2012高考数学第一轮总复习100讲(含同步练习).1023等差数学列和等比数列(2)

同步练习 g3.1056平面向量的综合应用（1）1、已知平行四边形三个顶点的坐标分别是(4，2)，(5，7)，(－3，4)，则第四个顶点一定不是（ ）A 、(12，5)B 、(－2，9)C 、(－4，－1)D 、(3，7)2、已知平面上直线l 的方向向量e =(－45，35)，点O(0,0)和A(1,－2)在l 上的射影分别为O 1和A 1，则11O A =入e ，其中入=（ ）A 、115B 、－115C 、2D 、－2 3、设F1、F2为曲线C1：x 26 + y 22 = 1的焦点，P 是曲线C 2：x 23－y 2=1与曲线C 1的一个交点，则1212||||PF PF PF PF 的值是（ ）A 、14B 、13C 、23D 、－134、设a 、b 、c 是平面上非零向量，且相互不共线，则①（a ·b ）c －（c ·a ）b =0 ② |a －b | > |a |－|b |③（b ·c ）a －（c ·a ）b 与c 不垂直 ④（3a +2b ）（3a －2b ）= 9|a |2－4|b |2其中真A 、①②B 、②③C 、③④D 、②④5、OA = (cos θ，－sin θ)，OB =（－2－sin θ，－2+cos θ），其中θ∈[0，π2 ]， 则|AB |的最大值为6、已知O 、A 、B 、C 是同一平面内不同四点，其中任意三点不共线，若存在一组实数入1、入2、入3，使入1OA +入2OB +入3OC =O ，则对于三个角：∠AOB 、∠BOC 、∠COA 有下列说法：①这三个角都是锐角；②这三个角都是钝角；③这三个角中有一个钝角，另两个都是锐角；④这三个角中有两个钝角，另一个是锐角.其中可以成立的说法的序号是 （写上你认为正确的所有答案）7、（05上海卷）直角坐标平面xoy 中，若定点)2,1(A 与动点),(y x P 满足4=∙OA OP ，则点P 的轨迹方程是 __________.5、 .6、 .7、 .8、（05江西卷）已知向量b a x f x x b x x a ⋅=-+=+=)()),42tan(),42sin(2()),42tan(,2cos 2(令πππ. 是否存在实数?))()((0)()(],,0[的导函数是其中使x f x f x f x f x '='+∈π若存在，则求出x 的值；若不存在，则证明之.9、设a =(1+cos α, sin α)，b =(1－cos β,sin β)，c =(1，0)，α∈(0,π)，β∈(π,2π), a 与c 夹角为θ1，b 与c 的夹角为θ2，且θ1－θ2= π6，求sin α-β4的值.10、已知△OFQ 的面积为S ，且OF ·FQ =1，以O 为坐标原点，直线OF 为x 轴（F 在O 右侧）建立直角坐标系.（1）若S=12，|OF | =2，求向量FQ 所在的直线方程；（2）设|OF |=c （c ≥2），S= 34 c ，若以O 为中心，F 为焦点的椭圆过点Q ，求当|OQ|取得最小值时椭圆的方程.11、 （04年福建卷.文理17）设函数()f x a b =，其中向量(2cos ,1)a x =，(cos )b x x =，x R ∈.（Ⅰ）若()1f x =[,]33x ππ∈-，求x ；（Ⅱ）若函数2sin 2y x =的图象按向量(,)(||)2c m n m π=<平移后得到函数()y f x =的图象，求实数,m n 的值.答案1—4、DDBD 5、2 36、①②③④7、x+2y-4=08、2x π=时，()()0f x f x '+=9、→a = 2cos α2(cos α2，sin α2) ∴θ1= α2→b = 2sin β2（sin β2,cos β2） ∴θ 2 = β2－π2又θ1－θ 2 = π6 ∴ α-β2 = - π3 ∴sin α-β4 = －1210、（1）设Q(x 0，y 0) ∵|→QF| = 2 ∴ F(2，0) ∴ →OF = (2，0)，→FQ= (x 0-2，y 0) ∴ →OF ·→FQ = 1 得x 0 = 52而S = 12 |→OF | |y 0| = 12 ∴y 0 = ±12 ∴Q （52，±12） ∴ →OF所在直线方程为y = x-2 或 y = -x+2 （2）设Q （x 0，y 0） ∵|→OF | = c ∴F （c ，O ） ∴→FQ=（x 0-c ，y 0） ∴→OF ·→FQ = 1 得x 0 = c + 1c又S = 12 c |y 0| = 34C ∴ y 0=±32 Q （c + 1c ，±32） 由函数f(x) = x + p x的单调性，知g(c)在[2，+∞）上递增 ∴ g min (c) = g(2) = 52 ，此时c=2，|OQ|取最小值 ∴Q （52，±32） 设出椭圆方程后可得椭圆方程为x 210 + y 26= 1 11、4x π=-,,112m n π=-=。

