部分转移概率未知的非线性马尔科夫跳变系统的H_∞控制

T-S模糊Markov跳变系统控制策略综述苏磊;叶丹【摘要】T-S模糊 Markov跳变系统是一类由时间与事件共同驱动的随机混杂非线性系统,其状态变量由系统状态、模糊规则及系统模态组成.系统各模态间的随机跳变服从 Markov过程,且用此来描述系统参数的随机变化.首先,介绍T-S模糊Markov跳变系统的研究背景;其次,从T-S模糊 Markov跳变系统的复杂结构出发,阐述T-S模糊 Markov跳变系统及其控制的研究进展;最后,简要介绍面临的挑战.%T-S fuzzy Markov j ump system is a kind of stochastic hybrid nonlinear systems driven by time and events.Its state variables depend on system state,fuzzy rules and system mode.A Markov process is used to describe the random j umps between various modes of the system.The background and significance of T-S fuzzy Markov j ump system were introduced first in this paper.Then the research progresses of control strategy for T-S fuzzy Markov j ump system were analyzed in terms of its complexstructure.Finally,the corresponding challenges in this field were analyzed.【期刊名称】《安徽大学学报（自然科学版）》【年(卷),期】2018(042)002【总页数】5页(P18-22)【关键词】T-S模糊Markov跳变系统;模糊规则;随机跳变【作者】苏磊;叶丹【作者单位】东北大学信息科学与工程学院,辽宁沈阳110819;东北大学信息科学与工程学院,辽宁沈阳110819;东北大学流程工业国家重点实验室,辽宁沈阳110819【正文语种】中文【中图分类】TM734模糊集概念是由Zadeh教授于1965年首次提出[1]，经过半个世纪的发展，有关模糊集的研究获得了丰硕的成果.在提出模糊理论后的几年里，控制领域的学者们并没有找到合适的方法将其运用到工程实践中，直到1974年Mamdani分析了模糊逻辑在锅炉和蒸汽机控制中的应用问题[2]，模糊控制理论才开始被广大学者熟知和探讨.值得一提的是，Mamdani提出的模糊控制方法虽然在实际应用中能够达到满意的控制性能，但美中不足的是该方法一直无法验证闭环系统的稳定性.究其原因是Mamdani的方法是基于启发式规则的语义表达，缺乏坚实的理论基础和适当的数学工具来进行控制器性能分析[3-4].为了解决这一难题，日本学者Takagi和Sugeno于1985年提出了基于模型的模糊控制方法[5]，即T-S模糊模型.T-S模糊模型是由模糊隶属度函数光滑连接多个线性状态方程产生的一个全局模型，在任意的凸紧集内，T-S模糊模型能够以任意精度逼近任意光滑非线性函数.因此，T-S模糊模型能够用来描述非线性系统的动态过程.T-S模糊模型实质上是非线性模型，但对应的每条规则又是线性模型，这种特征便于人们进行稳定性分析和控制问题研究.近几十年来，T-S模糊模型已成为研究热点，并且成为非线性系统控制的重要方法.另一方面，日趋复杂的自动控制系统在长时间的工作中，其系统结构或参数不可避免出现随机跳变/切换的情况，如飞机控制系统、大规模的制造系统等大系统，其多个工作模式间的随机切换，某个子系统的突发故障及外部环境造成的信息传输中断等[6].物联网、云处理及太空科技中的自动控制装置高度依赖繁重的信息处理，因处理信息的环境不同而出现系统结构或参数的随机突变[7]，这种结构或参数的随机突变大大影响了系统控制的效果和品质.针对这一现象，Krasovskii 和 Lidsskii 建立了最早的 Markov 跳变模型[8]，该模型提出后得到了研究人员的极大关注，研究成果涉及控制理论的方方面面，同时成功应用于多个工程控制领域[9].近年来，不少学者对T-S模糊系统中存在系统参数随机发生跳变及模糊规则中前置变量发生突变的现象感兴趣，这也提升了T-S模糊Markov跳变系统的研究，这些研究取得了大量有意义的结果[10-11].1 T-S模糊Markov跳变系统的控制问题研究现状T-S模糊Markov跳变系统不是Markov跳变系统与T-S模糊模型简单的结合.实际上，T-S模糊Markov系统所面临的，不仅有子系统个数和系统维度的增加，也有模糊规则与Markov跳变过程的互相耦合问题.例如，由于跳变现象的存在，控制器与系统的模糊规则不能同步，若再同时出现系统模态与控制器模态异步情况，面临的问题更复杂.此外，当转移概率和模糊隶属度函数未知时，相应的控制器设计问题也同样不易解决.近年来关于T-S模糊Markov跳变系统的控制综合问题得到了广泛关注 [12-13]，相关研究主要集中在以下问题：转移概率是否已知、模糊隶属度函数是否匹配及模糊规则与Markov切换之间是否耦合.1.1 T-S模糊Markov跳变系统的转移概率问题在T-S模糊Markov跳变系统中，各子模态(子系统)间的随机切换是由转移概率决定的.因此，从T-S模糊Markov跳变系统本身出发的研究多是围绕转移概率开展的.早期，人们讨论T-S模糊Markov跳变系统时，通常假设其转移概率是完全可知或可测的，在此假设下做出了许多开创性的工作.但随后有学者发现，实际应用时转移概率信息很难完全获得.因此，在转移概率信息完全可知情况下得到的结果不再适用.