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电动力学数学基础(复旦整理)

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电动力学--场论的数学基础

电动力学--场论的数学基础

* a b 0
* 0b 0Байду номын сангаас * a b b a
b 为任意矢量
a , b 相互垂直
满足交换律
* * 3、标量积的坐标表示 若 a ax i a y j az k ,
(a b ) c a c b c 满足分配律 (a b ) a (b ) 满足结合律
且与 a, b 构成右旋关系。 代表两矢量之间的夹角，且 0 c 的大小代表以 a, b 为边的平行四边形面积
a
2、矢量积的性质 a b 0 两 矢量平行 * 不满足乘法交换律 a b b a * a (b c ) (a b ) (a c ) * 满足分配律
若函数 x (s, t ) , y (s, t )的偏导数存在，即
x y x y , , , s s t t
在 ( s , t ) 处存在，而函数 z f ( x, y) 在对应于( s , t ) 点的( x , y) 可微， 则复合函数 z f [ (t ), (t )] 对于 s , t 的偏导数存在，且
2 2 2 2 1 2 2 1 2 2
cos1 cos 2 cos 1 cos 2 cos 1 cos 2
三、两矢量的矢量积
其大小为： a b sin 1、定义： a b c c 垂直于 a, b 构成平面， c b 方向：乘积
归纳法（从特殊到一般） 类比法（从一种特殊到另一种特殊） 演绎法（从一般到特殊）
三、电动力学与电磁学研究的区别
电磁学的逻辑体系是： 电动力学的逻辑体系是： 理论——推演——实际 实验——定律——理论 以演绎法为主线。 以归纳法为主线。 理论出发点： 各种类型场的方程是以 积分的形式出现。 Maxwell方程组(微分形式) Lorentz力公式 物质的电磁性质方程。 结合具体的空间边值条件、时间初值条件，求解上述 偏微分方程组，由此得到具体场的分布函数或演化函数。 所得结果的正确性可以经受严格的实验检验。

复旦大学数学学院

复旦大学数学学院

复旦大学数学学院学生选课指南选课是大学和中学最大的不同之一，学生在大学学习阶段需要在一定的范围内自己决定学什么课程，这对习惯中小学按学校安排课程学习的学生来说经常会面临选择困境。

从2015年开始，数学学院对教学方案作了较大的调整，主要是增加了学生选课的自由度和灵活度，这自然增加了学生选课的难度，因此学院组织撰写选课指南帮助学生选课，请每个学生在选课之前仔细阅读。

大学数学课程的内容和难度都是中学数学不能比拟的，而且这个内容和难度随着年级的增加以很大的加速度增加，所以除了上课时间外，学生平均需要付出两三倍于上课的时间进一步学习巩固，留有足够多的思考时间对学好数学是非常重要的，不投入相当的时间精力是不可能学好任何一门数学课程的，肤浅地学一门数学是没有什么意义的。

所以我们建议学生一个学期选的数学专业的课程应该在每周15个课时左右（注意是课时，不是学分，课时通常是大于等于学分的），不可超过18个课时。

A．数学学院毕业学分要求：共144学分1. 通识课程：41学分。

2. 大类必修课：18 学分数学分析I，数学分析I，大学物理B（上), 大学物理B (下)。

3. 专业必修课: 24学分数学分析III，高等代数（上), 高等代数(下），解析几何，抽象代数I，拓扑I(内容包括欧氏空间拓扑). 高等数学A(上下)再加数学分析原理可以代替数学分析I,II,III.毕业论文: 4 学分, 按A,B,C,D方式给成绩, 申请A类成绩的学生需教师推荐, 递交论文并答辩.4. 限定必修课：27学分从下面12门课程中选9门(27个学分), 超过9门可以算成专业选修课: 常微分方程，泛函分析, 概率论, 拓扑II, 微分几何，基础力学, 数理方程, 抽象代数II, 复变函数, 实变函数, 数学建模，微分方程数值解.5. 专业选修课: 15 学分, 从培养方案所列选修课程中选(信息与计算专业有课程要求), 通常是5门课程. 包括限定必修课中的课程.6. 任意选修课: 15学分, 可选全校任意课程(包括数学学院专业选修课程). 包括专业选修课中的课程.B．学生选课指导：数学学院的学生需要修的数学课总数大约是：2门大类课程+6门专业必修9门专业限定必修+4门专业选修+4门任意选修+毕业论文，共25门课程加一个毕业论文，平均每个学期3门。

电动力学中的数学知识

电动力学中的数学知识

四、场的微分算符
1、场的概念
描述一定空间中连续分布的物质对象的物理 量。或说：若在一定空间中的每一点，都对应着某 个物理量的确定值，就说在这空间中确定了该物理 的场。 如：强度场、速度场、引力场、电磁场。
r 场用一个空间和时间标量场 ( x, y, z, t ) = ( x, t ) r r r 坐标的函数来描述： 矢量场 A( x, y, z, t ) = A( x, t )
5
三、电磁理论的发展历史：
1785年发现库仑定律（Coulomb） 1820年发现电流的磁效应（Oersted） 1831年发现电磁感应定律（Faraday） 1865年建立电磁场理论（Maxwell） 1905年建立狭义相对论（Einstein） 进入二十世纪后，建立了量子电动力学
6
四、学习电动力学的目的：
定理： 在空间某一区域内给定场的散度和旋度以及 矢量场在区域边界上的法线分量， r r A = ρ (x) V r r r 在 V内 × A = ω ( x) AnS = f ( S ) 在 S 面 上 则该矢量场在区域内是唯一确定的。
26
六、常用定理与公式
4、复合函数
r r 3 a b = ∑
i =1
∑ a b e e = ∑ ∑δ a b
j =1 i j i j i =1 j =1 ij i
3
3
3
j
r r 3 a ×b = ∑
i =1
∑ a b e × e = ∑ ∑ε
j =1 i j i j i =1 j =1
3
3
3
ijk i
a b j ek
12
10）εijkεijk = 6 9）εijkεijr = 2δ kr

