03-11年吉林省中考数学压轴题汇编

辽宁吉林黑龙江3省2011年中考数学试题分类解析汇编专题12：押轴题解答题1. （辽宁沈阳14分）如图，已知抛物线y =x 2＋b x ＋c 与x 轴交于A 、B 两点（A 点在B 点左侧），与 y 轴交于点C （0，－3），对称轴是直线x =1，直线BC 与抛物线的对称轴交于点D ． ⑴求抛物线的函数表达式； ⑵求直线BC 的函数表达式；⑶点E 为y 轴上一动点，CE 的垂直平分线交CE 于点F ，交抛物线于P 、Q 两点，且点P 在第三象限． ①当线段PQ=34AB 时，求tan∠CED 的值； ②当以点C 、D 、E 为顶点的三角形是直角三角形时，请直接写出点P 的坐标． 温馨提示：考生可以根据第⑶问的题意，在图中补出图形，以便作答．【答案】解：⑴∵抛物线y =x 2＋b x ＋c 的对称轴为直线x =1，∴1221b ba -=-=⨯。

∴b =－2。

∵抛物线与y 轴交于点C （0，－3），∴c =－3。

∴抛物线的函数表达式为y =x 2－2x －3。

⑵∵抛物线与x 轴交于A 、B 两点，当y =0时，x 2－2x －3=0．∴x 1=－1,x 2=3。

∵A 点在B 点左侧，∴A（－1，0），B （3，0）。

设过点B （3，0）、C （0，－3）的直线的函数表达式为y =k x ＋m 。

则033k mm =+⎧⎨-=⎩，∴13k m =⎧⎨=-⎩∴直线BC 的函数表达式为y =x －3。

⑶①∵AB=4，PQ=34AB ，∴PQ=3。

∵PQ⊥y 轴，∴PQ∥x 轴，则由抛物线的对称性可得点P 的横坐标为12-。

∴P（12-，74-），∴F（0，74-）。

∴FC=3－OF=3－7544=。

∵PQ 垂直平分CE 于点F ，∴CE=2FC=52。

∵点D 在直线BC 上，∴当x =1时，y =－2，则D （1，－2）。

过点D 作DG⊥CE 于点G ，则DG=1，CG=1。

∴GE=CE－CG=52－1=32。

（1）矩形OBCD在如图所示的平面直角坐标系中，其中三个顶点分别是O（0，0），B（0，3），D（-2，0），直线AB交x轴于点A（1，0）．（1）求直线AB的解析式；（2）求过A、B、C三点的抛物线的解析式，并写出其顶点E的坐标；（3）过点E作x轴的平行线EF交AB于点F，将直线AB沿x轴向右平移2个单位，与x轴交于点G，与EF交于点H，请问过A、B、C三点的抛物线上是否存在点P，是的S△PAG= S△PEH，若存在，求点P 的坐标；若不存在，请说明理由．解答：解：（1）设经过A（1，0），B（0，3）的直线AB的解析式为y=kx+3；设k+3=0，解得k=-3．∴直线AB的解析式为y=-3x+3．（2）进过A、B、C三点的抛物线的解析式为y=ax2+bx+3∵D（-2，0），B（0，3）是矩形OBCD的顶点，∴C（-2，3）；则解得∴抛物线的解析式为y=-x2-2x+3=-（x+1）2+4，∴顶点E（-1，4）．（3）存在．解法1：∵EH∥x轴，直线AB交EH于点F．∴将y=4代入y=-3x+3得F（- ，4）∴EF=有平移性质可知FH=AG=2∴EH=EF+FH= +2=设点P的纵坐标为y p①当点P在x轴上方时，有S△PAG= S△PEH得×2×y p= ×××（4-y p）解得y p=2∴-x2-2x+3=2解得x1=-1+ ，x2=-1-∴存在点P1（-1+ ，2），点P2（-1- ，2）②当点P在x轴下方时由S△PAG= S△PEH得×2×（-y p）=∴-y p=4-y p∴y p不存在，∴点P不能在x轴下方．综上所述，存在点，使得S△PAG= S△PEH．解法2：∵EH∥x轴，直线AB交BH于点F．∴将y=4代入y=-3x+3得F（- ，4），∴EF= ．由平移性质可知FH=AC=2．∴EH=EF+FH= +2=设点P到EH和AG的距离分别为h1和h2由S△PAG= S△PEH得∴h1=h2显然，点P只能在x轴上方，∴点P的纵坐标为2∴-x2-2x+3=2解得，∴存在点，点使得S△PAG= S△PEH．（2）如图，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AE⊥BC于点E．DF⊥BC于点F．AD=2cm，BC=6cm，AE=4cm．点P、Q分别在线段AE、DF上，顺次连接B、P、Q、C，线段BP、PQ、QC、CB所围成的封闭图形记为M，若点P在线段AE上运动时，点Q也随之在线段DF上运动，使图形M的形状发生改变，但面积始终为10cm2，设EP=xcm，FQ=ycm．解答下列问题：（1）直接写出当x=3时y的值；（2）求y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；（3）当x取何值时，图形M成为等腰梯形？图形M成为三角形？（4）直接写出线段PQ在运动过程中所能扫过的区域的面积．解答：解：（1）由等腰梯形的性质得：BE=EF=FC=2，∴S M=S△BPE+S△QFC+S梯形QFEP= BE•x FC•y+ •EF= ×2x+ ×2y+ ×2=2（x+y），把S M=10，x=3代入上式，解得y=2．（2）由等腰梯形的性质得：BE=EF=FC=2，∵S△BEP+S梯形PEFQ+S△FCQ=S梯形M，∴×2x+ （x+y）×2+ ×2y=10，∴y=-x+5，由，得1≤x≤4．（3）若图形M为等腰梯形（如图1），则EP=FQ，即x=-x+5，解得x= ．∴当x= 时，图形M为等腰梯形．