2014高考数学理复习方案 二轮作业手册专题限时集：第5讲 函数与方程、函数模型及其应用 Word版含解析

专题限时集训（二十一)A[第21讲不等式选讲］（时间：30分钟)1．已知关于x的不等式|a|x－1|≥2（a＞0）．（1)当a＝1时，求不等式的解集；(2）若不等式的解集为R，求实数a的取值范围．2．设函数f（x）＝|2x＋1|－｜x－2|.(1)求不等式f(x）>2的解集;(2)若对∀x∈R,f（x）≥t2－112t恒成立,求实数t的取值范围．3．已知函数f（x)＝|x－1｜，g(x)＝－|x＋3｜＋a（a∈R)．(1)解关于x的不等式g(x）〉6；(2）若函数y＝2f(x)的图像恒在函数y＝g（x)的图像上方，求实数a的取值范围．4．已知关于x的不等式|x－3｜＋｜x－4|〈3a2－7a＋4。

(1)当a＝2时，解上述不等式；(2)如果关于x 的不等式｜x －3｜＋｜x －4｜〈23a 2－7a ＋4的解集为空集，求实数a 的取值范围．专题限时集训（二十一)A1．解：（1）当a ＝1时，不等式为|x －2|＋|x －1|≥2。

当x ≤1时，不等式为－(x －2)－(x －1)≥2，解得x ≤错误!。

当1<x 〈2时，不等式为－（x －2）＋（x －1）≥2，无解． 当x ≥2时,不等式为（x －2)＋(x －1)≥2，解得x ≥错误!。

则不等式的解集为错误!.(2)∵｜ax －2|＋a |x －1|≥|（ax －2）－（ax －a ）|＝｜a －2｜， ∴原不等式的解集为R 等价于|a －2｜≥2,∴a ≥4或a ≤0.又∵a 〉0，∴实数a 的取值范围是[4，＋∞）．2．解:(1）f (x ）＝错误!当x 〈－错误!时，－x －3〉2，则x <－5；当－12≤x <2时,3x －1〉2，x >1,则1<x <2； 当x ≥2时,x ＋3〉2，x 〉－1，则x ≥2，综上所述，f （x )>2的解集为｛x ｜x 〉1或x 〈－5｝．（2）易得f (x )min ＝－错误!，若对∀x ∈R ，f （x ）≥t 2－错误!t 恒成立,则只需f (x )min ＝－错误!≥t 2－错误!t ⇒2t 2－11t ＋5≤0⇒错误!≤t ≤5， 综上所述，t 的取值范围为错误!≤t ≤5。

专题限时集训(五)[第5讲 函数与方程、函数模型及其应用](时间：45分钟)1．函数f(x)＝ln x －1x －1(x>1)的零点所在的区间为( )A.⎝⎛⎭⎫1，32B.⎝⎛⎭⎫32，2 C.⎝⎛⎭⎫2，52 D.⎝⎛⎭⎫52，3 2．如图X5－1所示，图(1)反映的是某条公共汽车线路收支差额y 与乘客量x 之间关系的图像．由于目前该条公交线路亏损，公司有关人员提出两种调整建议，如图(2)(3)所示．(图 1给出以下说法：①图(2)的建议是：提高成本，并提高票价； ②图(2)的建议是：降低成本，并保持票价不变； ③图(3)的建议是：提高票价，并保持成本不变； ④图(3)的建议是：提高票价，并降低成本． 其中说法正确的序号是( )A ．①③B ．①④C ．②③D ．②④3．规定记号“ ”表示一种运算，即a b ＝a 2＋2ab －b 2.设函数f(x)＝x 2，且关于x 的方程f(x)＝lg|x ＋2|(x ≠－2)恰有四个互不相等的实数根x 1，x 2，x 3，x 4，则x 1＋x 2＋x 3＋x 4的值是( )A ．－4B ．4C ．8D ．－8 4．“m<0”是“函数f(x)＝m ＋log 2x(x ≥1)存在零点”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分又不必要条件5．函数f(x)＝|x －2|－ln x 在定义域内的零点个数为( ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．36．函数f(x)＝－|x －5|＋2x －1的零点所在的区间是( ) A ．(0，1) B ．(1，2) C ．(2，3) D ．(3，4)7安装这种供电设备的成本费(单位：万元)与太阳能电池板的面积(单位：平方米)成正比，比例系数约为12，为了保证正常用电，安装后采用太阳能和电能互补供电的模式．假设在此模式下，安装后该企业每年消耗的电费C(单位：万元)与安装的这种太阳能电池板的面积x(单位：平方米)之间的函数关系是C(x)＝120x ＋5(x>0)．记该企业安装这种太阳能供电设备的费用与该企业15年共将消耗的电费之和为F(x)(万元)，则F(40)等于( )A ．80B ．60C ．4023D ．408．若函数y ＝f(x)(x ∈R )满足f(x ＋1)＝f(x －1)，且x ∈[－1，1]时，f(x)＝1－x 2，函数g(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧lg x （x>0），－1x（x<0），则函数h(x)＝f(x)－g(x)在区间[－5，5]内的零点的个数为( )A ．6B ．7C ．8D ．99．在R 上定义运算 ：x y ＝x(1－y)．若对任意x>2，不等式(x －a) x ≤a ＋2都成立，则实数a 的取值范围是( )A ．[－1，7]B ．(－∞，3]C ．(－∞，7]D ．(－∞，－1]∪[7，＋∞)10．若x 1，x 2是函数f(x)＝x 2＋mx －2(m ∈R )的两个零点，且x 1<x 2，则x 2－x 1的最小值是________．11．函数f(x)＝ln x －1x －1在区间(k ，k ＋1)(k ∈N *)上存在零点，则k 的值为________．12．某工厂产生的废气经过过滤后排放，过滤前的废气的污染指数量为P 0 mg/L ，过滤过程中废气的污染指数量P mg/L 与时间t h 间的关系为P ＝P 0e －kt .如果在前5个小时消除了10%的污染物，则10小时后还剩________%的污染物．13．某公司一年购买某种货物600吨，每次都购买x 吨(x 为600的约数)，运费为3万元/次，一年的总存储费用为2x 万元．若要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则每次需购买________吨．14．对于二次函数f(x)＝ax 2＋bx ＋c ，有下列命题： ①若f(p)＝q ，f(q)＝p(p ≠q)，则f(p ＋q)＝－(p ＋q)； ②若f(p)＝f(q)(p ≠q)，则f(p ＋q)＝c ；③若f(p ＋q)＝c(p ≠q)，则p ＋q ＝0或f(p)＝f(q)．其中一定正确的命题是________(写出所有正确命题的序号)．15．某医药研究所开发一种新药，在试验药效时发现：如果成人按规定剂量服用，那么服药后每毫升血液中的含药量y(微克)与时间x(小时)之间满足y ＝⎩⎪⎨⎪⎧axx 2＋1（0<x<1），a ·2x －14x －1＋1（x ≥1），其对应曲线(如图X5－2所示)过点⎝⎛⎭⎫12，165.(1)试求药量峰值(y 的最大值)与达峰时间(y 取最大值时对应的x 值)；(2)如果每毫升血液中含药量不少于1微克时治疗疾病有效，那么成人按规定剂量服用该药后一次能维持多长的有效时间(精确到0.01小时)?16．已知函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－ax ＋1，x ≥a ，4x －4×2x －a，x<a. (1)若x<a 时，f(x)<1恒成立，求a 的取值范围；(2)若a ≥－4时，函数f(x)在实数集R 上有最小值，求实数a 的取值范围．专题限时集训(五) 1．C [解析] f(2)＝ln 2－1<0，f ⎝⎛⎭⎫52＝ln 52－23，由125>8e 2得52>e 23，所以f ⎝⎛⎭⎫52＝ln 52－23>0，因此f(2)f ⎝⎛⎭⎫52<0，所以其中的一个零点区间为⎝⎛⎭⎫2，52. 2．C [解析] 设图(1)中函数为y ＝kx －b ，其中k 为票价，b 为付出的成本，则图(2)是降低成本，并保持票价不变；图(3)是提高票价，并保持成本不变．3．D [解析] 函数f(x)＝x 2＋4x －4，由于函数y ＝f(x)，函数y ＝lg|x ＋2|的图像均关于直线x ＝－2对称，故四个根的和为－8.4．A [解析] 函数f(x)存在零点，则m ≤0，是充分不必要条件，故选A.5．C [解析] 分别画出函数y ＝ln x(x>0)和y ＝|x －2|(x>0)的图像，可得2个交点，故f(x)在定义域中零点个数为2.6．C [解析] f(2)·f(3)＝(－3＋2)(－2＋4)<0，所以该函数的零点所在的区间是(2，3)．7．B [解析] F(x)＝12x ＋15×120x ＋5，F(40)＝60.8．C [解析] 因为函数y ＝f(x)(x ∈R )满足f(x ＋1)＝f(x －1)，所以函数y ＝f(x)(x ∈R )是周期为2的周期函数，又因为x ∈[－1，1]时，f(x)＝1－x 2，所以作出函数f(x)(x ∈R )和g(x)的图像，如图所示．由图知函数h(x)＝f(x)－g(x)在区间[－5，5]内的零点的个数为8. 9．C [解析] 由题意得(x －a) x ＝(x －a)(1－x)， 故不等式(x －a) x ≤a ＋2化为(x －a)(1－x)≤a ＋2， 化简得x 2－(a ＋1)x ＋2a ＋2≥0，故原题等价于x 2－(a ＋1)x ＋2a ＋2≥0在(2，＋∞)上恒成立．由二次函数f(x)＝x 2－(a ＋1)x ＋2a ＋2的图像，可知其对称轴为x ＝a ＋12.讨论得⎩⎪⎨⎪⎧a ＋12≤2f （2）≥0或⎩⎨⎧a ＋12>2，f ⎝⎛⎭⎫a ＋12≥0，解得a ≤3或3<a ≤7，综上可得a ≤7.10．2 2 [解析] Δ＝m 2＋8>0(m ∈R )，x 2－x 1＝（x 2＋x 1）2－4x 2x 1＝m 2＋8≥2 2.11．0或2 [解析] 转化为两个函数y ＝ln x 与y ＝1x －1的图像的交点问题．依据图像可以判断零点存在的区间为(0，1)，(2，3)．因此k ＝0或k ＝2.12．81 [解析] P 0e －k ×5＝P 0×(1－10%)，e －5k ＝0.9，所以P 0e －k ×10＝P 0×0.81，即10小时后还剩81%的污染物．13．30 [解析] 设一年的总运费与总存储费用之和为y 万元，则y ＝600x×3＋2x ≥21800x ×2x ＝120，当且仅当1800x＝2x ，x ＝30时，取得等号． 14．②③ [解析] ②③正确，对于①，由f(p)＝q ，f(q)＝p(p ≠q)，得(p －q)[a(p ＋q)＋b ＋1]＝0，所以a(p ＋q)＋b ＋1＝0，a(p ＋q)2＋b(p ＋q)＋(p ＋q)＝0，f(p ＋q)＝－(p ＋q)＋c.15．解：(1)由曲线过点⎝⎛⎭⎫12，165，可得a ×1214＋1＝165，故a ＝8. 当0<x<1时，y ＝8x x 2＋1<8x2x ＝4，当x ≥1时，设2x －1＝t ，可知t ≥1，y ＝8×2x －14x －1＋1≤8t2t＝4(当且仅当t ＝1，即x ＝1时，等号成立)． 综上可知y max ＝4，且当y 取最大值时，对应的x 值为1. 所以药量峰值为4微克，达峰时间为1小时．(2)当0<x<1时，由8xx 2＋1＝1，可得x 2－8x ＋1＝0，解得x ＝4±15，又4＋15>1，故x ＝4－15.当x ≥1时，设2x －1＝t ，则t ≥1，8×2x －14x －1＋1＝1，可得8tt 2＋1＝1，解得t ＝4±15， 又t ≥1，故t ＝4＋15，所以2x －1＝4＋15， 可得x ＝log 2(4＋15)＋1.由图像知当y ≥1时，对应的x 的取值范围是[4－15，log 2(4＋15)＋1]， log 2(4＋15)＋1－(4－15)≈3.85，所以成人按规定剂量服用该药后一次能维持大约3.85小时的有效时间．16．解：(1)因为x<a 时，f(x)＝4x －4×2x －a ，所以令t ＝2x ，则有0<t<2a .当x<a 时f(x)<1恒成立，转化为t 2－4×t2a <1，即42a >t －1t在t ∈(0，2a )上恒成立． 令p(t)＝t －1t ，t ∈(0，2a )，则p′(t)＝1＋1t 2>0，所以p(t)＝t －1t 在(0，2a )上单调递增，所以42a ≥2a －12a ，所以2a ≤5，解得a ≤log 2 5.(2)当x ≥a 时，f(x)＝x 2－ax ＋1，即f(x)＝⎝⎛⎭⎫x －a 22＋1－a 24，当a2≤a 时，即a ≥0时，f(x)min ＝f(a)＝1； 当a 2>a 时，即－4≤a<0，f(x)min ＝f ⎝⎛⎭⎫a 2＝1－a 24.当x<a 时，f(x)＝4x －4×2x －a ，令t ＝2x ，t ∈(0，2a )，则h(t)＝t 2－42a t ＝⎝⎛⎭⎫t －22a 2－44a ，当22a <2a ，即a>12时，h(t)min ＝h ⎝⎛⎭⎫22a ＝－44a ； 当22a ≥2a ，即a ≤12时，h(t)在开区间t ∈(0，2a )上单调递减，h(t)∈(4a －4，0)，无最小值．综合x ≥a 与x<a ，所以当a>12时，1>－44a ，函数f(x)min ＝－44a ；当0≤a ≤12时，4a －4<0<1，函数f(x)无最小值；当－4≤a<0时，4a－4<－3≤1－a 24，函数f(x)无最小值．综上所述，当a>12时，函数f(x)有最小值．。

