八年级第一讲 分解方法的延拓

第一讲 分解方法的延拓——换元法与主元法因式分解是针对多项式的一种恒等变形，提公因式法、公式法，分组分解法是因式分解的基本方法，通常根据多项式的项数来选择分解的方法．一些复杂的因式分解问题．常用到换元法和主元法．所谓换元，即对结构比较复杂的多项式，若把其中某些部分看成一个整体，用新字母代替(即换元)，则能使复杂的问题简单化、明朗化，在减少多项式项数，降低多项式结构复杂程度等方面有独到作用．所谓主元，即在解多变元问题时，选择其中某个变元为主要元素，视其他变元为常量，将原式重新整理成关于这个字母的按降幂排列的多项式，则能排除字母间的干扰，简化问题的结构．例题求解【例1】 分解因式：10)3)(4(2424+++-+x x x x = ．( “五羊杯”竞赛题)思路点拨 视24x x +为一个整体．用一个新字母代替，从而能简化式子的结构． 【例2】 多项式xyz y z x y z x x z z y y x 2222222-++-+-因式分解后的结果是( )．A ．(y －z)(x+y)(x －z)B ．(y －z)(x －y)(x ＋z)C ． (y+z)(x 一y)(x+z)D ．(y 十z)(x+y)(x 一z)(上海市竞赛题)思路点拨 原式是一个复杂的三元三次多项式，直接分解有一定困难，把原式整理成关于某个字母按降幂排列的多项式，改变其结构，寻找分解的突破口．【例3】把下列各式分解因式：(1)(x+1)(x ＋2)(x+3)(x+6)+ x 2； (天津市竞赛题)(2)1999x 2一(19992一1)x 一1999； (重庆市竞赛题)(3)(x+y －2xy)(x+y －2)＋(xy －1)2； (“希望杯”邀请赛试题)(4)(2x －3y)3十(3x －2y)3－125(x －y)3． (第13届“五羊杯”竞赛题)思路点拔 (1)是形如abcd+e 型的多项式，分解这类多项式时，可适当把4个因式两两分组，使得分组相乘后所得的有相同的部分；(2)式中系数较大，不妨把数用字母表示；(3)式中x+y ；xy 多次出现，可引入两个新字母，突出式子特点；(4)式前两项与后一项有密切联系．【例4】把下列各式分解因式：(1)a 2(b 一c)+b 2(c －a)+c 2(a 一b)；(2)x 2+xy －2y 2－x+7y －6．思路点拨 (1)式字母多次数高，可尝试用主元法；(2)式是形如ax 2+bxy+cy 2+dx+ey+f 的二元二次多项式，解题思路宽，用主元法或分组分解法或用待定系数法分解．【例5】证明：对任何整数 x 和y ，下式的值都不会等于33．x 5+3x 4y －5x 3y 2一15x 2y 3+4xy 4+12y 5．(莫斯科奥林匹克八年级试题)思路点拨 33不可能分解为四个以上不同因数的积，于是将问题转化为只需证明原式可分解为四个以上因式的乘积即可．注：分组分解法是因式分解的量本方法，体现了化整体为局部、又统揽全局的思想．如何恰当分组是解题的关键，常见的分组方法有：（1）按字母分组：(2)按次数分组；(3)按系数分组．为了能迅速解决一些与代教式恒等变形相关的问题，读者因熟悉如下多巧式分解因式后的结果：（1）))((2233b ab a b a b a +±=± ；(2)))((3222333ac bc ab c b a c b a abc c b a ---++++=-++学力训练1．分解因式：(x 2+3x)2-2(x 2+3x)－8＝ ．2．分解因式：(x 2+x+1)(x 2+x+2)－12= ．3．分解因式：x 2－xy －2y 2－x －y= ． (重庆市中考题)4．已知二次三项式82--mx x 在整数范围内可以分解为两个一次因式的积，则整数m 的可能取值为 ．5．将多项式3224--x x 分解因式，结果正确的是（ ）．A ．)1)(3(22-+x xB ．)3)(1(22-+x xC ．)1)(1)(3(2+-+x x xD ．)3)(3)(1(2+-+x x x(北京中考题)6．下列5个多项式：①12222---b a b a ；②322327279a xa ax x -+-；③b d c c b d y d c b x 222)()(-+-----+；④)(6)(3m n n n m m -+- ；⑤x x 4)2(2+-其中在有理数范围内可以进行因式分解的有（ ）．A ．①、②、③B ．②、③ 、④C ．①③ 、④、⑤D ．①、②、④7．下列各式分解因式后，可表示为一次因式乘积的是( )．A ．2727923-+-x x xB ．272723-+-x x xC ．272734-+-x x xD ．279323-+-x x x(“希望杯”邀请赛试题)8．若51-=+b a ，13=+b a ，则53912322+++b ab a 的值为( )． A ．92 B ．32 C ．54 D ．0 (大连市“育英杯”竞赛题) 9．分解因式（1）(x 2+4x+8)2+3x(x 2+4x+8)+2x 2；(2)(2x 2－3x+1)2一22x 2+33x －1；(3)x 4+2001x 2+2000x+2001；(4)(6x －1)(2 x －1)(3 x －1)( x －1)+x 2；(5)bc ac ab c b a 54332222+++++；(6)613622-++-+y x y xy x ． (“希望杯”邀请赛试题)10．