若图形M为等腰三角形，分两种情形：①当点P、Q、C在一条直线上时（如图2），EP是△BPC的高，∴BC•EP=10，即×6x=10，解得x= ；②当点B、P、Q在一条直线上时（如图3），FQ是△BQC的高，∴BC•F Q=10，即×6×（-x+5）=10，解得x= ；∴当x= 或时，图形M为三角形．（4）线段PQ扫过的部分是两个全等的三角形，且都是以x最小时AP的长为底，AD的长为高，在（2）中已经求得x的取值范围为1≤x≤4，所以此时AP=AE-x min=3，那么线段PQ扫过的面积即为：2S=2××3×1=3cm2；评分说明：（4）中不写单位不扣分，线段PQ在运动过程中所能扫过的区域为图4中阴影部分．（3）（1）操作发现：如图，矩形ABCD中，E是AD的中点，将△ABE沿BE折叠后得到△GBE，且点G在矩形ABCD内部．小明将BG延长交DC于点F，认为GF=DF，你同意吗？说明理由．（2）问题解决：保持（1）中的条件不变，若DC=2DF，求的值；（3）类比探求：保持（1）中条件不变，若DC=nDF，求的值．解答：解：（1）同意，连接EF，则根据翻折不变性得，∠EGF=∠D=90°，EG=AE=ED，EF=EF，∴Rt△EGF≌Rt△EDF，∴GF=DF；（2）由（1）知，GF=DF，设DF=x，BC=y，则有GF=x，AD=y∵DC=2DF，∴CF=x，DC=AB=BG=2x，∴BF=BG+GF=3x；在Rt△BCF中，BC2+CF2=BF2，即y2+x2=（3x）2∴y=2 x，∴；（3）由（1）知，GF=DF，设DF=x，BC=y，则有GF=x，AD=y∵DC=n•DF，∴BF=BG+GF=（n+1）x在Rt△BCF中，BC2+CF2=BF2，即y2+[（n-1）x]2=[（n+1）x]2∴y=2x ，∴或．（4）在平面直角坐标系中，已知抛物线经过A（-4，0），B（0，-4），C（2，0）三点．（1）求抛物线的解析式；（2）若点M为第三象限内抛物线上一动点，点M的横坐标为m，△AMB的面积为S、求S关于m的函数关系式，并求出S的最大值．（3）若点P是抛物线上的动点，点Q是直线y=-x上的动点，判断有几个位置能够使得点P、Q、B、O 为顶点的四边形为平行四边形，直接写出相应的点Q的坐标．解答：解：（1）设抛物线的解析式为y=ax2+bx+c（a≠0），则有解得，∴抛物线的解析式为y= x2+x-4．（2）过点M作MD⊥x轴于点D，设M点的坐标为（m，n），则AD=m+4，MD=-n，n= m2+m-4，∴S=S△AMD+S梯形DMBQ-S△ABO==-2n-2m-8=-2×=-m2-4m（-4＜m＜0）；∴S最大值=4．（3）设P（x，x2+x-4）．①如图1，当OB为边时，根据平行四边形的性质知PQ∥OB，∴Q的横坐标等于P的横坐标，又∵直线的解析式为y=-x，则Q（x，-x）．由PQ=OB，得|-x-（x2+x-4）|=4，解得x=0，-4，-2±2 ．x=0不合题意，舍去．由此可得Q（-4，4）或（-2+2 ，2-2 ）或（-2-2 ，2+2 ）；②如图2，当BO为对角线时，易知A与P应该重合，OP=4．四边形PBQO为平行四边形则BQ=OP=4，Q横坐标为4，代入y=-x得出Q为（4，-4）．故满足题意的Q点的坐标有四个，分别是（-4，4），（-2+2 ，2-2 ），（-2-2 ，2+2 ），（4，-4），．（5）（2010•三明）如图①，抛物线经过点A（12，0）、B（-4，0）、C（0，-12）．顶点为M，过点A的直线y=kx-4交y轴于点N．（1）求该抛物线的函数关系式和对称轴；（2）试判断△AMN的形状，并说明理由；（3）将AN所在的直线l向上平移．平移后的直线l与x轴和y轴分别交于点D、E（如图②）．当直线l 平移时（包括l与直线AN重合），在抛物线对称轴上是否存在点P，使得△PDE是以DE为直角边的等腰直角三角形？若存在，直接写出所有满足条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．解答：解：（1）设抛物线的函数关系式为y=ax2+bx+c；∵抛物线过点C（0，-12），∴c=-12；（1分）又∵它过点A（12，0）和点B（-4，0），∴，解得；∴抛物线的函数关系式为y= x2-2x-12，（3分）抛物线的对称轴为x=4．（5分）（2）解法一：∵在y=kx-4中，当x=0时，y=-4，∴y=kx-4与y轴的交点N（0，-4）；（6分）∵y= x2-2x-12= （x-4）2-16，∴顶点M（4，-16）；（7分）∵AM2=（12-4）2+162=320，AN2=122+42=160，MN2=42+（16-4）2=160，∴AN2+MN2=160+160=320=AM2，AN=MN；（9分）∴△AMN是等腰直角三角形．（10分）解法二：过点M作MF⊥y轴于点F，则有MF=4，NF=16-4=12，OA=12，ON=4；（6分）∴MF=ON，NF=OA，（7分）又∵∠AON=∠MFN=90°，∴△AON≌△NFM；（8分）∴∠MNF=∠NAO，AN=MN；（9分）∵∠NAO+∠ANO=90°，即∠MNF+∠ANO=90°，∴∠MNA=90；∴△AMN是等腰直角三角形．（10分）（3）存在，点P的坐标分别为：（4，-16），（4，-8），（4，-3），（4，6）（14分）参考解答如下：∵y=kx-4过点A（12，0），∴k= ；直线l与y= x-4平行，设直线l的解析式为y= x+b；则它与x轴的交点D（-3b，0），与y轴交点E（0，b）；∴OD=3OE；设对称轴与x轴的交点为K；（Ⅰ）以点E为直角顶点如图；①根据题意，点M（4，-16）符合要求；②过P作PQ⊥y轴，当△PDE为等腰直角三角形时，有Rt△ODE≌Rt△QEP，∴OE=PQ=4，QE=OD；∵在Rt△ODE中，OD=3OE，∴OD=12，QE=12，∴OQ=8，∴点P的坐标为（4，-8）；（Ⅱ）以点D为直角顶点；同理在图①中得到P（4，6），在图②中可得P（4，-3）；综上所得：满足条件的P的坐标为：（4，-16），（4，-8），（4，-3），（4，6）．