第五讲 导数及其应用1．导数的几何意义(1)函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数f ′(x 0)就是曲线y ＝f (x )在点(x 0，f (x 0))处的切线的斜率，即k ＝f ′(x 0)．(2)曲线y ＝f (x )在点(x 0，f (x 0))处的切线方程为 y －f (x 0)＝f ′(x 0)(x －x 0)．(3)导数的物理意义：s ′(t )＝v (t )，v ′(t )＝a (t )． 2．函数的单调性与导数如果已知函数在某个区间上单调递增(减)，则这个函数的导数在这个区间上大(小)于零恒成立．在区间上离散点处导数等于零，不影响函数的单调性，如函数y ＝x ＋sin x . 3．函数的导数与极值对可导函数而言，某点导数等于零是函数在该点取得极值的必要条件，但对不可导的函数，可能在极值点处函数的导数不存在(如函数y ＝|x |在x ＝0处)，因此对于一般函数而言，导数等于零既不是函数取得极值的充分条件也不是必要条件． 4．闭区间上函数的最值在闭区间上连续的函数，一定有最大值和最小值，其最大值是区间的端点处的函数值和在这个区间内函数的所有极大值中的最大者，最小值是区间端点处的函数值和在这个区间内函数的所有极小值中的最小值．1． (2013·广东)若曲线y ＝kx ＋ln x 在点(1，k )处的切线平行于x 轴，则k ＝________.答案 －1解析 ∵y ′＝k ＋1x，∴y ′|x ＝1＝k ＋1＝0，∴k ＝－1.2． (2013·福建)设函数f (x )的定义域为R ，x 0(x 0≠0)是f (x )的极大值点，以下结论一定正确的是( )A ．对任意x ∈R ，f (x )≤f (x 0)B ．－x 0是f (－x )的极小值点C ．－x 0是－f (x )的极小值点D ．－x 0是－f (－x )的极小值点 答案 D解析 A 错，因为极大值未必是最大值．B 错，因为函数y ＝f (x )与函数y ＝f (－x )的图象关于y轴对称，－x0应是f(－x)的极大值点．C错，函数y＝f(x)与函数y＝－f(x)的图象关于x轴对称，x0应为－f(x)的极小值点．D对，函数y＝f(x)与y＝－f(－x)的图象关于原点对称，－x0应为y＝－f(－x)的极小值点．3．(2013·浙江)已知函数y＝f(x)的图象是下列四个图象之一，且其导函数y＝f′(x)的图象如图所示，则该函数的图象是()答案 B解析从导函数的图象可以看出，导函数值先增大后减小，x＝0时最大，所以函数f(x)的图象的变化率也先增大后减小，在x＝0时变化率最大．A项，在x＝0时变化率最小，故错误；C项，变化率是越来越大的，故错误；D项，变化率是越来越小的，故错误．B 项正确．4．(2012·重庆)设函数f(x)在R上可导，其导函数为f′(x)，且函数y＝(1－x)f′(x)的图象如图所示，则下列结论中一定成立的是()A．函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(1)B．函数f(x)有极大值f(－2)和极小值f(1)C．函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(－2)D．函数f(x)有极大值f(－2)和极小值f(2)答案 D解析利用极值的存在条件判定．当x<－2时，y＝(1－x)f′(x)>0，得f′(x)>0；当－2<x<1时，y＝(1－x)f′(x)<0，得f′(x)<0；当1<x<2时，y＝(1－x)f′(x)>0，得f′(x)<0；当x>2时，y＝(1－x)f′(x)<0，得f′(x)>0，∴f (x )在(－∞，－2)上是增函数，在(－2,1)上是减函数，在(1,2)上是减函数，在(2，＋∞)上是增函数，∴函数f (x )有极大值f (－2)和极小值f (2)．5． (2013·安徽)若函数f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋c 有极值点x 1，x 2，且f (x 1)＝x 1，则关于x 的方程3(f (x ))2＋2af (x )＋b ＝0的不同实根个数是 ( )A ．3B ．4C ．5D ．6答案 A解析 f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋b ，由已知得x 1≠x 2，且⎩⎪⎨⎪⎧3x 21＋2ax 1＋b ＝0，3x 22＋2ax 2＋b ＝0，若x 1<x 2，y ＝x 1，y ＝x 2与f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋c 有三个不同交点．即方程3(f (x ))2＋2af (x )＋b ＝0有三个不同实根． 若x 1>x 2，如图，同理得方程3(f (x ))2＋2af (x )＋b ＝0有三个不同实根．题型一 导数意义及应用例1 (1)在平面直角坐标系xOy 中，点P 在曲线C ：y ＝x 3－10x ＋3上，且在第二象限内，已知曲线C 在点P 处的切线的斜率为2，则点P 的坐标为________．(2)函数y ＝x 2(x >0)的图象在点(a k ，a 2k )处的切线与x 轴的交点的横坐标为a k ＋1，其中k ∈N *.若a 1＝16，则a 1＋a 3＋a 5的值是________．审题破题 (1)利用导数的几何意义，列方程求交点P 的坐标．(2)本题是导数和数列的综合，可先从函数图象的切线方程出发，确定a k ＋1和a k 的关系． 答案 (1)(－2,15) (2)21解析 (1)因为y ′＝3x 2－10，设P (x ，y )， 则由已知有3x 2－10＝2，即x 2＝4，∴x ＝±2，又∵点P 在第二象限，∴x ＝－2. 则y ＝(－2)3－10×(－2)＋3＝15， ∴点P 坐标为(－2,15)． (2)对函数y ＝x 2，y ′＝2x ，∴函数y ＝x 2(x >0)在点(a k ，a 2k )处的切线方程为y －a 2k ＝2a k (x －a k )，令y ＝0得a k ＋1＝12a k . 又∵a 1＝16，∴a 3＝12a 2＝14a 1＝4，a 5＝14a 3＝1，∴a 1＋a 3＋a 5＝16＋4＋1＝21.反思归纳 在求曲线的切线方程时，注意两点：①求曲线在点P 处的切线方程和求曲线过点P 的切线方程，在点P 的切线，一定是以点P 为切点；过点P 的切线不管点P 在不在曲线上，点P 不一定是切点；②当切点坐标未知时，应首先设出切点坐标，再求解． 变式训练1 直线y ＝2x ＋b 是曲线y ＝ln x (x >0)的一条切线，则实数b ＝________.答案 －ln 2－1解析 切线的斜率是2，根据导数的几何意义可以求出切点的横坐标，进而求出切点的坐标，切点在切线上，代入即可求出b 的值．y ′＝1x ，令1x ＝2，得x ＝12，故切点为⎝⎛⎭⎫12，ln 12，代入直线方程，得ln 12＝2×12＋b ，所以b ＝－ln 2－1.题型二 利用导数研究函数的单调性 例2 已知函数f (x )＝x 2＋a ln x .(1)当a ＝－2时，求函数f (x )的单调递减区间； (2)若函数g (x )＝f (x )＋2x在[1，＋∞)上单调，求实数a 的取值范围．审题破题 (1)直接根据f ′(x )<0确定单调递减区间；(2)g (x )在[1，＋∞)上单调，则g ′(x )≥0或g ′(x )≤0在[1，＋∞)上恒成立． 解 (1)由题意知，函数的定义域为(0，＋∞)， 当a ＝－2时，f ′(x )＝2x －2x ＝2(x ＋1)(x －1)x，故f (x )的单调递减区间是(0,1)． (2)由题意得g ′(x )＝2x ＋a x －2x 2，函数g (x )在[1，＋∞)上是单调函数．①若g (x )为[1，＋∞)上的单调增函数，则g ′(x )≥0在[1，＋∞)上恒成立，即a ≥2x －2x 2在[1，＋∞)上恒成立，设φ(x )＝2x －2x 2，∵φ(x )在[1，＋∞)上单调递减， ∴φ(x )max ＝φ(1)＝0，∴a ≥0.②若g (x )为[1，＋∞)上的单调减函数， 则g ′(x )≤0在[1，＋∞)上恒成立，不可能．∴实数a 的取值范围为[0，＋∞)．反思归纳 利用导数研究函数单调性的一般步骤： (1)确定函数的定义域； (2)求导数f ′(x )；(3)①若求单调区间(或证明单调性)，只需在函数f (x )的定义域内解(或证明)不等式f ′(x )>0或f ′(x )<0.②若已知f (x )的单调性，则转化为不等式f ′(x )≥0或f ′(x )≤0在单调区间上恒成立问题求解．变式训练2 设函数f (x )＝e x －1－x －ax 2.(1)若a ＝0，求f (x )的单调区间；(2)若当x ≥0时f (x )≥0，求a 的取值范围． 解 (1)a ＝0时，f (x )＝e x －1－x ，f ′(x )＝e x －1.当x ∈(－∞，0)时，f ′(x )<0；当x ∈(0，＋∞)时，f ′(x )>0. 故f (x )在(－∞，0)上单调递减，在(0，＋∞)上单调递增． (2)f ′(x )＝e x －1－2ax .由(1)知e x ≥1＋x ，当且仅当x ＝0时等号成立， 故f ′(x )≥x －2ax ＝(1－2a )x ，从而当1－2a ≥0，即a ≤12时，f ′(x )≥0(x ≥0)．∴f (x )在[0，＋∞)上单调递增． 而f (0)＝0，于是当x ≥0时，f (x )≥0.由e x >1＋x (x ≠0)可得e －x >1－x (x ≠0)．从而当a >12时，f ′(x )<e x －1＋2a (e －x －1)＝e －x (e x－1)(e x －2a )，令e －x (e x －1)(e x －2a )<0得1<e x <2a ，∴0<x <ln 2a .故当x ∈(0，ln 2a )时，f ′(x )<0，∴f (x )在(0，ln 2a )上单调递减．而f (0)＝0，于是当x ∈(0，ln 2a )时，f (x )<0.不符合要求． 综上可得a 的取值范围为(－∞，12]．题型三 利用导数研究函数的极值(最值)例3 已知函数f (x )＝12x 2＋ln x .(1)求函数f (x )在区间[1，e]上的最大值、最小值；(2)求证：在区间(1，＋∞)上，函数f (x )的图象在函数g (x )＝23x 3的图象的下方．审题破题 (1)f (x )在闭区间[1，e]上的最大值、最小值要么在端点处取得，要么在极值点处取得．所以首先要研究f (x )在[1，e]上的单调性．(2)f (x )的图象在函数g (x )＝23x 3的图象的下方，即g (x )－f (x )在(1，＋∞)上恒大于0.(1)解 当x ∈[1，e]时，f ′(x )＝x ＋1x>0，所以f (x )在区间[1，e]上为增函数．所以当x ＝1时，f (x )取得最小值12；当x ＝e 时，f (x )取得最大值12e 2＋1.(2)证明 设h (x )＝g (x )－f (x )＝23x 3－12x 2－ln x ，x ∈[1，＋∞)，则h ′(x )＝2x 2－x －1x ＝2x 3－x 2－1x＝(x －1)(2x 2＋x ＋1)x.当x ∈(1，＋∞)时，h ′(x )>0，h (x )在区间[1，＋∞)上为增函数，所以h (x )>h (1)＝16>0.所以对于x ∈(1，＋∞)，g (x )>f (x )成立，即f (x )的图象在g (x )的图象的下方．反思归纳 (1)求函数的最值可结合函数的单调性、极值，有时也可以和图象联系；(2)用导数方法证明不等式f (x )>g (x )在区间D 上恒成立的基本方法是构造函数h (x )＝f (x )－g (x )，然后根据函数的单调性，或者函数的最值证明函数h (x )>0，其中一个重要技巧就是找到函数h (x )在什么地方可以等于零，这往往就是解决问题的一个突破口． 变式训练3 (2013·广东)设函数f (x )＝(x －1)e x －kx 2(k ∈R )．(1)当k ＝1时，求函数f (x )的单调区间；(2)当k ∈⎝⎛⎦⎤12，1时，求函数f (x )在[0，k ]上的最大值M . 解 (1)当k ＝1时，f (x )＝(x －1)e x －x 2， ∴f ′(x )＝e x ＋(x －1)e x －2x ＝x (e x －2)． 令f ′(x )＝0得x 1＝0，x 2＝ln 2.由表可知，函数f (x )的递减区间为(0，ln 2)，递增区间为(－∞，0)，(ln 2，＋∞)． (2)f ′(x )＝e x ＋(x －1)e x －2kx ＝x (e x －2k )， ∵12<k ≤1，∴1<2k ≤2， 由(1)可知f (x )在(0，ln 2k )上单调递减，在(ln 2k ，＋∞)上单调递增．设g (x )＝x －ln 2x ⎝⎛⎭⎫12<x ≤1， 则g ′(x )＝1－22x ＝1－1x，∵12<x ≤1，∴1≤1x <2，∴－1<1－1x≤0，∴g (x )＝x －ln 2x 在⎝⎛⎦⎤12，1上单调递减， ∴g (x )>g (1)＝1－ln 2>0， ∵12<k ≤1，∴k －ln 2k >0即k >ln 2k ， ∴f (x )在(0，ln 2k )上单调递减，在(ln 2k ，k )上单调递增， ∴f (x )在[0，k ]上的最大值应在端点处取得． 而f (0)＝－1，f (k )＝(k －1)e k －k 3， 下面比较f (0)与f (k )的大小． 令h (k )＝f (k )－f (0)＝(k －1)e k －k 3＋1， 则h ′(k )＝k (e k －3k )，再令φ(k )＝e k －3k ，则φ′(k )＝e k －3<e －3<0，∴φ(k )在⎝⎛⎦⎤12，1上递减，而φ⎝⎛⎭⎫12·φ(1)＝⎝⎛⎭⎫e －32(e －3)<0， ∴存在x 0∈⎝⎛⎦⎤12，1使得φ(x 0)＝0，且当k ∈⎝⎛⎭⎫12，x 0时，φ(k )>0，当k ∈(x 0,1)时，φ(k )<0， ∴h (k )在⎝⎛⎭⎫12，x 0上单调递增，在(x 0,1)上单调递减． 又h ⎝⎛⎭⎫12＝－12 e ＋78>0，h (1)＝0. ∴h (k )≥0在⎝⎛⎦⎤12，1上恒成立，当且仅当k ＝1时取“＝”． 综上，函数f (x )在[0，k ]上的最大值M ＝(k －1)e k －k 3. 题型四 导数的综合应用例4 已知函数f (x )＝ax ·sin x －32(a >0)，且f (x )在区间⎣⎡⎦⎤0，π2上的最大值为π－32. (1)求函数f (x )的解析式；(2)判断函数f (x )在(0，π)内零点个数，并加以证明．审题破题 (1)通过求最值可确定a 的值；(2)函数f (x )的零点个数可以利用函数单调性、极值结合函数草图确定．解 (1)f ′(x )＝a ·sin x ＋ax ·cos x ＝a (sin x ＋x cos x )．∵x ∈⎝⎛⎭⎫0，π2时，sin x ＋x cos x >0. 又a >0，∴f ′(x )>0，f (x )在⎣⎡⎦⎤0，π2上是增函数． 则f (x )max ＝f ⎝⎛⎭⎫π2＝π2a －32＝π－32，∴a ＝1，所以f (x )＝x sin x －32.(2)函数f (x )在区间(0，π)内有且只有两个零点． 证明如下：由(1)知，f (x )＝x sin x －32，从而f (0)＝－32<0，f ⎝⎛⎭⎫π2＝π2－32>0. 由(1)知，f (x )在⎣⎡⎦⎤0，π2上是增函数，且f (x )的图象连续不间断， ∴f (x )在区间⎝⎛⎭⎫0，π2上有唯一零点； 当x ∈⎣⎡⎭⎫π2，π时，令g (x )＝f ′(x )＝sin x ＋x cos x ，由g ⎝⎛⎭⎫π2＝1>0，g (π)＝－π<0，且g (x )在⎣⎡⎦⎤π2，π上的图象是连续不断的，故存在m ∈⎝⎛⎭⎫π2，π，使得g (m )＝0.由g ′(x )＝2cos x －x sin x ，知x ∈⎝⎛⎭⎫π2，π时，有g ′(x )<0，从而g (x )在⎝⎛⎭⎫π2，π内单调递减． 当x ∈⎝⎛⎭⎫π2，m 时，g (x )>g (m )＝0，即f ′(x )>0， 从而f (x )在⎝⎛⎭⎫π2，m 内单调递增， 故当x ∈⎣⎡⎦⎤π2，m 时，f (x )≥f ⎝⎛⎭⎫π2＝π－32>0. 故f (x )在⎣⎡⎦⎤π2，m 上无零点； 当x ∈(m ，π)时，有g (x )<g (m )＝0，即f ′(x )<0，从而f (x )在(m ，π)内单调递减， 又f (m )>0，f (π)<0，且f (x )在[m ，π]上的图象是连续不断的，从而f (x )在(m ，π)内有且仅有一个零点．综上所述，f (x )在(0，π)内有且只有两个零点．反思归纳 利用导数解决不等式恒成立，函数零点个数，证明不等式问题，可以利用求函数的单调性、极值、最值确定函数的草图，数形结合求解一些综合性问题． 变式训练4 (2013·辽宁)(1)证明：当x ∈[0,1]时，22x ≤sin x ≤x ； (2)若不等式ax ＋x 2＋x 32＋2(x ＋2)cos x ≤4对x ∈[0,1]恒成立，求实数a 的取值范围．(1)证明 记F (x )＝sin x －22x ，则F ′(x )＝cos x －22.当x ∈⎝⎛⎭⎫0，π4时，F ′(x )＞0，F (x )在⎣⎡⎦⎤0，π4上是增函数； 当x ∈⎝⎛⎭⎫π4，1时，F ′(x )＜0，F (x )在⎣⎡⎦⎤π4，1上是减函数． 又F (0)＝0，F (1)＞0，所以当x ∈[0,1]时，F (x )≥0，即sin x ≥22x . 记H (x )＝sin x －x ，则当x ∈(0,1)时，H ′(x )＝cos x －1＜0，所以，H (x )在[0,1]上是减函数，则H (x )≤H (0)＝0，即sin x ≤x . 综上，22x ≤sin x ≤x ，x ∈[0,1]． (2)解 方法一 因为当x ∈[0,1]时，ax ＋x 2＋x 32＋2(x ＋2)cos x －4＝(a ＋2)x ＋x 2＋x 32－4(x ＋2)sin 2x 2≤(a ＋2)x ＋x 2＋x 32－4(x ＋2)⎝⎛⎭⎫24x 2＝(a ＋2)x . 所以，当a ≤－2时， 不等式ax ＋x 2＋x 32＋2(x ＋2)cos x ≤4对x ∈[0,1]恒成立． 下面证明，当a ＞－2时，不等式ax ＋x 2＋x 32＋2(x ＋2)cos x ≤4对x ∈[0,1]不恒成立． 因为当x ∈[0,1]时，ax ＋x 2＋x 32＋2(x ＋2)cos x －4 ＝(a ＋2)x ＋x 2＋x 32－4(x ＋2)sin 2x2≥(a ＋2)x ＋x 2＋x 32－4(x ＋2)⎝⎛⎭⎫x 22 ＝(a ＋2)x －x 2－x 32≥(a ＋2)x －32x 2＝－32x ⎣⎡⎦⎤x －23(a ＋2). 所以存在x 0∈(0,1)⎝ ⎛⎭⎪⎫例如x 0取a ＋23和12中的较小值满足ax 0＋x 20＋x 302＋2(x 0＋2)cos x 0－4＞0.即当a ＞－2时，不等式ax ＋x 2＋x 32＋2(x ＋2)cos x －4≤4对x ∈[0,1]不恒成立． 综上，实数a 的取值范围是(－∞，－2]．方法二 记f (x )＝ax ＋x 2＋x 32＋2(x ＋2)cos x －4，则f ′(x )＝a ＋2x ＋3x22＋2cos x －2(x ＋2)sin x .记G (x )＝f ′(x )，则G ′(x )＝2＋3x －4sin x －2(x ＋2)cos x .当x ∈(0,1)时，cos x ＞12，因此G ′(x )＜2＋3x －4×22x －(x ＋2)＝(2－22)x ＜0.于是f ′(x )在[0,1]上是减函数，因此，当x ∈(0,1)时，f ′(x )＜f ′(0)＝a ＋2.故当a ≤－2时，f ′(x )＜0，从而f (x )在[0,1]上是减函数，所以f (x )≤f (0)＝0.即当a ≤－2时，不等式ax ＋x 2＋x 32＋2(x ＋2)cos x ≤4，对x ∈[0,1]恒成立．下面证明：当a ＞－2时，不等式ax ＋x 2＋x 32＋2(x ＋2)cos x ≤4，对x ∈[0,1]不恒成立． 由于f ′(x )在[0,1]上是减函数，且f ′(0)＝a ＋2＞0，f ′(1)＝a ＋72＋2cos 1－6sin 1.当a ≥6sin 1－2cos 1－72时，f ′(1)≥0，所以当x ∈(0,1)时，f ′(x )＞0.因此f (x )在[0,1]上是增函数，故f (1)＞f (0)＝0；当－2＜a ＜6sin 1－2cos 1－72时，f ′(1)＜0.又f ′(0)＞0.故存在x 0∈(0,1)，使f ′(x 0)＝0，则当0＜x ＜x 0时，f ′(x )＞f ′(x 0)＝0，所以f (x )在[0，x 0]上是增函数，所以当x ∈(0，x 0)时，f (x )＞f (0)＝0.所以，当a ＞－2时，不等式ax ＋x 2＋x 32＋2(x ＋2)cos x ≤4对x ∈[0,1]不恒成立．综上，实数a 的取值范围是(－∞，－2]．典例 (14分)设函数f (x )＝ln x ，g (x )＝f (x )＋f ′(x )．(1)求函数g (x )的单调区间和最小值；(2)讨论g (x )与g ⎝⎛⎭⎫1x 的大小关系；(3)求实数a 的取值范围，使得g (a )－g (x )<1a 对任意x >0成立．规范解答解 (1)由题意，g (x )＝ln x ＋1x ，x >0，∴g ′(x )＝x －1x 2，且x >0，令g ′(x )＝0，得x ＝1，[2分]当x ∈(0,1)时，g ′(x )<0， 故(0,1)是g (x )的单调减区间， 当x ∈(1，＋∞)时，g ′(x )>0. 故(1，＋∞)是g (x )的单调增区间，因此，x ＝1是g (x )的唯一极值点，且为极小值点，从而是最小值点． 所以最小值为g (1)＝1.[4分](2)由(1)知g ⎝⎛⎭⎫1x ＝－ln x ＋x ，设h (x )＝g (x )－g ⎝⎛⎭⎫1x ＝2ln x －x ＋1x ， 则h ′(x )＝－(x －1)2x 2，且x >0.[6分]当x ＝1时，h (1)＝0，即g (x )＝g ⎝⎛⎭⎫1x ；当x ∈(0,1)∪(1，＋∞)时，h ′(x )<0，h ′(1)＝0， 因此，h (x )在(0，＋∞)内单调递减，当0<x <1时，h (x )>h (1)＝0，即g (x )>g ⎝⎛⎭⎫1x ， 当x >1时，h (x )<h (1)＝0，即g (x )<g ⎝⎛⎭⎫1x .[10分](3)由(1)知，g (x )的最小值为g (1)＝1，∴g (a )－g (x )<1a 对任意x >0成立⇔g (a )－1<1a .则ln a ＋1a －1<1a ，即ln a <1，∴0<a <e.故实数a 的取值范围是(0，e)．[14分]评分细则 (1)g (x )的单调区间写成(0,1]，[1，＋∞)的不扣分；只求出极值没有写出最值的扣1分；(2)a 的取值范围写成不等式的不扣分；没有下结论的扣1分． 阅卷老师提醒 (1)研究函数相关问题，树立定义域优先意识．(2)树立分类讨论，转化与化归的思想意识，善于根据条件特征构造函数，重视函数、不等式(方程)间的转化．(3)对于不等式恒成立问题，善于转化为g (a )－1a <g (x )min ，分离参数或构造关于参数的不等式，达到求解目的．1． (2013·课标全国Ⅱ)已知函数f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋c ，下列结论中错误的是( )A ．存在x 0∈R ，f (x 0)＝0B ．函数y ＝f (x )的图象是中心对称图形C ．若x 0是f (x )的极小值点，则f (x )在区间(－∞，x 0)上单调递减D ．若x 0是f (x )的极值点，则f ′(x 0)＝0 答案 C解析 A 项，因为函数f (x )的值域为R ，所以一定存在x 0∈R ，使f (x 0)＝0，A 正确．B 项，假设函数f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋c 的对称中心为(m ，n )，按向量a ＝(－m ，－n )将函数的图象平移，则所得函数y ＝f (x ＋m )－n 是奇函数．所以f (x ＋m )＋f (－x ＋m )－2n ＝0，化简得(3m ＋a )x 2＋m 3＋am 2＋bm ＋c －n ＝0.上式对x ∈R 恒成立，故3m ＋a ＝0，得m ＝－a3，n ＝m 3＋am 2＋bm ＋c ＝f ⎝⎛⎭⎫－a 3，所以函数f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋c 的对称中心为⎝⎛⎭⎫－a 3，f ⎝⎛⎭⎫－a 3，故y ＝f (x )的图象是中心对称图形，B 项正确．C 项，由于f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋b 是二次函数，f (x )有极小值点x 0，必定有一个极大值点x 1，若x 1<x 0，则f (x )在区间(－∞，x 0)上不单调递减，C 错误．D 项，若x 0是极值点，则一定有f ′(x 0)＝0.故 选C.2． 已知函数f (x )＝x 2＋mx ＋ln x 是单调递增函数，则m 的取值范围是( )A ．m >－2 2B ．m ≥－2 2C ．m <2 2D ．m ≤2 2答案 B解析 依题意知，x >0，f ′(x )＝2x 2＋mx ＋1x ，令g (x )＝2x 2＋mx ＋1，x ∈(0，＋∞)，当－m4≤0时，g (0)＝1>0恒成立，∴m ≥0成立，当－m4>0时，则Δ＝m 2－8≤0，∴－22≤m <0，综上，m 的取值范围是m ≥－2 2.3． 已知函数f (x )＝12mx 2＋ln x －2x 在定义域内是增函数，则实数m 的取值范围为________．答案 [1，＋∞)解析 f ′(x )＝mx ＋1x－2≥0对一切x >0恒成立，m ≥－⎝⎛⎭⎫1x 2＋2x ，令g (x )＝－⎝⎛⎭⎫1x 2＋2x ，则当1x＝1时，函数g (x )取最大值1，故m ≥1. 4． 设f (x )＝－13x 3＋12x 2＋2ax .若f (x )在(23，＋∞)上存在单调递增区间，则a 的取值范围为________． 答案 (－19，＋∞)解析 由f ′(x )＝－x 2＋x ＋2a ＝－(x －12)2＋14＋2a .当x ∈[23，＋∞)时，f ′(x )的最大值为f ′(23)＝29＋2a .令29＋2a >0，得a >－19. 所以当a >－19时，f (x )在(23，＋∞)上存在单调递增区间．5． 已知函数f (x )＝x －1x ＋1，g (x )＝x 2－2ax ＋4，若对于任意x 1∈[0,1]，存在x 2∈[1,2]，使f (x 1)≥g (x 2)，则实数a 的取值范围是__________．答案 ⎣⎡⎭⎫94，＋∞解析 由于f ′(x )＝1＋1(x ＋1)2>0，因此函数f (x )在[0,1]上单调递增，所以x ∈[0,1]时，f (x )min＝f (0)＝－1.根据题意可知存在x ∈[1,2]，使得g (x )＝x 2－2ax ＋4≤－1，即x 2－2ax ＋5≤0，即a ≥x 2＋52x 能成立，令h (x )＝x 2＋52x，则要使a ≥h (x )在x ∈[1,2]能成立，只需使a ≥h (x )min ，又函数h (x )＝x 2＋52x 在x ∈[1,2]上单调递减，所以h (x )min ＝h (2)＝94，故只需a ≥94.专题限时规范训练一、选择题1． 已知函数y ＝－xf ′(x )的图象如图所示(其中f ′(x )是函数f (x )的导函数)，下面四个图象中，y ＝f (x )的图象可能是( )答案 B解析 由函数y ＝－xf ′(x )的图象知x <－1时，f ′(x )>0，f (x )为增函数；－1<x <0时，f ′(x )<0，f (x )为减函数；0<x <1时，f ′(x )<0，f (x )为减函数；x >1时，f ′(x )>0，f (x )为增函数．2． 若函数f (x )＝cos x ＋2xf ′⎝⎛⎭⎫π6，则f ⎝⎛⎭⎫－π3与f ⎝⎛⎭⎫π3的大小关系是( )A ．f ⎝⎛⎭⎫－π3＝f ⎝⎛⎭⎫π3 B ．f ⎝⎛⎭⎫－π3>f ⎝⎛⎭⎫π3 C ．f ⎝⎛⎭⎫－π3<f ⎝⎛⎭⎫π3D ．不确定答案 C解析 依题意得f ′(x )＝－sin x ＋2f ′⎝⎛⎭⎫π6， f ′⎝⎛⎭⎫π6＝－sin π6＋2f ′⎝⎛⎭⎫π6， f ′⎝⎛⎭⎫π6＝12，f ′(x )＝－sin x ＋1≥0，故f (x )＝cos x ＋x 是R 上的增函数，又－π3<π3，所以有f ⎝⎛⎭⎫－π3<f ⎝⎛⎭⎫π3. 3． (2012·辽宁)函数y ＝12x 2－ln x 的单调递减区间为( )A ．(－1,1]B ．(0,1]C ．[1，＋∞)D ．(0，＋∞)答案 B解析 根据函数的导数小于0的解集就是函数的单调减区间求解．由题意知，函数的定义域为(0，＋∞)，又由y′＝x－1x≤0，解得0<x≤1，所以函数的单调递减区间为(0,1]．4．已知函数f(x)＝x2－ax＋3在(0,1)上为减函数，函数g(x)＝x2－a ln x在(1,2)上为增函数，则a的值等于() A．1 B．2 C．0 D. 2答案 B解析∵函数f(x)＝x2－ax＋3在(0,1)上为减函数，∴a2≥1，得a≥2.又∵g′(x)＝2x－ax，依题意g′(x)≥0在x∈(1,2)上恒成立，得2x2≥a在x∈(1,2)上恒成立，有a≤2，∴a＝2.5．(2012·陕西)设函数f(x)＝x e x，则() A．x＝1为f(x)的极大值点B．x＝1为f(x)的极小值点C．x＝－1为f(x)的极大值点D．x＝－1为f(x)的极小值点答案 D解析∵f(x)＝x e x，∴f′(x)＝e x＋x e x＝e x(1＋x)．∴当f′(x)≥0时，即e x(1＋x)≥0，即x≥－1，∴x≥－1时函数y＝f(x)为增函数．同理可求，x<－1时函数f(x)为减函数．∴x＝－1时，函数f(x)取得极小值．6．(2012·大纲全国)已知函数y＝x3－3x＋c的图象与x轴恰有两个公共点，则c等于() A．－2或2 B．－9或3C．－1或1 D．－3或1答案 A解析∵y′＝3x2－3，∴当y′＝0时，x＝±1.因此，当函数图象与x轴恰有两个公共点时，必有c＋2＝0或c－2＝0，∴c＝－2或c ＝2.7． 已知函数f (x )＝12x 4－2x 3＋3m ，x ∈R ，若f (x )＋9≥0恒成立，则实数m 的取值范围是( )A ．m ≥32B ．m >32C ．m ≤32D ．m <32答案 A解析 因为函数f (x )＝12x 4－2x 3＋3m ，所以f ′(x )＝2x 3－6x 2，令f ′(x )＝0，得x ＝0或x＝3，经检验知x ＝3是函数的一个最小值点，所以函数的最小值为f (3)＝3m －272，不等式f (x )＋9≥0恒成立，即f (x )≥－9恒成立，所以3m －272≥－9，解得m ≥32.8． 设f (x )是定义在R 上的奇函数，且f (2)＝0，当x >0时，有xf ′(x )－f (x )x 2<0恒成立，则不等式x 2f (x )>0的解集是( )A ．(－2,0)∪(2，＋∞)B ．(－2,0)∪(0,2)C ．(－∞，－2)∪(2，＋∞)D ．(－∞，－2)∪(0,2)答案 D解析 x >0时⎣⎡⎦⎤f (x )x ′<0，∴φ(x )＝f (x )x 为减函数，又φ(2)＝0，∴当且仅当0<x <2时，φ(x )>0， 此时x 2f (x )>0.又f (x )为奇函数，∴h (x )＝x 2f (x )也为奇函数． 故x 2f (x )>0的解集为(0,2)∪(－∞，－2)． 二、填空题9． 某名牌电动自行车的耗电量y 与速度x 之间有如下关系：y ＝13x 3－392x 2－40x (x >0)，为使耗电量最小，则速度应定为________． 答案 40解析 ∵y ′＝x 2－39x －40，令y ′＝0. 即x 2－39x －40＝0，解得x ＝40或x ＝－1(舍)． 当x >40时，y ′>0，当0<x <40时，y ′<0，所以当x ＝40时，y 最小．10．函数f (x )＝2m cos 2x2＋1的导函数的最大值等于1，则实数m 的值为________．答案 ±1解析 显然m ≠0，所以f (x )＝2m cos 2x 2＋1＝m (2cos 2x2－1)＋m ＋1＝m cos x ＋m ＋1，因此f ′(x )＝－m sin x ，其最大值为1，故有m ＝±1.11．已知函数f (x )＝e x －2x ＋a 有零点，则a 的取值范围是________．答案 (－∞，2ln 2－2]解析 函数f (x )＝e x －2x ＋a 有零点，即方程e x －2x ＋a ＝0有实根，即函数g (x )＝2x －e x ，y ＝a 有交点，而g ′(x )＝2－e x ，易知函数g (x )＝2x －e x 在(－∞，ln 2)上递增，在(ln 2，＋∞)上递减，因而g (x )＝2x －e x 的值域为(－∞，2ln 2－2]，所以要使函数g (x )＝2x －e x ，y ＝a 有交点，只需a ≤2ln 2－2即可．12．函数f (x )(x ∈R )满足f (1)＝1，f ′(x )<12，则不等式f (x 2)<x 22＋12的解集为________．答案 (－∞，－1)∪(1，＋∞)解析 (利用换元法)将x 2换元成t ，则原式化为f (t )<t 2＋12，当t ＝1时，f (t )＝1，且t 2＋12＝1，又由f ′(t )<12，可知当t >1时，f (t )<t 2＋12；当t <1时，f (t )>t 2＋12.故f (t )<t 2＋12的解集为t >1，即x 2>1，因此x ∈(－∞，－1)∪(1，＋∞)． 三、解答题13．(2013·福建)已知函数f (x )＝x －a ln x (a ∈R )．(1)当a ＝2时，求曲线y ＝f (x )在点A (1，f (1))处的切线方程； (2)求函数f (x )的极值．解 函数f (x )的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝1－ax .(1)当a ＝2时，f (x )＝x －2ln x ，f ′(x )＝1－2x (x >0)，因而f (1)＝1，f ′(1)＝－1，所以曲线y ＝f (x )在点A (1，f (1))处的切线方程为y －1＝－(x －1)，即x ＋y －2＝0. (2)由f ′(x )＝1－a x ＝x －ax，x >0知：①当a ≤0时，f ′(x )>0，函数f (x )为(0，＋∞)上的增函数，函数f (x )无极值； ②当a >0时，由f ′(x )＝0，解得x ＝a .又当x ∈(0，a )时，f ′(x )<0；当x ∈(a ，＋∞)时，f ′(x )>0，从而函数f (x )在x ＝a 处取得极小值，且极小值为f (a )＝a －a ln a ，无极大值． 综上，当a ≤0时，函数f (x )无极值；当a >0时，函数f (x )在x ＝a 处取得极小值a －a ln a ，无极大值． 14．(2013·山东)已知函数f (x )＝ax 2＋bx －ln x (a ，b ∈R )．(1)设a ≥0，求f (x )的单调区间；(2)设a >0，且对任意x >0，f (x )≥f (1)．试比较ln a 与－2b 的大小． 解 (1)f (x )的定义域为x ∈(0，＋∞)，f ′(x )＝2ax 2＋bx －1x .当a ＝0时，f ′(x )＝bx －1x.①若b ≤0，当x >0时，f ′(x )<0恒成立，所以函数f (x )的单调递减区间是(0，＋∞)．②若b >0，当0<x <1b 时，f ′(x )<0，当x >1b时，f ′(x )>0.所以函数f (x )的单调递减区间是⎝⎛⎭⎫0，1b ，单调递增区间是⎝⎛⎭⎫1b ，＋∞. 当a >0时，由f ′(x )＝0得2ax 2＋bx －1＝0. 解得x 1＝－b －b 2＋8a 4a ，x 2＝－b ＋b 2＋8a4a，此时x 1<0，x 2>0.当0<x <x 2时，f ′(x )<0，当x >x 2时，f ′(x )>0.所以函数f (x )的单调递减区间是⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－b ＋b 2＋8a 4a ，单调递增区间是⎝ ⎛⎭⎪⎫－b ＋b 2＋8a 4a ，＋∞.综上所述：当a ＝0，b ≤0时，函数f (x )的单调递减区间是(0，＋∞)．当a ＝0，b >0时，函数f (x )的单调递减区间是⎝⎛⎭⎫0，1b ，单调递增区间是⎝⎛⎭⎫1b ，＋∞. 当a >0时，函数f (x )的单调递减区间是⎝⎛⎭⎪⎫0，－b ＋b 2＋8a 4a ，单调递增区间是⎝ ⎛⎭⎪⎫－b ＋b 2＋8a 4a ，＋∞.(2)由题意知：函数f (x )在x ＝1处取得最小值， 由(1)知，－b ＋b 2＋8a 4a 是f (x )的惟一极小值点，故－b ＋b 2＋8a4a＝1，整理得b ＝1－2a .令g (x )＝2－4x ＋ln x ，则g ′(x )＝1－4xx，令g ′(x )＝0得x ＝14.当0<x <14时，g ′(x )>0，g (x )单调递增；当x >14时，g ′(x )<0，g (x )单调递减；所以g (x )≤g ⎝⎛⎭⎫14＝1＋ln 14＝1－ln 4<0. 故g (a )<0，即2－4a ＋ln a ＝2b ＋ln a <0， 即ln a <－2b .。

