 2(g)+O 2(g)＝2H 2O(g)， △H 1；2H 2(g)+O 2(g)＝2H 2O(l)， △H 2 B ．S(g)+O 2(g)＝SO 2(g)， △H 1；S(s)+O 2(g)＝SO 2(g)， △H 2C ．C(s)+21O 2(g)＝CO(g)， △H 1；C(s)+O 2(g)＝CO 2(g)， △H 2 D ．21H 2(g)+21Cl 2(g)＝HCl(g)△H 1；H 2(g)+Cl 2(g)＝2HCl(g)， △H 2 9. 甲烷是一种高效清洁的新能源，0.25mol 甲烷完全燃烧生成液态水时放出222.5kJ 热量，则下列热化学方程式中正确的是 （ ）A. 2CH 4(g) + 4O 2(g) == 2CO 2(g) + 4H 2O(l) ΔH = +890 kJ·mol -1B. CH 4(g) + 2O 2(g) == CO 2(g) +2H 2O(l) ΔH = +890 kJ·mol -1C. CH 4(g) + 2O 2(g) == CO 2(g) +2H 2O(l) ΔH = －890 kJ·mol -1D. 2CH 4(g) + 4O 2(g) == 2CO 2(g) + 4H 2O(l) ΔH = －890 kJ·mol -1 10. 下列关于反应热的说法不正确的是（ ）A ．已知下列热化学方程式：2H 2(g)+O 2(g) === 2H 2O(g) △H ＝－484kJ•mol -1， 则氢气的燃烧热为242kJ•mol -1B ．中和反应的实质是H + 与OH -结合生成水，若有其它物质生成，这部分反应热不在中和热内C ．物质的燃烧热可利用仪器由实验测得D ．中和热不包括物质溶解、电离、水合等过程中的热效应11. 已知H 2(g)、C 2H 4(g)和C 2H 5OH(1)的燃烧热分别是285.8kJ·mol -1、1 411.0kJ·mol -1和1 366.8 kJ·mol -1，则由C 2H 4(g)和H 2O(l)反应生成C 2H 5OH(l)的△H 为（ ）A. －44.2 kJ·mol -1B. +44.2 kJ·mol -1C. －330 k J·mol -1D. +330 kJ·mol -1 12．已知（1）H 2（g ）+1/2O 2（g ）===H 2O （g ） △H 1=a kJ·mol -1 （2）2H 2（g ）+O 2（g ）===2H 2O （g ） △H 2=b kJ·mol -1 （3）H 2（g ）+1/2O 2（g ）===H 2O （l ） △H 3=c kJ·mol -1 （4）2H 2（g ）+O 2（g ）===2H 2O （l ） △H 4=d kJ·mol -1 下列关系式中正确的是（ ）A ．a <c <0 B.b >d >0 C.2a =b <0 D.2c =d >0 13. 已知热化学方程式：① C 2H 2(g) +25O 2(g) == 2CO 2(g)＋H 2O(l) ΔH 1＝-1301.0 kJ •mol -1 ② C(s)+ O 2(g) == CO 2(g) △H 2＝-393.5 kJ •mol -1③H2(g)+ 12O2(g)==H2O(1) △H3 = -285.8 kJ·mol-1则反应④2C(s)+ H2(g)==C2H2(g)的△H为（）A. +228.2 kJ·mol-1B. -228.2 kJ·mol-1C. +1301.0 kJ·mol-1D. +621.7 kJ·mol-114．相同温度下，有下列三个热化学方程式：（1）2H2（l）+O2（g）=== 2H2O（l）△H1= -Q1kJ• mol-1（2）2H2（g）+O2（g）=== 2H2O（l）△H1= -Q2kJ• mol-1（3）2H2（l）+O2（g）===2H2O（g）△H1= -Q3kJ• mol-1则Q1、Q2、Q3的关系表示正确的是（）A. Q1=Q2<Q3B. Q2 > Q1 >Q3C. Q3> Q2> Q1D. Q1=Q2=Q315．已知：CH4(g)+2O2(g)==CO2(g)+2H2O(1) △H1= ―Q1 KJ/mol2H2(g)+O2(g)==2H2O(g) △H2= ―Q2 KJ/mol2H2(g)+O2(g)==2H2O(1) △H3= ―Q3KJ/mol常温下，取体积比为4:1的甲烷和氢气的混合气体11.2L（已折合成标准状况），经完全燃烧后恢复至常温，则下列说法正确的是（）A．放出的热量为（0.4Q1+0.05Q3）KJ/mol B．放出的热量为（0.4Q1+0.05Q2）KJ/mol C．△H2 <△H3 D．无法确定△H2 和△H3的大小1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15二、非选择题16．（每小题5分，共10分）常温常压下，断裂1mol（理想）气体分子化学键所吸收的能量或形成1mol（理想）气体分子化学键所放出的能量称为键能（单位为KJ.mol-1）下表是一些键能数据（KJ·mol－1）化学键键能化学键键能化学键键能化学键键能C—H 414 C—F 489 H—F 565 F—F 158H－H 436 H－N 391（1）根据键能数据计算以下反应的反应热△H：CH4（g）+4F2（g）﹦CF4（g）+4HF（g）（2）根据键能和反应热化学方程式1/2N2(g)+3/2H2(g) =NH3(g ) △H = —46 kJ·mol-1计算N≡N的键能。

章末综合测评(二)(时间120分钟，满分150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1.下列说法不正确的是( )A.圆柱面的母线与轴线平行B.圆柱面的任一轴截面总是垂直于直截面(垂直于母线的截面)C.圆柱面被平面截得的椭圆的离心率与圆柱面半径无关，只与母线和斜截面的夹角有关D.平面截圆柱面的截线椭圆中，短轴长即为圆柱面的半径【解析】 A 显然正确；轴截面总过轴线，因此轴截面与直截面垂直，∴B 正确；由公式e ＝cos θ知，C 正确；短轴长实际上是圆柱面的直径，故D 错.【答案】 D2.(全国卷)已知方程x 2m 2＋n －y 23m 2－n＝1表示双曲线，且该双曲线两焦点间的距离为4，则n 的取值范围是( )A.(－1,3)B.(－1，3)C.(0,3)D.(0，3)【解析】 若双曲线的焦点在x 轴上，则⎩⎪⎨⎪⎧ m 2＋n ＞0，3m 2－n ＞0. 又∵(m 2＋n )＋(3m 2－n )＝4，∴m 2＝1，∴⎩⎪⎨⎪⎧1＋n ＞0，3－n ＞0， ∴－1<n <3.若双曲线的焦点在y 轴上，则双曲线的标准方程为y 2n －3m 2－x 2－m 2－n ＝1，即⎩⎪⎨⎪⎧n －3m 2＞0，－m 2－n ＞0， 即n >3m 2且n <－m 2，此时n 不存在.故选A.【答案】 A3.圆锥的顶角为60°，截面与母线所成的角为60°，则截面所截得的截线是( )A.圆B.椭圆C.双曲线D.抛物线【解析】 依题意截面与圆锥轴线的夹角为90°，∴截线为圆.【答案】 A4.若双曲线的两条准线与实轴的交点是两顶点间线段的三等分点，则其离心率为( )【导学号：96990055】 A. 3B.2C.3D.2 3【解析】 由题意知2a 2c ＝2a 3，∴e ＝c a＝3. 【答案】 C5.如图1，有一个水平放置的透明无盖的正方体容器，容器高8 cm ，将一个球放在容器口，再向容器内注水，当球面恰好接触水面时测得水深为6 cm ，如果不计容器的厚度，则球的体积为( )图1A.500π3cm 3 B.866π3 cm 3 C.1 372 π3 cm 3 D.2048π3cm 3 【解析】 设球的半径为R ，则由题知球被正方体上面截得圆的半径为4，球心到截面圆的距离为R －2，则R 2＝(R －2)2＋42解得R ＝5，∴V 球＝4π×533＝500π3cm 3，故选A. 【答案】 A6.设F 1，F 2分别是椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点，P 是其右准线上纵坐标为3c (c 为半焦距)的点，且|F 1F 2|＝|F 2P |，则椭圆的离心率是( ) A.3－12 B.12 C.5－12 D.22【解析】 如图所示，|PF 2|＝|F 1F 2|＝2c ，P ⎝⎛⎭⎫a 2c ，3c ，M ⎝⎛⎭⎫a 2c ，0 在Rt △PF 2M 中，|PF 2|2－|PM |2＝|MF 2|2，∴(2c )2－(3c )2＝⎝⎛⎭⎫a 2c －c 2 ∴a ＝2c ，e ＝c a ＝22. 【答案】 D7.若圆柱的一正截面(垂直于轴的截面)的截线为半径r ＝3的⊙O ，该圆柱的斜截面与轴线成60°角，则截线椭圆的离心率e ＝( ) A.32 B.22C.12D.232【解析】 依题意，在椭圆中，a ＝r sin 60°＝332＝23，b ＝r ＝3， ∴c ＝a 2－b 2＝ 23 2－32＝3，∴e ＝c a ＝12. 【答案】 C8.已知F 1，F 2是椭圆的两个焦点，满足MF 1→·MF 2→＝0的点M 总在椭圆内部，则椭圆离心率的取值范围是( )A.(0,1)B.⎝⎛⎦⎤0，12C.⎝⎛⎭⎫0，22 D.⎝⎛⎭⎫22，1 【解析】 由题意知b ＞c ，即a 2－c 2＞c 2，∴0＜c a ＜22. 【答案】 C9.平面π与圆锥的轴线平行，圆锥母线与轴线夹角为60°，则平面与圆锥交线的离心率是( )A.2B.12C.32D.23【解析】 设平面与轴线夹角为β，母线与轴线夹角为α.由题意，α＝60°，∴e ＝cos βcos α＝112＝2. 【答案】 A10.一平面截圆锥面得一椭圆，已知截面与圆锥面的轴线的夹角为60°，该截面的Dandelin 双球的半径分别为r 和2r ，球心距为4r ，则椭圆的离心率是( )A.12B.14C.33D.21515【解析】 设圆锥的顶角为2σ，则cos σ＝ 4r 2－ 2r －r 24r ＝154， ∴椭圆的离心率e ＝cos 60°cos σ＝12154＝21515. 【答案】 D11.若双曲线x 29－y 2＝1的两焦点是F 1、F 2，A 是该曲线上一点，且|AF 1|＝5，那么|AF 2|等于( )A.10B.11C.12D.13【解析】 由题意知a ＝3，c ＝10，点A 在靠近焦点F 1的一支上，∴|AF 2|－|AF 1|＝6，∴|AF 2|＝11.【答案】 B12.(陕西高考)若抛物线y 2＝2px (p >0)的准线经过双曲线x 2－y 2＝1的一个焦点，则p ＝( )A. 2B.2 2C.2 3D. 3【解析】 抛物线的准线方程为x ＝－p 2，p >0，双曲线的焦点为F 1(－2，0)，F 2(2，0)，所以－p 2＝－2，p ＝2 2. 【答案】 B二、填空题(本大题共5个小题，每小题4分，共20分，把答案填在横线上) 13.已知F 1，F 2为椭圆x 225＋y 29＝1的两个焦点，过F 1的直线交椭圆于A ，B 两点.若|F 2A |＋|F 2B |＝12，则|AB |＝________.【解析】 由已知得|AF 1|＋|AF 2|＝|BF 1|＋|BF 2|＝10，∴|AF 1|＋|AF 2|＋|BF 1|＋|BF 2|＝20， ∴|AF 1|＋|BF 1|＝20－|AF 2|－|BF 2|＝20－12＝8，即|AB |＝8.【答案】 814.已知圆锥面的轴截面是正三角形，用一个与轴线成45°角的不过圆锥顶点的平面去截圆锥面时，所得的交线是________.【解析】 由已知圆锥的母线与轴线的夹角为30°，又45°＞30°，∴交线是椭圆.【答案】 椭圆15.一个六棱柱的底面是正六边形，其侧棱垂直于底面，已知该六棱柱的顶点都在同一个球面上，且该六棱柱的体积为98，底面周长为3，则这个球的体积为________. 【解析】 设正六棱柱的底面边长为x ，则6x ＝3，∴x ＝12. 设正六棱柱的高为h ，由其体积V ＝98知， 98＝6×34×⎝⎛⎭⎫122×h ，∴h ＝ 3. ∵正六棱柱外接球的直径恰好是正六棱柱的体对角线长，∴2R ＝ 3 2＋1，∴R ＝1.∴V 球＝43π. 【答案】 43π 16.一平面与半径为4的圆柱面相截，截面的Dandelin 双球的球心距离为12，则截线椭圆的离心率e ＝________.【导学号：96990056】【解析】 依题意：Dandelin 双球球心距离即为圆柱母线长.∴2a ＝12，∴a ＝6.又b ＝r ＝4，∴c ＝a 2－b 2＝62－42＝2 5.∴椭圆的离心率e ＝c a ＝256＝53. 【答案】 53三、解答题(本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)17.(本小题满分10分)高5 m 和3 m 的两根旗杆竖在水平地面上，且相距10 cm ，如果把两旗杆底部的坐标分别确定为A (－5,0)，B (5,0)，求地面观测两旗杆顶端仰角相等的点的轨迹方程.【解】 设P (x ，y )，依题意 5 x ＋5 2＋y 2＝3 x －5 2＋y 2，化简即得： 4x 2＋4y 2－85x ＋100＝0.18.(本小题满分12分)一个圆锥形漏斗口的内周长为8π cm.漏斗深9.6 cm ，将一个球放进漏斗里，球的最高点比漏斗口所在平面高出2.4 cm ，求球的体积.【解】 作共同的轴截面图(如图)，得等腰△P AB 和圆O ，球的最高点C ，球心O 和圆锥顶点P 三点共线，D ＝AB ∩PC ，依题设：PD ＝9.6，CD ＝2.4，AD ＝8π2π＝4. 过C 作A1B 1∥AB 与P A ，PB 的延长线分别交于点A 1，B 1，则A 1B 1与圆O 相切于C .且有A 1C AD ＝PC PD ＝129.6＝1.25. ∴A 1C ＝5，AD ＝4.P A 1＝A 1C 2＋PC 2＝13.记P A 1与圆O 的切点为E ，则A 1C ＝A 1E ，且△PEO ∽△PCA 1，即PE PC ＝OE A 1C，PE ＝P A 1－A 1E ＝13－5＝8， ∵OE ＝PE ·A 1C PC ＝103，即得球半径R ＝103， 所以它的体积为V ＝43πR 3＝4 000π81(cm 3). 19.(本小题满分12分)已知抛物线y 2＝2px 上有三点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，C (x 3，y 3)，且x 1＜x 2＜x 3，若线段AB ，BC 在x 轴上射影长相等.求证：A ，B ，C 三点到焦点的距离顺次成等差数列.【证明】 根据题意，得x 2－x 1＝x 3－x 2，即x 1，x 2，x 3成等差数列，又由抛物线的定义得：|AF |＝x 1＋p 2，|BF |＝x 2＋p 2， |CF |＝x 3＋p 2. ∵2|BF |＝2(x 2＋p 2)＝2x 2＋p ， ∴|AF |＋|CF |＝x 1＋x 3＋p ＝2x 2＋p ＝2|BF |，∴|AF |，|BF |，|CF |成等差数列.20.(本小题满分12分)平面α与圆柱轴线成60°角，截圆柱面所得椭圆焦距为23，求圆柱面的半径.【解】 如图所示，O 为椭圆中心，AA ′是椭圆的长轴，其长设为2a ，过O 向圆柱母线作垂线，垂足为B ，则△OAB 是直角三角形，且∠OAB ＝60°是平面α与圆柱母线(也是与轴线)所成的角.设圆柱面半径为r ，则a ＝r sin60°＝23r 3. 椭圆的短轴长2b ＝2r ，即b ＝r ，由已知焦距2c ＝23，∴c ＝ 3.又在椭圆中，a 2＝b 2＋c 2，∴⎝⎛⎭⎫23r 32＝r 2＋(3)2. 解得r ＝3，即圆柱面的半径为3.21.(本小题满分12分)已知抛物线的焦点F ，准线l ，设F 到l 的距离|EF |＝p (p ＞0)，一定点A 到直线EF 的距离也为p ，在抛物线上找一点B ，使点B 到A ，F 距离和最小，求此时△BEF 的面积.【解】 如图所示，过点B 作准线l 的垂线，垂足为C .由抛物线定义，|BC |＝|BF |，欲使|BA |＋|BF |最小，只要|AB |＋|BC |最小即可.而当A ，B ，C 共线时，|AB |＋|BC |最小，此时，直线AB ∥EF ，又点A 到直线EF 的距离也为p .故点B 到直线EF 的距离也为p .又|EF |＝p ，∴S △BEF ＝12p ·p ＝12p 2. 22.(本小题满分12分)求过点A (2,0)且与圆x 2＋4x ＋y 2－32＝0内切的圆的圆心的轨迹方程.【解】 将圆的方程化为标准形式(x ＋2)2＋y 2＝62，这时，已知圆的圆心坐标为B (－2,0)，半径为6，作图知(如图所示)：设动圆圆心M 的坐标为(x ，y )，由于动圆与已知圆相内切，设切点为C .∴已知圆(大圆)半径与动圆(小圆)半径之差等于两圆心的距离，即|BC |－|MC |＝|BM |，而|BC |＝6，∴|BM |＋|CM |＝6，又|CM |＝|AM |，∴|BM |＋|AM |＝6，根据椭圆的定义知点M 的轨迹是以点B (－2,0)和点A (2,0)为焦点、线段AB 的中点(0,0)为中心的椭圆.∴a ＝3，c ＝2，b ＝a 2－c 2＝5，∴所求圆心的轨迹方程为x 29＋y 25＝1.。

人教版选修四第一章第二章自我检测题注意事项：1．答题前在答题卡上填写好自己的姓名、班级、考号等信息2．请将答案正确填写在答题卡上3．可能用到的相对原子质量：H-1 C-12 N-14 O-16 Al-27 S-32 Cl-35.5 Cu-64第I卷一、选择题（每小题只有一个选项符合题意，每小题3分，共48分）1、下列说法正确的是()A．凡是放热反应都是自发的，因为吸热反应都是非自发的B．熵增加的放热反应一定能自发进行C．自发反应一定是熵增大，非自发反应一定是熵减小或不变D．自发反应在任何条件下都能实现2、下列有关实验的叙述，正确的是()A．将固体加入容量瓶中溶解并稀释至刻度，配制成一定物质的量浓度的溶液B．用玻璃棒蘸取溶液，点在湿润的pH试纸上测定其pHC．用待测液润洗滴定用的锥形瓶D．读取滴定管内液体的体积，俯视读数导致读数偏小3、“活化分子”是衡量化学反应速率快慢的重要依据，下列对“活化分子”说法中不正确．．．的是( ) A．催化剂能降低反应的活化能，使单位体积内活化分子百分数大大增加B．增大反应物的浓度，可使单位体积内活化分子增多，反应速率加快C．对于有气体参加的反应通过压缩容器增大压强，可使单位体积内活化分子增多，反应速率加快D．活化分子之间的碰撞一定是有效碰撞4、能判断某酸一定是弱电解质的是( )A．该酸易挥发B．该酸的稀溶液中有一种分子存在C．导电能力比盐酸弱D．0.1ｍol/L的该酸溶液中c(H+)为0.001ｍol/L5、某反应的反应过程中能量变化如下图所示(图中E1表示正反应的活化能，E2表示逆反应的活化能)。