（6）对非负实数x“四舍五入”到个位的值记为＜x＞，即：当n为非负整数时，如果则＜x＞=n．如：＜0＞=＜0.48＞=0，＜0.64＞=＜1.493＞=1，＜2＞=2，＜3.5＞=＜4.12＞=4，…试解决下列问题：（1）填空：①＜π＞= （π为圆周率）；②如果＜2x-1＞=3，则实数x的取值范围为（2）①当x≥0，m为非负整数时，求证：＜x+m＞=m+＜x＞；②举例说明＜x+y＞=＜x＞+＜y＞不恒成立；（3）求满足＜x＞= 的所有非负实数x的值；（4）设n为常数，且为正整数，函数的自变量x在n≤x＜n+1范围内取值时，函数值y为整数的个数记为a，满足＜＞=n的所有整数k的个数记为b．求证：a=b=2n解答：解：（1）①3；②由题意得：2.5≤2x-1＜3.5，解得：；（2）①证明：设＜x＞=n，则为非负整数；又，且n+m为非负整数，∴＜x+m＞=n+m=m+＜x＞．②举反例：＜0.6＞+＜0.7＞=1+1=2，而＜0.6+0.7＞=＜1.3＞=1，∴＜0.6＞+＜0.7＞≠＜0.6+0.7＞，∴＜x+y＞=＜x＞+＜y＞不一定成立；（3）∵x≥0，为整数，设x=k，k为整数，则∴∴，∵O≤k≤2，∴k=0，1，2，∴x=0，，．（4）∵函数，n为整数，当n≤x＜n+1时，y随x的增大而增大，∴，即，①∴，∵y为整数，∴y=n2-n+1，n2-n+2，n2-n+3，…，n2-n+2n，共2n个y，∴a=2n，②∵k＞0，＜＞=n，则，∴，③比较①，②，③得：a=b=2n．（7）如图，已知平面直角坐标系xOy，抛物线y=-x2+bx+c过点A（4，0）、B（1，3）．（1）求该抛物线的表达式，并写出该抛物线的对称轴和顶点坐标；（2）记该抛物线的对称轴为直线l，设抛物线上的点P（m，n）在第四象限，点P关于直线l的对称点为E，点E关于y轴的对称点为F，若四边形OAPF的面积为20，求m、n的值．解答：解：（1）将A（4，0）、B（1，3）两点坐标代入抛物线的方程得：，解之得：b=4，c=0；所以抛物线的表达式为：y=-x2+4x，将抛物线的表达式配方得：y=-x2+4x=-（x-2）2+4，所以对称轴为x=2，顶点坐标为（2，4）；（2）点p（m，n）关于直线x=2的对称点坐标为点E（4-m，n），则点E关于y轴对称点为点F坐标为（m-4，n），则FP=OA=4，即FP、OA平行且相等，所以四边形OAPF是平行四边形；S=OA•|n|=20，即|n|=5；因为点P为第四象限的点，所以n＜0，所以n=-5；代入抛物线方程得m=-1（舍去）或m=5，故m=5，n=-5．（8）25、如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°．半径为1的圆A与边AB相交于点D，与边AC相交于点E，连接DE并延长，与线段BC的延长线交于点P．（1）当∠B=30°时，连接AP，若△AEP与△BDP相似，求CE的长；（2）若CE=2，BD=BC，求∠BPD的正切值；（3）若，设CE=x，△ABC的周长为y，求y关于x的函数关系式．分析：（1）当∠B=30°时，∠A=60°，此时△ADE是等边三角形，则∠PEC=∠AED=60°，由此可证得∠P=∠B=30°；若△AEP与△BDP相似，那么∠EAP=∠EPA=∠B=∠P=30°，此时EP=EA=1，即可在Rt △PEC中求得CE的长；（2）若BD=BC，可在Rt△ABC中，由勾股定理求得BD、BC的长；过C作CF∥DP交AB于F，易证得△ADE∽△AFC，根据得到的比例线段可求出DF的长；进而可通过证△BCF∽△BPD，根据相似三角形的对应边成比例求得BP、BC的比例关系，进而求出BP、CP的长；在Rt△CEP中，根据求得的CP 的长及已知的CE的长即可得到∠BPD的正切值；（3）过点D作DQ⊥AC于Q，可用未知数表示出QE的长，根据∠BPD（即∠EDQ）的正切值即可求出DQ的长；在Rt△ADQ中，可用QE表示出AQ的长，由勾股定理即可求得EQ、DQ、AQ的长；易证得△ADQ∽△ABC，根据得到的比例线段可求出BD、BC的表达式，进而可根据三角形周长的计算方法得到y、x的函数关系式．解答：（1）解：∵∠B=30°，∠ACB=90°，∴∠BAC=60°．∵AD=AE，∴∠AED=60°=∠CEP，∴∠EPC=30°．∴三角形BDP为等腰三角形．∵△AEP与△BDP相似，∴∠EPA=∠DPB=30°，∴AE=EP=1．∴在Rt△ECP中，EC= EP= ；（2）设BD=BC=x．在Rt△ABC中，由勾股定理，得：（x+1）2=x2+（2+1）2，解之得x=4，即BC=4．过点C作CF∥DP．∴△ADE与△AFC相似，∴，即AF=AC，即DF=EC=2，∴BF=DF=2．∵△BFC与△BDP相似，∴，即：BC=CP=4．∴tan∠BPD= ．（3）过D点作DQ⊥AC于点Q．则△DQE与△PCE相似，设AQ=a，则QE=1-a．∴且，∴DQ=3（1-a）．∵在Rt△ADQ中，据勾股定理得：AD2=AQ2+DQ2即：12=a2+[3（1-a）]2，解之得．∵△ADQ与△ABC相似，∴．∴．∴三角形ABC的周长，即：y=3+3x，其中x＞0．。

