映射的概念axcdcxcxzcz
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映射的概念
注：(1)映射是函数概念的推广，函 (1)映射是函数概念的推广， 映射是函数概念的推广 数是一类特殊的映射； 数是一类特殊的映射； (2)映射 (2)映射f：A→B中，集合A、B可以是 数集，也可以是点集或其他集合； 数集，也可以是点集或其他集合； (3)映射的方向性： (3)映射的方向性：映射f：A→B与f： 映射的方向性 是不一样的. B→A是不一样的. 多对一” （4）映射可以是“一对一”或“多对一” ）映射可以是“一对一” 的对应，但不能是“一对多” 的对应，但不能是“一对多”．
作业：
课本 （ ）、 ）、8．
2、象与原象 、 是从A到 的映射 那么， 的映射， 若f是从 到B的映射，那么，与 是从 A中的元素 对应的 中的元素 中的元素a对应的 中的元素b 中的元素 对应的B中的元素 叫做a的象 的象， 叫做 的原象。 叫做b的原象 叫做 的象，a叫做 的原象。这 一关系可记作b=f(a) 一关系可记作
例1．下列对应是不是从集合A到集合B 的映射，为什么？ 的映射，为什么？ }， (1) A＝R， B＝{x∈R∣x≥0 }， 求平方” f：“求平方”； }， (2) A＝R， B＝{x∈R∣x>0 }， 求平方” f：“求平方”； }， (3)A＝{x∈R∣x>0 }， B＝R， 求平方根” f：“求平方根”； 平面上的圆} (4)A＝{平面上的圆}，B＝{平面上的 矩形} 圆的内接矩形” 矩形}， f：“圆的内接矩形”．
例 2 f为集合 A到集合 B的映 射 , f : ( x, y ) → ( 2 x − y , x + 2 y ). 则 B中的元素 ( −1,2)在 A中的 对应元素是 _________
例3．若A＝{－1，m，3}，B＝{－2， ． ＝－ ， ， ， ＝－ ， 4，10}，定义从 到B的一个映射 ： 的一个映射f： ， ，定义从A到 的一个映射 x→y＝3x＋1，求m值． ＝ ＋ ， 值
映射的概念精品PPT课件
•３.设集合Ａ＝｛１,－３,２,３,－１,－２｝， 集合Ｂ＝｛９，０，４，１，５｝,对应关系是： 集合Ａ中的每一个数，在集合Ｂ中都有一个其 对应的平方数.
*
思考5:有人说映射有“三性”，即“有序性”， “存在性”和“唯一性”，对此你是怎样理解的？
①“有序性”：映射是有方向的，A到B的映 射与B到A的映射往往不是同一个映射；
解: （１）将x= 2代入对应关系，可得其在Ｂ
中的对应元素为（ 2 1，2）
x+1=2
（２）由题意得：
x2=1
∴x=1
即 (2,1)在Ａ中的对应元素为１
*
练习：下列对应是否为从集合A到集合B的映射？
(1) A R, B {y | y 0}, f : x | x |;
*
小结：
1、映射的概念 2、映射与函数的区别与联系
映射的概念
*
复习:函数的概念
一般地，设A、B是两个非空的数集，
如果按某种对应法则f，对于集合A中的每 一个数x，在集合B中都有唯一的数y和它对 应，这样的对应叫做集合A到集合B的一个 函数．
函数的本质：
建立在两个非空数集上的特殊对应
*
复习:函数的概念
这种“特殊对应”有何特点： 1.可以是“一对一” 2.可以是“多对一” 3.不能“一对多” 4.A中不能有剩余元素 5.B中可以有剩余元素
A
B
A
B
a
1
b
c
22
（１）
A
B
1
a
2
3
b
*
(3)
1
a
b
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c
（２）
A
B
a
1
b
c
*
思考5:有人说映射有“三性”，即“有序性”， “存在性”和“唯一性”，对此你是怎样理解的？
①“有序性”：映射是有方向的，A到B的映 射与B到A的映射往往不是同一个映射；
解: （１）将x= 2代入对应关系，可得其在Ｂ
中的对应元素为（ 2 1，2）
x+1=2
（２）由题意得：
x2=1
∴x=1
即 (2,1)在Ａ中的对应元素为１
*
练习：下列对应是否为从集合A到集合B的映射？
(1) A R, B {y | y 0}, f : x | x |;
*
小结：
1、映射的概念 2、映射与函数的区别与联系