下列有关叙述正确的是( )A．该反应为放热反应B．催化剂能改变反应的焓变C．催化剂能降低反应的活化能D．逆反应的活化能大于正反应的活化能６、下列说法或表示方法中正确的是（）A．等质量的硫蒸气和硫固体分别完全燃烧，反应的热效应ΔH1>ΔH2B．由C（石墨）→C（金刚石）；ΔH=+1．9KJ/mol ，可知1 mol石墨的总键能比1 mol金刚石的总键能大1．9 kJ，即金刚石比石墨稳定C．在101KPa时，2gH2完全燃烧生成液态水，放出285．8KJ热量，则氢气燃烧的热化学方程式为：2H2（g）+O2（g）=2H2O（l）；ΔH=+285．8KJ/molD．H2→H+H的变化需要吸收能量7、在一定温度下的定容密闭容器中，当物质的下列物理量不再变化时，不能说明反应A（s）＋2B（g）C（g）＋D（g）已达平衡状态的是（）A．混合气体的压强B．混合气体的密度C．气体的平均相对分子质量D．B的物质的量浓度8、温度为T时，向2.0L恒容密闭容器中充入1.0 molPCl5，反应PCl5(g)PCl3(g)＋Cl2(g)经一段时间后达到平衡。

化学·选修4(人教版)化学反应速率和化学平衡第一节化学反应速率很久很久以前，我们的宇宙还是一个质量非常大但体积非常小的点。

这个点在某一瞬间爆炸了，中子、质子、电子由此产生了。

随着宇宙的迅速膨胀，其温度也逐渐降低，这些基本粒子就形成了各种元素，物质微粒相互吸引、融合，形成越来越大的团块。

这些团块又逐渐演化成星系、恒星、行星，在个别的天体上还出现了生命现象，能够认识宇宙的人类也由此诞生了。

这就是目前有关宇宙历史的一种解释。

宇宙大爆炸来得如此突然，有些反应迅速，而有些反应慢得觉察不到，这中间到底有什么奥妙呢？►水平测试1．(2018·广州市培正中学高二期中考)在一密闭容器中充入一定量的N2和H2，经测定反应开始后的2s内氨气的平均速率：v(NH3)＝0.3 mol/(L·s)，则2 s末NH3的浓度为( )A．0.60 mol/L B．0.50 mol/LC．0.45 mol/L D．0.55 mol/L解析：2 s末NH3的浓度＝v(NH3)＝0.3 mol/(L·s)×2 s＝0.60 mol/L。

答案：A2．下列关于化学反应速率的说法中，正确的是( )A ．化学反应速率通常表示一定时间内任何一种反应物物质的量的减少或任何一种生成物物质的量的增加B ．化学反应速率为0.8 mol/(L·s)是指1 s 时，某物质的浓度为0.8 mol/LC ．根据化学反应速率的大小可以知道化学反应进行的快慢D ．对于任何化学反应来说，反应速率越快，反应现象就越明显解析：化学反应速率是用来衡量化学反应快慢的，通常用单位时间内某一种反应物或生成物的物质的量浓度的变化值来表示：v ＝ΔcΔt。

答案：C3．(2018·普宁二中高二第一学期期中考)在不同情况下测得A(g)＋3B(g)2C(g)＋2D(g)的下列反应速率，其中反应速率最大的是( )A ．v(D)＝0.4 mol·L －1·s －1B ．v(C)＝0.5 mol·L －1·s －1C ．v(B)＝0.6 mol·L －1·s －1D ．v(A)＝0.15 mol·L －1·s －1解析：当v(D)＝0.4 mol·L －1·s －1时，换算为v(A)＝0.2 mol·L －1·s －1；当v(C)＝0.5 mol·L －1·s －1时，换算为v(A)＝0.25 mol·L －1·s －1；当v(B)＝0.6 mol·L －1·s －1时，换算为v(A)＝0.2 mol·L －1·s －1，可见反应速率最大的是B ，答案选B 。

检测2新人教A 版选修4-1(时间：90分钟 满分：120分)一、选择题(本大题共10小题，每小题4分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是满足题目要求的)1．如图所示，已知⊙O 的半径为5，两弦AB 、CD 相交于AB 的中点E ，且AB ＝8，CE ∶ED ＝4∶9，则圆心到弦CD 的距离为( )．A.2143 B.289 C.273D.809解析 过O 作OH ⊥CD ，连接OD ，则DH ＝12CD ，由相交弦定理知AE ·BE＝CE ·DE ，而AE ＝EB ＝4.可设CE ＝4x ，则DE ＝9x ，所以4×4＝4x ×9x ，解得x ＝23，即OH ＝OD 2－DH 2＝52－⎝ ⎛⎭⎪⎫1332＝2143. 答案 A2．如图所示，圆内接四边形ABCD 的一组对边AD 、BC 的延长线相交于点P ，对角线AC 、BD 相交于点Q ，则图中相似三角形共有( )．A ．4对B ．2对C ．5对D ．3对解析 由∠PAC ＝∠PBD ，可知△PAC ∽△PBD ， 又∵∠ADB ＝∠ACB ，∴△AQD ∽△BQC . 又由割线定理得PD ·PA ＝PC ·PB ， 且∠P ＝∠P ，∴△PAB ∽△PCD . 又∵∠BAQ ＝∠CDQ ，∠BQA ＝∠DQC ， ∴△AQB ∽△DQC .∴总共有4对相似三角形． 答案 A3．如图所示，四边形ABCD 是⊙O 的内接四边形，延长BC 到E ，已知∠BCD ∶∠ECD ＝3∶2，那么∠BOD 等于( )．A ．120°B ．136°C ．144°D ．150°解析 要求圆心角∠BOD 的度数，需求圆周角∠A 的度数，由圆的内接四边形的性质知：∠A ＝∠DCE ，即求出∠ECD 的度数．而∠BCD ∶∠ECD ＝3∶2，可求出∠ECD ＝72°，即∠A ＝72°，故∠BOD ＝2∠A ＝144°. 答案 C4．如图所示，AB 是⊙O 的直径，弦CD ⊥AB 于点P ，CD ＝10cm ，AP ∶PB ＝1∶5，那么⊙O 的半径是( )．A ．52cmB ．43cmC ．35cmD ．26cm解析 观察图形与分析已知条件可利用垂径定理来解．连接OC ，则CP ＝12CD ＝5cm ，设AP ＝x ，则PB ＝5x ，OC ＝3x ，OP ＝2x ，在Rt △OCP 中，OC 2＝CP 2＋OP 2，即(3x )2＝52＋(2x )2，解得x ＝5，故OC ＝3x ＝35cm.答案 C5．如图所示，在圆的内接四边形ABCD 中，AC 平分∠BAD ，EF 切⊙O 于C 点，那么图中与∠DCF 相等的角的个数是( )．A ．4B ．5C ．6D ．7解析 ∠DCF ＝∠DAC ，∠DCF ＝∠BAC ， ∠DCF ＝∠BCE ，∠DCF ＝∠BDC ，∠DCF ＝∠DBC . 答案 B6．如图所示，⊙O 的两条弦AD 和CB 相交于点E ，AC 和BD 的延长线相交于点P ，下面结论：①PA ·PC ＝PD ·PB ；②PC ·CA ＝PB ·BD ；③CE ·CD ＝BE ·BA ；④PA ·CD ＝PD ·AB . 其中正确的有( )．A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个 解析 根据割线定理，①式正确． 答案 A7．如图所示，已知O 是圆心，直径AB 和弦CD 相交于点P ，PA ＝2，PC ＝6，PD ＝4，则AB 等于( )．A ．3B ．8C ．12D ．14解析 要求AB 的长，需求出PB 的长，由相交弦定理知：PA ·PB ＝PC ·PD ，解得PB ＝PC ·PD PA ＝6×42＝12，故AB ＝PA ＋PB ＝14. 答案 D8．如图，已知Rt △ABC 的两条直角边AC ，BC 的长分别为3cm ，4cm ，以AC 为直径的圆与AB 交于点D ，则BDDA＝( )．A.169B.259C.2516D.53答案 A9．如图所示，PA 切圆于A ，PA ＝8，直线PCB 交圆于C 、B ，连接AB 、AC ，且PC ＝4，AD ⊥BC 于D ，∠ABC ＝α，∠ACB ＝β，则sin αsin β的值等于( )．A.14B.12C ．2D ．4解析 要求sin αsin β，注意到sin α＝AD AB ，sin β＝ADAC，即AC AB ＝sin αsin β，又△PAC ∽△PBA ，得AC AB ＝PC PA ＝48＝12. 答案 B10．如图，AT 切⊙O 于T ，若AT ＝6，AE ＝3，AD ＝4，DE ＝2，则BC 等于( )．A ．3B ．4C ．6D ．8 解析 ∵AT 为⊙O 的切线， ∴AT 2＝AD ·AC .∵AT ＝6，AD ＝4，∴AC ＝9. ∵∠ADE ＝∠B ，∠EAD ＝∠CAB ， ∴△EAD ∽△CAB ，即DE BC ＝AEAC， ∴BC ＝DE ·AC AE ＝2×93＝6. 答案 C二、填空题(本大题共6小题，每小题4分，共24分，将正确答案填在横线上) 11．如图所示，AB 是⊙O 的直径，C 是⊙O 上一点，CD ⊥AB ，D 为垂足，AB ＝8，若BD ＝3AD ，则CD ＝________. 解析 连接AC ，BC ， ∵AB 为⊙O 的直径，C 为⊙O 上一点，∴∠ACB ＝90°.又∵CD ⊥AB ，D 为垂足， 由射影定理得CD 2＝AD ·BD . 又∵AB ＝8＝AD ＋DB ，BD ＝3AD ，∴AD ＝2，BD ＝6.故CD 2＝2×6＝12，∴CD ＝2 3. 答案 2 312．如图所示，PA 是⊙O 的切线，切点为A ，PA ＝2.AC 是⊙O 的直径，PC 与⊙O 交于点B ，PB ＝1，则⊙O 的半径r ＝________.解析 依题意，△PBA ∽△ABC ，所以PA 2r ＝PB AB ，即r ＝PA ·AB 2PB ＝2×22－122×1＝ 3.答案 313．已知⊙O 和⊙O 内一点P ，过P 的直线交⊙O 于A 、B 两点，若PA ·PB ＝24，OP ＝5，则⊙O 的半径长为_____________．解析 如图所示，延长OP 分别交⊙O 于C 、D 两点．不妨设该圆的半径为r ，则有PC ＝OC －OP ＝r －5，PD ＝OP ＋OD ＝r ＋5，∴PA ·PB ＝PC ·PD ， ∴r 2－25＝24，∴r ＝7. 答案 714．如图所示，AB 为⊙O 的直径，AB ＝2，OC 是⊙O 的半径，OC ⊥AB ，点D 在AC 上，AD ＝2CD ，点P 是OC 上一动点，则PA ＋PD 的最小值为________．解析 满足PA ＋PD 最小的点为：连接BD 交OC 于点P .由于AO ⊥OC ， 则AC 的度数为90°.又AD ＝2CD ，∴∠B 的度数为30°. 又AB 为直径，连接AD ， 则∠ADB ＝90°.在Rt △ABD 中，BD ＝2cos30°＝ 3. ∴AP ＋PD ＝PB ＋PD ＝BD ＝ 3. 答案315．如图，四边形ABCD 是圆O 的内接四边形，延长AB 和DC 相交于点P .若PB PA ＝12，PC PD ＝13，则BCAD的值为______．解析 由题意可知△PBC ∽△PDA ，于是由BC DA ＝PB PD ＝PC PA ，得BCAD＝PB PD ·PCPA＝16＝66. 答案6616．如图，AB 是圆O 的直径，直线CE 和圆O 相切于点C ，AD ⊥CE 于D ，若AD ＝1，∠ABC ＝30°，则圆O 的面积是________．解析 ∵在⊙O 中，∠ACD ＝∠ABC ＝30°，且在Rt △ACD 中，AD ＝1，∴AC ＝2，AB ＝4，又∵AB 是⊙O 的直径，∴⊙O 的半径为2，∴圆O 的面积为4π. 答案 4π三、解答题(本大题共5小题，共56分，解答时应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤)17．(10分)如图所示，△ABC 内接于圆，AD 切圆于A ，E 是BA 延长线上一点，连接CE 交AD 于D 点．若D 是CE 的中点．求证：AC 2＝AB ·AE . 证明 过E 作EF ∥AC 交AD 的延长线于点F . ∵CD ＝DE ，∴△ACD ≌△FED ，∴AC ＝EF (AC 2＝AB ·AE 等价于AC ·EF ＝AB ·AE )． 又∵AD 是圆的切线，∴∠B ＝∠CAF . 又EF ∥AC ，∴∠BAC ＝∠AEF ， ∠CAD ＝∠F ，∴∠B ＝∠F ， ∴△ABC ∽△EFA .∴AB AC ＝EF AE，∴AC ·EF ＝AB ·AE ， 即AC 2＝AB ·AE .18．(10分)已知C 点在圆O 直径BE 的延长线上，CA 切圆O 于A 点，DC 是∠ACB 的平分线交AE 于点F ，交AB 于D 点．(1)求∠ADF 的度数； (2)AB ＝AC ，求AC ∶BC .解 (1)∵AC 为圆O 的切线，∴∠B ＝∠EAC . 又知DC 是∠ACB 的平分线，∴∠ACD ＝∠DCB . ∴∠B ＋∠DCB ＝∠EAC ＋∠ACD即∠ADF ＝∠AFD ，又因为BE 为圆O 的直径， ∴∠DAE ＝90°，∴∠ADF ＝12(180°－∠DAE )＝45°.(2)∵∠B ＝∠EAC ，∠ACB ＝∠ACB ， ∴△ACE ∽△BCA ，∴AC BC ＝AE AB，又∵AB ＝AC ，∴∠B ＝∠ACB ＝30°， ∴在Rt △ABE 中，AC BC ＝AE AB ＝tan ∠B ＝tan30°＝33.19．(12分)如图所示，在△ABC 中，I 为△ABC 的内心，AI 交BC 于D ，交△ABC 外接圆于E .求证：(1)IE ＝EC ； (2)IE 2＝ED ·EA .证明 (1)连接IC ，∵I 为内心， ∴∠3＝∠4，∠1＝∠2. ∵∠1＝∠5，∴∠2＝∠5. ∴∠3＋∠2＝∠4＋∠5， ∴∠EIC ＝∠ECI .∴IE ＝CE . (2)∵∠E ＝∠E ，∠2＝∠5， ∴△ECD ∽△EAC ，∴CE DE ＝AE EC， ∴CE 2＝AE ·DE ，∴IE 2＝AE ·ED .20．(12分)如图所示，已知AB 是⊙O 的直径，C 为圆上任意一点，过C 的切线分别与过A 、B 两点的切线交于P 、Q .求证：AB 2＝4AP ·BQ .证明 法一 连接OP 、OQ ，如图所示． ∵AP 、PQ 、BQ 为⊙O 的切线， ∴∠1＝∠2，∠3＝∠4. 又AP 、BQ 为⊙O 的切线，AB 为直径，∴AB ⊥AP ，AB ⊥BQ .∴AP ∥BQ .∴∠A ＝∠B ＝90°， ∠1＋∠2＋∠3＋∠4＝180°. ∴∠1＋∠4＝∠2＋∠3＝90°. ∵∠1＋∠5＝90°，∴∠4＝∠5. ∴△AOP ∽△BQO . ∴AO BQ ＝AP OB.∵AB ＝2AO ＝2OB ，∴AB 2＝4AP ·BQ . 法二 连接OC .同上可证得∠2＋∠3＝90°. ∵PQ 切⊙O 于C ，∴OC ⊥PQ .在Rt △PQO 中，由射影定理可得OC 2＝PC ·CQ ，利用切线长定理，有PC ＝AP ，BQ ＝QC .OC 2＝AP ·BQ ，∵AB ＝2OC ，∴AB 2＝4AP ·BQ .法三 如图所示，过P 作BQ 的垂线PD ，垂足为D . ∵AP 、BQ 、PQ 切⊙O 于A 、B 、C ， ∴∠A ＝∠B ＝90°，AP ＝PC ，CQ ＝BQ .∴四边形ABDP 为矩形，PQ ＝AP ＋BQ .∵AP ＝BD ，AB ＝PD .在Rt △PQD 中，利用勾股定理得：PQ 2＝PD 2＋QD 2， ∴(AP ＋BQ )2＝AB 2＋(BQ －AP )2. ∴4AP ·BQ ＝AB 2.21．(12分)如图所示，过圆O 外一点M 作它的一条切线，切点为A ，过A 点作直线AP 垂直于直线OM ，垂足为P . (1)证明：OM ·OP ＝OA 2；(2)N 为线段AP 上一点，直线NB 垂直于直线ON ，且交圆O 于B 点．过B 点的切线交直线ON 于K .证明：∠OKM ＝90°.证明 (1)因为MA 是圆O 的切线，所以OA ⊥AM . 又因为AP ⊥OM ，在Rt △OAM 中，由射影定理知，OA 2＝OM ·OP .(2)因为BK 是圆O 的切线，BN ⊥OK ， 同(1)，有OB 2＝ON ·OK ，又OB ＝OA ， 所以OP ·OM ＝ON ·OK ，即ON OP ＝OMOK. 又∠NOP ＝∠MOK ，所以△ONP ∽△OMK ， 故∠OKM ＝∠OPN ＝90°.。

人教版高中化学选修4同步练习及单元测试目录第1节化学反应与能量的变化第2节燃烧热能源第1章化学反应与能量单元检测及试题解析第1章单元复习第1章单元测试第3节化学平衡第4节化学反应进行的方向第2章化学反应速率与化学平衡单元检测及试题解析第2章单元复习第2章单元测试化学反应速率和化学平衡第3章单元复习第3章单元测试第3章水溶液中的离子平衡单元检测及试题解析第3章第1节弱电解质的电离第3章第2节水的电离和溶液的酸碱性第3章第3节盐类的水解第3章第4节难溶电解质的溶解平衡第4章电化学基础单元检测及试题解析第4章第1节原电池第4章第2节化学电源第4章第3节电解池选修4化学反应原理模块综合检测高二化学选修4 同步练习第一章第一节化学反应与能量的变化一. 教学内容：化学反应与能量的变化二. 重点、难点1. 了解反应热和焓变的涵义；2. 化学反应中的能量变化及其微观原因；3. 正确认识、书写热化学方程式。