第0章 电动力学的数学基础

第0章 电动力学的数学基础

(2)两个矢量的叉乘 ) 两个矢量的叉乘,乘积是一个矢量, 两个矢量的叉乘,乘积是一个矢量,称为矢积或 外积. 外积.其大小等于以两矢量为邻边所作平行四边 形的面积,方向满足右手螺旋法则. 形的面积,方向满足右手螺旋法则.
a×b
b a
3. 三个矢量的乘积: 三个矢量的乘积
(1)三个矢量的混合积 ) 三个矢量的混合积是一个标量. 三个矢量的混合积是一个标量. 设 则 , ,
(2). 散度 定义: 定义: 矢量场的散度是一个标量 直角坐标系中散度可表示为 直角坐标系中散度可表示为
Ax Ay Az div A = + + x y z
散度定理
∫
V
div A dV = ∫ A dS
S
从数学角度建立了面积分和体积分的关系. 数学角度建立了面积分和体积分的关系. 角度建立了 从物理角度建立了区域 V 中的场和包围区域 V 的边界 S 上的场 物理角度建立了区域 角度建立了 之间的关系. 之间的关系.
算符以及梯度, . 算符以及梯度,散度和旋度的表示 (del operator)
直角坐标系中: 直角坐标系中: = i + j+ k x y z
表示梯度,散度和旋度: 用 表示梯度,散度和旋度:
grad = ,
算符的性质: 算符的性质:
divA = A,
rotA = × A
矢量性——矢算符 按矢量运算规则. 矢量性——矢算符,按矢量运算规则. 矢算符, 微分性——微分运算 按求导规则. 微分性——微分运算,按求导规则. 微分运算,
Laplace算符 标算符,有的书上记为: 算符, 2—Laplace算符,标算符,有的书上记为:
× (× A) = ( A) 2 A

电动力学数学准备

电动力学数学准备
a1 a2 a (b c ) b1 b2 c1 c2 a3 b3 c3
则
§0.2 数学准备
利用行列式的性质，可以证明以下结论：
a (b c ) b (c a ) c (a b ) a (c b ) b (a c ) c (b a )
（3）积分变换式——高斯定理
（Gauss’s Theorem）
f dS divfdV
S V
它能把一个闭合曲面的面积分转为对该曲面所包围体积的体积分，反 之亦然。
§0.2 数学准备
3. 矢量场的旋度:
（1）概念： 设闭合曲线L所围面积为
（Rotation of Vector Field）
A y ( Bx C y By Cx ) A z ( Bz Cx Bx Cz ) X方向分量：
B x ( A y C y A z C z ) C x ( A y B y A z Bz ) B x A x C x C x B x A x Bx ( A C) C x ( A B) 即 [A ( B C)]x [ B( A C ) C ( A B)]x
于有源，散度越大，源的密度越高。
旋度表征的是矢量场的矢量线是否可以是闭合曲线。如果矢量场的旋度处
处为零，则矢量场的矢量线不闭合。
§0.2 数学准备
（2）在直角坐标系中旋度的计算公式：
ex rotf x fx
（3）积分变换式—斯托克斯定理
ey y fy
ez z fz
（Stoke’s Theorem）
b b1i b2 j b3k
a b (a1 b1 )i (a2 b2 ) j (a3 b3 )k

电动力学数学预备

电动力学数学预备
它有9个分量AiBj 和9个基ei ej.一般地
(1.7)
AB BA
14
1.矢量和张量代数
u3
e3
e2
u1
e1
u2
•三维空间二阶张量也有9个分量Tij ，它的并矢量形式与矩阵 (matrix)形式分别为
3
T Tij ei e j i, j1
(1.8)
T11 T12 T13
T T21
T22
(1.16)
19
2.矢量和张量分析
（1）算符 和2 表示“场”的物理量,一般地是空间坐标（和时间）的连续函
数，也可能有间断点，甚至会有奇点.
温度T 的分布,静电势 的分布,都构成标量场.
电流密度J, 电场强度E, 磁感应强度B, 矢势A 的分布,都构成矢 量场.
(读“del”) 是对场量作空间一阶偏导数运算的矢量算符. = 2 是二阶齐次偏导数运算的标量算符，即拉普拉斯算符.
1.矢量和张量代数
物理量在空间中的分布构成“场”,亦即场量是空间坐标（以及 时间）的函数.例如:
温度分布T (x,y,z,t) ——标量场
流体速度分布v (x,y,z,t)——矢量场 电磁场的两个基本场量
电场强度E(x,y,z,t ),磁感应强度B(x,y,z,t ) ——都是矢量场 可以用势描写电磁场:
为矢量场A 在P点的旋度A 在en方向的分量.
在直角坐标系中
A ( Az y
Ay z)exຫໍສະໝຸດ ( Ax zAz x
)e
y
( Ay x
Ax y
)e
z
它是矢量.
(2.10)
27
2.矢量和张量分析
如果所有点上均有
A= 0 称A 为无旋场(irrotational field). 例如, 静电场E 就是无旋场,即

电动力学(数学基础)

电动力学(数学基础)
称为矢量场A( r )在该点的散度(div是divergence的缩写)。
散的度强的弱重程要 度性 ，在 当于div，A可 用0 表，征表空示间该各点点有矢散量发场通发量散
的正源；当div A 0 ，表示该点有吸收通量的
负源；当div
A
0
，表示该点为无源场。
在直角坐标系中：
divA A Ax Ay Az x y z
例：设u是空间坐 标A(xu,)y,z的u函数dA，(u证) 明
Operator
设有一标量函数 r x, y, z
d dx dy dz
x y z
x
i
y
j
z
k
dxi dyj dzk
Gx,
y,
z dl
G
n dl
p
n
dn θ
p dl
p
l
0
方向导数：
l
G n el
G
c
os
n
e
G cos
G
l max
n
引进梯度(Gradient)概念：
６ 0, A 0
证明:
( )
(
)
ex
x
(
)
ey
y
(
)
ez
z
(
)
ex (
x
x
)
ey (
y
y
)
ez (
z
z
)
(ex
x
ey
y
ez
)
z
(ex x
ey y
ez
) z
§0-5 二阶微分算符
Second-order Differentiation Operator

