双曲线
1.122PF PF a -=
2.标准方程22
221x y a b -= 3.11
1PF e d =>
4．点P 处的切线PT 平分△PF 1F 2在点P 处的内角.
5．PT 平分△PF 1F 2在点P 处的内角，则焦点在直线PT 上的射影H 点的轨迹是以实轴为直径的圆，除去实轴的两个端点.
6．以焦点弦PQ 为直径的圆必与对应准线相交.
7．以焦点半径PF 1为直径的圆必与以实轴为直径的圆外切.
8．设P 为双曲线上一点，则△PF 1F 2的内切圆必切于与P 在同侧的顶点.
9．双曲线22
221x y a b
-=（a ＞0,b ＞0）的两个顶点为1(,0)A a -,2(,0)A a ，与y 轴平行的直线
交双曲线于P 1、P 2时A 1P 1与A 2P 2交点的轨迹方程是22
221x y a b
+=.
10．若000(,)P x y 在双曲线22
221x y a b
-=（a ＞0,b ＞0）上，则过0P 的双曲线的切线方程是
00221x x y y
a b
-=. 11．若000(,)P x y 在双曲线22
221x y a b
-=（a ＞0,b ＞0）外 ，则过Po 作双曲线的两条切线切
点为P 1、P 2，则切点弦P 1P 2的直线方程是00221x x y y
a b
-=.
12．AB 是双曲线22
221x y a b -=（a ＞0,b ＞0）的不平行于对称轴且过原点的弦，M 为AB 的
中点，则2
2OM AB b k k a
?=.
13．若000(,)P x y 在双曲线22
221x y a b
-=（a ＞0,b ＞0）内，则被Po 所平分的中点弦的方程是
22
00002222x x y y x y a b a b
-=-. 14．若000(,)P x y 在双曲线22
221x y a b
-=（a ＞0,b ＞0）内，则过Po 的弦中点的轨迹方程是
22002222x x y y x y a b a b
-=-. 15．若PQ 是双曲线22
221x y a b
-=（b ＞a ＞0）上对中心张直角的弦，则
122222
121111(||,||)r OP r OQ r r a b +=-==. 16．若双曲线22
221x y a b
-=（b ＞a ＞0）上中心张直角的弦L 所在直线方程为
1Ax By +=(0)AB ≠,则(1) 22
2211A B a b -=+
;(2) L =
17．给定双曲线1C ：2
2
2
2
22
b x a y a b -=（a ＞b ＞0）, 2C ：222222
2
22
()a b b x a y ab a b
+-=-,则(i)对1C 上任意给定的点00(,)P x y ,它的任一直角弦必须经过2C 上一定点
M 2222
02
222(,)a b a b x y a b a b
++---. (ii)对2C 上任一点'''
00(,)P x y 在1C 上存在唯一的点'M ,使得'M 的任一直角弦都经过'P 点. 18．设00(,)P x y 为双曲线22
221x y a b
-=（a ＞0,b ＞0）上一点，P 1P 2为曲线C 的动弦,且弦PP 1,
PP 2斜率存在，记为k 1, k 2, 则直线P 1P 2通过定点00(,)M mx my -(1)m ≠的充要条件是2
12211m b k k m a
+?=?-.
19．过双曲线22
221x y a b
-=（a ＞0,b ＞o ）上任一点00(,)A x y 任意作两条倾斜角互补的直线交
双曲线于B,C 两点，则直线BC 有定向且20
20BC b x k a y =-（常数）.
20．双曲线22
221x y a b -=（a ＞0,b ＞o ）的左右焦点分别为F 1，F 2，点P 为双曲线上任意一点
12F PF γ∠=，则双曲线的焦点角形的面积为122cot
2
F PF S b γ
?=，
2(cot )2
b P
c γ± . 21．若P 为双曲线22
221x y a b
-=（a ＞0,b ＞0）右（或左）支上除顶点外的任一点,F 1, F 2是焦
点, 12PF F α∠=, 21PF F β∠=，则tan t 22c a co c a αβ-=+（或tan t 22
c a co c a βα
-=+）.
22．双曲线22
221x y a b
-=（a ＞0,b ＞o ）的焦半径公式：1(,0)F c - , 2(,0)F c
当00(,)M x y 在右支上时，10||MF ex a =+,20||MF ex a =-.
当00(,)M x y 在左支上时，10||MF ex a =--,20||MF ex a =-+.
23．若双曲线22
221x y a b
-=（a ＞0,b ＞0）的左、右焦点分别为F 1、F 2，左准线为L ，则当1
＜1时，可在双曲线上求一点P ，使得PF 1是P 到对应准线距离d 1与PF 2的比例中项.
24．P 为双曲线22
221x y a b
-=（a ＞0,b ＞0）上任一点,F 1,F 2为二焦点，A 为双曲线左支内一定
点，则21||2||||AF a PA PF -≤+,当且仅当2,,A F P 三点共线且P 在左支时，等号成立. 25．双曲线22
221x y a b -=（a ＞0,b ＞0）上存在两点关于直线l ：0()y k x x =-对称的充要条
件是2222
0222()0a b a x k k a b k b +??>≠≠± ?-??
且.
26．过双曲线焦半径的端点作双曲线的切线，与以长轴为直径的圆相交，则相应交点与相应
焦点的连线必与切线垂直. 27．过双曲线焦半径的端点作双曲线的切线交相应准线于一点，则该点与焦点的连线必与焦
半径互相垂直.
28．P 是双曲线sec tan x a y b ?
?=??
=?（a ＞0，b ＞0）上一点，则点P 对双曲线两焦点张直角的充要
条件是2
2
11tan e ?
=-. 29．设A,B 为双曲线22
22x y k a b
-=（a ＞0,b ＞0，0,1k k >≠）上两点，其直线AB 与双曲
线22
221x y a b
-=相交于,P Q ,则AP BQ =. 30．在双曲线22
221x y a b
-=中，定长为2m （0m >）的弦中点轨迹方程为
()(
)
222222
222
22
2222
221cosh sinh ,coth ,001sinh cosh coth ,00x y ay a t b t t x t a b bx m x y bx a t b t t y t a b ay ?????--+=-==??? ??????=?
?????--+=-==?? ???
????时，弦两端点在两支上
，时，弦两端点在同支上
31．设S 为双曲线22
221x y a b
-=（a ＞0,b ＞0）的通径，定长线段L 的两端点A,B 在双曲线右
支上移动，记|AB|=l ，00(,)M x y 是AB 中点，则当l S ≥Φ时，有20min ()2a l x c e =+222(c a b =+,c e a =);当l S <Φ
时，有0min ()x =32．双曲线22
221x y a b
-=（a ＞0,b ＞0）与直线0Ax By C ++=有公共点的充要条件是
22222A a B b C -≤.
33．双曲线
22
0022()()1x x y y a b ---=（a ＞0,b ＞0）与直线0Ax By C ++=有公共点的充要条件是22222
00()A a B b Ax By C -≤++.
34．设双曲线22
221x y a b
-=（a ＞0,b ＞0）的两个焦点为F 1、F 2,P （异于长轴端点）为双曲线
上任意一点，在△PF 1F 2中，记12F PF α∠=, 12PF F β∠=,12F F P γ∠=，则有
sin (sin sin )c
e a
αγβ==±-.
35．经过双曲线22
221x y a b
-=（a ＞0,b ＞0）的实轴的两端点A 1和A 2的切线，与双曲线上任
一点的切线相交于P 1和P 2，则2
1122||||P A P A b ?=. 36．已知双曲线22221x y a b
-=（b ＞a ＞0），O 为坐标原点，P 、Q 为双曲线上两动点，且OP OQ ⊥.
（1）2222
1111||||OP OQ a b +=-;（2）|OP|2+|OQ|2的最小值为22224a b b a -;（3）OPQ S ?的最小
值是22
22
a b b a
-. 37．MN 是经过双曲线22
221x y a b
-=（a ＞0,b ＞0）过焦点的任一弦(交于两支)，若AB 是经过
双曲线中心O 且平行于MN 的弦，则2
||2||AB a MN =.
38．MN 是经过双曲线22
221x y a b
-=（a ＞b ＞0）焦点的任一弦(交于同支)，若过双曲线中心
O 的半弦OP MN ⊥，则22
22111
||||a MN OP b a -=-. 39．设双曲线22
221x y a b
-=（a ＞0,b ＞0）,M(m,o)为实轴所在直线上除中心，顶点外的任一点，
过M 引一条直线与双曲线相交于P 、Q 两点，则直线A 1P 、A 2Q(A 1 ,A 2为两顶点)的交点N
在直线l ：2
a x m
=上.