三. 具体内容（一）绪言1. 选修4的基本结构和地位、与必修的关系2. 关于“化学暖炉”、“热敷袋”的构造和发热原理3. 举出人们利用化学反应的其他形式的能量转变例子（二）焓变和反应热1. 为什么化学反应过程中会有能量的变化？2. 反应热的定义3. 反应热产生的原因4. 反应热的表示5. 有效碰撞6. 活化分子7.活化能8. 催化剂（三）热化学方程式1. 定义2. 表示意义3. 与普通化学方程式的区别4. 热化学方程式的书写应注意的问题（四）实验：中和反应、反应热的测定【典型例题】[例1 ] 已知在25℃、101kPa 下，1g C8H18（辛烷）燃烧生成二氧化碳和液态水时放出48.40kJ 的热量。

表示上述反应的热化学方程式正确的是（ ）A. C8H18（l ）+25/2O2（g ）＝8CO2（g ）+9H2O （g ） △H=-48.40kJ ·mol-1B. C8H18（l ）+25/2O2（g ）＝8CO2（g ）+9H2O （l ） △H=-5518kJ ·mol-1C. C8H18（l ）+25/2O2（g ）＝8CO2（g ）+9H2O △H=+5518kJ ·mol-1D. C8H18（l ）+25/2O2（g ）＝8CO2（g ）+9H2O （l ） △H=-48.40kJ ·mol-1 答案：B解析：掌握书写热化学方程式的基本注意事项。