电动力学知识概要

电动力学知识概要

• 静电导体系的电场总能：W = 电容系数：Qi = ∑
j
Cij ϕj 1 ∑n qα ϕα （注意ϕα 的物理意义！） 2 α
• 相互作用能：Wint =
• 能量极小――静电平衡： 1. 有约束下平衡态为导体成为等势体――汤姆逊定理 2. 无约束下静电体系没有平衡态――恩肖定理 1 2 ⃗ = 1 ε0 E 2 ⃗ • 导体在电场中受力：f n= σ ⃗ n 2 2ε0
2 ⃗ = ω µ0 ⃗ B er × [p ⃗] 4πcr 2
⃗] µ0 [p ˙ ⃗ ⃗ （等效于公式P = j） 4π r
( ) ⃗ = −⃗ ⃗ E er × cB
⃗, B ⃗, ⃗ 类似平面电磁波（E k 满足右手法则）！ p ⃗ ⃗ →B ⃗ → µ0 m ⃗,E ε0
• 电磁偶极辐射的对称性： • 天线辐射：
•
不同的方法“看到”的东西不一样。
φm =
˜int = m ⃗ e ，在等电流条件下推得 • 与外场“有效相互作用能”：U ⃗ ·B ⃗ =m ⃗ e (⃗ F ⃗ · ∇B r) ⃗e ⃗ τ =m ⃗ ×B
8
第六章
似稳场（准静场）
• 准静场――忽略位移电流=忽略“辐射效应”=忽略“推迟效应” • 似稳条件：ω ≪ ωσ = σc λ ,R≪ ε 2π ∂ (⃗ ⃗) 1 2 (⃗ ⃗) H, E = ∇ H, E ∂t µσc
第二章
电磁场的守恒定律和对称性
) ∫ ∂ ( Wm + udτ = ∂t 1 ⃗ ⃗ E×B µ0 ⃗P · dS ⃗ S
• 能量守恒及转化：
⃗P (⃗ • 能流密度：S r , t) =
1 • 电磁场局域能量密度：u(⃗ r , t) = 2

电动力学数学基础知识

电动力学数学基础知识

学独立地对教材内容进行推导，并明确它们的物理意义
和图象。
“应该怎样学会读书呢？…在对书中每一个问题都经过细 嚼慢咽，真正懂得以后，就需要进一步把全书各部分内容 串连起来理解，加以融会贯通，从而弄清楚什么是书中的 主要问题，以及各问题之间的关联。这样我们就能抓住统 帅全书的基本线索，贯串全书的精神实质。我常常把这种 读书过程，叫做‘从厚到薄’的过程…愈是懂得透彻，就 愈有薄的感觉，这是每个科学家都要经历的过程。‛ ——华罗庚‚学•思•锲而不舍‛
称之为 ( x )在该点的梯度（grad 是gradient 缩写），它是
一个矢量，其大小 | grad | ( ) ，其方向即过该点 max n l n 取得最大方向导数的某一确定方向,即 表示。
矢量场
的方向 grad el l ex ey ez x y z
ex e y ez x y z
divf lim
f dS V
V 0
divf f lim

s
f ds V
V 0
divf f lim

s
f ds V
时，若平均发散量的极限值存在，便记作
divf lim

s
f ds V
V 0
称为矢量场 f ( x )在该点的散度(div是divergence的缩写)。
散度的重要性在于，可用表征空间各点矢量场发散的 强弱程度，当div f 0 ，表示该点有散发通量的正源；当 div f 0 ，表示该点有吸收通量的负源；当div f 0 ，表 示该点为无源场。
场有关的问题。

电动力学习题课 复旦大学精品课程.

电动力学习题课 复旦大学精品课程.

一、 并矢 1. 定义ab 两个矢量并写在一起，称为并矢。

我们为何要引入并矢这个概念呢？这是因为许多物理与力学问题难以用矢量来表示。

先看一个例子：要描述一变形物体内应力对截面的拉伸作用就必须考虑f 对n 的投影矢量用Pr n oj f 表示()()Pr or n oj f f n n n n f f nn nn f =⋅=⋅−−→⋅⋅nn 就被称为并矢。

两阶并矢的定义为(,123)i ij ji j i jijijab a e a e a b e ei j ===∑∑∑2. 运算规律除交换率外，并矢服从初等代数的运算规律 结合律：()()()m ab ma b a mb mab ===()()ab c a bc ⋅=⋅分配率：()a b c ab ac +=+ 但ab ba ≠ 单位并矢i i iI e e =∑，任何一并矢都在单位并矢所长成的空间中I a a I a ⋅=⋅=3. 基本的几个并矢的矩阵形式 单位并矢I100010001I ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭并矢ab111213212223313233a b a b a b ab a b a b a b a b a b a b ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭ 并矢aa111213212223313233a a a a a a aa a a a a a a a a a a a a ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭4. 张量分析 并矢的散度()()()()()()()a b a b a b ab ab aba b a b a b a b∇⋅=∇⋅+∇⋅=∇⋅+∇⋅=∇⋅+⋅∇↓↓标量 标量()ab ∴∇⋅是矢量例： 1. r ∇i i j jiji j i jijij i jiji i ie r e r e e e e e e Iδ=∂=∂===∑∑∑∑∑2. ()A r 为常矢量()()()()()()()()()()()()A r r A r r A r rA r r A r r A r r A r I∇⋅=∇⋅+⋅∇=∇⋅+⋅∇=∇⋅+⋅并矢的积分变换公式 高斯公式：Vsd T dS T τ∇⋅=⋅⎰⎰证：T ab =，j ij iiT a b e =∑ji ij j j i ij j VVVVijjijj j ssjd T d Te e d T e d T e ds T ds Tττττ∇⋅=∂=∂=∇⋅=⋅=⋅∑∑∑∑⎰⎰⎰⎰∑⎰⎰也就是说并矢的高斯公式也就是三个不同方向矢量的高斯公式 斯托克斯公式：()Slds T dl T ⋅∇⨯=⋅⎰⎰证：()()j j j j j j S S S l j j j lds T ds T e e ds T e dl T dl T⎛⎫⋅∇⨯=⋅∇⨯=⋅∇⨯=⋅⎪⎝⎭=⋅∑∑∑⎰⎰⎰⎰⎰二、曲线正交坐标系简介在一般曲线正交坐标系中，空间一点p 的位置用三个坐标1u ，2u ，3u 表示。