映射的概念
*
复习:函数的概念
一般地，设A、B是两个非空的数集，
如果按某种对应法则f，对于集合A中的每 一个数x，在集合B中都有唯一的数y和它对 应，这样的对应叫做集合A到集合B的一个 函数．
函数的本质：
建立在两个非空数集上的特殊对应
*
复习:函数的概念
这种“特殊对应”有何特点： 1.可以是“一对一” 2.可以是“多对一” 3.不能“一对多” 4.A中不能有剩余元素 5.B中可以有剩余元素
A
B
A
B
a
1
b
c
22
（１）
A
B
1
a
2
3
b
*
(3)
1
a
b
2
c
（２）
A
B
a
1
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c
高考数学考点一-映射的概念
高考数学考点一-映射的概念高考数学考点一、映射的概念1.了解对应大千世界的对应共分四类，分别是：一对一多对一一对多多对多2.映射：设A和B是两个非空集合，如果按照某种对应关系f，对于集合A 中的任意一个元素_，在集合B中都存在的一个元素y与之对应，那么，就称对应f：A→B为集合A到集合B的一个映射(mapping).映射是特殊的对应，简称“对一”的对应。
包括：一对一多对一高考数学考点二、函数的概念1.函数：设A和B是两个非空的数集，如果按照某种确定的对应关系f，对于集合A中的任意一个数_，在集合B中都存在确定的数y与之对应，那么，就称对应f：A→B为集合A到集合B的一个函数。
记作y=f(_),_A.其中_叫自变量，_的取值范围A叫函数的定义域;与_的值相对应的y的值函数值，函数值的集合叫做函数的值域。
函数是特殊的映射，是非空数集A到非空数集B的映射。
2.函数的三要素：定义域、值域、对应关系。
这是判断两个函数是否为同一函数的依据。
3.区间的概念：设a,bR,且a①(a,b)={_a⑤(a,+∞)={__a}⑥[a,+∞)={__≥a}⑦(-∞,b)={__高考数学考点三、函数的表示方法1.函数的三种表示方法列表法图象法解析法2.分段函数：定义域的不同部分，有不同的对应法则的函数。
注意两点：①分段函数是一个函数，不要误认为是几个函数。
②分段函数的定义域是各段定义域的并集，值域是各段值域的并集。
考点四、求定义域的几种情况①若f(_)是整式，则函数的定义域是实数集R;②若f(_)是分式，则函数的定义域是使分母不等于0的实数集;③若f(_)是二次根式，则函数的定义域是使根号内的式子大于或等于0的实数集合;④若f(_)是对数函数，真数应大于零。
⑤.因为零的零次幂没有意义，所以底数和指数不能同时为零。
⑥若f(_)是由几个部分的数学式子构成的，则函数的定义域是使各部分式子都有意义的实数集合;⑦若f(_)是由实际问题抽象出来的函数，则函数的定义域应符合实际问题高中地理知识点分析(1)位置：①经纬度位置：(100E-140E)(10S-20N)②海陆位置：东临太平洋，西临印度洋，是亚洲和大洋洲的过渡地带(2)范围：东南亚包括中南半岛和马来群岛两大部分，是亚洲纬度最低的地区。
映射的概念和函数的概念
映射的概念和函数的概念映射的概念和函数的概念都涉及了数学中的一种关系，在数学中常被用来描述元素之间的对应关系。
虽然映射和函数都描述了元素之间的关系，但在不同的数学领域和语境中，这两个术语的使用可能略有不同。
下面将分别对映射和函数这两个概念进行较为详细的解释。
映射是数学中的一个概念，它描述了元素之间的一种对应关系。
简单来说，映射就是将一个集合中的元素对应到另一个集合中的元素，其中每个元素在映射中只能被对应一次。
映射通常用箭头“→”或者表示，例如“f: A →B”，表示把集合A中的元素映射到集合B中的元素。
其中，A称为映射的定义域或者输入域，B称为映射的值域或者输出域。
映射的定义可以相当灵活，可以是任意类型的元素之间的对应关系，不仅局限在数字之间的对应关系。
例如，我们可以定义一个映射f，把一个人的名字对应到他的年龄上。
在这个例子中，映射的定义域是人的名字的集合，值域是人的年龄的集合。
我们可以通过查找映射f来找到某个人的年龄。
函数是映射的一种特殊情况，它在数学中具有更为具体严格的定义。
函数是一种关系，它将一个集合中的每个元素映射到另一个集合中的唯一元素。
函数通常用一种常见的表示法“y = f(x)”来展示，其中y是函数的输出，x是函数的输入。