专题限时集训（六）B［第6讲导数及其应用］(时间：45分钟）1．已知函数f（x）＝ax0，1）上的任意x1,x2，且x1〈x2，都有f(x2)－f(x1)>x2－x1成立，则实数a的取值范围为（）A．(0，1) B．[4，＋∞) C．(0,4］D．（1，4］2．定义在R上的可导函数f（x)满足f（－x)＝f（x），f(x－2)＝f(x＋2)，且当x∈[0，2]时,f（x）＝e x＋错误!xf′（0），则f错误!与f错误!的大小关系是（）A．f错误!〉f错误!B．f错误!＝f错误!C．f 72〈f错误!D．不确定3．已知函数f（x)＝2x－1，对于满足0<x1<x2〈2的任意x1,x2，给出下列结论：①（x2－x1)[f（x2)－f（x1)］〈0；②x2f(x1）〈x1f（x2)；③f（x2)－f(x1）〉x2－x1；④错误!>f错误!.其中正确结论的序号是( ）A．①②③B．①③④C．①②④D．②③④4．定义在R上的函数f(x)满足f（1）＝1，且对任意x∈R都有f′(x）<错误!，则不等式f(x2)〉错误!的解集为（）A．（1，2）B．（0，1）C．（1，＋∞) D．(－1，1）5．函数f（x x∈R，都有2f′（x）>f（x)成立,则( )A．3f（2ln 2）>2f(2ln 3)B．3f(2ln 2)<2f(2ln 3）C．3f（2ln 2）＝2f（2ln 3)D．3f(2ln 2）与2f(2ln 3）的大小不确定6．已知定义在R上的可导函数f(x）的导函数为f′（x），满足f′(x)〈f(x)，且f（x＋2)为偶函数，f(4)＝1，则不等式f(x)<e x的解集为( )A．(－2,＋∞）B．（0，＋∞)C．（1,＋∞) D．(4，＋∞）7．定义在区间［0，a]上的函数f(x）的图像如图X6－1所示，记以A（0,f(0）)，B（a，f（a))，C（x，f(x))为顶点的三角形的面积为S(x)，则函数S（x)的导函数S′(x）的图像大致是( ）X68．已知f(x)＝ln x1＋x－lnx，f（x）在x＝x0处取得最大值,以下各式正确的序号为（）①f（x0）〈x0;②f（x0)＝x0；③f（x0)〉x0;④f（x0）〈错误!;⑤f（x0）〉错误!。

2014年高三数学二轮复习计划D（3）数列。

此专题中数列是重点，同时也要注意数列与其他知识交汇问题的训练。

例如，主要是数列与方程、函数、不等式的结合，概率、向量、解析几何为点缀。

数列与不等式的综合问题是近年来的热门问题，而数列与不等式相关的大多是数列的前n项和问题。

（4）立体几何。

此专题注重几何体的三视图、空间点线面的关系，用空间向量解决点线面的问题是重点。

（5）解析几何。

此专题中解析几何是重点，以基本性质、基本运算为目标。

直线与圆锥曲线的位置关系、轨迹方程的探求以及最值范围、定点定值、对称问题是命题的主旋律。

近几年高考中圆锥曲线问题具有两大特色：一是融“综合性、开放性、探索性”为一体；二是向量关系的引入、三角变换的渗透和导数工具的使用。

我们在注重基础的同时，要兼顾直线与圆锥曲线综合问题的强化训练，尤其是推理、运算变形能力的训练。

（6）不等式、推理与证明。

此专题中不等式是重点，注重不等式与其他知识的整合。

其中一元二次不等式的解法和恒成立问题应用较为广泛，在函数与导数、数列、解析几何的解答题中都会有所体现。

（7）概率与统计、算法初步、复数。

此专题中概率统计是重点，以摸球问题为背景理解概率问题。

随机变量的分布列是历年来的热点，主要考查事件的相互独立性与随机变量的分布列、期望与方差的求法；其应用性、思想性和综合性以及命题背景的广阔性是高考在此命题的亮点，但要求学生具有较高的阅读理解和分析问题、解决问题的能力。

（8）高考数学思想方法专题。

此专题中函数与方程、数形结合、化归与转化、分类讨论思想方法是重点。

三、专题设计原则与方向把握1、重视《考试大纲》与《考试说明》（以2015年为准）的学习。

2014年高考题启示：加强对核心内容、主干知识和新增内容的复习与落实。

2、重视教材的示范作用，纵观近几年的高考试题，每年的试题都与教材有着密切的联系，有的是将教材中的题目略加修改、变形后作为高考题，还有的是将教材中的题目合理拼凑、组合作为高考题。

