北京市朝阳外国语学校2014-2015学年度第一学期期末考试高一年级数学

北京市朝阳区2014-2015学年度高三第一学期期末统一考试数学（文史类）试卷2015.1（考试时间120分钟 满分150分）本试卷分为选择题（共40分）和非选择题（共110分）两部分第一部分（选择题 共40分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1. 设i 为虚数单位，则复数1i z =-的模z =A. 1B. C. 2D. 2. 已知全集U =R ，若集合{}20A x x x =-<，则U A =ðA. {0x x ≤，或}1x ≥B. {0x x <，或}1x > C. }{01x x << D.{}1x x ≥ 3.一个四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的侧面中，直角三角形的个数为A.1B.2C.3D.4正视图 侧视图 俯视图4.执行如右图所示的程序框图,则输出的i 的值是A.3B.4C.5D.65.若,a b 是两个非零的平面向量，则 “a =b ”是“()()=0⋅a +b a b -”的A. 充分且不必要条件B. 必要且不充分条件C.充要条件D. 既不充分也不必要条件6. 如图，塔AB 底部为点B ，若,C D 两点相距为100m 并且与点B 在同一水平线上，现从,C D 两点测得塔顶A 的仰角分别为45o 和30o ，则塔AB 的高约为（精确到0.1m1.73≈1.41≈）A. 36.5B. 115.6C. 120.5D. 136.57.已知定义在R 上的函数(1)1,()221,x x x x f x x ⎧+<⎪=⎨-≥⎪⎩若直线y a =与函数()f x 的图象恰有两个公共点，则实数a的取值范围是A. ()0,2B.[)0,2C.(]0,2D. []1,28. 如图，在正方体中1111ABCD A B C D -，M 为BC 的中点，点N 在四边形11CDDC 及其内部运动．若11MN AC ⊥，则N 点的轨迹为A. 线段B. 圆的一部分C. 椭圆的一部分D.双曲线的一部分第二部分（非选择题 共110分）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.把答案填在答题卡上．9. 双曲线22:14x C y -=的离心率是 ；渐近线方程是 ． 10.为了解某厂职工家庭人均月收入情况,调查了该厂80户居民月收入,列出频率分布表 如下:则这80户居民中, 家庭人均月收入在[)2800,3400元之间的有 户（用数字作答）；假设家庭人均月收入在第一组和第二组的为中低收入家庭,现从该厂全体职工家庭中随机抽取一个家庭,估计该家庭为中低收入家庭的概率是 . ACD A 1B 1C 1D 1 M N .11. 已知圆C 的圆心位于第二象限且在直线21y x =+上，若圆C 与两个坐标轴都相切，则圆C 的标准方程是______.12. 某单位有职工共60人，为了开展社团活动，对全体职工进行问卷调查，其中喜欢体育运动的共28人，喜欢文艺活动的共26人，还有12人对体育运动和文艺活动都不喜欢， 则喜欢体育运动但不喜欢文艺活动的人共有 人.13. 在平面直角坐标系中，若关于,x y 的不等式组0,,(1)y y x y k x ≥⎧⎪≤⎨⎪≤-⎩表示一个三角形区域，则实数k 的取值范围是______.14. 设2212()cos (1)sin cos 3sin f x a x a x x x =+-+（22120a a +≠），若无论x 为何值，函数()f x 的图象总是一条直线，则12a a +的值是______.三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程. 15. （本小题满分13分）（Ⅰ）从该幼儿园教师中随机抽取一人，求具有研究生学历的概率；（Ⅱ）从幼儿园所有具有研究生学历的教师中随机抽取2人，求有35岁以下的研究生或50岁以上的研究生的概率. 16. （本小题满分13分）已知平面向量a =(sin ,cos )x x ，b =(sin ,cos )x x -，c =(cos ,sin )x x --，x ∈R ，函数()()f x =⋅-a b c .（Ⅰ）求函数()f x 的单调递减区间；（Ⅱ）若22f α⎛⎫=⎪⎝⎭，求sin α的值. 17. （本小题满分14分）如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是正方形，PD ⊥平面ABCD ．点E 是线段BD 的中点，点F 是线段PD 上的动点．（Ⅰ）若F 是PD 的中点，求证：EF //平面PBC ； （Ⅱ）求证： CE BF ⊥；（Ⅲ）若2AB =，3PD =，当三棱锥P BCF -的体积等于43时，试判断点F 在边PD 上的位置，并说明理由.18.（本小题满分13分）已知公比为q 的等比数列{}n a ()n *∈N 中，22a =，前三项的和为7.（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）若01q <<，设数列{}n b 满足12...n n b a a a =⋅⋅⋅，n *∈N ,求使01n b <<的n 的最小值.19. （本小题满分13分）已知函数()e ln x f x a x =-，a ∈R . （I ）若1x =是()f x 的极值点，求a 的值： DAPCEFB（Ⅱ）当e a =时，求证：()e f x ≥.20. （本小题满分14分）已知离心率为的椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>与直线2x =相交于,P Q 两点（点P 在x 轴上方），且2PQ =．点,A B 是椭圆上位于直线PQ 两侧的两个动点，且APQ BPQ ∠=∠．（Ⅰ）求椭圆C 的标准方程；（Ⅱ）求四边形APBQ 面积的取值范围．北京市朝阳区2014-2015学年度高三年级第一学期期末统一考试数学答案（文史类）2015.1一、选择题：（满分40分）二、填空题：（满分30分）三、解答题：（满分80分）15. （本小题满分13分）解：（Ⅰ）设：“从该幼儿园教师中随机抽取一人，具有研究生学历”为事件A，由题可知幼儿园总共有教师30人，其中“具有研究生学历”的共6人.则61 ()==305 P A.答：从该幼儿园教师中随机抽取一人，具有研究生学历的概率为15. ………4分（Ⅱ）设幼儿园中35岁以下具有研究生学历的教师为A1，A2，35～50岁(含35岁和50岁)具有研究生学历的教师为B1，B2，B3，50岁以上具有研究生学历的教师为C，从幼儿园所有具有研究生学历的教师中随机抽取2人，所有可能结果有15个，它们是：（A1，A2），（A1，B1），（A1，B2），（A1，B3），（A1，C），（A2，B1），（A2，B2），（A2，B3），（A2，C），（B1，B2），（B1，B3），（B1，C），（B2，B3），（B2，C），（B 3，C ），记“从幼儿园所有具有研究生学历的教师中随机抽取2人，有35岁以下的研究生或50岁以上的研究生”为事件D ，则D 中的结果共有12个，它们是：（A 1，A 2），（A 1，B 1），（A 1，B 2），（A 1，B 3），（A 1，C ），（A 2，B 1），（A 2，B 2），（A 2，B 3），（A 2，C ），（B 1，C ），（B 2，C ），（B 3，C ），故所求概率为124()==155P D ． 答：从幼儿园所有具有研究生学历的教师中随机抽取2人，有35岁以下的研究生或50岁以上的研究生的概率为45. ………………13分 16.（本小题满分13分）（Ⅰ）因为a =(sin ,cos )x x ，b =(sin ,cos )x x -，c =(cos ,sin )x x --， 所以()()sin cos ,sin cos x x x x -=+-b c ，()()f x =⋅-a b c =sin (sin cos )cos (sin cos )x x x x x x ++-.则()f x =22sin 2sin cos cos x x x x +-=sin 2cos 2x x -)4x π=-.则当222242k x k ππ3ππ+≤-≤π+时，即88k x k 3π7ππ+≤≤π+时，函数()f x 为减函数，k ∈Z .所以函数()f x 的单调递减区间是,88k k 3π7π⎡⎤π+π+⎢⎥⎣⎦，k ∈Z . ………………7分（Ⅱ）由（Ⅰ）知，())4f x x π=-，又22f α⎛⎫=⎪⎝⎭，)42απ-=，1sin()42απ-=.因为 22sin ()cos ()144ααππ-+-=，所以cos()4απ-=. sin sin ()44ααππ⎡⎤=-+⎢⎥⎣⎦ππππsin()cos cos()sin 4444αα=-+-.所以当cos()42απ-=时，sin α=122224⨯+⨯=；当cos()42απ-=时，sin α=1(22224⨯+-⨯=. ………………13分 17. （本小题满分14分）（Ⅰ）证明：在PDB ∆中，因为点E 是BD 中点，点F 是PD 中点， 所以EF //PB ．又因为EF ⊄平面PBC ，PB ⊂平面PBC ， 所以EF //平面PBC ．…………4分 （Ⅱ）证明：因为PD ⊥平面ABCD ， 且CE ⊂平面ABCD ， 所以PD CE ⊥．又因为底面ABCD 是正方形，且点E 是BD 的中点， 所以CE BD ⊥． 因为BDPD D =，所以CE ⊥平面PBD ，而BF ⊂平面PBD ，所以CE BF ⊥． …………9分 （Ⅲ）点F 为边PD 上靠近D 点的三等分点． 说明如下：由（Ⅱ）可知， CE ⊥平面PBF ．又因为PD ⊥平面ABCD ，BD ⊂平面ABCD ，所以PD BD ⊥. 设PF x =． 由2AB =得BD =CE =，所以11123263P BCF C BPF V V PF BD CE x --==⨯⨯⋅⋅=⨯=． 由已知2433x =， 所以2x =． 因为3PD =，所以点F 为边PD 上靠近D 点的三等分点．…………14分18. （本小题满分13分） （Ⅰ）由已知得，212327a a a a =⎧⎨++=⎩，解得2q =，11a =或12q =，14a =．DAPCEF B则数列{}n a 的通项公式为12n n a -=或31()2n n a -=，n *∈N ……………5分（Ⅱ）因为01q <<，所以31()2n n a -=，n *∈N .(5)210...(3)21211...()()22n n n n n b a a a ---+++-=⋅⋅⋅==，n *∈N . 由01n b <<，即(5)210()12n n -<<，即(5)02n n ->，即 即5n >.则使01n b <<的最小的n 的值为6． …………………13分19. （本小题满分13分）（I ）函数()f x 的定义域为(0,)+∞. 因为()e xaf x x'=-, 又1x =是()f x 的极值点,所以(1)e 0f a '=-=，解得e a =. 经检验，1x =是()f x 的极值点， 所以a 的值为e . ………5分 （Ⅱ）证明： 方法1：当e a =时，()e eln x f x x =-.所以e e e()e x xx f x x x-'=-=. 若01x <<，则1<e e x <，所以e e x x <，所以e e<0x x -. 所以函数()f x 在(0,1)单调递减.若1x >，则e >e x ，所以e >e x x ，所以e e>0x x -. 所以函数()f x 在(1,)+∞单调递增. 所以当1x =时，min ()(1)e f x f ==.(0x →时， e eln x x -→+∞;x →+∞时， e eln x x -→+∞.)所以()e f x ≥. ………13分方法2：当e a =时，()e eln x f x x =-， 所以e e e ()e x xx f x x x -'=-=. 设()e e x g x x =-，则()e (1)x g x x '=+，所以()g x 在(0,)+∞单调递增.又(1)0g =，所以当(0,1)x ∈时，()0g x <，即()0f x '<，所以()f x 在(0,1)单调递减； 当(1,)x ∈+∞时，()0g x >，即()0f x '>，所以()f x 在(1,)+∞单调递增.（接下来表述同解法1相应内容）所以()e f x ≥. ………13分20.（本小题满分14分）解：（Ⅰ）由已知得2e =，则12b a =，设椭圆方程为22221(0)4x y b b b +=> 由题意可知点(2,1)P 在椭圆上，所以224114b b+=．解得22b =． 故椭圆C 的标准方程为22182x y +=． ………4分 （Ⅱ）由题意可知，直线PA ，直线PB 的斜率都存在且不等于0．因为APQ BPQ ∠=∠，所以PA PB k k =-．设直线PA 的斜率为k ，则直线:1(2)PA y k x -=-（0k ≠）．由2248(12),x y y kx k ⎧+=⎨=+-⎩得222(14)8(12)161640k x k k x k k ++-+--=……(1).依题意，方程（1）有两个不相等的实数根，即根的判别式0∆>成立.即()222264(12)4(14)161640k k k k k ∆=--+-->, 化简得216(21)0k +>，解得12k ≠-.因为2是方程（1）的一个解，所以2216164214A k k x k --⋅=+． 所以2288214A k k x k --=+． 当方程（1）根的判别式0∆=时，12k =-，此时直线PA 与椭圆相切.由题意，可知直线PB 的方程为1(2)y k x -=--． 同理，易得22228()8()288214()14B k k k k x k k----+-==+-+． 由于点,A B 是椭圆上位于直线PQ 两侧的两个动点，APQ BPQ ∠=∠， 且能存在四边形APBQ ，则直线PA 的斜率k 需满足12k >. 设四边形APBQ 面积为S ，则112222APQ BPQ A B S S S PQ x PQ x ∆∆=+=⋅-+⋅- 2222188288221414B A k k k k PQ x x k k --+-=⋅-=-++ 21614k k =+ 由于12k >，故 216161144k S k k k==++. 当12k >时，144k k +>，即110144k k <<+，即04S <<. (此处另解：设t k =，讨论函数1()4f t t t =+在1,2t ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭时的取值范围. 222141()4t f t t t-'=-=，则当12t >时，()0f t '>，()f t 单调递增.则当12t>时，()(4,)f t∈+∞，即S∈()0,4.)所以四边形APBQ面积S的取值范围是()0,4.………14分。

