高中数学第三章概率33模拟方法 概率的应用自主练习北师大版必修303080336

高中数学 第三章 概率 3.3 模拟方法—概率的应用学案 北师大版必修31高中数学 第三章 概率 3.3 模拟方法—概率的应用学案 北师大版必修3编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（高中数学 第三章 概率 3.3 模拟方法—概率的应用学案 北师大版必修3）的内容能够给您的工作和学习带来便利。

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3模拟方法——概率的应用学习目标课标描述：初步体会几何概型的意义。

学习目标分解：1、学生通过试验、交流，结合对实例的分析，体会学习几何概型的必要性；2、学生通过讨论、类比,能说出古典概型和几何概型的区别和联系；3、学生通过体验，能总结几何概型的意义，并会利用几何概型概率公式求简单问题的概率。

学习重点:几何概型的意义。

学习难点：几何概型中随机试验结果个数的无限性理解.学习方法:试验、交流、归纳等方法的综合应用.学习过程:Ⅰ、体验与思考情境一、甲、乙二人玩转盘游戏。

如图，规定当指针指向阴影区域时，甲获胜，否则乙获胜。

分析：1、所有可能的试验结果与甲获胜包含的试验结果;2、能否用古典概型公式求甲获胜的概率，为什么？情境二、长为3米的绳子，从中间随机剪开，则得到的每段绳长都不小于1米的概率是多少?归纳：以上两个问题的共同特点是什么？如何求以上两个随机事件发生的概率？Ⅱ总结阅读课本P135~P136，回答：什么是几何概型？其概率公式是什么？举例说明：举一个几何概型的实例.(图2）(图3）（图1)2比较并探究：古典概型与几何概型的区别与联系是什么？Ⅲ应用阅读课本P136例1。

学习资料第三章概率3模拟方法-—概率的应用[课时作业][A组基础巩固］1．已知地铁列车每10 min一班，在车站停1 min,则乘客到达站台立即乘上车的概率是（）A.错误!B.错误!C.错误!D。

错误!答案：A2．一张方桌的图案如图所示，将一颗豆子随机扔到桌面上，假设豆子不落在线上，则豆子落在红色区域和落在黄色或绿色区域的概率分别是()A。

错误!，错误!B。

错误!，错误!C。

错误!，错误!D。

错误!,错误!答案：A3．在区间［－π，π］内随机取两个实数,分别记为a，b，则使得函数f（x)＝x2＋2ax－b2＋π有零点的概率为（）A.错误!B.错误!C.错误!D。

错误!解析:由题意,知点(a，b)在边长为2π的正方形边上及内部．要使函数f（x)＝x2＋2ax－b2＋π有零点，需满足4a2＋4b2－4π≥0,即a2＋b2≥π，a2＋b2≥π表示以原点为圆心，错误!为半径的圆及其外部,如图中阴影部分所示，所以其面积为4π2－π2＝3π2，所以函数f(x）有零点的概率为错误!＝错误!.答案：B4．在长为12 cm的线段AB上任取一点C,现作一矩形，邻边长分别等于线段AC，CB的长，则该矩形的面积大于20 cm2的概率为（)A。

错误!B。

错误!C.错误!D。

错误!解析:设AC＝x cm,则BC＝(12－x)cm,若矩形的面积大于20 cm2,则x（12－x)>20,解得2〈x 〈10，故所求概率P＝错误!＝错误!.答案：C5．广告法对插播广告时间有规定，某人对某台的电视节目作了长期的统计后得出结论，他任意时间打开电视机看该台节目，看不到广告的概率约为错误!，那么该台每小时约有________分钟广告．解析：这是一个与时间长度有关的几何概型，这个人看不到广告的概率约为错误!，则看到广告的概率约为错误!，故60×错误!＝6。

答案:66．设不等式组错误!表示的平面区域为D，在区域D内随机取一个点，则此点到坐标原点的距离大于2的概率是________．解析:平面区域D的面积为4，到原点距离大于2的点位于图中阴影部分，其面积为4－π，所以所求概率为错误!.答案：错误!7．如图所示，在平面直角坐标系内，任作一条射线OA，则射线OA落在阴影内的概率为________．解析:以O为起点的射线OA等可能地落在坐标系中，区域角度为360°,而射线OA落在阴影内的区域角度为60°，所以射线OA落在阴影内的概率是错误!＝错误!.答案:错误!8．假设你在如图所示的图形上随机撒一粒黄豆，则它落在阴影部分（等腰三角形）的概率是________．解析：设圆的半径为R，则圆的面积为πR2，等腰三角形的面积为错误!×2R×R＝R2，∴所求概率为P＝错误!＝错误!。