40．设过双曲线焦点F 作直线与双曲线相交 P 、Q 两点，A 为双曲线长轴上一个顶点，连结AP 和AQ 分别交相应于焦点F 的双曲线准线于M 、N 两点，则MF ⊥NF.
41．过双曲线一个焦点F 的直线与双曲线交于两点P 、Q, A 1、A 2为双曲线实轴上的顶点，A 1P 和A 2Q 交于点M ，A 2P 和A 1Q 交于点N ，则MF ⊥NF.
42．设双曲线方程22
221x y a b
-=,则斜率为k(k≠0)的平行弦的中点必在直线l ：y kx =的共轭
直线'
y k x =上,而且2'2b kk a
=.
43．设A 、B 、C 、D 为双曲线22
221x y a b
-=（a ＞0,b ＞o ）上四点,AB 、CD 所在直线的倾斜
角分别为,αβ，直线AB 与CD 相交于P,且P 不在双曲线上,则22222222||||cos sin ||||cos sin PA PB b a PC PD b a ββ
αα
?-=?-.
44．已知双曲线22
221x y a b
-=（a ＞0,b ＞0）,点P 为其上一点F 1, F 2为双曲线的焦点，12
F PF ∠的内（外）角平分线为l ，作F 1、F 2分别垂直l 于R 、S ，当P 跑遍整个双曲线时，R 、S 形
成的轨迹方程是222x y a +=(()()
2
22222
2
222a y b x x c c y a y b x c ??-±??=-±). 45．设△ABC 三顶点分别在双曲线Γ上，且AB 为Γ的直径，l 为AB 的共轭直径所在的直线，l 分别交直线AC 、BC 于E 和F ，又D 为l 上一点，则CD 与双曲线Γ相切的充要条件是D 为EF 的中点.
46．过双曲线22
221x y a b
-=（a ＞0,b ＞0）的右焦点F 作直线交该双曲线的右支于M,N 两点，
弦MN 的垂直平分线交x 轴于P ，则
||||2PF e
MN =. 47．设A （x 1 ,y 1）是双曲线22221x y a b -=（a ＞0,b ＞0）上任一点，过A 作一条斜率为21
21
b x a y 的
直线L ，又设d 是原点到直线 L 的距离, 12,r r 分别是A 到双曲线两焦点的距离，则
ab =.
48．已知双曲线22221x y a b -=（a ＞0,b ＞0）和22
22x y a b
λ-=（01λ<< ），一条直线顺次与
它们相交于A 、B 、C 、D 四点，则│AB│=|CD│.
49．已知双曲线22
221x y a b
-=（a ＞0,b ＞0）,A 、B 是双曲线上的两点，线段AB 的垂直平分
线与x 轴相交于点0(,0)P x , 则22
0a b x a
+≥或220a b x a +≤-.
50．设P 点是双曲线22
221x y a b
-=（a ＞0,b ＞0）上异于实轴端点的任一点,F 1、F 2为其焦点记
12F PF θ∠=，则(1)2122||||1cos b PF PF θ=-.(2) 122
cot 2
PF F S b θ?=.
51．设过双曲线的实轴上一点B （m,o ）作直线与双曲线相交于P 、Q 两点，A 为双曲线实
轴的左顶点，连结AP 和AQ 分别交相应于过B 点的直线MN ：x n =于M ，N 两点,则
90MBN ∠=o
()2
22
2
()a n m a m a m b n a --?=-++. 52．L 是经过双曲线22
221x y a b
-=（a ＞0,b ＞0）焦点F 且与实轴垂直的直线，A 、B 是双曲
线的两个顶点，e 是离心率,点P L ∈，若APB α∠=，则α是锐角且1
sin e
α≤或
1
sin arc e
α≤（当且仅当||PF b =时取等号）.
53．L 是经过双曲线22
221x y a b
-=（a ＞0,b ＞0）的实轴顶点A 且与x 轴垂直的直线，E 、F
是双曲线的准线与x 轴交点,点P L ∈，e 是离心率，EPF α∠=，H 是L 与X 轴的交点c
是半焦距，则α是锐角且1sin e α≤或1sin arc e α≤（当且仅当||ab
PA c
=时取等号）.
54．L 是双曲线22
221x y a b
-=（a ＞0,b ＞0）焦点F 1且与x 轴垂直的直线，E 、F 是双曲线准
线与x 轴交点，H 是L 与x 轴的交点，点P L ∈，EPF α∠=,离心率为e ，半焦距为c ，则
α为锐角且21sin e α≤或21sin arc e α≤（当且仅当1||PF =.
55．已知双曲线22
221x y a b
-=（a ＞0,b ＞0），直线L 通过其右焦点F 2,且与双曲线右支交于A 、
B 两点，将A 、B 与双曲线左焦点F 1连结起来，则222
112
(2)||||a b F A F B a
+?≥（当且仅当AB ⊥x 轴时取等号）.
56．设A 、B 是双曲线22
221x y a b
-=（a ＞0,b ＞0）的长轴两端点，P 是双曲线上的一点，
PAB α∠=, PBA β∠=,BPA γ∠=，c 、e 分别是双曲线的半焦距离心率，则有(1)22222|cos ||||s |ab PA a c co αα=-.(2) 2
tan tan 1e αβ=-.(3) 222
2
2cot PAB a b S b a
γ?=+.
57．设A 、B 是双曲线22
221x y a b
-=（a ＞0,b ＞0）实轴上分别位于双曲线一支内（含焦点的
区域）、外部的两点，且A x 、B x 的横坐标2
A B x x a ?=，（1）若过A 点引直线与双曲线这一支相交于P 、Q 两点，则PBA QBA ∠=∠；（2）若过B 引直线与双曲线这一支相交于P 、Q
两点，则180PBA QBA ∠+∠=o
.
58．设A 、B 是双曲线22
221x y a b
-=（a ＞0,b ＞0）实轴上分别位于双曲线一支内（含焦点的
区域），外部的两点，（1）若过A 点引直线与双曲线这一支相交于P 、Q 两点，（若B P 交双
曲线这一支于两点，则P 、Q 不关于x 轴对称），且PBA QBA ∠=∠，则点A 、B 的横坐标
A x 、
B x 满足2A B x x a ?=；（2）若过B 点引直线与双曲线这一支相交于P 、Q 两点，且180PBA QBA ∠+∠=o ,则点A 、B 的横坐标满足2A B x x a ?=.
59．设'
,A A 是双曲线22221x y a b
-=的实轴的两个端点，'
QQ 是与'AA 垂直的弦，则直线AQ
与''
AQ 的交点P 的轨迹是双曲线22221x y a b
+=.
60．过双曲线22
221x y a b -=（a ＞0,b ＞0）的右焦点F 作互相垂直的两条弦AB 、CD,则
()2
228||||||
ab AB CD a b a b +≥≠-； ()22||||4c AB CD a a b a +≥==
61．到双曲线22221x y a b -=（a ＞0,b ＞0）两焦点的距离之比等于c a
b
-（c 为半焦距）的动点
M 的轨迹是姊妹圆222
()()x ec y eb ±+=.
62．到双曲线22221x y a b -=（a ＞0,b ＞0）的实轴两端点的距离之比等于c a
b
-（c 为半焦距）
的动点M 的轨迹是姊妹圆222
()x c y b ±+=.
63．到双曲线22221x y a b -=（a ＞0,b ＞0）的两准线和x 轴的交点的距离之比为c a
b
-（c 为半
焦距）的动点的轨迹是姊妹圆22
2()()b x a y e
±+=（e 为离心率）.
64．已知P 是双曲线22221x y a b
-=（a ＞0,b ＞0）上一个动点，'
,A A 是它实轴的两个端点,且
AQ AP ⊥,''
AQ A P ⊥，则Q 点的轨迹方程是222241x b y a a
-=.
65．双曲线的一条直径(过中心的弦)的长，为通过一个焦点且与此直径平行的弦长和实轴之
长的比例中项.
66．设双曲线22221x y a b -=（a ＞0,b ＞0）实轴的端点为'
,A A ,11(,)P x y 是双曲线上的点过P
作斜率为2121
b x a y 的直线l ，过',A A 分别作垂直于实轴的直线交l 于'
,M M ,则（1）
''2||||AM A M b =.（2）四边形''AMA M 面积趋近于2ab .