2015-2016学年北京市朝阳区高一上期末数学一、选择题（共10小题；共50分）1. 下列各组中的两个集合和，表示同一集合的是A. ，B. ，C. ，D. ，2. 若，，则下列不等式中成立的是A. B. C. D.3. 函数的一个正数零点附近的函数值用二分法逐次计算，参考数据如下表：那么方程的一个近似根（精确度）为A. B. C. D.4. 某程序框图如图所示，若输出的，则判断框内为A. ?B. ?C. ?D. ?5. 给定函数①，②，③，④，其中在区间上单调递减的函数序号是A. ①④B. ②④C. ②③D. ①③6. 已知，，，则，，三者的大小关系是A. B. C. D.7. 函数（）的图象的大致形状是A. B.C. D.8. 某苗圃基地为了解基地内甲、乙两块地种植同一种树苗的长势情况，从两块地各随机抽取了株树苗，用茎叶图表示上述两组树苗高度的数据，对两块地抽取树苗的高度的平均数甲，乙，和方差进行比较，下面结论正确的是A. 甲乙，乙地树苗高度比甲地树苗高度更稳定B. 甲乙，甲地树苗高度比乙地树苗高度更稳定C. 甲乙，乙地树苗高度比甲地树苗高度更稳定D. 甲乙，甲地树苗高度比乙地树苗高度更稳定9. 下图是王老师锻炼时所走的离家距离（）与行走时间（）之间的函数关系图，若用黑点表示王老师家的位置，则王老师行走的路线可能是A. B.C. D.10. 已知函数，，若对任意，总有或成立，则实数的取值范围是A. B. C. D.二、填空题（共6小题；共30分）11. 已知函数，则的值是．12. 从某小学随机抽取名同学，将他们的身高（单位：厘米）数据绘制成频率分布直方图（如图）．由图中数据可知．若要从身高在，，三组内的学生中，用分层抽样的方法选取人参加一项活动，则从身高在内的学生中选取的人数应为．13. 已知，则函数的最大值为．14. 如图，一不规则区域内，有一边长为米的正方形，向区域内随机地撒颗黄豆，数得落在正方形区域内（含边界）的黄豆数为颗，以此实验数据为依据可以估计出该不规则图形的面积为平方米．（用分数作答）15. 若函数的图象关于轴对称，则．16. 关于函数为有理数为无理数，有以下四个命题：①对于任意的，都有；②函数是偶函数；③若为一个非零有理数，则对任意恒成立；④在图象上存在三个点，，，使得为等边三角形．其中正确命题的序号是．三、解答题（共4小题；共52分）17. 已知函数的定义域为集合，函数的定义域为集合．（1）当时，求；（2）若，求实数的值．18. 空气质量指数（单位：）表示每立方米空气中可入肺颗粒物的含量，这个值越高，表示空气污染越严重：某市2013年3月8日—4月7日（天）对空气质量指数进行检测，获得数据后整理得到如下条形图：（1）估计该城市一个月内空气质量类别为良的概率；（2）从空气质量级别为三级和四级的数据中任取个，求至少有一天空气质量类别为中度污染的概率．19. 已知定义域为的单调减函数是奇函数，当时，．（1）求的值；（2）求的解析式；（3）若对任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围．20. 定义在上的函数，如果对任意，都有（）成立，则称为阶伸缩函数．（1）若函数为二阶伸缩函数，且当时，，求的值；（2）若函数为三阶伸缩函数，且当时，，求证：函数在上无零点；（3）若函数为阶伸缩函数，且当时，的取值范围是，求在（）上的取值范围．答案第一部分1. D 【解析】A：，，因为，故元素不同，集合也不同，排除；B：，，因为的元素为和，而的元素为一个点，故元素不同，集合不同，排除；C：，，由得，，故两个集合元素不同，排除；D：因为，所以，根据集合元素的无序性可以判断，正确．2. D 【解析】因为，故当时，，故 A 不成立；当时，显然 B 不成立；当，异号时，显然 C 不成立；对于，由于，故有，故 D 成立．3. C 【解析】由表中数据中结合二分法的定义得零点应该存在于区间中，观察四个选项，与其最接近的是C．4. A 【解析】程序在运行过程中各变量值变化如下表：故退出循环的条件应为．5. B【解析】①为幂函数，在上单调递增；②，因为，所以该函数在上单调递减；或③时，，对称轴为，所以该函数在上单调递增；④因为，所以指数函数在上单调递减．6. A 【解析】因为，所以．7. C 【解析】因为当时，其图象是指数函数在轴右侧的部分，因为，所以是增函数的形状，当时，其图象是函数在轴左侧的部分，因为，所以是减函数的形状，比较各选项中的图象知，C符合题意．8. B 【解析】根据茎叶图有：①甲地树苗高度的平均数为甲，乙地树苗高度的平均数为乙，所以甲地树苗高度的平均数小于乙地树苗的高度的平均数；②甲地树苗高度分布在之间，且成单峰分布，且比较集中在平均数左右．乙地树苗高度分布在之间，不是明显的单峰分布，相对分散些．所以甲地树苗高度与乙地树苗高度比较，方差相对小些，更稳定些．9. C 【解析】根据王老师锻炼时所走的离家距离与行走时间之间的函数关系图，可得在中间一段时间里，他到家的距离为定值，所以选C选项．10. C【解析】由，得，故对时，不成立，从而对任意，恒成立．由于对任意恒成立，如下图所示：则必满足解得，则实数的取值范围是．第二部分11.【解析】．12. ；【解析】因为直方图中各个矩形的面积之和为，所以，解得．由直方图可知三个区域内的学生总数为人，其中身高在内的学生人数为人，所以用分层抽样，在身高在范围内抽取的学生人数为人．13.【解析】因为，所以当时，函数取得最大值．14.【解析】因为向区域内随机地撒颗黄豆，数得落在正方形区域内（含边界）的黄豆数为颗，平方米．记“黄豆落在正方形区域内”为事件，则，所以不规则图形15.【解析】由于函数的图象关于轴对称，故该函数为偶函数，故函数的定义域关于原点对称，故．16. ①②③④【解析】①正确，若是有理数，则，则；若是无理数，则，则．即对于任意的，都有；②正确，因为有理数的相反数还是有理数，无理数的相反数还是无理数，所以对任意，都有，则函数是偶函数；③正确，若是有理数，则也是有理数；若是无理数，则也是无理数．所以根据函数的表达式，任取一个不为零的有理数，对恒成立；④正确，取，，，可得，，，所以，，，恰好为等边三角形．第三部分17. （1）易求出．当时，，则或．所以．（2）因为，，，所以有，解得．此时，符合题意．所以．18. （1）由条形监测图可知，空气质量级别为良的天数为天，所以此次监测结果中空气质量为良的概率为．（2）样本中空气质量级别为三级的有天，设其编号为，，，；样本中空气质量级别为四级的有天，设其编号为，．基本事件有：，，，，，，，，，，，，，，共个．其中至少有一天空气质量类别为中度污染的情况有：，，，，，，，，共个．所以至少有一天空气质量类别为中度污染的概率为．19. （1）因为定义域为的函数是奇函数，所以．（2）因为当时，，所以．又因为函数是奇函数，所以，所以．综上，（3）由得，因为是奇函数，所以．又在上是减函数，所以，即对任意恒成立．方法一：令，则．由，解得．方法二：即对任意恒成立．令，，则，因此．故实数的取值范围为．20. （1）由题设，当时，，所以．因为函数为二阶伸缩函数，所以对任意，都有．所以．（2）当时，．由为三阶伸缩函数，有．注意到时，，所以令，解得或，它们均不在内．所以函数在上无零点．（3）由题设，若函数为阶伸缩函数，有，且当时，的取值范围是．所以当时，．因为，所以，所以当时，．当时，即，则使，因此，即，因此．又，因此，即．因为，所以在（）上的取值范围是．。

市西城区2014 — 2015学年度第一学期期末 高一数学2015.1A 卷 [必修 模块4] 本卷总分值：100分一、选择题：本大题共10小题，每题4分，共40分.1．(0,2π)α∈，且sin 0<α，cos 0>α，那么角α的取值围是〔 〕 〔A 〕π(0,)2〔B 〕π(,π)2〔C 〕3π(π,)2〔D 〕3π(,2π)22．向量(2,8)=a ，(4,2)=-b ．假设2=-c a b ，那么向量=c 〔 〕 〔A 〕(0,18)〔B 〕(12,12)〔C 〕(8,14)〔D 〕(4,20)-3．角α的终边经过点(3,4)P -，那么sin =α〔 〕 〔A 〕35〔B 〕34〔C 〕34-〔D 〕45-4．函数sin y x =和cos y x =在区间M 上都是增函数，那么区间M 可以是〔 〕 〔A 〕π(0,)2〔B 〕π(,π)2〔C 〕3π(π,)2〔D 〕3π(,2π)25．在△ABC 中，D 是BC 的中点，那么AB AC +=〔 〕 〔A 〕2AD〔B 〕2DA〔C 〕2BD〔D 〕2DB6．以下函数中，偶函数是〔 〕 〔A 〕()sin()f x x =π+ 〔B 〕()tan()f x x =π- 〔C 〕()sin()2f x x π=+ 〔D 〕()cos()2f x x π=-7．为得到函数πcos()6y x =+的图象，只需将函数cos y x =的图象〔 〕〔A 〕向左平移π3个单位 〔B 〕向右平移π3个单位 〔C 〕向左平移π6个单位〔D 〕向右平移π6个单位8．如图，在矩形ABCD 中，2AB =，3BC =， E 是CD 的中点，那么AE DC ⋅=〔 〕 〔A 〕4〔B 〕2〔C 〕3〔D 〕19．函数2sin y x =的最小正周期为〔 〕 〔A 〕2π〔B 〕π〔C 〕π2〔D 〕π410．向量(1,sin )θ=a ，(cos θ=b ，其中R θ∈，那么||-a b 的最大值是〔 〕 〔A 〕4〔B 〕3〔C 〕2〔D 〕1二、填空题：本大题共6小题，每题4分，共24分. 把答案填在题中横线上. 11．假设(0,)∈πα，且α与角53π-终边一样，那么=α_____． 12．假设向量(1,2)=a 与向量(,1)=-λb 共线，那么实数=λ_____． 13．α是第二象限的角，且5sin 13α=，那么cos =α_____． 14． 向量(1,3)=a ，(2,1)=-b ，(1,1)=c ．假设(,)=∈R c a +b λμλμ，那么=λμ_____． 15．函数2()(sin cos )f x x x =+的最大值是_____．16．关于函数()sin(2)()6f x x x π=-∈R ，给出以下三个结论：① 函数()f x 的图象与2()cos(2)3g x x π=-的图象重合； ② 函数()f x 的图象关于点(,0)12π对称； ③ 函数()f x 的图象关于直线3x π=对称．其中，全部正确结论的序号是_____．三、解答题：本大题共3小题，共36分. 解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17．〔本小题总分值12分〕tan 2=-α，且(,)2π∈πα． 〔Ⅰ〕求πtan()4-α的值；〔Ⅱ〕求sin 2α的值．18．〔本小题总分值12分〕向量(cos ,sin )=ααa ，1(,22=-b ，其中α是锐角． 〔Ⅰ〕证明：向量+a b 与-a b 垂直； 〔Ⅱ〕当|2||2|+=-a b a b 时，求角α．19．〔本小题总分值12分〕函数()sin 221f x x x =+． 〔Ⅰ〕求()f x 的单调递减区间；〔Ⅱ〕假设对于任意ππ[,]42x ∈，都有()2f x m -<成立，数m 的取值围．B 卷 [学期综合] 本卷总分值：50分一、填空题：本大题共5小题，每题4分，共20分. 把答案填在题中横线上. 1．函数1lg y x=的定义域是_____． 2．假设幂函数y x =α的图象过点(4,2)，那么=α_____．3．662log 2log 9+=_____．4．函数21,0,()4,0,x x f x x x ->⎧=⎨-<⎩的零点是_____．5．设()f x 是定义在R 上的偶函数，且()f x 在[0,)+∞上是减函数．假设(21)()f m f m ->，那么实数m 的取值围是_____．二、解答题：本大题共3小题，共30分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 6．〔本小题总分值10分〕全集U =R ，集合{|(2)0}P x x x =-≥，{|26}M x a x a =<<+． 〔Ⅰ〕求集合UP ；〔Ⅱ〕假设UP M ⊆，数a 的取值围．7．〔本小题总分值10分〕函数()(2)()f x x x a =-+，其中a ∈R .