在假设转移概率完全已知的条件下，He等[14]针对T-S模糊Markov跳变系统设计了一个基于观测器状态的反馈控制器，并在系统存在时滞的情况下实现了有限时间镇定和H∞控制.Wang等[15]考虑T-S模糊Markov跳变系统存在的随机跳变不确定和时滞，利用时滞分割和线性矩阵不等式技术，设计出了相应的控制器.针对更一般的转移概率未知但有界的情况，He等[16]研究了T-S模糊Markov跳变系统基于L2-L∞控制性能指标的随机控制问题.Kim[17]针对T-S模糊Markov跳变系统中不完备的转移概率情况，引入松弛矩阵技术并结合转移概率特殊结构，解决了转移概率未知时的控制器设计问题.但需要指出的是，上述研究主要是基于处理转移概率非完全可知情况下的方法.从“系统结构-控制性能”观点来看，对具有可变或未知转移概率的跳变系统，是否可以通过设计其转移概率结构来提升控制性能？为了解决这一问题，Bolzern等[18]借助切换系统的研究方法，提出了跳变/切换系统结构(也称双切换系统结构)，即有限个子模态(系统)间的随机跳变是由动态Markov切换法则和确定型切换信号组成，并通过采用外部监测器选择确定型切换信号，实现有限个子模态(系统)在分段常函数Markov转移概率下的控制分析与设计.需要指出的，鲜有文献研究T-S模糊Markov跳变系统中分段转移概率的结构，因此弱化分段转移概率限制、考虑实际应用效果的控制综合方法是该领域学者值得探索的一个方向.1.2 T-S模糊Markov跳变系统的模糊隶属度函数问题研究T-S模糊Markov跳变系统的控制问题时，模糊隶属度函数的选取是当前的研究热点之一.按隶属度函数分类，T-S模糊模型可分为一型T-S模糊模型[1](隶属度函数完全已知)和二型T-S模糊模型[19](隶属度函数未知但上下界已知).针对一型T-S模糊Markov跳变系统的控制问题，一般采用并行分布补偿技术(parallel distributed compensator, 简称PDC)，其主要思想就是模糊控制器与模糊系统分享相同的前置隶属度函数.Sheng等[20]利用线性矩阵不等式技术，克服了以往求解非线性哈密顿雅克比不等式的困难，并利用PDC技术设计出了相应的控制器.Zhang等[21]采用输入输出方法，针对T-S模糊Markov跳变系统中存在丢包和时变时滞的情况，设计了基于PDC技术的H∞模糊跳变控制器.随着研究的深入，后来的学者发现一型T-S模糊Markov跳变系统中模糊权重包含不确定信息时，PDC技术失效.针对这一问题， Hou等[22]在处理离散时间T-S模糊Markov跳变系统事件触发可靠控制的问题上，设计了异步模糊跳变控制器.在实际控制系统中，精确的隶属度信息往往很难获得.基于此，Zedeh[19]于1975年提出了二型模糊集的概念，其隶属度是在一型模糊隶属度函数基础上再次模糊化.因此，二型模糊集很大程度上增加了设计的自由度，应对高度不确定情况时，具有更好的效果[23-26].Li等[23]采用二型T-S模糊模型对网络控制系统参数不确定性进行建模，并在此基础上，设计出了基于观测器的模糊控制器.Zhao等[25]不仅利用二型T-S模糊模型处理了系统参数不确定性，还提出了一个新型的二型模糊切换控制器设计方法，并充分利用隶属度函数的上下界信息，降低了设计控制器时的保守性.目前基于一型T-S模糊Markov跳变系统的控制问题研究较多，而二型T-S模糊Markov跳变系统的控制问题仍是空白，有待进一步研究.1.3 T-S模糊Markov跳变系统的模糊规则与切换规则耦合问题在T-S模糊Markov跳变系统中，当转移概率和模糊规则间存在耦合时，相应的控制问题将会变得更为复杂，该耦合出现于模糊规则前置变量函数的随机跳变和李雅普诺夫函数选取中.针对模糊规则前置变量中存在的跳变现象，Zhang等[27]研究了离散时间T-S模糊Markov跳变系统控制，处理了转移概率部分已知的情况.Lu等[28]不仅考虑了上述情况，还解决了系统运行过程中可能出现的随机丢包问题.需要指出的是，上述文献仅仅针对T-S模糊Markov跳变系统基于PDC技术的控制器设计，如何设计一个异步模糊控制器值得进一步研究.针对李雅普诺夫函数选取问题，为了降低控制器设计的保守性，Tao等[29]针对离散时间T-S模糊Markov跳变系统设计可靠控制器时，选取了既依赖于系统模态又依赖于系统模糊规则的李雅普诺夫泛函.He等[30]通过选取一个模态依赖的模糊李雅普诺夫泛函，解决了连续时间T-S模糊Markov跳变系统的H∞控制器设计问题，并通过引入松弛矩阵降低了设计的保守性.目前，在T-S模糊Markov跳变系统中，有关模糊规则与切换规则耦合问题的研究相对较少，有待进一步探讨.2 T-S模糊Markov跳变系统控制问题面临的挑战T-S模糊Markov跳变系统经历了几十年的发展，不仅在理论上得到了深化，在应用中也取得了丰硕的成果.但是，随着研究的深入，一些之前研究中没有发现或者没有引起重视的问题日益浮出水面，其相关问题如下：(1) 绝大部分的研究工作主要关注整数阶系统，而分数阶系统在很多情况下能更好地描述现实中无法用整数阶系统来描述的自然现象.因此，研究分数阶T-S模糊Markov跳变系统的控制问题非常有意义.(2) 针对T-S模糊Markov跳变系统控制问题大部分集中在转移概率、模糊隶属度函数及保守性降低等方面，对于控制器自身饱和、输入受限及数据量化等问题很少关注.因此，设计控制器时兼顾饱和、输入受限及数据量化等，也是面临的一个挑战.(3) 针对T-S模糊Markov跳变系统所设计的是状态反馈控制器，鲜有输出反馈控制器的设计方案发表.在实际控制系统中，系统的真实状态往往不能通过测量获得，但通过测量能够直接获得系统的输出状态，因此针对T-S模糊Markov跳变系统的输出反馈控制器值得研究.3 结束语笔者对现有的T-S模糊Markov跳变系统的控制器设计问题进行了综述.首先，介绍了T-S模糊Markov跳变系统的研究背景；其次，从3个方面分析了T-S模糊Markov跳变系统控制策略的研究现状；最后，对现有T-S模糊Markov跳变系统控制器设计中存在的问题进行了总结和展望.