67．已知双曲线22
221x y a b
-=（a ＞0,b ＞0）的右准线l 与x 轴相交于点E ，过双曲线右焦点F
的直线与双曲线相交于A 、B 两点,点C 在右准线l 上，且BC x ⊥轴，则直线AC 经过线段
EF 的中点.
68．OA 、OB 是双曲线
22
22()1x a y a b
--=（a ＞0,b ＞0,且a b ≠）的两条互相垂直的弦，O 为坐标原点，则（1）直线AB 必经过一个定点2
2
2
2(,0)ab b a
-.(2) 以O A 、O B 为直径的两圆的另一个交点Q 的轨迹方程是22222
2222()()ab ab x y b a b a
-+=--（除原点）。
69．(,)P m n 是双曲线
22
22()1x a y a b
--=（a ＞0,b ＞0）上一个定点，P A 、P B 是互相垂直的弦，则（1）直线AB 必经过一个定点222222222
2()()
(,)ab m b a n a b b a b a
-++--.（2）以P A 、P B 为直径的两圆的另一个交点Q 的轨迹方程是
22224222222222222
[()]
()()()ab a m b n a b n a b x y b a b a b a -++-+-=---(除P 点).
70．如果一个双曲线虚半轴长为b ，焦点F 1、F 2到直线L 的距离分别为d 1、d 2，那么（1）212d d b =，且F 1、F 2在L 异侧?直线L 和双曲线相切,或L 是双曲线的渐近线.（2）
212d d b >，且F 1、F 2在L 异侧?直线L 和双曲线相离，（3）2
12d d b <，或F 1、F 2在L
同侧?直线L 和双曲线相交.
71．AB 是双曲线22
221x y a b
-=（a ＞0,b ＞0）的实轴，N 是双曲线上的动点，过N 的切线与
过A 、B 的切线交于C 、D 两点，则梯形ABDC 的对角线的交点M 的轨迹方程是22
2241(0)x y y a b
-=≠. 72．设点00(,)P x y 为双曲线22
221x y a b
-=（a ＞0,b ＞0）的内部(（含焦点的区域）)一定点，
AB 是双曲线过定点00(,)P x y 的任一弦.
(1)如a b ≥,则当弦AB 垂直于双曲线实轴所在直线时
222222
00min 2
()(||||)b x a y a b PA PB a --?=.
(2)如a b <,则当弦AB 平行（或重合）于双曲线实轴所在直线时,
222222
00min 2
()(||||)b x a y a b PA PB b --?=.
73．双曲线焦三角形中,以焦半径为直径的圆必与以双曲线实轴为直径的圆相外切. 74．双曲线焦三角形的内切圆必切长轴于非焦顶点同侧的实轴端点. 75．双曲线两焦点到双曲线焦三角形内切圆的切线长为定值a+c 与c-a. 76．双曲线焦三角形的非焦顶点到其旁切圆的切线长为定值c-a.
77．双曲线焦三角形中,外点到一焦点的距离与以该焦点为端点的焦半径之比为常数e(离心率). 注:在双曲线焦三角形中,非焦顶点的内、外角平分线与长轴交点分别称为内、外点. 78．双曲线焦三角形中,其焦点所对的旁心将外点与非焦顶点连线段分成定比e. 79．双曲线焦三角形中,半焦距必为内、外点到双曲线中心的比例中项.
80．双曲线焦三角形中,双曲线中心到内点的距离、内点到同侧焦点的距离、半焦距及外点到同侧焦点的距离成比例.
81．双曲线焦三角形中,半焦距、外点与双曲线中心连线段、内点与同侧焦点连线段、外点与同侧焦点连线段成比例.
82．双曲线焦三角形中,过任一焦点向非焦顶点的内角平分线引垂线,则双曲线中心与垂足连线必与另一焦半径所在直线平行.
83．双曲线焦三角形中,过任一焦点向非焦顶点内角平分线引垂线,则双曲线中心与垂足的距离为双曲线实半轴的长.
84．双曲线焦三角形中,过任一焦点向非焦顶点的内角平分线引垂线,垂足就是垂足同侧焦半径为直径的圆和双曲线实轴为直径的圆的切点.
85．双曲线焦三角形中,非焦顶点的内角平分线与焦半径、实轴所在直线的夹角的余弦的比为定值e.
86．双曲线焦三角形中,非焦顶点的法线即为该顶角的外角平分线. 87．双曲线焦三角形中,非焦顶点的切线即为该顶角的内角平分线.
88．双曲线焦三角形中,过非焦顶点的切线与双曲线实轴两端点处的切线相交,则以两交点为直径的圆必过两焦点.
89.已知双曲线22
221(0,0)x y a b a b
-=>>上有一点P ，过P 分别引其渐近线的平行线，分别
交x 轴于,M N ，交y 轴于,R Q ， O 为原点，则： （1）2
||||OM ON a ?=； （2）2||||OQ OR b ?=.
90. 过平面上的P 点作直线1:b l y x a =及2:b
l y x a
=-的平行线，分别交x 轴于,M N ，交
y 轴于,R Q .（1）若2
||||OM ON a ?=，则P 的轨迹方程是22221(0,0)x y a b a b
-=>>.(2)
若2
||||OQ OR b ?=，则P 的轨迹方程是22221(0,0)x y a b a b
-=>>.
91. 点P 为双曲线22
221(0,0)x y a b a b
-=>>在第一象限的弧上任意一点，过P 引x 轴、y 轴
的平行线，交y 轴、x 轴于,M N ，交直线b
y x a
=-于,Q R ，记 OMQ ?与ONR ?的面
积为12,S S ，则：12||2
ab
S S -=.
92. 点P 为第一象限内一点，过P 引x 轴、y 轴的平行线，交y 轴、x 轴于,M N ，交直线
b y x a =-于,Q R ，记 OMQ ?与ONR ?的面积为12,S S ，已知12||2ab
S S -=
，则P 的轨迹方程是22221(0,0)x y a b a b -=>>或22
221(0,0)y x a b b a
-=>>
双曲线性质92条证明
1.双曲线第一定义。
2.由定义即可得双曲线标准方程。
3.双曲线第二定义。
4.设00(,)P x y 在第一象限，切线PT （即l ）的斜率为k ，1PF 所在直线1l 斜率为1k ，2PF 所在直线2l 斜率为2k ，1PF 与PT 的夹角为α，2PF 与PT 的夹角为β。由两直线夹角公式
12
12
tan 1k k k k θ-=
+得：
()()200
222222222222
000000012222222
00100000000000200tan 11y b x b a cx x c a y b x a y b x c a b b cx k k b b x y kk a x y a cy b x y c x y a cy c y cy a cx a y x c
α-++-++-======++++++?
+
()()200
222222222222
000000022222222
00200000000000200tan 11b x y b a cx a y x c b x a y b x c a b b cx k k b b x y kk a x y a cy b x y c x y a cy c y cy a cx a y x c
β-------======+-+--+?
-
,0,2παβαβ??
∈∴= ???
Q 同理可证其它情况。故切线PT 平分点P 处的内角。
5.不妨设P 在第一象限。作F 2关于切线PT 的对称点M ，由4可知M 在PF 1上，则
1122F M PF PF a =-=，垂足H 为F 2M 的中点，则OH=
12
F M
a =，同理可证其它情况。射影H 的轨迹是以实轴为直径的圆除去两端点。
6. 设P ，Q 两点到与焦点对应的准线的距离分别为12,d d ，以PQ 中点到准线的距离为d ，以PQ 为直径的圆的半径为r ，则1222d d PF FQ r
d r
e e
++===<，故以PQ 为直径的圆与对应准线相交。
7. 如图，两圆圆心距为2112222
PF a PF PF d OM a a r +==
==+=+，故两圆外切。 7
图
8图
8. 如图，由切线长定理：11121222FS FT PF PF F F a c +=-+=+，11FS FT a c ==+ 而112FT a c F A =+=，T 与2A 重合，故内切圆与x 轴切于右顶点，同理可证P 在其他位置情况。 9.
设
()()
12sec ,tan ,sec ,tan P a b P a b ????-，则
()()()
()1122tan tan :,:sec 11sec b b A P y x a A P y x a a a ??