〔Ⅰ〕假设()f x 的图象关于直线1x =对称，求a 的值； 〔Ⅱ〕求()f x 在区间[0,1]上的最小值．8．〔本小题总分值10分〕函数()23xxf x a b =⋅+⋅，其中,a b 为常数． 〔Ⅰ〕假设0ab >，判断()f x 的单调性，并加以证明； 〔Ⅱ〕假设0ab <，解不等式：(1)()f x f x +>．市西城区2014 — 2015学年度第一学期期末试卷高一数学参考答案与评分标准 2015.1A 卷 [必修 模块4] 总分值100分一、选择题：本大题共10小题，每题4分，共40分.1.D ；2.C ；3.D ；4. D ；5. A ；6. C ；7. C ；8.B ；9. B ； 10.B . 二、填空题：本大题共6小题，每题4分，共24分.11.3π； 12.12-； 13.1213-； 14.32； 15.2； 16. ①②③.注：16题，少解不给分.三、解答题：本大题共3小题，共36分. 17.〔本小题总分值12分〕 〔Ⅰ〕解：因为 tan 2=-α，所以 πtan tanπ4tan()π41tan tan 4--=+⋅ααα【 3分】 3=.【 6分】〔Ⅱ〕解：由π(,π)2∈α，tan 2α=-， 得sin α=， 【 8分】cos α=【10分】 所以 4sin 22sin cos 5==-ααα. 【12分】18.〔本小题总分值12分〕〔Ⅰ〕证明：由向量(cos sin )αα=，a，1(2=-b ，得1(cos ,sin 22+=-+ααa b，1(cos ,sin 22-=+-ααa b ， 【 1分】由π(0,)2∈α，得向量+a b ，-a b 均为非零向量. 【 2分】 因为222213()()||||(sincos )()044+⋅-=-=+-+=ααa b a b a b ， 【 5分】所以向量+a b 与-a b 垂直. 【 6分】 〔Ⅱ〕解：将|2||2|+=-a b a b 两边平方，化简得223(||||)80-+⋅=a b a b . 【 8分】 由||||1==a b ， 得 0⋅=a b ， 【 9分】所以 1cos 02αα-+=，所以 tan =α. 【11分】 注意到 π(0,)2∈α， 所以 π6α=.【12分】19.〔本小题总分值12分〕〔Ⅰ〕解：()sin 221f x x x =+π12sin(2)3x =+-． 【 2分】 因为函数sin y x =的单调递减区间为π3π[2π,2π]()22k k k ++∈Z ．由 ππ3π2π22π232k x k +≤-≤+()k ∈Z ，【 4分】 得 5π11πππ1212k x k +≤≤+()k ∈Z ． 所以()f x 的单调递减区间为5π11π[π,π]1212k k ++()k ∈Z ． 【 6分】 〔Ⅱ〕解： 因为 ππ[,]42x ∈， 所以 ππ2π2633x -≤≤，由〔Ⅰ〕得 π212sin(2)33x +-≤≤，所以 ()f x 的值域是[23]，． 【 8分】()2()2()2f x m f x m f x -<⇔-<<+，ππ[,]42x ∈． 【10分】所以 max ()2m f x >-，且 min ()2m f x <+，所以 14m <<， 即m 的取值围是(1,4)． 【12分】B 卷 [学期综合] 总分值50分一、填空题：本大题共5小题，每题4分，共20分.1.{|01x x ∈<<R ，或1}x >；2.12； 3.2； 4.2-，1； 5.1(,1)3.注：4题，少解得2分，有错解不给分. 二、解答题：本大题共3小题，共30分. 6.〔本小题总分值10分〕〔Ⅰ〕解：因为全集U =R ，集合{|(2)0}P x x x =-≥，所以 {|(2)0}UP x x x =-<， 【 2分】即集合{|02}UP x x =<<.【 4分】〔Ⅱ〕解：因为UP M ⊆，所以 0,262,a a ≤⎧⎨+≥⎩【 6分】 解得 0,2.a a ≤⎧⎨≥-⎩【 8分】所以 [2,0]a ∈-.【10分】 注：第〔Ⅱ〕小问没有等号扣1分. 7.〔本小题总分值10分〕〔Ⅰ〕解法一：因为2()(2)()(2)2f x x x a x a x a =-+=+--， 所以，()f x 的图象的对称轴方程为22ax -=. 【 2分】 由212a-=，得0a =. 【 4分】 解法二：因为函数()f x 的图象关于直线1x =对称，所以必有(0)(2)f f =成立， 【 2分】 所以 20a -=， 得0a =. 【 4分】〔Ⅱ〕解：函数()f x 的图象的对称轴方程为22ax -=. ① 当202a-≤，即 2a ≥时， 因为()f x 在区间(0,1)上单调递增，所以()f x 在区间[0,1]上的最小值为(0)2f a =-. 【 6分】② 当2012a-<<，即 02a <<时， 因为()f x 在区间2(0,)2a -上单调递减，在区间2(,1)2a-上单调递增， 所以()f x 在区间[0,1]上的最小值为222()()22a a f -+=-.【 8分】 ③ 当212a -≥，即 0a ≤时，因为()f x 在区间(0,1)上单调递减，所以()f x 在区间[0,1]上的最小值为(1)(1)f a =-+. 【10分】 8.〔本小题总分值10分〕〔Ⅰ〕解：当0,0a b >>时，()f x 在R 上是增函数；当0,0a b <<时，()f x 在R 上是减函数； 【 1分】证明如下：当0,0a b >>时，任取12,x x ∈R ，且12x x <，那么210x x x ∆=->， 那么212121()()(22)(33)xxxxy f x f x a b ∆=-=-+-.因为 122122,0(22)0xxxxa a <>⇒->；又122133,0(33)0xxxxb b <>⇒->， 所以 21()()0y f x f x ∆=->，所以，当0,0a b >>时，()f x 在R 上是增函数.当0,0a b <<时，同理可得，()f x 在R 上是减函数. 【 5分】 〔Ⅱ〕解：由(1)()2230xxf x f x a b +-=⋅+⋅>，得 32()2xb a >-. 〔*〕 【 6分】 ①当0,0a b <>时，〔*〕式化为3()22xa b->，. . . .11 / 11 解得32log ()2a x b>-.【 8分】 ②当0,0a b ><时，〔*〕式化为3()22x a b -<， 解得32log ()2a x b<-. 【10分】。

2013-2014学年北京市朝阳区高一（上）期末数学试卷一、选择题（每小题4分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．（4分）设集合A={1，3}，B={1，2，4，5}，则A∪B=（）A．{1，2，3，4，5}B．{2，3，4，5}C．{1，3}D．{1} 2．（4分）下列各组数据中方差最大的是（）A．2，6，7B．2，5，8C．1，6，8D．1，5，9 3．（4分）已知集合M={x|﹣1＜x≤1}，N={x|1≤2x＜4}，则M∩N=（）A．{x|﹣1＜x＜1}B．{x|0≤x＜1}C．{x|0≤x≤1}D．{x|﹣1＜x＜2} 4．（4分）设函数f（x）=3x+3x﹣8，用二分法求得方程f（x）=0在x∈（1，2）内的根所在的区间可以是（）（参考数据：f（1.25）≈﹣0.30，f（1.5）≈1.70，f（1.75）≈4.09）A．（1，1.25）B．（1.25，1.5）C．（1.5，1.75）D．（1.75，2）5．（4分）执行如图所示的程序框图，输出S的值为（）A．6B．12C．20D．306．（4分）如果a＞b＞0，那么下列不等式成立的是（）A．＜B．a2＜b2C．log2a＜log2b D．（）a＞（）b7．（4分）在边长为3的正方形ABCD内随机取一点，取到的点到顶点A的距离大于1的概率是（）A．B．1﹣C．D．1﹣8．（4分）已知函数f（x）=2x+（x＞0，a＞0）在x=2处取得最小值，则a的值为（）A．8B．4C．D．19．（4分）在如图所示的等边三角形空地中，欲建一个内接矩形花园（阴影部分），则此矩形面积的最大值为（）A．100m2B．100m2C．200m2D．200m2 10．（4分）设函数f（x）=[x]﹣1，x∈（0，+∞）（其中[x]表示不超过x的最大整数，如[]=0，[]=1，[2]=2），则方程f（x）﹣log2x=0的根的个数是（）A．1B．2C．3D．无数个二、填空题（共6小题，每小题4分，满分24分）11．（4分）计算：log28+=．12．（4分）某高中校共有学生1800人，其中高一学生540人，高二学生600人，高三学生660人，要从中抽取一个容量为60的样本，若按年级进行分层抽样，则在60人的样本中高三学生的人数为．13．（4分）函数f（x）=x2+2x+3，x∈[﹣1，1]的值域是．14．（4分）某中学组织全校340名学生参加消防知识竞赛，成绩如图所示，其中得分在区间[90，100]内的人数为．15．（4分）定义在R上的函数y=f（x）在（﹣∞，2）上是增函数，且y=f（x+2）为偶函数，若f（a）≥f（4），则实数a的取值范围是．16．（4分）已知函数f（x）=，记g（x）=f（x）﹣k，若函数g（x）有两个零点，则实数k的取值范围是．三、解答题（共36分）17．（9分）已知集合A={x|x2﹣x﹣6＜0}，B={x|m﹣2＜x＜m}．（Ⅰ）若m=4，全集U=A∪B，求A∩（∁U B）；（Ⅱ）若A∩B=∅，求实数m的取值范围．18．（9分）一个盒子中装有大小完全相同且分别标有字母a，b的2个黄球和分别标有字母c，d的2个红球．（Ⅰ）如果每次任取1个球，取出后不放回，连续取两次，求取出的两个球中恰有一个是黄球的概率；（Ⅱ）如果每次任取1个球，取出后放回，连续取两次，求取出的两个球中至多有一个是黄球的概率．19．（9分）已知函数f（x）=﹣（x≠0，a∈R）．（Ⅰ）讨论函数f（x）的奇偶性；（Ⅱ）若函数f（x）在（0，1]上为减函数，求a的取值范围．20．（9分）如果定义在[0，1]上的函数f（x）满足：若对任意x1，x2∈[0，1]，且x1≠x2，都有|f（x1）﹣f（x2）|＜|x1﹣x2|成立，则称f（x）为“M函数”．（Ⅰ）已知函数g（x）=，x∈[0，1]．判断g（x）是否为“M函数”，并说明理由；（Ⅱ）若h（x）为“M函数”，且h（0）=h（1），求证：对任意x1，x2∈[0，1]，有|h（x1）﹣h（x2）|＜．（提示：|a+b|≤|a|+|b|，a，b∈R）2013-2014学年北京市朝阳区高一（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（每小题4分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．（4分）设集合A={1，3}，B={1，2，4，5}，则A∪B=（）A．{1，2，3，4，5}B．{2，3，4，5}C．{1，3}D．{1}【分析】由A与B求出两集合的并集即可．【解答】解：∵A={1，3}，B={1，2，4，5}，∴A∪B={1，2，3，4，5}．故选：A．【点评】此题考查了并集及其运算，熟练掌握并集的定义是解本题的关键．2．（4分）下列各组数据中方差最大的是（）A．2，6，7B．2，5，8C．1，6，8D．1，5，9【分析】分别求出四组数据的方差，进行比较能求出结果．【解答】解：=，=[（2﹣5）2+（6﹣5）2+（7﹣5）2]=；=，=[（2﹣5）2+（5﹣5）2+（8﹣5）2]=6；==5，=[（1﹣5）2+（6﹣5）2+（8﹣5）2]=；==5，=[（1﹣5）2+（5﹣5）2+（9﹣5）2]=．故选：D．【点评】本题考查方差的计算和比较，是基础题，解题时要认真审题，注意方差公式的合理运用．3．（4分）已知集合M={x|﹣1＜x≤1}，N={x|1≤2x＜4}，则M∩N=（）A．{x|﹣1＜x＜1}B．{x|0≤x＜1}C．{x|0≤x≤1}D．{x|﹣1＜x＜2}【分析】利用交集定义求解．【解答】解：∵集合M={x|﹣1＜x≤1}，N={x|1≤2x＜4}={x|0≤x＜2}，∴M∩N={x|0≤x≤1}．故选：C．【点评】本题考查交集的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意不等式性质的合理运用．4．（4分）设函数f（x）=3x+3x﹣8，用二分法求得方程f（x）=0在x∈（1，2）内的根所在的区间可以是（）（参考数据：f（1.25）≈﹣0.30，f（1.5）≈1.70，f（1.75）≈4.09）A．（1，1.25）B．（1.25，1.5）C．（1.5，1.75）D．（1.75，2）【分析】由题意可得f（x）是R上的连续函数，且f（1.25）•f（1.5）＜0，由此根据函数零点的判定定理求得函数f（x）的零点所在的区间．【解答】解：由题意可得f（x）是R上的连续函数，f（1.25）≈﹣0.30，f（1.5）≈1.70，且f（1.25）•f（1.5）＜0，故函数f（x）的零点所在的区间为（1.25，1.5），故选：B．【点评】本题主要考查用二分法求方程的近似解，函数零点的判定定理，属于基础题．5．（4分）执行如图所示的程序框图，输出S的值为（）A．6B．12C．20D．30【分析】分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是累加并输出S=2+4+6+8的值．【解答】解：分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是累加并输出S=2+4+6+8=20故选：C．【点评】本题考查的知识点是程序框图，其中根据循环条件判断出循环变量的终值，进而结合循环体分析出程序的功能是解答本题的关键．