(仅供参考)电动力学(数学基础)

(仅供参考)电动力学(数学基础)

(3.2)
也独立连续单值，则称(u1, u2, u3)为p点的曲线坐标(Curvilinear Coordinates)，{(u1, u2, u3)}为 一般曲线坐标系。
在曲线坐标系中，位置矢量为r(u1, u2, u3)，那么微分线元为：
d ≡ dr = a1du1 + a2du2 + a3du3
∇2ϕ − µ0
∂2ϕ 0 ∂t2
=
−ρ
0
(2.8)
显然在伽利略变换下是不协变的，那么现在的问题就是如果承认伽利略变换，麦克斯韦方程组 就是错误的；如果承认麦克斯韦方程组，伽利略变换就是不正确的。Einstein选择了后者，用洛 伦兹变换取代伽利略变换作为惯性系之间变换，进而建立了狭义相对论。 也许你会问：四维时空除了上面两类变换，还有别的变换么？ 幸运的是数学上可以严格证明R4只有两种微分结构。
(3.3)
如果∀r，a1, a2, a3两两垂直，则称此曲线坐标系为正交曲线坐标系(Orthogonal Curvilinear Coordinates)。
下面考虑正交曲线坐标系的微分线元和基矢：
其中
d ≡ eˆxdx + eˆydy + eˆzdz
=
eˆx
(
∂ϕ1 ∂µ1
dµ1
+
∂ϕ1 ∂µ2
dµ2
• 二阶张量T ：由十六个分量组成，不同惯性系变换下按如下方式变换的量：Tµν = aµλaνδTλδ • 类似可以知道n阶张量的定义。 注意：这里所提到的惯性系之间的变换并没有特指某种坐标变换，比如说伽利略变换或者洛伦 兹变换。
2.2 从伽利略变换到洛伦兹变换
在19世纪末，很多人都认为经典力学是完美的，这是因为经典力学的基本方程Lagrange’s Equation在伽利略变换下是协变的。 我们首先来验证这一点。为了简单，我们考虑下面的变换：

(整理)学习电动力学的数学准备.

(整理)学习电动力学的数学准备.

学习电动力学的数学准备2012-05-31 11:57:04| 分类：默认分类|举报|字号订阅知识前提1.普通物理（主要是电磁学），初等微积分，矢量代数—应很熟悉2.矢量分析，场论基础—作为本课程的第0章3.数理方法（程），特殊函数—提到时应该能理解第0章数学准备第一节矢量分析与场论基础在电动力学中应用较多的数学知识是矢量分析与场论基础。

因而,我们首先对这两方面的有关内容进行总结归纳.主要是为了应用,而不追求数学上的严格.一、矢量代数1.两个矢量的点乘、叉乘若则, 的点乘(也称标量积)(),的叉乘(也称矢量积)，为, 的夹角方向：既垂直于，又垂直于,与满足右手螺旋关系。

叉乘的不可交换性2.三个矢量的混合积=几何解释:以为棱的平行六面体的体积性质：(1)轮换不变性，在点乘号,叉乘号位置不变的情况下,把矢量按顺序轮换,其混合积不变.(2)若只把两个矢量对调,混合积反号。

(3)若矢量位置不变只交换点乘号叉乘号,混合积不变—但必须先做叉乘(用括号保证这个顺序)。

3.三个矢量的叉乘令则同理故而二者都是：把括号外的矢量与离它较远的矢量点乘，再乘以另一矢量所得的项取正号,把括号外的矢量与离它较近的矢量点乘，再乘以另一矢量所得的项取负号。

两者取和。

("远正近负，再取和")二、场的概念在许多科学技术问题中，常常要考虑某种物理量（如温度、密度、电势、力、速度）在空间的分布和变化规律。

这是需要引入场的概念。

如果在全部空间或部分空间里的每一点，都对应着某个物理量的一个确定的值，就说在这空间里确定了该物理量的一个场。

1.数学上，场是空间时间的函数时间坐标空间坐标，构成右手系。

标量场空间的每一个点对应一个标量矢量场空间的每一个点对应一个矢量张量场空间的每一个点对应一个张量2.物理上，描述某一物理客体，具有一定分布规律的物理量3.记号标量场矢量场张量场4.场中的物理量在各点处的对应值随时间变化的，这个场称为稳定场；否则称为不稳定场。

电动力学11

电动力学11
(0)
V
q
2. 电偶极子 d 物理定义：相距dL ，从- q 指到+ q 的正负电荷对，当 L 远 小于观察它的距离 R 时，就称该体系为电偶极子。 数学定义： lim qdL p(有限)
dL 0,q
称 p 为电偶极矩。 电势： ( ( (1) 0) 0) d (0)
V'
Q 3．主轴坐标系下的 选主轴的方法： a. 垂直于对称面的轴是主轴； b. 旋转对称轴是主轴； Q11 Q22 1 Q33 2
c. 垂直于两个主轴的轴是主轴。 椭球情况；旋转对称体情况；矩形块情况。
四、小区域电荷体系在外电场中的相互作用能
W互 ' (r ) (r ) dV
V'
1 W互 [ ' 0 r ( ' ) 0 rr : ( ' ) 0 ] (r )dV 2 V' 1 Q ' 0 P ( ' ) 0 Q : ( ' ) 0 6 1 Q ' 0 P E' 0 Q : (E' ) 0 6 I : ' 2 ' 0 其中利用了公式
1 1 1 1 1 x' x' x' x x' x x x 2 x x x 1 1 1 1 1 2 2 2 r ' r ' r ' : r x1 x 2 x3 r r' r r 2 r 1 1 1 1 1 (r) (r' )dV' (r' )r' dV' (r' )r' r' dV' : 40 V ' r V' r 2V' r 1 定义 Q (r' )dV' , P (r' )r' dV' , Q0 (r' )r' r' dV' 2V' V' V' 1 Q 1 1 1 1 (r) P Q0 : 40 r 40 r 40 r 得