函数的定义域是所有可能的输入，而值域则是所有可能的输出。
函数的定义域和值域可以是实数集、整数集或者其他类型的集合，取决于问题的具体上下文，而函数的定义域和值域通常具有一定的关系。
例如，我们可以定义一个函数f(x) = x²，其中定义域和值域都是实数集。
这个函数接受一个实数作为输入，并将其平方作为输出。
函数在数学中有很多重要的属性和性质。
比如，函数可以是线性的、非线性的、一一对应的、多对一的、单射的、满射的等等。
函数之间可以进行运算，比如函数的加法、减法、乘法和除法。
函数还可以进行复合，即将一个函数的输出作为另一个函数的输入。
在计算机科学中，函数被广泛应用于编程和算法设计中。
映射的通俗理解
映射的通俗理解
映射是一种将一个集合中的元素对应到另一个集合中的元素的过程。
可以像翻译一段话一样，将一个语言中的单词或句子在另一个语言中对应的单词或句子找出来。
例如，将英文单词“apple”映射成中文单词“苹果”，或将数字1、2、3映射到英文单词“one”、“two”、“three”里。
这种对应关系可以用箭头图来表示，箭头的起点代表原来的元素，箭头的终点代表对应的元素。
映射在数学中也很常见，例如把一个函数的自变量（输入）映射到它的因变量（输出）上。
解析映射的定义
解析映射的定义
映射，也称为函数，是从一个集合到另一个集合的规则。
它将集合中的每个元素映射到另一个集合中的唯一元素。
映射可以用数学符号表示为：f:A→B，其中A是起始集合，B是目标集合，f是映射规则。
映射的定义包括以下要素：
1. 起始集合：映射的起始集合是指映射中所有元素的集合，也称为定义域。
2. 目标集合：映射的目标集合是指映射中每个元素对应的唯一元素的集合，也称为值域。
3. 映射规则：映射规则是指将起始集合中的每个元素映射到目标集合中的唯一元素的规则。
映射的定义可以用实际例子来说明。
例如，假设有一个集合
A={1,2,3}和另一个集合B={a,b,c}。
我们可以定义一个映射f:A→B，其中f(1)=a，f(2)=b，f(3)=c。
这个映射规则将集合A中的每个元素映射到集合B中唯一的元素。
映射在数学、计算机科学和物理学等领域中广泛应用。
在数学中，映射是构建函数和证明定理的重要工具。
在计算机科学中，映射被用于算法、数据结构和编程语言中。
在物理学中，映射被用于描述物理系统和预测其行为。
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解析： (1)∵ f(1)＝3，即 1＋ m＝3， ∴ m＝2. 2 (2)由 (1)知， f(x)＝ x＋ ，其定义域是{x|x≠0}，关于 x 原点对称， 2 2 又 f(－ x)＝－x＋ ＝－x＋ ＝－f(x)，所以此函数 x －x 是奇函数.
2．(1)如图给出了偶函数 y＝f(x)的局部 图象，则 f(1)________f(3)．(填“>”或 “<”)
3 2x，0≤x≤1 答案：f(x)＝ 3－3x，1≤x≤2 2
例4
1 已知 f(x)＝ － 1
x≥0 ，求不等式 x<0
x＋2<0 或 x－x－2≤5
x＋(x＋2)f(x＋2)≤5 的解集．
解
x＋2≥0 由题意知： x＋x＋2≤5
，
3 解之得－2≤x≤ 或 x<－2. 2
[例 3]
x2， －1≤x≤1， (12 分)已知 f(x)＝ 1， x＞1或x＜－1.
(1)画出 f(x)的图象； (2)求 f(x)的定义域和值域．
[思路点拨]
画出图象，直接从图象上观察得出定义域和值域．
[精解详析]
(1)利用描点法，作出f(x)的图象，如图所示．
(6分)
(2)由条件知，函数f(x)的定义域为R. 由图象知，当－1≤x≤1时，f(x)＝x2的值域为[0,1]， 当x>1或x<－1时，f(x)＝1， 所以f(x)的值域为[0,1]．
解析： (1)由 f(x)＝ (1－2a)x＋b 是 R 上的增函数， 1 得 1－2a＞ 0，即 a＜ . 2 (2)由题意得 m－1＜2m－ 1 ∴ m＞0. 2 (3)f(x )＝－x ＋2(a－ 1)x＋2 2 2 ＝－[x－ (a－1)] ＋ (a－ 1) ＋2. ∴ f(x)的单调增区间是 (－∞， a－1]． 又∵f(x)的单调增区间是 (－∞，3] ∴a－1＝ 3，∴a＝4.