3.3 模拟方法——概率的应用[航向标·学习目标]1．了解模拟方法估计概率的实际应用，体会几何概型的意义．2．会用模拟方法近似计算不规则图形的面积，能够利用几何中的方法计算概率问题，比如利用面积比、长度比、角度比等．[读教材·自主学习]1．如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的□01长度(面积或体积)成□02正比，而与该事件的□03位置和形状无关，则称这样的概率模型为几何概型．2．在几何概型中，事件A的概率的计算公式为□04P(A)＝构成事件A的区域长度(面积或体积)试验的全部结果所构成的区域长度(面积或体积).3．几何概型的两个特征：(1)□05无限性；(2)□06等可能性．[看名师·疑难剖析]1．几何概型的特点对于一个随机试验，我们将每个基本事件理解为从某个特定的几何区域内随机地取一点，该区域中每一点被取到的机会都一样；而一个随机事件的发生则理解为恰好取到上述区域内的某个指定区域中的点，这个区域可以是线段、平面图形、立体图形等．用这种方法处理随机试验，称为几何概型．它具有两个特点：(1)无限性，即在一次试验中，可能出现的结果(基本事件)有无限多个；(2)等可能性，即每个基本事件出现的可能性是相等的．2．几何概型概率求解步骤(1)利用几何概型的两个特征，判断试验属于几何概型；(2)计算试验的全部结果所构成的区域长度(面积或体积)μΩ和构成事件A的区域长度(面积或体积)μA；(3)套用公式P(A)＝μAμΩ计算结果．3．古典概型与几何概型的区别古典概型与几何概型中基本事件发生的可能性都是相等的，但古典概型要求基本事件有有限个，几何概型要求基本事件有无限个．考点一几何概型的概念例1 下面关于几何概型的说法错误的是( )A．几何概型也是古典概型的一种B．几何概型中事件发生的概率与位置、形状无关C．几何概型在一次试验中可能出现的结果有无限个D．几何概型中每个结果的发生具有等可能性[解析] 几何概型基本事件的个数是无限的，而古典概型要求基本事件有有限个，故几何概型不是古典概型，故选A.[答案] A类题通法解决此类问题，必须掌握几何概型的概念及特点，以及与古典概型的区别.[变式训练1]下列概率模型中，是几何概型的有( )①从区间[－10,10]内任取出一个数，求取到1的概率；②从区间[－10,10]内任取出一个数，求取到绝对值不大于1的数的概率；③从区间[－10,10]内任取出一个整数，求取到大于1而小于2的数的概率；④向一个边长为4 cm的正方形ABCD内投一点P，求点P离中心不超过1 cm的概率．( )A．1个B．2个C．3个D．4个答案 B解析第1个概率模型不是几何概型，虽然区间[－10,10]内的数有无限多个，但取到“1”只是一个数字，不能构成区域长度．第2个概率模型是几何概型，因为区间[－10，10]和[－1,1]上有无限多个数可取(满足无限性)，且在这两个区间内每个数被取到的机会是相等的(满足等可能性)．第3个概率模型不是几何概型，因为区间[－10,10]上的整数只有21个(是有限的)，不满足无限性的特征．第4个概率模型是几何概型，因为在边长为4 cm的正方形和半径为1 cm的圆内均有无数多个点，且这两个区域内任何一个点被投到的机会相等，故满足无限性和等可能性．考点二与长度有关的几何概型问题例2 在半径为1的圆上随机地取两点，连成一条弦，则其长度超过圆内接等边三角形的边长的概率是多少？[分析] 在圆上随机取两点，可以看成先取定一点后，再随机地取另一点，如右图，可取定B点，当另一点E取在劣弧CD上时，|BE|>|BC|.[解] 记事件A＝{弦长超过圆内接等边三角形的边长}，取圆内接等边△BCD的顶点B为弦的一个端点，当另一点在劣弧CD 上时，|BE |>|BC |，而劣弧CD 的弧长是圆周长的13，所以由几何概型概率公式得P (A )＝13.所以弦长超过圆内接等边三角形的边长的概率是13.类题通法解决几何概率问题时，必须找准观察角度，明确随机选取的含义，判断好基本事件的等可能性.[变式训练2] 取一根长为3 m 的绳子，拉直后在任意位置剪断，那么剪得两段的长度都不小于1 m 的概率有多大？解 如下图所示，记A ＝{剪得两段绳子长都不小于1 m}，把绳子三等分，于是当剪断位置处在中间一段上时，事件A 发生．全部试验结果构成的区域长度是绳子的长度3 m ，事件A 包含的结果构成的区域长度是中间一段的长度为3×13＝1(m)，故事件A 发生的概率P (A )＝13.考点三 与面积有关的几何概型问题例3 在1万平方千米的海域中有40平方千米的大陆架贮藏石油，假设在这个海域里随意选定一点钻探，则钻到油层面的概率是多少？[分析] 石油在1万平方千米的海域大陆架中的分布可以看作是随机的，而40平方千米可看作事件的区域面积，由几何概型公式可求得概率．[解] 记C ＝{钻到油层面}，则在这1万平方千米的海域中任意一点钻探的结果有无限个，属于几何概型． 事件C 构成的区域面积是40平方千米，全部试验结果构成的区域面积是1万平方千米，则P (C )＝贮藏石油的大陆架面积所有海域大陆架的面积＝4010000＝0.004.类题通法如果试验的结果所构成的区域的几何度量能转化为平面图形的面积，这种概率称为面积型的几何概型，则可按下列公式来计算其概率：P (A )＝构成事件A 的面积全部试验结果构成的面积.[变式训练3] 甲、乙两人约定晚6时到7时之间在某处会面，并约定先到者应等候另一个人半小时，过时即可离去．求两人能会面的概率．解如图，以x 轴和y 轴分别表示甲、乙两人到达约定地点的时间，则两人能够会面当且仅当|x －y |≤30.在平面直角坐标系xOy 下，(x ，y )所有可能结果是边长为60的正方形，而事件A “两人能够会面”的可能结果由图中的阴影部分表示，则由几何概率公式得：P (A )＝S A S ＝602－302602＝1－302602＝1－14＝34. 答：两人能会面的概率是34.考点四 与体积有关的几何概型问题例4 有一杯2升的水，其中含有一个细菌，用一个小杯从这杯水中取出0.1升水，求小杯水中含有这个细菌的概率．[分析] 这个细菌所在的位置有无限个，属于几何概率．[解] 判断这个细菌所在的位置看成一次试验，设小水杯中含有这个细菌为事件A ， 则事件A 构成的区域体积是0.1升，全部试验结果构成的区域体积是2升， 所以P (A )＝0.12＝0.05.类题通法如果试验的结果所构成的区域的几何度量能转化为几何体的体积，这种概率称为体积型的几何概型，则可按下列公式来计算其概率：P (A )＝构成事件A 的区域体积全部试验结果构成的区域体积.[变式训练4] 已知棱长为2的正方体内切球O ，若在正方体内任取一点，则这一点不在球内的概率为多少？解 球的直径就是正方体的棱长2. ∴球O 的体积V 球＝4π3，正方体的体积为V ＝23＝8.由于在正方体内任取一点时，点的位置等可能地在正方体内每个位置上，由几何概型公式，这点不在球O 内(事件A )的概率为P (A )＝V －V 球V ＝8－4π38＝1－π6，∴所求概率为1－π6.[例] (12分)在等腰直角三角形ABC 中，过直角顶点C 在∠ACB 内部作一条射线CM ，与线段AB 交于点M ，求AM <AC 的概率．(一)精妙思路点拨(二)分层规范细解AM 的长度决定于∠ACM 扫过的. 7分设事件“在∠ACB 内部作一条射线CM ，与线段AB 交于点M ，求AM <AC ”为A ，则所有可能结果的区域角度为90°，事件A 的区域角度为67.5°，所以P (A )＝67.590＝34. 12分(三)来自一线的报告通过阅卷后分析，对解答本题的失分警示和解题启示总结如下：(注：此处的①②见分层规范细解)续表(四)类题练笔掌握∠AOB ＝60°，OA ＝2，OB ＝5，在线段OB 上任取一点C ， 试求：(1)△AOC 为钝角三角形的概率； (2)△AOC 为锐角三角形的概率． 解 如图，由平面几何知识：当AD ⊥OB 时，OD ＝1； 当OA ⊥AE 时，OE ＝4，BE ＝1.(1)当且仅当点C 在线段OD 或BE 上时，△AOC 为钝角三角形， 记“△AOC 为钝角三角形”为事件M ，则P (M )＝OD ＋EB OB ＝1＋15＝0.4， 即△AOC 为钝角三角形的概率为0.4.(2)当且仅当点C 在线段DE 上时，△AOC 为锐角三角形，记“△AOC 为锐角三角形”为事件N ，则P (N )＝DE OB ＝35＝0.6，则△AOC 为锐角三角形的概率为0.6. (五)解题设问这个概率问题是几何概型还是古典概型？________. 答案 几何概型1．如右图所示的方砖上随机投掷一粒豆子，则该豆子落在阴影部分的概率是( )A.18B.79C.29D.716答案 C解析 符合面积型几何概型问题．2．在数轴上的区间[0,3]上任取一点，则此点坐标大于1的概率为( ) A.34 B.23 C.12 D.13答案 B解析 符合长度型几何概型问题．3．一个红绿灯路口，红灯亮的时间为30秒，黄灯亮的时间为5秒，绿灯亮的时间为45秒．当你到达路口时，恰好看到黄灯亮的概率是( )A.112B.38C.116D.56答案 C解析 到达路口看到红灯或黄灯或绿灯是一次试验，则该试验的结果有无限个，属于几何概型．设看到黄灯亮为事件A ，构成事件A 的“长度”等于5，试验的全部结果构成的区域长度是30＋5＋45＝80，所以P (A )＝580＝116.4．欧阳修《卖油翁》中写到：(翁)乃取一葫芦置于地，以钱覆其口，徐以杓酌油沥之，自钱孔入，而钱不湿．卖油翁的技巧让人叹为观止．若铜钱是直径为3 cm 的圆，中间有边长为1 cm 的正方形孔，若你随机向铜钱上滴一滴油，则油正好落入孔中的概率是________(油滴的大小忽略不计)．答案49π解析 因为S 正方形＝1 cm 2，S 圆＝π⎝ ⎛⎭⎪⎫322＝9π4(cm 2)，所以P ＝S 正方形S 圆＝49π.5．在1升高产小麦种子中混入了一粒带麦锈病的种子，从中随机取出10毫升，则取出的种子中含有麦锈病的种子的概率是多少？解 记D ＝{取出10毫升含有麦锈病的种子}， 则P (D )＝取出的种子体积所有种子的体积＝101000＝0.01.。