测试一 相似三角形 Ⅰ 学习目标复习相似三角形的定义与性质,了解平行截割定理,直角三角形的射影定理.Ⅱ 基础训练题一、选择题1.在ABC V 和A'B'C'V 中,:::2:1AB A'B'BC B'C'CA C'A'===,且ABC V 的面积为4,则A'B'C'V 的面积为( )(A)4(B)3(C)2(D)12.如图,平行四边形ABCD 中,E 是AD 延长线上一点,BE 交AC 于点F ,交DC 于点G ,则下列结论中错误的是( )(A)ABC DGE V :V (B)CGB DGE V :V (C)BCF EAF V :V(D)ACD GCF V :V3.在Rt ABC V 中,90C ∠=︒,30A ∠=︒,CD AB ⊥于D ,设AB a =,则DB 等于( ) (A)4a(B)3a (C)2a (D)34a 4.如图,在ABC V 中,D 为AC 边上一点,DBC A ∠=∠,6BC =,3AC =,则CD 的长为( )(A)1(B)32(C)2(D)525.已知点1A 和2A ,1B 和2B ,1C 和2C 分别是ABC V 的边BC ,CA ,AB 的三等分点,且ABC V 的周长为l ,则六边形121212A A B B C C 的周长为( )(A)13l (B)3l(C)2l(D)23l 二、填空题6.如图,在ABC V 中,15AB cm =,12AC cm =,6BC cm =,AD 是BAC ∠的外角平分线,那么CD =__________cm .7.如图,在正方形ABCD 中,F 是AD 的中点,BF 与AC 交于点G ,则BGC V 与四边形CGFD 的面积之比是__________.8.在ABC V 中,25B ∠=︒,AD 是BC 边上的高,并且2AD BD DC =⋅,则BCA ∠的度数为__________.9.在锐角ABC V 中,BD AC ⊥,DE BC ⊥,14AB =,4AD =,:5:1BE EC =,则BE = __________.10.在直角坐标系中,已知()3,0A -,()0,4B -,()0,1C ,过点C 作直线l 交x 轴于D ,使得以点D ,C ,O 为顶点的三角形与AOB V 相似,这样的直线有__________条. 三、解答题11.如图,在ABC V 中, AB AC =,AD 是中线,P 是AD 上一点,过C 作CF AB P ,延长BP 交AC 于交E ,交CF 于F ,连接CP .求证:2CP PE PF =⋅.12.如图,在ABC V 中,90BAC ∠=︒,AD BC ⊥,E 是AC 的中点,ED 交AB 的延长线于F .求证: AFD DFB V :V .Ⅲ 拓展训练题13.如图,在ABC V 中,60A ∠=︒,BD ,CE 是两条高.求证: 12DE BC =.14.正方形ABCD 中,E 为AB 的中点,F 为CD 延长线上一点,且FEC FCE ∠=∠,EF 交AD 于P .求证:4AEP PDF S S =V V .测试二 圆周角与弦切角Ⅰ 学习目标掌握圆周角定理,圆的切线的判定定理及性质定理.Ⅱ 基础训练题一、选择题1.圆心角120AOB ∠=︒,C ,D ,E 是优弧¼AOB 的四等分点,则弦DE 和半径OA 的关系是( ) (A)OA DE <(B)DE OA <(C)DE OA =(D)以上均不对2.如图,已知AB ,CD 是O e 的两条直径且50AOC ∠=︒,过A 作AE CD P 交O e 于E ,则弧AE 的度数为( )(A)65︒(B)70︒(C)75︒(D)80︒3.在下列语句中,叙述正确的个数为( ) ①相等的圆周角所对弧相等;②同圆或等圆中,同弦或等弦所对圆周角相等;③一边上的中线等于这条边的一半的三角形是直角三角形; ④等弧所对圆周角相等. (A)1个(B)2个(C)3个(D)4个4.已知点O 是ABC V 的外心,A α∠=,则BOC ∠为( ) (A)2α(B)3602α︒- (C)2α或3602α︒-(D) 22.5︒5.如图,30E ∠=︒,AB BC CD ==,则ACD ∠的度数为( )(A)12.5︒(B)15︒(C)20︒(D)22.5︒二、填空题6.如图,点D 在以AC 为直径的O e 上,如果20BDC ∠=︒,那么ACB ∠=__________.7.如图,AB 是O e 的直径,60CAB ∠=︒,则D ∠=__________.8.如图,在O e 中,50BOC ∠=︒,OC AB P ,则ADB ∠的度数为__________.9.如图,OA ,OB ,OC 都是O e 的半径,»»2AB BC =,80AOB ∠=︒°,则BOC ∠=__________,ABC ∠=__________,ACB ∠__________CAB ∠.10.如图,等腰ABC V 中,12A C ∠=∠,底边BC 为O e 的直径,两腰AB ,AC 分别与O e 交于点D ,E .有下列四个结论:①AD AE =; ②DE BC P ; ③A CBE ∠=∠;④BE AC ⊥.其中所有正确的结论序号是__________. 三、解答题11.如图,已知在半圆AOB 中,AD DC =,30CAB ∠=︒,23AC =,求AD 的长度.12.如图,AB 是O e 的直径,D 为O e 上一点,过D 作O e 的切线交AB 的延长线于点C ,若DA DC =,求证:2AB BC =.Ⅲ 拓展训练题13.如图,已知AB 是O e 的直径,AC 是弦,直线CE 和O e 切于点C ,AD CE ⊥,垂足为D ,求证:AC 平分BAD ∠.测试三 圆幂定理与圆内接四边形Ⅰ 学习目标掌握相交弦定理,圆内接四边形的性质定理与判定定理,切割线定理.Ⅱ 基础训练题一、选择题1.下列命题中不正确的是( ) (A)圆内接平行四边形是矩形 (B)圆内接菱形是正方形 (C)圆内接梯形是等腰梯形(D)圆内接矩形是正方形2.若四边形ABCD 内接于某圆,则A ∠,B ∠,C ∠,D ∠的度数比可能是( ) (A)1:3:2:4 (B)7:5:10:8 (C)13:1:5:17(D)1:2:3:43.如图,PA 切O e 于A ,PB 切O e 于B ,OP 交O e 于C ,下列结论中,错误的是( ) (A)12∠=∠ (B)PA PB = (C)AB OP ⊥(D)2PA PC PO =⋅4.如图,O e 的内接ABC V 外角ACE ∠的平分线交O e 于点D ,DF AC ⊥,垂足为F ,DE BC ⊥,垂足为E .给出下列几个结论:①CE CF =; ②ACB EDF ∠=∠;③DE 是O e 的切线;④»»AD BD =. 其中一定成立的是( ) (A)①②③ (B)②③④ (C)①③④(D)①②④5.如图,圆内接四边形ABCD 的一组对边AD ,BC 的延长线交于点P ,对角线AC ,BD 交于点Q ,则图中共有相似三角形( )(A)4对 (B)2对(C)1对(D)3对二、填空题6.如图,1O e 与2O e 外切于点C ,外公切线与两圆的切点分别为A ,B ,且4AC =,5BC =,则ACB ∠=__________︒,线段AB 的长为__________.7.如图,O e 的弦AC ,BD 相交于点E ,点A 为»BD上一动点,当点A 的位置在__________时,ABE ACB V :V .8.已知圆内接四边形ABCD 中,::2:5:4A B C ∠∠∠=,则D ∠的度数是__________︒.9.如图,O e 的弦ED ,CB 的延长线交于点A ,若BD AE ⊥,4AB =,2BC =,3AD =,则DE =__________;CE =__________.10.已知PA ,PB 分别切O e 于A ,B 两点,5PA =,在劣弧AB 上取一点C ,过C 作O e 的切线,分别交PA ,PB 于D ,E 两点,则PDE V 的周长等于__________. 三、解答题11.如图,PAB 和PCD 是O e 的两条割线,已知4PA =,2AB =,5BD =,且PC CD =,求PC ,AC 的长.12.如图,四边形ABCD 是O e 的内接四边形,延长AB 和DC 相交于点P .若1PB =,3PD =,求BCAD的值.Ⅲ 拓展训练题13.如图,O e 内两弦AB ,CD 的延长线相交于圆外一点E ,由E 引AD 的平行线与直线BC 交于F ,作切线FG ,G 为切点,求证:EF FG =.测试四 相似三角形与圆专题测试一、选择题1.如图,在半径为的O e 中,弦AB ,CD 相交于点P ,2PA PB ==,1PD =,则圆心O 到弦CD 的距离为( )(A)2(C)22.如图,AB 切O e 于点B ,AB =1AC =,则AO 的长为( )(A)1(B)32(D)23.已知Rt ABC V 中,90C ∠=︒,5AB =,4BC =,以BC 为直径的圆交AB 于点D ,则BD 的长为( )(A)4(B)95(C)125(D)1654.如图,AB 与O e 相切于点过点A 作O e 的割线交O e 于C ,D 两点,BC AD ⊥,22AB AC ==,则O e 的半径等于( )(A)1(D)25.如图,AB 是O e 的直径,点C 在O e 上,延长BC 到D 使BC CD =,过C 作O e 的切线交AD 于E .若6AB =,2ED =,则BC =( )(A)2(B)(C)3(D)6.如图,O e 上一点C 在直线AB 上的射影为D ,点D 在半径OC 上的射影为E .若3AB AD =,则CEEO的值为( ) (A)9(B)8(C)6(D)47.如图,ABC V 是圆的内接三角形,BAC ∠的平分线交圆于点D ,交BC 于点E ,过点B 的圆的切线与AD 的延长线交于点F .在上述条件下,给出下列四个结论:①BD 平分CBF ∠ ②2FB FD FA =⋅③AE CE BE DE ⋅=⋅ ④AF BD AB BF ⋅=⋅ 则所有正确结论的序号是( ) (A)①②(B)③④(C)①②③(D)①②④8.设12,,,n P P P L 为平面α内的n 个点,在平面α内的所有点中,若点P 到12,,,n P P P L 的距离之和最小,则称点P 为12,,,n P P P L 的一个“中位点”.例如,线段AB 上的任意点都是端点A ,B 的中位点.则有下列命题:①若A ,B ,C 三个点共线,C 在线段AB 上,则C 是线段AB 上A ,B ,C 的中位点; ②直角三角形斜边的中点是该直角三角形三个顶点的中位点; ③若四个点A ,B ,C ,D 共线,则它们的中位点存在且唯一; ④梯形对角线的交点是该梯形四个顶点的唯一中位点. 其中的真命题是( ) (A)①③(B)②④(C)①④(D)①③④二、填空题9.如图,在平行四边形ABCD 中,点E 在AB 上,且2EB AE =,AC 与DE 交于点F ,则的CDF AEF =V V 的面积的面积__________.10.如图,已知AB ,BC 是O e 的两条弦,AO BC ⊥,AB =BC =则O e 的半径等于__________.11.如图,PA ,PB 为O e 的两条切线,切点分别为A ,B ,过PA 的中点Q 作割线交O e 于C ,D 两点.若1QC =,3CD =,则PB =__________.12.过圆外一点P 作圆的切线PA (A 为切点),再作割线PBC 分别交圆于B ,C ,若6PA =,8AC =,9BC =,则AB =__________.13.如图,ABC V 中,6BC =,以BC 为直径的半圆分别交AB ,AC 于点E ,F ,若2AC AE =,则EF =__________.14.如图,在ABC V 中,90C ∠=︒,60A ∠=︒,20AB =,过C 作ABC V 的外接圆的切线CD ,BD CD ⊥,BD 与外接圆交于点E ,则DE 的长为__________.测试五 圆柱、圆锥与圆锥曲线Ⅰ 学习目标了解平行投影的含义,平面与圆柱面的截线是椭圆(特殊情形是圆),了解Dandelin 双球与平面截圆锥面所得曲线的关系.Ⅱ 基础训练题一、选择题1.下列说法中不正确的是( ) (A)圆柱面的母线与轴线平行(B)圆柱面的某一斜截面的轴面总是垂直于直截面(C)圆柱面与斜截面截得的椭圆的离心率与圆柱面半径无关,只与母线和斜截面的夹角有关(D)平面截圆柱面的截线椭圆中,短轴长即为圆柱面的半径 2.下列几种关于投影的说法中不正确的是( ) (A)平行投影的投影线是互相平行的 (B)中心投影的投影线是互相垂直的 (C)线段上的点在中心投影下仍然在线段上 (D)平行的直线在中心投影中不平行.3.圆锥的顶角为60︒,若某截面与母线所成的角为60︒,则该截面所截得的截线是( ) (A)圆(B)椭圆(C)双曲线(D)抛物线4.如果圆锥的侧面展开图是直径为a 的半圆面,那么此圆锥的轴截面是( ) (A)等边三角形(B)等腰直角三角形 (C)顶角为30︒的等腰三角形(D)其他等腰三角形5.一平面截圆锥的截线为椭圆,且椭圆的长轴长为8,长轴的两端点到顶点的距离分别是6 和10,则椭圆的离心率为( )(A)35(B)45(C)12(D)2二、填空题6.一个圆锥的顶角为50︒,若圆锥的某截面与轴线所成角为30︒,则截线形状是__________.7.已知圆锥母线长为l ,底面半径为R ,如果过圆锥顶点的截面面积S 的最大值是212l ,则Rl的范围是__________. 8.已知一圆柱面的半径为3,圆柱面的一截面的两焦球的球心距为12,则截面与母线的夹角为__________.9.如图,一个广告气球被一束入射角为45︒的平行光线照射,其投影是一个最长的弦长为5 米的椭圆,则这个广告气球直径是__________米.10.已知一圆锥面的顶角为60︒,截割平面α与圆锥轴线成角为60︒,平面α与轴线的交点S 到圆锥面顶点O 的距离为3,则截得的截线椭圆的长轴长为__________.三、解答题11.已知正三棱锥S ABC -的高SO h =,斜高SM n =,求经过SO 的中点且平行于底面的截面111A B C V 的面积.12.若圆柱的一正截面的截线是半径为3的圆,圆柱的斜截面与轴线成60︒,求截面椭圆的两个焦点之间的距离.13.(1)轴截面是正方形的圆柱叫等边圆柱;求底面半径为r 的等边圆柱的全面积; (2)轴截面是正三角形的圆锥叫等边圆锥;求底面半径为r 的等边圆锥的全面积.14.已知一个圆锥的底面半径为R ,高为H ,在其中有一个高为x 的内接圆柱. (1)求圆柱的侧面积;(2)x 为何值时,圆柱的侧面积最大？测试六 选修4-1综合测试一、选择题1.如图,过点P 的直线与O e 相交于A ,B 两点.若1PA =,2AB =,3PO =,则O e 的半径等于( ) (A)3(B)6(C)2(D)22.如图,圆心角120AOB ∠=︒,P 是»AB 上任一点(不与A ,B 重合),点C 在AP 的延长线上,则BPC ∠等于( ) (A)45︒(B)60︒(C)75︒(D)85︒3.如图,若AB 是圆的直径,40BAC ∠=︒,则D ∠等于( ) (A)150︒(B)130︒(C)100︒(D)90︒4.如图,90ACB ∠=︒,CD AB ⊥于点D ,以BD 为直径的圆与BC 交于点E ,则( ) (A)CE CB AD DB ⋅=⋅ (C)CE CB AD AB ⋅=⋅ (B)2AD AB CD ⋅=(D)2CE EB CD ⋅=5.已知点D 在O e 的弦AB 上移动,4AB =,连接OD ,过点D 作OD 的垂线交O e 于点C ,则CD 的最大值为( )(A)1(B)2(C)2(D)4二、填空题6.如图,A ,B ,C ,D 是O e 上的四个点,过点B 的切线与DC 的延长线交于点E .若110BCD ∠=︒,则DBE ∠=__________.7.如图,O e 的割线PBA 过圆心O ,弦CD 交PA 于点F ,且COF PDF V :V ,2PB OA ==则PF =__________.8.已知O e 是ABC V 的外接圆,过点C 的切线交AB 的延长线于点D ,27CD =,3AB BC ==,则BD =__________,AC =__________.9.如图,过点P 的直线与O e 相交于A ,B 两点.若1PA =,2AB =,3PO =,则O e 的半径等于__________.10.如图,AD ,AE ,BC 分别与O e 切于点D ,E ,F ,延长AF 与O e 交于另一点G .给出下列三个结论:①AD AE AB BC CA +=++; ②AF AG AD AE ⋅=⋅; ③AFB ADG V :V .其中所有正确结论的序号是__________. 三、解答题11.如图,已知Rt ABC V 的两条直角边AC ,BC 的长分别为3cm ,4cm ,以AC 为直径的圆与AB 交于点D ,求BDDA的值.12.如图,设ABC V 的外接圆的切线AE 与BC 的延长线交于点E ,BAC ∠的平分线与BC 交于点D ,求证:2ED EB EC =⋅.13.如图,AB 是O e 的直径,CD AB ⊥,垂足为D ,CE 切O e 于点F ,交AB 的延长线于点E .求证:EF EC EO ED ⋅=⋅.14.如图,已知圆上»»AC BD =,过点C 的圆的切线与BA 的延长线交于点E . (1)求证:ACE BCD ∠=∠; (2)求证:2BC BE CD =⋅.15*.如图,O e 和O'e 交于A ,B 两点,过点A 引直线CD ,EF ,分别交两圆于点C ,D ,E ,F ,又EC ,DF 的延长线交于点P .求证:180P CBD ∠+∠=︒.测试七 直角坐标系、伸缩变换Ⅰ 学习目标理解坐标系的作用,了解在平面直角坐标系伸缩变换作用下平面图形的变化情况.Ⅱ 基础训练题一、选择题1.已知()0,1,2A -,()0,2,4B -,()1,2,1C -,则A ,B ,C 三点( ) (A)共线(B)共面(C)不共面(D)无法确定2.已知平面内三点()2,2A ,()1,3B ,()7,x C ,满足BA AC ⊥u u u r u u u r,则x 的值为( )(A)3(B)6(C)7(D)93.在同一平面直角坐标系中,经过伸缩变换5,3X x Y y=⎧⎨=⎩后,曲线C 变为曲线22280X Y +=,则曲线C 的方程为( ) (A)2225360x y += (C)2291000x y +=(B)10240x y +=(D)22280259x y += 4.已知()1cos f x x =,()()2cos 0f x x ωω=>,()2f x 的图象可以看做是把()1f x 的图象在其所在的坐标系中的横坐标压缩到原来的13(纵坐标不变)而得到的,则ω为( ) (A)12(B)2(C)3(D)135.在同一坐标系中,将曲线2sin3y x =变为曲线sin Y X =的伸缩变换为( )(A)312x X y Y =⎧⎪⎨=⎪⎩(B)312X xY y =⎧⎪⎨=⎪⎩(C)32x Xy Y=⎧⎨=⎩(D)32X xY y=⎧⎨=⎩二、填空题6.把方程sin y x =变为1sin 42Y X =的伸缩变换公式为__________. 7.将圆224x y +=变成椭圆2214X Y +=的伸缩变换公式是__________.8.两个定点的距离为6,点M 到这两个定点的距离的平方和为26,则点M 的轨迹为__________.9.设平面上的伸缩变换的坐标表达式为1,23,X x Y y ⎧=⎪⎨⎪=⎩则在这一坐标变换下正弦曲线sin y x =的方程变为__________.10.设1F ,2F 分别是椭圆2214x y +=的左、右焦点,P 为椭圆上任意一点,连接1F P 并延长至Q 使得2PQ PF =,则点Q 的轨迹方程为__________.三、解答题11.在空间直角坐标系的z 轴上求一点,使它到点()4,1,7A -与到点()3,5,2B -的距离相等.12.在同一平面直角坐标系中,如何将直线22x y -=变成直线24X Y -=.13.质点从原点出发沿数轴的正方向前进4个单位到达点1P ,然后反向走了1个单位,到达点2P ,接下来每次反向并向前运动上次距离的14,求质点运动n 次后到达的点n P 的坐标.Ⅲ 拓展训练题14.设有半径为3千米的圆形村落,甲、乙两人同时从村落中心出发,乙向北直行,甲先向东直行,出村后不久,改变前进方向,沿着与村落周界相切的直线前进,后来恰与乙相遇.设甲、乙两人速度一定,其速度比为3:1,问两人在何处相遇？测试八 极坐标系、柱坐标系与球坐标系Ⅰ 学习目标能在极坐标系中用极坐标表示点的位置,理解在极坐标系和平面直角坐标系中表示点的位置的区别,能进行极坐标和直角坐标的互化.了解柱坐标系、球坐标系中表示空间中点的位置的方法,并与空间直角坐标系中表示点的位置的方法相比较,了解它们的区别.Ⅱ 基础训练题一、选择题1.点P 的直角坐标为(1,,则点P 的极坐标可表示为( ) (A)2,3π⎛⎫⎪⎝⎭(B)42,3π⎛⎫ ⎪⎝⎭(C)2,3π⎛⎫-⎪⎝⎭(D)42,3π⎛⎫-⎪⎝⎭2.在极坐标系中,点(),ρθ与(),ρπθ--的位置关系是( ) (A)关于极轴所在直线对称 (B)关于极点对称 (C)重合(D)关于直线()R 2πθρ=∈对称3.极坐标方程()()()100ρθπρ--=≥表示的图形是( ) (A)两个圆(B)两条直线(C)一个圆和一条射线(D)一条直线和一条射线4.曲线的极坐标方程4sin ρθ=化为直角坐标方程是( ) (A)()2224x y ++= (C)()2224x y +-= (B)()2224x y -+=(D)()2224x y ++=5.在极坐标系中,若等边ABC V 的两个顶点是2,4A π⎛⎫⎪⎝⎭,52,4B π⎛⎫⎪⎝⎭,那么顶点C 的坐标可能是( )(A)34,4π⎛⎫⎪⎝⎭(B)34π⎛⎫ ⎪⎝⎭(C)()π(D)()3,π二、填空题6.极坐标系中,点A 的极坐标是3,6π⎛⎫⎪⎝⎭,则 (1)点A 关于极轴对称的点的极坐标是__________; (2)点A 关于极点对称的点的极坐标是__________;(3)点A 关于过极点且与极轴垂直的直线对称的点的极坐标是__________.7.把点M 的极坐标5,6π⎛⎫- ⎪⎝⎭化为直角坐标为__________.8.已知长方体1111ABCD A B C D -的边长为1AB =,1AD =,1AA =,以这个长方体的顶点A 为坐标原点,以射线AB ,AD ,1AA 分别为Ox ,Oy ,Oz 轴的正半轴,建立空间直角坐标系,则长方体顶点1C 的空间直角坐标为__________,球坐标为__________,柱坐标为__________.9.