分解因式：12)5)(3)(1(2+++-x x x = ．11．分解因式：22635y y x xy x ++++= ．12．分解因式：333)()2()2(y x y x -----= ．（ “五羊杯”竞赛题） 13．在1~100之间若存在整数n ，使n x x -+2能分解为两个整系数一次式的乘积，过样的n 有 个． (北京市竞赛题)14．613223+-+x x x 的因式是( )A ．12-xB ．2+xC ．3-xD ．12+xE ．12+x15．已知c b a >>，M=a c c b b a 222++，N=222ca bc ab ++，则M 与N 的大小关系是( )A ．M<NB ．M> NC ．M ＝ND ．不能确定(第 “希望杯”邀请赛试题)16．把下列各式分解因式：(1)22212)16)(1(a a a a a ++-++；(2)91)72)(9)(52(2---+a a a ； (湖北省黄冈市竞赛题) (3)2)1()21(2)3()1(-+-++-+++y x y x xy xy xy ； (天津市竞赛题) (4)4242410)13)(14(x x x x x ++++-；（“五羊杯”竞赛题）(5)z y xy xyz y x z x x 222232242-++--． (天津市竞赛题)17．已知乘法公式：))((43223455b ab b a b a a b a b a +-+-+=+；))((43223455b ab b a b a a b a b a ++++-=-．利用或者不利用上述公式，分解因式：12468++++x x x x (“祖冲之杯”邀请赛试题)18．已知在ΔABC 中，010616222=++--bc ab c b a (a 、b 、c 是三角形三边的长)．求证：b c a 2=+ (天津市竞赛题)第二讲分解方法的延拓——配方法与待定系数法在数学课外活动中，配方法与待定系数法也是分解因式的重要方法．把一个式子或一个式子的部分写成完全平方式或几个完全平方式的和的形式，这种方法叫配方法，配方法分解因式的关键是通过拆项或添项，将原多项式配上某些需要的项，以便得到完全平方式，然后在此基础上分解因式．对所给的数学问题，根据已知条件和要求，先设出问题的多项式表达形式(含待定的字母系数)，然后利用已知条件，确定或消去所设待定系数，使问题获解的这种方法叫待定系数法，用待定系数法解题的一般步骤是：1．根据多项式次数关系，假设一个含待定系数的等式；2．利用恒等式对应项系数相等的性质，列出含有待定系数的方程组；3．解方程组，求出待定系数，再代人所舌问题的结构中去，得到需求问题的解．例题求解【例1】分解因式：344422-+--y y x x = ．(2002年重庆市竞赛题)思路点拨 直接分组分解困难，由式子的特点易想到完全平方式，关键是将常数项拆成几个数的代数和，以便凑配．注：拆项即把代数式中的某顷拆成两项的和或差，添项即把代数式添上两个符号相反的项，通过拆添项，多项式增加了项数，从而可以用分组分解发分解． 配方法与待定系数法是数学中重要的思想方法，不仅仅拘泥于分解因式，在后续的学习中如解高次方程、确定函数解析式、挖掘隐舍条件、讨论最值问题等方面有广泛的应用．【例2】如果823+++bx ax x 有两个因式x+1和x+2，则a+b ＝( )．A ．7B ．8C ．15D ．2l(2001年武汉市选拔赛试题)思路点拨 原多项式的第三个因式必是形如x+c 的一次两项式，故可考虑用待定系数法解．【例3】把下列各式分解因式：(1)1724+-x x ； (“祖冲之杯”邀请赛试题)（2）22412a ax x x -+++； (哈尔滨市竞赛题)(3)24222)1()1(2)1(y x y x y -++-+； (扬州市竞赛题)(4)1232234++++x x x x (河南省竞赛题)思路点拨 所给多项式，或有两项的平方和，或有两项的积的2倍，只需配上缺项，就能用配方法恰当分解．【例4】k 为何值时，多项式253222+-++-y x ky xy x 能分解成两个一次因式的积?(天津市竞赛题)思路点拨 因k 为二次项系数，故不宜从二次项入手，而)2)(1(232++=++x x x x ，可得多项式必为)2)(1(++++ny x my x 的形式．【例5】 如果多项式15)5(2-++-a x a x 能分解成两个一次因式)(b x +、)(c x +的乘积(b 、c 为整数)，则a 的值应为多少?(江苏省竞赛题)思路点拨 由待定系数法得到关于b 、c 、a 的方程组，通过消元、分解因式解不定方程，求出b 、c 、a 的值．学历训练1．(1)完成下列配方问题：[])()()()(212222++=+++=++x px x px x（江西省中考题）（2）分解因式：32422+++-b a b a 的结果是 ．(郑州市竞赛题)2．若k x x x +-+3323有一个因式是x+1，则k ＝ ．3．若25)(222++-++y x a y xy x 是完全平方式，则a = ．(2003年青岛市中考题)4．已知多项式6823222-+--+y x y xy x 可以i 分解为)2)(2(n y x m y x +-++的形式，那么1123-+n m 的值是 ． ( “希望杯”邀请赛试题)5．