参考文献：[1] ZADEH L A. Information and control[J]. Fuzzy Sets, 1965, 8 (3): 338-353.[2] MAMDANI E H. Application of fuzzy algorithms for control of simple dynamic plant[J]. Proceedings of the Institution of Electrical Engineers, 1974, 121 (12): 1585-1588.[3] FENG G. A survey on analysis and design of model-based fuzzy control systems[J]. IEEE Transactions on Fuzzy Systems, 2006, 14 (5): 676-697. [4] 肖建, 赵涛. T-S模糊控制综述与展望[J]. 西南交通大学学报, 2016, 51 (3): 462-474.[5] TAKAGI T, SUGENO M. Fuzzy identification of systems and its applications to modeling and control[J]. IEEE Transactions on Systems, Man, and Cybernetics, 1985 (1): 116-132.[6] BOUKAS E K. Stochastic switching systems: analysis and design[M]. New York: Springer Science & Business Media, 2007.[7] 吴森堂. 结构随机跳变系统理论及其应用[M]. 北京: 科学出版社, 2007.[8] KRASSOVSKII N N, LIDSKII E A. Analytical design of controllers in system with random attributes I, II, III[J]. Automation Remote Contr, 1961, 22: 1021-1025.[9] BOUKAS E K, LIU Z K . Deterministic and stochastic time-delay systems[M]. New York: Springer Science & Business Media, 2012.[10] WU H N, CAI K Y. Mode-independent robust stabilization for uncertainMarkovian jump nonlinear systems via fuzzy control[J]. IEEE Transactions on Systems, Man, and Cybernetics, Part B (Cybernetics), 2005, 36 (3): 509-519.[11] DONG J X, YANG G H. Fuzzy controller design for Markovian jump nonlinear systems[J]. International Journal of Control, Automation, and Systems, 2007, 5 (6): 712-717.[12] ZHANG Y S, XU S Y, ZHANG B Y. Robust output feedback stabilization for uncertain discrete-time fuzzy Markovian jump systems with time-varying delays[J]. IEEE Transactions on Fuzzy Systems, 2009, 17 (2): 411-420.[13] SHEN M Q, YE D. Improved fuzzy control design for nonlinear Markovian-jump systems with incomplete transition descriptions[J]. Fuzzy Sets and Systems, 2013, 217: 80-95.[14] HE S P, LIU F. Finite-time H∞ fuzzy control of nonlinear jump systems with time delays via dynamic observer-based state feedback[J]. IEEE Transactions on Fuzzy Systems, 2012, 20 (4): 605-614.[15] WANG J W, WU H N, GUO L, et al. Robust H∞ fuzzy control for uncertain nonlinear Markovian jump systems with time-varying delay[J]. Fuzzy Sets and Systems, 2013, 212: 41-61.[16] HE S P, LIU F. L2-L∞ fuzzy control of jump systems with bounded transition probabilities[J]. Systems Engineering and Electronics, 2011, 33 (3): 594-599.[17] KIM S H. Control synthesis of Markovian jump fuzzy systems based ona relaxation scheme for incomplete transition probability descriptions[J]. Nonlinear Dynamics, 2014, 78 (1): 691-701.