??=
+=-+-
则cos ,sin P x a y b ??== ∴P 点的轨迹方程为22
221x y a b
+=
10. Q 000(,)P x y 在双曲线22221x y a b -=上2200221x y a b ∴-=，对22
221x y a b
-=求导得：
'22220x yy a b -=2'
020
b x y a y ∴= ∴切线方程为()20
0020
b x y y x x a y -=-即22
000022221x x y y x y a b a b -=-=
11.设()()111222,,,P x y P x y ，由10得：01010202
22221,1x x y y x x y y a b a b
-=-=，因为点12,P P 在直线12P P 上，且同时满足方程00221x x y y a b -=，所以00212
21:P x y a P x y
b
-= 12.
()()()
112200,,,,,A x y B x y M x y 设2222
1122
22221,1x y x y a b a b
-=-=则有作差得：
双曲线中常见结论： 1、离心率e=a c =21）（a b 2、焦半径 3、通径及通径长a b 2 2 4、焦点到准线的距离c b 2，中心到准线的距离c a 2
8、双曲线λ=-2222b y a x (λ≠0)和122 22=-b y a x 有相同的渐近线和相同的离心率。 9、P 为双曲线上一点，则21F PF ?的面积为S= θsin b 2 121212线的离心率为e= α ββαsin sin sin -+） （
例（湖南卷）已知双曲线22a x －22 b y ＝1（a ＞0，b ＞0）的右焦点为F ，右准线与一条渐近线 交于点A ，△OAF 的面积为2 2 a （O 为原点），则两条渐近线的夹角为 （D ） A ．30o B ．45o C ．60o D ．90o 例双曲线）（0122≠=-m n n y m x 的离心率为2，则n m 的值为（ ） A ．3 B ． 3 1 C ．3或 3 1 D ．以上都不对
椭圆的几何性质 一、教学目标 (一)知识教学点 通过椭圆标准方程的讨论，使学生掌握椭圆的几何性质，能正确地画出椭圆的图形，并了解椭圆的一些实际应用． (二)能力训练点 通过对椭圆的几何性质的教学，培养学生分析问题和解决实际问题的能力． (三)学科渗透点 使学生掌握利用方程研究曲线性质的基本方法，加深对直角坐标系中曲线与方程的关系概念的理解，这样才能解决随之而来的一些问题，如弦、最值问题等． 二、教材分析 1．重点：椭圆的几何性质及初步运用． (解决办法：引导学生利用方程研究曲线的性质，最后进行归纳小结．) 2．难点：椭圆离心率的概念的理解． (解决办法：先介绍椭圆离心率的定义，再分析离心率的大小对椭圆形状的影响，最后通过椭圆的第二定义讲清离心率e的几何意义．) 3．疑点：椭圆的几何性质是椭圆自身所具有的性质，与坐标系选择无关，即不随坐标系的改变而改变． (解决办法：利用方程分析椭圆性质之前就先给学生说明．) 三、活动设计 提问、讲解、阅读后重点讲解、再讲解、演板、讲解后归纳、小结． 四、教学过程 (一)复习提问 1．椭圆的定义是什么？
椭圆与双曲线的必背的经典结论 椭 圆 1. 点P 处的切线PT 平分△PF 1F 2在点P 处的外角. 2. PT 平分△PF 1F 2在点P 处的外角，则焦点在直线PT 上的射影H 点的轨迹是以长轴为直径 的圆，除去长轴的两个端点. 3. 以焦点弦PQ 为直径的圆必与对应准线相离. 4. 以焦点半径PF 1为直径的圆必与以长轴为直径的圆内切. 5. 若000(,)P x y 在椭圆22 22 1x y a b +=上，则过0 P 的椭圆的切线方程是00221x x y y a b +=. 6. 若000(,)P x y 在椭圆22 221x y a b +=外 ， 则过Po 作椭圆的两条切线切点为P 1、P 2，则切点弦P 1P 2的直线方程是00221x x y y a b +=. 7. 椭圆22 221x y a b += (a ＞b ＞0)的左右焦点分别为F 1，F 2，点P 为椭圆上任意一点 12F PF γ∠=，则椭圆的焦点角形的面积为122tan 2 F PF S b γ ?=. 8. 椭圆22 221x y a b +=（a ＞b ＞0）的焦半径公式： 10||MF a ex =+,20||MF a ex =-(1(,0)F c - , 2(,0)F c 00(,)M x y ). 9. 设过椭圆焦点F 作直线与椭圆相交 P 、Q 两点，A 为椭圆长轴上一个顶点，连结AP 和 AQ 分别交相应于焦点F 的椭圆准线于M 、N 两点，则MF ⊥NF. 10. 过椭圆一个焦点F 的直线与椭圆交于两点P 、Q, A 1、A 2为椭圆长轴上的顶点，A 1P 和A 2Q 交于点M ，A 2P 和A 1Q 交于点N ，则MF ⊥NF. 11. AB 是椭圆22 221x y a b +=的不平行于对称轴的弦，M ),(00y x 为AB 的中点，则 2 2OM AB b k k a ?=-，即0202y a x b K AB -=。 12. 若000(,)P x y 在椭圆22 221x y a b +=内，则被Po 所平分的中点弦的方程是22 00002222x x y y x y a b a b +=+. 13. 若000(,)P x y 在椭圆 22 22 1x y a b +=内，则过Po 的弦中点的轨迹方程是22002222x x y y x y a b a b +=+.
椭圆与双曲线的对偶性质--（必背的经典结论） 椭 圆 1. 点P 处的切线PT 平分△PF 1F 2在点P 处的外角. 2. PT 平分△PF 1F 2在点P 处的外角，则焦点在直线PT 上的射影H 点的轨迹是以长轴为直径的圆，除去长轴的两个 端点. 3. 以焦点弦PQ 为直径的圆必与对应准线相离. 4. 以焦点半径PF 1为直径的圆必与以长轴为直径的圆内切. 5. 若000(,)P x y 在椭圆22 221x y a b +=上，则过0P 的椭圆的切线方程是00221x x y y a b +=. 6. 若000(,)P x y 在椭圆22 221x y a b +=外 ，则过Po 作椭圆的两条切线切点为P 1、P 2，则切点弦P 1P 2的直线方程是 00221x x y y a b +=. 7. 椭圆22 221x y a b += (a ＞b ＞0)的左右焦点分别为F 1，F 2，点P 为椭圆上任意一点12F PF γ∠=，则椭圆的焦点角形 的面积为122 tan 2 F PF S b γ ?=. 8. 椭圆22 221x y a b +=（a ＞b ＞0）的焦半径公式： 10||MF a ex =+,20||MF a ex =-(1(,0)F c - , 2(,0)F c 00(,)M x y ). 9. 设过椭圆焦点F 作直线与椭圆相交 P 、Q 两点，A 为椭圆长轴上一个顶点，连结AP 和AQ 分别交相应于焦点F 的椭圆准线于M 、N 两点，则MF ⊥NF. 10. 过椭圆一个焦点F 的直线与椭圆交于两点P 、Q, A 1、A 2为椭圆长轴上的顶点，A 1P 和A 2Q 交于点M ，A 2P 和A 1Q 交于点N ，则MF ⊥NF. 11. AB 是椭圆22 221x y a b +=的不平行于对称轴的弦，M ),(00y x 为AB 的中点，则22OM AB b k k a ?=-， 即020 2y a x b K AB -=。 12. 若000(,)P x y 在椭圆22 221x y a b +=内，则被Po 所平分的中点弦的方程是2200002222x x y y x y a b a b +=+. 13. 若000(,)P x y 在椭圆22 221x y a b +=内，则过Po 的弦中点的轨迹方程是22002222x x y y x y a b a b +=+. 双曲线 1. 点P 处的切线PT 平分△PF 1F 2在点P 处的内角. 2. PT 平分△PF 1F 2在点P 处的内角，则焦点在直线PT 上的射影H 点的轨迹是以长轴为直径的圆，除去长轴的 两个端点. 3. 以焦点弦PQ 为直径的圆必与对应准线相交. 4. 以焦点半径PF 1为直径的圆必与以实轴为直径的圆相切.（内切：P 在右支；外切：P 在左支） 5. 若000(,)P x y 在双曲线22 221x y a b -=（a ＞0,b ＞0）上，则过0P 的双曲线的切线方程是00221x x y y a b -=. 6. 若000(,)P x y 在双曲线22 221x y a b -=（a ＞0,b ＞0）外 ，则过Po 作双曲线的两条切线切点为P 1、P 2，则切点 弦P 1P 2的直线方程是00221x x y y a b -=. 7. 双曲线22 221x y a b -=（a ＞0,b ＞o ）的左右焦点分别为F 1，F 2，点P 为双曲线上任意一点12F PF γ∠=，则双 曲线的焦点角形的面积为122 t 2 F PF S b co γ ?=. 8. 双曲线22 221x y a b -=（a ＞0,b ＞o ）的焦半径公式：(1(,0)F c - , 2(,0)F c 当00(,)M x y 在右支上时，10||MF ex a =+,20||MF ex a =-. 当00(,)M x y 在左支上时，10||MF ex a =-+,20||MF ex a =-- 9. 设过双曲线焦点F 作直线与双曲线相交 P 、Q 两点，A 为双曲线长轴上一个顶点，连结AP 和AQ 分别交相 应于焦点F 的双曲线准线于M 、N 两点，则MF ⊥NF. 10. 过双曲线一个焦点F 的直线与双曲线交于两点P 、Q, A 1、A 2为双曲线实轴上的顶点，A 1P 和A 2Q 交于点M ， A 2P 和A 1Q 交于点N ，则MF ⊥NF. 11. AB 是双曲线22 221x y a b -=（a ＞0,b ＞0）的不平行于对称轴的弦，M ),(00y x 为AB 的中点，则 0202y a x b K K AB OM =?，即020 2y a x b K AB =。 12. 若000(,)P x y 在双曲线22 221x y a b -=（a ＞0,b ＞0）内，则被Po 所平分的中点弦的方程是2200002222x x y y x y a b a b -=-. 13. 若000(,)P x y 在双曲线22 221x y a b -=（a ＞0,b ＞0）内，则过Po 的弦中点的轨迹方程是22002222x x y y x y a b a b -=-.