－7，x∈－∞，－2， 7．作出 y＝2x－3，x∈－2，5， 7，x∈5，＋∞
的图象，并求 y 的值域．
－7，x∈－∞，－2]， 解：y＝2x－3，x∈－2，5]， 7，x∈5，＋∞. 值域为 y∈[－7,7]． 图象如下图．
|x|－x 8．已知函数 f(x)＝1＋ (－2<x≤2)． 2 (1)用分段函数的形式表示该函数； (2)画出该函数的图象； (3)写出该函数的值域．
0< x <2 0<3x<2 ⇔ 1 x< 2 0<x<2 0<x<2 3 ⇔ x<1 2
8分
，10 分
1 ∴0<x< .12 分 2
◎已知 f(x)是定义在[－1,1]上的增函数， 且 f(x－2)＜f(1－x)，求 x 的取值范围．
【正解】 由题意可知 － 1≤x－ 2≤1 ，解得 1≤x≤2，① － 1≤1－ x≤1 又 f(x)在 [－ 1,1]上是增函数，且 f(x－ 2)＜ f(1 － x )， 3 ∴x－2＜ 1－x，即 x＜ ，② 2 由①、②可知，所求自变量 x 的取值范围为
(2)如图给出奇函数 y＝f(x)的局部图象，则 f(－2) 的值是________．
∴g(π)＝0，∴f(g(π))＝f(0)＝0.
答案 B
3．设函数
f(x)＝
x，x≥0， －x，x＜0，
若 f(a)＋ ( )
f(－1)＝2，则 a＝ A．－3 C．－1 B．± 3 D．± 1
解析：若a≥0，则 a ＋1＝2，得a＝1；若a<0，则 －a ＋1＝2， 得a＝－1.
[答案] B
3．(2012· 衢州模拟)图中的图象所表示的函数的解析式
f(x)＝____________.
解析：由图象知每段为线段． 3 3 设f(x)＝ax＋b，把(0,0)，(1， 2 )和(1， 2 )，(2,0)分别代入求解 3 a＝ ， 2 b＝0， 3 a＝－ ， 2 b＝3.
2
3．(1)设函数 f(x)＝(1－2a)x＋b 是 R 上的增函数， 则有( ) 1 1 A． a ＜ B． a ＞ 2 2 1 1 C．a＜－ D．a＞－ 2 2 (2)设函数 f(x)是 R 上的减函数， 若 f(m－1)＞f(2m－ 1)，则实数 m 的取值范围是 ________． 2 (3)将本例改为函数 f(x)＝－x ＋2(a－1)x＋2 的单调 增区间是 (－∞，3]，则实数 a 的值是________．
则
1 f 的值为 f2
( 27 B．－ 16 D．18
)
15 A. 16 8 C. 9
1 1 解析：f(2)＝4， ＝ ， f2 4 故
1 1 1 15 2 f ＝f4＝1－4 ＝ . 16 f2
3 x1≤ x＜ . 2
利用函数奇偶性求解析式
若f(x)是定义在R上的奇函数，当x>0时， f(x)＝x2－2x＋3，求f(x)的解析式．
解析： 当 x<0 时，－x>0， 2 2 f(－ x)＝ (－ x) －2(－ x)＋3＝ x ＋2x＋ 3， 由于 f(x)是奇函数，故 f(x)＝－ f(－ x)， 2 所以 f(x)＝－x －2x－3. 2 即当 x<0 时， f(x)＝－x －2x－3. x2－ 2x＋3 x>0 故 f(x)＝0 x＝ 0 . 2 －x －2x－3 x<0
∵ y＝ f(x)， x∈ (－1,1)是奇函数， ∴ f(－ x)＝－f(x)， ∴ f(1－x)＋ f(1－ 3x)<0 可化为 f(1－x)< － f(1－3x) 即 f(1－ x)<f(3x－ 1).4 分
又∵ y＝ f(x)在 (－1,1)上是减函数， － 1<1－ x<1 ∴ f(1－x)<f(3x－1)⇔－1<1－3x<1 1－ x>3x－ 1
例2. f ( x ) ax 2 (3a 1) x a 2 在[1, )上是增函数， 求a的取值范围.