[18] BOLZERN P, COLANERI P, DE NICOLAO G. Markov jump linear systems with switching transition rates: mean square stability with dwell-time[J]. Automatica, 2010, 46 (6): 1081-1088.[19] ZADEH L A. The concept of a linguistic variable and its application to approximate reasoning[J]. Information Sciences, 1975, 8 (3): 199-249. [20] SHENG L, GAO M, ZHANG W H. Dissipative control for Markov jump non-linear stochastic systems based on T-S fuzzy model[J]. International Journal of Systems Science, 2014, 45 (5): 1213-1224.[21] ZHANG L X, NING Z P, SHI P. Input-output approach to control for fuzzy Markov jump systems with time-varying delays and uncertain packet dropout rate[J]. IEEE Transactions on Cybernetics, 2015, 45 (11): 2449-2460.[22] HOU L Y, CHENG J, QI W H. Event-triggered reliable control for fuzzy Markovian jump systems with mismatched membership functions[J]. ISA Transactions, 2017, 66: 96-104.[23] LI H Y, WU C W, YIN S, et al. Observer-based fuzzy control for nonlinear networked systems under unmeasurable premise variables[J]. IEEE Transactions on Fuzzy Systems, 2016, 24 (5): 1233-1245.[24] AKBARZADEH T M R, HOSSEINI S A, NAGHIBI-SISTANI M B. Stable indirect adaptive interval type-2 fuzzy sliding-based control and synchronization of two different chaotic systems[J]. Applied Soft Computing, 2017, 55: 576-587.[25] ZHAO T, XIAO J. State feedback control for interval type-2 Takagi-Sugeno fuzzy systems via interval type-2 regional switching fuzzy controllers[J]. International Journal of Systems Science, 2015, 46 (15): 2756-2769.[26] ANTAO R. Type-2 fuzzy logic: uncertain systems’ modeling and control[M]. Singapore: Springer Nature, 2017.[27] ZHANG L X, YANG T, WU F. Control for discrete-time fuzzy Markov jump systems with mode-dependent antecedent parts[C]//Industrial Electronics (ISIE), IEEE 23rd International Symposium, 2014: 2306-2311. [28] LU Q G, ZHANG L X, ZHANG Q R, et al. Stability analysis and controller design for a class of T-S fuzzy Markov jump system with uncertain expectation of packet dropouts[C]//American Control Conference (ACC), IEEE, 2013: 6400-6405.[29] TAO J, LU R Q, SHI P, et al. Dissipativity-based reliable control for fuzzy Markov jump systems with actuator faults[J]. IEEE Transactions on Cybernetics, 2017, 47 (9): 2377-2388.[30] HE T Q, CHEN J, LIU F. H∞ control for fuzzy Markovian jump systems based on fuzzy Lyapunov function[C]//Control Conference (CCC), 36th Chinese, IEEE, 2017: 4162-4168.。

