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第一节导数的概念及运算、定积分1．导数的概念(1)函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数：函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的瞬时变化率li m Δx →0 ΔyΔx＝li mΔx →0 f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx ❶为函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数，记作f ′(x 0)或y ′x ＝x 0，即f ′(x 0)＝li mΔx →0 ΔyΔx ＝li m Δx →0 f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx.函数y ＝f (x )的导数f ′(x )反映了函数f (x )的瞬时变化趋势，其正负号反映了变化的方向，其大小|f ′(x )|反映了变化的快慢，|f ′(x )|越大，曲线在这点处的切线越“陡”．(2)导数的几何意义：函数f (x )在x ＝x 0处的导数f ′(x 0)的几何意义是在曲线y ＝f (x )上点P (x 0，y 0)❷处的切线的斜率(瞬时速度就是位移函数s (t )对时间t 的导数)．相应地，切线方程为y －y 0＝f ′(x 0)(x －x 0)．❷曲线y ＝f (x )在点P (x 0，y 0)处的切线是指P 为切点，斜率为k ＝f ′(x 0)的切线，是唯一的一条切线.(3)函数f (x )的导函数：称函数f ′(x )＝li mΔx →0 f (x ＋Δx )－f (x )Δx为f (x )的导函数．(4)f ′(x )是一个函数，f ′(x 0)是函数f ′(x )在x 0处的函数值(常数)，[f ′(x 0)]′＝0. 2．基本初等函数的导数公式3.(1)[f (x )±g (x )]′＝f ′(x )±g ′(x )； (2)[f (x )·g (x )]′＝f ′(x )g (x )＋f (x )g ′(x )；(3)⎣⎡⎦⎤f (x )g (x )′＝f ′(x )g (x )－f (x )g ′(x )[g (x )]2(g (x )≠0)． 4．复合函数的导数复合函数y ＝f (g (x ))的导数和函数y ＝f (u )，u ＝g (x )的导数间的关系为y x ′＝y u ′·u x ′，即y 对x 的导数等于y 对u 的导数与u 对x 的导数的乘积．5．定积分的概念在∫b a f (x )d x 中，a ，b 分别叫做积分下限与积分上限，区间[a ，b ]叫做积分区间，f (x )叫做被积函数，x 叫做积分变量，f (x )d x 叫做被积式．6．定积分的性质(1)∫b a kf (x )d x ＝k ∫b a f (x )d x (k 为常数)； (2)∫b a [f 1(x )±f 2(x )]d x ＝∫ba f 1(x )d x ±∫b a f 2(x )d x ； (3)∫b a f (x )d x ＝∫c a f (x )d x ＋∫b c f (x )d x (其中a ＜c ＜b )．❸❸求分段函数的定积分，可以先确定不同区间上的函数解析式，然后根据定积分的性质(3)进行计算.7．微积分基本定理一般地，如果f (x )是区间[a ，b ]上的连续函数，并且F ′(x )＝f (x )，那么∫b a f (x )d x ＝F (b )－F (a )，常把F (b )－F (a )记作F (x )|b a ，即∫b a f (x )d x ＝F (x )|ba ＝F (b )－F (a )．8．定积分的几何意义❹定积分∫b a f (x )d x 的几何意义是介于x 轴、曲线y ＝f (x )及直线x ＝a ，x ＝b 之间的曲边梯形的面积的代数和，其值可正可负，具体来说，如图，设阴影部分的面积为S .①S ＝∫b a f (x )d x ；②S ＝－∫b a f (x )d x ；③S ＝∫c a f (x )d x －∫bc f (x )d x ； ④S ＝∫b a f (x )d x －∫b a g (x )d x ＝∫b a [f (x )－g (x )]d x .❹(1)定积分的几何意义是曲边梯形的面积，但要注意：面积非负，而定积分的结果可正可负.(2)当曲边梯形位于x 轴上方时，定积分的值为正；当曲边梯形位于x 轴下方时，定积分的值为负；当位于x 轴上方的曲边梯形与位于x 轴下方的曲边梯形面积相等时，定积分的值为零.[熟记常用结论]1．奇函数的导数是偶函数，偶函数的导数是奇函数，周期函数的导数还是周期函数． 2．熟记以下结论：(1)⎝⎛⎭⎫1x ′＝－1x2；(2)(ln|x |)′＝1x ；(3)⎣⎡⎦⎤1f (x )′＝－f ′(x )[f (x )]2(f (x )≠0)； (4)[af (x )±bg (x )]′＝af ′(x )±bg ′(x )． 3．常见被积函数的原函数 (1)∫b a c d x ＝cx |b a ；(2)∫b ax nd x ＝x n ＋1n ＋1|b a (n ≠－1)；(3)∫b a sin x d x ＝－cos x |b a ；(4)∫b a cos x d x ＝sin x |ba ；(5)∫b a 1xd x ＝ln|x ||b a ；(6)∫b ae x d x ＝e x |b a . [小题查验基础]一、判断题(对的打“√”，错的打“×”)(1)曲线的切线不一定与曲线只有一个公共点．( ) (2)因为(ln x )′＝1x，所以⎝⎛⎭⎫1x ′＝ln x ．( ) (3)设函数y ＝f (x )在区间[a ，b ]上连续，则∫b a f (x )d x ＝∫b a f (t )d t .( )(4)定积分一定是曲边梯形的面积．( ) 答案：(1)√ (2)× (3)√ (4)× 二、选填题1．下列求导运算正确的是( ) A.⎝⎛⎭⎫x ＋1x ′＝1＋1x 2 B ．(log 2x )′＝1x ln 2C ．(3x )′＝3x log 3eD ．