3.4 等差数列与等比数列的综合问题巩固·夯实基础一、自主梳理1.等差数列的性质(1)若数列{a n }是公差为d 的等差数列,则a m =a k +(m-k)d,数列{λa n +b}(λ、b 为常数)是公差为λd 的等差数列.(2)下标成等差数列且公差为m 的项a k ,a k+m ,a k+2m ,…组成的数列仍为等差数列,公差为md.(3)若{a n }是等差数列,A=a 1+a 2+…+a n ,B=a n+1+a n+2+…+a 2n ,C=a 2n+1+a 2n+2+…+a 3n ,则A 、B 、C 成等差数列,公差为n 2d.(4)若等差数列{a n }的项数为2n(n ∈N *),则S 偶-S 奇=nd,若等差数列{a n }的项数为2n-1(n ∈N *),则奇偶S S =n n 1 . 2.等比数列的性质(1)若数列{a n }是等比数列,则数列{λ1a n }(λ1为常数)是公比为λ1q 的等比数列.(2)下标成等差数列且公差为m 的项a k ,a k+m ,a k+2m ,…组成的数列仍为等比数列,公比为q m .(3)若{a n }是等比数列,设A=a 1+a 2+a 3+…+a n ,B=a n+1+a n+2+…+a 2n ,C=a 2n+1+a 2n+2+…+a 3n ,则A 、B 、C 成等比数列,公比为q n .设M=a 1·a 2·a 3·…·a n ,N=a n+1a n+2·…·a 2n ,P=a 2n+1a 2n+2·…·a 3n ,则M 、N 、P 仍为等比数列,公比为(q n )n .二、点击双基1.等比数列{a n }的公比为q,则“q>1”是“对于任意自然数n ，都有a n+1>a n ”的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分又不必要条件 解析:当a 1<0时，条件与结论均不能由一方推出另一方.答案:D2.已知数列{a n }满足a n+2=-a n (n ∈N *)，且a 1=1,a 2=2，则该数列前2 002项的和为( )A.0B.-3C.3D.1解析:由题意，我们发现:a 1=1,a 2=2,a 3=-a 1=-1,a 4=-a 2=-2,a 5=-a 3=1,a 6=-a 4=2,…,a 2 001=-a 1 999=1,a 2 002=-a 2 000=2,a 1+a 2 +a 3+a 4=0.∴a 1+a 2+a 3+…+a 2 002=a 2001+a 2 002=a 1+a 2=1+2=3.答案:C3.若关于x 的方程x 2-x+a=0和x 2-x+b=0(a ≠b)的四个根可组成首项为41的等差数列，则a+b 的值是( ) A.83 B.2411 C.2413 D.7231 解析:依题意设四根分别为a 1、a 2、a 3、a 4,公差为d,其中a 1=41,即a 1+a 2+a 3+a 4=1+1=2.又a 1+a 4=a 2+a 3,所以a 1+a 4=a 2+a 3=1.由此求得a 4=43,d=61,于是a 2=125,a 3=127.故a+b=a 1a 4+a 2a 3=41×43+125×127=14462=7231. 答案:D4.(2004上海春季高考)在等差数列{a n }中，当a r =a s (r ≠s)时，数列{a n }必定是常数列，然而在等比数列{a n }中，对某些正整数r 、s(r ≠s),当a r =a s 时，非常数列{a n }的一个例子是_____________. 解析:只需选取首项不为0，公比为-1的等比数列即可.答案:a,-a,a,-a,…(a ≠0)5.(2005全国高考卷Ⅱ)在38和227之间插入三个数,使这五个数成等比数列,则插入的三个数的乘积为_____________.解析：等比数列中,若m+n=p+q=2k,则a m a n =a p a q =a k 2,设插入的三个数为a 1,a 2,a 3,则a 1a 3=38·227=a 22且a 2与38同号. ∴a 1a 2a 3=38·227·22738•=216. 答案:216诱思·实例点拨【例1】 (2005北京春季高考)已知{a n }是等比数列,a 1=2,a 3=18;{b n }是等差数列,b 1=2,b 1+b 2+b 3+b 4=a 1+a 2+a 3>20.(1)求数列{b n }的通项公式;(2)求数列{b n }的前n 项和S n 的公式;(3)设P n =b 1+b 4+b 7+…+b 3n-2,Q n =b 10+b 12+b 14+…+b 2n+8,其中n=1,2,…,试比较P n 与Q n 的大小,并证明你的结论.剖析:将已知转化成基本量，求出首项和公比后，再进行其他运算.解:(1)设{a n }的公比为q,由a 3=a 1q 2得q 2=13a a =9,q=±3. 当q=-3时,a 1+a 2+a 3=2-6+18=14<20,这与a 1+a 2+a 3>20矛盾,故舍去.当q=3时,a 1+a 2+a 3=2+6+18=26>20,故符合题意.设数列{b n }的公差为d,由b 1+b 2+b 3+b 4=26得4b 1+234⨯d=26. 又b 1=2,解得d=3,所以b n =3n-1.(2)S n =2)(1n b b n +=23n 2+21n. (3)b 1,b 4,b 7,…,b 3n-2组成以3d 为公差的等差数列, 所以P n =nb 1+2)1(-n n ·3d=29n 2-25n; b 10,b 12,b 14,…,b 2n+8组成以2d 为公差的等差数列,b 10=29, 所以Q n =nb 10+2)1(-n n ·2d=3n 2+26n.P n -Q n =(29n 2-25n)-(3n 2+26n)=23n(n-19). 所以,对于正整数n,当n ≥20时,P n >Q n ;当n=19时,P n =Q n ;当n ≤18时,P n <Q n .讲评:本题主要考查等差数列、等比数列等基本知识，考查逻辑思维能力、分析问题和解决问题的能力.【例2】 在公差为d(d ≠0)的等差数列{a n }和公比为q 的等比数列{b n }中,已知a 1=b 1=1,a 2=b 2,a 8=b 3.(1)求d 、q 的值;(2)是否存在常数a 、b 使得对于一切自然数n,都有a n =log a b n +b 成立?若存在,求出a 和b;若不存在,请说明理由.解:(1)∵a 1=b 1=1,a 2=b 2,a 8=b 3,∴⎩⎨⎧=+=+.71,12q d q d∴⎩⎨⎧==5,6d q 或⎩⎨⎧==0,1d q (舍去). (2)假设存在a 、b 使得a n =log a b n +b 对一切n ∈N *恒成立,则有1+5(n-1)=log a 6n-1+b,即(5-log a 6)n-(4+b-log a 6)=0.∵上式对任意n ∈N *恒成立,∴⎩⎨⎧=-+=-.06log 4,06log 5a a d 解得a=516,b=1.讲评:在一定条件下,判断某种数学对象是否存在,解答此类问题,一般先假设要求(或证)的结论是存在的,然后利用有关概念、公理、定理、法则推理下去,如果畅通无阻,则存在,如果推理过程中,有问题或前后矛盾,则说明不存在.【例3】 (2005北京海淀模拟)在等比数列{a n }(n ∈N *)中，a 1>1,公比q>0.设b n =log 2a n ,且b 1+b 3+b 5=6,b 1b 3b 5=0.(1)求证:数列{b n }是等差数列；(2)求{b n }的前n 项和S n 及{a n }的通项a n ；(3)试比较a n 与S n 的大小.剖析:(1)定义法即可解决.(2)先求首项和公差及公比.(3)分情况讨论.(1)证明:∵b n =log 2a n ,∴b n+1-b n =log 2nn a a 1+=log 2q 为常数. ∴数列{b n }为等差数列且公差d=log 2q.(2)解:∵b 1+b 3+b 5=6,∴b 3=2.∵a 1>1,∴b 1=log 2a 1>0.∵b 1b 3b 5=0,∴b 5=0.∴⎩⎨⎧=+=+.04,2211d b d b 解得⎩⎨⎧-==.1,41d b ∴S n =4n+2)1(-n n ×(-1)=292n n -. ∵⎩⎨⎧=-=,4log ,1log 122a q ∴⎪⎩⎪⎨⎧==.16,211a q ∴a n =25-n (n ∈N *).(3)解:显然a n =25-n >0,当n ≥9时，S n =2)9(n n -≤0. ∴n ≥9时，a n >S n .∵a 1=16,a 2=8,a 3=4,a 4=2,a 5=1,a 6=21,a 7=41,a 8=81,S 1=4,S 2=7,S 3=9,S 4=10,S 5=10,S 6=9,S 7=7,S 8=4, ∴当n=3,4,5,6,7,8时，a n <S n ;当n=1,2或n ≥9时，a n >S n .评述:本题主要考查了数列的基本知识和分类讨论的思想.链接·聚焦在解决等差数列和等比数列的问题时,恰当地运用等差数列和等比数列的性质可以减少运算量,提高解题速度和准确度,但等差数列和等比数列的概念、通项公式和前n 项和的公式仍是我们学习的基础和重点,否则,弄巧成拙.。