已知052422=+-++b a b a ，则b a ba -+的值为( )A ．3B ．31C ．3-D ．31-6．如果 a 、b 是整数，且12--x x 是123++bx ax 的因式．那么b 的值为( )A ．－2B ．－lC ．0D ．2(江苏省竞赛题)7．44+a d 分解因式的结果是（ ）A ．)22)(22(22+--+a a a aB ．)22)(22(22---+a a a aC ．)22)(22(22--++a a a aD ．)22)(22(22+-++a a a a(北京市竞赛题)8．把下列各式分解因式：(1)4416b a +； (2)4224y y x x ++；(3)2222)()1(x x x x ++++；（4）))((4)(2b a c b a c ----； (昆明市竞赛题)(5)893+-x x ； （“祖冲之杯”邀请赛试题）（6）65223--+x x x (重庆市竞赛题)9．已知522++x x 是b ax x ++24的一个因式，求b a +的值．（第15届“希望杯”邀请赛试题）10．已知62-+x x 是多项式12234-+++-+b a bx ax x x 的因式，则a ＝ ．(第15届江苏省竞赛题)11．一个二次三项式的完全平方式是b ax x x x +++-23476，那么这个二次三项式是 ． (重庆市竞赛题)12．已知014642222=+-+-++z y x z y x ，则2002)(z y x --= ．(北京市竞赛题)13．已知n 为正整数，且19987444++n 是一个完全平方数，则n 的值为 ．14．设m 、n 满足016102222=++++mn n m n m ，则),(n m =( )A ．(2，2)或(－2，－2)B ．(2，2)或(2，－2)C ．(2，－2)或(－2，2)D ．(－2，－2)或(－2，2)15．将145++x x 因式分解得( )A ．)1)(1(32++++x x x xB ．)1)(1(32+++-x x x xC ．)1)(1(32+-+-x x x xD ．)1)(1(32+-++x x x x16．若 a 、b 、c 、d 都是正数，则在以下命题中，错误的是( )A ．若ca bc ab c b a ++=++222，则c b a ==B ．若abc c b a 3222=++，则c b a ==C ．若)(222224444d c b a d c b a +=+++，则d c b a ===D ．若abcd d c b a 44444=+++，则d c b a ===17．把下列各式分解因式：(1)153143+-x x ； (2)444222222222c b a c b c a b a ---++；(3)15++x x ； (4)93523-++x x x ；(5)262234+---a a a a (2003年河南省竞赛题)18．已知关于x 、y 的二次式24435722-+-++y x my xy x 可分解为两个一次因式的乘积，求m 的值． (大原市竞赛题)19．证明恒等式：222444)(2)(b ab a b a b a ++=+++ (北京市竞赛题)20．一个自然数a 若恰好等于另一个自然数b 的平方，则称自然数a 为完全平方数．如64＝82，64就是一个完全平方数，已知a＝20012+20012× 20022十20022，求证：a是一个完全平方数．(希望杯题)第三讲 因式分解的应用 在一定的条件下，把一个代数式变换成另一个与它恒等的代数式称为代数式的恒等变形，是研究代数式、方程和函数的基础．因式分解是代数变形的重要工具．在后续的学习中，因式分解是学习分式、一元二次方程等知识的基础，现阶段．因式分解在数值计算，代数式的化简求值，不定方程(组)、代数等式的证明等方面有广泛的应用．同时，通过因式分解的训练和应用，能使我们的观察能力、运算能力、变形能力、逻辑思维能力、探究能力得以提高．因此，有人说因式分解是学好代数的基础之一．例题求解【例1】若142=++y xy x 282=++x xy y ，则y x +的值为 ．(全国初中数学联赛题)思路点拨 恰当处理两个等式，分解关于y x +的二次三项式．注：在信息技术飞速发展的今天，信息已经成为人类生活中最重要的因素．在军事、政治、商业、生活等领域中，信息的保密工作显得格外重要．现代保密技术的一个基本思想，在编制密码的工作中，许多密码方法，就来自于因数分解、因式分解技术的应用．代数式求值的常用方法是：(1)代入字母的值求值； (2)通过变形，寻找字母间的关系，代入关系求值；(3)整体代入求值．【例2】已知 a 、b 、c 是一个三角形的三边，则222222444222a c c b b a c b a ---++的值( )A ．恒正B ．恒负C ．可正可负D ．非负(大原市竞赛题)思路点拨 从变形给定的代数式入手，解题的关键是由式于的特点联想到熟悉的结果，注意几何定理的约束．【例3】计算下列各题：（1）)219961993()2107)(285)(263)(241()219971994()2118)(296)(274)(222(+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯ ； （2）20012000200019982000220002323-+-⨯-思路点拨 观察分子、分母数字间的特点，用字母表示数，从一般情形考虑，通过分解变形，寻找复杂数值下隐含的规律．