某某某某某某3省2011年中考数学试题分类解析汇编专题10：四边形 一、选择题1. （某某某某4分）如图，矩形ABCD 中，AB ＜BC ，对角线AC 、BD 相交于点O ，则图中的等腰三角形有A ．2个B ．4个C ．6个D ．8个 【答案】B 。

【考点】矩形的性质，等腰三角形的判定。

【分析】根据矩形的性质得出OA=OB=OC=OD ，从而得出图中等腰三角形中的个数：∵矩形ABCD 中，AB ＜BC ，对角线AC 、BD 相交于点O ，∴OA=OB=OC=OD，∴图中的等腰三角形有△AOB、△AOD、△COD、△BOC 四个。

故选B 。

2.（某某某某3分）如图，矩形ABCD 中，AB ＝4，BC ＝5，AF 平分∠DAE，EF⊥AE，则CF 等于A ．23B ．1C ．32D ．2【答案】C 。

【考点】矩形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，程，角平分线的性质，相似三角形的判定和性质。

【分析】根据矩形的性质得到AD=BC=5，∠D=∠B=∠C=90°，根据三角形的角平分线的性质得到DF=EF ，由全等三角形的判定和性质求出AE==AD=5，由勾股定理求出BE=2222AE AB 54-=- =3，CE=2，从而由△ABE∽△ECF，得出AB BE 433,,CF CE CF 2CF 2==∴= 即。

故选C 。

3.（某某某某3分）如图，正方形ABCD 的边长是4，∠DAC 的平分线交DC 于点E ，若点P 、Q 分别是AD 和AE 上的动点，则DQ+PQ 的最小值A 、2B 、4C 、22D 、42【答案】C 。

【考点】轴对称的性质，正方形的的性质，勾股定理，垂直线段的性质，三角形的性质。

【分析】过D作AE的垂线交AE于F，交AC于D′，再过D′作AP′⊥AD，由角平分线的性质可得出D′是D关于AE的对称点，A D′=AD=4。

而根据垂直线段最短的性质和三角形两边之和大于第三边的性质，可知D′P′即为DQ+PQ的最小值。

【001】如图，已知抛物线2(1)33y a x =-+（a ≠0）经过点(2)A -，0，抛物线的顶点为D ，过O 作射线OM AD ∥．过顶点D 平行于x 轴的直线交射线OM 于点C ，B 在x 轴正半轴上，连结BC ． （1）求该抛物线的解析式； （2）若动点P 从点O 出发，以每秒1个长度单位的速度沿射线OM 运动，设点P 运动的时间为()t s ．问当t 为何值时，四边形DAOP 分别为平行四边形？直角梯形？等腰梯形？（3）若OC OB =，动点P 和动点Q 分别从点O 和点B 同时出发，分别以每秒1个长度单位和2个长度单位的速度沿OC 和BO 运动，当其中一个点停止运动时另一个点也随之停止运动．设它们的运动的时间为t ()s ，连接PQ ，当t 为何值时，四边形BCPQ 的面积最小？并求出最小值及此时PQ 的长．xyMCDPQOAB【002】如图16，在Rt △ABC 中，∠C =90°，AC = 3，AB = 5．点P 从点C 出发沿CA 以每秒1个单位长的速度向点A 匀速运动，到达点A 后立刻以原来的速度沿AC 返回；点Q 从点A 出发沿AB 以每秒1个单位长的速度向点B 匀速运动．伴随着P 、Q 的运动，DE 保持垂直平分PQ ，且交PQ 于点D ，交折线QB -BC -CP 于点E ．点P 、Q 同时出发，当点Q 到达点B 时停止运动，点P 也随之停止．设点P 、Q 运动的时间是t 秒（t ＞0）．（1）当t = 2时，AP = ，点Q 到AC 的距离是 ； （2）在点P 从C 向A 运动的过程中，求△APQ 的面积S 与t 的函数关系式；（不必写出t 的取值范围） （3）在点E 从B 向C 运动的过程中，四边形QBED 能否成为直角梯形？若能，求t 的值．若不能，请说明理由； （4）当DE 经过点C 时，请直接．．写出t 的值．【004】如图，已知直线128:33l y x =+与直线2:216l y x =-+相交于点C l l 12，、分别交x 轴于A B 、两点．矩形DEFG 的顶点D E 、分别在直线12l l 、上，顶点F G 、都在x 轴上，且点G 与点B 重合．（1）求ABC △的面积；（2）求矩形DEFG 的边DE 与EF 的长；（3）若矩形DEFG 从原点出发，沿x 轴的反方向以每秒1个单位长度的速度平移， 设移动时间为(012)t t ≤≤秒，矩形DEFG 与ABC △重叠部分的面积为S ，求S 关AC BPQED图16t 的函数关系式，并写出相应的t 的取值范围．【005】如图1，在等腰梯形ABCD 中，AD BC ∥，E 是AB 的中点，过点E 作EF BC ∥交CD 于点F ．46AB BC ==，，60B =︒∠. （1）求点E 到BC 的距离；（2）点P 为线段EF 上的一个动点，过P 作PM EF ⊥交BC 于点M ，过M 作MN AB ∥交折线ADC 于点N ，连结PN ，设EP x =.①当点N 在线段AD 上时（如图2），PM N △的形状是否发生改变？若不变，求出PMN △的周长；若改变，请说明理由； ②当点N 在线段DC 上时（如图3），是否存在点P ，使PMN △为等腰三角形？若存在，请求出所有满足要求的x 的值；若不存在，请说明理由.A DB EO C F x y1l 2l （G ） （第4题）A D E BFC图4（备用）AD E BF C图5（备用）A D E BF C图1 图2A D EB FC P NM图3 A D EBFCPNM （第25题）【006】如图13，二次函数)0(2<++=p q px x y 的图象与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于点C （0，-1），ΔABC 的面积为45。