1 例3.设函数f ( x ) ，求其单调区间. x2
2x 例4.设函数f ( x ) , 求f ( x )的单调区间 x 1
1 , x 0, 2 x 1 例5.设函数f ( x ) 0, x 0, 求f ( x )的单调区间. 1 x , x 0, x
1 例4. f ( x ) x 的图象如下， x (1)证明(1, )为f ( x )的增区间； 1 (2)求f ( x )在[ , 2]上的最值. 3
a (3)研究y x (a 0)的图象和性质. x
例1.设f ( x ) x 2 2 x 3( x [2， 2])，求其单调区间
例4. f ( x )是偶函数,当x 0时, f ( x ) （1）求f (-1)的值； （2）当x 0时 , 求f ( x )的解析式.
x 1,
例5. f ( x )是R上的奇函数,当x 0时, f ( x ) 求f ( x )的解析式.
x 1,
复合函数的定义:
如果 y 是 u 的函数，记为 y=f(u),u 又是x的函数，记为u=g(x),且g(x) 的值域与 f(u) 的定义域的交集不 空，则确定了一个y关于x的函 y=f[g(x)], 这时 y 叫 x 的复合函数， 其中u 叫中间变量，y=f(u) 叫外层 函数，u=g(x)叫内层函数. 即：x → u → y
练习: 若f ( x)的定义域是0,2, 求f ( x )的定义域
2
1.已知函数f ( x)的定义域是[2, 2]，求y f
x 的定义域
题型(二):已知f g x 的定义域, 求f ( x)的定义域
例2 :已知f 2x 1的定义域(1,5], 求f ( x)的定义域
答案： D
[精析考题] [例1]
－x，x≤0， (2011· 浙江高考)设函数f(x)＝ 2 x ，x＞0.
若f(a)＝4，则实数a＝ A．－4或－2 C．－2或4 B．－4或2
(
)
D．－2或2
[自主解答] 当a＞0时，有a2＝4，∴a＝2；
当a≤0时，有－a＝4，∴a＝－4，因此a＝－ 4或a＝2.
复合函数求定义域的几种题型：
题型(一):已知f ( x)的定义域, 求f [ g ( x)]的定义域
例1.若f ( x)的定义域是[0,2], 求f (2x 1)的定义域
解: 由题意知:
0 2x 1 2
1 3 x 2 2
故 : f ( 2 x 1)的定义域是 {x
1 3 x } 2 2
答案： A
1，x>0， 【例 2】►(2012· 福建)设 f(x)＝0，x＝0， －1，x<0，
1，x为有理数， g(x)＝ 0，x为无理数，
则 f(g(π))的值为
( A．1
)． B．0 D．π
C．－1
[审题视点] 先求g(π)，再求f(g(π))．
解析 根据题设条件， ∵ π 是无理数，
1．下列函数为奇函数的是( ) A．y＝－|x| B．y＝2－x 1 2 C．y＝ 3 D．y＝－x ＋8 x
解析： A、D两项，函数均为偶函数，B项中函 数为非奇非偶，而C项中函数为奇函数． 答案： C
2．已知函数f(x)＝x4，则其图象( ) A．关于x轴对称 B．关于y轴对称 C．关于原点对称 D．关于直线y＝x 对称 解析： f(－x)＝(－x)4＝x4＝f(x) ∴f(x)是偶函数，其图象关于y轴对 称． 答案： B
3 所以原不等式的解集为－∞，2.
函数单调性的简单应用
已知函数f(x)＝－x2＋2(a－1)x＋2在 区间(－∞，3]上是增函数，求实数a 的取值范围．
2．(1)如图给出了偶函数 y＝f(x)的局部 图象，则 f(1)________f(3)．(填“>”或 “<”)
3 2x，0≤x≤1 答案：f(x)＝ 3－3x，1≤x≤2 2
例4
1 已知 f(x)＝ － 1
x≥0 ，求不等式 x<0
x＋2<0 或 x－x－2≤5
x＋(x＋2)f(x＋2)≤5 的解集．
解
x＋2≥0 由题意知： x＋x＋2≤5
，
3 解之得－2≤x≤ 或 x<－2. 2
[例 3]
x2， －1≤x≤1， (12 分)已知 f(x)＝ 1， x＞1或x＜－1.