2014高考数学理复习方案二轮作业手册专题限时集：第5讲函数与方程、函数模型及其应用Word版含解析专题限时集训(五)[第5讲 函数与方程、函数模型及其应用](时间：45分钟)1．已知函数f (x )＝⎩⎨⎧2－1，x ≤1，1＋log 2x ，x >1，则函数f (x )的零点是( )A ．x ＝0或x ＝12B ．x ＝－2或x ＝0C ．x ＝12D ．x ＝0 2．生产一定数量商品的全部费用称为生产成本，某企业一个月生产某种商品x 万件时的生产成本为C (x )＝12x 2＋2x ＋20(万元)，一万件售价是20万元，为获取最大利润，该企业一个月应生产该商品数量为( )A ．36万件B ．18万件C ．22万件D ．9万件3．已知函数f (x )＝e |x |＋|x |.若关于x 的方程f (x )＝k 有两个不同的实根，则实数k 的取值范围是( )A ．(0，1)B ．(1，＋∞)C ．(－1，0)D ．(－∞，－1)4．若函数f (x )＝x 3－3x ＋a 有三个不同的零点，则a 的取值范围是( )A ．(－2，2)B ．[－2，2]C ．(2，＋∞)D ．(－∞，2)5．设函数f (x )＝13x －ln x ，则y ＝f (x )( ) A ．在区间1e，1，(1，e)内均有零点 B ．在区间1e，1，(1，e)内均无零点 C ．在区间1e，1内有零点，在区间(1，e)内无零点D ．在区间1e，1内无零点，在区间(1，e)内有零点6．定义在R 上的奇函数f (x )，当x ≥0时，f (x )＝⎩⎨⎧log 12（x ＋1），x ∈[0，1），1－|x －3|，x ∈[1，＋∞），则关于x 的函数F (x )＝f (x )－a (0<a <1)的所有零点之和为( )A ．1－2aB ．2a －1C ．1－2－aD ．2－a －17．当a>0时，函数f(x)＝(x2－2ax)e x的图像大致是()图X5－18．已知函数f(x)＝x－[x]，其中[x]表示不超过实数x的最大整数．若关于x的方程f(x)＝kx ＋k有三个不同的实根，则实数k的取值范围是()A．－1，－12∪14，13B．－1，－12∪1 4，13C．－13，－14∪12，1D．－13，－14∪12，19．若x1，x2是函数f(x)＝x2＋mx－2(m∈R)的两个零点，且x1<x2，则x2－x1的最小值是________．10．定义：如果函数y＝f(x)在定义域内给定的区间[a，b]上存在x0(a<x0<b)，满足f(x0)＝f（b）－f（a）b－a，则称函数y＝f(x)是[a，b]上的“平均值函数”，x0是它的一个均值点．如y＝x4是[－1，1]上的平均值函数，0就是它的均值点．现有函数f(x)＝－x2＋mx＋1是[－1，1]上的平均值函数，则实数m的取值范围是________．11．函数f(x)是定义在R上的偶函数，且满足f(x＋2)＝f(x)．当x∈[0，1]时，f(x)＝2x.若在区间[－2，3]上方程ax＋2a－f(x)＝0恰有四个不相等的实数根，则实数a的取值范围是________．12．已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，当x≥0时，f(x)＝e x－ax，若函数在R上有且仅有4个零点，则a的取值范围是________．13.已知函数f (x )＝⎩⎨⎧x 2－ax ＋1，x ≥a ，4x －4×2x －a ，x <a .(1)若x <a 时，f (x )<1恒成立，求a 的取值范围；(2)若a ≥－4时，函数f (x )在实数集R 上有最小值，求实数a 的取值范围．14．某工厂共有10台机器，生产一种仪器元件，由于受生产能力和技术水平等因素限制，会产生一定数量的次品．根据经验知道，每台机器产生的次品数P (万件)与每台机器的日产量x (万件)(4≤x ≤12)之间满足关系：P ＝0.1x 2－3.2ln x ＋3.已知每生产1万件合格的元件可以盈利2万元，但每生产1万件次品将亏损1万元．(利润＝盈利－亏损)(1)试将该工厂每天生产这种元件所获得的利润y (万元)表示为x 的函数；(2)当每台机器的日产量x (万件)为多少时所获得的利润最大？最大利润为多少？15．已知函数f(x)＝ln(e x＋a＋1)(a为常数)是实数集R上的奇函数，函数g(x)＝λf(x)＋sin x 在区间[－1，1]上是减函数．(1)若g(x)≤λt－1在x∈[－1，1]上恒成立，求实数t的最大值；(2)若关于x的方程ln xf（x）＝x2－2e x＋m有且只有一个实数根，求m的值．专题限时集训(五)1．D[解析] 当x≤1时，2x－1＝0，解得x＝0；当x>1时，1＋log2x＝0，解得x＝12(舍去)．故函数f(x)的零点是x＝0.2．B[解析] 利润L(x)＝20x－C(x)＝－12(x －18)2＋142，当x＝18时，L(x)有最大值．故选B.3．B[解析] 函数f(x)为偶函数，当x≥0时，f(x)＝e x＋x单调递增，故在[0，＋∞)上函数f(x)的最小值为f(0)＝1，故函数f(x)在R上的最小值为1.若方程f(x)＝k有两个不同的实数根，则k >1.4．A [解析] 令f ′(x )＝3x 2－3＝0，解得x ＝±1，且x ＝－1为函数f (x )的极大值点，x ＝1为函数f (x )的极小值点．若函数f (x )＝x 3－3x ＋a 有三个不同的零点，则实数a 同时满足f (－1)＝2＋a >0，f (1)＝－2＋a <0，解得－2<a <2，即实数a 的取值范围是(－2，2)．5．D [解析] 函数图像是连续的，且f ′(x )＝13－1x ＝x －33x，当x ∈(0，e)时，f ′(x )<0，故函数f (x )在区间(0，e)内单调递减．又f ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1e ＝13e －ln 1e >0，f (1)＝13>0，f (e)＝13e －ln e<0，所以函数在区间⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1e ，1内无零点，在区间(1，e)内有零点． 6．A [解析] 画出函数f (x )的图像．当0<a <1时，直线y ＝a 与函数y ＝f (x )图像交点的横坐标即为函数F (x )的零点，根据图像可得两个函数图像共有五个交点，其中两个交点关于直线x ＝3对称，两个交点关于直线x ＝－3对称，这四个交点的横坐标之和为零，第五个交点的横坐标x 满足－log 12(－x ＋1)＝a ，即log 2(－x ＋1)＝a ，解得x ＝1－2a .7．B [解析] f ′(x )＝(x 2－2ax ＋2x －2a )e x ，由于方程x 2－2ax ＋2x －2a ＝0的判别式Δ＝4a 2＋4>0，且－2a<0，故方程x2－2ax＋2x－2a＝0有两个不相等的异号实数根x1，x2(设x1<x2)，则f(x)在(－∞，x1)，(x2，＋∞)上单调递增，在(x1，x2)上单调递减．函数f(x)为非奇非偶函数，故为选项B中的图像．8．B[解析] 当0≤x<1时，f(x)＝x，又f(x ＋1)＝(x＋1)－[x＋1]＝x－[x]＝f(x)，故函数f(x)是以1为周期的周期函数．在同一坐标系中，分别作出函数y＝f(x)，y＝kx＋k的图像，可知当方程f(x)＝kx＋k有三个不同的实根时，k满足3k ＋k≥1且2k＋k<1，或者－3k＋k≥1且－2k＋k<1，解得14≤k<1或－1<k≤－1.9．2 2[解析] 由于Δ＝m2＋8>0，故函数f(x)一定有两个不同的零点，又－2<0，所以两个零点异号，故x2>0，x1<0，所以x2－x1＝x2＋(－x1)≥2 －x1x2＝ 2 2或x2－x1＝（x2＋x1）2－4x1x2＝m2＋8≥2 2.10．(0，2)[解析] 因为函数f(x)＝－x2＋mx ＋1是[－1，1]上的平均值函数，且f（1）－f（－1）1－（－1）＝m，所以关于x的方程－x2＋mx＋1＝m，即x2－mx＋m－1＝0在(－1，1)内有实数根，若m ＝0，方程无解，所以m ≠0，解得方程的根为x 1＝1或x 2＝m －1.所以必有－1<m －1<1，即0<m <2，所以实数m 的取值范围是(0，2)．11.⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫25，23 [解析] 根据偶函数和周期性把函数拓展到[－2，3]，其图像如图所示．直线y ＝ax ＋2a 过定点(－2，0)，在区间[－2，3]上方程ax ＋2a －f (x )＝0恰有四个不相等的实数根，等价于直线y ＝ax ＋2a 与函数y ＝f (x )的图像有四个不同的公共点，结合图形可得实数a 满足不等式3a ＋2a >2，且a ＋2a <2，即2<a <2.12．(e ，＋∞) [解析] 由于函数是偶函数，当y ＝f (x )有且只有4个零点时，0一定不能是函数的零点，且在x >0时有且仅有2个不同的零点，即方程e x －ax ＝0有两个正实根．方法一：(分离参数，构造函数的方法)a ＝e xx＝φ(x )，则φ′(x )＝x －1x2e x ，可得x ＝1为函数φ(x )在(0，＋∞)上唯一的极小值点，也是最小值点，φ(x )min ＝φ(1)＝e ，且在x >0且x →0时，φ(x )→＋∞.故只要a >e 即可，故a 的取值范围是(e ，＋∞)．方法二：(数形结合的切线法)在同一坐标系中分别作出函数y ＝e x ，y ＝ax 在(0，＋∞)的图像，可知当直线y ＝ax 与曲线y ＝e x 相切时两个函数图像有唯一的公共点；当直线y ＝ax 的斜率大于曲线y ＝e x 过坐标原点的切线的斜率时，两曲线有两个不同的公共点．设切点坐标为(x 0，e x 0)，则在该点处的切线方程为y －e x 0＝e x 0(x －x 0)，该直线过坐标原点时，－e x 0＝－x 0e x 0，解得x 0＝1，此时切线斜率为e ，故a 的取值范围是(e ，＋∞)．13．解：(1)因为x <a 时，f (x )＝4x －4×2x －a ，所以令t ＝2x ，则有0<t <2a .f (x )<1当x <a 时恒成立，转化为t 2－4×t 2a <1， 即42a >t －1t 在t ∈(0，2a )上恒成立． 令p (t )＝t －1t ，t ∈(0，2a )，则p ′(t )＝1＋1t 2>0，所以p (t )＝t －1t在(0，2a )上单调递增， 所以42a ≥2a －12a ，所以2a ≤5，解得a ≤log 2 5.(2)①当x ≥a 时，f (x )＝x 2－ax ＋1，即f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫x －a 22＋1－a 24. (i)当a 2≤a ，即a ≥0时，f (x )min ＝f (a )＝1；(ii)当a 2>a ，即－4≤a <0时，f min (x )＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫a 2＝1－a 24. ②当x <a 时，f (x )＝4x －4×2x －a .令t ＝2x ，t ∈(0，2a )，设h (t )＝t 2－42a t ＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫t －22a 2－44a . (i)当22a <2a ，即a >12时，h min (t )＝h ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫22a ＝－44a ； (ii)当22a ≥2a ，即a ≤12时，h (t )在开区间t ∈(0，2a )上单调递减，h (t )∈(4a －4，0)，无最小值．综合①，②知当a >12时，1>－44a ，函数f (x )min ＝－44a ； 当0≤a ≤12时，4a －4<0<1，函数f (x )无最小值；当－4≤a <0时，4a －4<－3≤1－a 24，函数f (x )无最小值．故当a >12时，函数f (x )有最小值为－44a . 14．解：(1)由题意得，所获得的利润为y ＝10·[2(x －P )－P ]＝10(2x －3P )＝20x －30P＝20x－3x2＋96ln x－90(4≤x≤12)．(2)由(1)知y′＝20－6x＋96x＝－6x2＋20x＋96x＝－2（3x2－10x－48）x＝－2（3x＋8）（x－6）x.令y′＝0，可得x＝6或x＝－8 3.从而当4≤x≤6时，y′>0，函数在[4，6]上为增函数；当6<x≤12时，y′<0，函数在(6，12]上为减函数．所以当x＝6时，函数取得极大值，也为[4，12]上的最大值．即当x＝6时，获得最大利润，最大利润为y max＝20×6－3×62＋96ln 6－90 ＝(96ln 6－78)万元，所以当每台机器日产量为6万件时，可以获得最大利润，为(96ln 6－78)万元．15．解：(1)∵f(x)＝ln(e x＋a＋1)是实数集R 上的奇函数，∴f(0)＝0，即ln(e0＋a＋1)＝0⇒2＋a＝1⇒a ＝－1，将a＝－1代入，则f(x)＝ln e x＝x，显然为奇函数．∴g (x )＝λf (x )＋sin x ＝λx ＋sin x ，∴g ′(x )＝λ＋cos x ，x ∈[－1，1]．要使g (x )是区间[－1，1]上的减函数，则有g ′(x )≤0在x ∈[－1，1]恒成立，∴λ≤(－cos x )min ，所以λ≤－1.要使g (x )≤λt －1在x ∈[－1，1]上恒成立，只需g (x )max ＝g (－1)＝－λ－sin 1≤λt －1在λ≤－1时恒成立即可，即(t ＋1)λ＋sin 1－1≥0(其中λ≤－1)恒成立即可．令h (λ)＝(t ＋1)λ＋sin 1－1(λ≤－1)，则⎩⎨⎧t ＋1≤0，h （－1）≥0，即⎩⎨⎧t ＋1≤0，－t －2＋sin 1≥0，∴t ≤sin 1－2，所以实数t 的最大值为sin 1－2.(2)由(1)知方程ln x f （x ）＝x 2－2e x ＋m ，即ln x x ＝x 2－2e x ＋m ，令f 1(x )＝ln x x，f 2(x )＝x 2－2e x ＋m ， ∵f ′1(x )＝1－ln x x 2， ∴当x ∈(0，e)时，f ′1(x )>0，f 1(x )在(0，e)上为增函数；当x ∈(e ，＋∞)时，f ′1(x )<0，f 1(x )在(e ，＋∞)上为减函数．当x＝e时，f1(x)max＝1 e.而f2(x)＝x2－2e x＋m＝(x－e)2＋m－e2，当x∈(0，e)时，f2(x)是减函数；当x∈(e，＋∞)时，f2(x)是增函数．当x＝e时，f2(x)min＝m－e2.只有当m－e2＝1e，即m＝e2＋1e时，方程有且只有一个实数根．。

专题限时集训(十七)[第17讲 函数与方程思想、数形结合思想](时间：45分钟)1．若i(x ＋y i)＝3＋4i ，x ，y ∈R ( ) A ．2 B ．3 C ．4 D ．52．直线y ＝12x ＋b 与曲线y ＝－12x ＋ln x 相切，则b 的值为( )A ．－2B ．1C ．－12D ．－13．设椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，P 是C 上的点，PF 2⊥F 1F 2，∠PF 1F 2＝30°，则C 的离心率为( )A.36B.13C.12D.334．若点P 是曲线y ＝x 2－ln x 上任意一点，则点P 到直线y ＝x －2的距离的最小值为________．5．设x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋1≥x ＋y －1≥0，x ≤3，则z ＝2x －3y 的最小值是( )A ．－7B ．－6C ．－5D ．－36．函数f (x )＝ln x 的图像与函数g (x )＝x 2－4x ＋4的图像的交点个数为( ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．37．O 为坐标原点，F 为抛物线C ：y 2＝4 2x 的焦点，P 为C 上一点，若|PF |＝4 2，则△POF 的面积为( )A ．2B ．2 2C ．2 3D ．48．已知f (x )是定义域为R 的奇函数，f (－4)＝－1，f (x )的导函数f ′(x )的图像如图X17－1所示．若两正数a ，b 满足f (a ＋2b )<1，则a ＋2b ＋2的取值范围是()A.13，2 B ．(－∞，1)C ．(－1，0) D.12，39．已知函数f (x )＝3x ＋sin x －2cos x 的图像在点A (x 0，f (x 0))处的切线斜率为3，则tan x 0的值是________．10．若曲线y ＝x －12在点m ，m －12处的切线与两坐标轴围成三角形的面积为18，则m ＝________．11．函数f (x )＝2－sin x3－cos x的值域是________．12．已知x 3＋sin x －2a ＝0，4y 3＋sin y cos y ＋a ＝0，则cos(x ＋2y )＝________． 13．等差数列{a n }中，a 3＝3，a 1＋a 4＝5. (1)求数列{a n }的通项公式；(2)若b n ＝1a n ·a n ＋1，求数列{b n }的前n 项和S n .14．如图X17－2所示，在直角坐标系xOy 中，角α的顶点是原点，始边与x 轴正半轴重合，终边交单位圆于点A ，且α∈π6，π2.将角α的终边按逆时针方向旋转π3，交单位圆于点B .记A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．(1)若x 1＝13，求x 2；(2)分别过A ，B 作x 轴的垂线，垂足依次为C ，D .记△AOC 的面积为S 1，△BOD 的面积为S 2.若S 1＝2S 2，求角α的值．图X17－215．已知函数f (x )＝ln x ，a 是大于0的实数．(1)若f (x )≤ax ＋a －1x＋1－2a 在[1，＋∞)上恒成立，求a 的取值范围；(2)设F (x )＝f (x )＋ax 2－2x ，若函数F (x )有两个极值点，证明F (x )的极小值小于－32.专题限时集训(十七)1．D [解析] i (x ＋y i )＝－y ＋x i ＝3＋4i ，根据两复数相等的充要条件得x ＝4，y ＝－3.故|x ＋y i |＝（－3）2＋42＝5.2．D [解析] 由y ＝－12x ＋ln x 得y′＝－12＋1x ，由y′＝－12＋1x ＝12，得x ＝1，把x ＝1代入曲线方程y ＝－12x ＋ln x 得y ＝－12，所以切点坐标为⎝⎛⎭⎫1，－12，代入直线方程y ＝12x ＋b 得b ＝－1.3．D [解析] 设|PF 2|＝x, 则|PF 1|＝2x ，由椭圆定义得3x ＝2a ，结合图形知，2a 32c ＝33⇒ca＝33，故选D . 4.2 [解析] y′＝2x －1x ，令y′＝1，得方程2x 2－x －1＝0，解得x ＝－12(舍)或x ＝1，故与直线y ＝x －2平行的曲线y ＝x 2－ln x 的切线的切点坐标为(1，1)，该点到直线y ＝x －2的距离d ＝2即为所求．5．B [解析] 画出可行域如图中△ABC ，易得A(3，－2)，B(3，4)，C(0，1)，作出直线y ＝23x ，平移易知直线过B 点时在y 轴上的截距最大，此时z 最小．即z min ＝2×3－3×4＝－6，故选B.6．C [解析] 4的图像如图所示． 可知其交点个数为2，选C . 方法二：(数值法)可知它们有7．C [解析] 设P(x 0，y 0)，根据抛物线定义得|PF|＝x 0＋2，所以x 0＝3 2，代入抛物线方程得y 2＝24，解得|y|＝2 6，所以△POF 的面积等于12·|OF|·|y|＝12×2×2 6＝2 3.8．D [解析] 因为f(x)是定义域为R 的奇函数，f (－4)＝－1，所以f (4)＝1，又因为f ′(x )≥0恒成立，所以f (x )在R 上单调递增，若两正数a ，b 满足f (a ＋2b )<1，则⎩⎪⎨⎪⎧a >0，b >0，a ＋2b <4，把b 看作横坐标，a 看作纵坐标，画出线性约束条件⎩⎪⎨⎪⎧a >0，b >0，a ＋2b <4的可行域(图略)，a ＋2b ＋2的几何意义为过点(－2，－2)和(b ，a )的直线的斜率，由可行域知，当(b ，a )为点(2，0)时，a ＋2b ＋2取最小值，其最小值为0＋22＋2＝12；当(b ，a )为点(0，4)时，a ＋2b ＋2取最大值，其最大值为4＋20＋2＝3.所以a ＋2b ＋2的取值范围是⎝⎛⎭⎫12，3.9．－12 [解析] f ′(x )＝3＋cos x ＋2sin x ，根据已知3＋cos x 0＋2sin x 0＝3，由此可得tan x 0＝－12.10．64 [解析] 由题意知m >0，因为y ＝x －12，所以y ′＝－12x －32，所以y ′|x ＝m ＝－12m －32，所以切线方程为y －m －12＝－12m －32(x －m )，即y ＝－12m －32x ＋32m －12，令x ＝0得y ＝32m －12；令y ＝0得x ＝3m ，因为切线与两坐标轴围成三角形的面积为18，所以12·3m ·32m －12＝18，解得m ＝64.11.⎣⎢⎡⎦⎥⎤3－34，3＋34 [解析] 函数f (x )的几何意义是指坐标平面上定点A (3，2)与动点M (cos x ，sin x )连线的斜率，而动点M 的两坐标的平方和为1，动点M 是坐标平面内单位圆上的点组成的，问题等价于求定点A 和单位圆上的动点连线斜率的取值范围．如图所示，函数f (x )的值域的两个端点，就是过点A 的单位圆的两条切线AM ，AN 的斜率，设切线方程为y －2＝k (x －3)，即kx －y －3k ＋2＝0，圆心到直线的距离为|－3k ＋2|1＋k 2，这个距离等于圆的半径，即|－3k ＋2|1＋k 2＝1，解得k ＝3±34，故所求的函数值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤3－34，3＋34.12．1 [解析] 构造函数f (t )＝t ＋sin t －2a ，则f ′(t )＝3t 2＋cos t ，当t ∈⎣⎡⎦⎤2k π－π2，2k π＋π2(k ∈Z )时，f ′(t )>0，当t ∈⎣⎡⎦⎤2k π＋π2，2k π＋32π(k ∈Z )时，3t 2>1，cos t ≥－1，此时f ′(t )>0，故函数f (t )是R 上的增函数．根据题意f (x )＝f (－2y )，故x ＝－2y ，所以cos(x ＋2y )＝1.13．解：(1)设数列{a n }的公差为d ， 由⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋2d ＝3，a 1＋（a 1＋3d ）＝5，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝1，d ＝1. 所以a n ＝a 1＋(n －1)d ＝1＋(n －1)·1＝n .(2)因为a n ＝n ，所以a n ＋1＝n ＋1，故b n ＝1n （n ＋1）＝1n －1n ＋1，所以S n ＝⎝⎛⎭⎫1－12＋⎝⎛⎭⎫12－13＋⎝⎛⎭⎫13－14＋…＋⎝⎛⎭⎫1n －1n ＋1＝1－1n ＋1＝nn ＋1. 14．解：(1)由三角函数定义，得x 1＝cos α，x 2＝cos ⎝⎛⎭⎫α＋π3.因为α∈⎝⎛⎭⎫π6，π2，cos α＝13，所以sin α＝1－cos 2α＝2 23.所以x 2＝cos ⎝⎛⎭⎫α＋π3＝12cos α－32sin α＝1－2 66.(2)依题意得y 1＝sin α，y 2＝sin ⎝⎛⎭⎫α＋π3.所以S 1＝12x 1y 1＝12cos α·sin α＝14sin 2α，S 2＝12|x 2|y 2＝12⎣⎡⎦⎤－cos ⎝⎛⎭⎫α＋π3·sin ⎝⎛⎭⎫α＋π3＝－14sin ⎝⎛⎭⎫2α＋2π3.依题意得sin 2α＝－2sin ⎝⎛⎭⎫2α＋2π3，整理得cos 2α＝0.因为π6<α<π2，所以π3<2α<π，所以2α＝π2，即α＝π4.15．解：(1)设g (x )＝ax ＋a －1x＋1－2a －ln x ，x ∈[1，＋∞)，则g (1)＝0，g ′(x )＝a －a －1x 2－1x ＝ax 2－x －（a －1）x 2＝a （x －1）⎝⎛⎭⎫x －1－a a x 2. 当0<a <12时，1－a a >1，若1<x <1－a a，则g ′(x )<0，g (x )单调递减，此时g (x )<g (1)＝0，不符合题意．当a ≥12时，1－a a≤1，若x >1，则g ′(x )>0，g (x )单调递增，则g (x )>g (1)＝0，即f (x )≤ax ＋a －1x＋1－2a 在[1，＋∞)上恒成立．综上，a 的取值范围是⎣⎡⎭⎫12，＋∞. (2)证明：由题意F (x )＝ln x ＋ax 2－2x ，F ′(x )＝1x ＋2ax －2＝2ax 2－2x ＋1x，因为函数F (x )有两极值点，所以2ax 2－2x ＋1＝0的Δ>0，则0<a <12.不妨设2ax 2－2x ＋1＝0的两根为x 1，x 2且0<x 1<x 2，则F (x )在(0，x 1)和(x 2，＋∞)上单调递增，在(x 1，x 2)上单调递减，x 2是F (x )的极小值点，所以当F ⎝⎛⎭⎫x 1＋x 22<－32时，必有F (x 2)<－32.因为x 1＋x 22＝12a，所以F ⎝⎛⎭⎫x 1＋x 22＝F ⎝⎛⎭⎫12a ＝ln 12a －32·12a ，要证F ⎝⎛⎭⎫x 1＋x 22<－32，即证ln 12a －32·12a ＋32<0.令12a ＝t (t >1)，设G (t )＝ln t －32t ＋32，则G ′(t )＝1t －32<0， 所以t >1时，G (t )单调递减，又因为G (1)＝0，所以G (t )<0，即F ⎝⎛⎭⎫x 1＋x 22<－32，也即F (x )的极小值小于－32.。