6．（4分）如果a＞b＞0，那么下列不等式成立的是（）A．＜B．a2＜b2C．log2a＜log2b D．（）a＞（）b【分析】根据不等式的性质，指数函数，对数函数，幂函数的性质判断即可．【解答】解：∵a＞b＞0，∴，a2＞b2，log2a＞log2b，（）a＜（）b，故A正确，BCD错误．故选：A．【点评】本题主要考查了不等式的性质，指数函数，对数函数，幂函数的单调性，属于基础题．7．（4分）在边长为3的正方形ABCD内随机取一点，取到的点到顶点A的距离大于1的概率是（）A．B．1﹣C．D．1﹣【分析】根据几何概型的概率公式，计算相应的面积即可得到结论．【解答】解：在正方形ABCD内随机取一点P，点P到点O的距离大于1的轨迹是以O为圆心，1为半径的圆的外部，面积为32﹣=9﹣，∵正方形的面积为3×3=9，∴点P到点O的距离大于1的概率为=1﹣．故选：B．【点评】本题考查的知识点是几何概型，关键是要找出点到O的距离大于1的点对应的图形的面积，利用数形结合是解决本题的关键．8．（4分）已知函数f（x）=2x+（x＞0，a＞0）在x=2处取得最小值，则a的值为（）A．8B．4C．D．1【分析】根据基本不等式求出函数的最小值，即可得到结论．【解答】解：∵x＞0，a＞0，∴f（x）=2x+，当且仅当2x=，即x2=时取“=”此时函数f（x）取得最小值，∵函数f（x）在x=2处取得最小值，∴x2==4，即a=8．故选：A．【点评】本题主要考查函数最值的应用，根据基本不等式求出最小值是解决本题的关键．9．（4分）在如图所示的等边三角形空地中，欲建一个内接矩形花园（阴影部分），则此矩形面积的最大值为（）A．100m2B．100m2C．200m2D．200m2【分析】设出矩形的长，表示出宽，进而矩形的面积可表示出来，利用基本不等式求得面积的最大值．【解答】解：设矩形的长为x，则宽为（40﹣x），∴矩形面积S=x（40﹣x）≤•（）2=200（m2），当且仅当x=20时等号成立，故矩形面积最大值为200m2．故选：D．【点评】本题主要考查了基本不等式的应用．注意“一正，二定，三相等”条件的满足．10．（4分）设函数f（x）=[x]﹣1，x∈（0，+∞）（其中[x]表示不超过x的最大整数，如[]=0，[]=1，[2]=2），则方程f（x）﹣log2x=0的根的个数是（）A．1B．2C．3D．无数个【分析】由方程f（x）﹣log2x=0，得程f（x）=log2x，然后根据定义分别讨论f （x）的表达式，利用数形结合即可得到结论．【解答】解：由方程f（x）﹣log2x=0，得程f（x）=log2x，当0＜x＜1，[x]=0，则f（x）=[x]﹣1=﹣1，此时log2x＜0，由f（x）=log2x=﹣1，解得x=，当1≤x＜2，[x]=1，则f（x）=[x]﹣1=1﹣1=0，由f（x）=log2x=0，解得x=1，满足条件，当2≤x＜3，[x]=2，则f（x）=[x]﹣1=2﹣1=1，由f（x）=log2x=1，解得x=2，满足条件，当3≤x＜4，[x]=3，则f（x）=[x]﹣1=3﹣1=2，由f（x）=log2x=2，解得x=4，不满足条件，当4≤x＜5，[x]=4，则f（x）=[x]﹣1=4﹣1=3，此时log2x＜3，此时方程无解，不满足条件，…当n≤x＜n+1，（n≥5），[x]=，n，则f（x）=[x]﹣1=n﹣1=3，此时方程无解，不满足条件，故方程f（x）﹣log2x=0的根的个数是3个．故选：C．【点评】本题主要考查方程根的个数以及[x]的应用，利用分段函数求出f（x）的表达式，以及利用数形结合是解决本题的关键．综合性较强．二、填空题（共6小题，每小题4分，满分24分）11．（4分）计算：log28+=12．【分析】利用对数和指数的运算性质和运算法则求解．【解答】解：log28+=3+32=12．故答案为：12．【点评】本题考查对数式求值的计算，是基础题，解题时要注意对数和指数的运算性质和运算法则的合理运用．12．（4分）某高中校共有学生1800人，其中高一学生540人，高二学生600人，高三学生660人，要从中抽取一个容量为60的样本，若按年级进行分层抽样，则在60人的样本中高三学生的人数为22．【分析】先求出抽样比f=，再求在60人的样本中高三学生的人数．【解答】解：由题意知：在60人的样本中高三学生的人数为：660×=22（人）．故答案为：22．【点评】本题考查样本中高三学生人数的求法，是基础题，解题时要注意分层抽样方法的合理运用．13．（4分）函数f（x）=x2+2x+3，x∈[﹣1，1]的值域是[2，6] ．【分析】根据函数解析式，求得函数对称轴和开口方向，判断函数在区间上的单调性，进而求得函数的最大和最小值，求得函数的值域．【解答】解：函数f（x）的对称轴为x=﹣1，开口向上，在区间[﹣1，1]但单调增，∴f（x）max=f（1）=6，f（x）min=f（﹣1）=2，∴函数的值域为[2，6]．故答案为：[2，6]．【点评】本题主要考查了函数的值域问题，二次函数的性质．运用了数形结合思想解决问题较为直观．14．（4分）某中学组织全校340名学生参加消防知识竞赛，成绩如图所示，其中得分在区间[90，100]内的人数为34．【分析】由频率分布图先求出得分在区间[90，100]内的频率，再求得分在区间[90，100]内的人数．【解答】解：由频率分布图知：得分在区间[90，100]内的频率为：0.010×10=0.1，∴得分在区间[90，100]内的人数为：340×0.1=34（人）．故答案为：34．【点评】本题考查频率分布直方图的应用，解题时要认真审题，是基础题．15．（4分）定义在R上的函数y=f（x）在（﹣∞，2）上是增函数，且y=f（x+2）为偶函数，若f（a）≥f（4），则实数a的取值范围是[0，4] ．【分析】根据f（x+2）为偶函数得到函数关于x=2对称，进而分别讨论当a≥2和a＜2时，即可求出不等式f（a）≥f（4）的解集．【解答】解：∵f（x+2）为偶函数，∴f（﹣x+2）=f（x+2），即函数f（x）关于x=2对称，∵f（x）在（﹣∞，2）上是增函数，∴f（x）在（2，+∞）上单调递减，当a≥2时，由f（a）≥f（4），得则2≤a≤4，当a＜2时，由f（a）≥f（4）=f（0），此时0≤a＜2，综上0≤a≤4，则故a取值范围是[0，4]，故答案为：[0，4]【点评】本题主要考查函数的单调性和奇偶性的综合运用，根据条件得到函数f （x）的对称性是解决本题的关键．16．（4分）已知函数f（x）=，记g（x）=f（x）﹣k，若函数g（x）有两个零点，则实数k的取值范围是{k|k=2，或﹣2＜k≤1} ．【分析】由题意可得函数y=f（x）的图象和直线y=k有2个交点，数形结合求得k的范围．【解答】解：对于函数f（x）=，当x=2时，函数有最小值为﹣2，但没有最大值．由题意可得函数y=f（x）的图象和直线y=k有2个交点，如图所示：数形结合求得k的范围为{k|k=2，或﹣2＜k≤1}．故答案为：{k|k=2，或﹣2＜k≤1}．【点评】本题主要考查函数的零点和方程的根的关系，体现了转化、数形结合的数学思想，属于基础题．三、解答题（共36分）17．（9分）已知集合A={x|x2﹣x﹣6＜0}，B={x|m﹣2＜x＜m}．（Ⅰ）若m=4，全集U=A∪B，求A∩（∁U B）；（Ⅱ）若A∩B=∅，求实数m的取值范围．【分析】（Ⅰ）若m=4，全集U=A∪B，解一元二次不等式求得A，化简B，根据补集的定义求得∁U B，再根据两个集合的交集的定义求得A∩（∁U B）．（Ⅱ）由A∩B=∅，考查集合端点处的大小关系求得实数m的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）若m=4，则集合A={x|x2﹣x﹣6＜0}={x|﹣2＜x＜3}，B={x|m ﹣2＜x＜m}={x|2＜x＜4}，∴全集U=A∪B={x|﹣2＜x＜4}，∁U B={x|﹣2＜x≤2}，A∩（∁U B）={x|﹣2＜x≤2}．（Ⅱ）∵A={x|﹣2＜x＜3}，B={x|m﹣2＜x＜m}，若A∩B=∅，则有m≤﹣2，或m﹣2≥3，解得m≤﹣2，或m≥5，即m的范围为{m|m≤﹣2，或m≥5 }．【点评】本题主要考查集合的表示方法、集合的补集，两个集合的交集的定义和求法，属于基础题．18．（9分）一个盒子中装有大小完全相同且分别标有字母a，b的2个黄球和分别标有字母c，d的2个红球．（Ⅰ）如果每次任取1个球，取出后不放回，连续取两次，求取出的两个球中恰有一个是黄球的概率；（Ⅱ）如果每次任取1个球，取出后放回，连续取两次，求取出的两个球中至多有一个是黄球的概率．【分析】（Ⅰ）分别求出取出的两个球中恰有一个是黄球的事件的个数、所有可能的情况的个数，前者除以后者即可求出取出的两个球中恰有一个是黄球的概率；（Ⅱ）首先求出取出的两个球都是黄球的概率，用1减去取出的两个球都是黄球的概率，求出取出的两个球中至多有一个是黄球的概率即可．【解答】解：（Ⅰ）第一次、第二次取到黄球的事件的个数都是：2×2=4（个）取出的两个球中恰有一个是黄球的事件的个数为4+4=8（个），连续取两次，所有可能的情况的个数为4×3=12（个），所有取出的两个球中恰有一个是黄球的概率是．（Ⅱ）取出的两个球都是黄球的概率：，所以取出的两个球中至多有一个是黄球的概率：1﹣．【点评】此题主要考查了古典概型及其概率计算公式的运用，解答此题的关键是要弄清楚：如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P（A）=．19．（9分）已知函数f（x）=﹣（x≠0，a∈R）．（Ⅰ）讨论函数f（x）的奇偶性；（Ⅱ）若函数f（x）在（0，1]上为减函数，求a的取值范围．【分析】（Ⅰ）讨论函数f（x）的奇偶性；（Ⅱ）根据函数单调性的定义和性质即可得到结论．【解答】解：（Ⅰ）∵f（x）=﹣，∴f（﹣x）=+，若a=0，则f（﹣x）=f（x）此时函数f（x）为偶函数，若a≠0，f（﹣1）+f（1）=2≠0，f（﹣1）﹣f（1）=2a≠0，即f（﹣1）≠f（1），且f（﹣1）≠﹣f（1），此时函数f（x）为非奇非偶函数；（Ⅱ）设0＜x1＜x2≤1，则f（x1）﹣f（x2）===，要使函数f（x）在（0，1]上为减函数，则f（x1）﹣f（x2）＞0．∵x2﹣x1＞0，∴﹣a＞0，即a＜，∵0＜x1＜x2≤1，∴＞2，即a≤2，即a的取值范围是（﹣∞，2]．【点评】本题主要考查函数奇偶性的判断依据函数单调性的应用，根据函数奇偶性和单调性的定义是解决本题的关键．第二问也可以使用导数进行求解．20．（9分）如果定义在[0，1]上的函数f（x）满足：若对任意x1，x2∈[0，1]，且x1≠x2，都有|f（x1）﹣f（x2）|＜|x1﹣x2|成立，则称f（x）为“M函数”．（Ⅰ）已知函数g（x）=，x∈[0，1]．判断g（x）是否为“M函数”，并说明理由；（Ⅱ）若h（x）为“M函数”，且h（0）=h（1），求证：对任意x1，x2∈[0，1]，有|h（x1）﹣h（x2）|＜．（提示：|a+b|≤|a|+|b|，a，b∈R）【分析】（Ⅰ）设x1，x2∈[0，1]，求得的表达式判断出其小于1即可证明|g（x1）﹣g（x2）|＜|x1﹣x2|．（Ⅱ）设0≤x2≤x1≤1，先看x2=x1时不等式成立，再看不相等时根据|h（x1）﹣h（x2）|=|h（x1）﹣h（1）+h（0）﹣h（x2）|利用M函数的定义的性质证明结论．【解答】解：（Ⅰ）g（x）是“M函数”，理由如下：设x1，x2∈[0，1]，x1≠x2，==||，∵x1，x2∈[0，1]，2≤2+x1≤3，2≤2+x2≤3，∴＜1，则|g（x1）﹣g（x2）|＜|x1﹣x2|成立．（Ⅱ）由h（x）为“M函数”，则|h（x1）﹣h（x2）|＜|x1﹣x2|成立，不妨设0≤x2≤x1≤1，当x2=x1时，|h（x1）﹣h（x2）|=0＜，当0＜x1﹣x2＜1时，由h（0）=h（1），则|h（x1）﹣h（x2）|=|h（x1）﹣h（1）+h（0）﹣h（x2）|≤|h（x1）﹣h（1）|+|h（0）﹣h（x2）|≤|x1﹣1|+|0﹣x2|=1﹣（x1﹣x2）＜1﹣=，综上所述|h（x1）﹣h（x2）|＜成立．【点评】本题主要考查了函数的性质和解不等式的相关问题．考查了学生分析和推理的能力．。