【例4】已知 n 是正整数，且n 4—16n 2+100是质数，求n 的值．( “希望杯’邀请赛试题)思路点拔 从因数分解的角度看，质数只能分解成l 和本身的乘积(也可从整除的角度看)，故对原式进行恰当的分解变形，是解本例的最自然的思路．【例5】(1)求方程07946=--+y x xy 的整数解；(上海市竞赛题)(2)设x 、y 为正整数，且096422=-++y y x ，求xy 的值．( “希望杯”邀请赛试题)思路点拔 观察方程的特点，利用整数解这个特殊条件，运用因式分解或配方，寻找解题突破口． 链接解题思路的获得，一般要经历三个步骤：(1)从理解题意中提取有用的信息，如数式特点、图形结构特征等；(2)从记忆储存中提取相关的信息，如有关公式、定理、基本模式等；(3)将上述两组信息进行进行有效重组，使之成为一个舍乎逻辑的和谐结构．不定方程(组)的基本解法有：(1)枚举法； (2)配方法；(3)因数分解、因式分解法； (4)分离系数法．运用这些方法解不定方程时，都需灵活运用奇数偶数、质数合数、整除等与整数相关的知识．学力训练1．已知x+y ＝3，422=-+xy y x ，那么3344xy y x y x +++的值为 ．2．方程01552=-+--y x xy x 的整数解是 ． ( “希望杯”邀请赛试题)3．已知a 、b 、c 、d 为非负整数，且ac+bd+ad+bc=1997，则a+b+c+d ＝ ．4．对一切大于2的正整数n ，数n 5一5n 3+4n 的量大公约数是 ．(四川省竞赛题)5．已知724－1可被40至50之间的两个整数整除，这两个整数是( )A ．41，48B ．45，47C ．43，48D ．4l ，476，已知2x 2－3xy+y 2＝0(xy ≠0)，则xy y x +的值是( ) A ． 2，212 B ．2 C ．212 D ．－2，212- 7．a 、b 、c 是正整数，a>b ，且a 2-ac+bc=7，则a —c 等于( )A ．一2B ．一1C ．0D ． 2(江苏省竞赛题)8．如果133=-x x ，那么200173129234+--+x x x x 的值等于( )A ．1999B ．2001C ．2003D ．2005（武汉市选拔赛试题）9．(1)求证：8l 7一279—913能被45整除；(2)证明：当n 为自然数时，2(2n+1)形式的数不能表示为两个整数的平方差；（3）计算：)419)(417)(415)(413)(411()4110)(418)(416)(414)(412(4444444444++++++++++ 10．若a 是自然数，则a 4－3a+9是质数还是合数?给出你的证明．(“五城市”联赛题)11．已知a 、b 、c 满足a+b ＝5，c 2＝ab+b －9，则c ＝ ． (江苏省竞赛题)12．已知正数a 、b 、c 满足ab+a+b=bc+b+c=ac+a+c ，则(a+1)(b+1)(c+1)= ．(北京市竞赛题)13．整数a 、b 满足6ab ＝9a —l0b+303，则a+b= ．(“祖冲之杯”邀请赛试题)14．已知01445=--+--b a a b a a ，且132=-b a ，则33b a +的值等于 ．( “希望杯”邀请赛试题)15．设a<b<c<d ，如果x=(a ＋b)(c ＋d)，y=(a+c)(b+d)，z ＝(a+d)(b+c)，那么x 、y 、z 的大小关系为( )A ．x<y<zB ． y<z<xC ．z <x<yD ．不能确定16．若x+y=－1，则43222234585y xy xy y x y x y x x ++++++的值等于( )A ．0B ．－1C ．1D ． 3( “希望杯”邀请赛试题)17．已知两个不同的质数p 、q 满足下列关系 ：020012=+-m p p ，020012=+-m q q ，m 是适当的整数，那么22q p +的数值是( )A ．4004006B ．3996005C ．3996003D ．400400418．设n 为某一自然数，代入代数式n 3－n 计算其值时，四个学生算出了下列四个结果．其中正确的结果是( )A ．5814B ．5841C ．8415D ．845l (陕西省竞赛题)19．求证：存在无穷多个自然数k ，使得n 4+k 不是质数．20．某校在向“希望工程”捐救活动中，甲班的m 个男生和11个女生的捐款总数与乙班的9个男生和n 个女生的捐款总数相等，都是(mn+9m+11n+145)元，已知每人的捐款数相同，且都是整数，求每人的捐款数． (全国初中教学联赛题)21．已知b 、c 是整数，二次三项式x 2+bx ＋c 既是x 4+6x 2+25的一个因式，也是x 3+4x 2+28x+5的一个因式，求x ＝1时，x 2+bx ＋c 的值．(美国中学生数学竞赛题)22．按下面规则扩充新数：已有两数a 、b ，可按规则c=ab+a+b 扩充一个新数，在a 、b 、c 三个数中任取两数，按规则又可扩充一个新数，……每扩充一个新数叫做一次操作．现有数1和4，(1)求按上述规则操作三次得到扩充的最大新数；(2)能否通过上述规则扩充得到新数1999，并说明理由． (重庆市竞赛题)。