限时集训(十) 函数与方程(限时：50分钟 满分：106分)一、选择题(本大题共8个小题，每小题5分，共40分)1．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x －1，x ≤1，1＋log 2x ，x >1，则函数f (x )的零点为( )A.12，0 B ．－2,0 C.12D ．02．(2012·湖北高考)函数f (x )＝x cos x 2在区间[0,4]上的零点个数为( ) A ．4 B ．5 C ．6D ．73．(2013·宁波模拟)函数f (x )＝e x ＋x －2的零点所在的一个区间是( ) A ．(－2，－1) B ．(－1,0) C ．(0,1)D ．(1,2)4．若x 0是方程⎝⎛⎭⎫12x＝x 13的解，则x 0属于区间( ) A.⎝⎛⎭⎫23，1 B.⎝⎛⎭⎫12，23 C.⎝⎛⎭⎫13，12D.⎝⎛⎭⎫0，13 5．(2013·金华模拟)函数f (x )＝2x －2x －a 的一个零点在区间(1,2)内，则实数a 的取值范围是( )A ．(1,3)B ．(1,2)C ．(0,3)D ．(0,2)6．函数f (x )＝3sin π2x －log 12x 的零点的个数是( )A ．2B ．3C ．4D ．57．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x－x 3(x ≤0)，⎝⎛⎭⎫13x －log 2x (x >0)，若x 0是y ＝f (x )的零点，且0<t <x 0，则f (t )( )A ．恒小于0B ．恒大于0C ．等于0D ．不大于08．(2013·洛阳模拟)若函数y ＝f (x )(x ∈R)满足f (x ＋2)＝f (x )，且x ∈[－1,1]时，f (x )＝|x |，函数g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧sin πx ，x >0，－1x ，x <0，则函数h (x )＝f (x )－g (x )在区间[－5,5]上的零点的个数为( )A ．10B ．9C ．8D ．7二、填空题(本大题共6个小题，每小题4分，共24分)9．已知定义在R 上的函数f (x )满足：f (x ＋4)＝f (x )，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2＋1(－1≤x ≤1)，－|x －2|＋1(1<x ≤3)，若方程f (x )－ax ＝0有5个实根，则正实数a 的取值范围是________．10．(2013·杭州七校联考)已知函数f (x )＝ln(x ＋1)－2x 的零点所在区间为(k ，k ＋1)，(k ∈Z)，则k ＝________.11．定义在R 上的奇函数f (x )满足：当x >0时，f (x )＝2 012x ＋log 2 012x ，则在R 上，函数f (x )零点的个数为________．12．函数y ＝⎝⎛⎭⎫12|x |－m 有两个零点，则m 的取值范围是________．13．已知函数f (x )＝x ＋2x ，g (x )＝x ＋ln x ，h (x )＝x －x －1的零点分别为x 1，x 2，x 3，则x 1，x 2，x 3的大小关系是________．14．已知函数f (x )满足f (x ＋1)＝－f (x )，且f (x )是偶函数，当x ∈[0,1]时，f (x )＝x 2.若在区间[－1,3]内，函数g (x )＝f (x )－kx －k 有4个零点，则实数k 的取值范围为________．三、解答题(本大题共3个小题，每小题14分，共42分) 15．是否存在这样的实数a ，使函数f (x )＝x 2＋(3a －2)·x ＋a －1在区间[－1,3]上与x 轴有且只有一个交点．若存在，求出a 的范围；若不存在，说明理由．16．若函数F (x )＝|4x －x 2|＋a 有4个零点，求实数a 的取值范围．17．已知关于x 的二次方程x 2＋2mx ＋2m ＋1＝0.(1)若方程有两根，其中一根在区间(－1,0)内，另一根在区间(1,2)内，求m的范围；(2)若方程两根均在区间(0,1)内，求m的范围．限时集训(十一)函数模型及其应用(限时：50分钟满分：106分)一、选择题(本大题共8个小题，每小题5分，共40分)1.如图是张大爷晨练时所走的离家距离(y)与行走时间(x)之间的函数关系图，若用黑点表示张大爷家的位置，则张大爷散步行走的路线可能是()2．(2013·济南模拟)某公司在甲、乙两地销售一种品牌车，利润(单位：万元)分别为L1＝5.06x－0.15x2和L2＝2x，其中x为销售量(单位：辆)．若该公司在这两地共销售15辆车，则能获得的最大利润为()A．45.606万元B．45.6万元C．45.56万元D．45.51万元3．某地2011年底人口为500万，人均住房面积为6 m2，如果该城市人口平均每年增长率为1%.问为使2021年底该城市人均住房面积增加到7 m2，平均每年新增住房面积至少为(1.0110≈1.104 6)()A．90万m2B．87万m2C．85万m2D．80万m24．某产品的总成本y(单位：万元)与产量x(单位：台)之间的函数关系式是y＝3 000＋20x－0.1x2(0<x<240，x∈N*)．若每台产品的售价为25万元，则生产者不亏本时(销售收入不小于总成本)的最低产量是()A．100台B．120台C．150台D．180台5．某商店按每件80元的成本购进某商品1 000件，根据市场预测，销售价为每件100元时可全部售完，定价每提高1元时销售量就减少5件．若要获得最大利润，则销售价应定为每件()A．100元B．110元C．150元D．190元6．某文具店出售羽毛球拍和羽毛球，球拍每副定价20元，羽毛球每个定价5元，该店制定了两种优惠方法：①买一副球拍赠送一个羽毛球；②按总价的92%付款．现某人计划购买4副球拍和30个羽毛球，两种方法中，更省钱的一种是()A．不能确定B．①②同样省钱C．②省钱D．①省钱7．图形M(如图所示)是由底为1，高为1的等腰三角形及高为2和3的两个矩形所构成，函数S＝S(a)(a≥0)是图形M介于平行线y＝0及y＝a之间的那一部分面积，则函数S(a)的图象大致是()8．某地区要建造一条防洪堤，其横断面为等腰梯形，腰与底边成角为60°(如图)，考虑到防洪堤坚固性及石块用料等因素，设计其横断面面积为93平方米，且高度不低于3米．记防洪堤横断面的腰长为x米，外周长(梯形的上底线段BC与两腰长的和)为y米．要使防洪堤横断面的外周长不超过10.5米，则其腰长x的范围为()A．[2,4]B．[3,4]C．[2,5]D．[3,5]二、填空题(本大题共6个小题，每小题4分，共24分)9．(2013·郑州模拟)一高为H，满缸水量为V的鱼缸截面如图所示，其底部破了一个小洞，满缸水从洞中流出．若鱼缸水深为h时的水的体积为v，则函数v＝f(h)的大致图象可能是图中的________．10．(2013·江南十校联考)某公司购买一批机器投入生产，据市场分析每台机器生产的产品可获得的总利润y (单位：万元)与机器运转时间x (单位：年)的关系为y ＝－x 2＋18x －25(x ∈N *)．则当每台机器运转________年时，年平均利润最大，最大值是______万元．11．有一批材料可以建成200 m 长的围墙，如果用此材料在一边靠墙的地方围成一块矩形场地，中间用同样材料隔成三个面积相等的矩形(如图所示)，则围成场地的最大面积为________(围墙厚度不计)．12．一块形状为直角三角形的铁皮，两直角边长分别为40 cm 、60 cm ，现要将它剪成一个矩形，并以此三角形的直角为矩形的一个角，则矩形的最大面积是________ cm 2.13．某商场宣传在节假日对顾客购物实行一定的优惠，商场规定： ①如一次购物不超过200元，不予以折扣；②如一次购物超过200元，但不超过500元，按标价予以九折优惠；③如一次购物超过500元的，其中500元给予九折优惠，超过500元的给予八五折优惠； 某人两次去购物，分别付款176元和432元，如果他只去一次购买同样的商品，则应付款________元．14．某人用10万元买了一辆小汽车用来跑出租，已知这辆汽车从启用的第一年起连续使用，第n 年的保养维修费为2 000 (n －1)元，使用它直到“报废最合算”(所谓“报废最合算”是指使用的这辆汽车的年平均耗资最少)为止，则最佳报废时间为________年．三、解答题(本大题共3个小题，每小题14分，共42分)15．(2013·嘉兴模拟)某化工厂引进一条先进生产线生产某种化工产品，其生产的总成本y (万元)与年产量x (吨)之间的函数关系式可以近似地表示为y ＝x 25－48x ＋8 000，已知此生产线年产量最大为210吨．(1)求年产量为多少吨时，生产每吨产品的平均成本最低，并求最低成本；(2)若每吨产品平均出厂价为40万元，那么当年产量为多少吨时，可以获得最大利润？最大利润是多少？16．据气象中心观察和预测：发生于M地的沙尘暴一直向正南方向移动，其移动速度v(km/h)与时间t(h)的函数图象如图所示，过线段OC上一点T(t,0)作横轴的垂线l，梯形OABC 在直线l左侧部分的面积即为t(h)内沙尘暴所经过的路程s(km)．(1)当t＝4时，求s的值；(2)将s随t变化的规律用数学关系式表示出来；(3)若N城位于M地正南方向，且距M地650 km，试判断这场沙尘暴是否会侵袭到N城．如果会，在沙尘暴发生后多长时间它将侵袭到N城？如果不会，请说明理由．17．某公司生产一种产品，每年需投入固定成本0.5万元，此外每生产100件这样的产品，还需增加投入0.25万元，经市场调查知这种产品年需求量为500件，产品销售数量为t 件时，销售所得的收入为⎝⎛⎭⎫0.05t －120 000t 2万元． (1)该公司这种产品的年生产量为x 件，生产并销售这种产品所得到的利润关于当年产量x 的函数为f (x )，求f (x )；(2)当该公司的年产量为多少件时，当年所获得的利润最大？限时集训(十二) 变化率与导数、导数的计算(限时：50分钟 满分：106分)一、选择题(本大题共8个小题，每小题5分，共40分)1．(2013·永康模拟)函数y ＝f (x )的图象如图所示，则y ＝f ′(x )的图象可能是( )2．(2013·绍兴模拟)若函数f (x )＝cos x ＋2xf ′⎝⎛⎭⎫π6，则f ⎝⎛⎭⎫－π3与f ⎝⎛⎭⎫π3的大小关系是( ) A ．f ⎝⎛⎭⎫－π3＝f ⎝⎛⎭⎫π3 B ．f ⎝⎛⎭⎫－π3>f ⎝⎛⎭⎫π3 C ．f ⎝⎛⎭⎫－π3<f ⎝⎛⎭⎫π3 D ．不确定3．若函数f (x )＝e x cos x ，则此函数的图象在点(1，f (1))处的切线的倾斜角为( ) A ．0° B ．锐角 C ．直角D ．钝角4．已知f (x )＝x (2 011＋ln x )，f ′(x 0)＝2 012，则x 0等于( ) A ．e 2B ．1C ．ln 2D ．e5．曲线y ＝x e x ＋2x －1在点(0，－1)处的切线方程为( ) A ．y ＝3x －1 B ．y ＝－3x －1 C ．y ＝3x ＋1D ．y ＝－2x －16．已知曲线y ＝ln x ，则过点(0，－1)的曲线的切线方程为( ) A ．x －2y －2＝0 B ．x －y －1＝0C ．x －y －1＝0或x ＋y －1＝0D ．2x －3y －3＝07．(2013·临沂模拟)已知直线y ＝kx 与曲线y ＝ln x 有公共点，则k 的最大值为( ) A ．1B.1eC.2eD.2e8．设函数f (x )在R 上的导函数为f ′(x )，且2f (x )＋xf ′(x )>x 2.下面的不等式在R 上恒成立的是( )A ．f (x )>0B ．f (x )<0C ．f (x )>xD ．f (x )<x二、填空题(本大题共6个小题，每小题4分，共24分)9．函数y ＝f (x )的图象在点M (1，f (1))处的切线方程为y ＝e x －e ，则f ′(1)＝________. 10．(2013·郑州模拟)已知函数f (x )＝ln x －f ′(－1)x 2＋3x －4，则f ′(1)＝________. 11．已知三次函数y ＝x 3－x 2－ax ＋b 在(0,1)处的切线方程为y ＝2x ＋1，则a ＋b ＝________.12．已知函数y ＝f (x )及其导函数y ＝f ′(x )的图象如图所示，则曲线y ＝f (x )在点P 处的切线方程是________．13．(2013·杭州七校联考)过原点作曲线y ＝e x 的切线，则切线的方程为________． 14．若曲线f (x )＝ax 5＋ln x 存在垂直于y 轴的切线，则实数a 的取值范围是________． 三、解答题(本大题共3个小题，每小题14分，共42分)15．已知函数f (x )＝ax －6x 2＋b 的图象在点(－1，f (－1))处的切线方程为x ＋2y ＋5＝0，求y＝f (x )的解析式．16．(2013·杭州模拟)如右图所示，已知A(－1,2)为抛物线C：y＝2x2上的点，直线l1过点A，且与抛物线C相切，直线l2：x＝a(a<－1)交抛物线C于点B，交直线l1于点D.(1)求直线l1的方程；(2)求△ABD的面积S1.17．如图，从点P1(0,0)作x轴的垂线交曲线y＝e x于点Q1(0,1)，曲线在Q1点处的切线与x轴交于点P2.再从P2作x轴的垂线交曲线于点Q2，依次重复上述过程得到一系列点：P1，Q1；P2，Q2；…；P n，Q n，记P k点的坐标为(x k,0)(k＝1,2，…，n)．(1)试求x k与x k－1的关系(k＝2，…，n)；(2)求|P1Q1|＋|P2Q2|＋|P3Q3|＋…＋|P n Q n|.限时集训(十三) 导数的应用(Ⅰ)(限时：50分钟 满分：106分)一、选择题(本大题共8个小题，每小题5分，共40分)1．已知定义在R 上的函数f (x )，其导函数f ′(x )的大致图象如图所示，则下列叙述正确的是( )A ．f (b )>f (c )>f (d )B ．f (b )>f (a )>f (e )C ．f (c )>f (b )>f (a )D ．f (c )>f (e )>f (d )2．函数f (x )的定义域为R ，f (－1)＝2，对任意x ∈R ，f ′(x )>2，则f (x )>2x ＋4的解集为( )A ．(－1,1)B ．(－1，＋∞)C ．(－∞，－1)D ．(－∞，＋∞)3．(2012·陕西高考)设函数f (x )＝x e x ，则( ) A ．x ＝1为f (x )的极大值点 B ．x ＝1为f (x )的极小值点 C ．x ＝－1为f (x )的极大值点 D ．x ＝－1为f (x )的极小值点4．(2013·济南模拟)设a ∈R ，若函数y ＝e x ＋ax 有大于零的极值点，则( ) A ．a ＜－1 B ．a ＞－1 C ．a <－1eD ．a >－1e5．函数f (x )＝x 33＋x 2－3x －4在[0,2]上的最小值是( )A ．－173B ．－103C ．－4D ．－6436．(2013·丽水模拟)函数f (x )＝x －a x 在x ∈[1,4]上单调递减，则实数a 的最小值为( )A ．1B ．2C ．4D ．57．(2013·咸宁模拟)已知函数y ＝x 3－3x ＋c 的图象与x 轴恰有两个公共点，则c ＝( ) A ．－2或2 B ．－9或3 C ．－1或1D ．－3或18．(2012·福建高考)已知f (x )＝x 3－6x 2＋9x －abc ，a <b <c ，且f (a )＝f (b )＝f (c )＝0.现给出如下结论：①f (0)f (1)>0；②f (0)f (1)<0； ③f (0)f (3)>0；④f (0)f (3)<0. 其中正确结论的序号是( ) A ．①③ B ．①④ C ．②③D ．②④二、填空题(本大题共6个小题，每小题4分，共24分)9．若函数f (x )的导函数为f ′(x )＝2x －4，则函数f (x －1)的单调递减区间是________． 10．函数f (x )＝x 3－15x 2－33x ＋6的单调减区间为________． 11．已知函数f (x )＝e x －2x ＋a 有零点，则a 的取值范围是________．12．(2013·温州模拟)设函数f (x )＝12x 2－9ln x 在区间[a －1，a ＋1]上单调递减，则实数a的取值范围是________．13．函数f (x )在定义域R 内可导，若f (x )＝f (1－x )，⎝⎛⎭⎫x －12f ′(x )<0，设a ＝f (0)，b ＝f ⎝⎛⎭⎫12，c ＝f (3)，则a ，b ，c 的大小关系为________．14．已知a >0，设函数f (x )＝a ln x －2a ·x ＋2a ，g (x )＝12(x －2a )2.则函数h (x )＝f (x )－g (x )的最大值为________．三、解答题(本大题共3个小题，每小题14分，共42分)15．已知函数f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋c 在点x 0处取得极小值－5，其导函数y ＝f ′(x )的图象经过点(0,0)，(2,0)．(1)求a ，b 的值；(2)求x 0及函数f (x )的表达式．16．已知函数f (x )＝ax 3－32x 2＋1(x ∈R)，其中a ＞0.(1)若a ＝1，求曲线y ＝f (x )在点(2，f (2))处的切线方程； (2)若在区间⎣⎡⎦⎤－12，12上，f (x )＞0恒成立，求a 的取值范围．17．(2012·天津高考)已知函数f (x )＝13x 3＋1－a 2x 2－ax －a ，x ∈R ，其中a >0.(1)求函数f (x )的单调区间；(2)若函数f (x )在区间(－2,0)内恰有两个零点，求a 的取值范围；(3)当a ＝1时，设函数f (x )在区间[t ，t ＋3]上的最大值为M (t )，最小值为m (t )，记g (t )＝M (t )－m (t )，求函数g (t )在区间[－3，－1]上的最小值．限时集训(十四) 导数的应用(Ⅱ)(限时：50分钟 满分：106分)一、选择题(本大题共8个小题，每小题5分，共40分)1．已知f (x )＝x 3－ax 在[1，＋∞)上是单调增函数，则a 的最大值是( ) A ．0 B ．1 C ．2D ．32．已知函数f (x )＝2x 3－6x 2＋m (m 为常数)在[－2,2]上有最大值3，那么此函数在[－2,2]上的最小值是( )A ．－37B ．－29C ．－5D ．以上都不对3．设动直线x ＝m 与函数f (x )＝x 3，g (x )＝ln x 的图象分别交于点M ，N ，则|MN |的最小值为( )A.13(1＋ln 3) B.13ln 3 C ．1＋ln 3D ．ln 3－14．已知a ≤1－x x ＋ln x 对任意x ∈⎣⎡⎦⎤12，2恒成立，则a 的最大值为( ) A ．0 B ．1 C ．2D ．35．球的直径为d ，其内接正四棱柱体积V 最大时的高为( ) A.22d B.32d C.33d D.23d 6．已知函数f (x )＝x 3＋ax 2＋x ＋2(a >0)的极大值点和极小值点都在区间(－1,1)内，则实数a 的取值范围是( )A ．(0,2]B ．(0,2)C ．[3，2)D ．(3，2)7．已知某生产厂家的年利润y (单元：万元)与年产量x (单位：万件)的函数关系式为y ＝－13x 3＋81x －234，则使该生产厂家获取最大年利润的年产量为( )A ．13万件B ．11万件C ．9万件D ．7万件8．已知函数f (x )＝x 3－3x ，若对于区间[－3,2]上任意的x 1，x 2都有|f (x 1)－f (x 2)|≤t ，则实数t 的最小值是( )A ．0B ．10C ．18D ．20二、填空题(本大题共6个小题，每小题4分，共24分) 9．函数f (x )＝x 3－3x 的极大值与极小值的和为________．10．函数f (x )＝－x 3＋mx 2＋1(m ≠0)在(0,2)内的极大值为最大值，则m 的取值范围是________．11．已知函数f (x )＝(x 2－3x ＋3)e x ，设t >－2，f (－2)＝m ，f (t )＝n .函数f (x )在[－2，t ]上为单调函数时，t 的取值范围是________．12．(2013·东北三省四市质检)设f (x )＝x 3＋x ，x ∈R ，若当0≤θ≤π2时，f (m sin θ)＋f (1－m )>0恒成立，则实数m 的取值范围是________．13．某商场从生产厂家以每件20元购进一批商品，若该商品零售价为p 元，销量Q (单位：件)与零售价p (单位：元)有如下关系：Q ＝8 300－170p －p 2，则该商品零售价定为________元时利润最大，利润的最大值为________．14．若函数f (x )＝13x 3－a 2x 满足：对于任意的x 1，x 2∈[0,1]都有|f (x 1)－f (x 2)|≤1恒成立，则a 的取值范围是________．三、解答题(本大题共3个小题，每小题14分，共42分) 15．已知函数f (x )＝a ln x －ax －3(a ∈R)． (1)求函数f (x )的单调区间；(2)若函数y ＝f (x )的图象在点(2，f (2))处的切线的倾斜角为45°，对于任意的t ∈[1,2]，函数g (x )＝x 3＋x 2·⎣⎡⎦⎤f ′(x )＋m 2在区间(t,3)上不是单调函数，求m 的取值范围．16．已知f (x )＝ax －ln x ，x ∈(0，e]，g (x )＝ln xx ，其中e 是自然常数，a ∈R.(1)讨论当a ＝1时，函数f (x )的单调性和极值； (2)求证：在(1)的条件下，f (x )>g (x )＋12；(3)是否存在实数a ，使f (x )的最小值是3？若存在，求出a 的值；若不存在，说明理由．17．设函数f (x )＝x －1x－a ln x .(1)若曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线被圆x 2＋y 2＝1截得的弦长为2，求a 的值； (2)若函数f (x )在其定义域上为增函数，求实数a 的取值范围；(3)当a ≤2时，设函数g (x )＝x －ln x －1e ，若在[1，e]上存在x 1，x 2使f (x 1)≥g (x 2)成立，求实数a 的取值范围．(限时：50分钟 满分：106分)一、选择题(本大题共8个小题，每小题5分，共40分) 1．若α＝k ·180°＋45°(k ∈Z)，则α在( ) A ．第一或第三象限 B ．在第一或第二象限 C ．第二或第四象限D ．在第三或第四象限2．已知tan α>0，且sin α＋cos α>0，那么角α的终边在( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限D ．第四象限3．sin 2cos 3tan 4的值( ) A ．小于0 B ．大于0 C ．等于0D ．不存在 4．已知角α的终边经过点(3a －9，a ＋2)，且cos α≤0，sin α＞0，则实数a 的取值范围是( )A ．(－2,3]B ．(－2,3)C ．[－2,3)D ．[－2,3]5．圆弧长度等于圆内接正三角形的边长，则其圆心角的弧度数为( ) A.π3 B.2π3C. 3D ．26．若α是第三象限角，则y ＝⎪⎪⎪⎪sin α2sin α2＋⎪⎪⎪⎪cos α2cos α2的值为( )A ．0B ．2C ．－2D ．2或－27．点P 从(1,0)出发，沿单位圆逆时针方向运动2π3弧长到达Q 点，则Q 点的坐标为( )A.⎝⎛⎭⎫－12，32B.⎝⎛⎭⎫－32，－12 C.⎝⎛⎭⎫－12，－32D.⎝⎛⎭⎫－32，12 8．已知扇形的周长是4 cm ，则扇形面积最大时，扇形的中心角的弧度数是( ) A ．2 B ．1 C.12D ．3二、填空题(本大题共6个小题，每小题4分，共24分)9．已知角α的终边经过点(3，－1)，则角α的最小正值是________． 10．若点P (x ，y )是300°角终边上异于原点的一点，则yx 的值为________．11．若三角形的两个内角α，β满足sin αcos β＜0，则此三角形为________．12．若θ角的终边与8π5的终边相同，则在[0,2π]内终边与θ4角的终边相同的角有________．13．已知角α的终边过点P (－8m ，－6sin 30°)，且cos α＝－45，则m 的值为________．14．(2013·菏泽模拟)已知函数f (x )＝x 2cos θ－ 2 x sin θ＋34，对于任意的实数x 恒有f (x )>0，且θ是三角形的一个锐角，则θ的取值范围是________．三、解答题(本大题共3个小题，每小题14分，共42分)15．已知角α的终边过点P (－3cos θ，4cos θ)，其中θ∈⎝⎛⎭⎫π2，π，求α的三角函数值．16．一个扇形OAB 的面积是1 cm 2，它的周长是4 cm ，求圆心角的弧度数和弦长AB .17．角α终边上的点P与A(a,2a)关于x轴对称(a＞0)，角β终边上的点Q与A关于直线y＝x对称，求sin α·cos α＋sin β·cos β＋tan α·tan β的值．限时集训(十六) 同角三角函数的基本关系与诱导公式(限时：50分钟 满分：106分)一、选择题(本大题共8个小题，每小题5分，共40分) 1．已知tan α＝－a ，则tan(π－α)的值等于( ) A ．a B ．－a C.1aD ．－1a2．α是第一象限角，tan α＝34，则sin α＝( )A.45B.35 C ．－45D ．－353．已知sin 34°＝－m ，则sin 2 014°＝( ) A ．－1－m 2 B.1－m 2 C ．－mD ．m4．若sin ⎝⎛⎭⎫π6＋α＝35，则cos ⎝⎛⎭⎫π3－α＝( ) A ．－35B.35C.45D ．－455．(2013·安徽名校模拟)已知tan x ＝2，则sin 2x ＋1＝( ) A ．0 B.95 C.43D.536．已知f (α)＝sin (π－α)cos (2π－α)cos (－π－α)tan α，则f ⎝⎛⎭⎫－313π的值为( ) A.12 B ．－13C ．－12D.137．(2013·西安模拟)已知2tan α·sin α＝3，－π2＜α＜0，则sin α＝( )A.32B ．－32C.12 D ．－128．若sin θ，cos θ是方程4x 2＋2mx ＋m ＝0的两根，则m 的值为( ) A ．