(x 2cos x )′＝－2sin x解析：选B ⎝⎛⎭⎫x ＋1x ′＝x ′＋⎝⎛⎭⎫1x ′＝1－1x 2；(3x )′＝3x ln 3；(x 2cos x )′＝(x 2)′cos x ＋x 2(cos x )′＝2x cos x －x 2sin x ．故选B.2．如图所示为函数y ＝f (x )，y ＝g (x )的导函数的图象，那么y ＝f (x )，y ＝g (x )的图象可能是( )解析：选D 由y ＝f ′(x )的图象知，y ＝f ′(x )在(0，＋∞)上单调递减，说明函数y ＝f (x )的切线的斜率在(0，＋∞)上也单调递减，故可排除A 、C.又由图象知y ＝f ′(x )与y ＝g ′(x )的图象在x ＝x 0处相交，说明y ＝f (x )与y ＝g (x )的图象在x ＝x 0处的切线的斜率相同，故可排除B.故选D.3．已知t 是常数，若⎠⎛0t (2x －2)d x ＝8，则t ＝( )A ．1B ．－2C ．－2或4D ．4解析：选D 由⎠⎛0t (2x －2)d x ＝8，得(x 2－2x)|t 0＝t 2－2t ＝8，解得t ＝4或t ＝－2(舍去)．4．若f (x )＝x ·e x ，则f ′(1)＝________. 解析：∵f ′(x )＝e x ＋x e x ，∴f ′(1)＝2e. 答案：2e5．曲线y ＝1－2x ＋2在点(－1，－1)处的切线方程为______________________．解析：∵y ′＝2(x ＋2)2，∴y ′|x ＝－1＝2. 故所求切线方程为2x －y ＋1＝0. 答案：2x －y ＋1＝0考点一导数的运算[基础自学过关][题组练透]1．f (x )＝x (2 018＋ln x )，若f ′(x 0)＝2 019，则x 0等于( ) A ．e 2 B ．1 C ．ln 2D ．e解析：选B f ′(x )＝2 018＋ln x ＋x ×1x ＝2 019＋ln x ，故由f ′(x 0)＝2 019，得2 019＋ln x 0＝2 019，则ln x 0＝0，解得x 0＝1.2．(2019·宜昌联考)已知f ′(x )是函数f (x )的导数，f (x )＝f ′(1)·2x ＋x 2，则f ′(2)＝( ) A.12－8ln 21－2ln 2 B.21－2ln 2 C.41－2ln 2D ．－2解析：选C 因为f ′(x )＝f ′(1)·2x ln 2＋2x ，所以f ′(1)＝f ′(1)·2ln 2＋2，解得f ′(1)＝21－2ln 2，所以f ′(x )＝21－2ln 2·2x ln 2＋2x ，所以f ′(2)＝21－2ln 2×22ln 2＋2×2＝41－2ln 2.3．若函数f (x )＝ax 4＋bx 2＋c 满足f ′(1)＝2，则f ′(－1)＝________. 解析：f ′(x )＝4ax 3＋2bx ，∵f ′(x )为奇函数且f ′(1)＝2， ∴f ′(－1)＝－2. 答案：－24．求下列函数的导数． (1)y ＝x 2sin x ； (2)y ＝ln x ＋1x ；(3)y ＝cos xe x； (4)y ＝x sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π2cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π2. 解：(1)y ′＝(x 2)′sin x ＋x 2(sin x )′ ＝2x sin x ＋x 2cos x .(2)y ′＝⎝⎛⎭⎫ln x ＋1x ′＝(ln x )′＋⎝⎛⎭⎫1x ′＝1x －1x2. (3)y ′＝⎝⎛⎭⎫cos x e x ′＝(cos x )′e x－cos x (e x)′(e x )2＝－sin x ＋cos x e x .(4)∵y ＝x sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π2cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π2 ＝12x sin(4x ＋π) ＝－12x sin 4x ，∴y ′＝－12sin 4x －12x ·4cos 4x＝－12sin 4x －2x cos 4x .[名师微点]1．求函数导数的总原则：先化简解析式，再求导． 2．常见形式及具体求导6种方法[提醒] 对解析式中含有导数值的函数，即解析式类似于f (x )＝f ′(x 0)g (x )＋h (x )(x 0为常数)的函数，解决这类问题的关键是明确f ′(x 0)是常数，其导数值为0.因此先求导数f ′(x )，令x ＝x 0，即可得到f ′(x 0)的值，进而得到函数解析式，求得所求导数值．考点二导数的几何意义及其应用[全析考法过关][考法全析]考法(一) 求切线方程[例1] (2018·全国卷Ⅰ)设函数f (x )＝x 3＋(a －1)·x 2＋ax ，若f (x )为奇函数，则曲线y ＝f (x )在点(0,0)处的切线方程为( )A ．y ＝－2xB ．y ＝－xC ．y ＝2xD ．y ＝x[解析] 法一：∵f (x )＝x 3＋(a －1)x 2＋ax ， ∴f ′(x )＝3x 2＋2(a －1)x ＋a .又f (x )为奇函数，∴f (－x )＝－f (x )恒成立，即－x 3＋(a －1)x 2－ax ＝－x 3－(a －1)x 2－ax 恒成立， ∴a ＝1，∴f ′(x )＝3x 2＋1，∴f ′(0)＝1， ∴曲线y ＝f (x )在点(0,0)处的切线方程为y ＝x . 法二：∵f (x )＝x 3＋(a －1)x 2＋ax 为奇函数， ∴f ′(x )＝3x 2＋2(a －1)x ＋a 为偶函数， ∴a ＝1，即f ′(x )＝3x 2＋1，∴f ′(0)＝1， ∴曲线y ＝f (x )在点(0,0)处的切线方程为y ＝x . [答案] D考法(二) 求切点坐标[例2] 已知函数f (x )＝x ln x 在点P (x 0，f (x 0))处的切线与直线x ＋y ＝0垂直，则切点P (x 0，f (x 0))的坐标为________．[解析] ∵f (x )＝x ln x ，∴f ′(x )＝ln x ＋1，由题意得f ′(x 0)·(－1)＝－1，即f ′(x 0)＝1，∴ln x 0＋1＝1，ln x 0＝0，∴x 0＝1，∴f (x 0)＝0，即P (1,0)．