[核心必知]1．模拟方法在大量重复试验的前提下，可以用随机事件发生的频率来估计其发生的概率，但确定随机事件发生的频率常常需要人工做大量的重复试验，既费时又费力，并且有时很难实现．因此，我们可以借助于模拟方法来估计某些随机事件发生的概率．2．几何概型(1)定义：向平面上有限区域(集合)G 内随机地投掷点M ，若点M 落在子区域G 1G 的概率与G 1的面积成正比，而与G 的形状、位置无关，即P (点M 落在G 1)＝G 1的面积G 的面积，则称这种模型为几何概型． (2)说明：几何概型中的G 也可以是空间中或直线上的有限区域，相应的概率是体积之比或长度之比．[问题思考]1．几何概型的概率计算与构成事件的区域形状有关吗？提示：几何概型的概率只与它的长度(面积或体积)有关，而与构成事件的区域形状无关．2．在几何概型中，如果A 为随机事件，若P (A )＝0，则A 一定为不可能事件；若P (A )＝1，则A 一定为必然事件，这种说法正确吗？提示：这种说法不正确．如果随机事件所在的区域是一个单点，由于单点的长度、面积、体积均为0，则它出现的概率为0，显然它不是不可能事件；如果一个随机事件所在的区域是全部区域扣除一个单点，则它出现的概率为1，但它不是必然事件．讲一讲1.取一根长为3 m 的绳子，拉直后在任意位置剪断，那么剪得两段的长度都不小于1 m 的概率有多大？[尝试解答] 如图所示，记事件A ＝{剪得两段绳子长都不小于1 m}，把绳子三等分，于是当剪断位置处在中间一段上时，事件A 发生．全部试验结果构成的区域长度是绳子的长度3 m ，事件A 包含的结果构成的区域长度是中间一段的长度为3×13＝1(m)，故事件A 发生的概率P (A )＝13.在求解与长度有关的几何概型时，首先找到几何区域D ，这时区域D 可能是一条线段或几条线段或曲线段，然后找到事件A 发生对应的区域d ，在找d 的过程中，确定边界点是问题的关键，但边界点是否取到却不影响事件A 的概率．练一练1．在区间[－1,2]上随机取一个数x ，则|x |≤1的概率为________．解析：由|x |≤1得，－1≤x ≤1，故易知所求概率为1－(－1)2－(－1)＝23. 答案：23讲一讲2.假设你家订了一份报纸，送报人可能在早上6：30～7：30把报纸送到你家，你父亲离开家去工作的时间是7：00～8：00，问你父亲在离开家前能拿到报纸(称为事件A )的概率是多少？[尝试解答] 如图，送报人到达的时间是6：30～7：30的任一时刻，父亲离开家去工作的时间是7：00～8：00的任一时刻，如果在直角坐标系内以x 轴表示报纸送到的时间，y 轴表示父亲离开家的时间，因为报纸送到的时间和父亲离开家的时间都是随机的，所以随机试验的所有结果(x ，y )是图中所示正方形中等可能的任意一点．事件A (父亲离开家前能拿到报纸)发生须x ≤y ，即正方形内阴影部分，事件A 发生的概率只与阴影部分的面积大小有关，这符合几何概型的条件．μA ＝12－12×12×12＝78，μΩ＝1，所以P (A )＝μA μΩ＝78.在研究射击、射箭、投中、射门等实际问题时，常借助于区域的面积来计算概率的值．此时，只需分清各自区域特征，分别计算其面积，以公式P (A )＝构成事件A 的区域面积试验的全部结果构成的区域面积计算事件的概率即可．练一练2．在平面直角坐标系xOy 中，设D 是横坐标与纵坐标的绝对值均不大于2的点构成的区域，E 是到原点的距离不大于1的点构成的区域，向D 中随机投一点，则落入E 中的概率为________．解析：如图所示，区域D 表示边长为4的正方形的内部(含边界)，区域E 表示单位圆及其内部，因此P ＝π×124×4＝π16.答案：π16讲一讲3.有一杯2升的水，其中含有一个细菌，用一个小杯从这杯水中取出0.1升水，求小杯水中含有这个细菌的概率．[尝试解答] 把判断这个细菌所在的位置看成一次试验，设所取的0.1升水中含有这个细菌为事件A ，则事件A 构成的区域体积是0.1升，全部试验结果构成的区域体积是2升，所以P (A )＝0.12＝0.05.如果试验的结果所成的区域可用体积来度量，我们要结合问题的背景，选择好观察角度，准确找出基本事件所占的总体积及事件A 所分布的体积．其概率的计算P (A )＝构成事件A 的区域体积试验的全部结果构成的区域体积. 练一练3．在棱长为3的正方体内任意取一个点，求这个点到各面的距离均大于1的概率．解：记事件A 为“点到各面的距离均大于1”，则满足题意的点构成的区域为：位于该正方体中心的一个棱长为1的小正方体的内部．由几何概型的计算公式，可得满足题意的概率为P (A )＝1333＝127.讲一讲4.设A 为圆周上一定点，在圆周上等可能的任取一点与A 连接，求弦长超过半径的2倍的概率．[尝试解答] 如图所示，在⊙O 上有一定点A ，任取一点B 与A 连结，则弦长超过半径的2倍，即为∠AOB 的度数大于90°，而小于270°.记“弦长超过半径的2倍”为事件C ，则C 表示的范围是∠AOB ∈(π2，3π2)． 则由几何概型概率的公式，得P (C )＝270°－90°360°＝12.如果试验的结果所构成的区域的几何度量可用角度来表示，则其概率的计算公式为P (A )＝事件A 构成的区域角度试验的全部结果构成的区域角度. 练一练4．在转盘游戏中，假设转盘有三种颜色：红、绿、蓝．当转盘停止时，如果指针指向红色为赢，绿色为平，蓝色为输．若每种颜色被平均分成四块，不同颜色相间排列，要使赢的概率为15，输的概率为13，求每个绿色扇形的圆心角为多少度(假设转盘停止位置都是等可能的)．解：由于转盘停止旋转时，指针指向每个位置都是等可能的，并且位置是无限多的，所以符合几何概型的特点，问题转化为求圆盘角度或周期问题．因为赢的概率为15，故红色所占角度为周角的15，即P 1＝360°5＝72°.同理，蓝色占周角的13，即P 2＝360°3＝120°， 所以绿色的角度P 3＝360°－120°－72°＝168°.再将P 3分成四等份，得P 3÷4＝168°÷4＝42°，即每个绿色扇形的圆心角为42°.【解题高手】【易错题】如图，在等腰直角三角形ABC 中，过直角顶点C 在∠ACB 内部作一条射线CM ，与线段AB 交于点M ，求AM <AC 的概率．[错解] 在AB 上截取线段AC ′，使AC ′＝AC .则P (AM <AC )＝P (AM <AC ′)＝AC ′AB ＝22. [错因] 因为该题所涉及的基本事件是与角度有关的，而不是在线段AB 上取点，即该题是与角度有关的几何概型，而不是与长度有关的几何概型．[正解] 在AB 上取AC ′＝AC ，则∠ACC ′＝180°－45°2＝67.5°. ∴P (AM <AC )＝67.5°90°＝34.1．在500 mL 的水中有一个草履虫，现从中随机取出2 mL 水样放到显微镜下观察，则发现草履虫的概率为( )A ．0B ．0.002C ．0.004D ．1解析：选C 由几何概型公式得：P ＝2500＝0.004. 2．(辽宁高考)在长为12 cm 的线段AB 上任取一点C .现作一矩形，邻边长分别等于线段AC ，CB 的长，则该矩形面积大于20 cm 2的概率为( ) A.16 B.13 C.23 D.45解析：选C 设|AC |＝x cm,0<x <12，则|CB |＝(12－x ) cm ，要使矩形面积大于20 cm 2，只要x (12－x )>20，则x 2－12x ＋20<0,2<x <10，所以所求概率为P ＝10－212＝23. 3．(湖南高考)已知事件“在矩形ABCD 的边CD 上随机取一点P ，使△APB 的最大边是AB ”发生的概率为12，则AD AB ＝( )。