高中数学二级结论 1.任意的简单n 面体内切球半径为 表 S V 3(V 是简单n 面体的体积，表S 是简单n 面体的表面积) 2.在任意ABC △内，都有tan A +tan B +tan C =tan A ·tan B ·tan C 推论：在ABC △内，若tan A +tan B +tan C <0，则ABC △为钝角三角形 3.斜二测画法直观图面积为原图形面积的 4 2 倍 4.过椭圆准线上一点作椭圆的两条切线，两切点连线所在直线必经过椭圆相应的焦点 5.导数题常用放缩1+≥x e x 、1ln 11-≤≤-<- x x x x x 、)1(>>x ex e x 6.椭圆)0,0(122 22>>=+b a b y a x 的面积S 为πab S = 7.圆锥曲线的切线方程求法：隐函数求导 推论：①过圆2 22)()(r b y a x =-+-上任意一点),(00y x P 的切线方程为200))(())((r b y b y a x a x =--+-- ②过椭圆)0,0(122 22>>=+b a b y a x 上任意一点),(00y x P 的切线方程为12020=+b yy a xx ③过双曲线)0,0(122 22>>=-b a b y a x 上任意一点),(00y x P 的切线方程为12020=-b yy a xx 8.切点弦方程：平面内一点引曲线的两条切线，两切点所在直线的方程叫做曲线的切点弦方程 ①圆02 2 =++++F Ey Dx y x 的切点弦方程为02 20000=+++++ +F E y y D x x y y x x ②椭圆)0,0(12222>>=+b a b y a x 的切点弦方程为12020=+b y y a x x ③双曲线)0,0(12222>>=-b a b y a x 的切点弦方程为12020=-b y y a x x
双曲线 1.122PF PF a -= 2.标准方程22 221x y a b -= 3.11 1PF e d => 4．点P 处的切线PT 平分△PF 1F 2在点P 处的内角. 5．PT 平分△PF 1F 2在点P 处的内角，则焦点在直线PT 上的射影H 点的轨迹是以实轴为直径的圆，除去实轴的两个端点. 6．以焦点弦PQ 为直径的圆必与对应准线相交. 7．以焦点半径PF 1为直径的圆必与以实轴为直径的圆外切. 8．设P 为双曲线上一点，则△PF 1F 2的内切圆必切于与P 在同侧的顶点. 9．双曲线22 221x y a b -=（a ＞0,b ＞0）的两个顶点为1(,0)A a -,2(,0)A a ，与y 轴平行的直线 交双曲线于P 1、P 2时A 1P 1与A 2P 2交点的轨迹方程是22 221x y a b +=. 10．若000(,)P x y 在双曲线22 221x y a b -=（a ＞0,b ＞0）上，则过0P 的双曲线的切线方程是 00221x x y y a b -=. 11．若000(,)P x y 在双曲线22 221x y a b -=（a ＞0,b ＞0）外 ，则过Po 作双曲线的两条切线切 点为P 1、P 2，则切点弦P 1P 2的直线方程是00221x x y y a b -=. 12．AB 是双曲线22 221x y a b -=（a ＞0,b ＞0）的不平行于对称轴且过原点的弦，M 为AB 的 中点，则2 2OM AB b k k a ?=. 13．若000(,)P x y 在双曲线22 221x y a b -=（a ＞0,b ＞0）内，则被Po 所平分的中点弦的方程是 22 00002222x x y y x y a b a b -=-. 14．若000(,)P x y 在双曲线22 221x y a b -=（a ＞0,b ＞0）内，则过Po 的弦中点的轨迹方程是 22002222x x y y x y a b a b -=-. 15．若PQ 是双曲线22 221x y a b -=（b ＞a ＞0）上对中心张直角的弦，则 122222 121111(||,||)r OP r OQ r r a b +=-==. 16．若双曲线22 221x y a b -=（b ＞a ＞0）上中心张直角的弦L 所在直线方程为 1Ax By +=(0)AB ≠,则(1) 22 2211A B a b -=+ ;(2) L =
一、焦点三角形周长 【知识讲解】 1、椭圆焦点三角形 直线l 过左焦点1F 与椭圆交于A 、B 两点，则2ABF ?的周长为a 4。 2、双曲线焦点三角形 直线l 过左焦点1F 与双曲线左支交于A 、B 两点，则a AB B F A F 422=-+。 【典型例题】 1.设椭圆19 252 2=+y x 的左、右焦点分别为1F 、2F ，P 是椭圆上任意一点，则21F PF ?的周长为（）。 2.过双曲线19 162 2=-y x 的左焦点1F 的弦AB 长为6，则2ABF ?的周长是（）。【变式训练】 1.已知1F 、2F 是椭圆112 162 2=+y x 的左右焦点，直线l 过点2F 与椭圆交于A 、B 两点，且7||=AB ，则1ABF ?的周长是（ ）。2.若1F 、2F 是双曲线18 2 2=-y x 的两个焦点，点P 在该双曲线上，且21F PF ?是等腰三角形，则21F PF ?的周长为（ ）。 二、通径公式 【知识讲解】
1、椭圆通径：过焦点且与长轴垂直的弦，通径长为a b 2 2。2、双曲线通径：过焦点且与实轴垂直的弦，通径长为a b 22。【典型例题】 1.设椭圆)0(122 22>>=+b a b y a x 的左右焦点分别是21,F F ，P 是椭圆上的点，且满足212F F PF ⊥，?=∠3021F PF ，则椭圆的离心率为（ ）。2.过双曲线18 2 2=-y x 的右焦点作x 轴的垂线交双曲线于A ，B 两点，则|AB|=（）。【变式训练】 1.已知21,F F 是椭圆的两个焦点，过1F 且与椭圆长轴垂直的直线交椭圆于A ，B 两点，若2ABF ?为等边三角形，则这个椭圆的离心率是（ ）。2.过双曲线18 2 2=-y x 的右焦点作x 轴的垂线交双曲线于A ，B 两点，若|AB|=16，则这样的直线有（）条。 三、焦半径公式 1、椭圆焦半径公式（1） 0201,ex a PF ex a PF -=+=，其中e 为离心率，0x 为P 点横坐标。 2、双曲线焦半径公式（1） |||,|0201ex a PF ex a PF -=+=，其中e 为离心率，0x 为P 点横坐标。 【典型例题】 1.已知椭圆)0(122 22>>=+b a b y a x 的左右焦点分别是21,F F ，若椭圆上存在一点P 使得||23||21PF e PF =，则该椭圆离心率的取值范围是（）。 2.已知双曲线112 42 2=-y x 上一点M ，其横坐标为3，则M 到右焦点的距离是（）。 【变式训练】
双曲线中常见结论: 1、离心率e=a c =21）（a b 2、焦半径 3、通径及通径长a b 2 2 4、焦点到准线得距离c b 2,中心到准线得距离c a 2 12
8、双曲线λ=-2222b y a x (λ≠0)与122 22=-b y a x 有相同得渐近线与相同得离心率。 9、P 为双曲线上一点,则21F PF ?得面积为S=θ θ cos sin b -12
离心率为e= α ββαsin sin sin -+） （ 例(湖南卷)已知双曲线22a x －22 b y ＝1(a ＞0,b ＞0)得右焦点为F,右准线与一条渐近线交于点A, △OAF 得面积为2 2 a (O 为原点),则两条渐近线得夹角为 (D )