g3.1022等差数列和等比数列（1）一、知识回顾1.2. ,验证)(11---n n n n a a a a 为同一常数。

(2)通项公式法。

(3)中项公式法:验证212-++=n n n a a a Nn a a a n n n ∈=++)(221都成立。

3. 在等差数列｛n a ｝中,有关S n 的最值问题：(1)当1a >0,d<0时，满足⎩⎨⎧≤≥+001m m a a 的项数m 使得m s 取最大值. (2)当1a <0,d>0时，满足⎩⎨⎧≥≤+001m m a a 的项数m 使得m s 取最小值。

在解含绝对值的数列最值问题时,注意转化思想的应用。

二、基本训练1、一个凸n 边形，各内角的度数成等差数列，公差为10°，最小内角为100°，则边数ｎ＝＿.2. （05福建卷）3．已知等差数列}{n a 中，12497,1,16a a a a 则==+的值是（ ）A ．15B ．30C ．31D ．64 3、（江苏卷）在各项都为正数的等比数列｛a n ｝中，首项a 1=3 ，前三项和为21，则a 3+ a 4+ a 5= ( A ) 33 ( B ) 72 ( C ) 84 ( D )1894、首项为-24的等差数列，从第10项起开始为正数，则公差的取值范围是A 、 d>83B 、 d<3C 、 83≤d<3D 、 83<d ≤35、（04年全国卷三.理3）设数列}{n a 是等差数列，且62-=a ，68=a ，n S 是数列}{n a 的前n 项和，则（A ）54S S < （B ）54S S = （C ）56S S > （D ）56S S =三、例题分析 例1、①数列 {}n a 中，a n =a n-1+12(n ≥2，*n N ∈)，a n =32，前n 项和S n =－152，则a 1＝＿，n ＝＿。