14．边长为2的两种正方形卡片如图①所示,卡片中的扇形半径均为2,
图②是交替摆放A、B两种卡片得到的图案．若摆放这个图案共用两
种卡片21张,则这个图案中阴影部分的面积之和为(结
果保留 )．
三、解答题(每小题5分,共20分)
15．先化简,再求值: ＋ ,其中x＝ ．
16．小华有3张卡片,小明有2张卡片,卡片上的数字如图所示．小华和小明分别从自己的卡片中随机抽取一张．请你用画树状图或列表的方法,求抽取的两张卡片上的数字和为6的概率．
16．解:
或
(3分)
P(抽取的两张卡片上的数字和为6)= = ．(5分)
17．解:设小矩形花圃的长为xm,宽为ym．
根据题意,得 (3分)
解得
答:小矩形花圃的长为4m,宽为2m．(5分)
18.解:在△ABC中,∠C= , ,
∵∠A= ,AB=2.1,
∴
(3分)
∵BD=0.9,
∴CD= BC－BD=1.701－0.9=0.801 0.8．
2011年吉林省长春市中考数学试题
一、选择题(每小题3分,共24分)
1．－2的绝对值等于【】
A．－ B． C．－2D．2
2．某汽车参展商为了参加第八届中国(长春)国际汽车博览会,印制了105000张宣传彩页．105000这个数字用科学记数法表示为【】
A．10.5×104B．1.05×105C．1.05×106D．0.105×106
(1)用含有x的代数式表示CE的长．
(2)求点F与点B重合时x的值．
(3)当点F在线段CB上时,设四边形DECP与四边形DEFB重叠部分图形的面积为y(平方单位)．求y与x之间的函数关系式．
(4)当x为某个值时,沿PD将以点D、E、F、B为顶点的四边形剪开,得到两个图形,用这两个图形拼成不重叠且无缝隙的图形恰好是三角形．请直接写出所有符合上述条件的x的值．

2011年全国各地数学中考题汇编——压轴题（黄冈市2011）24．（14分）如图所示，过点F （0，1）的直线y =kx ＋b 与抛物线214y x =交于M （x 1，y 1）和N （x 2，y 2）两点（其中x 1＜0，x 2＜0）．⑴求b 的值． ⑵求x 1•x 2的值⑶分别过M 、N 作直线l ：y =－1的垂线，垂足分别是M 1、N 1，判断△M 1FN 1的形状，并证明你的结论．⑷对于过点F 的任意直线MN ，是否存在一条定直线m ，使m 与以MN 为直径的圆相切．如果有，请法度出这条直线m 的解析式；如果没有，请说明理由．答案：24．解：⑴b =1⑵显然11x x y y =⎧⎨=⎩和22x x y y =⎧⎨=⎩是方程组2114y kx y x =+⎧⎪⎨=⎪⎩的两组解，解方程组消元得21104x kx --=，依据“根与系数关系”得12x x =－4 ⑶△M 1FN 1是直角三角形是直角三角形，理由如下：由题知M 1的横坐标为x 1，N 1的横坐标为x 2，设M 1N 1交y 轴于F 1，则F 1M 1•F 1N 1=－x 1•x 2=4，而FF 1=2，所以F 1M 1•F 1N 1=F 1F 2，另有∠M 1F 1F =∠FF 1N 1=90°，易证Rt △M 1FF 1∽Rt △N 1FF 1，得∠M 1FF 1=∠FN 1F 1，故∠M 1FN 1=∠M 1FF 1＋∠F 1FN 1=∠FN 1F 1＋∠F 1FN 1=90°，所以△M 1FN 1是直角三角形．⑷存在，该直线为y =－1．理由如下： 直线y =－1即为直线M 1N 1． 如图，设N 点横坐标为m ，则（黄石市2011年）24.（本小题满分9分）已知⊙1O 与⊙2O 相交于A 、B 两点，点1O在第22题图第22题解答用图⊙2O 上，C 为⊙2O 上一点（不与A ，B ，1O 重合），直线CB 与⊙1O 交于另一点D 。

2011年吉林省中考数学试卷参考答案与试题解析一、填空题（每小题2分，共20分）1．（2分）（2011•吉林）如图，数轴上的点A向左移动2个单位长度得到点B，则点B表示的数是．【考点】：数轴M114．【难易度】：容易题．【分析】：由图知，点A在数轴上的位置为1，而点A向左移动2个单位长度得到点B，则点B表示的数为1﹣2=﹣1．【解答】：答案为﹣1．【点评】：本题考查了数轴上点的相关计算；理解实数与数轴的对应是解答本题的关键。

2．（2分）（2011•吉林）长白山自然保护区面积约为215000公顷，用科学记数法表示为．【考点】：科学记数法M11B．【难易度】：容易题【分析】：科学记数法就是将一个数字表示成（a×10的n次幂的形式），其中1≤|a|＜10，n 表示整数．n为整数位数减1，即从左边第一位开始，在首位非零的后面加上小数点，再乘以10的n次幂。