第三章 概率 单元测试题一、选择题1．同时向上抛100个铜板，落地时100个铜板朝上的面都相同，你认为对这100个铜板下面情况更可能正确的是（ ）Ａ．这100个铜板两面是一样的 Ｂ．这100个铜板两面是不同的 Ｃ．这100个铜板中有50个两面是一样的，另外50个两面是不相同的 Ｄ．这100个铜板中有20个两面是一样的，另外80个两面是不相同的2．口袋内装有一些大小相同的红球、白球和黒球，从中摸出1个球，摸出红球的概率是0.42，摸出白球的概率是0.28，那么摸出黒球的概率是（ ） A ．0.42 B ．0.28 C ．0.3 D ．0.73．从装有2个红球和2个黒球的口袋内任取2个球，那么互斥而不对立的两个事件是（ ） A ．至少有一个黒球与都是黒球 B ．至少有一个黒球与都是黒球 C ．至少有一个黒球与至少有1个红球 D ．恰有1个黒球与恰有2个黒球4．在40根纤维中，有12根的长度超过30mm ，从中任取一根，取到长度超过30mm 的纤维的概率是（ ） A ．4030 B ．4012 C ．3012D ．以上都不对 5．先后抛掷骰子三次，则至少一次正面朝上的概率是（ ） A ．81 B ． 83 C ． 85 D ． 87 6．设,A B 为两个事件，且()3.0=A P ，则当（ ）时一定有()7.0=B P A ．A 与B 互斥 B ．A 与B 对立 Ｃ．B A ⊆ Ｄ． A 不包含B7. (2011年高考安徽卷文科9) 从正六边形的6个顶点中随机选择4个顶点，则以它们作为顶点的四边形是矩形的概率等于 （ ） （A ）110(B) 18 (C) 16 (D) 158. （2011年高考海南卷文科6)有3个兴趣小组,甲、乙两位同学各自参加其中一个小组,每位同学参加各个小组的可能性相同,则这两位同学参加同一个兴趣小组的概率为( ) A.13 B.12 C.23 D.349.（2011年高考浙江卷文科8)从已有3个红球、2个白球的袋中任取3个球，则所取的3个球中至少有1个白球的概率是 （ ）（A ）110 （B ）310 （C ）35 （D ）91010. （2011年高考福建卷文科7)如图，矩形ABCD 中，点E 为边CD 的重点，若在矩形ABCD 内部随机取一个点Q ，则点Q 取自△ABE 内部的概率等于（ ） A ．14 B. 13 C. 12 D. 23二、填空题11.(2011年高考江苏卷5)从1，2，3，4这四个数中一次随机取两个数，则其中一个数是另一个的两倍的概率是______12．（2011年高考湖南卷文科15)已知圆22:12,C x y +=直线:4325.l x y += （1）圆C 的圆心到直线l 的距离为 ．(2) 圆C 上任意一点A 到直线l 的距离小于2的概率为 ．13. （2011年高考湖北卷文科13) 在30瓶饮料中，有3瓶已过了保质期，从这30瓶饮料中任取2瓶，则至少取到1瓶已过保质期的概率为 （结果用最简分数表示） 14．（2011年高考重庆卷文科14)从甲、乙等10位同学中任选3位去参加某项活动，则所选3位中有甲但没有乙的概率为15. （2011年高考四川卷文科12)在集合{}1,2,3,4,5中任取一个偶数a 和一个奇数b 构成以原点为起点的向量a=（a ，b ）从所有得到的以原点为起点的向量中任取两个向量为邻边作平行四边形，记所有作为平行四边形的个数为n ，其中面积等于2的平行四边形的个数m ，则mn= 三、解答题16.（2011年高考江西卷文科16) (本小题满分12分）某饮料公司对一名员工进行测试以便确定其考评级别．公司准备了两种不同的饮料共5 杯，其颜色完全相同，并且其中3杯为A 饮料，另外2杯为B 饮料，公司要求此员工 一一品尝后，从5杯饮料中选出3杯A 饮料．若该员工3杯都选对，则评为优秀；若3 杯选对2杯，则评为良好；否则评为及格．假设此人对A 和B 两种饮料没有鉴别能力． （1）求此人被评为优秀的概率； （2）求此人被评为良好及以上的概率．17．（2011年高考湖南卷文科18)（本题满分12分）某河流上的一座水力发电站，每年六月份的发电量Y （单位：万千瓦时）与该河上游在六月份的降雨量X （单位：毫米）有关．据统计，当X=70时，Y=460；X 每增加10，Y 增加5；已知近20年X 的值为：140，110，160，70，200，160，140，160，220，200，110，160，160，200，140，110，160，220，140，160． （I ）完成如下的频率分布表：近20年六月份降雨量频率分布表（II ）假定今年六月份的降雨量与近20年六月份的降雨量的分布规律相同，并将频率视为概率，求今年六月份该水力发电站的发电量低于490（万千瓦时）或超过530（万千瓦时）的概率．18．(2011年高考广东卷文科17)（本小题满分12分）在某次测验中，有6位同学的平均成绩为75分．用n x 表示编号为()1,2,,6n n =的同学所得成绩，且前5位同学的成绩如下：（1）求第6位同学成绩6x ，及这6位同学成绩的标准差s ；68,75中的概率．（2）从前5位同学中，随机地选2位同学，求恰有1位同学成绩在区间()19.（2011年高考全国卷文科19) (本小题满分12分)(注意：在试题卷上作答无．．．．．．．．效．)根据以往统计资料，某地车主购买甲种保险的概率为0.5，购买乙种保险但不购买甲种保险的概率为0.3,设各车主购买保险相互独立（Ⅰ）求该地1位车主至少购买甲、乙两种保险中的l种的概率；(Ⅱ)求该地的3位车主中恰有一位车主甲、乙两种保险都不购买的概率。