[答案] (1,0)考法(三) 由曲线的切线(斜率)求参数的值(范围)[例3] (1)(2018·商丘二模)设曲线f (x )＝－e x －x (e 为自然对数的底数)上任意一点处的切线为l 1，总存在曲线g (x )＝3ax ＋2cos x 上某点处的切线l 2，使得l 1⊥l 2，则实数a 的取值范围是( )A ．[－1,2]B ．(3，＋∞) C.⎣⎡⎦⎤－23，13 D.⎣⎡⎦⎤－13，23 (2)(2018·全国卷Ⅲ)曲线y ＝(ax ＋1)e x 在点(0,1)处的切线的斜率为－2，则a ＝________.[解析] (1)由f (x )＝－e x －x ，得f ′(x )＝－e x －1， ∵e x ＋1>1，∴1e x＋1∈(0,1)．由g (x )＝3ax ＋2cos x ，得g ′(x )＝3a －2sin x ，又－2sin x ∈[－2,2]，∴3a －2sin x ∈[－2＋3a ，2＋3a ]．要使过曲线f (x )＝－e x －x 上任意一点的切线l 1，总存在过曲线g (x )＝3ax ＋2cos x 上某点处的切线l 2，使得l 1⊥l 2，则⎩⎪⎨⎪⎧－2＋3a ≤0，2＋3a ≥1，解得－13≤a ≤23.(2)∵y ′＝(ax ＋a ＋1)e x ， ∴当x ＝0时，y ′＝a ＋1， ∴a ＋1＝－2，解得a ＝－3. [答案] (1)D (2)－3考法(四) 两曲线的公切线问题[例4] 已知曲线f (x )＝x 3＋ax ＋14在x ＝0处的切线与曲线g (x )＝－ln x 相切，则a 的值为________．[解析] 由f (x )＝x 3＋ax ＋14，得f ′(x )＝3x 2＋a .∵f ′(0)＝a ，f (0)＝14，∴曲线y ＝f (x )在x ＝0处的切线方程为y －14＝ax .设直线y －14＝ax 与曲线g (x )＝－ln x 相切于点(x 0，－ln x 0)，g ′(x )＝－1x ，∴⎩⎪⎨⎪⎧－ln x 0－14＝ax 0， ①a ＝－1x， ②将②代入①得ln x 0＝34，∴x 0＝e 34，∴a ＝－1e 34＝－e －34.[答案] －e －34[规律探求]1．[口诀第1、2句]曲线y ＝x －1x ＋1在点(0，－1)处的切线与两坐标轴围成的封闭图形的面积为( )A.18B.14C.12 D ．1 解析：选B 因为y ′＝2(x ＋1)2，所以y ′x ＝0＝2，所以曲线在点(0，－1)处的切线方程为y ＋1＝2x ，即y ＝2x －1，与两坐标轴的交点坐标分别为(0，－1)，⎝⎛⎭⎫12，0，所以与两坐标轴围成的三角形的面积S ＝12×|－1|×12＝14.2．[口诀第3、4句]已知直线2x －y ＋1＝0与曲线y ＝a e x ＋x 相切(其中e 为自然对数的底数)，则实数a 的值为________．解析：由题意知y ′＝a e x ＋1＝2，则a >0，x ＝－ln a ，代入曲线方程得y ＝1－ln a ，所以切线方程为y －(1－ln a )＝2(x ＋ln a )，即y ＝2x ＋ln a ＋1＝2x ＋1⇒a ＝1.答案：13．[口诀第3、4句]若一直线与曲线y ＝ln x 和曲线x 2＝ay (a >0)相切于同一点P ，则a 的值为________．解析：设切点P (x 0，y 0)，则由y ＝ln x ，得y ′＝1x ，由x 2＝ay ，得y ′＝2a x ，则有⎩⎪⎨⎪⎧1x 0＝2a x 0，y 0＝ln x 0，x 2＝ay 0，解得a ＝2e.答案：2e考点三定积分的运算及应用[基础自学过关][题组练透]1. ⎠⎛0π(sin x －cos x )d x ＝________.解析：⎠⎛0π (sin x －cos x )d x＝⎠⎛0πsin x d x －⎠⎛0πcos x d x ＝－cos x ⎪⎪⎪π0－sin x ⎪⎪⎪π＝2. 答案：2 2. ⎠⎛1e 1x d x ＋⎠⎛－224－x 2d x ＝________.解析：⎠⎛1e 1x d x ＝ln x ⎪⎪⎪e1＝1－0＝1，因为⎠⎛－224－x 2d x 表示的是圆x 2＋y 2＝4在x 轴及其上方的面积，故⎠⎛－224－x 2d x ＝12π×22＝2π，故答案为2π＋1.答案：2π＋13．由曲线y ＝x ，y ＝2－x ，y ＝－13x 所围成图形的面积为____________．解析：法一：画出草图，如图所示．解方程组⎩⎨⎧y ＝x ，x ＋y ＝2，⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝x ，y ＝－13x及⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝2，y ＝－13x ，得交点分别为(1,1)，(0,0)，(3，－1)， 所以所求图形的面积S ＝⎠⎛01⎣⎡⎦⎤ x －⎝⎛⎭⎫－13x d x ＋⎠⎛13⎣⎡⎦⎤(2－x )－⎝⎛⎭⎫－13x d x ＝⎠⎛01⎝⎛⎭⎫ x ＋13x d x ＋⎠⎛13⎝⎛⎭⎫2－23x d x ＝⎝⎛⎭⎫23x 32＋16x 2⎪⎪⎪10＋⎝⎛⎭⎫2x －13x 2⎪⎪⎪31 ＝56＋6－13×9－2＋13＝136. 法二：如图所求阴影的面积就是三角形OAB 的面积减去由y 轴，y ＝x ，y ＝2－x 围成的曲边三角形的面积，即S ＝12×2×3－⎠⎛01 (2－x －x )d x＝3－⎝⎛⎭⎫2x －12x 2－23x 32⎪⎪⎪1＝3－⎝⎛⎭⎫2－12－23＝136. 答案：1364．一物体在力F (x ) ＝⎩⎪⎨⎪⎧5，0≤x ≤2，3x ＋4，x >2(单位：N)的作用下沿与力F 相同的方向，从x＝0处运动到x ＝4(单位：m)处，则力F (x )做的功为________J.解析：由题意知，力F (x )所做的功为W ＝⎠⎛04F (x )d x ＝⎠⎛025d x ＋⎠⎛24(3x ＋4)d x ＝5×2＋⎝⎛⎭⎫32x 2＋4x ⎪⎪⎪42＝10＋⎣⎡⎦⎤32×42＋4×4－⎝⎛⎭⎫32×22＋4×2＝36(J)． 答案：36[名师微点]1．正确选用求定积分的4个常用方法2．利用定积分求平面图形面积的4个步骤3．定积分在物理中的2个应用(1)求物体做变速直线运动的路程，如果变速直线运动物体的速度为v ＝v (t )，那么从时刻t ＝a 到t ＝b 所经过的路程s ＝⎠⎛ab v (t )d t .