2015-2016学年北京市朝阳区高一（上）期末数学试卷一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 下列各组中的两个集合M和N，表示同一集合的是（）A.M＝{2, 3}，N＝{(2, 3)}B.M＝{π}，N＝{3.14159}C.M={1,√3,π}，N={π,1,|−√3|}D.M＝{x|−1<x≤1, x∈N}，N＝{1}2. 若a>b，c∈R，则下列不等式中成立的是（）A.ab >1 B.ac>bc C.ac2≥bc2 D.1a<1b3.若函数f(x)=x3+x2−2x−2的一个正数零点附近的函数值用二分法逐次计算，参考数据如下表：0.1）为()A.1.3B.1.2C.1.5D.1.44. 某程序框图如图所示，若输出的S=57，则判断框内为()A.k>5？ B.k>4？ C.k>7？ D.k>6？5. 给定函数①y=x12，②y=log12(x+1)，③y=|x2−2x|，④y=(56)x，其中在区间(0, 1)上单调递减的函数序号是（）A.②④B.①④C.①③D.②③6. 已知a=√0.3，b＝20.3，c＝0.30.2，则a，b，c三者的大小关系是（）A.b>a>cB.b>c>aC.c>b>aD.a>b>c7. 函数y=xa x|x|(a>1)的图象的大致形状是（）A. B.C. D.8. 某苗圃基地为了解基地内甲、乙两块地种植同一种树苗的长势情况，从两块地各随机抽取了10株树苗，用茎叶图表示上述两组树苗高度的数据，对两块地抽取树苗的高度的平均数x¯甲，x→乙和方差进行比较，下面结论正确的是（）A.x¯甲<x→乙，甲地树苗高度比乙地树苗高度更稳定B.x¯甲>x→乙，乙地树苗高度比甲地树苗高度更稳定C.x¯甲>x→乙，甲地树苗高度比乙地树苗高度更稳定D.x¯甲<x→乙，乙地树苗高度比甲地树苗高度更稳定9. 如图是王老师锻炼时所走的离家距离(S)与行走时间(t)之间的函数关系图，若用黑点表示王老师家的位置，则王老师行走的路线可能是（）A. B. C. D.10. 已知函数f(x)=a(x−a)(x+a+3)，g(x)=2x−2，若对任意x∈R，总有f(x)<0或g(x)<0成立，则实数a的取值范围是（）A.[−4, 0)B.(−∞, −4)C.(−4, +∞)D.(−4, 0)二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.已知函数f(x)={log2x，x>03x，x≤0则f(14)的值是________．从某小学随机抽取100名同学，将他们身高（单位：厘米）数据绘制成频率分布直方图（如图）．由图中数据可知a=________．若要从身高在[120, 130)，[130, 140)，[140, 150]内的学生中，用分层抽样的方法选取18人参加一项活动，则从身高在[140, 150]内的学生中选取的人数应为________．已知0<x<1.5，则函数y=4x(3−2x)的最大值为________．如图，一不规则区域内，有一边长为1米的正方形，向区域内随机地撒1000颗黄豆，数得落在正方形区域内（含边界）的黄豆数为360颗，以此实验数据1000为依据可以估计出该不规则图形的面积为________平方米．（用分数作答）若函数f(x)=x2(2x+1)(x+a)的图象关于y轴对称，则a=________．关于函数f(x)={1，x为有理数0，x为无理数有以下四个命题：①对于任意的x∈R，都有f（f(x)）=1；②函数f(x)是偶函数；③若T为一个非零有理数，则f(x+T)=f(x)对任意x∈R恒成立；④在f(x)图象上存在三个点A，B，C，使得△ABC为等边三角形．其中正确命题的序号是________．三、解答题：本大题共4小题，共40分.已知函数f(x)=√4x+5−x2x+1的定义域为集合A，函数g(x)=lg(−x2+2x+m)的定义域为集合B．(1)当m=3时，求A∩(∁R B)；(2)若A∩B={x|−1<x<4}，求实数m的值．空气质量指数PM2.5（单位：μg/m3）表示每立方米空气中可入肺颗粒物的含量，这个值越高，解代表空气污染越严重：（1）估计该城市一个月内空气质量类别为良的概率；（2）从空气质量级别为三级和四级的数据中任取2个，求至少有一天空气质量类别为中度污染的概率．−2x．已知定义域为R的单调减函数f(x)是奇函数，当x>0时，f(x)=x3（1）求f(0)的值；（2）求f(x)的解析式；（3）若对任意的t∈R，不等式f(t2−2t)+f(2t2−k)<0恒成立，求实数k的取值范围．定义在(0, +∞)上的函数f(x)，如果对任意x∈(0, +∞)，都有f(kx)=kf(x)(k≥2, k∈N∗)成立，则称f(x)为k阶伸缩函数．x，求f(2√3)的值；（1）若函数f(x)为二阶伸缩函数，且当x∈(1, 2]时，f(x)=1+log13（2）若函数f(x)为三阶伸缩函数，且当x∈(1, 3]时，f(x)=√3x−x2，求证：函数y=f(x)−√2x在(1, +∞)上无零点；（3）若函数f(x)为k阶伸缩函数，且当x∈(1, k]时，f(x)的取值范围是[0, 1), 求f(x)在(0, k n+1](n∈N∗)上的取值范围．参考答案与试题解析2015-2016学年北京市朝阳区高一（上）期末数学试卷一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.【答案】此题暂无答案【考点】集都着相等【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答2.【答案】此题暂无答案【考点】不等式射基本性面【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答3.【答案】此题暂无答案【考点】二分法求明程月近似解【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答4.【答案】此题暂无答案【考点】程正然图【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答5.【答案】此题暂无答案【考点】函较绕肠由的判断与证明【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答6.【答案】此题暂无答案【考点】不等都还概念【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答7.【答案】此题暂无答案【考点】函表的透象【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答8.【答案】此题暂无答案【考点】茎叶图【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答9.【答案】此题暂无答案【考点】函表的透象【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答10.【答案】此题暂无答案【考点】函使的以值【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分. 【答案】此题暂无答案【考点】函使的以值【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答【答案】此题暂无答案【考点】频率都着直方图【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答【答案】此题暂无答案【考点】二次明数织性质【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答【答案】此题暂无答案【考点】模拟方射估计概纳【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答【答案】此题暂无答案【考点】函数表图层变换【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答【答案】此题暂无答案【考点】命题的真三判断州应用分段水正的应用【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答三、解答题：本大题共4小题，共40分. 【答案】此题暂无答案【考点】集合体系拉的参污取油问题对数函表的透义域交常并陆和集工混合运算【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答【答案】此题暂无答案【考点】列举法体算土本母件数及骨件发生的概率分布的于义和侧用【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答【答案】此题暂无答案【考点】奇偶性与根调性的助合【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答【答案】此题暂无答案【考点】函使的以值【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答。

北京市朝阳区高三年级第一次综合练习数学试卷答案（文史类）2015.4一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，选出三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程． （15）（本小题满分13分） （Ⅰ）因为cos B =，(0,)B ∈π，又22sin cos 1BB +=， 所以sin B =. 由正弦定理得，sin sin AC BCB A=.=. 所以4AC =. ……… 6分 （Ⅱ）在ABC ∆中，sin sin(60)C B =+osin cos60cos sin 60B B =+oo1sin 2B B =+ =12 =6.所以1sin 2ABC S AC BC C ∆=⋅=1462⨯⨯⨯6=……13分 （16）（本小题满分13分）解：（Ⅰ）从茎叶图可以看出，乙校10名学生的考试成绩的平均分高于甲校10名学生的考试成绩平均分，故乙校的数学成绩整体水平较高． ……… 4分 （Ⅱ）设事件M ：分别从甲、乙两校随机各抽取1名成绩不低于90分的同学，抽到的学生中，甲校学生成绩高于乙校学生成绩．由茎叶图可知，甲校成绩不低于90分的同学有2人，从小到大依次记为12,A A ；乙校成绩不低于90分的同学有5人，从小到大依次记为12345,,,,B B B B B ． 其中121234592,93,90,91,95,96,98.A A B B B B B =======分别从甲、乙两校各随机抽取1名成绩不低于90分的同学共有11121314152122232425,,,,,,,,,A B A B A B A B A B A B A B A B A B A B 这10种可能．其中满足“抽到的学生中，甲校学生成绩高于乙校学生成绩”共有11122122,,,A B A B A B A B 这4种可能．所以42()105P M ==． 即分别从甲、乙两校随机各抽取1名成绩不低于90分的同学，抽到的学生中，甲校学生成绩高于乙校学生成绩的概率为25. ……… 13分 （17）（本小题满分14分）解：（Ⅰ）证明：因为三棱柱的侧面是正方形，所以11,CC BC CC AC ^^,BC AC C =I . 所以1CC ^底面ABC ．因为BD Ì底面ABC ，所以1CC BD ^． 由已知可得，底面ABC 为正三角形． 因为D 是AC 中点，所以BD AC ^． 因为1AC CC C ?，所以BD ^平面11ACC A ． ……… 5分（Ⅱ）证明：如图，连接1B C 交1BC 于点O ，连接OD ．显然点O 为1B C 的中点．AB CDA 1B 1C 1O因为D 是AC 中点， 所以1//AB OD ． 又因为OD Ì平面1BC D ，1AB Ë平面1BC D ， 所以直线1//AB 平面1BC D ．……… 10分 （Ⅲ）在DD BC 1内的平面区域（包括边界）存在一点E ，使CE ⊥DM ．此时点E 是在线段1C D 上. 证明如下：过C 作1CE C D ⊥交线段1C D 于E ，由（Ⅰ）可知BD ^平面11ACC A ，而CE ⊂平面11ACC A ， 所以BD CE ^．又1CE C D ⊥，1BD C D D =I ，所以CE ^平面D BC 1．又DM ⊂平面D BC 1，所以CE ⊥DM ． ……… 14分（18）（本小题满分13分）（Ⅰ）解：因为14a =，1n n a S +=，所以2114a S a ===，3212448a S a a ==+=+=，4312344816a S a a a ==++=++=． ……… 3分（Ⅱ）当2n ≥时，11222n n nn n n a S S +-=-=-=．又当1n =时，114a S ==．所以4,1,2, 2.n n n a n =⎧=⎨≥⎩……… 6分（Ⅲ）依题意，224b a ==，338b a ==.则由11428b d b d +=⎧⎨+=⎩得，10b =，4d =,则4(1)n b n =-.所以20,1,(1)2, 2.n n n n a b n n +=⎧⋅=⎨-≥⎩所以2(1)2(*)n n n a b n n +⋅=-∈N .C 1AB CDA 1B 1ME因为n T =1122334411...n n n n a b a b a b a b a b a b --++++++456120122232...(2)2(1)2n n n n ++=+⨯+⨯+⨯++-⨯+-⨯，所以567232122232...(2)2(1)2n n n T n n ++=⨯+⨯+⨯++-⨯+-⨯. 所以4567232222...2(1)2n n n T n ++-=+++++--⨯41332(12)(1)216(2)212n n n n n -++-=--⨯=---⨯- .所以316(2)2n n T n +=+-⨯. ……… 13分（19）（本小题满分14分） 解：（Ⅰ）由题意可得2222,,3,c c a a b c =⎧⎪⎪=⎨⎪=+⎪⎩解得a =b = 故椭圆的方程为22162x y +=． ……… 5分 （Ⅱ）由题意可知直线l 斜率存在，设其方程为(2)y k x =-，点11(,)A x y ，22(,)B x y ，33(,)M x y ，33(,)N x y --，由221,62(2),x y y k x ⎧+=⎪⎨⎪=-⎩得2222(13)121260k x k x k +-+-=， 所以21221213k x x k+=+． 因为121224(4)13ky y k x x k-+=+-=+， 所以AB 中点22262(,)1313k kD k k-++． 因此直线OD 方程为30x ky +=()0k ¹．由2230,1,62x ky x y +=⎧⎪⎨+=⎪⎩解得232213y k =+，333x ky =-． 因为四边形12MF NF 为矩形，所以220F M F N ⋅=u u u u r u u u u r，即3333(2,)(2,)0x y x y -⋅---=．