在极轴上与点4A π⎛⎫⎪⎝⎭距离为5的点M 的极坐标为__________. 10.已知两点的极坐标3,2A π⎛⎫ ⎪⎝⎭,3,6B π⎛⎫⎪⎝⎭,则AB =u u u r __________,BA u u u r 与极轴正方向所夹角的大小为__________. 三、解答题11.结晶体的基本单位称为晶胞.图甲是食盐晶胞的示意图(可看做是八个棱长为12的小正方体堆积成的正方体),图形中的点代表钠原子;如图乙所示,建立空间直角坐标系O xyz -后,试写出下层钠原子所在位置的球坐标,柱坐标;上层钠原子所在位置的柱坐标.12.在极坐标系中,圆2cos ρθ=与直线3cos 4sin 0a ρθρθ++=相切,求实数a 的值.13.以地球中心为坐标原点,地球赤道所在平面为xOy 坐标平面,原点指向北极点的连线方向为z 轴正方向,以O 为端点且与零子午线相交的射线Ox 为x 轴,建立坐标系. 有A ,B 两个城市,它们的球坐标分别为,,64A R ππ⎛⎫⎪⎝⎭,2,,34B R ππ⎛⎫⎪⎝⎭,飞机应该走怎样的航线最快,所走路程有多少？测试九 直线与圆的极坐标方程Ⅰ 学习目标能在极坐标系中给出简单图形(如过极点的直线、过极点或圆心在极点的圆)的方程.通过比较这些图形在极坐标系和平面直角坐标系中的方程,理解用方程表示平面图形时选择适当坐标系的意义.Ⅱ 基础训练题一、选择题1.在极坐标系中,圆2sin ρθ=-的圆心的极坐标是( ) (A)1,2π⎛⎫⎪⎝⎭(B)1,2π⎛⎫-⎪⎝⎭(C)()1,0(D)()1,π2.已知点P 的极坐标为()1,π,那么过点P 且垂直于极轴的直线的极坐标方程为( ) (A)1ρ=(B)cos ρθ= (C)1cos ρθ=-(D)1cos ρθ=3.极坐标方程()sin 0a a ρθ=>所表示的曲线的图形是( )4.圆()cos sin ,a b a b R ρθθ=+∈与极轴相切的充要条件是( ) (A)0ab =(B)0ab ≠(C)0,0a b =≠(D)0,0a b ≠=5.直线1l :()sin a a ρθ+=和2l :()2a a R πθ=-∈的位置关系是( )(A)12l l P(B)12l l ⊥(C)1l 和2l 重合(D)1l 和2l 斜交二、填空题 6.点15,23π⎛⎫-⎪⎝⎭__________(填“在”或“不在”)曲线cos 2θρ=上. 7.圆2cos ρθ=关于直线()4R πθρ=∈对称的圆的直角坐标方程是__________.8.点Q 是圆4cos ρθ=上的一点,当Q 在圆上移动时,OQ (O 是极点)中点P 的轨迹的极坐标方程是__________.9.在极坐标系中,点112,6P π⎛⎫ ⎪⎝⎭到直线sin 16πρθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭的距离等于__________.10.在极坐标系中,圆心为()1,0-,半径为1的圆的极坐标方程为__________. 三、解答题11.已知圆C 的圆心为6,2π⎛⎫⎪⎝⎭,半径为5,直线()0,R θααπρ=≤<∉被圆截得的弦长为8,求α的值.12.(1)求过2,4A π⎛⎫⎪⎝⎭平行于极轴的直线的极坐标方程; (2)直线l 过点3,3A π⎛⎫⎪⎝⎭,且向上的方向与极轴正方向成34π,求直线l 的极坐标方程.13.在直角坐标系xOy 中,以O 为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C 的极坐标方程为cos 13πρθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭,M ,N 分别为曲线C 与x 轴,y 轴的交点. (1)写出曲线C 的直角坐标方程,并求M ,N 的极坐标; (2)设MN 的中点为P ,求直线OP 的极坐标方程.测试十 直线与圆的参数方程Ⅰ 学习目标了解参数方程,了解参数的意义.能选择适当的参数写出直线、圆的参数方程.Ⅱ 基础训练题一、选择题 1.直线2cos30,3sin 60x t y t =-+︒⎧⎨=-︒⎩(t 为参数)的倾斜角α等于( )(A)30︒(B)60︒(C)45-︒(D)135︒2.下列可以作为直线210x y -+=的参数方程的是( ) (A)1,3x t y t =+⎧⎨=+⎩(t 为参数)(B)2,52x t y t =+⎧⎨=-⎩(t 为参数)(C)1,32x t y t=-⎧⎨=-⎩(t 为参数)(D)2,55x y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩(t 为参数)3.由方程22242540x y tx ty t +--+-=(t 为参数)所表示的一组圆的圆心轨迹是( ) (A)一个定点(B)一个椭圆(C)一条拋物线(D)一条直线4.已知某条曲线的参数方程为11,2112x a a y a a ⎧⎛⎫=+ ⎪⎪⎪⎝⎭⎨⎛⎫⎪=- ⎪⎪⎝⎭⎩(a 为参数,且0a >),则该曲线是( )(A)线段(B)圆 (C)双曲线的一部分(D)圆的一部分5.设动点P 在直线1x =上,O 为坐标原点,以OP 为直角边,点O 为直角顶点作等腰直角三角形POQ ,则动点Q 的轨迹是( ) (A)圆(B)两条平行线(C)抛物线(D)双曲线二、填空题6.直线1t,22t x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩(t 为参数)上与点()1,2-__________. 7.在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为3,3x t y t =+⎧⎨=-⎩(参数t R ∈,圆C 的参数方程为cos ,sin 2x y θθ=⎧⎨=+⎩[参数()0,2θπ∈],则圆C 的圆心坐标为__________,圆心到直线l 的距离为__________.8.将参数方程12cos ,2sin x y θθ=+⎧⎨=⎩(θ为参数)化为普通方程为__________.9.一个圆的参数方程为2cos ,2sin x y θθ=⎧⎨=⎩(θ为参数),一条直线的方程为3490x y --=,那么这条直线与圆的位置关系是__________.10.若224x y +=,则x y -的最大值是__________.三、解答题11.设直线1l 过点()1,2-,倾斜角为4π.直线2l :240x y +-=. (1)写出直线1l 的一个参数方程; (2)求直线1l 与2l 的交点.12.已知直线1C :1cos ,sin x t y t αα=+⎧⎨=⎩(t 为参数),圆2C :cos ,sin x y θθ=⎧⎨=⎩(θ为参数).(1)当3πα=时,求1C 与2C 的交点坐标;(2)过坐标原点O 作1C 的垂线,垂足为A ,P 为OA 的中点,当α变化时,求点P 轨迹的参数方程,并指出它是什么曲线.Ⅲ 拓展训练题13.圆M 的方程为2224cos 4sin 30x y Rx Ry R αα+--+=(其中0R >). (1)求该圆圆心M 的坐标及圆M 的半径;(2)当R 固定,α变化时,求圆心M 的轨迹;并证明不论α取什么值,所有的圆M 都外切于一个定圆,且内切于另一个定圆.14.化下列参数方程为普通方程,并作出曲线草图.(1)1sin 2,2sin cos x y θθθ⎧=⎪⎨⎪=+⎩(θ为参数);(2)1,x t y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩t 为参数).测试十一 圆锥曲线的参数方程Ⅰ 学习目标能选择适当的参数写出圆锥曲线的参数方程,并能进行简单的应用.Ⅱ 基础训练题一、选择题1.当参数θ变化时,动点()2cos ,3sin P θθ所确定的曲线必经过( ) (A)点()2,3(B)点()2,0(C)点()1,3(D)点0,2π⎛⎫⎪⎝⎭2.原点到曲线C:12cos ,2sin x y θθ=+⎧⎪⎨=⎪⎩(θ为参数)的最短距离是( )(B)2(C)0(D)63.曲线22,2x pt y pt ⎧=⎨=⎩(t 为参数)上点A ,B 对应的参数分别为1t ,2t ,且120t t +=,那么AB 等于( )(A)14pt(B)()22122p t t +(C)()122p t t +(D)()2122p t t -4.与普通方程210x y +-=等价的参数方程为( )(A)2sin ,cos x t y t =⎧⎨=⎩(t 为参数)(B)2tan ,1tan x t y t =⎧⎨=-⎩(t 为参数)(C)x y t⎧=⎪⎨=⎪⎩(t 为参数)(D)2cos ,sin x t y t =⎧⎨=⎩(t 为参数) 5.在直角坐标系上xOy 中,已知曲线1C :1,12x t y t =+⎧⎨=-⎩(t 为参数)与曲线2C :sin ,3cos x a y θθ=⎧⎨=⎩(θ为参数0a >)有一个公共点在x 轴上，则a 等于( ) (A)2(B)2(C)94(D)32二、填空题6.椭圆3cos ,5sin x y θθ=⎧⎨=⎩(θ为参数)的焦点坐标为__________.7.点()3,P b在曲线1,21x y t ⎧⎪=⎨=--⎪⎩(t 为参数)上,则b =__________.8.将参数方程221,1x t ty t t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩(t 为参数)化为普通方程为__________.9.若1F ,2F 是椭圆2212516x y +=的焦点,P 为楠圆上不在x 轴上的点,则12PF F V 的重心G 的轨迹方程为__________. 10.(),P x y 是曲线2cos ,sin x y αα=+⎧⎨=⎩(α为参数)上任意一点,则()()2211x y +++的最大值为__________. 三、解答题11.设质点M 从点A 处出发沿以原点为圆心,半径为2的圆逆时针方向做匀角速运动,角速度为60rad s π试以时间t 为参数 建立质点M 运动轨迹的参数方程.12.已知曲线1C 的参数方程是2cos ,3sin x y ϕϕ=⎧⎨=⎩(ϕ为参数),以坐标原点为极点, x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线2C 的极坐标系方程是2ρ=,正方形ABCD 的顶点都在2C 上,且A ,B ,C ,D 依逆时针次序排列,点A 的极坐标为2,3π⎛⎫⎪⎝⎭. (1)求点A ,B ,C ,D 的直角坐标;(2)设P 为1C 上任意一点,求2222PA PB PC PD +++的取值范围.13.已知点P 是圆2216x y +=上的一个动点,点A 是x 轴上的定点,坐标为()12,0,当点P 在圆上运动时,线段PA 的中点M 的轨迹是什么？14*.已知直线l 经过点()1,1P ,倾斜角6πα=.(1)写出直线l 的标准参数方程;(2)设l 与圆224x y +=相交于A ,B 两点,求点P 到A ,B 两点的距离之积.测试十二 选修4-4综合测试一、选择题 1.在方程sin ,cos 2x y θθ=⎧⎨=⎩(θ为参数)所表示的曲线上的一点的坐标为( )(A)()2,7-(B)12,33⎛⎫⎪⎝⎭(C)11,22⎛⎫⎪⎝⎭(D)()1,02.过极点作圆()2cos 0a a ρθ=>的弦,则各条弦的中点的轨迹方程为( ) (A)sin a ρθ= (B)cos a ρθ= (C)2sin a ρθ=(D)2cos a ρθ=3.极坐标方程()1sin R 2θρ=∈表示的曲线是( )(A)两条相交直线 (B)两条射线 (C)一条直线(D)一条射线4.直线2,1x t y t =+⎧⎨=--⎩ (t 为参数)与曲线3cos ,3sin x y αα=⎧⎨=⎩(α为参数)的交点个数为( )(A)0个(B)1个(C)2个(D)4个5.若直线y x b =+与曲线cos ,sin x y θθ=⎧⎨=⎩ (θ为参数,且22ππθ-≤≤有两个不同的交点,则实数b 的取值范围是( )(A)(1⎤-⎦(B)((C)⎡⎣(D)[]1,1-二、填空题6.极坐标方程分别是cos ρθ=和sin ρθ=的两个圆的圆心距是__________.7.参数方程cos ,1sin x y αα=⎧⎨=+⎩(α为参数)化为普通方程是__________.8.在极坐标系中,直线l 过点3,3A π⎛⎫ ⎪⎝⎭,3,6B π⎛⎫⎪⎝⎭,则直线l 向上的方向与极轴正方向的夹角等于__________.9.在平面直角坐标系xOy 中,曲线1C 和2C的参数方程分别为,x t y =⎧⎪⎨=⎪⎩(t 为参数)和,x y θθ⎧=⎪⎨=⎪⎩(θ为参数),则曲线1C 与2C 的交点坐标为__________. 10.直线23x y ⎧=-⎪⎨=⎪⎩(t 为参数)上与点()2,3P -的距离等于的点的坐标是__________. 三、解答题 11.已知曲1C :4cos ,3sin x t y t =-+⎧⎨=+⎩(t 为参数),曲线2C :8cos ,3sin x y θθ=⎧⎨=⎩(θ为参数).将曲线1C ,2C 的方程化为普通方程,并说明它们分别表示什么曲线.12.设A 为椭圆221259x y +=上任意一点,B 为圆()2211x y -+=上任意一点,求AB 的最大值和最小值.13.已知直线的参数方程为13,24x t y t=-+⎧⎨=-⎩(t 为参数),它与曲线()2221y x --=交于A ,B两点.(1)求线段AB 的长;(2)求点()1,2P -到线段AB 中点C 的距离.测试十三 极坐标与参数方程专题测试题(一)一、选择题 1.直线23,1x t y t=+⎧⎨=-+⎩(t 为参数)上对应0t =,1t =两点间的距离是( )(A)1(C)10(D)2.曲线21,43x t y t ⎧=+⎨=-⎩(t 为参数)与x 轴交点的直角坐标是( )(A)()1,4(B)25,016⎛⎫⎪⎝⎭(C)()1,3-(D)25,016⎛⎫±⎪⎝⎭3.下列点中在方程cos ,sin 2x y θθ=⎧⎨=⎩(θ为参数)所表示的曲线上的是( )(A)()2,7-(B)12,33⎛⎫⎪⎝⎭(C)()1,1(D)()1,04.在极坐标系中,与圆4sin ρθ=相切的一条直线方程为( ) (A)sin 2ρθ= (B)cos 2ρθ= (C)cos 4ρθ=(D)cos 4ρθ=-5.圆)cos sin ρθθ=+的圆心的极坐标是( )(A)1,4π⎛⎫⎪⎝⎭(B)1,24π⎛⎫⎪⎝⎭(C)4π⎫⎪⎭(D)2,4π⎛⎫⎪⎝⎭二、填空题 6.柱坐标52,,13π⎛⎫⎪⎝⎭对应的点的直角坐标是__________. 7.球坐标2,,63ππ⎛⎫⎪⎝⎭对应的直角坐标是__________. 8.已知点A ,B 的极坐标分别是3,4π⎛⎫ ⎪⎝⎭,73,12π⎛⎫⎪⎝⎭,则点A 和B 之间的距离等于__________.9.在ABC V 中,若BC 的长度为4,中线AD 的长度为3,则点A 的轨迹是__________. 10.已知点P 的极坐标为()1,π,那么过点P 且垂直于极轴的直线的极坐标方程是__________. 三、解答题11.求椭圆()222210x y a b a b+=>>的内接矩形的最大面积.12.已知1O e 和2O e 的极坐标方程分别为4cos ρθ=,4sin ρθ=-. (1)把1O e 和2O e 的极坐标方程化为直角坐标方程; (2)求经过1O e ,2O e 交点的直线的直角坐标方程.13.在直角坐标系xOy 中,直线l 的方程为40x y -+=,曲线C 的参数方程为,sin x y αα⎧=⎪⎨=⎪⎩(α为参数). (1)已知在极坐标系(与直角坐标系xOy 取相同的长度单位,且以原点O 为极点,以x 轴正半轴为极轴)中,点P 的极坐标为4,2π⎛⎫⎪⎝⎭, 判断点P 与直线l 的位置关系; (2)设点Q 是曲线C 上的一个动点,求它到直线l 的距离的最小值.测试十四 极坐标与参数方程专题测试题(二)一、选择题 1.椭圆2cos ,5sin x y θθ=⎧⎨=⎩(θ为参数)的焦距等于( )(B)(D)2.极坐标方程cos ρθ=和参数方程1,23x t y t =--⎧⎨=+⎩(t 为参数)所表示的图形分别是( )(A)圆,直线(B)直线,圆(C)圆,圆(D)直线,直线3.曲线的极坐标方程4sin ρθ=化为直角坐标方程为( ) (A)()2224x y ++=(B)()2224x y +-=(C)()2224x y -+=(D)()2224x y ++=4.极坐标方程24sin 52θρ=表示的曲线是( )(A)圆(B)椭圆(C)双曲线(D)抛物线5.对于参数方程1cos30,2sin 30,x t y =-︒⎧⎨=+︒⎩正确的结论是( )(A)是倾斜角为30︒的直线(B)是倾斜角为60︒的一条直线 (C)是倾斜角为150︒的一条直线(D)是倾斜角为120︒的直线二、填空题6.将极坐标方程cos 4πρθ⎛⎫=-⎪⎝⎭化为直角坐标方程为__________. 7.将双曲线的普通方程222x y -=化为极坐标方程为__________. 8.将参数方程2cos ,sin x t y t =⎧⎨=⎩(t 为参数)化为普通方程为__________. 9.已知圆C 的参数方程为cos ,1sin x y αα=⎧⎨=+⎩(α为参数),以原点为极点,x 轴正半轴为极轴建立极坐标系,直线l 的极坐标方程为sin 1ρθ=,则l 与C 的交点的直角坐标为_______.10.设(),P x y 为椭圆22134x y +=上的动点,则2x y +的最大值为__________,最小值为__________. 三、解答题11.在平面直角坐标系中,以坐标原点O 为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系.已知直线l 上两点M ,N 的极坐标分别为()2,0,2π⎫⎪⎪⎝⎭,圆C 的参数方程22cos ,2sin x y θθ=+⎧⎪⎨=⎪⎩(θ为参数). (1)设P 为线段MN 的中点,求直线OP 的平面直角坐标方程; (2)判断直线l 与圆C 的位置关系.12. 在直角坐标系xOy 中,直线l 的参数方程为23,2252x t y t ⎧=-⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩(t 为参数),在极坐标系(与直角坐标系xOy 取相同的长度单位,且以原点O 为极点,以x 轴正半轴为极轴)中,圆C 的方程25sin ρθ=. (1)求圆C 的直角坐标方程;(2)设圆C 与直线l 交于点A ,B 若点P 的坐标为()3,5,求PA PB +.13.已知参数方程1sin ,1cos x t t y t t θθ⎧⎛⎫=+ ⎪⎪⎪⎝⎭⎨⎛⎫⎪=- ⎪⎪⎝⎭⎩()0t ≠.(1)若t 为常数,θ为参数,方程所表示的曲线是什么？ (2)若θ为常数, t 为参数,方程所表示的曲线是什么？参考答案 测试一 相似三角形一、选择题1.D2.D3.A4.C5.D 二、填空题6.247.4:58.65︒或115︒9.56 10.4 三、解答题11.证明:如图,AB AC =Q ,AD 是中线,AD ∴是ABC V 的对称轴.PC PB ∴=,PCE ABP ∠=∠.CF AB Q P , PFC ABP ∴∠=∠.PCE PFC ∴∠=∠.又CPE EPC ∠=∠,EPC CPF ∴V :V .PC PEPF PC∴=.即2PC PE PF =⋅. 12.证明:E Q 是AC 的中点,DE CE ∴=.C EDC BDF ∴∠=∠=∠.BAD C ∠=∠Q ,BDF BAD ∴∠=∠. F F ∠=∠Q ,DFB AFD ∴V :V .13.证明:如图, 60A ∠=︒Q ,BD ,CE 是两条高,30ABD ACE ∴∠=∠=︒12AD AB ∴=,12AE AC =,12AD AE AB AC ∴==, 又A A ∠=∠,ADE ABC ∴V :V ,12DE AD BC AB ∴==,12DE BC ∴=.14.证明:如图,过F 作FG CE ⊥于G ,则12CG CE =. Q 四边形ABCD 是正方形,AB CD ∴P ,AB BC CD ==,90B ∠=︒.BEC FCE ∴∠=∠,90B FGC ∠=∠=︒. BCE GFC ∴V :V .BE ECCG FC∴=. 设AE BE x ==,则2BC CD AB x ===,()222225CE BC BE x x x =+=+=.55x x ∴=,2x DF ∴=.12DF AE ∴=. AB CD Q P ,AEP DFP ∴V :V .2AE APDF PD∴==. 12412AEPDFPAE AP S S DF DP ⋅∴==⋅V V .4AEP DFP S S ∴=V V . 测试二 圆周角与弦切角—、选择题1.C2.D3.B4.C5.D 二、填空题6.70︒7.30︒8.105︒9.40︒,120︒,2 10.①②④ 三、解答题11.解:如图,AB Q 为直径,90ACB ∴∠=︒.30CAB ∠=︒Q ,60ABC ∴∠=︒,»»12BC AC =.AD DC ∴=,»»»12AD DC AC ∴==,»»BCAD ∴=. BC AD ∴=.在Rt ABC V 中,30CAB ∠=︒Q ,23AC =,且tan BC AC CAB =⋅∠,23tan 302BC ∴=⨯︒=.2AD ∴=.12.证明:如图,连接OD ,则OD DC ⊥. 又OA OD =,DA DC =, 所以DAO ODA DCO ∠=∠=∠,2DOC DAO ODA DCO ∠=∠+∠=∠.所以30DCO ∠=︒,60DOC ∠=︒.所以2OC OD =,即OB BC OD OA ===.所以2AB BC =.13.证明:如图,连接BC .AB Q 是O e 的直径,90ACB ∴∠=︒.90B CAB ∴∠+∠=︒.AD CE ⊥Q ,90ADC ∴∠=︒.90CE ACD B B O A C C C D A ⎫⇒∠=∠⇒∠+∠=︒⎬⎭e 切于为弦.CAD CAB ∴∠=∠,即AC 平分BAD ∠.测试三 圆幂定理与圆内接四边形一、选择题1.D2.C3.D4.D5.A 二、填空题。