Dynamical Systems and Control 动力系统与控制, 2023, 12(3), 139-148 Published Online July 2023 in Hans. https:///journal/dsc https:///10.12677/dsc.2023.123015一类离散时间无限状态马尔可夫跳跃系统 H ∞控制何 鑫，严 芳，赵红霞，贾亚琪，张春梅重庆理工大学理学院，重庆收稿日期：2023年6月6日；录用日期：2023年6月26日；发布日期：2023年7月7日摘要研究了一类具有同时受乘性噪声和无限马尔可夫跳参数影响的离散时间随机系统的控制问题。

首先，给出了一个关于黎卡提方程解的线性不等式，通过求解线性不等式，构造了一个控制器，其次，利用算子理论和随机分析等知识给出离散时间随机系统的无限时域的有界实引理，并且通过一个耦合的黎卡提方程，证明了线性不等式的解和有界实引理之间的等价性。

最后关于随机系统的一个线性反馈控制方案以黎卡提方程稳定解的线性矩阵不等式形式被提出，保证了随机控制系统的内部均方稳定性。

关键词无限状态马尔可夫跳跃系统，黎卡提方程，离散时间，H ∞控制H ∞ Control for a Class of Discrete-Time Infinite State Markov Jump SystemsXin He, Fang Yan, Hongxia Zhao, Yaqi Jia, Chunmei ZhangSchool of Science, Chongqing University of Technology, ChongqingReceived: Jun. 6th , 2023; accepted: Jun. 26th , 2023; published: Jul. 7th , 2023AbstractThe control problem of a class of discrete-time stochastic systems affected by multiplicative noise and infinite Markov jump parameters is studied. Firstly, a linear inequality about the solution of Riccati equation is given, and a controller is constructed by solving the linear inequality. Secondly, the bounded real lemma in infinite time domain of discrete-time stochastic systems is given by using the knowledge of operator theory and stochastic analysis. Through a coupled Riccati equa-tion, the equivalence between the solution of linear inequality and bounded real lemma is proved.何鑫等Finally, a linear feedback control scheme for stochastic systems is proposed in the form of linear matrix inequality of the stable solution of Riccati equation, which ensures the internal mean square stability of stochastic control systems.KeywordsInfinite State Markov Jump System, Riccati Equation, Discrete Time, H∞ Control Array Copyright © 2023 by author(s) and Hans Publishers Inc.This work is licensed under the Creative Commons Attribution International License (CC BY 4.0)./licenses/by/4.0/1. 引言马尔科夫跳跃系统是一类常见的随机系统，它常用于描述存在突变因素的系统，例如金融经济、管理科学、飞机控制等。