A.30o B.45o C.60o D.90o 例双曲线）（0122≠=-m n n y m x 得离心率为2,则n m 得值为( ) A.3 B. 3 1 C.3或 3 1 D.以上都不对 椭圆得几何性质 一、教学目标 (一)知识教学点 通过椭圆标准方程得讨论,使学生掌握椭圆得几何性质,能正确地画出椭圆得图形,并了解椭圆得一些实际应用. (二)能力训练点 通过对椭圆得几何性质得教学,培养学生分析问题与解决实际问题得能力. (三)学科渗透点 使学生掌握利用方程研究曲线性质得基本方法,加深对直角坐标系中曲线与方程得关系概念得理解,这样才能解决随之而来得一些问题,如弦、最值问题等. 二、教材分析 1.重点:椭圆得几何性质及初步运用. (解决办法:引导学生利用方程研究曲线得性质,最后进行归纳小结.) 2.难点:椭圆离心率得概念得理解. (解决办法:先介绍椭圆离心率得定义,再分析离心率得大小对椭圆形状得影 响,最后通过椭圆得第二定义讲清离心率e 得几何意义.) 3.疑点:椭圆得几何性质就是椭圆自身所具有得性质,与坐标系选择无关,即不 随坐标系得改变而改变. (解决办法:利用方程分析椭圆性质之前就先给学生说明.) 三、活动设计 提问、讲解、阅读后重点讲解、再讲解、演板、讲解后归纳、小结. 四、教学过程
椭 圆 1. 点P 处的切线PT 平分△PF 1F 2在点P 处的外角. 2. PT 平分△PF 1F 2在点P 处的外角，则焦点在直线PT 上的射影H 点的轨迹是以长轴为直 径的圆，除去长轴的两个端点. 3. 以焦点弦PQ 为直径的圆必与对应准线相离. 4. 以焦点半径PF 1为直径的圆必与以长轴为直径的圆内切. 5. 若000(,)P x y 在椭圆22221x y a b +=上，则过0P 的椭圆的切线方程是00221x x y y a b +=. 6. 若000(,)P x y 在椭圆22 221x y a b +=外 ，则过Po 作椭圆的两条切线切点为P 1、P 2，则切 点弦P 1P 2的直线方程是00221x x y y a b +=. 7. 椭圆22 221x y a b += (a ＞b ＞0)的左右焦点分别为F 1，F 2，点P 为椭圆上任意一点 12F PF γ∠=，则椭圆的焦点角形的面积为122tan 2 F PF S b γ ?=. 8. 椭圆22 221x y a b +=（a ＞b ＞0）的焦半径公式： 10||MF a ex =+,20||MF a ex =-(1(,0)F c - , 2(,0)F c 00(,)M x y ). 9. 设过椭圆焦点F 作直线与椭圆相交 P 、Q 两点，A 为椭圆长轴上一个顶点，连结AP 和 AQ 分别交相应于焦点F 的椭圆准线于M 、N 两点，则MF ⊥NF. 10. 过椭圆一个焦点F 的直线与椭圆交于两点P 、Q, A 1、A 2为椭圆长轴上的顶点，A 1P 和 A 2Q 交于点M ，A 2P 和A 1Q 交于点N ，则MF ⊥NF. 11. AB 是椭圆22 221x y a b +=的不平行于对称轴的弦，M ),(00y x 为AB 的中点，则 2 2OM AB b k k a ?=-， 即0 20 2y a x b K AB -=。 双曲线 1. 点P 处的切线PT 平分△PF 1F 2在点P 处的内角. 2. PT 平分△PF 1F 2在点P 处的内角，则焦点在直线PT 上的射影H 点的轨迹是以长轴 为直径的圆，除去长轴的两个端点. 3. 以焦点弦PQ 为直径的圆必与对应准线相交.
高考中解析几何有用的经典结论 一、椭 圆 1. 若000(,)P x y 在椭圆22221x y a b +=上，则过0P 的椭圆的切线方程是00221x x y y a b +=. 2. 若000(,)P x y 在椭圆22 221x y a b +=外 ，则过Po 作椭圆的两条切线切点为P 1、P 2，则切 点弦P 1P 2的直线方程是00221x x y y a b +=. 3. 椭圆22 221x y a b += (a ＞b ＞0)的左右焦点分别为F 1，F 2，点P 为椭圆上任意一点 12F PF γ∠=，则椭圆的焦点角形的面积为122tan 2 F PF S b γ ?=. 4. 设过椭圆焦点F 作直线与椭圆相交 P 、Q 两点，A 为椭圆长轴上一个顶点，连结AP 和 AQ 分别交相应于焦点F 的椭圆准线于M 、N 两点，则MF ⊥NF. 5. 过椭圆一个焦点F 的直线与椭圆交于两点P 、Q, A 1、A 2为椭圆长轴上的顶点，A 1P 和 A 2Q 交于点M ，A 2P 和A 1Q 交于点N ，则MF ⊥NF. 6. AB 是椭圆22 221x y a b +=的不平行于对称轴的弦，M ),(00y x 为AB 的中点，则 2 2OM AB b k k a ?=-， 即020 2y a x b K AB -=。 7. 若000(,)P x y 在椭圆22 221x y a b +=内，则被Po 所平分的中点弦的方程是 22 00002222x x y y x y a b a b +=+. 8. 若000(,)P x y 在椭圆22 221x y a b +=内，则过Po 的弦中点的轨迹方程是 22002222x x y y x y a b a b +=+. 二、双曲线 1. 若000(,)P x y 在双曲线22 221x y a b -=（a ＞0,b ＞0）上，则过0P 的双曲线的切线方程 是00221x x y y a b -=. 2. 若000(,)P x y 在双曲线22 221x y a b -=（a ＞0,b ＞0）外 ，则过Po 作双曲线的两条切线
第二讲 双曲线中常用的结论及解法技巧 【知识要点】 一．双曲线三大定义 定义 1．到两定点距离之差的绝对值（小于两定点距离）为定值的点的轨迹是双曲线． 几何性质：双曲线上任一点到两焦点的距离之差的绝对值为定值． 定义 2．到一个定点的距离与到一条定直线的距离之比为定值（大于1）的点的轨迹是双曲线． 几何性质：双曲线上任一点到左（右）焦点的距离与到左（右）准线的距离之比为离心率e ． 定义 3．到两个定点的斜率之积为定值（大于0）的点的轨迹是双曲线． 几何性质：双曲线上任一点到左右（上下）两顶点的斜率之积为22 a b ． 二．双曲线经典结论汇总 1．AB 是双曲线()0,0122 22>>=-b a b y a x 的不平行于对称轴的弦，),(00y x M 为AB 的中点， 则22a b k k AB OM =?，即 0 20 2y a x b k AB =． 等价形式：21,A A 是双曲线()0,0122 22>>=-b a b y a x 上关于原点对称的任意两点，B 是双曲 线上其它任意一点，直线B A B A 21,的斜率存在，则22 21a b k k B A B A =?． 2．双曲线()0,0122 22>>=-b a b y a x 的左右焦点分别为21,F F ，点P 为双曲线上异于实轴端点 的任意一点θ=∠21PF F 则（1）2 122||||1cos b PF PF θ =-；（2）双曲线的焦点角形的面积为 2 tan 221θb S PF F = ?． 3．过双曲线()0,0122 22>>=-b a b y a x 上任一点),(00y x A 任意作两条倾斜角互补的直线交双 曲线于C B ,两点，则直线BC 有定向且0 20 2y a x b k BC -= （常数）． 4．P 为双曲线()0,0122 22>>=-b a b y a x 上任一点，21,F F 为二焦点，A 为双曲线内一定点， 则||||2||12PF PA a AF +≤-，当且仅当P F A ,,2三点共线且P 和2,F A 在y 轴同侧时，等号成立． 5．已知双曲线()0,0122 22>>=-b a b y a x ，O 为坐标原点，Q P ,为双曲线上两动点，且
四、焦点弦 【知识讲解】 1.1椭圆焦半径公式（2） 已知直线l 过左焦点1F 与椭圆交于B A ,两点，设α=∠21F AF ，则焦半径 αcos ||2?-=c a b AF ，αcos ||2?+=c a b BF ，22||1||1b a BF AF =+1.2椭圆焦点弦长公式：α 2222 cos 2||||||?-=+=c a ab BF AF AB ，最长焦点弦为长轴，最短焦点弦为通径。 2.1双曲线焦半径公式（2） 已知直线l 过左焦点1F 与双曲线交于B A ,两点，设α=∠21F AF ，则焦半径 αcos ||2?-=c a b AF ，αcos ||2?+=c a b BF ，22||1||1b a BF AF =+2.2双曲线焦点弦长公式：α 2222 cos 2||||||?-=+=c a ab BF AF AB 3焦点弦定理 已知焦点在x 轴上的椭圆或双曲线，经过其焦点F 的直线交曲线于B A ,两点，直线AB 的倾斜角为θ，FB AF λ=，则曲线的离心率满足等式：|1 1| |cos |+-=λλθe 【典型例题】1.已知椭圆13 42 2=+y x ，直线01:1=-+y x l ，01:2=++y x l 与椭圆分别交于B A ,和