名师堂八年级分解因式----提取公因式法一、知识精讲：1、因式分解：把一个多项式化为几个整式的积的形式，叫做把这个多项式因式分解，也叫做把这个多项式分解因式（1）对分解因式概念的理解①分解因式的对象是多项式（为什么不是单项式？）②分解因式的结果必须是次数低于原多项式的几个单项式和多项式的乘积形式③分解因式必须分解到每个因式不能再分为止（2）分解因式的作用分解因式是一种重要的代数恒等变形，它有着广泛的应用，常见的用途有化简多项式和进行简便运算，恰当的运用分解因式，常可以使计算化繁为简，为我们今后的学习带来很大的方便。

2、因式分解与整式乘法的关系整式运算和因式分解是互为相反的变形（能否是互为相反的运算）可表示为：因式分解3、分解因式的方法之一-----提公因式法：如果一个多项式的各项含有公因式，可以把公因式提到括号外面，将多项式写成两个因式乘积的形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法。

（公因式：一个多项式每项都含有的公共的因式，叫做这个多项式各项的公因式。

）4、使用提取公因式法应注意几点：（1）提取公因式法仅适用于整式中的多项式，以后我们在分式或其它代数式的变形中也是要用到提取公因式的思想，那是使用了换元法后的变形，以后再讲。

（2）提取的“公因式”可以是数、单项式，也可以是一个多项式，是一个整体。

（3）用提取公因式法因式分解，最后必须写成两个或几个整式乘积的形式。

（4）公因式必须是多项式的每一项都有的因式，在提取公因式时，要把这些公共的因式全部找出来，并提到括号外面去，才算完成了提取公因式这件事。

（5）对多项式中的每一项的数字系数，在提取时要提出这些数字系数的最大公约数，各项都含有相同的字母，要提取相同字母的指数的最低指数。

5、关于分解因式的一些原则：（1）提公因式优先的原则．即一个多项式的各项若有公因式，分解时应首先提取公因式。

（2）分解彻底的原则．即分解因式必须进行到每一个多项式因式都再不能分解为止。

因式分解方法技巧专题一分解因式的常用方法：一提二套三分，即先考虑各项有无公因式可提；再考虑能否运用公式来分解；最后检查每个因式是否还可以继续分解，以及分解的结果是否正确。

常见错误：1、漏项，特别是漏掉2、变错符号，特别是公因式有负号时，括号内的符号没变化3、分解不彻底首项有负常提负，各项有“公”先提“公”，某项提出莫漏1，括号里面分到“底”［例题］把下列各式因式分解：1.x(y-x)+y(y-x)-(x-y)22. a5-a3.3(x 2-4x) 2-48[点拨 ]看出其中所含的公式是关键练习1、3x 12 x3 2 、2a( x21) 22ax23、3a26a4、56x3yz+14x 2y2z－21xy 2z25、－ 4a3＋ 16a2b－ 26ab26、m416n 4二项式的因式分解:二项式若能分解，就一定要用到两种方法： 1 提公因式法 2 平方差公式法。

先观察二项式的两项是否有公因式，然后再构造平方差公式，运用平方差公式a2-b2=(a+b)(a-b) 时，关键是正确确定公式中a,b 所代表的整式，将一个数或者一个整式化成整式，然后通过符号的转换找到负号，构成平方差公式，记住要分解彻底。

平方差公式运用时注意点：根据平方差公式的特点：当一个多项式满足下列条件时便可用平方差公式分解因式：A 、多项式为二项式或可以转化成二项式；B 、两项的符号相反；C、每一项的绝对值均可以化为某个数的平方，及多项式可以转化成平方差的形式；D 、首项系数是负数的二项式，先交换两项的位置，再用平方差公式；E、对于分解后的每个因式若还能分解应该继续分解；如有公因式的先提取公因式[例题 ]分解因式： 3(x+y) 2-27[点拨 ]先提取公因式，在利用平方差公式分解因式，一次不能分解彻底的，应继续分解练习1)x 5－ x32) m416n43)25－ 16x221222124)9a －4b .5）25－ 16x ;6） 9a －4b .专题三三项式的分解因式 : 如果一个能分解因式，一般用到下面 2 种方法： 1 提公因式法 2 完全平方公式法。