不确定离散时间马尔可夫跳变模糊系统鲁棒H∞控制
不确定离散时间马尔可夫跳变模糊系统鲁棒H∞控制
讨论不确定离散时间马尔可夫跳变模糊系统(MJFS)的鲁棒H∞控制.首先,本文给出了能够保证系统鲁棒稳定且具有H∞鲁棒度的一个充分条件.然后采用并行分布补偿算法,将系统鲁棒H∞控制控制器的设计转化成为了一组线性矩阵不等式的求解问题,方便使用Matlab求解.最后的仿真结果表明,本文所提出的方法是有效的.
作者：李长滨何熠吴爱国 LI Chang-bin HE Yi WU Ai-guo 作者单位：天津大学,电气与自动化学院,天津,300072 刊名：模糊系统与数学ISTIC PKU 英文刊名：FUZZY SYSTEMS AND MATHEMATICS 年，卷(期)： 2007 21(5) 分类号： O159 关键词：马尔可夫跳变非线性系统马尔可夫跳变模糊系统均方收敛。

一类转移概率部分未知的Markov跳跃系统的输入输出量化反馈控制孙维阳;刘雨【摘要】The stability and stabilization problems for a class of discrete‐time M arkov jump systems (M JSs) are concerned .A general scenario is taken into consideration :the elements of transition probability matrix are partly unknow n and signal quantization exists in both control input channel and measurement output channel . T he quantized signals in the above‐mentioned channels are quantized via tw o different logarithmic quantizers .By virtue of sw itched Lyapuno v function approach , a system‐mode‐dependent and quantization‐error‐dependent Lyapunov function is constructed to solve the issues of stability analysis and controller design .A set of mode‐de‐pendent controllers is designed ,w hich is effective in tackling the quantization errors in tw o channels ,and under the circumstance of insufficient information of transition probabilities ,the resulting closed‐loop M JSs are sto‐chastically stable .Finally ,a numerical example is utilized to demonstrate the effecti veness of the proposed con‐trol strategy .%对一类离散时间马尔可夫跳跃系统(Markov jump systems ,M JSs)的稳定性问题进行研究,考虑M JSs转移概率矩阵中的元素部分未知,且系统的控制输入通道和测量输出通道都存在信号量化的情况,其中控制器输入通道和系统输入通道的信号分别被两个不同的对数量化器量化.利用切换李雅普诺夫函数的方法,通过构造系统模态依赖且双通道量化误差依赖的李雅普诺夫函数,完成对闭环系统的稳定性分析和控制器设计.得到一组模态依赖的控制器,能够在系统的转移概率部分未知和存在双通道量化误差的条件下,保证闭环 M JSs的随机稳定性.最后通过仿真实验验证了理论的有效性.【期刊名称】《系统工程与电子技术》【年(卷),期】2019(041)008【总页数】7页(P1858-1864)【关键词】信号量化;对数量化器;输入输出量化反馈控制;马尔可夫跳跃系统;转移概率部分未知;切换李雅普诺夫函数法【作者】孙维阳;刘雨【作者单位】哈尔滨工业大学控制科学与工程系,黑龙江哈尔滨150001;哈尔滨工业大学控制科学与工程系,黑龙江哈尔滨150001【正文语种】中文【中图分类】TP2730 引言马尔可夫跳跃系统(Markov jump systems, MJSs)是一类具有多个模态的随机切换系统,系统在各个模态间的跳变是随机的且服从一定的概率分布,可以由一个马尔可夫链描述。