电动力学数学全

电动力学数学全

t
) ˆj
Az (
t
)kˆ
r
dA( t ) dAx ( t ) iˆ dAy ( t ) ˆj dAz ( t ) kˆ
dt
dt
dt
dt
d
r (A
r B)
r A
r dB
r dA
r B
dt
dt dt
r d(A
r B)
r A
r dB
r dA
r B
dt
dt dt
导矢在几何上为一 切向矢量。
导矢在该处的切线 上，其方向指向 t 增 大的方向。
L,s
nˆ M r A( x , y ,z )
25
设想将闭合曲线缩小到其内某一点附近，那么以闭合曲线L为
界的面积 逐渐缩S小，
也将LA逐 d渐l 减小，一般说来，这两者
的比值有一极限值，记作
A dl
lim L
——单位面积平均环流的极限
s0 s
rr
积法旋它线度与方的闭向大合小，曲且线通的( 常n形ˆlisL状 m 的无0正Ñ 关方，l向但A与显s 然d规l依定赖)要m于构a以xn成ˆ 闭右合手曲螺线旋为法界则的，面
(ar
r b
)ar
a
(b
c)
(a
c)b
(a
b)c
14
【证明】
ar
r (b
cr
)
r b
(cr
ar )
cr
(ar
r b
)
0
双重矢量积
a
(b
c)
(a
c)b
(a
b)c
Q
(ar
cr
r )b

《电动力学》课程教学大纲

《电动力学》课程教学大纲

《电动力学》课程教学大纲课程名称：电动力学课程类别：专业必修课适用专业：物理学考核方式：考试总学时、学分：56 学时 3.5 学分其中实验学时：0 学时一、课程性质、教学目标《电动力学》是物理学专业的专业主干课。

电动力学是理论物理学的一个重要组成部分，与理论力学、统计物理学和量子力学合称为四大力学。

电动力学在电磁学的基础上系统介绍电磁场理论的基本概念和基本方法。

课程教学内容主要涉及电磁场的基本性质、运动规律以及电磁场与带电物体之间的相互作用，对完善学生的知识体系具有重要意义。

其具体的课程教学目标为：课程教学目标1：掌握电磁运动的基本规律，加深对电磁场物质性的认识。

课程教学目标2：了解狭义相对论的时空观及有关的基本理论。

课程教学目标3：获得在本课程领域内分析和处理一些基本问题的初步能力。

课程教学目标4：为学习后继课程和独立解决实际工作中的有关问题打下必要的基础。

课程教学目标与毕业要求对应的矩阵关系注：以关联度标识，课程与某个毕业要求的关联度可根据该课程对相应毕业要求的支撑强度来定性估计，H:表示关联度高；M表示关联度中；L表示关联度低。

二、课程教学要求由于本课程是理论物理课程的一部份，因而在教材内容的选取上要注意与后续课程的衔接。

在电动力学课程中，讨论了如何从经典物理过度到相对论物理，因此，在介绍这些内容时重要的是要从物理上加以阐述，以使学生真正掌握狭义相对论的物理精髓，达到培养学生辨证思维的目的。