（完整版）初⼆数学因式分解技巧因式分解技巧⽅法第⼀部分：⽅法介绍多项式的因式分解是代数式恒等变形的基本形式之⼀，它被⼴泛地应⽤于初等数学之中，是我们解决许多数学问题的有⼒⼯具．因式分解⽅法灵活，技巧性强，学习这些⽅法与技巧，不仅是掌握因式分解内容所必需的，⽽且对于培养学⽣的解题技能，发展学⽣的思维能⼒，都有着⼗分独特的作⽤．初中数学教材中主要介绍了提取公因式法、运⽤公式法、分组分解法和⼗字相乘法．本讲及下⼀讲在中学数学教材基础上，对因式分解的⽅法、技巧和应⽤作进⼀步的介绍．⼀、提公因式法.：ma+mb+mc=m(a+b+c)⼆、运⽤公式法.在整式的乘、除中，我们学过若⼲个乘法公式，现将其反向使⽤，即为因式分解中常⽤的公式，例如：（1）(a+b)(a -b) = a 2-b 2 ---------a 2-b 2=(a+b)(a -b)；(2) (a ±b)2 = a 2±2ab+b 2 ——— a 2±2ab+b 2=(a ±b)2；(3) (a+b)(a 2-ab+b 2) =a 3+b 3------ a 3+b 3=(a+b)(a 2-ab+b 2)；(4) (a -b)(a 2+ab+b 2) = a 3-b 3 ------a 3-b 3=(a -b)(a 2+ab+b 2)．下⾯再补充两个常⽤的公式：(5)a 2+b 2+c 2+2ab+2bc+2ca=(a+b+c)2；(6)a 3+b 3+c 3-3abc=(a+b+c)(a 2+b 2+c 2-ab -bc -ca)；例.已知a b c ，，是ABC ?的三边，且222a b c ab bc ca ++=++，则ABC ?的形状是（）A.直⾓三⾓形 B 等腰三⾓形 C 等边三⾓形 D 等腰直⾓三⾓形解：222222222222a b c ab bc ca a b c ab bc ca ++=++?++=++222()()()0a b b c c a a b c ?-+-+-=?==三、分组分解法.（⼀）分组后能直接提公因式例1、分解因式：bn bm an am +++分析：从“整体”看，这个多项式的各项既没有公因式可提，也不能运⽤公式分解，但从“局部”看，这个多项式前两项都含有a ，后两项都含有b ，因此可以考虑将前两项分为⼀组，后两项分为⼀组先分解，然后再考虑两组之间的联系。

概念复习：分解因式：把一个多项式化成几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式分解因式。

公因式：我们把多项式各项都含有的相同因式，叫做这个多项式各项的公因式。

提公因式法：如果一个多项式各项都含有公因式，那么就可以把这个公因式提出来，从而将多项式化成两个因式乘积的形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法。