(1)画出 f(x)的图象； (2)求 f(x)的定义域和值域．
[思路点拨]
画出图象，直接从图象上观察得出定义域和值域．
[精解详析]
(1)利用描点法，作出f(x)的图象，如图所示．
(6分)
(2)由条件知，函数f(x)的定义域为R. 由图象知，当－1≤x≤1时，f(x)＝x2的值域为[0,1]， 当x>1或x<－1时，f(x)＝1， 所以f(x)的值域为[0,1]．
解析： (1)由 f(x)＝ (1－2a)x＋b 是 R 上的增函数， 1 得 1－2a＞ 0，即 a＜ . 2 (2)由题意得 m－1＜2m－ 1 ∴ m＞0. 2 (3)f(x )＝－x ＋2(a－ 1)x＋2 2 2 ＝－[x－ (a－1)] ＋ (a－ 1) ＋2. ∴ f(x)的单调增区间是 (－∞， a－1]． 又∵f(x)的单调增区间是 (－∞，3] ∴a－1＝ 3，∴a＝4.
－7，x∈－∞，－2， 7．作出 y＝2x－3，x∈－2，5， 7，x∈5，＋∞
的图象，并求 y 的值域．
－7，x∈－∞，－2]， 解：y＝2x－3，x∈－2，5]， 7，x∈5，＋∞. 值域为 y∈[－7,7]． 图象如下图．
|x|－x 8．已知函数 f(x)＝1＋ (－2<x≤2)． 2 (1)用分段函数的形式表示该函数； (2)画出该函数的图象； (3)写出该函数的值域．
0< x <2 0<3x<2 ⇔ 1 x< 2 0<x<2 0<x<2 3 ⇔ x<1 2
8分
，10 分
1 ∴0<x< .12 分 2
◎已知 f(x)是定义在[－1,1]上的增函数， 且 f(x－2)＜f(1－x)，求 x 的取值范围．
【正解】 由题意可知 － 1≤x－ 2≤1 ，解得 1≤x≤2，① － 1≤1－ x≤1 又 f(x)在 [－ 1,1]上是增函数，且 f(x－ 2)＜ f(1 － x )， 3 ∴x－2＜ 1－x，即 x＜ ，② 2 由①、②可知，所求自变量 x 的取值范围为
(2)如图给出奇函数 y＝f(x)的局部图象，则 f(－2) 的值是________．
∴g(π)＝0，∴f(g(π))＝f(0)＝0.
答案 B
3．设函数
f(x)＝
x，x≥0， －x，x＜0，
若 f(a)＋ ( )
f(－1)＝2，则 a＝ A．－3 C．－1 B．± 3 D．± 1
解析：若a≥0，则 a ＋1＝2，得a＝1；若a<0，则 －a ＋1＝2， 得a＝－1.
[答案] B
3．(2012· 衢州模拟)图中的图象所表示的函数的解析式
f(x)＝____________.
解析：由图象知每段为线段． 3 3 设f(x)＝ax＋b，把(0,0)，(1， 2 )和(1， 2 )，(2,0)分别代入求解 3 a＝ ， 2 b＝0， 3 a＝－ ， 2 b＝3.
2
3．(1)设函数 f(x)＝(1－2a)x＋b 是 R 上的增函数， 则有( ) 1 1 A． a ＜ B． a ＞ 2 2 1 1 C．a＜－ D．a＞－ 2 2 (2)设函数 f(x)是 R 上的减函数， 若 f(m－1)＞f(2m－ 1)，则实数 m 的取值范围是 ________． 2 (3)将本例改为函数 f(x)＝－x ＋2(a－1)x＋2 的单调 增区间是 (－∞，3]，则实数 a 的值是________．
则
1 f 的值为 f2
( 27 B．－ 16 D．18
)
15 A. 16 8 C. 9
1 1 解析：f(2)＝4， ＝ ， f2 4 故
1 1 1 15 2 f ＝f4＝1－4 ＝ . 16 f2
3 x1≤ x＜ . 2
利用函数奇偶性求解析式
若f(x)是定义在R上的奇函数，当x>0时， f(x)＝x2－2x＋3，求f(x)的解析式．
解析： 当 x<0 时，－x>0， 2 2 f(－ x)＝ (－ x) －2(－ x)＋3＝ x ＋2x＋ 3， 由于 f(x)是奇函数，故 f(x)＝－ f(－ x)， 2 所以 f(x)＝－x －2x－3. 2 即当 x<0 时， f(x)＝－x －2x－3. x2－ 2x＋3 x>0 故 f(x)＝0 x＝ 0 . 2 －x －2x－3 x<0
∵ y＝ f(x)， x∈ (－1,1)是奇函数， ∴ f(－ x)＝－f(x)， ∴ f(1－x)＋ f(1－ 3x)<0 可化为 f(1－x)< － f(1－3x) 即 f(1－ x)<f(3x－ 1).4 分
又∵ y＝ f(x)在 (－1,1)上是减函数， － 1<1－ x<1 ∴ f(1－x)<f(3x－1)⇔－1<1－3x<1 1－ x>3x－ 1
例2. f ( x ) ax 2 (3a 1) x a 2 在[1, )上是增函数， 求a的取值范围.