（人教A 版）高中数学选修4-1（全册）课时同步练习汇总课时跟踪检测(一) 平行线等分线段定理一、选择题1．在梯形ABCD 中, M , N 分别是腰AB 与腰CD 的中点, 且AD ＝2, BC ＝4, 则MN 等于( )A ．2.5B ．3C ．3.5D ．不确定解析：选B 由梯形中位线定理知选B.2．如图, AD 是△ABC 的高, E 为AB 的中点, EF ⊥BC 于F , 如果DC ＝13BD , 那么FC是BF 的( )A.53倍B.43倍C.32倍D.23倍 解析：选A ∵EF ⊥BC , AD ⊥BC , ∴EF ∥AD .又E 为AB 的中点, 由推论1知F 为BD 的中点, 即BF ＝FD . 又DC ＝13BD ,∴DC ＝23BF .∴FC ＝FD ＋DC ＝BF ＋DC ＝53BF .3．梯形的中位线长为15 cm, 一条对角线把中位线分成3∶2两段, 那么梯形的两底长分别为( )A ．12 cm 18 cmB ．20 cm 10 cmC ．14 cm 16 cmD ．6 cm 9 cm解析：选A 如图, 设MP ∶PN ＝2∶3, 则MP ＝6 cm, PN ＝9 cm. ∵MN 为梯形ABCD 的中位线, 在△BAD 中, MP 为其中位线, ∴AD ＝2MP ＝12 cm. 同理可得BC ＝2PN ＝18 cm.4．梯形的一腰长为10 cm, 该腰和底边所形成的角为30°, 中位线长为12 cm, 则此梯形的面积为 ( )A ．30 cm 2B ．40 cm 2C ．50 cm 2D ．60 cm 2 解析：选D 如图, 过A 作AE ⊥BC , 在Rt △ABE 中, AE ＝AB sin 30°＝5 cm.又已知梯形的中位线长为12 cm, ∴AD＋BC＝2×12＝24(cm)．∴梯形的面积S＝12(AD＋BC)·AE＝12×5×24＝60 (cm2)．二、填空题5．如图, 在AD两旁作AB∥CD且AB＝CD, A1, A2为AB的两个三等分点, C1, C2为CD 的两个三等分点, 连接A1C, A2C1, BC2, 则把AD分成四条线段的长度________(填“相等”或“不相等”)．解析：如图, 过A作直线AM平行于A1C, 过D作直线DN平行于BC2, 由AB∥CD, A1, A2为AB的两个三等分点, C1, C2为CD的两个三等分点, 可得四边形A1CC1A2, 四边形A2C1C2B为平行四边形,所以A1C∥A2C1∥C2B, 所以AM∥A1C∥A2C1∥C2B∥DN, 因为AA1＝A1A2＝A2B＝CC1＝C1C2＝C2D, 由平行线等分线段定理知, A1C, A2C1, BC2把AD分成四条线段的长度相等．答案：相等6．如图, 在△ABC中, E是AB的中点, EF∥BD, EG∥AC交BD于G, CD＝12AD, 若EG＝2 cm, 则AC＝______；若BD＝10 cm, 则EF＝________.解析：由E是AB的中点, EF∥BD, 得F为AD的中点．由EG∥AC, 得EG＝12AD＝FD＝2 cm,结合CD＝12AD,可以得到F, D是AC的三等分点, 则AC＝3EG＝6 cm.由EF∥BD, 得EF＝12BD＝5 cm.答案：6 cm 5 cm7．如图, AB＝AC, AD⊥BC于点D, M是AD的中点, CM交AB于点P, DN∥CP.若AB ＝6 cm, 则AP＝________；若PM＝1 cm, 则PC＝________.解析：由AD⊥BC, AB＝AC, 知BD＝CD,又DN∥CP,∴BN＝NP,又AM＝MD, PM∥DN, 知AP＝PN,∴AP＝13AB＝2 cm.易知PM＝12DN, DN＝12PC,∴PC＝4PM＝4 cm.答案：2 cm 4 cm三、解答题8．已知△ABC中, D是AB的中点, E是BC的三等分点(BE>CE), AE, CD交于点F.求证：F是CD的中点．证明：如图,过D作DG∥AE交BC于G,在△ABE中, ∵AD＝BD, DG∥AE,∴BG＝GE.∵E是BC的三等分点,∴BG＝GE＝EC.在△CDG中, ∵GE＝CE, DG∥EF,∴DF＝CF,即F是CD的中点．9.如图, 在等腰梯形中, AB∥CD, AD＝12 cm, AC交梯形中位线EG于点F, 若EF＝4 cm, FG＝10 cm.求此梯形的面积．解：作高DM, CN,则四边形DMNC为矩形．∵EG是梯形ABCD的中位线,∴EG∥DC∥AB.∴F是AC的中点．∴DC＝2EF＝8, AB＝2FG＝20,MN＝DC＝8.在Rt△ADM和Rt△BCN中,AD＝BC, ∠DAM＝∠CBN, ∠AMD＝∠BNC,∴△ADM≌△BCN.∴AM＝BN＝12(20－8)＝6.∴DM＝AD2－AM2＝122－62＝6 3.∴S梯形＝EG·DM＝14×63＝84 3 (cm2)．10.已知：梯形ABCD中, AD∥BC, 四边形ABDE是平行四边形, AD 的延长线交EC于F.求证：EF＝FC.证明：法一：如图, 连接BE交AF于点O.∵四边形ABDE是平行四边形,∴BO＝OE.又∵AF∥BC,∴EF＝FC.法二：如图,延长ED交BC于点H.∵四边形ABDE是平行四边形,∴AB∥ED, AB∥DH,AB＝ED.又∵AF∥BC,∴四边形ABHD是平行四边形．∴AB＝DH.∴ED＝DH.∴EF＝FC.法三：如图, 延长EA交CB的延长线于点M.∵四边形ABDE是平行四边形,∴BD∥EA, AE＝BD.又∵AD∥BC.∴四边形AMBD是平行四边形．∴AM ＝BD . ∴AM ＝AE . ∴EF ＝FC .课时跟踪检测(二) 平行线分线段成比例定理一、选择题1.如图所示, DE ∥AB , DF ∥BC , 下列结论中不．正确的是( ) A.AD DC ＝AF DE B.CE CB ＝BF ABC.CD AD ＝CE DFD.AF BF ＝DF BC解析：选D ∵DF ∥EB , DE ∥FB , ∴四边形DEBF 为平行四边形． ∴DE ＝BF , DF ＝EB . ∴AD DC ＝AF FB ＝AFDE , A 正确． CE CB ＝DE AB ＝BFAB , B 正确． CD AD ＝CE EB ＝CEDF , C 正确．2．已知线段a , m , n 且ax ＝mn , 求作x , 图中作法正确的是( )解析：选C 因为ax ＝mn , 所以a m ＝nx , 故选C.3.如图, 在△ACE 中, B , D 分别在AC , AE 上, 下列推理不．正确的是( )A．BD∥CE⇒ABAC＝BDCE B．BD∥CE⇒ADAE＝BDCEC．BD∥CE⇒ABBC＝ADDE D．BD∥CE⇒ABBC＝BDCE解析：选D由平行线分线段成比例定理的推论不难得出选项A、B、C都是正确的, D 项是错误的．4．如图, 将一块边长为12的正方形纸ABCD的顶点A, 折叠至DC边上的点E, 使DE ＝5, 折痕为PQ, 则线段PM和MQ的比是()A．5∶12 B．5∶13 C．5∶19 D．5∶21解析：选C如图, 作MN∥AD交DC于N,∴DNNE＝AMME.又∵AM＝ME, ∴DN＝NE＝12DE＝52.∴NC＝NE＋EC＝52＋7＝192.∵PD∥MN∥QC,∴PMMQ＝DNNC＝52192＝519.二、填空题5．如图所示, 已知DE∥BC, BF∶EF＝3∶2, 则AC∶AE＝________.解析：∵DE∥BC,∴AEAC＝DEBC＝EFBF.∵BF∶EF＝3∶2,∴AC∶AE＝3∶2.答案：3∶26.如图, 在△ABC中, 点D是AC的中点, 点E是BD的中点, AE的延长线交BC于点F, 则BFFC＝________.解析：过点D作DM∥AF交BC于点M. ∵点E是BD的中点,∴在△BDM中, BF＝FM.∵点D是AC的中点,∴在△CAF中, CM＝MF.∴BFFC＝BFFM＋MC＝12.答案：1 27．如图, 四边形ABCD中, ∠A＝∠B＝90°, AD∶AB∶BC＝3∶4∶6, E, F分别是AB, CD上的点, AE∶AB＝DF∶DC＝1∶3.若四边形ABCD的周长为1, 则四边形AEFD的周长为________．解析：因为在四边形ABCD中, ∠A＝∠B＝90°, AD∶AB∶BC＝3∶4∶6,所以可设AD＝3k, AB＝4k, BC＝6k,作DG⊥BC交BC于点G, 交EF于点H,则DG＝4k, GC＝3k,所以DC＝16k2＋9k2＝5k,因为四边形ABCD的周长为1,所以3k＋4k＋6k＋5k＝1, 所以k＝1 18,因为E, F分别是AB, CD上的点, AE∶AB＝DF∶DC＝1∶3,所以AE＝4k3, DF＝5k3,取BE , CF 的中点M , N , 令EF ＝x , MN ＝y ,则由梯形中位线得⎩⎪⎨⎪⎧2x ＝3k ＋y ，2y ＝x ＋6k ，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4k ，y ＝5k ，即EF ＝4k .所以四边形AEFD 的周长是 3k ＋4k 3＋4k ＋5k 3＝10k ＝10×118＝59.答案：59三、解答题8.如图, B 在AC 上, D 在BE 上, 且AB ∶BC ＝2∶1, ED ∶DB ＝2∶1, 求AD ∶DF .解：过点D 作DG ∥AC 交FC 于点G , 则DG BC ＝ED EB ＝23, 所以DG ＝23BC , 又BC ＝13AC ,所以DG ＝29AC ,所以DF AF ＝DG AC ＝29, 所以DF ＝29AF ,从而AD ＝79AF , 故AD ∶DF ＝7∶2.9.如图, 在四边形ABCD 中, AC , BD 交于点O , 过O 作AB 的平行线, 与AD , BC 分别交于E , F , 与CD 的延长线交于K .求证：KO 2＝KE ·KF .证明：延长CK , BA , 设它们交于点H . 因为KO ∥HB ,所以KO HB ＝DK DH , KE HA ＝DK DH . 所以KO HB ＝KE HA , 即KO KE ＝HB HA . 因为KF ∥HB , 同理可得KF KO ＝HBHA .所以KO KE ＝KFKO , 即KO 2＝KE ·KF .10.如图所示, 在梯形ABCD中, AD∥BC, EF经过梯形对角线的交点O, 且EF∥AD.(1)求证：EO＝OF；(2)求EOAD＋EOBC的值；(3)求证：1AD＋1BC＝2EF.解：(1)证明：∵EF∥AD, AD∥BC, ∴EF∥AD∥BC.∵EF∥BC, ∴EOBC＝AEAB,OFBC＝DFDC.∵EF∥AD∥BC,∴AEAB＝DFDC.∴EOBC＝OFBC.∴EO＝OF. (2)∵EO∥AD,∴EOAD＝BEBA.由(1)知EOBC＝AEAB,∴EOAD＋EOBC＝BEBA＋AEAB＝BE＋AEAB＝1.(3)证明：由(2)知EOAD＋EOBC＝1,∴2EOAD＋2EOBC＝2.又EF＝2EO,∴EFAD＋EFBC＝2.∴1AD＋1BC＝2EF.课时跟踪检测(三)相似三角形的判定一、选择题1．如图所示, 点E是▱ABCD的边BC延长线上的一点, AE与CD相交于点F, 则图中相似三角形共有()A．2对B．3对C．4对D．5对解析：选B有3对, 因为∠ABC＝∠ADF, ∠AEB＝∠EAD, 所以△ABE∽△FDA, 因为∠ABC＝∠DCE, ∠E为公共角,所以△BAE∽△CFE.因为∠AFD＝∠EFC, ∠DAF＝∠AEC,所以△ADF∽△ECF.2．三角形的一条高分这个三角形为两个相似三角形, 则这个三角形是()A．直角三角形B．等腰三角形C．等腰直角三角形D．等腰三角形或直角三角形解析：选D等腰三角形底边上的高或直角三角形斜边上的高分得的两个三角形分别相似．3．如图, 要使△ACD ∽△BCA , 下列各式中必须成立的是( ) A.AC AB ＝AD BC B.AD CD ＝AC BC C ．AC 2＝CD ·CB D ．CD 2＝AC ·AB解析：选C ∠C ＝∠C , 只有AC CD ＝CBAC , 即AC 2＝CD ·CB 时, 才能使△ACD ∽△BCA . 4．如图, 在等边三角形ABC 中, E 为AB 的中点, 点D 在AC 上, 使得AD AC ＝13, 则有( )A ．△AED ∽△BEDB ．△AED ∽△CBDC ．△AED ∽△ABD D ．△BAD ∽△BCD 解析：选B 因为∠A ＝∠C , BC AE ＝CDAD＝2, 所以△AED ∽△CBD . 二、填空题5．如图所示, 在△ABC 中, 点D 在线段BC 上, ∠BAC ＝∠ADC , AC ＝8, BC ＝16, 那么CD ＝________.解析：∵∠BAC ＝∠ADC , 又∠C ＝∠C , ∴△ABC ∽△DAC . ∴AC CD ＝BC AC . 又∵AC ＝8, BC ＝16. ∴CD ＝4. 答案：46．如图所示, ∠ACB＝90°, CD⊥AB于点D, BC＝3, AC＝4, 则AD＝________, BD＝________.解析：由题设可求得AB＝5,∵Rt△ABC∽Rt△ACD,∴ABAC＝ACAD.∴AD＝AC2AB＝165.又∵Rt△ABC∽Rt△CBD,∴ABCB＝BCBD.∴BD＝BC2AB＝95.答案：165957．已知在△ABC中, AD为∠BAC的平分线, AD的垂直平分线EF与AD交于点E, 与BC的延长线交于点F, 若CF＝4, BC＝5, 则DF＝________.解析：连接AF.∵EF⊥AD, AE＝ED,∴AF＝DF,∠FAD＝∠FDA.又∵∠FAD＝∠DAC＋∠CAF,∠FDA＝∠BAD＋∠B,且∠DAC＝∠BAD,∴∠CAF＝∠B.而∠CFA＝∠AFB, ∴△AFC∽△BFA.∴AFCF＝BFAF.∴AF2＝CF·BF＝4×(4＋5)＝36.∴AF＝6, 即DF＝6.答案：6三、解答题8.如图, D在AB上, 且DE∥BC交AC于点E, F在AD上, 且AD2＝AF·AB.求证：△AEF∽△ACD.证明：∵DE∥BC, ∴ADAB＝AEAC.∵AD2＝AF·AB, ∴ADAB＝AFAD.∴AEAC＝AFAD.又∠A＝∠A, ∴△AEF∽△ACD.9.如图, 直线EF交AB, AC于点F, E, 交BC的延长线于点D, AC⊥BC, 且AB·CD＝DE·AC.求证：AE·CE＝DE·EF.证明：∵AB·CD＝DE·AC∴ABDE＝ACCD.∵AC⊥BC,∴∠ACB＝∠DCE＝90°.∴△ACB∽△DCE.∴∠A＝∠D.又∵∠AEF＝∠DEC, ∴△AEF∽△DEC.∴AEDE＝EFCE.∴AE·CE＝DE·EF.10.如图, 在△ABC中, EF∥CD, ∠AFE＝∠B, AE＝6, ED＝3, AF＝8.(1)求AC的长；(2)求CD2BC2的值．解：(1)∵EF∥CD,∴AEAD＝AFAC.∵AE＝6, ED＝3, AF＝8,∴66＋3＝8AC.∴AC＝12.(2)∵EF∥DC, ∴∠AFE＝∠ACD, 又∠AFE＝∠B, ∴∠ACD＝∠B. 又∠A＝∠A,∴△ACD∽△ABC.∴CDBC＝ADAC＝6＋312＝34.∴CD2BC2＝916.课时跟踪检测(四) 相似三角形的性质一、选择题1．如图, △ABC 中, DE ∥BC , 若AE ∶EC ＝1∶2, 且AD ＝4 cm, 则DB 等于( )A ．2 cmB ．6 cmC ．4 cmD ．8 cm解析：选D 由DE ∥BC , 得△ADE ∽△ABC , ∴AD AB ＝AE AC , ∴AD DB ＝AE EC ＝12. ∴DB ＝4×2＝8(cm)．2.如图, 在▱ABCD 中, E 是BC 的中点, AE 交对角线BD 于点G , 且△BEG 的面积是1 cm 2, 则▱ABCD 的面积为( )A ．8 cm 2B ．10 cm 2C ．12 cm 2D ．14 cm 2解析：选C 因为AD ∥BC , 所以△BEG ∽△DAG , 因为BE ＝EC , 所以BE BC ＝BE DA ＝12.所以S △BEG S △DAG ＝⎝⎛⎭⎫BE DA 2＝14, 即S △DAG ＝4S △BEG ＝4(cm 2)． 又因为AD ∥BC , 所以AG EG ＝DABE ＝2, 所以S △BAG S △BEG ＝AG EG＝2,所以S △BAG ＝2S △BEG ＝2(cm 2),所以S △ABD ＝S △BAG ＋S △DAG ＝2＋4＝6(cm 2), 所以S ▱ABCD ＝2S △ABD ＝2×6＝12(cm 2)．3．如图所示, 在▱ABCD 中, AB ＝10, AD ＝6, E 是AD 的中点, 在AB 上取一点F , 使△CBF ∽△CDE , 则BF 的长是( )A ．5B ．8.2C ．6.4D ．1.8解析：选D ∵△CBF ∽△CDE , ∴BF DE ＝CB CD .∴BF ＝DE ·CB CD ＝3×610＝1.8.4．如图, AB ∥EF ∥CD , 已知AB ＝20, DC ＝80, 那么EF 的值是( )A ．10B ．12C ．16D ．18解析：选C ∵AB ∥EF ∥CD , ∴AE EC ＝AB DC ＝2080＝14.∴EF AB ＝EC AC ＝45.∴EF ＝45AB ＝45×20＝16.二、填空题5．(广东高考)如图, 在平行四边形 ABCD 中, 点E 在AB 上且EB ＝2AE , AC 与DE 交于点F , 则△CDF 的周长△AEF 的周长＝________.解析：由CD ∥AE , 得△CDF ∽△AEF , 于是△CDF 的周长△AEF 的周长＝CD AE ＝AB AE ＝3.答案：36．如图, 在△ABC 中有一个矩形EFGH , 其顶点E , F 分别在AC , AB 上, G , H 在BC 上, 若EF ＝2FG , BC ＝20, △ABC 的高AD ＝10, 则FG ＝________.解析：设FG ＝x , 因为EF ＝2FG , 所以EF ＝2x .因为EF ∥BC , 所以△AFE ∽△ABC , 所以AM AD ＝EFBC , 即10－x 10＝2x 20,解得x ＝5, 即FG ＝5. 答案：57．如图所示, 在矩形ABCD 中, AE ⊥BD 于E , S 矩形ABCD ＝40 cm 2.S △ABE ∶S △DBA ＝1∶5, 则AE 的长为________．解析：因为∠BAD ＝90°, AE ⊥BD , 所以△ABE ∽△DBA .所以S △ABE ∶S △DBA ＝AB 2∶DB 2. 因为S △ABE ∶S △DBA ＝1∶5, 所以AB ∶DB ＝1∶ 5. 设AB ＝k cm, DB ＝5k cm, 则AD ＝2k cm.因为S 矩形ABCD ＝40 cm 2,所以k ·2k ＝40, 所以k ＝25(cm)． 所以BD ＝5k ＝10 (cm), AD ＝45(cm)． 又因为S △ABD ＝12BD ·AE ＝20,所以12·10·AE ＝20.所以AE ＝4(cm)． 答案：4 cm 三、解答题8．如图, 已知△ABC 中, ∠A ＝90°, AB ＝AC , D 为AB 的中点, E 是AC 上的点, BE , CD 交于点M .若AC ＝3AE , 求∠EMC 的度数．解：如图, 作EF ⊥BC 于点F , 设AB ＝AC ＝3, 则AD ＝32, BC ＝32,CE ＝2, EF ＝FC ＝ 2. ∴BF ＝BC －FC ＝2 2.∴EF ∶BF ＝2∶22＝1∶2＝AD ∶AC . ∴△FEB ∽△ADC , ∴∠2＝∠1. ∵∠EMC ＝∠2＋∠MCB ,∴∠EMC ＝∠1＋∠MCB ＝∠ACB ＝45°.9.如图, ▱ABCD 中, E 是CD 的延长线上一点, BE 与AD 交于点F , DE ＝12CD .(1)求证：△ABF ∽△CEB ；(2)若△DEF 的面积为2, 求▱ABCD 的面积． 解：(1)证明：∵四边形ABCD 是平行四边形, ∴∠A ＝∠C , AB ∥CD . ∴∠ABF ＝∠E . ∴△ABF ∽△CEB .(2)∵四边形ABCD 是平行四边形, ∴AD ∥BC , AB ∥CD .∴△DEF ∽△CEB , △DEF ∽△ABF . ∵DE ＝12CD ,∴S △DEF S △CEB ＝⎝⎛⎭⎫DE EC 2＝19, S △DEF S △ABF ＝⎝⎛⎭⎫DE AB 2＝14. ∵S △DEF ＝2,∴S △CEB ＝18, S △ABF ＝8, ∴S 四边形BCDF ＝S △CEB －S △DEF ＝16. ∴S ▱ABCD ＝S 四边形BCDF ＋S △ABF ＝16＋8＝24.10．如图所示, 甲、乙、丙三位同学欲测量旗杆AB 的高度, 甲在操场上C 处直立3 m 高的竹竿CD , 乙从C 处退到E 处恰好看到竹竿顶端D 与旗杆顶端B 重合, 量得CE ＝3 m, 乙的眼睛到地面的距离FE＝1.5 m ；丙在C 1处也直立3 m 高的竹竿C 1D 1, 乙从E 处退后6 m 到E 1处, 恰好看到竹竿顶端D 1与旗杆顶端B 也重合, 量得C 1E 1＝4 m, 求旗杆AB的高．解：设F 1F 与AB , CD , C 1D 1分别交于点G , M , N , GB ＝x m, GM ＝y m. 因为MD ∥GB ,所以∠BGF ＝∠DMF , ∠GBF ＝∠MDF , 所以△BGF ∽△DMF , 所以MD GB ＝MF GF.又因为MD ＝CD －CM ＝CD －EF ＝1.5 (m), 所以1.5x ＝33＋y.①又因为ND 1∥GB , 同理可证得△BGF 1∽△D 1NF 1, 所以ND 1GB ＝NF 1GF 1,即1.5x ＝4y ＋3＋6.②解方程①②组成的方程组, 得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝9，y ＝15.又AB ＝GB ＋GA ＝9＋1.5＝10.5(m), 即旗杆AB 的高为10.5 m.课时跟踪检测(五) 直角三角形的射影定理一、选择题1．已知Rt △ABC 中, 斜边AB ＝5 cm, BC ＝2 cm, D 为AC 上一点, DE ⊥AB 交AB 于点E , 且AD ＝3.2 cm, 则DE 等于( )A ．1.24 cmB ．1.26 cmC ．1.28 cmD ．1.3 cm 解析：选C 如图, ∵∠A ＝∠A , ∴Rt △ADE ∽Rt △ABC , ∴AD AB ＝DEBC, ∴DE ＝AD ·BC AB ＝3.2×25＝1.28 (cm)．2．已知直角三角形中两直角边的比为1∶2, 则它们在斜边上的射影比为( ) A ．1∶2 B ．2∶1 C ．1∶4D ．4∶1解析：选C 设直角三角形两直角边长分别为1和2, 则斜边长为5, ∴两直角边在斜边上的射影分别为15和45. 3．一个直角三角形的一条直角边为3 cm, 斜边上的高为2.4 cm, 则这个直角三角形的面积为( )A ．7.2 cm 2B ．6 cm 2C ．12 cm 2D ．24 cm 2解析：选B 长为3 cm 的直角边在斜边上的射影为32－2.42＝1.8(cm), 由射影定理知斜边长为321.8＝5(cm),∴三角形面积为12×5×2.4＝6(cm 2)．4．如图所示, 在△ABC 中, ∠ACB ＝90°, CD ⊥AB , D 为垂足, 若CD ＝6 cm, AD ∶DB ＝1∶2, 则AD 的长是( )A．6 cm B．3 2 cm C．18 cm D．3 6 cm解析：选B∵AD∶DB＝1∶2,∴可设AD＝t, DB＝2t.又∵CD2＝AD·DB, ∴36＝t·2t,∴2t2＝36, ∴t＝32(cm), 即AD＝3 2 cm.二、填空题5．若等腰直角三角形的一条直角边长为1, 则该三角形在直线l上的射影的最大值为________．解析：射影的最大值即为等腰直角三角形的斜边长．答案： 26．如图所示, 四边形ABCD是矩形, ∠BEF＝90°, ①②③④这四个三角形能相似的是________．解析：因为四边形ABCD为矩形,所以∠A＝∠D＝90°.因为∠BEF＝90°, 所以∠AEB＋∠DEF＝90°.因为∠DEF＋∠DFE＝90°, 所以∠AEB＝∠DFE.所以△ABE∽△DEF.答案：①③7．如图, 在Rt△ABC中, ∠ACB＝90°, CD⊥AB, AC＝6, AD＝3.6, 则BC＝________.解析：由射影定理得,AC2＝AD·AB, BC2＝BD·AB,∴AC2BC2＝ADBD, 即BC2＝AC2·BDAD.又∵CD2＝AD·BD,∴BD＝CD2 AD.∴BC2＝AC2·CD2AD2＝62(62－3.62)3.62＝64.∴BC＝8.答案：8三、解答题8．如图所示, D为△ABC中BC边上的一点, ∠CAD＝∠B, 若AD ＝6, AB＝10, BD＝8, 求CD的长．解：在△ABD中, AD＝6, AB＝10, BD＝8,满足AB2＝AD2＋BD2,∴∠ADB＝90°, 即AD⊥BC.又∵∠CAD＝∠B, 且∠C＋∠CAD＝90°.∴∠C＋∠B＝90°, 即∠BAC＝90°.故在Rt△BAC中, AD⊥BC,由射影定理知AD2＝BD·CD, 即62＝8·CD,∴CD＝9 2.9.如图, AD, BE是△ABC的两条高, DF⊥AB, 垂足为F, 直线FD交BE 于点G , 交AC 的延长线于点H .求证：DF 2＝GF ·HF .证明：在△AFH 与△GFB 中,因为∠H ＋∠BAC ＝90°, ∠GBF ＋∠BAC ＝ 90°, 所以∠H ＝∠GBF .因为∠AFH ＝∠GFB ＝90°, 所以△AFH ∽△GFB . 所以HF BF ＝AF GF ,所以AF ·BF ＝GF ·HF .因为在Rt △ABD 中, FD ⊥AB , 所以DF 2＝AF ·BF , 所以DF 2＝GF ·HF .10．