所以223340x y --=．所以222(91)4013k k+-=+．解得3k =±．故直线l的方程为2)3y x =±-． ……… 14分（20）（本小题满分13分）解：函数()f x 定义域为{0}x x ≠，322()e x x x ax a f x x++-'=. （Ⅰ）当0a =时，()e x f x x =⋅，()f x '=(1)e xx +.所以(1)e,(1)2e f f '==.所以曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程是e 2e(1)y x -=-，即2e e =0x y --. ……… 3分（Ⅱ） 当1a =-时，()f x '=3221e xx x x x +-+. 设()g x =321x x x +-+，则2()321(31)(1)g x x x x x '=+-=-+.令()(31)(1)0g x x x '=-+>得，13x >或1x <-，注意到0x >，所以13x >. 令()(31)(1)0g x x x '=-+<得，注意到0x >，得103x <<.所以函数()g x 在1(0,)3上是减函数，在1(,)3+∞上是增函数.所以函数()g x 在13x =时取得最小值，且122()0327g =>. 所以()g x 在(0,)+∞上恒大于零.于是，当(0,)x ∈+∞，()f x '=3221e 0xx x x x +-+>恒成立. 所以当1a =-时，函数()f x 在()0,+∞上为增函数. ……… 7分（Ⅱ）问另一方法提示：当1a =-时，()f x '=3221e xx x x x+-+. 由于3210x x x +-+>在()0,+∞上成立，即可证明函数()f x 在()0,+∞上为增函数.（Ⅲ）（Ⅱ）322()e ()xx x ax af x x++-'=. 设()h x =32x x ax a ++-，2()32h x x x a '=++.(1) 当0a >时，()0h x '>在(0,)+∞上恒成立，即函数()h x 在(0,)+∞上为增函数.而(0)0h a =-<，(1)20h =>，则函数()h x 在区间()0,1上有且只有一个零点0x ，使0()0f x '=,且在0(0,)x 上，()0f x ¢<，在()0,1x 上，()0f x ¢>，故0x 为函数()f x 在区间()0,1上唯一的极小值点; （2）当0a =时，当x Î()0,1时，2()320h x x x '=+>成立，函数()h x 在区间()0,1上为增函数，又此时(0)0h =，所以函数()0h x >在区间()0,1恒成立，即()0f x ¢>， 故函数()f x 在区间()0,1为单调递增函数，所以()f x 在区间()0,1上无极值； （3）当0a <时，()h x =3232(1)x x ax a x x a x ++-=++-.当()0,1x ∈时，总有()0h x >成立，即()0f x '>成立，故函数()f x 在区间()0,1上为单调递增函数，所以()f x 在区间()0,1上无极值.综上所述0a >. ……… 13分。

2014-2015学年北京市朝阳区高一（上）期末数学试卷一、选择题（共10小题，每小题5分，满分50分）1．（5分）已知全集U=R，集合A={0，1，2，3，4，5}，B={x|x≥2}，则A∩（∁B）=（）UA．{1}B．{0，1}C．{1，2}D．{0，1，2}2．（5分）函数f（x）=+lg（x+1）的定义域为（）A．（﹣1，1）B．（﹣1，+∞）C．（1，+∞）D．（﹣∞，1）3．（5分）下列函数中，既是奇函数又是增函数的为（）A．y=x+1 B．y=﹣x2C．y= D．y=x|x|4．（5分）偶函数f（x）的图象如图所示，则f（﹣1），f（﹣），f（）的大小关系是（）A．f（﹣1）＜f（﹣）＜f（） B．f（），f（﹣），f（﹣1）C．f（﹣），f（），f（﹣1）D．f（﹣1），f（），f（﹣）5．（5分）函数f（x）=lnx﹣的零点所在的大致区间是（）A．（1，2） B．（2，3） C．（1，）D．（e，+∞）6．（5分）从某小学随机抽取100分学生，将们们的身高（单位：厘米）数据绘制成频率分布直方图（如图），若要从身高在[120，130），[130，140），[140，150]三组内的学生中，用分层抽样的方法选取20人参加一项活动，则身高在[120，130）内的学生中选取的人数应为（）A．8 B．12 C．10 D．307．（5分）已知a，b∈R，下列命题正确的是（）A．若a＞b，则|a|＞|b|B．若a＞b，则C．若|a|＞b，则a2＞b2D．若a＞|b|，则a2＞b28．（5分）f（x）是R上的奇函数，当x＞0时，f（x）=2x，则当x＜0时，f（x）=（）A．﹣（）x B．（）x C．﹣2x D．2x9．（5分）在股票买卖过程中，经常用两种曲线来描述价格变化情况，一种是即时价格曲线y=f（x），另一种是平均价格曲线y=g（x），如f（2）=3表示股票开始买卖后2小时的即时价格为3元；g（2）=3表示2小时内的平均价格为3元，下面给出了四个图象，实线表示y=f（x），虚线表示y=g（x），其中正确的是（）A．B．C．D．10．（5分）函数f（x）满足对定义域内的任意x，都有f（x+2）+f（x）＜2f（x+1），则函数f（x）可以是（）A．f（x）=2x+1 B．f（x）=x2﹣2x C．f（x）=e x D．f（x）=lnx二、填空题（共6小题，每小题5分，满分30分）11．（5分）为了了解1000名学生的学习情况，采用系统抽样的方法，从中抽取容量为40的样本，则分段的间隔为．12．（5分）已知幂函数y=f（x）图象过点（2，8），则f（3）=．13．（5分）执行如图所示的程序框图，若输入n的值为8，则输出的s的值为．14．（5分）当x＞﹣1时，函数y=x+的最小值为．15．（5分）如图，矩形ABCD中，AB=2，BC=1，以点C为圆心，CB为半径的圆与边DC交于点E，F是上任意一点（包括端点），在矩形ABCD内随机取一点M，则点M落在△AFD内部的概率的取值范围是．16．（5分）对于集合A={a1，a2，…a n}（n≥2，n∈N*），如果a1•a2…•a n=a1+a2+…+a n，则称集合A具有性质P，给出下列结论：①集合{，}具有性质P；②若a1，a2∈R，且{a1，a2}具有性质P，则a1a2＞4③若a1，a2∈N*，则{a1，a2}不可能具有性质P；④当n=3时，若a i∈N*（i=1，2，3），则具有性质P的集合A有且只有一个．其中正确的结论是．三、解答题（共4小题，满分40分）17．（9分）已知集合A={x2﹣3x﹣10≤0}，B={x|m﹣1＜x＜2m+1}（Ⅰ）当m=3时，求A∩B．（Ⅱ）若B⊆A，求实数m的取值范围．18．（9分）某车间将10名技工平均分成甲、乙两组加工某种零件，在单位时间内每个技工加工的合格零件数，按十位数学为茎，个位数学为叶得到的茎叶图如图所示，已知甲、乙两组数据的平均数都为10．（Ⅰ）求m，n的值；（Ⅱ）别求出甲、乙两组数据的方差S甲2和S乙2，并由此分析两组技工的加工水平；（Ⅲ）质检部门从该车间甲、乙两组技工中各随机抽取一名技工，对其加工的零件进行检测，若两人加工的合格零件数之和大于17，则称该车间“质量合格”，求该车间“质量合格”的概率．（注：为数据x1，x2，…x n的平均数，方差S2=[（x1﹣）2+（x2﹣）2+…+（x n ﹣）2]）19．（10分）已知函数f（x）=ax2+bx﹣a+2（1）若关于x的不等式f（x）＞0的解集是（﹣1，3），求实数a，b的值；（2）若b=2，a＞0，解关于x的不等式f（x）＞0．20．（12分）对于函数f（x），g（x），φ（x）如查存在实数a，b使得φ（x）=a•f （x）+b•g（x），那么称φ（x）为f（x），g（x）的线性组合函数，如对于f（x）=x+1，g（x）=x2+2x，φ（x）=2﹣x2存在a=2，b=﹣1使得φ（x）=2f（x）=g（x），此时φ（x）就是f（x），g（x）的线性组合函数．（Ⅰ）设f（x）=x2+1，g（x）=x2﹣x，φ（x）=x2﹣2x+3，试判断φ（x）是否为f（x），g（x）的线性组合函数？关说明理由；（Ⅱ）设f（x）=log 2x，g（x）=log x，a=2，b=1，线性组合函数为φ（x），若不等式3φ2（x）﹣2φ（x）+m＜0在x∈[，4]上有解，求实数m的取值范围；（Ⅲ）设f（x）=x，g（x）=（1≤x≤9），取a=1，b＞0，线性组合函数φ（x）使φ（x）≥b恒成立，求b的取值范围，（可利用函数y=x+（常数k＞0）在（0，]上是减函数，在[，+∞）上是增函数）2014-2015学年北京市朝阳区高一（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（共10小题，每小题5分，满分50分）1．（5分）已知全集U=R，集合A={0，1，2，3，4，5}，B={x|x≥2}，则A∩（∁B）=（）UA．{1}B．{0，1}C．{1，2}D．{0，1，2}【解答】解：∵B={x|x≥2}，∴∁U B={x|x＜2}，则A∩（∁U B）={0，1}，故选：B．2．（5分）函数f（x）=+lg（x+1）的定义域为（）A．（﹣1，1）B．（﹣1，+∞）C．（1，+∞）D．（﹣∞，1）【解答】解：由题意得：，解得：﹣1＜x＜1，故选：A．3．（5分）下列函数中，既是奇函数又是增函数的为（）A．y=x+1 B．y=﹣x2C．y= D．y=x|x|【解答】解：A．y=x+1为非奇非偶函数，不满足条件．B．y=﹣x2是偶函数，不满足条件．C．y=是奇函数，但在定义域上不是增函数，不满足条件．D．设f（x）=x|x|，则f（﹣x）=﹣x|x|=﹣f（x），则函数为奇函数，当x＞0时，y=x|x|=x2，此时为增函数，当x≤0时，y=x|x|=﹣x2，此时为增函数，综上在R上函数为增函数．故选：D．4．（5分）偶函数f（x）的图象如图所示，则f（﹣1），f（﹣），f（）的大小关系是（）A．f（﹣1）＜f（﹣）＜f（） B．f（），f（﹣），f（﹣1）C．f（﹣），f（），f（﹣1）D．f（﹣1），f（），f（﹣）【解答】解：根据图象f（）．故选：B．5．（5分）函数f（x）=lnx﹣的零点所在的大致区间是（）A．（1，2） B．（2，3） C．（1，）D．（e，+∞）【解答】解：函数的定义域为：（0，+∞），有函数在定义域上是递增函数，所以函数只有唯一一个零点．又∵f（2）﹣ln2﹣1＜0，f（3）=ln3﹣＞0∴f（2）•f（3）＜0，∴函数f（x）=lnx﹣的零点所在的大致区间是（2，3）．故选：B．6．（5分）从某小学随机抽取100分学生，将们们的身高（单位：厘米）数据绘制成频率分布直方图（如图），若要从身高在[120，130），[130，140），[140，150]三组内的学生中，用分层抽样的方法选取20人参加一项活动，则身高在[120，130）内的学生中选取的人数应为（）A．8 B．12 C．10 D．30【解答】解：根据频率分布直方图，得；身高在[120，130）的频率为0.030×10=0.3，频数是0.3×100=30；身高在[130，140）的频率为0.020×10=0.2，频数是0.2×100=20；身高在[140，150]的频率为0.010×10=0.1，频数是0.1×100=10；在这三组学生中，用分层抽样的方法选取20人参加一项活动，身高在[120，130）内的学生中选取的人数为20×=10．故选：C．7．（5分）已知a，b∈R，下列命题正确的是（）A．若a＞b，则|a|＞|b|B．若a＞b，则C．若|a|＞b，则a2＞b2D．若a＞|b|，则a2＞b2【解答】解：A．错误，比如3＞﹣4，便得不到|3|＞|﹣4|；B．错误，比如3＞﹣4，便得不到；C．错误，比如|3|＞﹣4，得不到32＞（﹣4）2；D．正确，a＞|b|，则a＞0，根据不等式的性质即可得到a2＞b2．故选：D．8．（5分）f（x）是R上的奇函数，当x＞0时，f（x）=2x，则当x＜0时，f（x）=（）A．﹣（）x B．（）x C．﹣2x D．2x【解答】解：设x＜0，﹣x＞0；∴．故选：A．9．（5分）在股票买卖过程中，经常用两种曲线来描述价格变化情况，一种是即时价格曲线y=f（x），另一种是平均价格曲线y=g（x），如f（2）=3表示股票开始买卖后2小时的即时价格为3元；g（2）=3表示2小时内的平均价格为3元，下面给出了四个图象，实线表示y=f（x），虚线表示y=g（x），其中正确的是（）A．B．C．D．【解答】解：刚开始交易时，即时价格和平均价格应该相等，A，D错误；开始交易后，平均价格应该跟随即时价格变动，即时价格与平均价格同增同减，故A，B，D均错误．故选：C．10．（5分）函数f（x）满足对定义域内的任意x，都有f（x+2）+f（x）＜2f（x+1），则函数f（x）可以是（）A．f（x）=2x+1 B．f（x）=x2﹣2x C．f（x）=e x D．f（x）=lnx【解答】解：由f（x+2）+f（x）＜2f（x+1）得，f（x+2）﹣f（x+1）＜f（x+1）﹣f（x）①，∵（x+2）﹣（x+1）=（x+1）﹣x，∴①说明自变量变化相等时，当自变量越大时，对应函数值的变化量越来越小，对于A、f（x）=2x+1是一次函数，且在R上直线递增，函数值的变化量是相等的，A错；对于B、f（x）=x2﹣2x在定义域上不是单调函数，在（﹣∞，1）上递减，在（1，+∞）递增，B错；对于C、f（x）=e x是增长速度最快﹣呈爆炸式增长的指数函数，当自变量越大时，对应函数值的变化量越来越大，C错；对于D、f（x）=lnx是增长越来越慢的对数函数，当自变量越大时，对应函数值的变化量越来越小，D正确．