第三章§3一、选择题1．如图，在地面上搁置一个塑料圆盘，吉克将一粒玻璃球丢到该圆盘中，则玻璃球落在 A 地区内的概率是()A.12 B ．18 1C.4D． 1[答案]A[分析 ]玻璃球丢在该圆盘内，玻璃球落在各个地区内是随机的，也是等可能的，而且在该圆盘的任何地点是无穷多种，所以该问题是几何概型．因为 A 地区占整个圆形地区面积的4，所以玻璃球落入 A 区的概率为182.2．在 500mL 的水中有一个草履虫，现从中随机拿出2mL 水样放到显微镜下察看，则发现草履虫的概率是 ()A． 0.001 B ．0.002C． 0.004D． 0.005[答案 ]C2[分析 ]P＝500＝ 0.004.3．在长为 10cm 的线段 AB 上任取一点 P，并以线段 AP 为边作正方形，这个正方形的面积介于 25cm2与 49cm2之间的概率为 ()21A. 5 B ．543C.5D．10[答案 ]B[分析 ]能够判断属于几何概型．记正方形的面积介于25cm2与 49cm2之间为事件 A ，那么正方形的边长为 [5,7] 内，则事件 A 组成的地区长度是7－ 5＝ 2(cm) ，所有试验结果组成的地区长度是10cm，则 P(A) ＝2＝1. 1054．在 5 万 km 2 的某海疆里有表面积达40km 2的大陆架储蓄着石油．若在这海疆里任意选定一点钻探，则钻到石油的概率是()11A.1 250B．25011C.8D．125[答案 ]A401[分析 ]P＝50 000＝1 250.5.将一个长与宽不等的矩形沿对角线分红四个地区(如右图 )，并涂上四种颜色，中间装个指针，使其能够自由转动．对该指针在各地区逗留的可能性以下说法正确的选项是()A．同样大 B ．蓝白地区大C．红黄地区大D．由指针转动圈数决定[答案 ]B[分析 ]由题意可知这是一个几何概型问题，因为指针自由转动时，指向哪个地区是等可能的，但因为矩形的长与宽不等，明显蓝白相对的角度比红黄相对的角度大些，据几何概型概率公式，可知指针落在蓝白地区的概率要大于指针落在红黄地区的概率．6．在区间 [－ 1,1] 上随机地任取两个数 x、 y，则知足 x2＋ y2 <1的概率是 () 4ππA. 16 B ．8ππC.4D．2[答案 ]A[分析 ]因为在区间 [－ 1,1]上任取两数 x，y 有无穷种不一样的结果，且每种结果出现的机率是均等的，所以，此题为几何概型．由条件知－ 1≤x≤1，－ 1≤y≤1，∴点 (x，y)落在边长为 2 的正方形内部及界限上，即Ω＝221πμπ＝，∴ P(A) ＝A＝，Ω＝ 4.记事件 A ＝“x＋ y<”，则μA{(x ， y)|－1≤ x≤1，－ 1≤ y≤，1}∴ μ4μ164Ω应选 A.二、填空题7．(2014 ·建文，福 13)如图，在边长为 1 的正方形中随机撒1000 粒豆子，有180 粒落到暗影部分，据此预计暗影部分的面积为________．[答案 ]0.18S ＝180＝ 0.18，∵ S 正＝ 1×1＝ 1，∴ S阴[分析 ]由几何概型的概率可知，所求概率P ＝S 正1 000阴＝0.18 ×1＝ 0.18.8．甲、乙两位同学玩掷飞镖的游戏，他们分别用如图中(1)、(2)所示的两个靶子，甲用的等边三角形的靶子被其三条角均分线切割成 A 、 B 、 C 三部分；乙用的圆形的靶子被相互垂直的直径和半径也切割成A 、B 、C 三部分．在三角形靶子中，飞镖随机地落在地区A 、B 、C 中的概率分别是 ________；在圆形靶子中， 飞镖没有落在地区 C 中的概率是 ________．[答案 ]1、1、 1 33 33 4[分析 ]由等边三角形的性质知三条角均分线将等边三角形分红面积相等的三部分，则111P(落在地区 A 中) ＝3，P(落在地区 B 中 )＝ 3，P(落在地区 C 中 )＝ 3；而在圆形靶子中，地区 C 的面积是圆面积的 1，则 P(没有落在地区C 中 )＝ 1－ 1＝3.44 4三、解答题9．已知单位正方形ABCD ，在正方形内 (包含界限 )任取一点 M ，求：1的概率；(1)△ AMB 面积大于等于 4 (2)AM 的长度不小于 1 的概率．[分析 ](1)如图，取 BC 、AD 的中点 E 、F ，连结 EF ，当 M 在 CEFD内运动时， △ ABM 的面积大于等于 1，由几何概型定义得P ＝ S矩形CDFE ＝4S 正方形12.(2)如图，以 AB 为半径作圆弧， M 在暗影部分时， AM 的长度大于等于1，由几何概率的意义知 P ＝S暗影＝ 1－ 12＝1－ πS 正方形4×π×1 4.一、选择题1.如图，已知 O(0,0) ，A(30,0) ，B(30,30) ，C(0,30)，E(12,0) ，F(30,18)，P(18,30)，Q(0,12)，在正方形 OABC 内任意取一点，则该点在地区OEFBPQ 内的概率为 () 31A. 5 B ．31641C.25D．50[答案 ]C[分析 ]12依题意可得正方形 OABC 的面积为 900，地区 OEFBPQ 的面积为 900－2× ×182＝576.记“该点在地区 OEFBPQ 内”为事件 A ，所以 P(A) ＝576＝16.900 252．函数 f(x) ＝x2－ x－ 2，x∈ [ － 5,5] ，那么任取一点x0∈ [－5,5] 使 f(x 0) ≤0的概率是 ()2A． 1 B ．332C.10D．5[答案 ]C[分析 ]任取一点 x0∈[ －5,5] 的结果有无穷多个，属于几何概型．画出函数 f(x) 的图像 (图略 )，由图像适当x0∈ [ － 1,2]时， f(x 0) ≤ 0设. “使 f(x 0) ≤ 0为”事件 A ，则事件 A 组成的地区长度3是 2－ (－ 1)＝ 3，所有结果组成的地区长度是5－ (－ 5)＝ 10，则 P(A) ＝10.应选 C.二、填空题3．在直角坐标系 xOy 中，设会合Ω＝ {(x ，y)|0 ≤ x≤ 1,0 ≤，y在≤区1}域Ω内任取一点P(x，y)，则知足 x＋ y≤1的概率等于 ________．[答案 ]1 2[分析 ]会合Ω＝ {(x ，y)|0 ≤ x≤ 1,0≤所y表≤示1}的平面地区是边长为 1 的正方形及其内部的点，如下图，其面积为1，点 P 所表示的平面地区为等腰直角三角形及其内部的点，其直角边长为1，面积为1，则知足2x＋ y≤1的概率为 P ＝ 1.24．点 A 为周长等于3 的圆周上的一个定点，若在该圆周上随机取一点B ，则劣弧 AB的长度小于 1 的概率为 ________.[答案 ]23[分析 ]如图，点 B 可落在优弧CAD 上，其弧长为2，由几何概型知概率为2 3.三、解答题5． (1) 向面积为 6 的△ ABC 内任投一点 P ，求△ PBC 的面积小于 2 的概率．S的概率．(2)在面积为 S 的△ ABC 的边 AB 上任取一点 P ，求△ PBC 的面积大于 4[分析 ] (1)取△ ABC 边 BC 上的高 AE 的三均分点 M ，过点 M 作 BC 的平行线， 当点 P4 落在图中暗影部分时，△ PBC 的面积小于2，故概率为1－9＝ 5.1 9(2)据题意基本领件空间可用线段AB 的长度来胸怀，事件 “△PBC 的面积大于S”可用距43离A 长为 3AB 的线段的长度来胸怀，故其概率为4|AB| 34|AB|＝ .46．设有一个等边三角形网格，此中各个最小等边三角形的边长都是4 3 cm ，现用直径等于 2 cm 的硬币扔掷到此网格上，求硬币落下后与格线没有公共点的概率．[分析 ]记 A ＝ { 硬币落下后与格线没有公共点} ，如右图所示，在等边三角形内作小等边三角形，使其三边与原等边三角形三边距离都为 1，则小等边三角形的边长为 4 3－2 3＝ 23，由几何概型的概率公式得P(A) ＝33433422 1 ＝ 4.7．如下图，面积为 S 的正方形 ABCD 中有一个不规则的图形M ，可按下边方法预计M 的面积：在正方形 ABCD 中随机扔掷n 个点，若 n 个点中有 m 个点落入 M 中，则 M 的面积的预计值为m·S ，n假定正方形 ABCD 的边长为 2，M 的面积为 1，并向正方形 ABCD 中随机扔掷 10 000 个点，求落入 M 中的点的数量．[分析 ] 记“点落入 M 中”为事件 S M ＝1，A ，则有 P(A) ＝ S ABCD 4所以向正方形 ABCD 中随机扔掷10 000 个点，落入 M 中的点的数量为： 1＝ 25 00.10 000 ×4也可由 S ′＝m·S 直接代入，即 S ′＝ 1，S ＝ 4， n ＝ 10 000，n所以 m ＝S ′·nS ＝1×10 000＝2 500.4答：落入 M 中的点的数量为 2 500.。