通过介绍如何把学过的数学知识用于解决物理问题，达到提高学生分析问题、解决问题的能力。

结合课程内容，加强学生的理论推导能力三、先修课程高等数学、矢量分析与场论、数学物理方法、电磁学。

四、课程教学重、难点重点：1.明确电动力学的知识结构和逻辑体系。

2.掌握各种不同条件下电磁场的空间分布和运动变化规律。

难点：1.电动力学属理论物理范畴.其逻辑体系是以演绎推理为主线，这与普通物理电磁学有着明显的差异。

从电磁学到电动力学的学习，在思维方式上应有较大的转变，这对初学理论物理的学生是一难点。

中国科学技术大学数学系教材及参考书目录

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中国科学技术大学数学系教材及参考书目录 [转]必修课:数学基础：教材：汪芳庭《数学基础》科学出版社初等数论：教材：冯克勤《整数与多项式》高等教育出版社参考书：潘承洞、潘承彪《初等数论》北京大学出版社数学分析：教材：常庚哲《数学分析教程》（第二版）高等教育出版社参考书：方企勤《数学分析习题集》高等教育出版社许绍浦《数学分析教程》南京大学出版社华罗庚《高等数学引论》科学出版社S. M. Nikolsky，A course of mathematical analysis，Mir Publishers库朗《微积分与分析引论》科学出版社卢丁《数学分析原理》高等教育出版社斯皮瓦克《流形上的微积分》科学出版社解析几何：教材：吴光磊《解析几何简明教程》高等教育出版社参考书：丘维声《解析几何》北京大学出版社线性代数：教材：李烔生《线性代数》中国科学技术大学出版社参考书：叶明训《线性空间引论》武汉大学出版社张贤科《高等代数学》清华大学出版社许以超《线性代数与矩阵论》高等教育出版社A.I. Kostrikin，Introduction to algebra，Springer-VerlagM. Postnikov，Linear algebra and differential geometry，Mir Publishers Lang. Serge，Linear algebra，Springer-Verlag普通物理：教材：郑永令《力学》复旦大学出版社张玉民《基础物理学教程———热学》中国科学技术大学出版社胡有秋《电磁学》高等教育出版社郭光灿《光学》高等教育出版社徐克尊《近代物理学》高等教育出版社参考书：漆安慎《力学》高等教育出版社秦允豪《热学》高等教育出版社赵凯华《电磁学》高等教育出版社赵凯华《光学》高等教育出版社杨福家《原子物理学》高等教育出版社中国科大物理教研室《美国物理试题汇编》中国科学技术大学出版社常微分方程：教材：丁同仁、李承治《常微分方程教程》高等教育出版社参考书：V.I.Arnold《常微分方程》科学出版社庞特里亚金《常微分方程》高等教育出版社袁相碗《常微分方程》南京大学出版社A. Coddington，Theory of ordinary differential equations，McGraw-HillA.Φ.菲利波夫《常微分方程习题集》上海科技出版社复变函数：教材：龚昇《简明复分析》北京大学出版社参考书：H.嘉当《解析函数论初步》科学出版社L.V.Ahlfors， Complex Analysis 3rd ed ，McGraw-Hill任尧福《应用复分析》复旦大学出版社余家荣《复变函数》高等教育出版社L.沃尔科维斯《复变函数论习题集》上海科技出版社实变函数：教材：徐森林《实变函数论》中国科学技术大学出版社(近两届改为北大教材)参考书：郑维行《实变函数与泛函分析概要》（第一册）高等教育出版社周民强《实变函数论》北京大学出版社A.N. Kolmogorov，Theory of Functions and Functional Analysis，DOVERE. Hewitt，Real and Abstract Analysis，Springer V erlag鄂强《实变函数论的定理与习题》高等教育出版社（好书！不多，好象只有两到三本，很旧）近世代数：教材：冯克勤《近世代数引论》中国科学技术大学出版社参考书：熊全淹《近世代数》武汉大学出版社莫宗坚《代数学》（上）北京大学出版社（比聂灵沼《代数学引论》好的多）聂灵沼《代数学引论》高等教育出版社N.Jacobson,Basic Algebra（1）Springer-V erlagA.I. Kostrikin，Introduction to algebra，Springer-V erlag概率论：教材：苏淳《概率论》中国科学技术大学讲义（几乎是照抄杨的，我基本不看）参考书：杨振明《概率论》科学出版社王辛坤《概率论及其应用》科学出版社微分几何：教材：彭家贵《微分几何》高等教育出版社参考书：A.T.Fomenko Differential geometry and topology，Consultants Bureau陈省身《微分几何》南开大学讲义多卡模《曲线和曲面的微分几何学》高等教育出版社吴大任《微分几何讲义》高等教育出版社A?C?菲金科《微分几何习题集》北京师范大学出版社拓扑学：教材：熊金城《点集拓扑讲义（第二版）》高等教育出版社参考书：儿玉之宏《拓扑空间论》科学出版社J.L.Kelley，General Topology，Springer-V erlagM.A.Armstrong《基础拓扑学》北京大学出版社陈肇姜《点集拓扑学》南京大学出版社陈肇姜《点集拓扑学题解与反例》南京大学出版社泛函分析：教材：张恭庆《泛函分析讲义》（上册）北京大学出版社参考书：刘培德《泛函分析基础》武汉大学出版社夏道行《实变函数与泛函分析》（下册）高等教育出版社郑维行《实变函数与泛函分析概要》（下册）高等教育出版社A.N. Kolmogorov，Theory of Functions and Functional Analysis，DOVER А.