(2)变力做功，一物体在变力F (x )的作用下，沿着与F (x )相同的方向从x ＝a 移动到x ＝b 时，力F (x )所做的功是W ＝⎠⎛ab F (x )d x .[课时跟踪检测]一、题点全面练1．曲线y ＝e x －ln x 在点(1，e)处的切线方程为( ) A ．(1－e)x －y ＋1＝0 B ．(1－e)x －y －1＝0 C ．(e －1)x －y ＋1＝0D ．(e －1)x －y －1＝0解析：选C 由于y ′＝e －1x ，所以y ′|x ＝1＝e －1，故曲线y ＝e x －ln x 在点(1，e)处的切线方程为y －e ＝(e －1)(x －1)，即(e －1)x －y ＋1＝0.2．曲线f (x )＝x 3－x ＋3在点P 处的切线平行于直线y ＝2x －1，则P 点的坐标为( ) A ．(1,3) B ．(－1,3)C ．(1,3)和(－1,3)D ．(1，－3)解析：选C f ′(x )＝3x 2－1，令f ′(x )＝2，则3x 2－1＝2，解得x ＝1或x ＝－1，∴P (1,3)或(－1,3)，经检验，点(1,3)，(－1,3)均不在直线y ＝2x －1上，故选C.3．已知函数f (x )的导函数为f ′(x )，且满足关系式f (x )＝x 2＋3xf ′(2)＋ln x ，则f ′(2)的值等于( )A ．－2B ．2C ．－94 D.94解析：选C 因为f (x )＝x 2＋3xf ′(2)＋ln x ，所以f ′(x )＝2x ＋3f ′(2)＋1x ，所以f ′(2)＝2×2＋3f ′(2)＋12，解得f ′(2)＝－94.4.(2019·四川名校联考)已知函数f (x )的图象如图所示，f ′(x )是f (x )的导函数，则下列数值排序正确的是( )A ．0<f ′(2)<f ′(3)<f (3)－f (2)B ．0<f ′(3)<f ′(2)<f (3)－f (2)C ．0<f ′(3)<f (3)－f (2)<f ′(2)D ．0<f (3)－f (2)<f ′(2)<f ′(3)解析：选C 设f ′(3)，f (3)－f (2)，f ′(2)分别表示直线n ，m ，l 的斜率，数形结合知0<f ′(3)<f (3)－f (2)<f ′(2)，故选C.5.(2019·玉林模拟)由曲线y ＝x 2和曲线y ＝x 围成的一个叶形图如图所示，则图中阴影部分的面积为( )A.13 B.310 C.14D.15解析：选A 由⎩⎨⎧ y ＝x 2，y ＝x ，解得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝0，y ＝0或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝1，所以阴影部分的面积为⎠⎛01 (x －x 2)d x ＝⎝⎛⎭⎫23x 32－13x 3⎪⎪⎪10＝13.6．(2018·安庆模拟)设曲线y ＝e ax －ln(x ＋1)在x ＝0处的切线方程为2x －y ＋1＝0，则a ＝( )A ．0B ．1C ．2D ．3解析：选D ∵y ＝e ax －ln(x ＋1)，∴y ′＝a e ax －1x ＋1，∴当x ＝0时，y ′＝a －1.∵曲线y ＝e ax －ln(x ＋1)在x ＝0处的切线方程为2x －y ＋1＝0，∴a －1＝2，即a ＝3.7．(2018·延边期中)设点P 是曲线y ＝x 3－3x ＋23上的任意一点，则曲线在点P 处切线的倾斜角α的取值范围为( )A.⎣⎡⎭⎫0，π2∪⎣⎡⎭⎫5π6，π B.⎣⎡⎭⎫2π3，π C.⎣⎡⎭⎫0，π2∪⎣⎡⎭⎫2π3，π D.⎝⎛⎦⎤π2，5π6解析：选C 因为y ′＝3x 2－3≥－3，故切线的斜率k ≥－3，所以切线的倾斜角α的取值范围为⎣⎡⎭⎫0，π2∪⎣⎡⎭⎫2π3，π. 8．若曲线f (x )＝x sin x ＋1在x ＝π2处的切线与直线ax ＋2y ＋1＝0 相互垂直，则实数a＝________.解析：因为f ′(x )＝sin x ＋x cos x ，所以f ′⎝⎛⎭⎫π2＝sin π2＋π2cos π2＝1.又直线ax ＋2y ＋1＝0的斜率为－a2，所以1×⎝⎛⎭⎫－a 2＝－1，解得a ＝2. 答案：29．(2019·重庆质检)若曲线y ＝ln(x ＋a )的一条切线为y ＝e x ＋b ，其中a ，b 为正实数，则a ＋eb ＋2的取值范围为________．解析：由y ＝ln(x ＋a )，得y ′＝1x ＋a.设切点为(x 0，y 0)，则有⎩⎪⎨⎪⎧1x 0＋a ＝e ，ln (x 0＋a )＝e x 0＋b ⇒b＝a e －2.∵b >0，∴a >2e，∴a ＋e b ＋2＝a ＋1a ≥2，当且仅当a ＝1时等号成立．答案：[2，＋∞)10．(2018·烟台期中)设函数F (x )＝ln x ＋ax (0<x ≤3)的图象上任意一点P (x 0，y 0)处切线的斜率k ≤12恒成立，则实数a 的取值范围为________．解析：由F (x )＝ln x ＋ax (0<x ≤3)，得F ′(x )＝x －a x 2(0<x ≤3 )，则有k ＝F ′(x 0)＝x 0－a x 20≤12在(0,3]上恒成立，所以a ≥⎝⎛⎭⎫－12x 20＋x 0max .当x 0＝1时，－12x 20＋x 0在(0,3]上取得最大值12，所以a ≥12.答案：⎣⎡⎭⎫12，＋∞ 二、专项培优练(一)易错专练——不丢怨枉分1．若f (x )＝x 2＋2⎠⎛01f (x )d x ，则⎠⎛01f (x )d x ＝( )A ．－1B ．－13C.13D ．1解析：选B ∵f (x )＝x 2＋2⎠⎛01f (x )d x ，∴⎠⎛01f (x )d x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 3＋2x ⎠⎛01f (x )d x ⎪⎪⎪10＝13＋2⎠⎛01f (x )d x ，∴⎠⎛01f (x )d x ＝－13.2．设f (x )＝⎩⎨⎧1－x 2，x ∈[－1，1]，x 2－1，x ∈(1，2]，则⎠⎛-12f (x )d x 的值为( )A.π2＋43 B.π2＋3 C.π4＋43D.π4＋3 解析：选A ⎠⎛-12f (x )d x ＝⎠⎛-111－x 2d x ＋⎠⎛12 (x 2－1)d x ＝12π×12＋⎝⎛⎭⎫13x 3－x ⎪⎪⎪21＝π2＋43. 