当多项式第一项的系数是负数时，通常先提出“-”号，使括号内第一项的系数为正，提出负号的同时，括号内各项要改变符号，提公因式的分解因式和单项式乘以多项式是逆运算。

一、提公因式例题一：a(x-a)(x＋y)2-b(x-a)2(x＋y)练习一：1. -mx(m-x)(x-n)+mn(m-x)(n-x)的公因式是_______________________2. 5m(x-y)²-10m²（y-x)²的公因式是_____________________________3. 12a3（m-n)3+10a²(n-m)3的公因式是_______________________4.a(x-4)(y+3)+b(4-x)(3+y)=(x-4)(y+3)(_____ ____)5. 将x（x+y)(x-y)-x(x+y)²分解因式得____________________________6. (x+y)3-y(x+y)2+x²（y+x)=(_________)(2x+y)7.-35x(x+y)-42(x+y)=(_________)(x+y)(___ _______)8. 2x(a²+b²）-3y(a²+b²）9.（a-b)²-（a-b)(a-c)+(a-b)(b+c)10. m(a-b)(x+y)-n(b-a)(y+x)11. x(x-y-z)+y(z-x+y)-z(y-x+z)12. 8(2x+y)3-12(2x+y)²13. xy(x-y)²-yz(y-x)²+xz(x-y)²14. 35ab(x-y)²-25a²b²（y-x)²+10ab3（y-x)315. a(x-y)2n-a²（y-x)2n+1+a3(x-y)2n16. 3x²（a+3)-4x²y(a+3)二、公式法：a2-b2=(a+b)(a-b) a2±2ab+b2=(a±b)2a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2) a3-b3=(a-b)(a2+ab+b2) a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca=(a+b+c)2a3+b3+c3-3abc=(a+b+c)(a2+b2+c2-ab-bc-ca)例题二（1）ayaxyx++-22（2）2222cbaba-+-综合练习二：（1）3223yxyyxx--+（2）baaxbxbxax-+-+-22（3）181696222-+-++aayxyx（4）abbaba4912622-++-（5）92234-+-aaa（6）ybxbyaxa222244+--（7）222yyzxzxyx++--（8）122222++-+-abbbaa（9）)1)(1()2(+---mmyy（10）)2())((abbcaca-+-+(11)abcbaccabcba2)()()(222++++++（12）abccba3333-++三、十字相乘法：（一）、二次项系数为1的二次三项式：))(()(2q x p x pq x q p x ++=+++例题三：（1）652++x x （2） 672+-x x练习三： (1)24142++x x(2)36152+-a a (3)542-+x x(4)22-+x x (5)1522--y y(6)24102--x x（二）二次项系数不为1的二次三项式c bx ax++2c bx ax++2=))((2211c x a c x a ++例题四：101132+-x x练习四：（1）6752-+x x （2）2732+-x x（3）317102+-x x （4）101162++-y y（三）二次项系数为1的齐次多项式 例题五：221288b ab a --练习五：(1)2223y xy x +- (2)2286n mn m +-(3)226b ab a --（四）二次项系数不为1的齐次多项式 例题六：(1)22672y xy x +-(2)2322+-xy y x 练习六：（1）224715y xy x -+ （2）8622+-ax x a综合练习七：（1）17836--x x（2）22151112y xy x --（3）10)(3)(2-+-+y x y x（4）344)(2+--+b a b a（5）222265x y x y x --（6）2634422++-+-n m n mn m（7）3424422---++y x y xy x（8）2222)(10)(23)(5b a b a b a ---++（9）10364422-++--y y x xy x（10）2222)(2)(11)(12y x y x y x -+-++四、主元法：例题七：2910322-++--y x y xy x练习八：(1)56422-++-y x y x(2)67222-+--+y x y xy x(3)613622-++-+y x y xy x(4)36355622-++-+b a b ab a五、双十字相乘法：双十字相乘法用于对F Ey Dx CyBxy Ax+++++22型多项式的分解因式条件：（1）21a a A =，21c c C =，21f f F =（2）B c a c a =+1221，E f c f c =+1221，f a 21即： 1a 2a c a c a =+1221E f c f c =+1221，D f a f a =+1221则=+++++F Ey Dx CyBxy Ax22))((222111f c x a f y c x a ++++例题八：（1）2910322-++--y x y xy x（2）613622-++-+y x y xy x练习九：（1）67222-+--+y x y xy x（2）22227376z yz xz y xy x -+---五、换元法一： 例题九：分解因式（1）2005)12005(200522---x x 解：（1）设2005=a ，则原式=a x a ax ---)1(22=))(1(a x ax -+=)2005)(12005(-+x x（2）2)6)(3)(2)(1(x x x x x +++++型如eabcd +的多项式，分解因式时可以把四个因式两两分组相乘原式=222)65)(67(x x x x x +++++设A x x =++652，则x A x x 2672+=++ ∴原式=2)2(x A x A ++=222x Ax A ++ =2)(x A +=22)66(++x x练习十：（1）)(4)(22222y x xy y xy x +-++（2）90)384)(23(22+++++x x x x（3）222222)3(4)5()1(+-+++a a a换元法二：例题十：（1）262234+---x x x x （2）144234+++-x x x x观察：此多项式的特点——是关于x 的降幂排列，每一项的次数依次少1，并且系数成“轴对称”。