Б.安托涅维奇《泛函分析习题集》高等教育出版社偏微分方程：教材：陈祖墀《偏微分方程》中国科技大学出版社参考书：齐民友《广义函数与数学物理方程》高等教育出版社姜礼尚《数学物理方程讲义》高等教育出版社Aleksei.A.Dezin ，Partial differential equations，Springer-V erlag数理统计：教材：陈希孺《数理统计学教程》上海科技出版社参考书：陈家鼎《数理统计学讲义》高等教育出版社陆璇《数理统计基础》清华大学出版社中国科学技术大学统计与金融系《数理统计习题集》中国科学技术大学讲义数值分析：教材：奚梅成《数值分析方法》中国科学技术大学出版社参考书：林成森《数值计算方法》科学出版社C语言程序设计：教材：谭浩强《C语言程序设计》清华大学出版社数据结构：教材：黄刘生《数据结构》中国科学技术大学出版社数据库：教材：黄刘生《数据结构》中国科学技术大学出版社微机原理：教材：周佩玲《16位微机原理接口技术及其应用》中国科学技术大学出版社电子电路：教材：李翰荪《电路分析》高等教育出版社模拟电子技术：教材：刘同怀《模拟电子线路》中国科学技术大学出版社数字电子技术：教材：康华光《电子技术基础（数字部分）》高等教育出版社理论力学：教材：金尚年《经典力学》复旦大学出版社参考书：Landau，Mechanics，Heinemann电动力学：教材：郭硕鸿《电动力学》（第二版）高等教育出版社参考书：Jackson，Classical Electrodynamics热力学与统计物理学：教材：汪志诚《热力学?统计物理》高等教育出版社参考书：Landau，Statistical Physics Part1，Heinemann电动力学：教材：张永德《量子力学讲义》中国科学技术大学讲义参考书：Landau，Quantum Mechanics (Non-relatisticTheory)，Heinemann最近几年,国内引进了很多不错的书,事实上,这个书单是需要修正了,首先是机械工业出版社和高等教育出版社引进了一批国外的优秀数学原版教材,其次是高等教育出版社开始翻译俄罗斯的优秀数学教材.数学分析:到夏天估计高等教育出版社翻译的V.A.Zorich的数学分析大概会出版了,所有的数学专业的新生,我都郑重的推荐他们买一本V.A.Zorich的数学分析,看看目前国际上先进的教材是怎么样的,免得坐井观天.Courant的微积分与分析引论应该说是西方最好的一套微积分教材了,里面有一堆乱七八糟的应用,而且极其简洁,读读也是颇有好处的.菲赫金哥尔兹的微积分学教程,好处是乱七八糟的例题特别多,所以也值得一看了,不过毕竟是很传统的教材了,所以如果时间不够,就算了吧.很多人会向学数学分析的学生推荐吉米多维奇,不过我不主张大家看,因为里面计算题太多,并不适合数学分析教学.除非将来想做应用的,那倒可以抽一些题目练习练习计算.解析几何:这门课,其实国内一直不重视,其实也是相当基本的课程了,我想国内可以找到的书有两本值得一提,一是Postnikov的几何讲义第一卷:解析几何,二是狄隆涅那套两卷本的解析几何,这门课关键是要掌握一切几何对象,比如说乱七八糟的二次曲线曲面之类.科大自己的书特点是简洁,不过不够详细,我们当时一天多的时间就能把上面的题目搞定,至于丘维声的书,如果找不到Postnikov的几何讲义第一卷:解析几何,也是不错的选择.线性代数:其它国内学校喜欢管这门课叫高等代数,不过国际上高等代数一般等于线性代数加初等抽象代数.线性代数,国内可以找到的书不多,图书馆里应该有Greub的线性代数,是GTM里面的,这本书是相当现代了,很容易过渡到多重线性代数,此外,估计夏天的时候,A.I. Kostrikin的Introduction to algebra第三版的中文版应该出来了,里面第一二卷都是讲线性代数的,这是一套相当好的书,A.I. Kostrikin是李群专家,俄罗斯科学院院士,以建立了模李代数理论而著称.不过实际上有一本代数书更好,可惜国内没有引进,就是E.B.Vinberg的A Course in Algebra.叶明训的《线性空间引论》其实是从一本法国的高等数学教科书的线性代数部分改编过来的,他的讲法很有趣,值得一看.许以超的《线性代数与矩阵论》有一个好处,就是课本上的题目做不出的时候,可以查这本书,因为科大的线性代数其实是从许先生的《代数学引论》改编过来的,这是科大的老教材,而《线性代数与矩阵论》是许先生后来自己写的一个改编本.抽象代数:最值得推荐的参考书就是机械工业出版社影印的M.Artin的Algebra了,这本书的好处是讲了很多课本上通常没有,又很重要的东西,如典型群,李群等等,A.I. Kostrikin的Introduction to algebra也是一本类似的书,这也算是当前代数学教材发展的潮流.熊全淹《近世代数》基本上是范德瓦尔登第一卷的简本,不过好处在于书里面的参考资料里列了一堆小文章,找来看看是蛮不错的.N.Jacobson的Basic Algebra的好处是面面俱到,可以当辞典用,而且题目不少,对于非代数专业的本科生来说,里面的东西绝对够用了.数学分析再讲一本书:Loomis的高等微积分,这本书以前是哈佛的教材,可惜太难,后来就没有人用了,不可否认,作为教材,这本书有点鸡肋的味道,按照美国的高微初微模式,读完一般的初等微积分教材肯定读不懂这本书,起码你得看过Courant的微积分与分析引论,但是如果读了Courant的微积分与分析引论,正常的想法是继续去读实变函数泛函分析之类的高级课程,谁也不会吃饱了没事干,再来学一年数学分析,不过呢,作为一本参考书这本书还是蛮好的,里面的一些讲法,一般的教材里很不容易看到.基本上这本书用了相当多的现代分析的观点来处理微积分,和V.A.Zorich的数学分析颇有异曲同工之妙,当然V.A.Zorich的数学分析比这本可接受性要好得多.。