1＋ 5 B ．1－ 5 C ．1±5D ．－1－ 5二、填空题(本大题共6个小题，每小题4分，共24分) 9．sin (－210°)＝________.10．化简sin ⎝⎛⎭⎫π2＋α·cos ⎝⎛⎭⎫π2－αcos (π＋α)＋sin (π－α)·cos ⎝⎛⎭⎫π2＋αsin (π＋α)＝________.11．已知cos ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝23，则sin ⎝⎛⎭⎫π4－α的值为________． 12．若cos(2π－α)＝53，且α∈⎣⎡⎦⎤－π2，0，则sin(π－α)＝________. 13．(2013·绍兴模拟)已知tan α＝－12，π2<α<π，则sin α＝________.14．已知sin(π－α)－cos(π＋α)＝23⎝⎛⎭⎫π2＜α＜π.则 sin α－cos α＝________.三、解答题(本大题共3个小题，每小题14分，共42分) 15．已知sin(3π＋θ)＝13，求cos (π＋θ)cos θ[cos (π－θ)－1]＋cos (θ－2π)sin ⎝⎛⎭⎫θ－3π2cos (θ－π)－sin ⎝⎛⎭⎫3π2＋θ的值．16．已知关于x 的方程2x 2－(3＋1)x ＋m ＝0的两根sin θ和cos θ，θ∈(0,2π)，求： (1)sin 2θsin θ－cos θ＋cos θ1－tan θ的值； (2)m 的值；(3)方程的两根及此时θ的值．17．是否存在α∈⎝⎛⎭⎫－π2，π2，β∈(0，π)，使等式sin(3π－α)＝2cos ⎝⎛⎭⎫π2－β，3cos(－α)＝－2cos(π＋β)同时成立？若存在，求出α，β的值，若不存在，请说明理由．限时集训(十七) 三角函数的图象与性质(限时：50分钟 满分：106分)一、选择题(本大题共8个小题，每小题5分，共40分) 1．函数f (x )＝2sin x cos x 是( ) A ．最小正周期为2π的奇函数 B ．最小正周期为2π的偶函数 C ．最小正周期为π的奇函数 D ．最小正周期为π的偶函数2．函数f (x )＝sin x 在区间[a ，b ]上是增函数，且f (a )＝－1，f (b )＝1，则cos a ＋b2＝( )A ．0 B.22C ．－1D ．13．(2013·银川模拟)已知函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋3π2 (x ∈R)，下面结论错误的是( ) A ．函数f (x )的最小正周期为π B ．函数f (x )是偶函数C ．函数f (x )的图象关于直线x ＝π4对称D ．函数f (x )在区间⎣⎡⎦⎤0，π2上是增函数 4．(2013·杭州模拟)设函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0)在x ＝π2时，取最大值A ，在x ＝3π2时，取最小值－A ，则当x ＝π时，函数y 的值( )A ．仅与ω有关B ．仅与φ有关C ．等于零D ．与φ，ω均有关5．(2013·郑州模拟)设函数f (x )＝cos(ωx ＋φ)－3sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎫ω＞0，|φ|＜π2，且其图象相邻的两条对称轴为x ＝0，x ＝π2，则( )A ．y ＝f (x )的最小正周期为π，且在⎝⎛⎭⎫0，π2上为增函数 B ．y ＝f (x )的最小正周期为π，且在⎝⎛⎭⎫0，π2上为减函数C ．y ＝f (x )的最小正周期为π，且在(0，π)上为增函数D ．y ＝f (x )的最小正周期为π，且在(0，π)上为减函数6．已知函数y ＝sin x 的定义域为[a ，b ]，值域为⎣⎡⎦⎤－1，12，则b －a 的值不可能是( ) A.π3 B.2π3 C ．π D.4π37．(2013·衡阳联考)给定性质：①最小正周期为π；②图象关于直线x ＝π3对称，则下列四个函数中，同时具有性质①②的是( )A ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x 2＋π6 B ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6 C ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6 D ．y ＝sin|x |8．(2012·新课标全国卷)已知ω＞0，函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π4在⎝⎛⎭⎫π2，π上单调递减，则ω的取值范围是( )A.⎣⎡⎦⎤12，54 B.⎣⎡⎦⎤12，34 C.⎝⎛⎦⎤0，12 D ．(0,2]二、填空题(本大题共6个小题，每小题4分，共24分) 9．函数y ＝1tan x －3的定义域为________．10．若函数f (x )＝2tan ⎝⎛⎭⎫kx ＋π3的最小正周期T 满足1<T <2，则自然数k 的值为________． 11．(2013· 台州模拟)设函数y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3的图象关于点P (x 0,0)成中心对称，若x 0∈⎣⎡⎦⎤－π2，0，则x 0＝________.12．函数y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3－1，x ∈⎣⎡⎦⎤0，π3的值域为________，并且取最大值时x 的值为________．13．已知函数f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π6(ω＞0)的图象上的两个相邻的最高点和最低点的横坐标之差为π2，则函数在[0,2π]上的零点个数为________．14．(2013·义乌模拟)已知函数f (x )＝2sin ωx (ω>0)在区间⎣⎡⎦⎤－π3，π4上的最小值是－2，则ω的最小值等于________．三、解答题(本大题共3个小题，每小题14分，共42分)15．(2012·陕西高考)函数f (x )＝A sin ⎝⎛⎭⎫ωx －π6＋1(A >0，ω>0)的最大值为3，其图象相邻两条对称轴之间的距离为π2.(1)求函数f (x )的解析式；(2)设α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，f ⎝⎛⎭⎫α2＝2，求α的值．16．设a ＝⎝⎛⎭⎫sin 2π＋2x4，cos x ＋sin x ，b ＝(4sin x ，cos x －sin x )，f (x )＝a ·b . (1)求函数f (x )的解析式；(2)已知常数ω>0，若y ＝f (ωx )在区间⎣⎡⎦⎤－π2，2π3上是增函数，求ω的取值范围；17．(2012·湖北高考)已知向量a ＝(cos ωx －sin ωx ，sin ωx )，b ＝(－cos ωx －sin ωx,23cos ωx )，设函数f (x )＝a ·b ＋λ(x ∈R)的图象关于直线x ＝π对称，其中ω，λ为常数，且ω∈⎝⎛⎭⎫12，1.(1)求函数f (x )的最小正周期；(2)若y ＝f (x )的图象经过点⎝⎛⎭⎫π4，0，求函数f (x )在区间⎣⎡⎦⎤0，3π5上的取值范围．限时集训(十八) 函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象及三角函数模型的简单应用(限时：50分钟 满分：106分)一、选择题(本大题共8个小题，每小题5分，共40分)1．(2012·浙江高考)把函数y ＝cos 2x ＋1的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，然后向左平移1个单位长度，再向下平移1个单位长度，得到的图象是( )2．(2013·温州模拟)要得到函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4的图象，只要将函数y ＝sin 2x 的图象( )A ．向左平移π4个单位B ．向右平移π4个单位C ．向右平移π8个单位D ．向左平移π8个单位3．设函数f (x )＝cos ωx (ω＞0)，将y ＝f (x )的图象向右平移π3个单位长度后，所得的图象与原图象重合，则ω的最小值等于( )A.13 B ．3 C ．6 D ．94.已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)＋h ⎝⎛⎭⎫ω>0，0<φ<π2的图象如图所示，则f (x )＝( ) A ．4sin ⎝⎛⎭⎫x 2＋π4＋2B ．－4sin ⎝⎛⎭⎫x 2－π4＋2 C ．2sin ⎝⎛⎭⎫x 2＋π4＋4 D ．－2sin ⎝⎛⎭⎫x 2＋π4＋45．已知函数f (x )＝A tan(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎫ω＞0，|φ|＜π2，y ＝f (x )的部分图象如图，则f ⎝⎛⎭⎫π24等于( )A ．2＋ 3 B. 3 C.33D ．2－ 36．(2013·广州模拟)函数y ＝cos(ωx ＋φ)(ω>0,0<φ<π)为奇函数，该函数的部分图象如图所示，A ，B 分别为最高点与最低点，并且直线AB 的斜率为1，则该函数图象的一条对称轴为( )A ．x ＝2πB ．x ＝π2C ．x ＝1D ．x ＝27．(2013·江西九校联考)已知A ，B ，C ，D 是函数y ＝sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎫ω＞0，0＜φ＜π2一个周期内的图象上的四个点，如图所示，A ⎝⎛⎭⎫－π6，0，B 为y 轴上的点，C 为图象上的最低点，E 为该函数图象的一个对称中心，B 与D 关于点E 对称，CD ―→在x 轴上的投影为π12，则ω，φ的值为( )A ．ω＝2，φ＝π3B ．ω＝2，φ＝π6C ．ω＝12，φ＝π3D ．ω＝12，φ＝π68．(2013·潍坊模拟)如图，为了研究钟表与三角函数的关系，建立如图所示的坐标系，设秒针尖位置P (x ，y )．若初始位置为P 0⎝⎛⎭⎫32，12，当秒针从P 0(注：此时t ＝0)正常开始走时，那么点P 的纵坐标y 与时间t 的函数关系为( )A ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫π30t ＋π6B ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫－π60t －π6 C ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫－π30t ＋π6 D ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫－π30t －π3 二、填空题(本大题共6个小题，每小题4分，共24分)9．已知函数f (x )＝3sin ⎝⎛⎭⎫ωx －π6(ω＞0)和g (x )＝2cos(2x ＋φ)＋1的图象的对称轴完全相同．若x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2，则f (x )的取值范围是________． 10．(2013·龙泉模拟)函数f (x )＝2sin ωx (ω>0)在⎣⎡⎦⎤0，π4上单调递增，且在这个区间上的最大值是3，那么ω等于________．11．已知函数y ＝sin(ωx ＋φ)(ω＞0，－π≤φ＜π)的图象如图所示，则φ＝________.12．若把函数y ＝3cos x －sin x 的图象向右平移m (m >0)个单位长度后，所得到的图象关于y 轴对称，则m 的最小值是________．13．已知直线y ＝b (b ＜0)与曲线f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π2在y 轴右侧依次的三个交点的横坐标成等比数列，则b 的值是________．14．设f (x )＝a sin 2x ＋b cos 2x ，其中a ，b ∈R ，ab ≠0，若f (x )≤⎪⎪⎪⎪f ⎝⎛⎭⎫π6对一切x ∈R 恒成立，则①f ⎝⎛⎭⎫11π12＝0；②⎪⎪⎪⎪f ⎝⎛⎭⎫7π10＜⎪⎪⎪⎪f ⎝⎛⎭⎫π5；③f (x )既不是奇函数也不是偶函数；④f (x )的单调递增区间是⎣⎡⎦⎤k π＋π6，k π＋2π3(k ∈Z)；⑤存在经过点(a ，b )的直线与函数f (x )的图象不相交． 以上结论正确的是________(写出所有正确结论的编号)．三、解答题(本大题共3个小题，每小题14分，共42分)15．已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎫A ＞0，ω＞0，|φ|＜π2的图象与y 轴的交点为(0,1)，它在y 轴右侧的第一个最高点和第一个最低点的坐标分别为(x 0,2)和(x 0＋2π，－2)．(1)求函数f (x )的解析式及x 0的值； (2)若锐角θ满足cos θ＝13，求f (4θ)的值．16．已知函数f (x )＝23·sin ⎝⎛⎭⎫x 2＋π4cos ⎝⎛⎭⎫x 2＋π4－sin(x ＋π)． (1)求f (x )的最小正周期；(2)若将f (x )的图象向右平移π6个单位，得到函数g (x )的图象，求函数g (x )在区间[0，π]上的最大值和最小值．17．已知函数f(x)＝2a cos2x＋b sin x cos x－32，且f(0)＝32，f⎝⎛⎭⎫π4＝12.(1)求f(x)的最小正周期；(2)求f(x)的单调递减区间；(3)函数f(x)的图象经过怎样的平移才能使所得图象对应的函数成为奇函数？限时集训(十九) 两角和与差的正弦、余弦、正切公式(限时：50分钟 满分：106分)一、选择题(本大题共8个小题，每小题5分，共40分) 1．(2013·厦门模拟)已知tan ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝17，则tan α等于( ) A ．－65B ．－1C ．－34D.652．(2013·舟山模拟)sin 20° 1＋cos40°cos 50°＝( )A.12B.22C. 2D ．23．(2012·辽宁高考)已知sin α－cos α＝2，α∈(0，π)，则tan α＝( ) A ．－1 B ．－22C.22D ．14．(2012·江西高考)若tan θ＋1tan θ＝4，则sin 2θ＝( )A.15B.14C.13D.125．已知α为第二象限角，sin α＋cos α＝33，则cos 2α＝( ) A ．－53B ．－59C.59D.536．在△ABC 中，tan B ＝－2，tan C ＝13，则A 等于( )A.π4B.3π4C.π3D.π67．已知α＋β＝π4，则(1＋tan α)(1＋tan β)的值是( )A ．－1B ．1C ．2D ．48．(2013·合肥模拟)已知cos ⎝⎛⎭⎫π6－α＋sin α＝453，则sin ⎝⎛⎭⎫α＋7π6的值是( ) A ．－235B.235C.45D ．－45二、填空题(本大题共6个小题，每小题4分，共24分) 9．sin 6°sin 42°sin 66°sin 78°＝________. 10.3－sin 70°2－cos 210°＝________. 11．已知sin (π－α)＝－1010，则2sin 2α＋sin 2αcos ⎝⎛⎭⎫α－π4＝________.12．已知cos(α＋β)＝16，cos(α－β)＝13，则tan αtan β的值为________．13．(2013·南通模拟)设f (x )＝1＋cos 2x 2sin ⎝⎛⎭⎫π2－x ＋sin x ＋a 2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4的最大值为2＋3，则常数a ＝________.14．设α、β都是锐角，且cos α＝55，sin(α＋β)＝35，则 cos β＝________. 三、解答题(本大题共3个小题，每小题14分，共42分) 15．已知函数f (x )＝2cos 2x2－3sin x .(1)求函数f (x )的最小正周期和值域．(2)若α为第二象限角，且f ⎝⎛⎭⎫α－π3＝13，求cos 2α1＋cos 2α－sin 2α的值．16．已知sin α＋cos α＝355，α∈⎝⎛⎭⎫0，π4，sin ⎝⎛⎭⎫β－π4＝35，β∈⎝⎛⎭⎫π4，π2. (1)求sin 2α和tan 2α的值； (2)求cos(α＋2β)的值．17．已知向量a ＝(sin ωx ，cos ωx )，b ＝(cos φ，sin φ)，函数f (x )＝a·b ⎝⎛⎭⎫ω＞0，π3＜φ＜π的最小正周期为2π，其图象经过点M ⎝⎛⎭⎫π6，32.(1)求函数f (x )的解析式；(2)已知α，β∈⎝⎛⎭⎫0，π2，且f (α)＝35，f (β)＝1213， 求f (2α－β)的值．限时集训(二十) 简单的三角恒等变换(限时：50分钟 满分：106分)一、选择题(本大题共8个小题，每小题5分，共40分) 1．(2013·济南模拟)函数y ＝sin x sin ⎝⎛⎭⎫π2＋x 的最小正周期是( ) A.π2 B ．π C ．2πD ．4π2．(2013·沈阳四校联考)若1＋cos 2αsin 2α＝12，则tan 2α等于( )A.54 B ．－54C.43D ．－433．已知α∈(－π，0)，tan(3π＋α)＝a log a 13(a ＞0，且a ≠1)，则cos ⎝⎛⎭⎫32π＋α的值为( ) A.1010B ．－1010C.31010D ．－310104．已知x ∈⎝⎛⎭⎫π2，π，cos 2x ＝a ，则cos x ＝( ) A. 1－a2 B ．－ 1－a2 C.1＋a2D ．－1＋a25．计算tan ⎝⎛⎭⎫π4＋α·cos 2α2cos 2⎝⎛⎭⎫π4－α的值为( )A ．－2B ．2C ．－1D ．16．已知cos ⎝⎛⎭⎫α－π6＋sin α＝435，则sin ⎝⎛⎭⎫α＋7π6的值是( ) A ．－235B.235C ．－45D.457．函数y ＝sin x cos x ＋ 3 cos 2 x 的图象的一个对称中心是( ) A.⎝⎛⎭⎫π3，－32B.⎝⎛⎭⎫2π3，－32C.⎝⎛⎭⎫2π3，32 D.⎝⎛⎭⎫π3，328．设α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，则sin 3αcos α＋cos 3αsin α的最小值为( ) A.2764 B.325C.536D ．1二、填空题(本大题共6个小题，每小题4分，共24分)9．(2013·温州模拟)化简sin 2⎝⎛⎭⎫α－π6＋sin 2⎝⎛⎭⎫α＋π6－sin 2α的结果为________． 10．若α、β是锐角，且sin α－sin β＝－12，cos α－cos β＝12，则tan(α－β)＝________.11．设α是第二象限角，tan α＝－43，且sin α2<cos α2，则cos α2＝________.12．(2013·青岛模拟)在△ABC 中，若sin A ＝513，cos B ＝35，则cos C ＝________.13．(2012·江苏高考)设α为锐角，若cos ⎝⎛⎭⎫α＋π6＝45，则sin ⎝⎛⎭⎫2α＋π12的值为________．14．如图，圆O 的内接“五角星”与圆O 交于A i (i ＝1,2,3,4,5)点，记弧A i A i ＋1在圆O 中所对的圆心角为αi (i ＝1,2,3,4)，弧A 5A 1所对的圆心角为α5，则cos 3α1·cos (α3＋α5)－sin 3α2sin 2α4等于________．三、解答题(本大题共3个小题，每小题14分，共42分) 15．(1)化简4cos 4x －2cos 2x －1tan ⎝⎛⎭⎫π4＋x sin 2⎝⎛⎭⎫π4－x ；(2)化简[2sin 50°＋sin 10°(1＋3tan 10°)]· 2sin 280°.16．已知函数f (x )＝sin x ＋cos x ，f ′(x )是f (x )的导函数． (1)求f ′(x )及函数y ＝f ′(x )的最小正周期；(2)当x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2时，求函数F (x )＝f (x )f ′(x )＋f 2(x )的值域．17．已知函数f (x )＝3cos(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎫－π2＜φ＜0的最小正周期为π，且其图象经过点⎝⎛⎭⎫5π12，0. (1)求函数f (x )的解析式；(2)若函数g (x )＝f ⎝⎛⎭⎫x 2＋π6，α，β∈⎝⎛⎭⎫0，π2，且g (α)＝1，g (β)＝324，求g (α－β)的值．限时集训(二十一) 正弦定理和余弦定理(限时：50分钟 满分：106分)一、选择题(本大题共8个小题，每小题5分，共40分)1．(2012·上海高考)在△ABC 中，若sin 2A ＋sin 2B ＜sin 2C ，则△ABC 的形状是( ) A ．钝角三角形 B ．直角三角形 C ．锐角三角形D ．不能确定2．(2012·广东高考)在△ABC 中，若∠A ＝60°，∠B ＝45°，BC ＝32，则AC ＝( ) A ．4 3 B ．2 3 C. 3D.323．在△ABC 中，a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 所对的边，若a ＝2b cos C ，则此三角形一定是( )A ．等腰直角三角形B ．直角三角形C ．等腰三角形D ．等腰或直角三角形4．在△ABC 中，AC ＝7，BC ＝2，B ＝60°，则BC 边上的高等于( ) A.32 B.332C.3＋62D.3＋3945．(2013·宁波模拟)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .若sin 2B ＋sin 2C －sin 2A ＋sin B sin C ＝0，则tan A 的值是( )A.33B ．－33C. 3 D ．－ 36．在△ABC 中 ，角A ，B ，C 所对边的长分别为a ，b ，c ，若a 2＋b 2＝2c 2，则cos C 的最小值为( )A.32B.22C.12 D ．－127．在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，已知8b ＝5c ，C ＝2B ，则cos C ＝( )A.725 B ．－725C ．±725D.24258．在△ABC 中，AB ＝3，AC ＝1，B ＝30°，则△ABC 的面积等于( ) A.32 B.34 C.32或 3 D.32或34二、填空题(本大题共6个小题，每小题4分，共24分)9．(2012·北京高考)在△ABC 中，若a ＝2，b ＋c ＝7，cos B ＝－14，则b ＝________.10．(2012·福建高考)已知△ABC 的三边长成公比为2的等比数列，则其最大角的余弦值为________．11．在△ABC 中，三边a ，b ，c 所对的角分别为角A ，B ，C ，若a 2＋b 2－c 2＋2ab ＝0，则角C 的大小为________．12．(2012·重庆高考)设△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且cos A ＝35，cos B ＝513，b ＝3，则c ＝________.13．在△ABC 中，D 为边BC 的中点，AB ＝2，AC ＝1，∠BAD ＝30°，则AD 的长度为________．14．(2013·南昌模拟)在锐角三角形ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，若b a ＋a b ＝6cos C ，则tan C tan A ＋tan C tan B＝________. 三、解答题(本大题共3个小题，每小题14分，共42分)15．△ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，已知cos(A －C )＋cos B ＝1，a ＝2c ，求C .16．(2012·江苏高考)在△ABC 中，已知AB ―→·AC ―→＝3BA ―→·BC ―→. (1)求证：tan B ＝3tan A ； (2)若cos C ＝55，求A 的值．17．(2012·浙江高考)在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知cos A ＝23，sin B ＝5cos C .(1)求tan C 的值；(2)若a ＝2，求△ABC 的面积．限时集训(二十二)解三角形应用举例(限时：50分钟满分：106分)一、选择题(本大题共8个小题，每小题5分，共40分)1．如图所示，已知两船A和B与海洋观察站C的距离相等，船A在观察站C的北偏东40°，船B在观察站C的南偏东60°，则船A在船B的()A．北偏东10°B．北偏西10°C．南偏东10°D．南偏西10°2．某人向正东方向走x km后，向右转150°，然后朝新方向走3 km，结果他离出发点恰好是 3 km，那么x的值为()A. 3 B．2 3C.3或2 3 D．33.如图所示，已知两座灯塔A和B与海洋观察站C的距离都等于a km，灯塔A在观察站C的北偏东20°，灯塔B在观察站C的南偏东40°，则灯塔A与灯塔B的距离为() A．a km B.3a kmC.2a km D．2a km4．一个大型喷水池的中央有一个强大喷水柱，为了测量喷水柱喷出的水柱的高度，某人在喷水柱正西方向的点A测得水柱顶端的仰角为45°，沿点A向北偏东30°前进100 m到达点B，在B点测得水柱顶端的仰角为30°，则水柱的高度是()A．50 m B．100 m C．120 m D．150 m5．(2012·永州模拟)张晓华同学骑电动自行车以24 km/h的速度沿着正北方向的公路行驶，在点A处望见电视塔S在电动车的北偏东30°方向上，15 min后到点B处望见电视塔在电动车的北偏东75°方向上，则电动车在点B时与电视塔S的距离是()。