高中数学 第三章 概率 3.3 模拟方法——概率的应用自主练习 北师大版必修3我夯基我达标1.如果在一个5万平方千米的海域里有表面积达40平方千米的大陆架蕴藏着石油,假如在这海域里随意选定一点钻探,问钻到石油的概率是思路解析:由于选点的随机性,可以认为该海域中各点被选中的可能性是一样的,因而所求概率等于贮藏石油的海域面积与整个海域面积之比,即P =.250110005040=答案:250112.在400毫升的自来水中有一个大肠杆菌,今从中随机取出2毫升水样放到显微镜下观察,则发现大肠杆菌的概率是思路解析:由于取水样的随机性,所求问题属于几何概型,所求概率等于水样的体积与水总体积之比,即P =.20014002= 答案:2001 3.在区间(0,1)中随机地取两个数,则事件“两数之和小于56”的概率为思路解析:设A ={两数之和小于56x ,y 分别表示随机抽取的两个数则0＜x ＜1,0＜y ＜P (A )=.2517)54(2112=⨯-=单位正方形的面积的面积A答案:2517 4.随机地向半圆0＜y ＜22x ax -(a 为正常数)内抛掷一点,点落在半圆内的任意区域的概率与区域的面积成正比,则原点与该点的连线与x 轴夹角小于4π的概率为_______.图3-3-思路解析:由图3-3-2可知,设基本事件表示半圆的面积,事件A 为图中阴影部分的面积,则所求概率等于阴影部分面积与半圆面积之比即P (A )=π121π4π2222+=+aa a a . 答案:π121+ 5.两人约定于8点到9点在某地会面,试求一人要等另一人半小时以上的概率图3-3-3思路分析:如图3-3-3所示,分别以x ,y 表示两人到达的时刻,根据题目条件,两人会面的充要条件为两人到达的时间之差大于或等于半小时,本题属于几何概型问题解:设x ,y 分别为此二人到达的时间,则8＜x ＜9,8＜y ＜9,显然此二人到达时间(x ,y )与上述条件决定的正方形CDEF 内的点是一一对应的,设事件A 表示“其中一人必须等另外一人的时间为21小时以上”,则事件A 发生意味着满足如下不等式:|x -y |＞21,由几何概型得,事件A 发生的概率等于△GDH 与△FMN 的面积之和与正方形CDEF 面积之比,所以P (A )=.41112212121=⨯⨯⨯⨯6.同时抛掷3枚硬币,恰好有两枚正面向上的概率为(A.81 B.41 C.83D.21 思路解析:用“√”表示向上,用“×”表示向下,则所有可能结果有“√√√”“√√×”“√×√”“×√√”“√××”“×√×”“××√”“×××”,共8个基本事件,恰好有两枚正面向上的有“√√×”“√×√”“×√√”,共3个基本事件 答案:C7.有3人排成一排,甲、乙两人不相邻的概率是(A.61B41 C.31 D.21 思路解析:设第三个人是丙,所有的可能结果有“甲乙丙”“甲丙乙”“乙甲丙”“乙丙甲”“丙甲乙”“丙乙甲”,共6个基本事件,而甲、乙不相邻的有“甲丙乙”“乙丙甲”2个基本事件 答案:C我综合我发展8.在一线段AB 中随机地取两个点X 1,X 2,求AX 1,X 1X 2,X 2B 可以构成一个三角形的概率.图3-3-4思路解析:设AB =a ,AX 1=x 1,AX 2=x2则0≤x 1≤a ,0≤x 2≤a ,(x 1,x 2)与由上述条件决定的正方形EFGH 内的点是一一对应的(如图3-3-(1)设x 2＞x 1,AX 1=x 1,X 1X 2=x 2-x 1,X 2B =a -x 2,则三线构成三角形的充要条件是⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧<⇒>-+->+⇒->-+>⇒->-+,21)()(,21)()(,21)(112121122122121a x x x a x x x a x x x x a x a x x a x x x这决定三角形区域(2)设x 1＞x 2,AX 1=x 1,X 1X 2=x 1-x 2,X 2B =a -x 2,则三线构成三角形的充要条件是⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧>⇒->-+<⇒>-+->⇒->-+,0)(,21)()(,21)(2121212212121a x x x a x a x x x a x x a x x a x x x 这决定矩形区域(3)当x 1=x 2时,不能构成三角形由几何概型知P =.832121212121ⅡⅠ2=⨯+⨯⨯=+a aa a a EFGH 的面积正方形的面积矩形的面积三角形 9.如图3-3-5所示,曲线y 2=-x 2+1与x 轴、y 轴围成一个区域A ,直线x =1、直线y =1、x 轴、y 轴围成一个正方形,向正方形中随机地撒一把芝麻,利用计算机来模拟这个试验,并统计出落在区域A内的芝麻数与落在正方形中的芝麻数图3-3-5解:如下表,由计算机产生两例0~1之间的随机数,它们分别表示随机点(x ,y )的坐标.如果一个点(x ,y )满足y 2≤-x 2+1,就表示这个点落在区域A 内,在下表中最后一列相应地就填上1,否则填0.X Y计数0.598 895 0.940 794 0 0.512 284 0.118 961 1 0.496 841 0.784 417 0 0.112 796 0.690 634 1 0.359 600 0.371 441 1 0.101 260 0.650 512 1………0.947 386 0.902 127 0 0.117 618 0.305 673 1 0.516 465 0.222 907 1 0.596 393 0.969 695 0。