电动力学数学基础

电动力学数学基础
r 每一点的物理量，均可用矢量 A(x, y,z) 来表示。
r
rrr
A ( x , y , z ) A x ( x , y , z ) i A y ( x , y , z ) j A z ( x , y , z ) k
注：每个分量均是(x,y,z)的函数
1) 矢量场的梯度是张量
rr
2) 通量：矢量A 沿有向曲面S 的面积分
Az y
Ay z
v i
Ax z
Az x
v j
Ay x
Ax y
r k
v
v
r
( y Az z Ay )i ( z Ax x Az ) j ( x Ay y Ax )k
记忆方法：轮换法、爱因斯坦约定*
i v v jk r e r x e r y e r z ( y A z zA y )e r x ( zA x x A z)e r y ( x A y y A x )e r z
张量：张量在并矢基 ev1ev1 ev1ev2 ev1ev3
ev2 ev3
ev1 ev1
ev2 ev2 ev3 ev2
ev2 ev3
ev3 ev3
下的9个分量，有一个 A 1 1 A 1 2 A 1 3
矩阵A与之对应，记作:
A
2
1
A 22
A
2
3
A 3 1 A 3 2 A 3 3
增加的方向；梯度的模等于在此法线方向的方向导数。
nˆ
nˆ 是 = C1的
p
等量面上p点法
线方向的单位
等量面 等量面 矢量，指向
C 1 C 2 增加的方向。
C1 < C2
梯度是在P点的最大方向导数，也即在P点梯度给出， 在P点沿哪个方向增长最快，及增长最快的速率。
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ˆ + ez
∂vy ∂vx − ∂x ∂y
x2 + y 2 + z 2 ∂ x2 + y 2 + z 2 ∂ ˆ ˆ ex + ey + ∇r = ∂x ∂y x y z r ˆ ˆ ˆ ˆ ∇r = ex + ey + ez = = = er r r r r ∂
x2 + y 2 + z 2 ˆ ez ∂z
4
Let there be light 4. (cross product, vector product)
ˆ A × B = |A||B| sin θ n A × B = −B × A A × (B + C) = A × B + A × C A×A=0
ˆ ˆ ˆ A = Axex + Ay ey + Az ez e e e A + B = (Ax + Bx)ˆx + (Ay + By )ˆy + (Az + Bz )ˆz A · B = AxBx + Ay By + Az Bz A= A·A= A2 + A2 + A2 x y z
13
Let there be light r ˆ ∇r = = er , r df ∇f (u) = ∇u du d A(u) ∇ × A(u) = (∇u) × du
d A(u) , ∇ · A(u) = (∇u) · du ∇r2 = 2r∇r = 2r 1 1 1 r ˆ ∇ = − 2 ∇r = − 2 er = − 3 r r r r ∂ ∂ ∂ ˆ e e ∇ · r = ex +ˆy +ˆz ∂x ∂y ∂z ∇×r = ˆ ˆ ˆ ex ey ez
C(f g) = g Cf = f Cg ∇ ∇
A f
∇f ∇ALeabharlann C · (f A) = A · (Cf ) = f (C · A)
∇ ∇ ∇ ∇
16
Let there be light
∇ × (f A) = ∇f × (f A) + ∇A × (f A)
∇ 1. ∇ f A 2. ∇ ∇
A f
∇f ∇A
9
Let there be light
§ 1.2
∂T ∂T ∂T ˆ ˆ ˆ ∇T = ex + ey + ez ∂x ∂y ∂z ∂T ∂T ∂T dx + dy + dz dT = ∂x ∂y ∂z = (∇ T ) · (d l) = |∇T | |d l| cos θ ∇T T
T
10
Let there be light
Let there be light
• § 1.1 • § 1.2 • § 1.3 • § 1.4 • § 1.5 • § 1.6 Dirac delta • § 1.7
2
Let there be light
§ 1.1
v m 1. commutative A+B =B+A associative (A + B) + C = A + (B + C) r q
2
∇2 f
∂ 2f ∂ 2f ∂ 2f = 2+ 2+ 2 ∂x ∂y ∂z
Laplacian
∂2 ∂2 ∂2 ˆ ˆ ˆ ∇2 A = + 2 + 2 (Axex + Ay ey + Az ez ) 2 ∂x ∂y ∂z ∂ 2Ax ∂ 2Ax ∂ 2Ax ∂ 2Ay ∂ 2Ay ∂ 2Ay ˆ ˆ = ex + ey + + + + 2 2 2 2 2 2 ∂x ∂y ∂z ∂x ∂y ∂z ∂ 2Az ∂ 2Az ∂ 2Az ˆ ez + + + Laplacian 2 2 2 ∂x ∂y ∂z ∇2A = (∇2Ax)ˆx + (∇2Ay )ˆy + (∇2Az )ˆz e e e
20
Let there be light
∇(A · B) = ∇A(A · B) + ∇B (A · B)
∇ A 1. ∇ B 2. ∇ B A ∇A ∇B
= B × (∇A × A) + (B · ∇A)A + A × (∇B × B) + (A · ∇B )B
∇
B × (C × A) = C(A · B) − (B · C)A ⇓ C(A · B) = B × (C × A) + (B · C)A C(A · B) = A × (C × B) + (A · C)B
8
A × (B × C) + B × (C × A) + C × (A × B) = 0
Let there be light
ˆ ˆ r = xˆx + y ey + z ez e √ r = |r| = r · r = x2 + y 2 + z 2 ˆ er = r/r
ˆ ˆ ˆ dl ≡ dr = dx ex + dy ey + dz ez R ≡ r − r = (x − x )ˆx + (y − y )ˆy + (z − z )ˆz e e e r field point source point r R = |R|= (x − x )2 + (y − y )2 + (z − z )2
=⇒ =⇒ =⇒
∇T ∇·v ∇×v
(gradient) (divergence) (curl)
∂ ∂ ∂ ˆ e e ∇ · v = ex +ˆy +ˆz ∂x ∂y ∂z ∂vx ∂vy ∂vz + + = ∂x ∂y ∂z
ˆ ˆ ˆ · (vxex + vy ey + vz ez )
12
Let there be light
∂ ∂x ∂ ∂y ∂ ∂z
ˆ ˆ · (xˆx + y ey + z ez ) = 3 e
=0
x
y
z
14
Let there be light
∇
∇ (f + g) = ∇ f + ∇ g ∇ · (A + B) = ∇ · A + ∇ · B ∇ × (A + B) = ∇ × A + ∇ × B k ∇ (kf ) = k ∇ f ∇ · (k A) = k ∇ · A ∇ × (k A) = k ∇ × A
∇ A 1. ∇ B 2. ∇ B A ∇A ∇B
= B · (∇A × A) − A · (∇B × B)
∇
C · (A × B) = B · (C × A) = −A · (C × B)
∇ ∇ ∇ ∇
∇ · (A × B) = B · (∇ × A) − A · (∇ × B)
18
Let there be light
∂ ∂ ∂ ˆ e e ∇ × v = ex +ˆy +ˆz ∂x ∂y ∂z = ˆ ˆ ˆ ex ey ez vx vy vz ˆ = ex
∂ ∂x ∂ ∂y ∂ ∂z
ˆ ˆ ˆ × (vxex + vy ey + vz ez )
∂vz ∂vy − ∂y ∂z
ˆ + ey
∂vx ∂vz − ∂z ∂x
∇ × (A × B) = ∇A × (A × B) + ∇B × (A × B)
∇ A 1. ∇ B 2. ∇ B A ∇A ∇B
= (B · ∇A)A − B(∇A · A) + A(∇B · B) − (A · ∇B )B
∇
C × (A × B) = (B · C)A − B(C · A) = A(C · B) − (A · C)B
6
Let there be light Levi-Civita
1. 2. 3. εijk εmnk = δimδjn − δinδjm =
k
ˆ ˆ ei × ej =
k
ˆ εijk ek
εijk = −εikj δim δin δjm δjn
4. εijk εmjk
j, k
n=j = δimδjj − δij δmj = 3δim − δim = 2δim m=i εijk εijk
∇
∂T ∂T ∂ ∂ ∂ ∂T ˆ ˆ ˆ ˆ ex + ey + ez = ex +ˆy +ˆz e e T ∇T = ∂x ∂y ∂z ∂x ∂y ∂z del ∇ ∂ ∂ ∂ ˆ ∇ = ex +ˆy +ˆz e e ∂x ∂y ∂z
11
Let there be light
Aa A·B A×B
i, j , k
7
5.
= 2δii = 6
Let there be light
1.
(scalar triple product
)
A·(B×C) = B·(C×A) = C·(A×B) A x Ay Az Bx By Bz Cx Cy Cz
A · (B × C) =
2.
(vector triple product) A × (B × C) = (A · C)B − (A · B)C A × (B × C) = (A × B) × C not associative
15
Let there be light f g, A · B, f A, A × B
∇(f g) = ∇f (f g) + ∇g (f g)