1 例3.设函数f ( x ) ，求其单调区间. x2
2x 例4.设函数f ( x ) , 求f ( x )的单调区间 x 1
1 , x 0, 2 x 1 例5.设函数f ( x ) 0, x 0, 求f ( x )的单调区间. 1 x , x 0, x
1 例4. f ( x ) x 的图象如下， x (1)证明(1, )为f ( x )的增区间； 1 (2)求f ( x )在[ , 2]上的最值. 3
a (3)研究y x (a 0)的图象和性质. x
例1.设f ( x ) x 2 2 x 3( x [2， 2])，求其单调区间
例4. f ( x )是偶函数,当x 0时, f ( x ) （1）求f (-1)的值； （2）当x 0时 , 求f ( x )的解析式.
x 1,
例5. f ( x )是R上的奇函数,当x 0时, f ( x ) 求f ( x )的解析式.
x 1,
复合函数的定义:
如果 y 是 u 的函数，记为 y=f(u),u 又是x的函数，记为u=g(x),且g(x) 的值域与 f(u) 的定义域的交集不 空，则确定了一个y关于x的函 y=f[g(x)], 这时 y 叫 x 的复合函数， 其中u 叫中间变量，y=f(u) 叫外层 函数，u=g(x)叫内层函数. 即：x → u → y
练习: 若f ( x)的定义域是0,2, 求f ( x )的定义域
2
1.已知函数f ( x)的定义域是[2, 2]，求y f
x 的定义域
题型(二):已知f g x 的定义域, 求f ( x)的定义域
例2 :已知f 2x 1的定义域(1,5], 求f ( x)的定义域
答案： D
[精析考题] [例1]
－x，x≤0， (2011· 浙江高考)设函数f(x)＝ 2 x ，x＞0.
若f(a)＝4，则实数a＝ A．－4或－2 C．－2或4 B．－4或2
(
)
D．－2或2
[自主解答] 当a＞0时，有a2＝4，∴a＝2；
当a≤0时，有－a＝4，∴a＝－4，因此a＝－ 4或a＝2.
复合函数求定义域的几种题型：
题型(一):已知f ( x)的定义域, 求f [ g ( x)]的定义域
例1.若f ( x)的定义域是[0,2], 求f (2x 1)的定义域
解: 由题意知:
0 2x 1 2
1 3 x 2 2
故 : f ( 2 x 1)的定义域是 {x
1 3 x } 2 2
答案： A
1，x>0， 【例 2】►(2012· 福建)设 f(x)＝0，x＝0， －1，x<0，
1，x为有理数， g(x)＝ 0，x为无理数，
则 f(g(π))的值为
( A．1
)． B．0 D．π
C．－1
[审题视点] 先求g(π)，再求f(g(π))．
解析 根据题设条件， ∵ π 是无理数，
1．下列函数为奇函数的是( ) A．y＝－|x| B．y＝2－x 1 2 C．y＝ 3 D．y＝－x ＋8 x
解析： A、D两项，函数均为偶函数，B项中函 数为非奇非偶，而C项中函数为奇函数． 答案： C
2．已知函数f(x)＝x4，则其图象( ) A．关于x轴对称 B．关于y轴对称 C．关于原点对称 D．关于直线y＝x 对称 解析： f(－x)＝(－x)4＝x4＝f(x) ∴f(x)是偶函数，其图象关于y轴对 称． 答案： B
3 所以原不等式的解集为－∞，2.
函数单调性的简单应用
已知函数f(x)＝－x2＋2(a－1)x＋2在 区间(－∞，3]上是增函数，求实数a 的取值范围．