解析延拓法-概述说明以及解释1.引言1.1 概述解析延拓法是一种常用的数学工具，它在不同领域都有广泛的应用。

通过对问题进行解析建模，该方法能够将问题转化成解析函数的延拓，从而更好地理解和解决问题。

在解析延拓法中，解析函数是指在复数域上定义的函数。

而延拓则是指将函数从定义域延拓到更广泛的域，通常是将函数在实轴或复平面上的一部分延拓到整个实轴或者复平面上。

通过对延拓之后的函数进行分析和计算，我们可以得到更全面和深入的信息，解决原问题中的困难或疑惑。

这种方法的优势在于它不仅能够处理具体问题，还能够揭示问题的本质和内在规律。

通过解析延拓法，我们能够理解函数的性质和行为，从而更好地研究和解决与之相关的问题。

因此，无论是在物理、工程、经济学还是其他各个领域，解析延拓法都是一种非常重要的工具和方法。

在接下来的文章中，我们将对解析延拓法进行详细的探讨。

首先，我们将介绍解析延拓法的定义，阐述其基本原理和思想。

然后，我们将进一步探讨解析延拓法的应用，以及它在不同领域中的具体应用案例。

最后，我们将总结解析延拓法的优势，并展望未来对该方法的发展和应用。

通过对解析延拓法的深入研究和理解，我们可以更好地应用它来解决实际问题，并推动相关领域的发展。

希望本文能够为读者提供有益的信息和观点，引起大家对解析延拓法的兴趣和思考。

接下来，我们将开始探索解析延拓法的定义和基本原理。

1.2文章结构文章结构部分的内容应该包括以下内容：文章的结构是指文章的整体组织框架，它决定了文章的逻辑顺序和层次结构。

对于本文来说，其结构主要分为引言、正文和结论三个部分。

引言部分主要用于引导读者进入文章的主题，并对解析延拓法进行概述。

首先，需要对解析延拓法进行简单介绍，包括其定义、原理和应用。

然后，介绍文章的结构和目的，以及大致的内容安排。

最后，对整篇文章进行总结，提供一个概览。

正文部分是文章的核心部分，用于详细解析解析延拓法。

首先，给出解析延拓法的定义，解释它是一种什么方法，并说明其在科学研究中的重要性。

八年级分解因式技巧
在八年级的数学学习中，分解因式是一个重要的内容。

掌握分解因式的技巧可以帮助同学们更好地解决数学问题。

以下是一些分解因式的技巧：
1. 公因式法：如果一个多项式中各项都有一个相同的因子，那
么可以先将这个公因式提取出来，然后将剩余部分分解因式。

例如，对于多项式 6x+9y，可以将其分解为3(2x+3y)。

2. 平方差公式：对于形如a-b的多项式，可以使用平方差公式
进行因式分解，其中a和b为任意实数。

具体公式为：a-b=(a+b)(a-b)。

例如，对于多项式 4x-9，可以将其分解为(2x+3)(2x-3)。

3. 公式法：对于一些常见的多项式形式，可以使用公式进行因
式分解。

例如，对于多项式 a+2ab+b，可以使用二次完全平方公式进行因式分解，即(a+b)。

对于多项式 a-2ab+b，可以使用二次完全平
方公式进行因式分解，即(a-b)。

4. 分组法：对于一些难以直接因式分解的多项式，可以使用分
组法进行因式分解。

具体方法是将多项式中的项按照某种规则进行分组，使得每组都可以进行因式分解，然后将各组的因式提取出来，组合成一个新的多项式即可。

例如，对于多项式 x+3xy+2y+4x+12y，可以将其分组为(x+3xy+4x)+(2y+12y)，然后分别因式分解为
x(x+3y+4)+2y( y+6)，组合起来即可得到原式的因式分解。

掌握以上分解因式的技巧，同学们可以更加灵活地解决数学问题，提高数学成绩。

§3.2 解的延拓一、教学目的：了解解的延拓定理及延拓条件。

二、教学要求：利用解的存在唯一性定理、解的延拓定理及延拓条件能证明有关方程的某些性质。

三、教学重点：解的延拓定理及延拓条件。

四、教学难点：利用解的存在唯一性定理、解的延拓定理及延拓条件能证明有关方程的某些性质。

五、教学方法：讲练结合教学法、提问式与启发式相结合教学法。

六、教学手段：传统板书与多媒体课件辅助教学相结合。

七、教学过程：上节我们学习了解的存在唯一性定理，当),(y x f dxdy =的右端函数),(y x f 在R 上满足解的存在性唯一性条件时，初值问题⎪⎩⎪⎨⎧==)(),(00x y y y x f dx dy 的解在0||x x h -≤上存在且唯一. 但是，这个定理的结果是局部的，也就是说解的存在区间是很小的. 可能随着),(y x f 的存在区域的增大，而能肯定的解的存在区间反而缩小。

例如，上一节的例1，22(3.1)(0)0dy x y dx y ⎧=+⎪⎨⎪=⎩ 当定义域为R:1111≤≤-≤≤-y x ，时,解存在的唯一区间.21}21,1min{||==≤h x ，当定义域为R:22,22≤≤-≤≤-y x 时,解的存在唯一区间.41}41,1min{||==≤h x 。

在实际应用中，我们也希望解的存在区间能尽量扩大，下面讨论解的延拓概念，尽量扩大解的存在区间，把解的存在唯一性定理的结果由局部的变成大范围的。

饱和解及饱和区间定义1 对定义在平面区域G 上的微分方程),(y x f dxdy = (3.1) 设()y x ϕ=是方程(3.1)定义在区间1I R ⊂上的一个解,如果方程(3.1)还有一个定义在区间2I R ⊂上的另一解()y x ψ=,且满足(1) 12I I ⊂；但12I I ≠（1I 是2I 的真子区间）（2）当1x I ∈时，()()x x ϕψ≡则称1(),y x x I ϕ=∈是可延拓的，并称()y x ψ=是()y x ϕ=在2I 上的延拓，否则如果不存在满足上述条件的解()y x ψ=,则称1(),y x x I ϕ=∈是方程(3.1)的不可延拓解（或饱和解）,此时把不可延拓解的区间1I 称为一个饱和区间。