【解答】：答案2.15×105．【点评】：此题主要考查了科学记数法．科学记数法是将一个数表示为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，解答的关键是要正确确定a的值以及n的值．3．（2分）（2011•吉林）不等式2x﹣5＜3的解集是．【考点】：一元一次不等式（组）的解及解集M12K．【难易度】：容易题．【分析】：由2x﹣5＜3，移项合并同类项得得：2x＜8，两边同时除以2得x＜4，则不等式的解集为x＜4．【解答】：答案为：x＜4．【点评】：本题主要考查了一元一次不等式（组）的解及解集，能熟练地运用解不等式的步骤解不等式是解答本题的关键．4．（2分）（2011•吉林）方程=2的解是x=．【考点】：解可化为一元一次方程的分式方程M12B．【难易度】：容易题【分析】：两边同时乘以x+1，得：x=2（x+1），去括号得：x=2x+2，移项得：x﹣2x=2，合并同类项得：﹣x=2，两边同时乘以-1，得x=﹣2，检验：把x=﹣2代入最简公分母x+1≠0 【解答】：答案x=﹣2．【点评】：此题主要考查了解分式方程，熟知解分式方程的步骤是解答本题的关键，注意解完方程后需要验根。

2021年吉林省白城市中考数学压轴题总复习中考数学压轴题是想获得高分甚至满分必须攻破的考题，得分率低，需要引起重视。

从近10年中考压轴题分析可得中考压轴题主要考查知识点为二次函数，圆，多边形，相似，锐角三角形等。

预计2021年中考数学压轴题依然主要考查这些知识点。

1．已知直线y＝kx+2k+4与抛物线y=1 2x
2
（1）求证：直线与抛物线有两个不同的交点；
（2）设直线与抛物线分别交于A，B两点．
①当k=−12时，在直线AB下方的抛物线上求点P，使△ABP的面积等于5；
②在抛物线上是否存在定点D使∠ADB＝90°？若存在，求点D到直线AB的最大距离；若不存在，请你说明理由．
2．在如图平面直角坐标系中，矩形OABC的顶点B的坐标为（4，2），OA、OC分别落在x 轴和y轴上，OB是矩形的对角线．将△OAB绕点O逆时针旋转，使点B落在y轴上，
得到△ODE，OD与CB相交于点F，反比例函数y=k
x（x＞0）的图象经过点F，交AB
于点G．
（1）求k的值和点G的坐标；
（2）连接FG，则图中是否存在与△BFG相似的三角形？若存在，请把它们一一找出来，并选其中一种进行证明；若不存在，请说明理由；
（3）在线段OA上存在这样的点P，使得△PFG是等腰三角形．请直接写出点P的坐标．。

反比例函数问题（选择题最后一道压轴题）1如图，在平面直角坐标系中，点A 、B 分别在第二象限和第一象限，AB 与x 轴平行，，OA=3，OB=4，函数)0(1<=x x k y 和)0(2>=x x k y 的图象分别经过点A 、B ，则21k k 的值为（）43.A 43.-B 169.C 169.-D 2如图，矩形的顶点A,B 在x 轴上，且关于y 轴对称，反比例函数)0(1>=x x k y 的图像经过C 点，反比函数)0(2<=x xk y 的图像分别与AD ，CD 交于点E ，F ，若7=∆BEF S ，0321=+k k ，则1k 等于3,如图所示,平行四边形ABCD 的两个顶点A,D 分别落在反比例函数x k y =与xy 3=的图象上，边BC 在x 轴上，平行四边行ABCD 的面积为5，那么k 值为4如图，四边形OABF 中，o 90=∠=∠B OAB ，点A 在x 轴上，双曲线x k y =点过点F ，交AB 点E ，连接EF 。

若32=OA BF ，4=∆BEF S ，则k 的值为（）A.6B.8C.12D.16二次函数抛物线问题1、如图,在平面直角坐标系中,点A .B 的坐标分别为A (1,0)、B (3,0).抛物线4222-+-=m mx x y 的顶点为P ，与y 轴的交点为Q.(1)填空：点P 的坐标为___;点Q 的坐标为___(均用含m 的代数式表示)(2)当抛物线经过点A 时，求点Q 的坐标。

(3)连接QA 、QB ，设△QAB 的面积为S ，当抛物线与线段AB 有公共点时，求S 与m 之间的函数关系式。

(4)点P 、Q 不重合时,以PQ 为边作正方形PQMN (P 、Q 、M 、N 分别按顺时针方向排列)。

当正方形PQMN 的四个顶点中，位于x 轴两侧或y 轴两侧的顶点个数相同时，直接写出此时m 的取值范围。

2、如图.抛物线c bx ax y ++=2经过点A （-3，0），C （0，3），并且对称轴为x =-1.点P 为x 轴上方的抛物线上一点，且在对称轴的左侧，过点P 作PQ ∥AB 交抛物线于点Q ，分别过点P ，Q 作x 轴的垂线PM 和QN ，垂足为M 、N ，得到了矩形PQNM ，设点P 的横坐标为m.（1）求抛物线的函数关系式；（2）求矩形PQNM 的周长C （用含m 的代数式表示），并求出当周长取最大值时m 的值；（3）过点A 、C 作直线，交PM 于点E ，与PQ 或QN 交于点F ，若直线AC 将矩形PQNM 的周长分成1：2的两部分，求m 的值.（4）在（2）的条件下，当矩形PQNM 的周长最大时，将矩形中直线AC 上方的图形绕点C 逆时针旋转）（o 180α0α≤<，直线PE 与直线AC 交于点G ，与y 轴交于点H ，当△CGH 为等腰三角形时，请直接写出α的度数。