3.3 等比数列●知识梳理 1.定义数列{a n }从第2项起，每一项与它前一项的比等于同一个常数的数列称作等比数列.常数叫公比.2.通项公式：a n =a 1q n －1，推广形式：a n =a m q n －m .变式：q =mn mna a -（n 、m ∈N *）. 3.前n 项和S n =⎪⎩⎪⎨⎧≠≠--=--=).10(11)1(),1(111q q q qa a q q a q na n n 或注：q ≠1时，m n S S =mnq q --11.4.等比中项：若a 、b 、c 成等比数列，则b 为a 、c 的等比中项，且b =±ac .5.三个数或四个数成等比数列且又知积时，则三个数可设为q a 、a 、aq ，四个数可设为3qa、qa、aq 、aq 3为好. 6.证明等比数列的方法：（1）用定义：只需证nn a a 1+=常数；（2）用中项性质：只需a n +12=a n ·a n +2或n n a a 1+=12++n n a a . ●点击双基1.一个直角三角形三内角的正弦值成等比数列，其最小内角是A.arccos215- B.arcsin215- C.arccos 251-D.arcsin 251-解析：设Rt △ABC 中，C =2π，则A 与B 互余且A 为最小内角.又由已知得sin 2B =sin A ，即cos 2A =sin A ，1－sin 2A =sin A ，解之得sin A =215-或sin A =215--（舍）.答案：B2.设{a n }是由正数组成的等比数列，公比q =2，且a 1·a 2·a 3·…·a 30=230，那么a 3·a 6·a 9·…·a 30等于A.210B.220C.216D.215解析：由等比数列的定义，a 1·a 2·a 3=（q a 3）3，故a 1·a 2·a 3·…·a 30=（1030963qa a a a ⋅⋅⋅⋅⋅⋅）3.又q =2，故a 3·a 6·a 9·…·a 30=220.答案：B3.某纯净水制造厂在净化水过程中，每增加一次过滤可减少水中杂质20%，要使水中杂质减少到原来的5%以下，则至少需过滤的次数为A.5B.10C.14D.15解析：由题意列式（1－20%）n ＜5%，两边取对数得n ＞2lg 3112lg -+≈13.4.故n ≥14.答案：C4.（2004年全国，文14）已知等比数列{a n }中，a 3=3，a 10=384，则该数列的通项a n =___________________.解析：由已知得q 7=aa 10=128=27，故q =2.∴a n =a 3·q n －3=3·2n －3. 答案：3·2n －35.如下图，在杨辉三角中，从上往下数共有n （n ∈N *）行，在这些数中非1的数字之和是___________________.1 1 1 12 1 13 3 1 14 6 4 1……解析：观察可知，第n （n ∈N *）行中有n 个数，从左向右依次是二项式系数C 01-n ，C 11-n ，C 21-n ，…，C 11--n n ，故当n ≥3时，除了1外，第n 行各数的和为a n =C 11-n +C 21-n +…+C 21--n n =2n －1－2.又前两行全部为数字1，故前n 行非1的数字之和为a 3+a 4+…+a n =21)21(42---n －2（n －2）=2n －2n .答案：2n －2n ●典例剖析【例1】 已知等比数列{a n }中，a 1+a 2+a 3=7，a 1a 2a 3=8，求a n . 剖析：利用等比数列的基本量a 1，q ，根据条件求出a 1和q . 解：设{a n }的公比为q ，由题意知⎪⎩⎪⎨⎧=⋅⋅=++,8,721112111q a q a a q a q a a解得⎩⎨⎧==2,11q a 或⎪⎩⎪⎨⎧==.21,41q a ∴a n =2n －1或a n =23－n.评述：转化成基本量解方程是解决数列问题的基本方法.思考讨论用a 2和q 来表示其他的量好解吗？该题的{a n }若成等差数列呢？【例2】 已知数列｛a n ｝为等差数列，公差d ≠0，｛a n ｝的部分项组成下列数列：a 1k ，a 2k ，…，a n k ，恰为等比数列，其中k 1＝1，k 2＝5，k 3＝17，求k 1＋k 2＋k 3＋…＋k n .剖析：运用等差（比）数列的定义分别求得a n k ，然后列方程求得k n .解：设｛a n ｝的首项为a 1，∵a 1k 、a 2k 、a 3k 成等比数列，∴（a 1＋4d ）2＝a 1（a 1＋16d ）. 得a 1＝2d ，q ＝12k k a a ＝3.∵a n k ＝a 1＋（k n －1）d ，又a n k ＝a 1·3n －1，∴k n ＝2·3n －1－1.∴k 1＋k 2＋…＋k n ＝2（1＋3＋…＋3n －1）－n＝2×3131--n－n ＝3n －n －1.评述：运用等差（比）数列的定义转化为关于k n 的方程是解题的关键，转化时要注意：a n k 是等差数列中的第k n 项，而是等比数列中的第n 项.【例3】 设各项均为正数的数列{a n }和{b n }满足5n a ，5n b ，51+n a 成等比数列，lg b n ，lg a n +1，lg b n +1成等差数列，且a 1=1，b 1=2，a 2=3，求通项a n 、b n .剖析：由等比中项、等差中项的性质得a n +1=1+⋅n n b b 递推出a n =n n b b ⋅-1（n ≥2）. 解：∵5n a ，5n b ，51+n a 成等比数列， ∴（5n b ）2=5n a ·51+n a ，即2b n =a n +a n +1.①又∵lg b n ，lg a n +1，lg b n +1成等差数列， ∴2lg a n +1=lg b n +lg b n +1，即a n +12=b n ·b n +1.②由②及a i ＞0，b j ＞0（i 、j ∈N *）可得 a n +1=1+⋅n n b b .③∴a n =n n b b 1-（n ≥2）.④将③④代入①可得2b n =n n b b ⋅-1+1+⋅n n b b （n ≥2）， ∴2n b =1-n b +1+n b （n ≥2）. ∴数列{n b }为等差数列. ∵b 1=2，a 2=3，a 22=b 1·b 2，∴b 2=29. ∴n b =2+（n －1）（29－2） =21（n +1）（n =1也成立）.∴b n =2)1(2+n .∴a n =n n b b ⋅-1=2)1(222+⋅n n =2)1(+n n （n ≥2）. 又当n =1时，a 1=1也成立.∴a n =2)1(+n n .评述：由S n 求a n 时要注意验证a 1与S 1是否一致. 特别提示1.{a n }为等比数列是a n +12=a n ·a n +2的充分但不必要条件.2.若证{a n }不是等比数列，只需证a k 2≠a k －1a k +1（k 为常数，k ∈N ，且k ≥2）. ●闯关训练 夯实基础1.若等比数列{a n }的公比q ＜0，前n 项和为S n ，则S 8a 9与S 9a 8的大小关系是 A.S 8a 9＞S 9a 8 B.S 8a 9＜S 9a 8 C.S 8a 9=S 9a 8D.不确定 解析：由等比数列通项公式和前n 项和公式得 S 8·a 9－S 9·a 8=－q q a --1)1(81·a 1q 3－qq a --1)1(91·a 1q 7=q a q q q a ----1)]()[(16716821=qq q a --1)(7821=－a 12q 7.又q ＜0，则S 8·a 9－S 9·a 8＞0，即S 8·a 9＞S 9·a 8. 答案：A2.银行一年定期的年利率为r ，三年定期的年利率为q ，银行为吸收长期资金，鼓励储户存三年定期的存款，那么q 的值应略大于A.1)1(3-+rB.31［（1+r ）3－1］ C.（1+r ）3－1D.r解析：由题意得（1+r ）3＜1+3q ，故q ＞31［（1+r ）3－1］. 答案：B3.（2003年上海，8）若首项为a 1，公比为q 的等比数列{a n }的前n 项和总小于这个数列的各项和，则首项a 1，公比q 的一组取值可以是（a 1，q ）=___________.解析：由题意知q q a n --1)1(1＜qa-11且|q |＜1对n ∈N 都成立，∴a 1＞0，0＜q ＜1.答案：（1，21）（a 1＞0，0＜q ＜1的一组数） 4.设{a n }是首项为1的正项数列，且（n +1）a n +12－na n 2+a n +1a n =0（n ∈N *），则它的通项公式a n =___________________.解析：分解因式可得［（n +1）a n +1－na n ］·［a n +1+a n ］=0，又a n ＞0，则（n +1）a n +1－na n =0，即n n a a 1+=1+n n .又a 1=1，由累积法可得a n =n 1. 答案：n15.定义一种运算“*”对于任意非零自然数n 满足以下运算性质： （1）1*1=1； （2）（n +1）*1=3（n *1）. 试求n *1关于n 的代数式. 解：“n *1”是一个整体，联想数列通项形式，设n *1=a n ，则a 1=1，a n +1=3a n ，得a n =3n－1，即n *1=3n －1.6.等比数列{a n }的各项均为正数，其前n 项中，数值最大的一项是54，若该数列的前n 项之和为S n ，且S n =80，S 2n =6560，求：（1）前100项之和S 100. （2）通项公式a n .解：设公比为q ，∵S 2n －S n =6480＞S n ，∴q ＞1.则最大项是a n =a 1q n －1（∵a n ＞0）. ①又S n =qq a n --1)1(1=80，②S 2n =qq a n --1)1(21=6560，③由①②③解得a 1=2，q =3，则（1）前100项之和S 100=13)13(2100--=3100－1.（2）通项公式为a n =2·3n －1. 培养能力7.数列{a n }的前n 项和为S n ，数列{b n }中，b 1=a 1，b n =a n －a n －1（n ≥2），若a n +S n =n . （1）设c n =a n －1，求证：数列{c n }是等比数列； （2）求数列{b n }的通项公式.（1）证明：∵a 1=S 1，a n +S n =n ，∴a 1+S 1=1，得a 1=21.又a n +1+S n +1=n +1，两式相减得2（a n +1－1）=a n －1，即111--+n n a a =21，也即n n c c 1+=21，故数列{c n }是等比数列.（2）解：∵c 1=a 1－1=－21， ∴c n =－n 21，a n =c n +1=1－n 21，a n －1=1－121-n .故当n ≥2时，b n =a n －a n －1=121-n －n 21=n 21.又b 1=a 1=21，即b n =n 21（n ∈N *）.8.设数列｛a n ｝、｛b n ｝（b n ＞0，n ∈Ｎ*），满足a n ＝nb b b nlg lg lg 21+⋅⋅⋅++（n ∈Ｎ*），证明：｛a n ｝为等差数列的充要条件是｛b n ｝为等比数列.证明：充分性：若｛b n ｝为等比数列，设公比为q ，则a n ＝n q q q b n n )lg(lg 121-⋅⋅⋅⋅⋅⋅+＝nq b n n n 2)1(1lg lg -+＝lg b 1＋（n －1）lg q 21，a n ＋1－a n ＝lg q 21为常数，∴｛a n ｝为等差数列.必要性：由a n ＝nb b b nlg lg lg 21+⋅⋅⋅++得na n ＝lg b 1＋lg b 2＋…＋lg b n ，（n ＋1）a n ＋1＝lg b 1＋lg b 2＋…＋lg b n ＋1，∴n （a n ＋1－a n ）＋a n ＋1＝lg b n ＋1.若｛a n ｝为等差数列，设公差为d ， 则nd ＋a 1＋nd ＝lg b n ＋1，∴b n ＋1＝10nd a 21+，b n ＝10d n a )1(21-+. ∴nn b b 1+＝102d 为常数. ∴｛b n ｝为等比数列. 探究创新9.有点难度哟！设数列｛a n ｝，a 1＝65，若以a 1，a 2，…，a n 为系数的二次方程：a n －1x 2－a n x ＋1＝0（n ∈Ｎ*且n ≥2）都有根α、β满足3α－αβ＋3β＝1.（1）求证:｛a n －21｝为等比数列；（2）求a n ；（3）求｛a n ｝的前n 项和S n .（1）证明：∵α＋β＝1-n n a a ，αβ＝11-n a 代入3α－αβ＋3β＝1得a n ＝31a n －1＋31， ∴21211---n n a a ＝2121313111--+--n n a a ＝31为定值. ∴数列｛a n －21｝是等比数列. （2）解：∵a 1－21＝65－21＝31，∴a n －21＝31×（31）n －1＝（31）n .∴a n ＝（31）n ＋21.（3）解：S n ＝（31＋231+…+n 31)+2n ＝311)311(31--n +2n ＝21+n －n 321⨯. ●思悟小结1.深刻理解等比数列的定义，紧扣从“第二项起”和“比是同一常数”这两点.2.运用等比数列求和公式时，需对q =1和q ≠1进行讨论.3.证明数列{a n }是等差数列的两种基本方法是： （1）利用定义，证明1-n na a （n ≥2）为常数； （2）利用等比中项，即证明a n 2=a n －1·a n +1（n ≥2）. ●教师下载中心 教学点睛1.等比数列的性质在求解中有着十分重要的作用，应让学生熟练掌握、灵活运用.2.解决等比数列有关问题的常见思想方法：（1）方程的思想：等比数列中五个元素a 1、a n 、n 、q 、S n 可以“知三求二”；（2）分类讨论的思想：当a 1＞0，q ＞1或a 1＜0，0＜q ＜1时为递增数列，当a 1＜0，q ＞1或a 1＞0，0＜q ＜1时为递减数列；当q ＜0时为摆动数列；当q =1时为常数列.3.转化为“基本量”是解决问题的基本方法. 拓展题例【例1】 数列{a n }中，a 1=1，a n =21a n －1+1（n ≥2），求通项公式a n . 解：由a n =21a n －1+1，得a n －2=21（a n －1－2）. 令b n =a n －2，则b n －1=a n －1－2，∴有b n =21b n －1.∴b n =21b n －1=21·21b n －2=21·21·21b n －3 =…=b 1=（21）n －1·b 1. ∵a 1=1，∴b 1=a 1－2=－1.∴b n =－（21）n －1.∴a n =2－121 n .【例2】 已知数列{a n }中，a 1=65，a 2=3619并且数列log 2（a 2－31a ），log 2（a 3－32a ），…，log 2（a n +1－3n a ）是公差为－1的等差数列，而a 2－21a ，a 3－22a，…，a n +1－2n a 是公比为31的等比数列，求数列{a n }的通项公式. 分析：由数列{log 2（a n +1－3n a）}为等差数列及等差数列的通项公式，可求出a n +1与a n的一个递推关系式①；由数列{a n +1－2n a}为等比数列及等比数列的通项公式，可求出a n +1与a n 的另一个递推关系式②.解两个关系式的方程组，即可求出a n .解：∵数列{log 2（a n +1－3n a）}是公差为－1的等差数列，∴log 2（a n +1－3n a ）=log 2（a 2－31a 1）+（n －1）（－1）=log 2（3619－31×65）－n +1=－（n +1），于是有a n +1－3n a =2－（n +1）.①又∵数列{a n +1－21a n }是公比为31的等比数列，∴a n +1－21a n =（a 2－21a 1）·3－（n －1）=（3619－21×65）·3－（n －1）=3－（n +1）.于是有a n +1－21a n =3－（n +1）.②由①－②可得61a n =2－（n +1）－3－（n +1）， ∴a n =n 23－n 32.。