3．等比数列{a n }中，a 1＝2，a 8＝4，函数f (x )＝x (x －a 1)·(x －a 2)·…·(x －a 8)，则f ′(0)＝( )A ．26B ．29C ．212D ．215解析：选C 因为f ′(x )＝x ′·[(x －a 1)(x －a 2)·…·(x －a 8)]＋[(x －a 1)(x －a 2)·…·(x －a 8)]′·x ＝(x －a 1)(x －a 2)·…·(x －a 8)＋[(x －a 1)(x －a 2)·…·(x －a 8)]′·x ，所以f ′(0)＝(0－a 1)(0－a 2)·…·(0－a 8)＋0＝a 1a 2·…·a 8.因为数列{a n }为等比数列， 所以a 2a 7＝a 3a 6＝a 4a 5＝a 1a 8＝8， 所以f ′(0)＝84＝212.4．若存在过点(1,0)的直线与曲线y ＝x 3和y ＝ax 2＋154x －9都相切，则a 等于( ) A ．－1或－2564 B ．－1或214C ．－74或－2564D ．－74或7解析：选A 因为y ＝x 3，所以y ′＝3x 2， 设过点(1,0)的直线与y ＝x 3相切于点(x 0，x 30)， 则在该点处的切线斜率为k ＝3x 20，所以切线方程为y －x 30＝3x 20(x －x 0)，即y ＝3x 20x －2x 30.又点(1,0)在切线上，所以x 0＝0或x 0＝32.当x 0＝0时，切线方程为y ＝0.由y ＝0与y ＝ax 2＋154x －9相切可得a ＝－2564； 当x 0＝32时，切线方程为y ＝274x －274，由y ＝274x －274与y ＝ax 2＋154x －9相切，可得a＝－1.综上，a 的值为－1或－2564. (二)素养专练——学会更学通5．[逻辑推理]已知f 1(x )＝sin x ＋cos x ，f n ＋1(x )是f n (x )的导函数，即f 2(x )＝f 1′(x )，f 3(x )＝f 2′(x )，…，f n ＋1(x )＝f n ′(x )，n ∈N *，则f 2 019(x )＝( )A ．－sin x －cos xB ．sin x －cos xC ．－sin x ＋cos xD ．sin x ＋cos x解析：选A ∵f 1(x )＝sin x ＋cos x ，∴f 2(x )＝f 1′(x )＝cos x －sin x ，f 3(x )＝f 2′(x )＝－sin x －cos x ，f 4(x )＝f 3′(x )＝－cos x ＋sin x ，f 5(x )＝f 4′(x )＝sin x ＋cos x ，…，∴f n (x )的解析式以4为周期重复出现，∵2 019＝4×504＋3，∴f 2 019(x )＝f 3(x )＝－sin x －cos x .6．[逻辑推理]曲线y ＝ln(2x －1)上的点到直线2x －y ＋8＝0的最短距离是( ) A ．2 5 B ．2 C ．2 3D. 3解析：选A 设M (x 0，ln(2x 0－1))为曲线上的任意一点，则曲线在点M 处的切线与直线2x －y ＋8＝0平行时，点M 到直线的距离即为曲线y ＝ln(2x －1)上的点到直线2x －y ＋8＝0的最短距离．∵y ′＝22x －1，∴22x 0－1＝2，解得x 0＝1，∴M (1,0)．记点M 到直线2x －y ＋8＝0的距离为d ，则d ＝|2＋8|4＋1＝2 5.7．[直观想象]如图，y ＝f (x )是可导函数，直线l ：y ＝kx ＋2是曲线y ＝f (x )在x ＝3处的切线，令g (x )＝xf (x )，则曲线g (x )在x ＝3处的切线方程为________．解析：由题图可知曲线y ＝f (x )在x ＝3处的切线斜率等于－13，即f ′(3)＝－13.又g (x )＝xf (x )，所以g ′(x )＝f (x )＋xf ′(x )，g ′(3)＝f (3)＋3f ′(3)，由题图可知f (3)＝1，所以g (3)＝3f (3)＝3，g ′(3)＝1＋3×⎝⎛⎭⎫－13＝0，则曲线g (x )在x ＝3处的切线方程为y －3＝0. 答案：y －3＝08．[逻辑推理、数学运算]设函数f (x )＝ax －bx ，曲线y ＝f (x )在点(2，f (2))处的切线方程为7x －4y －12＝0.(1)求f (x )的解析式；(2)曲线y ＝f (x )上任一点处的切线与直线x ＝0和直线y ＝x 所围成的三角形的面积是否为定值，若是，求此定值；若不是，说明理由．解：(1)方程7x －4y －12＝0可化为y ＝74x －3，当x ＝2时，y ＝12.又f ′(x )＝a ＋bx 2，所以⎩⎨⎧2a －b 2＝12，a ＋b 4＝74，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝3.故f (x )＝x －3x .(2)是定值，理由如下：设P (x 0，y 0)为曲线y ＝f (x )上任一点，由f ′(x )＝1＋3x 2知曲线在点P (x 0，y 0)处的切线方程为y －y 0＝⎝⎛⎭⎫1＋3x 20(x －x 0)， 即y －⎝⎛⎭⎫x 0－3x 0＝⎝⎛⎭⎫1＋3x 20(x －x 0)． 令x ＝0，得y ＝－6x 0，得切线与直线x ＝0的交点坐标为⎝⎛⎭⎫0，－6x 0. 令y ＝x ，得y ＝x ＝2x 0，得切线与直线y ＝x 的交点坐标为(2x 0,2x 0)．所以曲线y ＝f (x )在点P (x 0，y 0)处的切线与直线x ＝0，y ＝x 所围成的三角形的面积S ＝12⎪⎪⎪⎪－6x 0·|2x 0|＝6. 故曲线y ＝f (x )上任一点处的切线与直线x ＝0和直线y ＝x 所围成的三角形的面积为定值，且此定值为6.9．[逻辑推理、数学运算]已知函数f (x )＝ln x －a (x ＋1)x －1，曲线y ＝f (x )在点⎝⎛⎭⎫12，f ⎝⎛⎭⎫12处的切线平行于直线y ＝10x ＋1.(1)求函数f (x )的单调区间；(2)设直线l 为函数g (x )＝ln x 图象上任意一点A (x 0，y 0)处的切线，问：在区间(1，＋∞)上是否存在x 0，使得直线l 与曲线h (x )＝e x 也相切？若存在，满足条件的 x 0有几个？