吉林省十年中考数学试题及答案标题：吉林省十年中考数学试题及答案
在这篇文章中，将为您提供吉林省过去十年的中考数学试题及答案。

这些试题是基于吉林省中考数学考试的题型和要求所编写的，旨在帮
助学生更好地了解吉林省中考数学的考试形式和内容。

1. 第一年的数学试题及答案
试题：
（这里将列举第一年数学试题的题目和选项，可以使用表格或者列
举的方式呈现）
答案：
（对于每道题目列举出正确选项）
2. 第二年的数学试题及答案
试题：
（这里将列举第二年数学试题的题目和选项）
答案：
（对于每道题目列举出正确选项）
依此类推，我们将继续列举第三年至第十年的数学试题及答案。

本文的目的是通过提供这些试题及答案，让学生对吉林省中考数学
的考试形式和题型有更深入的了解。

同时，通过分析解答过程，学生
也能够更好地理解数学概念和解题方法，为中考复习和备考提供帮助。

通过上述十年的数学试题及答案，我们可以发现吉林省中考数学试
题在内容和形式上的变化。

学生可以根据这些变化来调整复习的重点，更好地应对未来的考试。

总结：
本文提供了吉林省十年中考数学试题及答案，以帮助学生更好地了
解吉林省中考数学的考试形式和内容。

通过分析解答过程，学生可以
更好地掌握数学概念和解题方法，为中考复习和备考做好准备。

希望
这些试题及答案能够对吉林省中考数学考试的学生有所帮助。

2003年---2011年吉林省中考数学压轴题28．（2011年吉林省）如图，梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠BAD=90°，CE ⊥AD 于点E ，AD=8cm ，BC=4cm ，AB=5cm ．从初始时刻开始，动点P ，Q 分别从点A ，B 同时出发，运动速度均为1cm/s ，动点P 沿A-B--C--E 的方向运动，到点E 停止；动点Q 沿B--C--E--D 的方向运动，到点D 停止，设运动时间为xs ，△PAQ 的面积为ycm2，（这里规定：线段是面积为0的三角形）解答下列问题：（1）当x=2s 时，y= cm2；当x=29 s 时，y= cm2． （2）当5≤x ≤14 时，求y 与x 之间的函数关系式． （3）当动点P 在线段BC 上运动时，求出y=154S 梯形ABCD 时x 的值． （4）直接写出在整个运动过程中，使PQ 与四边形ABCE 的对角线平行的所有x 的值．28．（2010年吉林省）如图，在等腰梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AE ⊥BC 于点E ．DF ⊥BC 于点F ．AD=2cm ，BC=6cm ，AE=4cm ．点P 、Q 分别在线段AE 、DF 上，顺次连接B 、P 、Q 、C ，线段BP 、PQ 、QC 、CB 所围成的封闭图形记为M ，若点P 在线段AE 上运动时，点Q 也随之在线段DF 上运动，使图形M 的形状发生改变，但面积始终为10cm2，设EP=xcm ，FQ=ycm ．解答下列问题：（1）直接写出当x=3时y 的值；（2）求y 与x 之间的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围；（3）当x 取何值时，图形M 成为等腰梯形？图形M 成为三角形？（4）直接写出线段PQ 在运动过程中所能扫过的区域的面积．28、（2009年吉林省）如图所示，菱形ABCD的边长为6厘M，∠B=60度．从初始时刻开始，点P、Q同时从A点出发，点P以1厘M/秒的速度沿A→C→B的方向运动，点Q以2厘M/秒的速度沿A→B→C→D的方向运动，当点Q运动到D点时，P、Q两点同时停止运动，设P、Q运动的时间为x秒时，△APQ与△ABC重叠部分的面积为y平方厘M（这里规定：点和线段是面积为O的三角形），解答下列问题：（1）点P、Q从出发到相遇所用时间是秒；（2）点P、Q从开始运动到停止的过程中，当△APQ是等边三角形时x的值是秒；（3）求y与x之间的函数关系式．28、（2008•吉林）如图①，在长为6厘M，宽为3厘M的矩形PQMN中，有两张边长分别为二厘M和一厘M的正方形纸片ABCD和EFCH，且BC且在PQ上，PB=1厘M，PF= 厘M，从初始时刻开始，纸片ABCD沿PQ以2厘M每秒的速度向右平移，同时纸片EFGH沿PN以1厘M每秒的速度向上平移，当C点与Q点重合时，两张图片同时停止移动，设平移时间为t秒时，（如图②），纸片ABCD扫过的面积为S1，纸片EFGH扫过的面积为S2，AP，PC，CA，所围成的图形面积及为S（这里规定线段面积为零，扫过的面积含纸片面积）．解答下列问题：（1）当t= 时，PG= ，PA= 时，PA PG+GA（填=或≠）；（2）求S与t之间的关系式；（3）请探索是否存在t值（t＞），使S1+S2=4S+5．若存在，求出t值；若不存在，说明理由．28、（2007•吉林）如图①，在边长为8 cm正方形ABCD中，E，F是对角线AC上的两个动点，它们分别从点A，点C同时出发，沿对角线以1cm/s同速度运动，过E作EH垂直AC交的直角边于H；过F作FG垂直AC交Rt△ACD的直角边于G，连接HG，EB．设HE，EF，FG，GH围成的图形面积为S1，AE，EB，BA围成的图形面积为S2（这里规定：线段的面积为0）．E到达C，F到达A停止．若E的运动时间为xs，解答下列问题：（1）当0＜x＜8时，直接写出以E，F，G，H为顶点的四边形是什么四边形，并求x为何值时，S1=S2．