专题限时集训（六）A［第6讲 导数及其应用]（时间：45分钟）1．曲线y ＝2x 3－3x ＋1 )A ．y ＝4x －5B ．y ＝－3x ＋2C ．y ＝－4x ＋4D ．y ＝3x －32．函数f (x ）＝2ln x ＋x 2－bx ＋a (b >0，a ∈R )在点(b ,f (b ））处的切线斜率的最小值是（ ）A ．2 错误!B ．2C 。

3D ．13．已知函数f （x )＝x ＋1，g （x ）＝a ln x ,若在x ＝错误!处函数f (x ）与g (x )的切线平行，则实数a 的值为（ ）A 。

14B 。

错误!C ．1D ．44．已知函数f (x )＝错误!则错误!f （x )d x 的值为（ )A ．1＋π2B 。

错误!＋错误!C ．1＋错误!D 。

错误!＋错误!5．函数f （x)＝x ＋sin x(A ．是偶函数且为减函数B ．是偶函数且为增函数C ．是奇函数且为减函数D．是奇函数且为增函数6．若y＝f(x）既是周期函数,又是奇函数，则其导函数y＝f′(x)（)A．既是周期函数，又是奇函数B．既是周期函数，又是偶函数C．不是周期函数，但是奇函数D．不是周期函数,但是偶函数7．设函数f（x）＝｜sin x|的图像与直线y＝kx(k>0)有且仅有三个公共点，这三个公共点的横坐标的最大值为α,则α等于( ）A．－cos αB．tan αC．sin αD．π8．已知函数f(x）及其导数f′（x），若存在x0,使得f（x0)＝f′（x0），则称x0是f(x)的一个“巧值点”，下列函数中，有“巧值点”的是（)①f(x)＝x2；②f（x)＝e－x;③f（x）＝ln x;④f(x)＝tan x；⑤f(x）＝x＋错误!.A．①③⑤B．③④C．②③④D．②⑤9。

错误!（错误!－x)d x＝________．10．函数y＝f(x）的导数记为f′(x)，若f′（x)的导数记为f（2)(x)，f(2）（x)的导数记为f（3）(x）,…，已知f(x)＝sin x，则f（2013)(x）＝________．11．由曲线y＝2x2，直线y＝－4x－2，直线x＝1围成的封闭图形的面积为________．12．函数f（x)＝x3＋2xf′（－1)，则函数f(x）在区间［－2，3]上的值域是________．13．已知函数f(x）＝x，g(x）＝错误!.函数g(x）在(1，＋∞)上单调递减．（1)求实数a的取值范围;（2）设函数h（x)＝f（x)·g（x)，x∈［1，4]，求函数y＝h(x）的最小值．14．已知函数f（x)＝x2－（a＋2）x＋a ln x＋2a＋2，其中a≤2.(1）求函数f（x）的单调区间；(2）若函数f（x)在(0，2］上有且只有一个零点，求实数a的取值范围．15．已知函数f(x)＝（2－a)ln x－1，g（x)＝ln x＋ax2＋x(a∈R)，令φ(x)＝f(x）＋g′（x）．(1）当a＝0时,求φ（x)的极值；（2）当－3<a〈－2时,若对∀λ1,λ2∈[1，3］，使得|φ（λ1)－φ（λ2)｜〈(m＋ln 2)a－2ln 3恒成立，求实数m的取值范围．专题限时集训(六）A1．D ［解析］y′＝6x2－3，当x＝1时y′＝3,即曲线y＝2x3－3x＋1在点(1，0)处的切线方程的斜率为3，故切线方程为y＝3(x －1）,即y＝3x－3.2．A [解析] f′(x)＝错误!＋2x－b，故曲线y＝f(x）在点(b，f（b）)的切线斜率是f′（b）＝错误!＋2b－b＝b＋错误!≥2 错误!，当b＝错误!时等号成立．3．A [解析］由题意，在x＝错误!处，两个函数的导数值相等．又f′(x)＝错误!,g′（x）＝错误!,所以1＝4a,即a＝错误!。

第五讲函数与方程及函数的应用命题要点:（1）函数零点的概念及判断方法；（2）一次函数模型；（3）二次函数模型；（4）指数、对数函数模型；（5）对勾函数模型。

命题趋势:1． 函数零点是新增内容，也是高考考查的重要内容之一，特别是函数零点与方程的根的关系问题，此类问题难度不大，但要注意零点存在性定理的灵活运用。

2． 函数模型考查的重点是函数模型的建立及函数模型中的最值问题，命题的热点是二次函数的最值或利用基本不等式求最值，该部分试题的背景新颖，常与实际生活、社会热点等问题密切相关，设置问题新颖。

最值问题是函数实际应用题求解的重点，掌握各种初等函数的模型是解决数学实际问题的关键。

命题规律：1．函数与方程思想是中学数学重要思想方法之一，大多与其他知识进行综合考查，题型为选择，填空，简答题均有。

2. 函数是数学的主干，与数列、导数、解析几何、立体几何等都有联系，试题难度较大，主要体现在函数应用题和含参数的不等式恒成立问题，分离参数后化为函数最值问题。

题型分析:类型一 函数零点的确定确定函数零点存在区间及个数的常用方法 (1)利用零点存在的判定定理；(2)利用数形结合法，尤其是那些方程两端对应的函数类型不同的绝对值、分式、指数、对数以及三角等方程多以数形结合法求解。