不完全转移概率的马尔可夫跳变奇异系统研究不完全转移概率的马尔可夫跳变奇异系统研究引言：马尔可夫跳变奇异系统是一种具有不完全转移概率的马尔可夫链模型，该模型中的转移概率矩阵不是完全的，即存在一些状态无法直接转移到其他状态。

这一特性使得该系统与传统的马尔可夫链系统有所不同，其概率转移性质更加复杂。

在许多实际问题中，马尔可夫跳变奇异系统被广泛应用，例如金融市场、生物医学领域等。

本文旨在研究不完全转移概率的马尔可夫跳变奇异系统，并探讨其在实际问题中的应用。

一、马尔可夫跳变奇异系统的基本概念马尔可夫跳变奇异系统是一种具有明确定义的状态空间和状态转移概率的数学模型。

在该系统中，状态在离散的时间点上发生跳变，其状态转移满足马尔可夫性质。

与传统的马尔可夫链系统不同的是，马尔可夫跳变奇异系统的转移概率矩阵存在一些元素为零或未定义，即部分状态无法直接转移到其他状态。

这种不完全转移概率使得系统的性质更加复杂，也增加了研究和应用的挑战。

二、马尔可夫跳变奇异系统的数学描述与建模为了描述马尔可夫跳变奇异系统的状态转移过程，需要定义其状态空间、状态转移矩阵和初始概率分布。

在状态空间中，每个状态表示系统在某个时刻的状态。

状态转移矩阵描述了系统从一个状态转移到另一个状态的概率，其中部分元素可能为零或未定义。

初始概率分布表示系统在初始时刻各个状态的概率分布。

三、马尔可夫跳变奇异系统的稳定性分析对于一个马尔可夫跳变奇异系统，稳定性是一个重要的性质。

稳定性分析的目标是研究系统在长时间尺度上的行为。

通过建立系统的Kolmogorov方程，可以得到系统的平稳分布。

当系统的平稳分布存在且唯一时，可以认为系统是稳定的。

稳定性的判断可以通过研究系统的转移概率矩阵和初始概率分布得到。

四、马尔可夫跳变奇异系统在金融市场中的应用马尔可夫跳变奇异系统在金融市场中的应用广泛。

例如，可以利用该模型研究金融资产的价格波动。

通过建立马尔可夫跳变奇异系统，可以捕捉金融市场中的跳跃现象和非线性特征，提高对金融市场的预测能力。

不确定Markov跳跃系统的H_∞输出跟踪控制
陈志盛;李勇刚
【期刊名称】《武汉理工大学学报》
【年(卷),期】2007(29)8
【摘要】讨论了一类具有模态转移率不确定性的Markov跳跃系统的鲁棒H∞输出跟踪控制问题。

利用松弛权矩阵方法,提出保证系统随机稳定且满足给定H∞跟踪性能的充分条件。

该条件和控制器的优化设计方案可归结为一组线性矩阵不等式(LMI)的可解性问题。

此外还给出了系统模态转移率的允许摄动上界数值条件。

【总页数】4页(P154-157)
【关键词】跳跃线性系统;不确定性;跟踪控制;线性矩阵不等式
【作者】陈志盛;李勇刚
【作者单位】长沙理工大学能源与动力工程学院;中南大学信息科学与工程学院【正文语种】中文
【中图分类】O231.3
【相关文献】
1.一类具有Markov跳跃参数的不确定线性跳跃系统鲁棒非脆弱H∞控制问题研究[J], 康宇;奚宏生;张大力;季海波
2.不确定噪声下Markov跳跃线性系统的确保控制性能鲁棒跟踪 [J], 肖晓波;奚宏生;朱进;季海波
3.一类不确定Markov跳跃系统的鲁棒跟踪与模型跟随 [J], 肖晓波;奚宏生;季海波;
康宇
4.不确定Markov跳跃线性系统的鲁棒跟踪与模型跟随 [J], 肖晓波;奚宏生;季海波因版权原因，仅展示原文概要，查看原文内容请购买。