D C ,，则||||CD AB +的值为（）。 2.已知椭圆)0(122 22>>=+b a b y a x 的离心率为23，过右焦点F 且斜率为k )0(>k 的直线与椭圆交于B A ,两点。若3=，则k 的值为（ ）。 【变式训练】1.已知双曲线)0,0(122 22>>=-b a b y a x 的右焦点为F ，过F 且斜率为3的直线交双曲线于B A ,两点，若4=，则双曲线的离心率为（）。 2.设椭圆)0(122 22>>=+b a b y a x 的右焦点为F ，过点F 的直线l 与椭圆相交于B A ,两点，直线l 的倾斜角为?60，FB AF 2=。 （1）求椭圆的离心率； （2）如果4 15||=AB ，求椭圆的方程。五、椭圆的第三定义 【知识讲解】 1.B A ,为椭圆)0(122 22>>=+b a b y a x 上关于原点对称的两点，椭圆上任意一点P （不同于B A ,两点）与椭圆上B A ,两点连线的斜率之积为定值：22 a b -。
双曲线二级结论大全 1.122PF PF a -= 2.标准方程22 221x y a b -= 3.11 1PF e d => 4．点P 处的切线PT 平分△PF 1F 2在点P 处的内角. 5．PT 平分△PF 1F 2在点P 处的内角，则焦点在直线PT 上的射影H 点的轨迹是以实轴为直径的圆，除去实轴的两个端点. 6．以焦点弦PQ 为直径的圆必与对应准线相交. 7．以焦点半径PF 1为直径的圆必与以实轴为直径的圆外切. 8．设P 为双曲线上一点，则△PF 1F 2的内切圆必切于与P 在同侧的顶点. 9．双曲线22 221x y a b -=（a ＞0,b ＞0）的两个顶点为1(,0)A a -,2(,0)A a ，与y 轴平行的直线交双曲线于P 1、 P 2时A 1P 1与A 2P 2交点的轨迹方程是22 221x y a b +=. 10．若000(,)P x y 在双曲线22 22 1x y a b -=（a ＞0,b ＞0）上，则过0P 的双曲线的切线方程是00221x x y y a b -=. 11．若000(,)P x y 在双曲线22 221x y a b -=（a ＞0,b ＞0）外 ，则过Po 作双曲线的两条切线切点为P 1、P 2，则 切点弦P 1P 2的直线方程是00221x x y y a b -=. 12．AB 是双曲线22 221x y a b -=（a ＞0,b ＞0）的不平行于对称轴且过原点的弦，M 为AB 的中点，则 2 2OM AB b k k a ?=. 13．若000(,)P x y 在双曲线22 2 21x y a b -=（a ＞0,b ＞0）内，则被Po 所平分的中点弦的方程是22 00002222x x y y x y a b a b -=-. 14．若000(,)P x y 在双曲线 22 22 1x y a b -=（a ＞0,b ＞0）内，则过Po 的弦中点的轨迹方程是22002 222x x y y x y a b a b -=-. 15．若PQ 是双曲线22 221x y a b -=（b ＞ a ＞0）上对中心张直角的弦，则 122222121111(||,||)r OP r OQ r r a b +=-==. 16．若双曲线22 221x y a b -=（b ＞a ＞0）上中心张直角的弦L 所在直线方程为1Ax By +=(0)AB ≠,则(1) 22 2211A B a b -=+ ;(2) 2222||L a A b B =-. 17．给定双曲线1C ：22 2 2 22 b x a y a b -=（a ＞b ＞0）, 2C ：22 2 2 2 2 22 2 ()a b b x a y ab a b +-=-,则(i)对1C 上任意
椭圆与双曲线的必背的经典结论 案场各岗位服务流程 销售大厅服务岗： 1、销售大厅服务岗岗位职责： 1)为来访客户提供全程的休息区域及饮品; 2)保持销售区域台面整洁; 3)及时补足销售大厅物资,如糖果或杂志等; 4)收集客户意见、建议及现场问题点； 2、销售大厅服务岗工作及服务流程 阶段工作及服务流程 班前阶段1）自检仪容仪表以饱满的精神面貌进入工作区域 2）检查使用工具及销售大厅物资情况，异常情况及时登记并报告上级。 班中工作程序服务 流程 行为 规范 迎接 指引 递阅 资料 上饮品 （糕点） 添加茶水工作1）眼神关注客人，当客人距3米距离侯客迎询问客户送客户
注意事项 15度鞠躬微笑问候：“您好！欢迎光临！”2）在客人前方1-2米距离领位，指引请客人向休息区，在客人入座后问客人对座位是否满意：“您好！请问坐这儿可以吗？”得到同意后为客人拉椅入座“好的，请入座！” 3）若客人无置业顾问陪同，可询问：请问您有专属的置业顾问吗？，为客人取阅项目资料，并礼貌的告知请客人稍等，置业顾问会很快过来介绍，同时请置业顾问关注该客人； 4）问候的起始语应为“先生-小姐-女士早上好，这里是XX销售中心，这边请”5）问候时间段为8:30-11:30 早上好11:30-14:30 中午好 14:30-18:00下午好 6）关注客人物品，如物品较多，则主动询问是否需要帮助（如拾到物品须两名人员在场方能打开，提示客人注意贵重物品）； 7）在满座位的情况下，须先向客人致
待； 阶段工作及服务流程 班中工作程序工作 要求 注意 事项 饮料（糕点服务） 1）在所有饮料（糕点）服务中必须使用 托盘； 2）所有饮料服务均已“对不起，打扰一 下，请问您需要什么饮品”为起始； 3）服务方向：从客人的右面服务； 4）当客人的饮料杯中只剩三分之一时， 必须询问客人是否需要再添一杯，在二 次服务中特别注意瓶口绝对不可以与 客人使用的杯子接触； 5）在客人再次需要饮料时必须更换杯 子； 下班程 序1）检查使用的工具及销售案场物资情况，异常情况及时记录并报告上级领导； 2）填写物资领用申请表并整理客户意见；3）参加班后总结会； 4）积极配合销售人员的接待工作，如果下班
专题十三 相关知识点、公式的拓展 1、立方差（和）公式 ))((2 2 3 3 b ab a b a b a +-+=+； ))((2 2 3 3 b ab a b a b a ++-=-； 2、中线定理（阿波罗尼斯定理）：)(22 2 2 2 CD AD AC AB +=+ 3、中垂三角形：两条中线互相垂直的三角形称为“中垂三角形”，如图，△ABC 为中垂三角形，则AB 2+AC 2＝5BC 2 4、角平分线性质：△ABC 中，若AD 平分∠BAC ，则 DC BD AC AB = 5、三角形张角定理： 如图，在△ABC 为中，D 为BC 边的一点，连接AD ，设AD ＝l ，∠BAD ＝α，∠CAD ＝β，则一定有 ()c b l β αβαsin sin sin + =+ 推导：∵S △ABC ＝S △ABD +S △ACD ∴ ()βαβαsin 2 1 sin 21sin 21bl cl bc +=+ 两边同时除以lbc 21，得：()c b l β αβαsin sin sin + =+ 推论1：（角平分线张角定理）当α＝β时，?? ? ??+= c b l 1121cos α 推论2：（角平分线面积问题）()ααtan sin 2 1 2l c b AD S ABC ≥+=? 6、角平分线之斯库顿定理： 如图，AD ，是△ABC 的角平分线，则BC BD AC AB AD ..2 -=(就其所处图中的位置关系而言，可记忆为：中方＝上积—下积) A D C B A D C B A D C B E A D C B