解：(1)∵函数f (x )＝ln x －a (x ＋1)x －1(x ＞0且x ≠1)， ∴f ′(x )＝1x ＋2a (x －1)2，∵曲线y ＝f (x )在点⎝⎛⎭⎫12，f ⎝⎛⎭⎫12处的切线平行于直线y ＝10x ＋1，∴f ′⎝⎛⎭⎫12＝2＋8a ＝10，∴a ＝1，∴f ′(x )＝x 2＋1x (x －1)2. ∵x ＞0且x ≠1，∴f ′(x )＞0，∴函数f (x )的单调递增区间为(0,1)和(1，＋∞)，无单调递减区间． (2)在区间(1，＋∞)上存在唯一一个满足条件的x 0. ∵g (x )＝ln x ，∴g ′(x )＝1x ，∴切线l 的方程为y －ln x 0＝1x 0(x －x 0)，即y ＝1x 0x ＋ln x 0－1.①设直线l 与曲线h (x )＝e x 相切于点(x 1，e x 1)， ∵h ′(x )＝e x ，∴e x 1＝1x 0，∴x 1＝－ln x 0，∴直线l 的方程也可以写成y －1x 0＝1x 0(x ＋ln x 0)，即y ＝1x 0x ＋ln x 0x 0＋1x 0.②由①②得ln x 0－1＝ln x 0x 0＋1x 0，∴ln x 0＝ x 0＋1x 0－1. 下证在区间(1，＋∞)上存在唯一一个满足条件的x 0. 由(1)可知，f (x )＝ln x －x ＋1x －1在区间(1，＋∞)上单调递增， 又∵f (e)＝－2e －1＜0，f (e 2)＝e 2－3e 2－1＞0，∴结合零点存在性定理，知方程f (x )＝0在区间(e ，e 2)上有唯一的实数根，这个根就是所求的唯一满足条件的x 0.。
高考专题训练四导数与积分的概念及运算、导数的应用班级________ 姓名________ 时间：45分钟 分值：75分 总得分________一、选择题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项填在答题卡上．1．(2011·全国)曲线y ＝e －2x ＋1在点(0,2)处的切线与直线y ＝0和y ＝x 围成的三角形的面积为( )A .13 B .12 C .23 D ．1解析：y ′＝－2e －2x ，y ′|x ＝0＝－2，在点(0,2)处的切线为：y －2＝－2x ，即2x ＋y －2＝0由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x 2x ＋y －2＝0得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝23y ＝23，A ⎝⎛⎭⎪⎫23，23，S △ABO ＝12·23＝13.答案：A2．(2011·辽宁)函数f(x)的定义域为R ，f (－1)＝2，对任意x ∈R ，f ′(x )>2，则f (x )>2x ＋4的解集为( )A ．(－1,1)B ．(－1，＋∞)C ．(－∞，－1)D ．(－∞，＋∞)解析：f (x )>2x ＋4，即f (x )－2x －4>0.构造F (x )＝f (x )－2x －4，F ′(x )＝f ′(x )－2>0.F (x )在R 上为增函数，而F (－1)＝f (－1)－2x (－1)－4＝0.x ∈(－1，＋∞)，F (x )>F (－1)，∴x >－1.答案：B3．(2011·烟台市高三年级诊断性检测)设a ＝⎠⎛0π(sin x ＋cos x)d x ，则(a x－1x)6的二项展开式中含x 2的系数是( )A ．192B ．－192C ．96D ．－96解析：因为a ＝⎠⎛0π(sin x ＋cos x)d x ＝(－cos x ＋sin x)| π0＝ (－cosπ＋sinπ)－(－cos 0＋sin 0)＝2，所以(a x －1x)6＝ ⎝⎛⎭⎪⎫2x －1x 6，则可知其通项T r ＋1＝(－1)r C r 626－r x 6－r 2－r 2＝(－1)r C r 626－r x 3－r，令3－r ＝2⇒r ＝1，所以展开式中含x 2项的系数是(－1)r C r 626－r ＝(－1)1C 1626－1＝－192，故答案选B .答案：B4．(2011·山东省高考调研卷)已知函数f(x)＝12x 3－x 2－72x ，则f(－a 2)与f(4)的大小关系为( )A ．f(－a 2)≤f(4)B ．f(－a 2)<f(4)C ．f(－a 2)≥f(4)D ．f(－a 2)与f(4)的大小关系不确定解析：∵f(x)＝12x 3－x 2－72x ，∴f ′(x)＝32x 2－2x －72.由f ′(x)＝12(3x －7)(x ＋1)＝0得x ＝－1或x ＝73.当x<－1时，f(x)为增函数； 当－1<x<73时，f(x)为减函数；当x>73时，f(x)为增函数，计算可得f(－1)＝f(4)＝2，又－a 2≤0，由图象可知 f(－a 2)≤f(4)． 答案：A5．(2011·山东省高考调研卷)已知函数f(x)＝x 3＋bx 2－3x ＋1(b ∈R)在x ＝x 1和x ＝x 2(x 1>x 2)处都取得极值，且x 1－x 2＝2，则下列说法正确的是( )A ．f (x )在x ＝x 1处取极小值，在x ＝x 2处取极小值B ．f (x )在x ＝x 1处取极小值，在x ＝x 2处取极大值C ．f (x )在x ＝x 1处取极大值，在x ＝x 2处取极小值D ．f (x )在x ＝x 1处取极大值，在x ＝x 2处取极大值解析：因为f (x )＝x 3＋bx 2－3x ＋1，所以f ′(x )＝3x 2＋2bx －3，由题意可知f ′(x 1)＝0，f ′(x 2)＝0，即x 1，x 2为方程3x 2＋2bx －3＝0的两根，所以x 1－x 2＝(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝4b 2＋363，由x 1－x 2＝2，得b ＝0.从而f (x )＝x 3－3x ＋1，f ′(x )＝3x 2－3＝3(x ＋1)(x －1)，因为x 1>x 2，所以x 1＝1，x 2＝－1，当x ∈(－∞，－1)时，f ′(x )>0，所以f (x )在x 1＝1处取极小值，极小值为f (1)＝－1，在x 2＝－1处取极大值，极大值为f (－1)＝3.答案：B6．(2011·合肥市高三第三次教学质量检测)对任意x 1，x 2∈(0，π2)，x 2>x 1，y 1＝1＋sin x 1x 1，y 2＝1＋sin x 2x 2，则( )A ．y 1＝y 2B ．y 1>y 2C ．y 1<y 2D ．