3.2 等差数列巩固·夯实基础一、自主梳理1.若数列{a n }从第二项起,每一项与它的前一项的差等于同一个常数,则数列{a n }叫做等差数列.2.等差数列{a n }的通项公式a n =a 1+(n-1)d,它是关于n 的一次函数,且一次项的系数为d.3.等差数列{a n }的前n 项和S n =na 1+2)1(-n n d,它是关于n 的二次函数,但缺少常数项. 4.若a 、b 、c 成等差数列,则b 叫a 与b 的等差中项,且b=2c a +. 二、点击双基1.(2006山东潍坊检测)等差数列{a n }中,a 1+a 2+…+a 50=200,a 51+a 52+…+a 100=2 700,则公差d 等于( )A.-1B.1C.5D.50解析:由a 1+a 2+…+a 50=50，得50a 50-(1+2+3+…+49)d=200. ①由a 51+a 52+…+a 100=50，得50a 50+(1+2+…+50)d=2 700. ②②-①得2 500d=2 500.∴d=1.故选择B.答案:B2.(经典回放) 已知方程(x 2-2x+m)(x 2-2x+n)=0的四个根组成一个首项为41的等差数列，则|m-n|等于( )A.1B.43C.21D.83 解析:设4个根分别为x 1、x 2、x 3、x 4,则x 1+x 2=2,x 3+x 4=2,由等差数列的性质，当m+n=p+q 时，a m +a n =a p +a q .设x 1为第一项，x 2必为第4项，可得数列为41,43,45,47,∴m=167,n=1615. ∴|m-n|=21. 答案:C3.(2005全国高考卷Ⅱ)如果数列{a n }是等差数列,则( )A.a 1+a 8<a 4+a 5B.a 1+a 8=a 4+a 5C.a 1+a 8>a 4+a 5D.a 1·a 8=a 4·a 5 答案：B4.(2004上海春季高考)在数列{a n }中，a 1=3,且对任意大于1的正整数n,点(n a ,1-n a )在直线x-y-3=0上，则a n =_____________.解析:将点代入直线方程得n a -1-n a =3,由定义知{n a }是以3为首项，以3为公差的等差数列，故n a =3n,即a n =3n 2.答案:3n 2诱思·实例点拨【例1】 已知{a n }为等差数列，前10项的和S 10=100，前100项的和S 100=10，求前110项的和S 110.剖析:方程的思想，将题目条件运用前n 项和公式，表示成关于首项a 1和公差d 的两个方程. 解:设{a n }的首项为a 1,公差为d ，则⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=⨯⨯+=⨯⨯+,109910021100,100910211011d a d a 解得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=,1001099,50111d a ∴S 110=110a 1+21×110×109d=-110. 讲评:解决等差(比）数列的问题时，通常考虑两类方法:(1)基本量法，即运用条件转化成关于a 1和d(q)的方程；(2)巧妙运用等差(比）数列的性质(如下标和的性质、子数列的性质、和的性质).一般地，运用数列的性质，可化繁为简.链接·拓展试用等差数列关于和的性质求解此题.【例2】 设{a n }是等差数列,证明以b n =na a a n +⋅⋅⋅++21(n ∈N *)为通项公式的数列{b n }是等差数列.证法一:设等差数列{a n }的公差是d(常数),∴b n -b n-1=na a a n +⋅⋅⋅++21-1121-+⋅⋅⋅++-n a a a n =)1(2))(1(2)(111-+--+-n a a n n a a n n n =22111-+-+n n a a a a =21(a n -a n-1) =21d(常数),其中n ≥2. ∴{b n }是等差数列.证法二:等差数列{a n }的前n 项和S n =na 1+2)1(-n n d, ∴b n =n n a a a n 121=+⋅⋅⋅++［na 1+2)1(-n n d ］ =a 1+21-n =2d ·n+(a 1-2d ).∴{b n }是等差数列.讲评:判断或证明数列是等差数列的方法有:(1)定义法:a n+1-a n =d(常数)(n ∈N *)⇔{a n }是等差数列;(2)中项公式法:2a n+1=a n +a n+2(n ∈N *)⇔{a n }是等差数列;(3)通项公式法:a n =kn+b(k 、b 是常数)(n ∈N *)⇔{a n }是等差数列;(4)前n 项和公式法:S n =An 2+Bn(A 、B 是常数)(n ∈N *)⇔{a n }是等差数列.【例3】 已知数列{a n }的前n 项和S n =12n-n 2,求数列{|a n |}的前n 项和T n . 剖析:由S n =12n-n 2知S n 是关于n 的无常数项的二次函数(n ∈N *)，可知{a n }为等差数列，求出a n ，然后再判断哪些项为正，哪些项为负，最后求出T n . 解:当n=1时，a 1=S 1=12-12=11;当n ≥2时，a n =S n -S n-1=12n-n 2-［12(n-1)-(n-1)2］=13-2n. ∵n=1时适合上式,∴{a n }的通项公式为a n =13-2n.由a n =13-2n ≥0,得n ≤213， 即当1≤n ≤6(n ∈N *)时,a n ＞0;当n ≥7时，a n ＜0.(1)当1≤n ≤6(n ∈N *)时，T n =|a 1|+|a 2|+…+|a n |=a 1+a 2+…+a n =12n-n 2.(2)当n ≥7(n ∈N *)时，T n =|a 1|+|a 2|+…+|a n |=(a 1+a 2+…+a 6)-(a 7+a 8+…+a n )=-(a 1+a 2+…+a n )+2(a 1+…+a 6)=-S n +2S 6=n 2-12n+72.∴T n =⎪⎩⎪⎨⎧∈≥+-∈≤≤-.,7,7212,,61,12*2*2N n n n n N n n n n讲评:此类求和问题先由a n 的正负去掉绝对值符号，然后分类讨论转化成{a n }的求和问题. 链接·拓展若此题的S n =n 2-12n ，那又该怎么求T n 呢？答案:T n =⎩⎨⎧≥-≤-.7,2,6,6n S S n S n n。