已知直角三角形的周长为48 cm, 一锐角平分线分对边为3∶5两部分． (1)求直角三角形的三边长； (2)求两直角边在斜边上的射影的长． 解：(1)如图, 设CD ＝3x , BD ＝5x , 则BC ＝8x , 过D 作DE ⊥AB , 由题意可得, DE ＝3x , BE ＝4x , ∴AE ＋AC ＋12x ＝48. 又AE ＝AC ,∴AC ＝24－6x , AB ＝24－2x . ∴(24－6x )2＋(8x )2＝(24－2x )2,解得x 1＝0(舍去), x 2＝2. ∴AB ＝20, AC ＝12, BC ＝16, ∴三边长分别为20 cm,12 cm,16 cm. (2)作CF ⊥AB 于点F , ∴AC 2＝AF ·AB .∴AF ＝AC 2AB ＝12220＝365(cm)；同理, BF ＝BC 2AB ＝16220＝645(cm)．∴两直角边在斜边上的射影长分别为365 cm, 645 cm.课时跟踪检测(六) 圆周角定理一、选择题1．如图, △ABC 内接于⊙O , OD ⊥BC 于D , ∠A ＝50°, 则∠OCD 的度数是( )A ．40°B ．25°C ．50°D ．60°解析：选A 连接OB .因为∠A ＝50°, 所以BC 弦所对的圆心角∠BOC ＝100°, ∠COD ＝12∠BOC ＝50°, ∠OCD ＝90°－∠COD ＝90°－50°＝40°.所以∠OCD ＝40°.2．如图, CD 是⊙O 的直径, 弦AB ⊥CD 于点E , ∠BCD ＝25°, 则下列结论错误的是( )A ．AE ＝BEB ．OE ＝DEC ．∠AOD ＝50°D ．D 是AB 的中点解析：选B 因为CD 是⊙O 的直径, 弦AB ⊥CD , 所以AD ＝BD , AE ＝BE . 因为∠BCD ＝25°,所以∠AOD ＝2∠BCD ＝50°, 故A 、C 、D 项结论正确, 选B.3．Rt △ABC 中, ∠C ＝90°, ∠A ＝30°, AC ＝23, 则此三角形外接圆的半径为( ) A. 3 B ．2 C ．2 3D ．4解析：选B 由推论2知AB 为Rt △ABC 的外接圆的直径, 又AB ＝23cos 30°＝4, 故外接圆半径r ＝12AB ＝2.4．如图, 已知AB 是半圆O 的直径, 弦AD , BC 相交于点P , 若CD ＝3, AB ＝4, 则tan ∠BPD 等于( )A.34B.43C.53D.73解析：选D 连接BD , 则∠BDP ＝90°. ∵△CPD ∽△APB , ∴CD AB ＝PD PB ＝34.在Rt △BPD 中, cos ∠BPD ＝PD PB ＝34,∴tan ∠BPD ＝73. 二、填空题5．如图, △ABC 为⊙O 的内接三角形, AB 为⊙O 的直径, 点D 在⊙O 上, ∠ADC ＝68°, 则∠BAC ＝________.解析：AB 是⊙O 的直径, 所以弧ACB 的度数为180 °, 它所对的圆周角为90°, 所以∠BAC ＝90°－∠ABC ＝90°－∠ADC ＝90°－68°＝22°.答案：22°6．如图, A , E 是半圆周上的两个三等分点, 直径BC ＝4, AD ⊥BC , 垂足为D , BE 与AD 相交于点F , 则AF 的长为______．解析：如图, 连接AB , AC , 由A , E 为半圆周上的三等分点, 得∠FBD ＝30°, ∠ABD ＝60°, ∠ACB ＝30°. 由BC ＝4,得AB ＝2, AD ＝3, BD ＝1,则DF ＝33, 故AF ＝233. 答案：2337．如图所示, 已知⊙O 为△ABC 的外接圆, AB ＝AC ＝6, 弦AE 交BC 于点D , 若AD ＝4, 则AE ＝________.解析：连接CE , 则∠AEC ＝∠ABC . 又△ABC 中, AB ＝AC , ∴∠ABC ＝∠ACB , ∴∠AEC ＝∠ACB , ∴△ADC ∽△ACE , ∴AD AC ＝AC AE , ∴AE ＝AC 2AD ＝9.答案：9 三、解答题8．如图, AB 是⊙O 的直径, 弦CD ⊥AB 于点N , 点M 在⊙O 上, ∠1＝∠C .(1)求证：CB ∥MD ；(2)若BC ＝4, sin M ＝23, 求⊙O 的直径．解：(1)证明：因为∠C 与∠M 是同一弧所对的圆周角, 所以∠C ＝∠M .又∠1＝∠C , 所以∠1＝∠M ,所以CB ∥MD (内错角相等, 两直线平行)．(2)由sin M ＝23知, sin C ＝23,所以BN BC ＝23, BN ＝23×4＝83.由射影定理得：BC 2＝BN ·AB , 则AB ＝6. 所以⊙O 的直径为6.9.如图, 已知△ABC 内接于圆, D 为BC 的中点, 连接AD 交BC 于点E . 求证：(1)AE EC ＝BE ED ； (2)AB ·AC ＝AE 2＋EB ·EC . 证明：(1)连接CD . ∵∠1＝∠3, ∠4＝∠5, ∴△ABE ∽△CDE .∴AE EC ＝BE ED. (2)连接BD . ∵AE EC ＝BEDE, ∴AE ·DE ＝BE ·EC .∴AE 2＋BE ·EC ＝AE 2＋AE ·DE ＝AE (AE ＋DE )＝AE ·AD .①在△ABD 与△AEC 中, ∵D 为BC 的中点, ∴∠1＝∠2.又∵∠ACE ＝∠ACB ＝∠ADB , ∴△ABD ∽△AEC .∴AB AE ＝AD AC , 即AB ·AC ＝AD ·AE ②由①②知：AB ·AC ＝AE 2＋EB ·EC .10.如图所示, ⊙O是△ABC的外接圆, ∠BAC与∠ABC的平分线相交于点I, 延长AI 交⊙O于点D, 连接BD, DC.(1)求证：BD＝DC＝DI；(2)若⊙O的半径为10 cm, ∠BAC＝120°, 求△BCD的面积．解：(1)证明：因为AI平分∠BAC,所以∠BAD＝∠DAC,所以BD＝DC, 所以BD＝DC.因为BI平分∠ABC, 所以∠ABI＝∠CBI,因为∠BAD＝∠DAC, ∠DBC＝∠DAC,所以∠BAD＝∠DBC.又因为∠DBI＝∠DBC＋∠CBI,∠DIB＝∠ABI＋∠BAD,所以∠DBI＝∠DIB, 所以△BDI为等腰三角形,所以BD＝ID, 所以BD＝DC＝DI.(2)当∠BAC＝120°时,△ABC为钝角三角形,所以圆心O在△ABC外．连接OB, OD, OC,则∠DOC＝∠BOD＝2∠BAD＝120°,所以∠DBC＝∠DCB＝60°,所以△BDC为正三角形．所以OB是∠DBC的平分线．延长CO交BD于点E, 则OE⊥BD,所以BE＝12BD.又因为OB＝10,所以BC＝BD＝2OB cos 30°＝2×10×32＝103,所以CE＝BC·sin 60°＝103×32＝15,所以S△BCD＝12BD·CE＝12×103×15＝75 3.所以△BCD的面积为75 3.课时跟踪检测(七) 圆内接四边形的性质与判定定理一、选择题1．四边形ABCD的一个内角∠C＝36°, E是BA延长线上一点, 若∠DAE＝36°, 则四边形ABCD()A．一定有一个外接圆B．四个顶点不在同一个圆上C．一定有内切圆D．四个顶点是否共圆不能确定解析：选A因为∠C＝36°, ∠DAE＝36°, 所以∠C与∠BAD的一个外角相等, 由圆内接四边形判定定理的推论知, 该四边形有外接圆, 故选A.2．圆内接四边形ABCD中, ∠A∶∠B∶∠C∶∠D可以是()A．4∶2∶3∶1B．4∶3∶1∶2C．4∶1∶3∶2 D．以上都不对解析：选B由四边形ABCD内接于圆, 得∠A＋∠C＝∠B＋∠D, 从而只有B项符合题意．3．如图, 四边形ABCD是⊙O的内接四边形, E为AB的延长线上一点, ∠CBE＝40°, 则∠AOC等于()A．20°B．40°C．80°D．100°解析：选C四边形ABCD是圆内接四边形, 且∠CBE＝40°, 由圆内接四边形性质知∠D＝∠CBE＝40°, 又由圆周角定理知∠AOC＝2∠D＝80°.4．已知四边形ABCD是圆内接四边形, 下列结论中正确的有()①如果∠A＝∠C, 则∠A＝90°；②如果∠A＝∠B, 则四边形ABCD是等腰梯形；③∠A的外角与∠C的外角互补；④∠A∶∠B∶∠C∶∠D可以是1∶2∶3∶4A．1个B．2个C．3个D．4个解析：选B由“圆内接四边形的对角互补”可知：①相等且互补的两角必为直角；②两相等邻角的对角也相等(亦可能有∠A＝∠B＝∠C＝∠D的特例)；③互补两内角的外角也互补；④两组对角之和的份额必须相等(这里1＋3≠2＋4)．因此得出①③正确, ②④错误．二、填空题5．如图, 直径AB＝10, 弦BC＝8, CD平分∠ACB, 则AC＝______, BD＝________.解析：∠ACB＝90°, ∠ADB＝90°.在Rt△ABC中, AB＝10, BC＝8,∴AC＝AB2－BC2＝6.又∵CD平分∠ACB, 即∠ACD＝∠BCD,∴AD＝BD.∴BD＝AB22＝5 2.答案：65 26．如图, 在圆内接四边形ABCD中, AB＝AD, AC＝1, ∠ACD＝60°, 则四边形ABCD 的面积为________．解析：过A作AE⊥BC于E, AF⊥CD于F.因为∠ADF＋∠ABC＝180°,∠ABE＋∠ABC＝180°,所以∠ABE＝∠ADF.又因为AB＝AD,∠AEB＝∠AFD＝90°,所以Rt△AEB≌Rt△AFD.所以S四边形ABCD＝S四边形AECF, AE＝AF. 又因为∠E＝∠AFC＝90°, AC＝AC, 所以Rt△AEC≌Rt△AFC.因为∠ACD＝60°, ∠AFC＝90°,所以∠CAF＝30°.因为AC＝1,所以CF＝12, AF＝32,所以S四边形ABCD＝2S△ACF＝2×12CF×AF＝34.答案：3 47.如图, 已知四边形ABCD内接于圆, 分别延长AB和DC相交于点E, EG平分∠E, 且与BC, AD分别相交于F, G, 若∠AED＝40°, ∠CFG＝80°, 则∠A＝________.解析：∵EG平分∠E, ∴∠FEC＝20°.∴∠FCE＝∠CFG－∠FEC＝60°.∵四边形ABCD内接于圆,∴∠A＝∠FCE＝60°.答案：60°三、解答题8.如图, 在△ABC中, ∠C＝60°, 以AB为直径的半圆O分别交AC, BC于点D, E, 已知⊙O的半径为2 3.(1)求证：△CDE∽△CBA；(2)求DE的长．解：(1)证明：因为四边形ABED为⊙O的内接四边形,所以∠CED＝∠A(或∠CDE＝∠B)．又∠C＝∠C,所以△CDE∽△CBA.(2)法一：连接AE.由(1)得DEBA＝CECA,因为AB为⊙O的直径,所以∠AEB ＝∠AEC ＝90°.在Rt △AEC 中, 因为∠C ＝60°, 所以∠CAE ＝30°, 所以DE BA ＝CE CA ＝12, 即DE ＝2 3.法二：连接DO , EO . 因为AO ＝DO ＝OE ＝OB , 所以∠A ＝∠ODA , ∠B ＝∠OEB .由(1)知∠A ＋∠B ＝∠CDE ＋∠CED ＝120°, 又∠A ＋∠B ＋∠ADE ＋∠DEB ＝360°, 所以∠ODE ＋∠OED ＝120°, 则∠DOE ＝60°,所以△ODE 为等边三角形, 所以DE ＝OB ＝2 3.9.如图, A , B , C , D 四点在同一圆上, AD 的延长线与BC 的延长线交于E 点, 且EC ＝ED .(1)证明：CD ∥AB ；(2)延长CD 到F , 延长DC 到G , 使得EF ＝EG , 证明：A , B , G , F 四点共圆．证明：(1)因为EC ＝ED , 所以∠EDC ＝∠ECD .因为A , B , C , D 四点在同一圆上, 所以∠EDC ＝∠EBA . 故ECD ＝∠EBA . 所以CD ∥AB . (2)由(1)知, AE ＝BE . 因为EF ＝EG ,故∠EFD ＝∠EGC , 从而∠FED ＝∠GEC . 连接AF , BG , 则△EFA ≌△EGB , 故∠FAE ＝∠GBE .又CD ∥AB , ∠EDC ＝∠ECD , 所以∠FAB ＝∠GBA . 所以∠AFG ＋∠GBA ＝180°. 故A , B , G , F 四点共圆．10．如图, 已知⊙O 的半径为2, 弦AB 的长为23, 点C 与点D 分别是劣弧AB 与优弧ADB 上的任一点(点C , D 均不与A , B 重合)．(1)求∠ACB ；(2)求△ABD 的最大面积．解：(1)连接OA , OB , 作OE ⊥AB , E 为垂足, 则AE ＝BE . Rt △AOE 中, OA ＝2, AE ＝12AB ＝12×23＝ 3.∴sin ∠AOE ＝AE OA ＝32,∴∠AOE ＝60°, ∠AOB ＝2∠AOE ＝120°. 又∠ADB ＝12∠AOB , ∴∠ADB ＝60°.又四边形ACBD 为圆内接四边形, ∴∠ACB ＋∠ADB ＝180°. 从而有∠ACB ＝180°－∠ADB ＝120°. (2)作DF ⊥AB , 垂足为F , 则S △ABD ＝12AB ·DF ＝12×23×DF ＝3DF .显然, 当DF 经过圆心O 时, DF 取最大值, 从而S △ABD 取得最大值． 此时DF ＝DO ＋OF ＝3, S △ABD ＝33, 即△ABD 的最大面积是3 3.课时跟踪检测(八) 圆的切线的性质及判定定理一、选择题1.如图, AB切⊙O于点B, 延长AO交⊙O于点C, 连接BC.若∠A＝40°, 则∠C等于()A．20°B．25°C．40°D．50°解析：选B连接OB, 因为AB切⊙O于点B,所以OB⊥AB, 即∠ABO＝90°,所以∠AOB＝50°,又因为点C在AO的延长线上, 且在⊙O上,所以∠C＝12∠AOB＝25°.2．如图, AB是⊙O的直径, BC是⊙O的切线, AC交⊙O于D.若AB＝6, BC＝8, 则BD等于()A．4 B．4.8C．5.2 D．6解析：选B∵AB是⊙O的直径, ∴BD⊥AC.∵BC是⊙O的切线, ∴AB⊥BC.∵AB＝6, BC＝8, ∴AC＝10.∴BD＝AB·BCAC＝4.8.3．如图, AB是⊙O的直径, BC交⊙O于点D, DE⊥AC于点E, 要使DE是⊙O的切线, 还需补充一个条件, 则补充的条件不正确的是()A．DE＝DO B．AB＝AC C．CD＝DB D．AC∥OD解析：选A当AB＝AC时, 如图,连接AD, 因为AB是⊙O的直径,所以AD⊥BC, 所以CD＝BD.因为AO ＝BO ,所以OD 是△ABC 的中位线, 所以OD ∥AC .因为DE ⊥AC , 所以DE ⊥OD , 所以DE 是⊙O 的切线． 所以选项B 正确． 当CD ＝BD 时, AO ＝BO , 同选项B, 所以选项C 正确． 当AC ∥OD 时, 因为DE ⊥AC , 所以DE ⊥OD .所以DE 是⊙O 的切线． 所以选项D 正确．4．如图, 在⊙O 中, AB 为直径, AD 为弦, 过B 点的切线与AD 的延长线交于C , 若AD ＝DC , 则sin ∠ACO 等于( )A.1010 B.210 C.55 D.24解析：选A 连接BD , 则BD ⊥AC . ∵AD ＝DC , ∴BA ＝BC , ∴∠BCA ＝45°.∵BC 是⊙O 的切线, 切点为B , ∴∠OBC ＝90°.∴sin ∠BCO ＝OB OC ＝OB 5OB ＝55,cos ∠BCO＝BCOC＝2OB5OB＝255.∴sin ∠ACO＝sin(45°－∠BCO)＝sin 45°cos ∠BCO－cos 45°sin ∠BCO＝22×255－22×55＝1010.二、填空题5.如图, ⊙O的半径为3 cm, B为⊙O外一点, OB交⊙O于点A, AB ＝OA, 动点P从点A出发, 以π cm/s的速度在⊙O上按逆时针方向运动一周回到点A立即停止．当点P运动的时间t为________s时, BP与⊙O相切．解析：连接OP.当OP⊥PB时, BP与⊙O相切．因为AB＝OA, OA＝OP,所以OB＝2OP,又因为∠OPB＝90°, 所以∠B＝30°,所以∠O＝60°.因为OA＝3 cm,所以AP＝60×π×3180＝π, 圆的周长为6π,所以点P运动的距离为π或6π－π＝5π；所以当t＝1 s或5 s时, BP与⊙O相切．答案：1或56．已知PA是圆O的切线, 切点为A, PA＝2, AC是圆O的直径, PC与圆O交于B点, PB ＝1.则圆O的半径R＝________.解析：如图, 连接AB,则AB＝AP2－PB2＝ 3.由AB2＝PB·BC,∴BC＝3, 在Rt△ABC中,AC＝AB2＋BC2＝2 3.∴半径R＝ 3.答案： 37．圆O的直径AB＝6, C为圆周上一点, BC＝3, 过C作圆的切线l, 过A作l的垂线AD , AD 分别与直线l 、圆交于点D , E , 则∠DAC ＝________, DC ＝________.解析：连接OC .∵OC ＝OB , ∴∠OCB ＝∠OBC . 又∠DCA ＋∠ACO ＝90°, ∠ACO ＋∠OCB ＝90°, ∴∠DCA ＝∠OCB . ∵OC ＝3, BC ＝3, ∴△OCB 是正三角形．∴∠OBC ＝60°, 即∠DCA ＝60°. ∴∠DAC ＝30°.在Rt △ACB 中, AC ＝AB 2－BC 2＝33, DC ＝AC sin 30°＝32 3.答案：30° 332三、解答题8．如图, 已知在△ABC 中, AB ＝AC , 以AB 为直径的⊙O 交BC 于D , 过D 点作⊙O 的切线交AC 于E .求证：(1)DE ⊥AC ； (2)BD 2＝CE ·CA . 证明：(1)连接OD , AD . ∵DE 是⊙O 的切线, D 为切点, ∴OD ⊥DE .∵AB 是⊙O 的直径, ∴AD ⊥BC .又AB ＝AC , ∴BD ＝DC .又O 为AB 的中点, ∴OD ∥AC .∴DE ⊥AC . (2)∵AD ⊥BC , DE ⊥AC , ∴△CDE ∽△CAD . ∴CD CA ＝CECD.∴CD 2＝CE ·CA . 又∵BD ＝DC , ∴BD 2＝CE ·CA .9.如图, ⊙O 内切于△ABC , 切点分别为D , E , F , AB ＝AC , 连接AD 交⊙O 于H , 直线FH 交BC 的延长线于G .(1)求证：圆心O 在AD 上；(2)求证：CD＝CG；(3)若AH∶AF＝3∶4, CG＝10, 求FH的长．解：(1)证明：由题知AE＝AF,CF＝CD, BD＝BE,又∵AB＝AC,∴CD＝CF＝BE＝BD.∴D为BC中点．∴AD是∠BAC的角平分线．∴圆心O在AD上．(2)证明：连接DF.∵O在AD上, ∴DH为直径．∴∠DFH＝90°.∵CF＝CD, ∴∠CFD＝∠FDC.∴∠G＝90°－∠FDC＝90°－∠CFD＝∠CFG.∴CG＝CF.∴CG＝CD.(3)∵∠AFH＝∠90°－∠CFD＝90°－∠FDC＝∠FDA, 又∠FAD为公共角, 则△AHF∽△AFD.∴FHFD＝AHAF＝34.∴在Rt△HFD中, FH∶FD∶DH＝3∶4∶5. ∵△HDF∽△DGF,∴DF∶GF∶DG＝3∶4∶5.∴DF＝3×20×15＝12, ∴FH＝34FD＝9.10.如图, 四边形ABCD内接于⊙O, BD是⊙O的直径, AE⊥CD, 垂足为E, DA平分∠BDE.(1)求证：AE是⊙O的切线；(2)若∠DBC＝30°, DE＝1 cm, 求BD的长．解：(1)证明：连接OA.∵DA平分∠BDE,∴∠BDA＝∠EDA.∵OA＝OD,∴∠ODA＝∠OAD.∴∠OAD＝∠EDA.∴OA∥CE.∵AE⊥DE,∴AE⊥OA.∴AE是⊙O的切线．(2)∵BD是直径,∴∠BCD＝∠BAD＝90°.∵∠DBC＝30°, ∴∠BDC＝60°.∴∠BDE＝120°.∵DA平分∠BDE,∴∠BDA＝∠EDA＝60°.∴∠ABD＝∠EAD＝30°.在Rt△AED中, ∠AED＝90°, ∠EAD＝30°,∴AD＝2DE.在Rt△ABD中, ∠BAD＝90°, ∠ABD＝30°,∴BD＝2AD＝4DE＝4 (cm)．课时跟踪检测(九) 弦切角的性质一、选择题1．P在⊙O外, PM切⊙O于C, PAB交⊙O于A, B, 则()A．∠MCB＝∠B B．∠PAC＝∠PC．∠PCA＝∠B D．∠PAC＝∠BCA解析：选C由弦切角定理知∠PCA＝∠B.2．如图, PC与⊙O相切于C点, 割线PAB过圆心O, ∠P＝40°, 则∠ACP等于()A．20°B．25°C．30°D．40°解析：选B连接OC.∵PC切⊙O于C点,∴OC⊥PC.∵∠P＝40°,∴∠POC＝50°.连接BC,则∠B＝12∠POC＝25°,∴∠ACP＝∠B＝25°.3．如图, AB是⊙O的直径, EF切⊙O于C, AD⊥EF于D, AD＝2, AB＝6, 则AC的长为()A．2 B．3 C．2 3 D．4解析：选C连接BC, 则∠ACB＝90°, 又AD⊥EF,∴∠ADC＝90°,即∠ADC＝∠ACB,又∵∠ACD＝∠ABC,∴△ABC∽△ACD,∴ACAD＝ABAC,∴AC2＝AD·AB＝12,即AC＝2 3.4．如图, AB是⊙O的直径, P在AB的延长线上, PD切⊙O于C点, 连接AC, 若AC＝PC, PB＝1, 则⊙O的半径为()A．1 B．2C．3 D．4解析：选A连接BC.∵AC＝PC, ∴∠A＝∠P.∵∠BCP＝∠A, ∴∠BCP＝∠P.∴BC＝BP＝1.由△BCP∽△CAP得PC PA＝PB PC.∴PC2＝PB·PA,即AC2＝PB·PA.而AC2＝AB2－BC2,设⊙O半径为r,则4r2－12＝1·(1＋2r), 解得r＝1.二、填空题5．如图, AB是⊙O的直径, PB, PE分别切⊙O于B, C, 若∠ACE＝40°, 则∠P＝________.解析：连接BC,∵AB是⊙O的直径,∴∠ACB＝90°.又∠ACE＝40°,∴∠PCB＝∠PBC＝50°.∴∠P＝80°.答案：80°6．如图, 点P在圆O直径AB的延长线上, 且PB＝OB＝2, PC切圆O于C点, CD⊥AB于D点, 则CD＝________.解析：连接OC.∵PC切⊙O于C点,∴OC⊥PC.∵PB＝OB＝2, OC＝2.∴PC＝2 3.∵OC·PC＝OP·CD,∴CD＝2×234＝ 3.答案： 37．如图, 过圆O外一点P分别作圆的切线和割线交圆于A, B, 且PB＝7, C是圆上一点使得BC＝5, ∠BAC＝∠APB, 则AB＝________.解析：由PA为⊙O的切线, BA为弦,得∠PAB＝∠BCA,又∠BAC＝∠APB,于是△APB∽△CAB,所以PBAB＝ABBC.而PB＝7, BC＝5,故AB2＝PB·BC＝7×5＝35, 即AB＝35.答案：35三、解答题8.如图, AB是半圆O的直径, C是圆周上一点(异于A, B), 过C作圆O的切线l, 过A作直线l的垂线AD, 垂足为D, AD交半圆于点E.求证：CB＝CE.证明：连接AC, BE, 在DC延长线上取一点F, 因为AB是半圆O的直径, C为圆周上一点,所以∠ACB＝90°,即∠BCF＋∠ACD＝90°.又因为AD⊥l, 所以∠DAC＋∠ACD＝90°.所以∠BCF＝∠DAC.又因为直线l是圆O的切线, 所以∠CEB＝∠BCF,又∠DAC＝∠CBE,所以∠CBE＝∠CEB,所以CB＝CE.9.如图所示, △ABC内接于⊙O, AB＝AC, 直线XY切⊙O于点C, 弦BD∥XY, AC, BD相交于点E.(1)求证：△ABE≌△ACD；(2)若AB＝6 cm, BC＝4 cm, 求AE的长．解：(1)证明：因为XY是⊙O的切线,所以∠1＝∠2.因为BD∥XY, 所以∠1＝∠3,所以∠2＝∠3.因为∠3＝∠4, 所以∠2＝∠4.因为∠ABD＝∠ACD,又因为AB＝AC,所以△ABE≌△ACD.(2)因为∠3＝∠2, ∠ABC＝∠ACB,所以△BCE∽△ACB, 所以BCAC＝CECB,即AC·CE＝BC2.因为AB＝AC＝6 cm, BC＝4 cm, 所以6·(6－AE)＝16.所以AE＝103(cm)．10.如图, 已知C点在圆O直径BE的延长线上, CA切圆O于A点, DC是∠ACB的角平分线, 交AE于点F, 交AB于D点．(1)求∠ADF的度数；(2)若AB＝AC, 求AC∶BC.解：(1)∵AC为圆O的切线,∴∠B＝∠EAC.又DC是∠ACB的平分线,∴∠ACD＝∠DCB.∴∠B＋∠DCB＝∠EAC＋∠ACD, 即∠ADF＝∠AFD.又∵BE为圆O的直径,∴∠DAE＝90°,∠ADF＝12(180°－∠DAE)＝45°.(2)∵∠B＝∠EAC, ∠ACB＝∠ACE,∴△ACE∽△BCA.∴ACBC＝AEAB.又∵AB＝AC,∴∠B＝∠ACB＝23∠ADF＝30°.∴在Rt△ABE中, ACBC＝AEAB＝tan ∠B＝tan 30°＝33.课时跟踪检测(十) 与圆有关的比例线段一、选择题1．在半径为12 cm的圆中, 垂直平分半径的弦的长为()A．3 3 cm B．27 cm C．12 3 cm D．6 3 cm解析：选C法一：如图所示, OA＝12, CD为OA的垂直平分线, 连接OD.在Rt△POD中,PD＝OD2－OP2＝122－62＝63,∴CD＝2PD＝123(cm)．法二：如图, 延长AO交⊙O于M,由相交弦定理得PA·PM＝PC·PD.又∵CD为线段OA的垂直平分线,∴PD2＝PA·PM.又∵PA＝6, PM＝6＋12＝18,∴PD2＝6×18.∴PD＝6 3.∴CD＝2PD＝123(cm)．2．如图, CA, CD分别切圆O1于A, D两点, CB, CE分别切圆O2于B, E两点．若∠1＝60°, ∠2＝65°, 判断AB, CD, CE的长度, 下列关系正确的是()A．AB>CE>CD B．AB＝CE>CDC．AB>CD>CE D．AB＝CD＝CE解析：选A因为∠1＝60°, ∠2＝65°,所以∠ABC＝180°－∠1－∠2＝180°－60°－65°＝55°,所以∠2>∠1>∠ABC,所以AB>BC>AC.。