y 1，y 2的大小关系不能确定解析：设f (x )＝1＋sin x x ，则f ′(x )＝x cos x －sin x －1x 2＝cos x (x －tan x )－1x 2.当x ∈(0，π2)时，x －tan x <0，故f ′(x )<0，所以f (x )在(0，π2)上是减函数，故由x 2>x 1得y 2<y 1.答案：B二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题卡上．7．(2011·广东)函数f (x )＝x 3－3x 2＋1在x ＝________处取得极小值． 解析：由f ′(x )＝3x 2－6x ＝3x (x －2)＝0，解得x 1＝0，x 2＝2 当x <0时，f ′(x )>0，当0<x <2时，f ′(x )<0，当x >2时，f ′(x )>0. ∴当x ＝2时，f (x )有极小值是f (2)＝23－3×22＋1＝－3. 答案：28．(2011·潍坊市高三第一次教学质量检测)若等比数列{a n }的首项为23，且a 4＝⎠⎛14(1＋2x)d x ，则公比等于________．解析：⎠⎛14(1＋2x)d x ＝(x ＋x 2)|41＝(4＋16)－(1＋1)＝18，即a 4＝18＝23·q3⇒q ＝3.答案：39．(2009·山东省高考调研卷)已知函数f(x)＝3x 2＋2x ＋1，若⎠⎛-11f(x)d x＝2f(a)成立，则a ＝________.解析：因为⎠⎛-11f(x)d x ＝⎠⎛-11(3x 2＋2x ＋1)d x ＝(x 3＋x 2＋x)|1－1＝4，所以2(3a 2＋2a ＋1)＝4⇒a ＝－1或a ＝13.答案：－1或1310．(2009·山东省高考调研卷)曲线y ＝1x ＋2x ＋2e 2x ，直线x ＝1，x ＝e和x 轴所围成的区域的面积是________．解析：⎠⎛1e (1x ＋2x ＋2e 2x )d x ＝⎠⎛1e 1x d x ＋⎠⎛1e 2x d x ＋⎠⎛1e 2e 2x d x ＝ln x|e 1＋x 2|e 1＋e 2x |e 1＝e 2e .答案：e 2e三、解答题：本大题共2小题，共25分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．11．(12分)(2011·北京)已知函数f(x)＝(x －k)2e x k (1)求f(x)的单调区间；(2)若对于任意的x ∈(0，＋∞)，都有f(x)≤1e ，求k 的取值范围． 解：(1)f ′(x)＝1k (x 2－k 2)e xk令f ′(x)＝0，得x ＝±k当k>0时，f(x)与f ′(x)的情况如下： ↗↘↗是(－k ，k)．当k<0时，f(x)与f ′(x)的情况如下：↘ ↗↘是(k ，－k)．(2)当k>0时，因为f(k ＋1)＝e k+1k >1e ，所以不会有∀x ∈(0，＋∞)，f(x)≤1e当k<0时，由(1)知f(x)在(0，＋∞)上的最大值是f(－k)＝4k 2e 所以∀x ∈(0，＋∞)，f(x)≤1e 等价于f(－k)＝4k 2e ≤1e .解得－12≤k<0.故当∀x ∈(0，＋∞)，f(x)≤1e 时，k 的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫－12，0.12．(13分)(2011·课标)已知函数f(x)＝a ln x x ＋1＋bx ，曲线y ＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程为x ＋2y －3＝0.(1)求a ，b 的值；(2)如果当x>0，且x ≠1时，f(x)>ln x x －1＋kx，求k 的取值范围．解：(1)f ′(x)＝a ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋x x －ln x (x ＋1)2－bx2. 因为直线x ＋2y －3＝0的斜率为－12，且过点(1,1)，故⎩⎨⎧f (1)＝1，f ′(1)＝－12，即⎩⎨⎧b ＝1，a 2－b ＝－12.解得a ＝1，b ＝1.(2)由(1)知f(x)＝ln x x ＋1＋1x，所以f(x)－⎝ ⎛⎭⎪⎫ln x x －1＋k x ＝11－x 2⎝ ⎛⎭⎪⎫2ln x ＋(k －1)(x 2－1)x . 考虑函数h(x)＝2ln x ＋(k －1)(x 2－1)x (x>0)，则h ′(x)＝(k －1)(x 2＋1)＋2xx 2.(ⅰ)设k ≤0，则h ′(x)＝k (x 2＋1)－(x －1)2x 2知，当x ≠1时，h ′(x)<0，而h(1)＝0，故当x ∈(0,1)时，h(x)>0，可得11－x 2h(x)>0；当x ∈(1，＋∞)时，h(x)<0，可得11－x 2h(x)>0.从而当x>0，且x ≠1时，f(x)－⎝ ⎛⎭⎪⎫ln x x －1＋k x >0，即f(x)>ln x x －1＋kx .(ⅱ)设0<k<1，因为当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫1，11－k 时，(k －1)·(x 2＋1)＋2x>0，故h ′(x)>0.而h(1)＝0，故当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫1，11－k 时，h(x)>0，可得11－x 2h(x)<0，与题设矛盾．(ⅲ)设k ≥1，此时h ′(x)>0，而h(1)＝0，故当x ∈(1，＋∞)时，h(x)>0，可得11－x2h(x)<0，与题设矛盾． 综合得，k 的取值范围为(－∞，0]．。