同步练习 g3.1023等差数列和等比数列（2）1. 在公比为整数的等比数列{}n a 中，如果14231812a a a a +=+=，则这个等比数列前8项的和为 A.513 B.512 C.510 D.2258 2. 若数列{}n a 的前n 项和为S ｎ＝3n +a ，若数列{}n a 为等比数列，则实数a 的取值是A 、3B 、 1C 、 0D 、-13、 等差数列{}n a 中，12010=S ，那么29a a +的值是（A ） 12 （B ） 24 （C ） 16 （D ） 484、等比数列}{n a 中，已知5,1087654321-=+++=+++a a a a a a a a ，则数列}{n a 的前16项和S 16为A ．－50B ．425C ．4125D ．425- 5．在等差数列{a n }中，已知a 4+ a 7+ a 10 = 17，a 4+ a 5 + a 6+ ┄ + a 14 = 77, 若a k =13，则k 等于A. 16B. 18C. 20D. 226.已知数列 {}n a 的前n 项和）（40-=n n S n ，则下列判断正确的是： A.0,02119<>a a B. 0,02120<>a a C. 0,02119><a a D. 0,02019><a a7、已知等差数列{a n }的公差d ≠0，且a 1, a 3, a 9成等比数列，则1042931a a a a a a ++++的值是 （A ）1415 （B ）1312 （C ）1613 （D ）16158. 设{}n a 是公比为q 的等比数列，n S 是它的前n 项和。