模块综合检测(二)(时间90分钟，满分120分)一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1.如图，AB ∥EM ∥DC ，AE ＝ED ，EF ∥BC ，EF ＝12 cm ，则BC 的长为( )A ．6 cmB ．12 cmC ．18 cmD ．24 cm 解析：选D 根据AE ＝ED ，AB ∥EM ∥DC ，有BM ＝MC .又EF ∥BC ，所以EF ＝MC ，于是EF ＝12BC . 2．在▱ABCD 中，E 是AD 的中点，AC 、BD 交于O ，则与△ABE面积相等的三角形有( )A ．5个B ．6个C ．7个D ．8个解析：选C 利用三角形面积公式，等底等高的两个三角形面积相等，再利用平行四边形的面积为中介，建立面积相等关系．3．在正方形ABCD 中，点E 在AB 边上，且AE ∶EB ＝2∶1，AF ⊥DE 于G ，交BC 于F ，则△AEG 的面积与四边形BEGF 的面积比为( )A ．1∶2B ．1∶4C ．4∶9D ．2∶3解析：选C 易证△ABF ≌△DAE .故知BF ＝AE .因为AE ∶EB ＝2∶1，故可设AE ＝2x ，EB ＝x ，则AB ＝3x ，BF ＝2x .由勾股定理得AF ＝(3x )2＋(2x )2＝13x .易证△AEG ∽△ABF .可得S △AEG ∶S △ABF ＝AE 2∶AF 2＝(2x )2∶(13x )2＝4∶13.可得S △AEG ∶S 四边形BEGF ＝4∶9.4．在梯形ABCD 中，AD ∥BC (其中BC >AD )E 、F 分别是AB 、DC 的中点，连接EF ，且EF 交BD 于G ，交AC 于H ，则GH 等于( )A ．ADB.12(AD ＋BC ) C ．BC D.12(BC －AD ) 解析：选D 结合平行线等分线段定理及梯形中位线定理可解决此问题．5.如图，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠BAD ＝135°，以A 为圆心，AB 为半径，作⊙A 交AD 、BC 于E 、F 两点，并交BA 延长线于G ，则BF 的度数是( ) A ．45° B ．60° C ．90° D ．135°解析：选C BF 的度数等于圆心角∠BAF 的度数．由题意知∠B ＝45°，所以∠BAF ＝180°－2∠B .6．在△ABC 中，点D 、E 分别在AB 、AC 上，下列条件中，不能判定DE ∥BC 的是( )A ．AD ＝5，AB ＝8，AE ＝10，AC ＝16B ．BD ＝1，AD ＝3，CE ＝2，AE ＝6C ．AB ＝7，BD ＝4，AE ＝4，EC ＝3D ．AB ＝AC ＝9，AD ＝AE ＝8解析：选C 对应线段必须成比例，才能断定DE 和BC 是平行关系，显然C 中的条件不成比例．7.如图，PA 是⊙O 的切线，A 为切点，PC 是⊙O 的割线，且PB＝12BC ，则PA PB 等于( ) A ．2 B.12C. 3 D ．1 解析：选C 利用切割线定理得PA 2＝PB ·PC ＝3PB 2，则PA PB ＝ 3.8．D 、E 、F 是△ABC 的三边中点，设△DEF 的面积为4，△ABC 的周长为9，则△DEF 的周长与△ABC 的面积分别是( )A.92，16 B ．9,4 C.92，8 D.94，16解析：选A 如右图，D 、E 、F 分别为△ABC 三边中点．∴EF 綊12BC ， ∴△AEF ∽△ABC ，且EF BC ＝12. ∴l △DEF l △ABC ＝EF BC ＝12， 又∵l △ABC ＝9，∴l △DEF ＝92.又∵S △DEF S △ABC ＝EF 2BC 2＝14， 又∵S △DEF ＝4，∴S △ABC ＝16.9.如图，已知在△ABC 中，AD ∶DC ＝1∶2，E 为BD 的中点，AE 延长线交BC 于F ，则BF ∶FC 等于( )A ．1∶5B ．1∶4C ．1∶3D ．1∶2解析：选C 过D 作DG 平行于AF ，交BC 于点G ，再根据平行线分线段成比例定理即可解决．10．如图，四边形ABCD 内接于⊙O ，BC 是直径，AD ＝DC ，∠ADB ＝20°，则∠ACB ，∠DBC 分别为( )A ．15°与30°B ．20°与35°C ．20°与40°D ．30°与35°解析：选B ∵∠ADB ＝20°，∴∠ACB ＝∠ADB ＝20°.又∵BC 为⊙O 的直径，∴ADC 的度数为180°－40°＝140°.∵D 为AC 的中点，∴CD 的度数为70°，∴∠DBC ＝70°2＝35°. 二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填写在题中的横线上)11.(湖北高考)如图，点D 在⊙O 的弦AB 上移动，AB ＝4，连接OD ，过点D 作OD 的垂线交⊙O 于点C ，则CD 的最大值为________．解析：由题意知CD 2＝OC 2－OD 2，OC 是半径，所以当OD 的值最小时，DC 最大，易知D 为AB 的中点时，DB ＝DC ＝2最大．答案：212．如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，以BC 为直径作半圆交AB于D ，过D 作半圆的切线交AC 于E ，若AD ＝2，DB ＝4，则DE ＝________.解析：由切割线定理得：AC 2＝AD ·AB ＝2×6＝12.所以AC ＝2 3.连接CD，可证：EC＝ED，∠A＝∠EDA.所以AE＝ED，所以ED＝AE＝EC＝12AC＝ 3.答案： 313．如图所示，圆O的直径AB＝6，C为圆周上一点，BC＝3，过C作圆的切线l，过A作l的垂线AD，AD分别与直线l、圆交于点D、E，则∠DAC＝________，线段AE的长为________．解析：因为AB为⊙O的直径，所以∠ACB＝90°.又因为AB＝6，BC＝3，所以∠CAB＝30°.又∠DCA＝90°－30°＝60°，而AD⊥DC，所以∠DAC＝30°，即可得出AE＝BC＝EC.所以AE＝BC＝3.答案：30° 314．如图，△ABC是圆O的内接三角形，PA是圆O的切线，A为切点，PB交AC于点E，交圆O于点D，若PE＝PA，∠ABC＝60°，且PD＝1，BD＝8，则AC＝________.解析：因为PA是圆O的切线，所以∠CAP＝∠ABC＝60°.又PE＝PA，所以△PAE为等边三角形．由切割线定理得PA2＝PD·PB＝1×9＝9，所以PA＝3，所以PA＝PE＝AE＝3，ED＝PE－PD＝3－1＝2，BE＝BD－ED＝8－2＝6.由相交弦定理得AE·EC＝BE·ED.所以EC＝BE·EDAE＝6×23＝4，所以AC＝AE＋EC＝3＋4＝7.答案：7三、解答题(本大题共4个小题，共50分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)15．(本小题满分12分)如图，已知在梯形ABCD中，AD∥BC，E是CD的中点，EF∥BC交AB于F，FG∥BD交AD于G.求证：AG＝DG.证明：∵AD∥EF∥BC，E是CD的中点，∴F是AB的中点．又∵FG∥BD，∴G是AD的中点．∴AG＝DG.16．(本小题满分12分)(江苏高考)如图，AB和BC分别与圆O相切于点D，C，AC经过圆心O，且BC＝2OC.求证：AC＝2AD.证明：连接OD.因为AB和BC分别与圆O相切于点D，C，所以∠ADO＝∠ACB＝90°.又因为∠A＝∠A，所以Rt△ADO∽Rt△ACB.所以BCOD＝ACAD.又BC＝2OC＝2OD，故AC＝2AD.17．(本小题满分12分)如图所示，两圆内切于点T，大圆的弦AB切小圆于点C.TA，TB与小圆分别相交于点E，F.FE的延长线交两圆的公切线TP于点P.求证：(1)CE＝CF；(2)AC·PF＝BC·PT.证明：(1)设小圆的圆心为点O，连接OC.∵AB切小圆于点C，∴OC⊥AB.∵∠1＝∠3＝∠2，∴EF∥AB，∴OC⊥EF，∴CE＝CF.(2)∵EF∥AB，∴AEBF＝ATBT＝TETF.∵AB切小圆于点C，∴AC2＝AE·AT，BC2＝BF·BT.∴AC2BC2＝AE·ATBF·BT＝TE2TF2，ACBC＝TETF.∵PT是公切线，∴∠PTF＝90°，∵TF是⊙O的直径，∴TE⊥PF，△PTF∽△TEF，∴PT PF ＝TE TF ，∴AC BC ＝PT PF ， ∴AC ·PF ＝BC ·PT .18．(本小题满分14分)如图，在矩形ABCD 中，以A 为圆心，AD为半径的圆交AC ，AB 于M ，E .CE 的延长线交⊙A 于F ，CM ＝2，AB＝4.(1)求⊙A 的半径；(2)求CE 的长和△AFC 的面积．解：(1)∵四边形ABCD 为矩形，AB ＝4，∴CD ＝4.在Rt △ACD 中，AC 2＝CD 2＋AD 2，∴(2＋AD )2＝42＋AD 2.解得：AD ＝3，即⊙A 的半径为3.(2)过点A 作AG ⊥EF 于点G ，∵BC ＝3，BE ＝AB －AE ＝4－3＝1，∴CE ＝BC 2＋BE 2＝32＋12＝10.∵∠ADC ＝90°，∴CD 为⊙A 的切线，∴CE ·CF ＝CD 2，∴CF ＝CD 2CE ＝4210＝8510. 又∠B ＝∠AGE ＝90°，∠BEC ＝∠GEA ，∴△BCE ∽△GAE ，∴BC AG ＝CE AE 即3AG ＝103.∴AG ＝91010， ∴S △AFC ＝12CF ·AG ＝12×8510×91010＝365. 小课堂：如何培养学生的自主学习能力？ 自主学习是与传统的接受学习相对应的一种现代化学习方式。