推导：作△ABC 的外接圆，延长AD 交圆于E ，连接BE ，如图 ∵∠E ＝∠C 、∠1＝∠2 ∴△ABE ∽△ADC ∴ AC AE AD AB = ，即AC AB AE AD ..= ∴AC AB DE AD AD .).(=+ ∴AC AB DE AD AD ..2 =+ 由相交弦定理得：BD ·DC ＝AD ·DE ∴AD 2+BD ·DC ＝AB ·AC 注意：角平分线张角定理强调的是角度，斯库顿定理强调的是长度，斯库顿定理可以绕过求张角而直接求出三角形的各边长，通常和内角平分线定理合在一起出考题. 7、倍角三角形： A B c a a b 2)(2=?+= B C a b b c 2)(2=?+= C A b c c a 2)(2=?+= 8．若G 是△ABC 的重心，则GA →＋GB →＋GC → ＝0. 9．若直线l 的方程为Ax ＋By ＋C ＝0，则向量(A ，B )与直线l 垂直，向量(－B ，A )与直线l 平行． A D C B A D C B E
双曲线中常见结论: 1 离心率e=C= '1 +(b)2 a . a 2、焦半径 3、通径及通径长 b 2 2 4、焦点到准线的距离—，中心到准线的距离— c c
2 2 2 2 8、双曲线笃一驚=、（入工0）和笃_笃 /有相同的渐近线和相同的离心率。 a2b2a2b2 也PF F2的面积为S=b2 sin8
1 - cosO 的离心率为sin （一：」宀） 9、P为双曲线上一点，则
2 2 例双曲线 ?丄 =1(mn = 0的离心率为2,则m 的值为( m n n 1 1 A. 3 B . C. 3 或 3 3 2 2 例（湖南卷）已知双曲线 § —与=1 （a >0, b >0）的右焦点为F ,右准线与一条渐近线 a 2 b 2 2 交于点A ,A OAF 的面积为 —（0为原点），则两条渐近线的夹角为 2 (D ) A. 30o B . 450 C. 600 D. 900 ） D.以上都不对
椭圆的几何性质 一、教学目标 （一）知识教学点 通过椭圆标准方程的讨论，使学生掌握椭圆的几何性质，能正确地画出椭圆的图形，并了解椭圆的一些实际应用． （二）能力训练点 通过对椭圆的几何性质的教学，培养学生分析问题和解决实际问题的能力． （三）学科渗透点 使学生掌握利用方程研究曲线性质的基本方法，加深对直角坐标系中曲线与方程的关系概念的理解，这样才能解决随之而来的一些问题，如弦、最值问题等． 二、教材分析1．重点：椭圆的几何性质及初步运用． （解决办法：引导学生利用方程研究曲线的性质，最后进行归纳小结．） 2．难点：椭圆离心率的概念的理解． （解决办法：先介绍椭圆离心率的定义，再分析离心率的大小对椭圆形状的影响，最后通过椭圆的第二定义讲清离心率e的几何意义.） 3．疑点：椭圆的几何性质是椭圆自身所具有的性质，与坐标系选择无关，即不随坐标系的改变而改变． （解决办法：利用方程分析椭圆性质之前就先给学生说明．） 三、活动设计 提问、讲解、阅读后重点讲解、再讲解、演板、讲解后归纳、小结． 四、教学过程 （一）复习提问 1．椭圆的定义是什么？ 2 ?椭圆的标准方程是什么? 学生口述，教师板书.
双曲线中常见结论： 1、离心率e=a c =2 1）（a b 2、焦半径 3、通径及通径长a b 2 2 4、焦点到准线的距离c b 2，中心到准线的距离c a 2 5、焦点到渐近线的距离为b ，垂足恰好在准线上。
6、P为双曲线上任一点，三角形PF 1F 2 的内切圆圆心在直线x=a或x=-a上。 7、P为双曲线上任一点，以PF 1 直径的圆和x2+y2=a2相切。
8、双曲线λ=-2222b y a x (λ≠0)和122 22=-b y a x 有相同的渐近线和相同的离心 率。 9、P 为双曲线上一点，则21F PF ?的面积为S= θ sin b 2 10、F 1，F 2是双曲线的两个焦点，P 为双曲线上任一点，∠PF 1F 2=α ，∠PF 1F 2=β。则双曲线的离心率为e=α ββαsin sin sin -+） （ 设PF 1=m ，PF 2=n 。 则 ） （βααβαβ+=--==sin c sin sin n m sin n sin m 2 α ββαβααβsin sin sin e sin c sin sin a -+=?+=-） （）（22
例（湖南卷）已知双曲线22a x －22 b y ＝1（a ＞0，b ＞0）的右焦点为F ，右准 线与一条渐近线交于点A ，△OAF 的面积为2 2 a （O 为原点），则两条渐近线 的夹角为 （D ） A ．30o B ．45o C ．60o D ．90o 例双曲线）（0122≠=-m n n y m x 的离心率为2，则n m 的值为（ ） A ．3 B ．3 1 C ．3或3 1 D ．以上都不对
圆锥曲线部分二级结论的应用 一、单选题 1．已知抛物线2 :4 C y x =，点()() 2,0,4,0, D E M是抛物线C异于原点O的动点，连接ME并延长交抛物线C于点N，连接, MD ND并分别延长交拋物线C于点,P Q，连接PQ，若直线, MN PQ的斜率存在且分别为 12 ,k k，则2 1 k k =（） A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 2．如图，设椭圆 22 22 :1 x y E a b +=（0 a b >>）的右顶点为A，右焦点为F，B为椭圆E在第二象限上的点，直线BO交椭圆E于点C，若直线BF平分线段AC于M，则椭圆E的离心率是（） A. 1 2 B. 1 3 C. 2 3 D. 1 4 3．已知 12 F F 、是双曲线 22 22 1(0,0) x y a b a b -=>>的左右焦点，以 12 F F为直径的圆与双曲线的一条渐近线交于点M，与双曲线交于点N，且M N 、均在第一象限，当直 线 1 // MF ON时，双曲线的离心率为e，若函数()22 2, f x x x x =+-，则() f e=（）A. 1 B. 3 C. 2 D. 5 4．已知椭圆和双曲线有共同焦点 12 , F F，P是它们的一个交点，且 123 F PF π ∠=，记 椭圆和双曲线的离心率分别为 12 ,e e，则 12 1 e e 的最大值是（）
A. B. C. 2 D. 3 5．已知抛物线2 :4C x y =，直线:1l y =-， ,PA PB 为抛物线C 的两条切线，切点分别为,A B ，则“点P 在l 上”是“PA PB ⊥”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 6．已知,A B 分别为双曲线22 22:1x y C a b -=（0a >， 0b >）的左、右顶点，点P 为 双曲线C 在第一象限图形上的任意一点，点O 为坐标原点，若双曲线C 的离心率为2， ,,PA PB PO 的斜率分别为123,,k k k ，则123k k k 的取值范围为（ ） A. 0, 9? ?? B. ( C. ( D. ()0,8 7．设抛物线2 2y x =的焦点为F ，过点) M 的直线与抛物线相交于,A B 两点， 与抛物线的准线相较于点C ， 2BF =，则BCF ?与ACF ?的面积之 BCF ACF S S ??=（ ） A. 23 B. 45 C. 47 D. 12 8．设双曲线C 的中心为点O ，若直线1l 和2l 相交于点O ，直线1l 交双曲线于11A B 、，直线2l 交双曲线于22A B 、，且使1122A B A B =则称1l 和2l 为“WW 直线对”.现有所成的角为60°的“WW 直线对”只有2对，且在右支上存在一点P ，使122PF PF =，则该双曲线的离心率的取值范围是（ ） A. ()1,2 B. [ )3,9 C. 3,32?? ??? D. (]2,3 9．设点P 为双曲线22 221x y a b -=（0a >， 0b >）上一点， 12,F F 分别是左右焦点， I 是12PF F ?的内心，若1IPF ?， 2IPF ?， 12IF F ?的面积123,,S S S 满足