[例1] (2012年高考湖北卷)函数f (x )＝x cos x 2在区间[0，4]上的零点个数为( ) A ．4 B ．5C ．6D ．7[解析] 根据x 2的范围判断y ＝cos x 2在区间[0，4]上的零点个数．当x ＝0时，f (x )＝0.又因为x ∈[0，4]，所以0≤x 2≤16.因为5π<16<11π2，所以函数y ＝cos x 2在x 2取π2，3π2，5π2，7π2，9π2时为0，此时f (x )＝0，所以f (x )＝x cos x 2在区间[0，4]上的零点个数为6. [答案] C跟踪训练(2012年保定摸底)函数f (x )＝3cos πx2－log 12x 的零点的个数是( )A ．2B ．3C ．4D ．5解析：把求函数f (x )的零点的个数问题转化为求函数y ＝3cos π2x 的图象与函数y ＝log 12x 的图象的交点的个数的问题，在同一个坐标系中画出这两个函数的图象，如图．函数y ＝3cos π2x 的最小正周期是4，当x ＝8时，y ＝log 128＝－3，结合图象可知两个函数的图象只能有5个交点，即函数f (x )＝3cos πx2－log 12x 有5个零点．答案：D方法总结：函数零点个数的判断方法：(1)直接求零点：令f (x )＝0，如果能求出解，则有几个解就有几个零点；(2)零点存在性定理：利用定理不仅要求函数在区间[a ，b ]上是连续不断的曲线，且f (a )·f (b )＜0，还必须结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性)才能确定函数有多少个零点；(3)利用图象交点的个数：画出两个函数的图象，看其交点的个数，其中交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点．类型二 函数零点的应用问题应用函数零点求参数值或取值范围的方法(1)利用零点存在的判定定理构建不等式求解；(2)分离参数后转化为求函数的值域(最值)问题求解．[例2] (2012年高考天津卷)已知函数y ＝2|1|1x x --的图象与函数y ＝kx －2的图象恰有两个交点，则实数k 的取值范围是________．[解析] 先去掉绝对值符号，在同一直角坐标系中作出函数的图象，数形结合求解． 根据绝对值的意义，y ＝|x 2－1|x －1＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1（x >1或x <－1），－x －1（－1≤x <1）.在直角坐标系中作出该函数的图象，如图中实线所示．根据图象可知，当0<k <1或1<k <4时有两个交点． [答案] (0，1)∪(1，4) 跟踪训练已知函数f (x )＝e x －2x ＋a 有零点，则a 的取值范围是________．解析：因为原函数有零点，可将问题转化为方程e x －2x ＋a ＝0有解的问题，即方程a ＝2x －e x 有解．令函数g (x )＝2x －e x ，则g ′(x )＝2－e x ，令g ′(x )＝0，得x ＝ln 2，所以g (x )在(－∞，ln 2)上是增函数，在(ln 2，＋∞)上是减函数，所以g (x )的最大值为g (ln 2)＝2ln 2－2. 因此，a 的取值范围就是函数g (x )的值域， 即a ∈(－∞，2ln 2－2]． 答案：(－∞，2ln 2－2]方法总结：若函数y ＝f (x )在闭区间[a ，b ]上的图象是连续不间断的，并且在区间端点的函数值符号相反，即f (a )·f (b )＜0，满足这些条件一定有零点，不满足这些条件也不能说就没有零点．如图，f (a )·f (b )＞0，f (x )在区间(a ，b )上照样存在零点，而且有两个．所以说零点存在性定理的条件是充分条件，但并不必要．类型三 函数的实际应用1．常见模型：一次或二次函数模型、分式函数模型、指数式函数模型． 2．对函数模型求最值的常用方法：单调性法、基本不等式法及导数法．[例3] (2012年高考江苏卷)如图，建立平面直角坐标系xOy ，x 轴在地平面上，y 轴垂直于地平面，单位长度为1千米，某炮位于坐标原点．已知炮弹发射后的轨迹在方程y ＝kx －120(1＋k 2)x 2 (k >0)表示的曲线上，其中k 与发射方向有关．炮的射程是指炮弹落地点的横坐标．(1)求炮的最大射程；(2)设在第一象限有一飞行物(忽略其大小)，其飞行高度为3.2千米，试问它的横坐标a 不超过多少时，炮弹可以击中它？请说明理由．[解析] (1)令y ＝0，得kx －120(1＋k 2)x 2＝0，由实际意义和题设条件知x >0，k >0，故x ＝20k 1＋k 2＝20k ＋1k≤202＝10， 当且仅当k ＝1时取等号． 所以炮的最大射程为10千米．(2)因为a >0，所以炮弹可击中目标⇔存在k >0，使3.2＝ka －120(1＋k 2)a 2成立⇔关于k 的方程a 2k 2－20ak ＋a 2＋64＝0有正根⇔判别式Δ＝(－20a )2－4a 2(a 2＋64)≥0⇔a ≤6.所以当a 不超过6千米时，可击中目标．跟踪训练2012年2月2日，德国总理默克尔访华，促进了中德技术交流与合作，我国从德国引进一套新型生产技术设备，已知该设备的最佳使用年限是年均消耗费用最低的年限(年均消耗费用＝年均成本费用＋年均保养费)，该设备购买的总费用为50 000元；使用中每年的固定保养费为6 000元；前x 年的总保养费y 满足y ＝ax 2＋bx ，已知第一年的总保养费为1 000元，前两年的总保养费为3 000元，则这种设备的最佳使用年限为________年．解析：由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧1 000＝a ＋b 3 000＝4a ＋2b ，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝500b ＝500，所以y ＝500x 2＋500x .设该设备的年平均消耗费用为f (x )，由题意，可知年平均消耗费用为f (x )＝50 000x ＋6 000＋500x ＋500＝500x ＋50 000x＋6500≥16 500，当且仅当500x ＝50 000x时，等号成立，此时x ＝10，所以最佳使用年限为10年．答案：10方法总结：(1)审题：深刻理解题意，分清条件和结论，理顺其中的数量关系，把握其中的数学本质；(2)建模：由题设中的数量关系，建立相应的数学模型，将实际问题转化为数学问题； (3)解模：用数学知识和方法解决转化出的数学问题； (4)还原：回到题目本身，检验结果的实际意义，给出结论．析典题（预测高考）高考真题【真题】 (2012年高考福建卷)对于实数a 和b ，定义运算“*”：a *b ＝22,,a ab a bb ab a b⎧-≤⎪⎨->⎪⎩设f (x )＝(2x －1)*(x －1)，且关于x 的方程f (x )＝m (m ∈R)恰有三个互不相等的实数根x 1，x 2，x 3，则x 1x 2x 3的取值范围是________．【解析】 根据新定义写出f (x )的解析式，数形结合求出m 的取值，再根据函数的图象和方程的根等条件求解． 由定义可知，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧（2x －1）x ，x ≤0，－（x －1）x ，x >0.作出函数f (x )的图象，如图所示．由图可知，当0<m <14时，f (x )＝m (m ∈R)恰有三个互不相等的实数根x 1，x 2，x 3.不妨设x 1<x 2<x 3，易知x 2>0，且x 2＋x 3＝2×12＝1，∴x 2x 3<14.令⎩⎪⎨⎪⎧（2x －1）x ＝14，x <0，解得x ＝1－34或x ＝1＋34(舍去)． ∴1－34<x 1<0，∴1－316<x 1x 2x 3<0.【答案】 (1－316，0)【名师点睛】 本题以新定义函数为载体，综合考查了二次函数的图象、对称性、单调性、方程的根与函数零点，不等式的基本性质等基础知识，考查考生在新问题情境中识别问题、分析问题、解决问题的能力．解答本题的关键在于数形结合确定m 的取值范围． 考情展望高考对函数与方程及应用的考查多以选择、填空形式出现，主要有两个方面：一是判断零点个数或零点所在区间，二是利用零点问题确定参数问题，着重考查等价转化、数形结合思想的运用，难度中档以上． 名师押题【押题】 设函数f (x )的零点为x 1，函数g (x )＝4x＋2x －2的零点为x 2，若|x 1－x 2|>14，则f (x )可以是( )A ．f (x )＝2x －12B ．f (x )＝－x 2＋x －14C ．f (x )＝1－10xD ．f (x )＝ln(8x －2)【解析】 依题意得g (14)＝2＋12－2<0，g (12)＝1>0，∴x 2∈(14，12)．若f (x )＝1－10x ，则有x 1＝0，此时|x 1－x 2|>14，因此选C.【答案】 C 经典作业：1．(2011·福建)若关于x 的方程x 2＋mx ＋1＝0有两个不相等的实数根，则实数m 的取值范围是( )． A ．(－1,1) B ．(－2,2)C ．(－∞，－2)∪(2，＋∞)D ．(－∞，－1)∪(1，＋∞)解析 由一元二次方程有两个不相等的实数根，可得：判别式Δ＞0，即m 2－4＞0，解得m ＜－2或m ＞2，故选C. 答案 C2. (2011·新课标全国)在下列区间中，函数f (x )＝e x＋4x －3的零点所在的区间为( )．A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－14，0B.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，14C.⎝ ⎛⎭⎪⎫14，12 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，34 解析 因为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫14＝e 14＋4×14－3＝e 14－2＜0，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝e 12＋4×12－3＝e 12－1＞0，所以f (x )＝e x＋4x －3的零点所在的区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫14，12.答案 C3. ►(2010·福建)函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋2x －3，x ≤0－2＋ln x ，x ＞0的零点个数为( )．A ．3B ．2C ．7D ．0[审题视点] 函数零点的个数⇔f (x )＝0解的个数⇔函数图象与x 轴交点的个数． 解析 法一 由f (x )＝0得⎩⎪⎨⎪⎧x ≤0，x 2＋2x －3＝0或⎩⎪⎨⎪⎧x ＞0，－2＋ln x ＝0，解得x ＝－3，或x ＝e 2.因此函数f (x )共有两个零点．4. (2010·天津文)函数f (x )＝e x＋x －2的零点所在的一个区间是( )A ．(－2，－1)B ．(－1,0)C ．(0,1)D ．(1,2)[答案] C[解析] 解法一：本题考查了函数的零点定理和导数． ∵f ′(x )＝e x ＋1>0，∴函数f (x )＝e x＋x －2在R 上单调递增， 又∵f (0)＝－1<0，f (1)＝e －1>0，即f (0)f (1)<0， ∴由零点定理知，该函数零点在区间(0,1)内．5. (2011·山东临沂)已知函数f (x )＝(x 2－3x ＋2)g (x )＋3x －4，其中g (x )是定义域为R 的函数，则方程f (x )＝0在下面哪个范围内必有实数根( )A ．(0,1)B ．(1,2)C ．(2,3)D ．(2,4) [答案] B[解析] ∵f (1)＝0×g (x )－1<0，f (2)＝0×g (x )＋2>0，故在(1,2)上必有实根． 6. (2010·浙江理)设函数f (x )＝4sin(2x ＋1)－x ，则在下列区间中函数f (x )不存在零点的是( )A ．[－4，－2]B ．[－2,0]C ．[0,2]D ．[2,4][答案] A[解析] 本题判断f (x )＝0在区间内是否成立，即4sin(2x ＋1)＝x 是否有解．如图： 显然在[2,4]内曲线y ＝4sin(2x ＋1)，当x ＝54π－12时，y ＝4，而曲线y ＝x ，当x ＝54π－12<4，有交点，故选A. 7. (2011·山东济南)若方程⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＝x 13的解为x 0，则x 0属于以下区间( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，13B.⎝ ⎛⎭⎪⎫13，12 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1D ．(1,2)[答案] B[解析] 构造函数f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －x 13，易知该函数是R 上的减函数．又f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1213－⎝ ⎛⎭⎪⎫1313>0，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1212－⎝ ⎛⎭⎪⎫1213<0. ∴x 0∈⎝ ⎛⎭⎪⎫13，12 8. (人教A 版教材习题改编)从1999年11月1日起，全国储蓄存款征收利息税，利息税的税率为20%，由各银行储蓄点代扣代收，某人2011年6月1日存入若干万元人民币，年利率为2%，到2012年6月1日取款时被银行扣除利息税138.64元，则该存款人的本金介于( )． A ．3～4万元 B ．4～5万元 C ．5～6万元D ．2～3万元解析 设存入的本金为x ，则x ·2%·20%＝138.64，∴x ＝1 386 40040＝34 660.答案 A9. (2012·新乡月考)某产品的总成本y (万元)与产量x (台)之间的函数关系是y ＝3 000＋20x －0.1x 2(0＜x ＜240，x ∈N *)，若每台产品的售价为25万元，则生产者不亏本时(销售收入不小于总成本)的最低产量是( )．A ．100台B ．120台C ．150台D ．180台解析 设利润为f (x )(万元)，则f (x )＝25x －(3 000＋20x －0.1x 2)＝0.1x 2＋5x －3 000≥0，∴x ≥150.答案 C10. (2011·聊城模拟(一))若函数f (x )＝e x－a －2x恰有一个零点，则实数a 的取值范围是________．解析：令f (x )＝e x －a －2x ＝0，得e x ＝a ＋2x ，设y 1＝e x，y 2＝a ＋2x，分别作出y 1、y 2的图象，观察图象可知a ≤0时，两图象只有一个交点． 答案：a ≤011．(2011·扬州市四星级高中4月联考)已知函数f (x )＝2x＋x ，g (x )＝log 2x ＋x ，h (x )＝x 3＋x 的零点依次为a ，b ，c ，则a ，b ，c 由小到大的顺序是________．解析：令y 1＝2x ，y 2＝log 2x ，y 3＝x 3，y 4＝－x ， 图象如图，则a <c <b . 答案：a <c <b12. (2011·南京模拟)某工厂生产某种产品固定成本为2000万元，并且每生产一单位产品，成本增加10万元，又知总收入k 是单位产品数Q 的函数，k (Q )＝40Q －120Q 2，则总利润L (Q )的最大值是________万元．[答案] 2500[解析] 总利润L (Q )＝40Q －120Q 2－10Q －2 000＝－120(Q －300)2＋2500.故当Q ＝300时，总利润最大，为2500万元．13. ►(2011·武汉调研)在经济学中，函数f (x )的边际函数Mf (x )定义为：Mf (x )＝f (x ＋1)－f (x )．某公司每月生产x 台某种产品的收入为R (x )元，成本为C (x )元，且R (x )＝3 000x －20x 2，C (x )＝500x ＋4 000(x ∈N *)．现已知该公司每月生产该产品不超过100台． (1)求利润函数P (x )以及它的边际利润函数MP (x )； (2)求利润函数的最大值与边际利润函数的最大值之差． [审题视点] 列出函数解析式，根据函数性质求最值． 解 (1)由题意，得x ∈[1,100]，且x ∈N *.P (x )＝R (x )－C (x )＝(3 000x －20x 2)－(500x ＋4 000) ＝－20x 2＋2 500x －4 000，MP (x )＝P (x ＋1)－P (x )＝[－20(x ＋1)2＋2 500(x ＋1)－4 000]－(－20x 2＋2 500x －4 000)＝2 480－40x .(2)P (x )＝－20⎝⎛⎭⎪⎫x －12522＋74 125，当x ＝62或x ＝63时，P (x )取得最大值74 120元； 因为MP (x )＝2 480－40x 是减函数， 所以当x ＝1时，MP (x )取得最大值2 440元．故利润函数的最大值与边际利润函数的最大值之差为71 680元.14. ►某医药研究所开发的一种新药，如果成年人按规定的剂量服用，据监测：服药后每毫升血液中的含药量y (微克)与时间t (小时)之间近似满足如图所示的曲线．(1)写出第一次服药后y 与t 之间的函数关系式y ＝f (t )；(2)据进一步测定：每毫升血液中含药量不少于0.25微克时，治疗有效．求服药一次后治疗有效的时间是多长？[审题视点] 根据图象用待定系数法求出函数解析式，再分段求出时间长．解 (1)设y ＝⎩⎪⎨⎪⎧kt ，0≤t ≤1，⎝ ⎛⎭⎪⎫12t －a，t ＞1.当t ＝1时，由y ＝4得k ＝4，由⎝ ⎛⎭⎪⎫121－a＝4得．a ＝3.则y ＝⎩⎪⎨⎪⎧ 4t ， 0≤t ≤1，⎝ ⎛⎭⎪⎫12t －3，t >1.(2)由y ≥0.25得⎩⎪⎨⎪⎧0≤t ≤1，4t ≥0.25，或⎩⎪⎨⎪⎧t ＞1，⎝ ⎛⎭⎪⎫12t －3≥0.25.解得116≤t ≤5，因此服药一次后治疗有效的时间是5－116＝7916小时．15. (2011·湖北)提高过江大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通状况．在一般情况下，大桥上的车流速度v (单位：千米/小时)是车流密度x (单位：辆/千米)的函数．当桥上的车流密度达到200辆/千米时，造成堵塞，此时车流速度为0；当车流密度不超过20辆/千米时，车流速度为60千米/小时．研究表明：当20≤x ≤200时，车流速度v 是车流密度x 的一次函数．(1)当0≤x ≤200时，求函数v (x )的表达式；(2)当车流密度x 为多大时，车流量(单位时间内通过桥上某观测点的车辆数，单位：辆/小时)f (x )＝x ·v (x )可以达到最大，并求出最大值．(精确到1辆/小时)首先求函数v (x )为分段函数，然后利用一元二次函数配方法或基本不等式求解．[解答示范] (1)由题意：当0≤x ≤20时，v (x )＝60；当20≤x ≤200时，设v (x )＝ax ＋b ，再由已知，得⎩⎪⎨⎪⎧200a ＋b ＝0，20a ＋b ＝60，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－13，b ＝2003.故函数v (x )的表达式为v (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧60，0≤x ≤20，13200－x ，20＜x ≤200.(2)依题意并由(1)可得f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧60x ，0≤x ≤20，13x 200－x ，20＜x ≤200.当0≤x ≤20时，f (x )为增函数，故当x ＝20时，其最大值为60×20＝1 200； 当20＜x ≤200时，f (x )＝13x (200－x )≤13⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ＋200－x 22＝10 0003，当且仅当x ＝200－x ，即x ＝100时，等号成立．所以，当x ＝100时，f (x )在区间(20,200]上取得最大值10 0003.综上，当x ＝100时，f (x )在区间[0,200]上取得最大值10 0003≈3 333，即当车流密度为100 辆/千米时，车流量可以达到最大，最大值约为3 333辆/小时．16. (2011·广州模拟)已知函数f (x )＝4x ＋m ·2x＋1有且仅有一个零点，求m 的取值范围，并求出该零点．[解析] ∵f (x )＝4x ＋m ·2x＋1有且仅有一个零点， 即方程(2x )2＋m ·2x＋1＝0仅有一个实根． 设2x ＝t (t >0)，则t 2＋mt ＋1＝0. 当Δ＝0时，即m 2－4＝0，∴m ＝－2时，t ＝1；m ＝2时，t ＝－1不合题意，舍去， ∴2x＝1，x ＝0符合题意． 当Δ>0，即m >2或m <－2时，t 2＋mt ＋1＝0有两正根或两负根， f (x )有两个零点或无零点不合题意．∴这种情况不可能．综上可知：m ＝－2时，f (x )有唯一零点，该零点为x ＝0.17. 定义域为R 的偶函数f (x )，当x >0时，f (x )＝ln x －ax (a ∈R )，方程f (x )＝0在R 上恰有5个不同的实数解．(1)求x <0时，函数f (x )的解析式； (2)求实数a 的取值范围． [解析] (1)设x <0，则－x >0， ∵f (x )是偶函数，∴f (x )＝f (－x )＝ln(－x )＋ax (x <0)． (2)∵f (x )是偶函数，∴f (x )＝0的根关于x ＝0对称，又f (x )＝0恰有5个实数根，则5个根有两正根，两负根，一零根，且两正根与两负根互为相反数，∴原命题可转化为：当x >0时，f (x )的图像与x 轴恰有两个不同的交点．下面就x >0时的情况讨论．∵f ′(x )＝1x－a ， ∴当a ≤0，f ′(x )>0，f (x )＝ln x －ax 在(0，＋∞)上为增函数，故f (x )＝0在(0，＋∞)上不可能有两个实根．a >0时，令f ′(x )＝0，x ＝1a. 当0<x <1a时，f ′(x )>0，f (x )递增， 当x >1a时，f ′(x )<0，f (x )递减， ∴f (x )在x ＝1a处取得极大值－ln a －1，则要使f (x )在(0，＋∞)有两个相异零点，如图． ∴只要：－ln a －1>0，即ln a <－1，得：a ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1e .。