第10节导数的概念及运算一应用能力提升 n 電氏申升爭恩威【选题明细表】基础巩固（时间:30分钟）1.下列求导数的运算中错误的是（C ）X X(A) (3 ) ' =3 In 3XSUIX - COSX,:*2.（2018 •江西重点中学盟校第一次联考）函数y=x 3的图象在原点处的切线方程为（C ）(A) y=x (B)x=0(C)y=0 (D)不存在解析:函数y=x 3的导数为y =3x 2,则在原点处的切线斜率为0,所以在原点处的切线方程为y-0=0（x-0）.2(B) (x ln‘ =2x In x+x(D)(s in X -cos x) ‘ 二cos 2x解析:因为（X ） ‘ =-xsittx - COSX尤' ,C 项错误.即y=0.3.(2018 •达州测验)已知函数f(x)在R上可导，其部分图象如图所示，f(4)-心设 4 = 2 =a,则下列不等式正确的是(B )解析：由题中图象可知，在［2,4］上函数的增长速度越来越快，故曲线上点的斜率随x的增大越来越大,f⑷-f (町所以(2,f(2)),(4,f(4)) 两点连线的斜率=a,在点(2,f(2)) 处的切线斜率f ‘⑵ 与点(4,f(4))处的切线斜率f ‘⑷ 之间, 所以f ‘⑵vavf ‘ (4),故选B.4.(2018 •河南适应性测试)已知直线ax-by-2=0与曲线y=x3在点P(1,1) 处的切线互相垂直，贝y亦勺值为(D )12! 11(A)3(B) 》(C)- k t (D)-绍解析:由题意科'=3x1当x=1 时,y | x=1=3,a所以心3=-1,5.(2018 •鹰潭一模)已知曲线f(x)=2x 2+1在点M(X0,f(x 0))处的瞬时变(A)avf ‘ (2)<f ' (4) (B) f ' (2)vavf ‘ (4)(C) f ‘ (4)<f ' (2)<a (D) f ' (2)vf ‘ (4)<a化率为-8,则点M的坐标为解析：因为f(x)=2x 2+1,所以 f ‘(x)=4x.令4x0=-8,则x o=-2,所以f(x o)=9,所以点M的坐标是(-2,9).答案：(-2,9)6.(2017 •天津卷)已知a€ R,设函数f(x)=ax-In x的图象在点(1,f(1)) 处的切线为I,则I在y轴上的截距为解析：因为f’ (x)=a-所以 f ‘ (1)=a-1.又因为f(1)=a,所以切线I的斜率为a-1,且过点(1,a),所以切线I的方程为y-a=(a-1)(x-1).令x=0,得y=1,故I在y轴上的截距为1.答案：17.如图,y=f(x)是可导函数，直线I:y=kx+2是曲线y=f(x)在x=3处的切线，令g(x)=xf(x), 其中g ‘ (x)是g(x)的导函数，则g ‘(3)= 解析：由图形可知，f(3)=1.1 f ’ (3)=- d,因为g’ (x)=f(x)+xf ‘ (x),所以g’ (3)=f(3)+3f ' (3)=1-1=0.答案：08.函数g(x)=ln x图象上一点P到直线y=x的最短距离为解析:设与直线y=x平行且与曲线g(x)=ln x相切的直线的切点坐标为1(x o,ln x o),因为g’ (x)=(ln x) ’ = 则1丹,所以x o=1, 则切点坐标为(1,0), 所以最短距离为(1,0)至U直线y=x的距离,答案：2能力提升(时间：15分钟)9.(2018 •广东广州第一次调研)已知直线y=kx-2与曲线y=xln x相切, 则实数k的值为(D )(A)ln 2 (B)1 (C)1-ln 2 (D)1+ln 2解析：由y=xln x得y ‘ =ln x+1,设切点为(x o,y o),贝J k=l n x o+1,因为切点(x o,y o)既在曲线y=xln x上又在直线y=kx-2上,所以所以kx0-2=X0ln x 0,所以k=l n x 0严气所以In x o+"=ln x o+1,所以x o=2.所以k=ln 2+1.故选D 10.(2018 •广东东莞二调)设函数f(x)=x 3+ax2,若曲线y=f(x)在点P(x o,f(x 0))处的切线方程为x+y=0,则点P的坐标为(D ) (A)(0,0) (B)(1,-1) (C)(-1,1) (D)(1,-1)或(-1,1)解析：因为f(x)=x 3+ax2,所以 f ‘ (x)=3x 2+2ax.因为曲线在点P(X0,f(x 0))处的切线方程为x+y=0,所以3靖+2ax0=-1.因为X0+对+品=0, 所以当X0=1 时,f(X 0)=-1,当X0=-1 时,f(x 0)=1.所以点P的坐标为(1,-1)或(-1,1).11.若函数y=f(x)的图象上存在两点，使得函数的图象在这两点处的切线互相垂直，则称y=f(x)具有T性质,下列函数中具有T性质的是(A)y=s in x (B)y=ln x (C)y=e x (D)y=x 3解析：若y=f(x)的图象上存在两点(x i,f(x i)),(x 2,f(x 2)),使得函数图象在这两点处的切线互相垂直，则f ‘ (x i) • f ‘(X2)=-1.对于A:y ‘ 二cos X,若有cos X 1 • cos X 2=-1,则当X i=2k n ,x 2=2kn + n (k € Z)时，结论成立；=-1,贝y x i X2=-i,因为X i>0,X2>0,所以不存在X i,X2,使得X i X2=-1；对于C:y ‘ =e x,若有-1,=-1.显然不存在这样的X1,X2; 对于D:y ‘ =3x2,若有3卅• 3卅=-1, 即9卅对=-1,显然不存在这样的X1,x 2.故选A.12.(2018 •广东珠海一中等六校第三次联考)已知函数y=f(x)的图象在点(2,f(2)) 处的切线方程为y=2x-1,则曲线g(x)=x2+f(x)在点(2,g(2))处的切线方程为解析：由题意,知f(2)=2 X 2-1=3,所以g(2)=4+3=7,因为 g ’（x ）=2x+f ‘（x ）,f ‘（2）=2, 所以 g ’ （2）=2 X 2+2=6, 所以曲线g(x)=x 2+f(x)在点(2,g(2))处的切线方程为y-7=6(x-2),即 6x-y-5=0.答案:6x-y-5=013.若函数f(x)= 2x 2-ax+ln x 存在垂直于y 轴的切线，则实数a 的取值 范围是1解析：因为 f （x ）= 2x 2-ax+ln x, 1所以 f ’ （x ）=x-a+ x （x>0）.因为f(x)存在垂直于y 轴的切线, 所以f ’ (x)存在零点,1即x+H-a=0有解,1所以a=x 存＞2(当且仅当x=1时取等号).答案:[2,+ 乂)解析：设过点(1,0)的直线与y=x 3相切于点(x 0,卅), 所以切线方程为y-卅=3昭l (x-x 0),即 y=^o x-^a ,14.若存在过点(1,0)的直线与曲线y=x 3和 ISy=ax 2+4 x-9都相切，则a 等3又(1,0)在切线上，则X0=O或X0=2,15当x o=O时，由y=0与y=ax2+4 x-9相切可得2Sa二-启4,25答案：-1或#42715当xo J时,由y眾冋与y=ax2血-9相切可得a=-1.。