3 模拟方法——概率的应用课后拔高提能练一、选择题1．在区间[－1,2]上随机取一个数x ，则x ∈[0,1]内的概率为( ) A.13 B.12 C.23D.14解析：选A P ＝12－(－1)＝13. 2．已知某运动员每次投篮命中的概率都为40%.现采用随机模拟的方法估计该运动员三次投篮恰有1次命中的概率：先由计算器产生0到9之间取整数值的随机数，指定1,2,3,4表示命中，5,6,7,8,9,0表示不命中；再以每三个随机数为一组，代表三次投篮的结果．经随机模拟产生了如下20组随机数：907 966 191 925 271 932 812 458 569 683431 257 393 027 556 488 730 113 537 989 据此估计，该运动员三次投篮恰有1次命中的概率为 ( )A ．0.35B ．0.40C ．0.20D ．0.15 解析：选B 在20组随机数中，恰有一次命中的有925,458,683,257,027,488,730,537共8组，故所求的概率为820＝0.4. 3．如图，设A 为圆O 上一定点，在圆上任取一点B ，则∠AOB ＜60°的概率为( )A.16B.13C.14D.23解析：选B P ＝120°360°＝13. 二、填空题4．利用计算机产生0～1之间的均匀随机数a ，则事件“3a －1＜0”发生的概率为________．解析：由3a－1＜0，得a＜13，又0＜a＜1，∴0＜a＜13，∴事件“3a－1＜0”发生的概率P＝131＝13.答案：135．利用计算机产生0～1之间的均匀随机数a，则使关于x的一元二次方程x2－x＋a＝0无实根的概率为________．解析：∵关于x的一元二次方程x2－x＋a＝0无实根，∴判别式Δ＝1－4a<0，∴a>14.∴所求的概率为P＝1－141－0＝34.答案：346．设不等式组⎩⎪⎨⎪⎧0≤x≤2，0≤y≤2表示的平面区域为D，在区域D内随机取一点，则此点到坐标原点的距离大于2的概率为________．解析：如图所示，在区域D内随机取一点，此点到坐标原点的距离大于2的概率P＝S阴S矩＝4－π×2244＝4－π4＝1－π4.答案：1－π4三、解答题7．如图所示，在半圆O内有一个内接正方形ABCD，若向该半圆内随机投一点，则这点落在正方形内的概率为多少？解：记A ＝{在正方形内的点}，因为圆的半径为R ，正方形的边长为2x ，正方形和半圆都是轴对称图形，故半圆的圆心也是正方形的一边的中点．得(2x )2＋x 2＝R 2.由5x 2＝R 2，则x＝55R . ∴S正方形ABCD ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫255R 2＝45R 2. ∴P (A )＝S 正方形ABCD S 半圆＝45R 212πR 2＝85π. 8．如图，在等腰直角三角形ABC 中，过直角顶点C 在∠ACB 内部任作一射线CM ，与线段AB 交于点M ，求AM ＜AC 的概率．解：在AB 上取AC ′＝AC ，如图所示，则∠ACC ′＝180°－45°2＝67.5°.记A ＝{在∠ACB 内部任作一射线CM ，与线段AB 交于点M ，AM ＜AC }，则所有可能结果的区域为∠ACB ，事件A 构成的区域为∠ACC ′.又∠ACB ＝90°，∠ACC ′＝67.5°，所以P (A )＝67.5°90°＝34， 故AM ＜AC 的概率为34.。

高中数学学习材料马鸣风萧萧*整理制作模拟方法——概率的应用同步练习◆知识检测1．如图3-3-1中有两个转盘。

甲乙两人玩转盘游戏，规定当指针指向B区域时，甲获胜，否则乙获胜。

此试验是否为古典概型？并分别求甲获胜的概率是多少？2．取一根长度为3m的绳子，拉直后在任意位置剪断，那么剪得两段的长都不小于1m的概率为。

中，在线段斜边AB上任取一点M，求AM的长小于AC的长的概率。

3．在等腰Rt ABC4．某人午觉醒来，发现表停了，他打开收音机，想听电台报时，求他等待的时间不多于10分钟的概率。

能力提高1．在一场乒乓球的比赛前，为决定由谁先发球，裁判确定发球时常用的一种方法是：裁判员拿出一个抽签器，它是一个像大硬币似的均匀塑料圆板，一面是红圈，一面是绿圈，然后随意指定一名运动员，要他猜上抛的抽签器落到球台上时，是红圈那面朝上还是绿圈那面朝上。

如果他猜对了，就由他先发球，否则，由另一方先发球。

请问这样公平吗？2．某中学高一年级有12个班，要从中选2个班代表学校参加某项活动，由于某种原因，一班必须参加，另外再从二至十二班选1个班，有人提议用如下的方法：掷两个骰子得到的点数和是几，就选几班，你认为这种方法公平吗？两个骰子的点数和1点2点3点4点5点6点1点 2 3 4 5 6 72点 3 4 5 6 7 83点 4 5 6 7 8 94点 5 6 7 8 9 10 5点 6 7 8 9 10 11 6点7 8 9 10 11 123．生活中，我们经常听到这样的议论：“天气预报说昨天降水概率为90%，结果根本一点雨都没下，天气预报也太不准确了。

”学了概率后，你能给出解释吗？4．某班准备到郊外野营，为此向商店订了帐篷。

如果下雨与不下雨是等可能的，能否准时收到帐篷也是等可能的。

只要帐篷如期运到，他们就不会淋雨，则下列说法正确的是（ ） A 、一定不会淋雨 B 、淋雨机会为43 C 、淋雨机会为21 D 、淋雨机会为41◆ 技能培养1．2人相约7点到8点在某地会面，先到者等候另一人20分钟，这后嗣可以离去，试求这2人能会面的概率．2．在边长为2的正方形ABCD 中，以A 为圆心，1为半径画弧得到扇形AMN （如图），向正方形内随机撒一粒芝麻，求它落在扇形内的概率．3．一名实验员在一个半径为5cm ，高为10cm 的圆锥形容器内盛满一种培养液，在培养液中培养一个感冒病毒，在培养过程中不小心碰晒了一些液体，这时液面下降了2cm ，求溶器内的液体里含有这个病毒的概率．◆ 拓展空间1．从（0，1）中随机抽取两个数，试求下列事件的概率： （1）两数之和小于1.5．（2）两数之差小于21且大于0．2．利用随机模拟方法估计图中阴影部分（22==y x y 和所围成的部分）的面积．答案:◆ 知识检测能力提高64 3．125。