转移概率部分未知的离散时间Markov跳变系统Nash微分
博弈
张成科;徐萌;杨璐
【期刊名称】《广东工业大学学报》
【年(卷),期】2024(41)2
【摘要】考虑到转移概率矩阵元素无法完全获悉,如何在转移概率部分未知的情境下研究离散时间Markov跳变系统Nash微分博弈是有待解决的问题之一,这一问题可以为转移概率部分未知的Markov跳变系统Nash微分博弈理论在管理问题上的应用提供理论支撑。

基于此,本文首先研究单人博弈情形,即ε-次优控制问题,借助自由连接权矩阵和配方法,得到了ε-次优控制策略存在的充分性条件,并给出了成本函数上界的显式表达;然后延伸至双人博弈进行分析,得到了ε-次优Nash均衡策略存在的条件等价于求解双线性矩阵不等式和矩阵不等式的优化问题,并通过启发式算法求解优化问题得到ε-次优Nash均衡策略;最后通过数值算例证明了主要结论的有效性。

【总页数】10页(P129-138)
【作者】张成科;徐萌;杨璐
【作者单位】广东工业大学经济学院;广东工业大学管理学院;广东技术师范大学管理学院
【正文语种】中文
【中图分类】F224
【相关文献】
1.部分转移概率未知的 Markov 跳变系统鲁棒故障检测
2.转移概率部分未知下Markov跳变系统的滑模控制
3.转移概率部分未知的不确定Markov跳变系统的鲁棒镇定
因版权原因，仅展示原文概要，查看原文内容请购买。

转移概率未知下Markov线性切换系统的H∞ 控制徐风风;林瑞全;余康舟【摘要】研究了一类具有Markov特性的随机时延切换系统的H∞ 控制问题.具体针对切换系统数据传输的随机时延特性,将随机时延转换成一类转移概率未知的Markov序列,基于模态依赖型Lyapunov函数设计了模态依赖状态反馈控制器.在此基础上,通过求解线性矩阵不等式(LMI),得到了使控制系统渐近稳定且具有H∞ 性能充分条件.数值算例表明,该设计方法有效.【期刊名称】《闽江学院学报》【年(卷),期】2019(040)002【总页数】8页(P15-22)【关键词】网络控制系统;Markov切换模型;时延;丢包;H∞控制;LMI【作者】徐风风;林瑞全;余康舟【作者单位】福州大学电气工程与自动化学院,福建福州350116;福州大学电气工程与自动化学院,福建福州350116;福州大学电气工程与自动化学院,福建福州350116【正文语种】中文【中图分类】TP273网络控制系统(NCS)由于其便于维护、诊断，有利于资源共享及增强了系统的灵活性和可靠性等优点在各个领域得到广泛的应用。

网络化控制带来若干优点的同时，由于自身的时延、丢包、时序错乱、网络宽带受限、介质接入限制等问题不可避免地会影响系统的控制性能，甚至导致系统不稳定。

因此，如何设计控制器使NCS 稳定已经成为当前研究的热点。

针对NCS中的时延问题，一些学者从不同的角度进行了研究。

文献[1-5]在处理传感器到执行器之间的时变时延时，通过设置缓冲器的办法将时变时延转化为确定时延，简化了对系统的分析，但却降低了系统的控制性能。

研究学者Ray[6]在研究网络控制系统中的分布式诱导时延时，提出了基于一个确定性的状态估计器和线性状态反馈控制律的分布式时延补偿算法。

文献[7-8]利用系统模型和额外的系统动态信息，采用预估方法补偿了数据丢包和时延的影响，但降低了设计的保守性。

上述研究方法需要在传输端和接收端设置缓存，增加了网络的繁忙程度，有时会造成网络堵塞。