故选：D．二、填空题（共6小题，每小题5分，满分30分）11．（5分）为了了解1000名学生的学习情况，采用系统抽样的方法，从中抽取容量为40的样本，则分段的间隔为25．【解答】解：由已知得：分段的间隔为：=25．故答案为：25．12．（5分）已知幂函数y=f（x）图象过点（2，8），则f（3）=27．【解答】解：设幂函数y=f（x）=x a，其图象过点（2，8），∴2a=8；解得a=3，∴f（x）=x3，∴f（3）=33=27．故答案为：27．13．（5分）执行如图所示的程序框图，若输入n的值为8，则输出的s的值为8．【解答】解：当i=2，k=1时，s=2，；当i=4，k=2时，s=（2×4）=4；当i=6，k=3时，s=（4×6）=8；当i=8，k=4时，不满足条件“i＜8”，退出循环，则输出的s=8故答案为：814．（5分）当x＞﹣1时，函数y=x+的最小值为1．【解答】解：∵x＞﹣1，∴x+1＞0，∴y=x+=x+1+﹣1≥2﹣1=1当且仅当x+1=即x=0时取等号，故答案为：1．15．（5分）如图，矩形ABCD中，AB=2，BC=1，以点C为圆心，CB为半径的圆与边DC交于点E，F是上任意一点（包括端点），在矩形ABCD内随机取一点M，则点M落在△AFD内部的概率的取值范围是[] ．【解答】解：由题意，设△AFD的高为h，因为F是上任意一点（包括端点），所以h∈[1，2]，所以△AFD的面积范围为[，1]，又矩形ABCD的面积为2，由几何概型的公式可得点M落在△AFD内部的概率的取值范围[]；故答案为：[]．16．（5分）对于集合A={a1，a2，…a n}（n≥2，n∈N*），如果a1•a2…•a n=a1+a2+…+a n，则称集合A具有性质P，给出下列结论：①集合{，}具有性质P；②若a1，a2∈R，且{a1，a2}具有性质P，则a1a2＞4③若a1，a2∈N*，则{a1，a2}不可能具有性质P；④当n=3时，若a i∈N*（i=1，2，3），则具有性质P的集合A有且只有一个．其中正确的结论是①③④．【解答】解：∵•=+=﹣1，故①是正确的；②不妨设a1+a2=a1a2=t，则由韦达定理知a1，a2是一元二次方程x2﹣tx+t=0的两个根，由△＞0，可得t＜0，或t＞4，故②错；③不妨设A中a1＜a2＜a3＜…＜a n，由a1a2…a n=a1+a2+…+a n＜na n，得a1a2…a n﹣1＜n，当n=2时，即有a1＜2，∴a1=1，于是1+a2=a2，a2无解，即不存在满足条件的集合A，故③正确．当n=3时，a1a2＜3，故只能a1=1，a2=2，求得a3=3，于是具有性质P的集合A 只有一个，为{1，2，3}．当n≥4时，由a1a2…a n﹣1≥1×2×3×…×（n﹣1），即有n＞（n﹣1）!，也就是说具有性质P的集合A存在的必要条件是n＞（n﹣1）!，事实上，（n﹣1）!≥（n﹣1）（n﹣2）=n2﹣3n+2=（n﹣2）2﹣2+n＞2，矛盾，∴当n≥4时不存在具有性质P的集合A，故④正确．故答案为：①③④．三、解答题（共4小题，满分40分）17．（9分）已知集合A={x2﹣3x﹣10≤0}，B={x|m﹣1＜x＜2m+1}（Ⅰ）当m=3时，求A∩B．（Ⅱ）若B⊆A，求实数m的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）当m=3时，A={x2﹣3x﹣10≤0}=[﹣2，5]，B=（2，7）；则A∩B=（2，5]．（Ⅱ）∵B⊆A，当B≠∅时，；解得，﹣1≤m≤2；当B=∅时，由m﹣1≥2m+1得，m≤﹣2；故实数m的取值范围为{m|m≤﹣2或﹣1≤m≤2}．18．（9分）某车间将10名技工平均分成甲、乙两组加工某种零件，在单位时间内每个技工加工的合格零件数，按十位数学为茎，个位数学为叶得到的茎叶图如图所示，已知甲、乙两组数据的平均数都为10．（Ⅰ）求m，n的值；（Ⅱ）别求出甲、乙两组数据的方差S甲2和S乙2，并由此分析两组技工的加工水平；（Ⅲ）质检部门从该车间甲、乙两组技工中各随机抽取一名技工，对其加工的零件进行检测，若两人加工的合格零件数之和大于17，则称该车间“质量合格”，求该车间“质量合格”的概率．（注：为数据x1，x2，…x n的平均数，方差S2=[（x1﹣）2+（x2﹣）2+…+（x n ﹣）2]）【解答】解：（I）由题意可得=（7+8+10+12+10+m）=10，解得m=3．再由=（n+9+10+11+12）=10，解得n=8．（Ⅱ）分别求出甲、乙两组技工在单位时间内加工的合格零件数的方差，S甲2=[（7﹣10）2+（8﹣10）2+（10﹣10）2+（12﹣10）2+（13﹣10）2]=5.2，S乙2=[（8﹣10）2+（9﹣10）2+（10﹣10）2+（11﹣10）2+（12﹣10）2]=2，并由，S甲2＜S乙2，可得两组的整体水平相当，乙组的发挥更稳定一些．（Ⅲ）质检部门从该车间甲、乙两组技工中各随机抽取一名技工，对其加工的零件进行检测，设两人加工的合格零件数分别为（a，b），则所有的（a，b）有（7，8）、（7，9）、（7，10）、（7，11）、（7，12）、（8，8）、（8，9）、（8，10）、（8，11）、（8，12）、（10，8）、（10，9）、（10，10）、（10，11）、（10，12）、（12，8）、（12，9）、（12，10）、（12，11）、（12，12）、（13，8）、（13，9）、（13，10）、（13，11）、（13，12），共计25个，而满足a+b≤17的基本事件有（7，8）、（7，9）、（7，10）、（8，8）、（8，9），共计5个基本事件，故满足a+b＞17的基本事件个数为25﹣5=20，即该车间“质量合格”的基本事件有20个，故该车间“质量合格”的概率为P==．19．（10分）已知函数f（x）=ax2+bx﹣a+2（1）若关于x的不等式f（x）＞0的解集是（﹣1，3），求实数a，b的值；（2）若b=2，a＞0，解关于x的不等式f（x）＞0．【解答】解：（1）∵不等式f（x）＞0的解集是（﹣1，3）∴﹣1，3是方程ax2+bx﹣a+2=0的两根，∴可得，解之得﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（5分）（2）当b=2时，f（x）=ax2+2x﹣a+2=（x+1）（ax﹣a+2），∵a＞0，∴①若，即a=1，解集为{x|x≠﹣1}．②若，即0＜a＜1，解集为．③若，即a＞1，解集为．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（14分）20．（12分）对于函数f（x），g（x），φ（x）如查存在实数a，b使得φ（x）=a•f （x）+b•g（x），那么称φ（x）为f（x），g（x）的线性组合函数，如对于f（x）=x+1，g（x）=x2+2x，φ（x）=2﹣x2存在a=2，b=﹣1使得φ（x）=2f（x）=g（x），此时φ（x）就是f（x），g（x）的线性组合函数．（Ⅰ）设f（x）=x2+1，g（x）=x2﹣x，φ（x）=x2﹣2x+3，试判断φ（x）是否为f（x），g（x）的线性组合函数？关说明理由；（Ⅱ）设f（x）=log 2x，g（x）=log x，a=2，b=1，线性组合函数为φ（x），若不等式3φ2（x）﹣2φ（x）+m＜0在x∈[，4]上有解，求实数m的取值范围；（Ⅲ）设f（x）=x，g（x）=（1≤x≤9），取a=1，b＞0，线性组合函数φ（x）使φ（x）≥b恒成立，求b的取值范围，（可利用函数y=x+（常数k＞0）在（0，]上是减函数，在[，+∞）上是增函数）【解答】解：（Ⅰ）设a•（x2+1）+b•（x2﹣x）=x2﹣2x+3，即（a+b）x2﹣bx+a=x2﹣2x+3，则，此时方程组无解，故不存在a，b使得φ（x）=a•f（x）+b•g（x），则φ（x）不是f（x），g（x）的线性组合函数．（Ⅱ）∵a=2，b=1，∴φ（x）=2f（x）+g（x）=2log 2x+log x=2log2x﹣log2x=log2x，若不等式3φ2（x）﹣2φ（x）+m＜0在x∈[，4]上有解，即m＜﹣3（log2x）2+2log2x在x∈[，4]上有解，设t=log2x，则∵x∈[，4]，∴t∈[，2]，则不等式等价为m＜﹣3t2+2t，∵y=﹣3t2+2t=﹣3（t﹣）2+，∴当t=时，函数y取得最大值，则m＜，实数m的取值范围是m＜．（Ⅲ）由题意φ（x）=x+，（1≤x≤9），①若∈（1，9），则φ（x）在[1，）上递减，在（，9]上递增，故φ（x）min=φ（）=2，由，解得1＜b≤4．②若≤1，则φ（x）在[1，9]上递增，故φ（x）min=φ（1）=1+b，由，解得1＜b≤1．③若≥9，则φ（x）在[1，9]上递减，故φ（x）min=φ（9）=9+，由，此时不等式组无解．综上b的取值范围是（0，4]．赠送初中数学几何模型【模型三】双垂型：图形特征：60°运用举例：1.在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，以斜边AB为底边向外作等腰三角形PAB，连接PC. （1）如图，当∠APB＝90°时，若AC=5，PC＝62，求BC的长；（2）当∠APB＝90°时，若AB=45APBC的面积是36，求△ACB的周长.2.已知：如图，B、C、E三点在一条直线上，AB＝AD，BC＝CD.（1）若∠B＝90°，AB＝6，BC＝23，求∠A的值；（2）若∠BAD＋∠BCD＝180°，cos∠DCE＝35，求ABBC的值.3.如图，在四边形ABCD中，AB=AD，∠DAB=∠BCD=90°，（1）若AB=3，BC+CD=5，求四边形ABCD的面积（2）若p= BC+CD，四边形ABCD的面积为S，试探究S与p之间的关系。

2014北京朝阳区高一（上）期末数学一、选择题（每小题4分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．（4分）设集合A={1，3}，B={1，2，4，5}，则A∪B=（）A．{1，2，3，4，5}B．{2，3，4，5}C．{1，3}D．{1}2．（4分）下列各组数据中方差最大的是（）A．2，6，7 B．2，5，8 C．1，6，8 D．1，5，93．（4分）已知集合M={x|﹣1＜x≤1}，N={x|1≤2x＜4}，则M∩N（）A．{x|﹣1＜x＜1}B．{x|0≤x＜1}C．{x|0≤x≤1}D．{x|﹣1＜x＜2}4．（4分）设函数f（x）=3x+3x﹣8，用二分法求得方程f（x）=0在x∈（1，2）内的根所在的区间可以是（）（参考数据：f（1.25）≈﹣0.30，f（1.5）≈1.70，f（1.75）≈4.09）A．（1，1.25）B．（1.25，1.5）C．（1.5，1.75）D．（1.75，2）5．（4分）执行如图所示的程序框图，输出S的值为（）A．6 B．12 C．20 D．306．（4分）如果a＞b＞0，那么下列不等式成立的是（）A．＜B．a2＜b2C．log2a＜log2b D．（）a＞（）b7．（4分）在边长为3的正方形ABCD内随机取一点，取到的点到顶点A的距离大于1的概率是（）A．B．1﹣C．D．1﹣8．（4分）已知函数f（x）=2x+（x＞0，a＞0）在x=2处取得最小值，则a的值为（）A．8 B．4 C．D．19．（4分）在如图所示的等边三角形空地中，欲建一个内接矩形花园（阴影部分），则此矩形面积的最大值为（）A．100m2B．100m2C．200m2D．200m210．（4分）设函数f（x）=[x]﹣1，x∈（0，+∞）（其中[x]表示不超过x的最大整数，如[]=0，[]=1，[2]=2），则方程f（x）﹣log2x=0的根的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．无数个二、填空题（共6小题，每小题4分，满分24分）11．（4分）计算：log28+=．12．（4分）某高中校共有学生1800人，其中高一学生540人，高二学生600人，高三学生660人，要从中抽取一个容量为60的样本，若按年级进行分层抽样，则在60人的样本中高三学生的人数为．13．（4分）函数f（x）=x2+2x+3，x∈[﹣1，1]的值域是．14．（4分）某中学组织全校340名学生参加消防知识竞赛，成绩如图所示，其中得分在区间[90，100]内的人数为．15．（4分）定义在R上的函数y=f（x）在（﹣∞，2）上是增函数，且y=f（x+2）为偶函数，若f（a）≥f（4），则实数a的取值范围是．16．（4分）已知函数f（x）=，记g（x）=f（x）﹣k，若函数g（x）有两个零点，则实数k的取值范围是．三、解答题（共36分）17．（9分）已知集合A={x|x2﹣x﹣6＜0}，B={x|m﹣2＜x＜m}．（Ⅰ）若m=4，全集U=A∪B，求A∩（∁U B）；（Ⅱ）若A∩B=∅，求实数m的取值范围．18．（9分）一个盒子中装有大小完全相同且分别标有字母a，b的2个黄球和分别标有字母c，d的2个红球．（Ⅰ）如果每次任取1个球，取出后不放回，连续取两次，求取出的两个球中恰有一个是黄球的概率；（Ⅱ）如果每次任取1个球，取出后放回，连续取两次，求取出的两个球中至多有一个是黄球的概率．19．（9分）已知函数f（x）=﹣（x≠0，a∈R）．（Ⅰ）讨论函数f（x）的奇偶性；（Ⅱ）若函数f（x）在（0，1]上为减函数，求a的取值范围．20．（9分）如果定义在[0，1]上的函数f（x）满足：若对任意x1，x2∈[0，1]，且x1≠x2，都有|f（x1）﹣f（x2）|＜|x1﹣x2|成立，则称f（x）为“M函数”．（Ⅰ）已知函数g（x）=，x∈[0，1]．