若{}n S 是等差数列，则q = 。

9. 已知数列{}n a 是非零等差数列，又1a 、3a 、9a 组成一个等比数列的前三项，则1392410a a a a a a ++=++ . 10. 若数列22331,2cos ,2cos ,2cos ,θθθ前100项之和为0，则θ= 。

g3.1022 等差数列和等比数列（ 一、知识回首1. 等差数列和等比数列的见解、相关公式和性质等差数列定义{ a n }为A P an 1 a n d (常数） 通项公式a n = a 1 + （ n-1 ） d= a k + （ n-k ）d= dn + a 1 -dn( a 1 a n )n(n 1)dsna1求和公式n22d n 2 d)n(a 122a b推 广：中项公式A=22 a n = a n m a n m1 若 m+n=p+q 则 a ma na pa q2若 { k n } 成 A.P （其中 k n N ）则性 { a k n } 也为 A.P 。

质3 ．s n , s 2n s n, s 3 n s2 n成等差数列。

1）等比数列{ a n } 为GPan 1q(常数）a na n a 1q n 1 a k q n kna 1(q1)s na 1 (1 q n )a 1 a n q1)1 q1 (qqG 2ab 。

实行： a n2a n man m若 m+n=p+q ，则 a m a n a p a q 。

若 { k n } 成等差数列 （其中 k n N ），则 { a k n } 成等比数列。

s n , s 2ns n , s 3 n s 2n 成等比数列。

4da n a 1 a m a n (m n)q n 1a n ， q n m an(m n)n 1 mna 1 a m2. 判断和证明数列是等差（等比）数列常有三种方法：(1)定义法 :对于 n ≥ 2 的随意自然数 ,验 证 a n a n 1 (a n ) 为 同 一 常 数 。