3 模拟方法——概率的应用考纲定位重难突破1.初步体会模拟方法在概率方面的应用.2.理解几何概型的定义及其特点，会用公式计算简单的几何概型问题.3.了解古典概型与几何概型的区别与联系.重点：几何概型的特点及概念.难点：应用几何概型的概率公式求概率.授课提示：对应学生用书第48页[自主梳理]1．几何概型(1)向平面上有限区域(集合)G内随机地投掷点M，若点M落在子区域G1G的概率与G1的面积成正比，而与G的形状、位置无关．即P(点M落在G1)＝G1的面积G的面积，则称这种模型为几何概型．(2)几何概型中的G也可以是空间中或直线上的有限区域，相应的概率是体积之比或长度之比．2．几何概型概率的计算几何概型的概率公式在几何概型中，事件的概率的计算公式如下：P(A)＝构成事件A的区域长度（面积或体积）试验的全部结果所构成的区域长度（面积或体积）[双基自测]1．几何概型与古典概型的区别是()A．几何概型的基本事件是等可能的B．几何概型的基本事件的个数是有限的C．几何概型的基本事件的个数是无限的D．几何概型的基本事件不是等可能的解析：由几何概型和古典概型各自的特点对比可得答案C.答案：C2．有四个游戏盘，将它们水平放稳后，向游戏盘上投掷一颗玻璃小球，若小球落在阴影部分，则可中奖，小明要想增加中奖机会，应选择的游戏盘是()解析：四个选项中小明中奖的概率分别为38，14，13，13，故应选A中的游戏盘．答案：A3．在区间[－1，3]上随机取一个数x，若x满足|x|≤m的概率为12，则实数m的值为() A．0B．1C．2 D．3解析：区间[－1，3]的区间长度为4.不等式|x|≤m的解集为[－m，m]，区间长度为2m，由2m4＝12，得m＝1.答案：B授课提示：对应学生用书第49页探究一 与长度、角度有关的几何概型[典例1] 某汽车站每隔15分钟就有一辆汽车到达，乘客到达车站的时刻是任意的，求一位乘客到达车站后等车时间大于10分钟的概率．[解析] 设上辆车于时刻T 1到达，而下一辆车于时刻T 2到达，线段T 1T 2的长度为15，设T 是线段T 1T 2上的点，且T 1T ＝5，T 2T ＝10，如图．记等车事件大于10分钟为事件A ，则当乘客到达车站的时刻t 落在线段T 1T 上时，事件A 发生，区域T 1T 2的长度为15，区域T 1T 的长度为5.所以P (A )＝T 1T 的长度T 1T 2的长度＝515＝13.(1)与长度有关的几何概型概率的求法 ①与长度有关的几何概型问题的计算公式如果试验的结果构成的区域的集合度量可用长度表示，则其概率的计算公式为： P (A )＝构成事件A 的区域长度试验的全部结果所构成的区域长度.②与长度有关的几何概型问题的三个解题步骤a ．找到几何区域D ，这时区域D 可能是一条线段或几条线段或曲线段，并计算区域D 的长度．b ．找到事件A 发生时对应的区域d ，确定d 的边界点是问题的关键．c ．利用几何概型概率公式求概率． (2)与角度有关的几何概型概率的求法①如果试验的所有结果构成的区域的几何度量可用角度表示，则其概率的计算公式为 P (A )＝构成事件A 的区域角度试验的全部结果构成的区域角度.②解决此类问题的关键是事件A 在区域角度内是均匀的，进而判定事件的发生是等可能的．1.如图，有一圆盘，其中阴影部分的圆心角为75°，若向圆内投镖，如果某人每次都投入圆内，且投到任何位置都有等可能的．那么他投中阴影部分的概率为________．解析：圆盘对应的圆心角为360°，阴影部分对应的圆心角为75°，故投中阴影部分的概率P ＝75°360°＝524.答案：524探究二 与面积有关的几何概型[典例2] 一只受伤的丹顶鹤在如图所示(直角梯形)的草原上飞过，其中AD ＝2，DC ＝2，BC ＝1.它可随机落在该草原上任何一处，若落在扇形沼泽区域ADE 以外，丹顶鹤能生还，求该丹顶鹤生还的概率． [解析] 过点D 作DF ⊥AB 于点F ，如图所示．在Rt △AFD 中，因为AD＝2，DF ＝BC ＝1，所以AF ＝1，∠A ＝π4，所以梯形ABCD 的面积S 1＝12×(2＋2＋1)×1＝52.扇形DAE 的面积S 2＝π×(2)2×π42π＝π4.根据几何概型的概率计算公式，得丹顶鹤生还的概率P ＝S 1－S 2S 1＝52－π452＝1－π10.在研究射击、射箭、投中、射门等实际问题时，常借助于区域的面积来计算概率的值．此时，只需分清各自区域特征，分别计算其面积，以公式P (A )＝构成事件A 的区域面积试验的全部结果构成的区域面积计算事件的概率即可．2.一个圆及其内接正三角形如图所示，某人随机地向该圆内扎针，则针扎到阴影区域的概率为( )A.312πB.334πC.34D.3π解析：设正三角形的边长为a ，圆的半径为R ，则R ＝33a ，所以正三角形的面积为34a 2，圆的面积S ＝πR 2＝13πa 2.由几何概型的概率计算公式，得针扎到阴影区域的概率P ＝34a 213πa 2＝334π，故选B.答案：B探究三 与体积有关的几何概型[典例3] 正方体ABCD －A ′B ′C ′D ′的棱长为a ，在正方体内随机取一点M .求点M 落在三棱锥B ′－A ′BC 内的概率．[解析] 记“点M 落在三棱锥B ′－A ′BC 内”为事件E .因为棱长为a 的正方体的体积V ＝a 3， 由正方体的性质可知V B ′－A ′BC ＝13S B ′BC ·A ′B ′＝16a 3.故P (E )＝V B ′－A ′BC V ＝16a 3a 3＝16.如果试验的结果所构成的区域可用体积来度量，我们要结合问题的背景，选择好观察角度，准确找出基本事件所占的总的体积及事件A所分布的体积．其概率的计算公式为P(A)＝构成事件A的区域体积试验的全部结果构成的区域体积.3．已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1，在正方体内随机取一点M，求使四棱锥M-ABCD 的体积不超过16(事件A)的概率．解析：设M到平面ABCD的距离为h，则V M-ABCD＝13S底面ABCD·h≤16.又S底面ABCD＝1，所以只要h≤12即可．所有满足h≤12的点组成以正方形ABCD为底面，12为高的长方体，其体积为12，又正方体的体积为1，所以使四棱锥M-ABCD的体积不超过16(事件A)的概率为P(A)＝121＝12.古典概型与几何概型的综合问题[典例](本题满分12分)已知|x|≤2，|y|≤2，点P的坐标为(x，y)．(1)当x，y∈Z时，求点P满足(x－2)2＋(y－2)2≤4的概率；(2)当x，y∈R时，求点P满足(x－2)2＋(y－2)2≤4的概率．[规范解答](1)由|x|≤2，|y|≤2，x，y∈Z，得基本事件总数n＝25，满足(x－2)2＋(y－2)2≤4的点P的坐标有(0，2)，(1，1)，(1，2)，(2，0)，(2，1)，(2，2)，共有6个，故所求概率P1＝625.…………………………………………………6分(2)如图所示，由|x|≤2，|y|≤2，x，y∈R，则构成该事件的总区域是边长为4的正方形，其面积为16，其中满足(x－2)2＋(y－2)2≤4的点构成所求事件的区域如图所示的阴影部分，其面积为14×π×22＝π，故所求概率P2＝π16.………………12分[规范与警示] 1.本题正确区分(1)(2)两问题是古典概型还是几何概型是解决本题的难点，也是易错点．2．在问题(1)中，由于|x|≤2，|y|≤2，x，y∈Z，故其基本事件的个数是有限的，且是等可能的，显然属于古典概型；正确求解基本事件总数及点P满足(x－2)2＋(y－2)2≤4，基本事件个数是求解本题的关键．3．在问题(2)中，由于|x|≤2，|y|≤2，x，y∈R，基本事件的个数是无限的，且是等可能的，故其属于几何概型，正确将其转化为面积之比是解决本题的关键．[随堂训练] 对应学生用书第50页1．已知集合M ＝{x |－2≤x ≤6}，N ＝{x |0≤2－x ≤1}，在集合M 中任取一个元素x ，则x ∈M ∩N 的概率是( ) A.19 B.18 C.14 D.38解析：因为N ＝{x |0≤2－x ≤1}＝{x |1≤x ≤2}，又M ＝{x |－2≤x ≤6}，所以M ∩N ＝{x |1≤x ≤2}，所以所求的概率为2－16＋2＝18.答案：B2.任意画一个正方形，再将这个正方形各边的中点相连得到第二个正方形，依次类推，这样一共画了3个正方形，如图所示．若向图形中随机投一点，则所投点落在第三个正方形内的概率是________．解析：利用几何概型，其测度为面积．设大正方形的边长为1，面积为1，∵第三个正方形的边长为12，所以面积为12×12＝14，∴所投点落在第三个正方形内的概率为14.答案：143．一个路口的红绿灯，红灯亮的时间为30秒，黄灯亮的时间为5秒，绿灯亮的时间为40秒(没有两灯同时亮)，当你到达路口时，看见下列三种情况的概率各是多少？ (1)红灯；(2)黄灯；(3)不是红灯．解析：在75秒内，每一时刻到达路口是等可能的，属于几何概型． (1)P ＝红灯亮的时间全部时间＝3030＋40＋5＝25.(2)P ＝黄灯亮的时间全部时间＝575＝115.(3)P ＝不是红灯亮的时间全部时间＝黄灯或绿灯亮的时间全部时间＝4575＝35.。