判断g（x）是否为“M函数”，并说明理由；（Ⅱ）若h（x）为“M函数”，且h（0）=h（1），求证：对任意x1，x2∈[0，1]，有|h（x1）﹣h（x2）|＜．（提示：|a+b|≤|a|+|b|，a，b∈R）参考答案与试题解析一、选择题（每小题4分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．【解答】∵A={1，3}，B={1，2，4，5}，∴A∪B={1，2，3，4，5}．故选：A．2．【解答】=，=[（2﹣5）2+（6﹣5）2+（7﹣5）2]=；=，=[（2﹣5）2+（5﹣5）2+（8﹣5）2]=6；==5，=[（1﹣5）2+（6﹣5）2+（8﹣5）2]=；==5，=[（1﹣5）2+（5﹣5）2+（9﹣5）2]=．故选：D．3．【解答】∵集合M={x|﹣1＜x≤1}，N={x|1≤2x＜4}={x|0≤x＜2}，∴M∩N={x|0≤x≤1}．故选：C．4．【解答】由题意可得f（x）是R上的连续函数，f（1.25）≈﹣0.30，f（1.5）≈1.70，且f（1.25）•f（1.5）＜0，故函数f（x）的零点所在的区间为（1.25，1.5），故选：B．5．【解答】分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是累加并输出S=2+4+6+8=20故选：C．6．【解答】∵a＞b＞0，∴，a2＞b2，log2a＞log2b，（）a＜（）b，故A正确，BCD错误．故选：A．7．【解答】在正方形ABCD内随机取一点P，点P到点O的距离大于1的轨迹是以O为圆心，1为半径的圆的外部，面积为32﹣=9﹣，∵正方形的面积为3×3=9，∴点P到点O的距离大于1的概率为=1﹣．故选：B．8．【解答】∵x＞0，a＞0，∴f（x）=2x+，当且仅当2x=，即x2=时取“=”此时函数f（x）取得最小值，∵函数f（x）在x=2处取得最小值，∴x2==4，即a=8．故选：A．9．【解答】设矩形的长为x，则宽为（40﹣x），∴矩形面积S=x（40﹣x）≤•（）2=200（m2），当且仅当x=20时等号成立，故矩形面积最大值为200m2．故选：D10．【解答】由方程f（x）﹣log2x=0，得程f（x）=log2x，当0＜x＜1，[x]=0，则f（x）=[x]﹣1=﹣1，此时log2x＜0，由f（x）=log2x=﹣1，解得x=，当1≤x＜2，[x]=1，则f（x）=[x]﹣1=1﹣1=0，由f（x）=log2x=0，解得x=1，满足条件，当2≤x＜3，[x]=2，则f（x）=[x]﹣1=2﹣1=1，由f（x）=log2x=1，解得x=2，满足条件，当3≤x＜4，[x]=3，则f（x）=[x]﹣1=3﹣1=2，由f（x）=log2x=2，解得x=4，不满足条件，当4≤x＜5，[x]=4，则f（x）=[x]﹣1=4﹣1=3，此时log2x＜3，此时方程无解，不满足条件，…当n≤x＜n+1，（n≥5），[x]=，n，则f（x）=[x]﹣1=n﹣1=3，此时方程无解，不满足条件，故方程f（x）﹣log2x=0的根的个数是3个．故选：C二、填空题（共6小题，每小题4分，满分24分）11．【解答】log28+=3+32=12．故答案为：12．12．【解答】由题意知：在60人的样本中高三学生的人数为：660×=22（人）．故答案为：22．13．【解答】函数f（x）的对称轴为x=﹣1，开口向上，在区间[﹣1，1]但单调增，∴f（x）max=f（1）=6，f（x）min=f（﹣1）=2，∴函数的值域为[2，6]．故答案为：[2，6]．14．【解答】由频率分布图知：得分在区间[90，100]内的频率为：0.010×10=0.1，∴得分在区间[90，100]内的人数为：340×0.1=34（人）．故答案为：34．15．【解答】∵f（x+2）为偶函数，∴f（﹣x+2）=f（x+2），即函数f（x）关于x=2对称，∵f（x）在（﹣∞，2）上是增函数，∴f（x）在（2，+∞）上单调递减，当a≥2时，由f（a）≥f（4），得则2≤a≤4，当a＜2时，由f（a）≥f（4）=f（0），此时0≤a＜2，综上0≤a≤4，则故a取值范围是[0，4]，故答案为：[0，4]16．【解答】对于函数f（x）=，当x=2时，函数有最小值为﹣2，但没有最大值．由题意可得函数y=f（x）的图象和直线y=k有2个交点，如图所示：数形结合求得k的范围为{k|k=2，或﹣2＜k≤1}．故答案为：{k|k=2，或﹣2＜k≤1}．三、解答题（共36分）17．【解答】（Ⅰ）若m=4，则集合A={x|x2﹣x﹣6＜0}={x|﹣2＜x＜3}，B={x|m﹣2＜x＜m}={x|2＜x＜4}，∴全集U=A∪B={x|﹣2＜x＜4}，∁U B={x|﹣2＜x≤2}，A∩（∁U B）={x|﹣2＜x≤2}．（Ⅱ）∵A={x|﹣2＜x＜3}，B={x|m﹣2＜x＜m}，若A∩B=∅，则有m≤﹣2，或m﹣2≥3，解得m≤﹣2，或m≥5，即m的范围为{m|m≤﹣2，或m≥5 }．18．【解答】（Ⅰ）第一次、第二次取到黄球的事件的个数都是：2×2=4（个）取出的两个球中恰有一个是黄球的事件的个数为4+4=8（个），连续取两次，所有可能的情况的个数为4×3=12（个），所有取出的两个球中恰有一个是黄球的概率是．（Ⅱ）取出的两个球都是黄球的概率：，所以取出的两个球中至多有一个是黄球的概率：1﹣．19．【解答】（Ⅰ）∵f（x）=﹣，∴f（﹣x）=+，若a=0，则f（﹣x）=f（x）此时函数f（x）为偶函数，若a≠0，f（﹣1）+f（1）=2≠0，f（﹣1）﹣f（1）=2a≠0，即f（﹣1）≠f（1），且f（﹣1）≠﹣f（1），此时函数f（x）为非奇非偶函数；（Ⅱ）设0＜x1＜x2≤1，则f（x1）﹣f（x2）===，要使函数f（x）在（0，1]上为减函数，则f（x1）﹣f（x2）＞0．∵x2﹣x1＞0，∴﹣a＞0，即a＜，∵0＜x1＜x2≤1，∴＞2，即a≤2，即a的取值范围是（﹣∞，2]．20．【解答】（Ⅰ）g（x）是“M函数”，理由如下：设x1，x2∈[0，1]，x1≠x2，==||，∵x1，x2∈[0，1]，2≤2+x1≤3，2≤2+x2≤3，∴＜1，则|g（x1）﹣g（x2）|＜|x1﹣x2|成立．（Ⅱ）由h（x）为“M函数”，则|h（x1）﹣h（x2）|＜|x1﹣x2|成立，不妨设0≤x2≤x1≤1，当x2=x1时，|h（x1）﹣h（x2）|=0＜，当0＜x1﹣x2＜1时，由h（0）=h（1），则|h（x1）﹣h（x2）|=|h（x1）﹣h（1）+h（0）﹣h（x2）|≤|h（x1）﹣h（1）|+|h（0）﹣h（x2）|≤|x1﹣1|+|0﹣x2|=1﹣（x1﹣x2）＜1﹣=，综上所述|h（x1）﹣h（x2）|＜成立．Word下载地址。

北京市朝阳区2014-2015学年度高三（上）期末数学试卷（理工类）2015．1（考试时间120分钟 满分150分）本试卷分为选择题（共40分）和非选择题（共110分）两部分第一部分（选择题 共40分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．设i 为虚数单位，则复数1i iz +=在复平面内对应的点所在的象限是 A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限2. 过抛物线24y x =的焦点F 的直线l 交抛物线于,A B 两点．若AB 中点M 到抛物线准线的距离为6，则线段AB 的长为A ．6B ．9C ．12D ．无法确定3．设函数()sin(2)3f x x π=-的图象为C ，下面结论中正确的是A ．函数()f x 的最小正周期是2πB ．图象C 关于点(,0)6π对称C ．图象C 可由函数()sin 2g x x =的图象向右平移3π个单位得到D ．函数()f x 在区间(,)2ππ-12上是增函数 4．某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的全面积是A ． 4+．8C ． 4+D ．5．αβ，表示不重合的两个平面，m ，l 表示不重合的两条直线．若m αβ=，l α⊄，l β⊄，则“l ∥m ”是“l ∥α且l ∥β”的A ．充分且不必要条件B ．必要且不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件6．在ABC ∆中，π4B =，则sin sin AC ⋅的最大值是A B ．34C D7．点O 在ABC ∆的内部，且满足24OA OB OC ++=0，则ABC ∆的面积与AOC ∆的面积之比是A ． 72B ． 3C ．52D ．2 8.设连续正整数的集合{}1,2,3,...,238I =，若T 是I 的子集且满足条件：当x T ∈时，7x T ∉，则集合T 中元素的个数最多是（ ）A.204B. 207C. 208D.209第二部分（非选择题 共110分）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．把答案填在答题卡上．9．角α的顶点在坐标原点，始边与x 轴的非负半轴重合，终边经过点(1,2)P ，则sin(π)α-的值是 ．10．双曲线22:C x y λ-=（0λ>）的离心率是 ；渐近线方程是 ． 11．设不等式组240,0,0x y x y +-≤⎧⎪≥⎨⎪≥⎩表示平面区域为D ，在区域D 内随机取一点P ，则点P 落在圆221x y +=内的概率为 ．12．有一口大钟每到整点就自动以响铃的方式报时，1点响1声，2点响2声，3点响3声，……，12点响12声（12时制），且每次报时时相邻两次响铃之间的间隔均为1秒．在一次大钟报时时，某人从第一声铃响开始计时，如果此次是12点的报时，则此人至少需等待 秒才能确定时间；如果此次是11点的报时，则此人至少需等待 秒才能确定时间．13．在锐角AOB 的边OA 上有异于顶点O 的6个点，边OB 上有异于顶点O 的4个点，加上点O ，以这11个点为顶点共可以组成 个三角形（用数字作答）．14．已知函数1sin π()()ππx xx f x x -=∈+R ．下列命题： ①函数()f x 既有最大值又有最小值；②函数()f x 的图象是轴对称图形；③函数()f x 在区间[π,π]-上共有7个零点；④函数()f x 在区间(0,1)上单调递增．其中真命题是 ．（填写出所有真命题的序号）三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．15．（本小题满分13分）退休年龄延迟是平均预期寿命延长和人口老龄化背景下的一种趋势.某机构为了解某城市市民的年龄构成，从该城市市民中随机抽取年龄段在20~80岁（含20岁和80岁）之间的600人进行调查，并按年龄层次[20,30)，[30,40)，[40,50)，[50,60)，[60,70)，[70,80]绘制频率分布直方图，如图所示.若规定年龄分布在[20,40)岁的人为“青年人”，[40,60)为“中年人”， [60,80]为“老年人”.（Ⅰ）若每一组数据的平均值用该区间中点值来代替，试估算所调查的600人的平均年龄；（Ⅱ）将上述人口分布的频率视为该城市在20-80年龄段的人口分布的概率．从该城市20-80年龄段市民中随机抽取3人，记抽到“老年人”的人数为X ，求随机变量X 的分布列和数学期望．1 6．（本小题满分14分）如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是正方形，侧面PAB ⊥底面ABCD ， PA AB =，点E 是PB 的中点，点F 在边BC 上移动．（Ⅰ）若F 为BC 中点，求证：EF //平面PAC ；（Ⅱ）求证：AE PF ⊥；（Ⅲ）若PB =，二面角E AF B --F 在边BC 上的位置，并说明理由.D P C B F A E0.02若有穷数列1a ，2a ，3,,m a a （m 是正整数）满足条件：1(1,2,3,,)i m i a a i m -+==，则称其为“对称数列”．例如，1,2,3,2,1和1,2,3,3,2,1都是“对称数列”．（Ⅰ）若}{n b 是25项的“对称数列”，且,13b ,14b 15,b ，25b 是首项为1，公比为2的等比数列．求}{n b 的所有项和S ；（Ⅱ）若}{n c 是50项的“对称数列”，且,26c ,27c 28,c ，50c 是首项为1，公差为2的等差数列．求}{n c 的前n 项和n S ，150,n n *≤≤∈N .18．（本小题满分13分） 设函数2e (),1axf x a x =∈+R ． （Ⅰ）当35a =时,求函数)(x f 的单调区间；（Ⅱ）设()g x 为()f x 的导函数，当1[,2e]ex ∈时，函数()f x 的图象总在()g x 的图象的上方，求a 的取值范围．19．（本小题满分14分）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>过点(1,2，离心率为2．过椭圆右顶点A 的两条斜率乘积为14-的直线分别交椭圆C 于,M N 两点．（Ⅰ）求椭圆C 的标准方程；（Ⅱ）直线MN 是否过定点D ？若过定点D ，求出点D 的坐标；若不过，请说明理由．已知函数123()()()()f x x x x x x x =---，1x ，2x ，3x ∈R ,且123x x x <<． （Ⅰ）当10x =，21x =，32x =时，若方程()f x mx =恰存在两个相等的实数根，求实数m 的值；（Ⅱ）求证：方程()0f x '=有两个不相等的实数根；（Ⅲ）若方程()0f x '=的两个实数根是,αβ()αβ<，试比较122x x +与,αβ的大小并说明理由．。