(2)通项公式法。

(3)中项公式法:考证an 12a n 1 a n a n 2 (a n 2 1 a n a n 2 ) n N 都建立。

3. 在等差数列｛n的最值问题：(1) 当 a 1 >0,d<0 a m 0的项数 m 使a n ｝中 ,相关 S时，知足a m 1得 s m 取最大值 . (2)当 a 1a m 0的项数 m 使得 s m 取最小值。

g3.1020函数的综合应用（2）一、 复习目标：以近年高考对函数的考查为主，复习综合运用函数的知识、方法和思想解决问题. 二、基本练习：1、(2005年高考·福建卷·理12))(x f 是定义在R 上的以3为周期的奇函数，且0)2(=f 则方程)(x f =0在区间（0，6）内解的个数的最小值是（错题！）（ ）A ．2B ．3C ．4D ．52. （辽宁卷）一给定函数)(x f y =的图象在下列图中，并且对任意)1,0(1∈a ，由关系式)(1n n a f a =+得到的数列}{n a 满足)(*1N n a a n n ∈>+，则该函数的图象是（ ）3、(2005年高考·辽宁卷7)在R 上定义运算).1(:y x y x -=⊗⊗若不等式1)()(<+⊗-a x a x 对任意实数x 成立，则 （ ）A ．11<<-aB ．20<<aC ．2321<<-a D ．2123<<-a4.（05江苏卷）若3a=0.618,a ∈[),1k k +,k ∈Z ，则k = .5. （05北京卷）对于函数f (x )定义域中任意的x 1，x 2（x 1≠x 2），有如下结论： ①f (x 1＋x 2)=f (x 1)·f (x 2)；② f (x 1·x 2)=f (x 1)+f (x 2)③1212()()f x f x x x -->0；④1212()()()22x x f x f x f ++<.当f (x )=l gx 时，上述结论中正确结论的序号是6．（05福建卷）把下面不完整的命题补充完整，并使之成为真命题.若函数x x f 2log3)(+=的图象与)(x g 的图象关于 对称，则函数)(x g =.（注：填上你认为可以成为真命题的一种情形即可，不必考虑所有可能的情形）三、例题分析：1、 (05广东卷)设函数)7()7(),2()2(),()(x f x f x f x f x f +=-+=-+∞-∞上满足在，且在闭区间[0，7]上，只有.0)3()1(==f f （Ⅰ）试判断函数)(x f y =的奇偶性；（Ⅱ）试求方程0)(=x f 在闭区间[－2005，2005]上的根的个数，并证明你的结论.2. （05北京卷）设f (x )是定义在[0, 1]上的函数，若存在x *∈(0，1)，使得f (x )在[0, x *]上单调递增，在[x *，1]上单调递减，则称f (x )为[0, 1]上的单峰函数，x *为峰点，包含峰点的区间为含峰区间．对任意的[0，l]上的单峰函数f (x )，下面研究缩短其含峰区间长度的方法．（I ）证明：对任意的x 1，x 2∈(0，1)，x 1＜x 2，若f (x 1)≥f (x 2)，则(0，x 2)为含峰区间；若f (x 1)≤f (x 2)，则(x *，1)为含峰区间；（II ）对给定的r （0＜r ＜0.5），证明：存在x 1，x 2∈(0，1)，满足x 2－x 1≥2r ，使得由（I ）所确定的含峰区间的长度不大于 0.5＋r ；（III ）选取x 1，x 2∈(0, 1)，x 1＜x 2，由（I ）可确定含峰区间为(0，x 2)或(x 1，1)，在所得的含峰区间内选取x 3，由x 3与x 1或x 3与x 2类似地可确定一个新的含峰区间．在第一次确定的含峰区间为(0，x 2)的情况下，试确定x 1，x 2，x 3的值，满足两两之差的绝对值不小于0.02，且使得新的含峰区间的长度缩短到0.34.（区间长度等于区间的右端点与左端点之差）3、已知函数f x a x k ()=+（a >0且a ≠1）的图像过（-1，1）点，其反函数f x -1()的图像过（8，2）点.（1）求a 、k 的值；（2）若将y f x =-1()的图像向左平移2个单位，再向上平移1个单位，就得到函数y g x =()的图象，写出y g x =()的解析式； （3）若函数F x g x f x ()()()=--21，求F x ()的最小值及取得最小值时的x 的值。

g3.1022等差数列和等比数列（1）一、知识回顾)(11---n nn n a a a a 为同一常数。

(2)通项公式法。

(3)中项公式法:验证212-++=n n n a a a N n a a a n n n ∈=++)(221都成立。

3. 在等差数列｛n a ｝中,有关S n 的最值问题：(1)当1a >0,d<0时，满足⎩⎨⎧≤≥+01m m a a 的项数m 使得m s 取最大值. (2)当1a <0,d>0时，满足⎩⎨⎧≥≤+01m m a a 的项数m 使得m s 取最小值。

在解含绝对值的数列最值问题时,注意转化思想的应用。

二、基本训练1、一个凸n 边形，各内角的度数成等差数列，公差为10°，最小内角为100°，则边数ｎ＝＿. 2. （05福建卷）3．已知等差数列}{n a 中，12497,1,16a a a a 则==+的值是 （ ） A ．15 B ．30 C ．31 D ．64 3、（江苏卷）在各项都为正数的等比数列｛a n ｝中，首项a 1=3 ，前三项和为21，则a 3+ a 4+ a 5= ( A ) 33 ( B ) 72 ( C ) 84 ( D )1894、首项为-24的等差数列，从第10项起开始为正数，则公差的取值范围是A 、 d>83B 、 d<3C 、 83≤d<3D 、 83<d ≤35、（04年全国卷三.理3）设数列}{n a 是等差数列，且62-=a ，68=a ，n S 是数列}{n a 的前n 项和，则（A ）54S S < （B ）54S S = （C ）56S S > （D ）56S S =三、例题分析例1、①数列 {}n a 中，a n =a n-1+12 (n ≥2，*n N ∈)，a n =32，前n 项和S n =－152，则a 1＝＿，n ＝＿。

②设等差数列{}n a 的前n 项和为S n ，已知S 7=7，S 15=75，T ｎ为数列｛nS n｝的前ｎ项和，求T n例2 设{}n a 是等差数列，求证：以b n =na a a n+++ 21 *n N ∈为通项公式的数列{}n b 为等差数列例3、已知数列 {}n a 的前n 项和S n =12n －n 2，求数列｛｜a n ｜｝的前n 项和T n .例4、等差数列{}n a 中，125a =，917S S =，问此数列前多少项和最大？并求此最大值。