（2）①若y是S1与S2的和，求y与x之间的函数关系式．（图②为备用图）②求y的最大值．28、（2006•吉林）如图，正方形ABCD的边长为2cm，在对称中心O处有一钉子．动点P，Q同时从点A出发，点P沿A⇒B⇒C方向以每秒2cm的速度运动，到点C停止，点Q沿A⇒D方向以每秒1cm的速度运动，到点D停止．P，Q两点用一条可伸缩的细橡皮筋连接，设x秒后橡皮筋扫过的面积为ycm2．（1）当0≤x≤1时，求y与x之间的函数关系式；（2）当橡皮筋刚好触及钉子时，求x值；（3）当1≤x≤2时，求y与x之间的函数关系式，并写出橡皮筋从触及钉子到运动停止时∠POQ的变化范围；（4）当0≤x≤2时，请在给出的直角坐标系中画出y与x之间的函数图象．28、（2006•吉林•大纲卷）如图，在边长为8厘M的正方形ABCD内，贴上一个边长为4厘M的正方形AEFG，正方形ABCD未被盖住的部分为多边形EBCDGF．动点P从点B出发，沿B⇒C⇒D方向以1厘M/秒速度运动，到点D停止，连接PA，PE．设点P运动x秒后，△APE与多边形EBCDGF 重叠部分的面积为y厘M2．（1）当x=5时，求y的值；（2）当x=10时，求y的值；（3）求y与x之间的函数关系式；（4）在给出的直角坐标系中画出y与x之间的函数图象．28、（2005•吉林课标卷）如图1，在梯形ABCD中，AB=BC=10cm，CD=6cm，∠C=∠D=90°．（1）如图2，动点P、Q同时以每秒1cm的速度从点B出发，点P沿BA，AD，DC运动到点C停止，点Q沿BC运动到点C停止，设P、Q同时从点B出发t秒时，△PBQ的面积为y1（cm2），求y1（cm2）关于t（秒）的函数关系式；（2）如图3，动点P以每秒1cm的速度从点B出发沿BA运动，点E在线段CD上随之运动，且PC=PE．设点P从点B出发t秒时，四边形PADE的面积为y2（cm2），求y2（cm2）关于t（秒）的函数关系式，并写出自变量t的取值范围．28、（2005•吉林大纲卷）如图，过原点的直线l1：y=3x，l2：y= x．点P从原点O出发沿x轴正方向以每秒1个单位长度的速度运动．直线PQ交y轴正半轴于点Q，且分别交l1、l2于点A、B．设点P的运动时间为t秒时，直线PQ的解读式为y=-x+t．△AOB的面积为S l（如图①）．以AB为对角线作正方形ACBD，其面积为S2（如图②）．连接PD并延长，交l1于点E，交l2于点F．设△PEA的面积为S3；（如图③）（1）S l关于t的函数解读式为；（2）直线OC的函数解读式为；（3）S2关于t的函数解读式为；（4）S3关于t的函数解读式为 .26．（2004年吉林省）已知抛物线L：y=ax2+bx+c（其中a、b、c都不等于0），它的顶点P的坐标是(-b/2a ，4ac-b 2/4a )，与y轴的交点是M（0，c）．我们称以M为顶点，对称轴是y轴且过点P的抛物线为抛物线L的伴随抛物线，直线PM为L的伴随直线．（1）请直接写出抛物线y=2x2-4x+1的伴随抛物线和伴随直线的解读式：伴随抛物线的解读式，伴随直线的解读式；（2）若一条抛物线的伴随抛物线和伴随直线分别是y=-x2-3和y=-x-3，则这条抛物线的解读式是；（3）求抛物线L：y=ax2+bx+c（其中a、b、c都不等于0）的伴随抛物线和伴随直线的解读式；（4）若抛物线L与x轴交于A（x1，0）、B（x2，0）两点，x2＞x1＞0，它的伴随抛物线与x轴交于C、D两点，且AB=CD．请求出a、b、c应满足的条件．28．（2003•吉林）如图①，在矩形ABCD中，AB=10cm，BC=8cm，点P从A出发，沿A→B→C→D 路线运动，到D停止；点Q从D出发，沿D→C→B→A路线运动，到A停止．若点P、点Q同时出发，点P的速度为每秒1cm，点Q的速度为每秒2cm，a秒时点P、点Q同时改变速度，点P 的速度变为每秒bcm，点Q的速度变为每秒dcm．图②是点P出发x秒后△APD的面积S1（cm2）与x（秒）的函数关系图象；图③是点Q出发x秒后△AQD的面积S2（cm2）与x（秒）的函数关系图象．（1）参照图②，求a、b及图②中的c值；（2）求d的值；（3）设点P离开点A的路程为y1（cm），点Q到点A还需走的路程为y2（cm），请分别写出动点P、Q改变速度后y1、y2与出发后的运动时间x（秒）的函数关系式，并求出P、Q相遇时x的值．（4）当点Q出发秒时，点P、点Q在运动路线上相距的路程为25cm．34、(2003年吉林省)关于图形变化的探讨：（1）①例题1．如图1，AB是⊙O的直径，直线l与⊙O有一个公共点C，过A、B分别作l的垂线，垂足为E、F，则EC=CF．②上题中，当直线l向上平行移动时，与⊙O有了两个交点C1、C2，其它条件不变，如图2，经过推证，我们会得到与原题相应的结论：EC1=C2F．③把直线1继续向上平行移动，使弦C1C2与AB交于点P（P不与A，B重合）．在其它条件不变的情况下，请你在图3的圆中将变化后的图形画出来，标好对应的字母，并写出与①②相应的结论等式．判断你写的结论是否成立，若不成立，说明理由，若成立，给以证明．结论．证明结论成立或说明不成立的理由（2）①例题2．如图4，BC是⊙O的直径．直线1是过C点的切线．N是⊙O上一点，直线BN交1于点M．过N点的切线交1于点P，则PM2=PC2．②把例题2中的直线1向上平行移动，使之与⊙O相交，且与直线BN交于B、N两点之间．其它条件仍然不变，请你利用图5的圆把变化后的图形画出来，标好相应的字母，并写出与①相应的结论等积式，判断你写的结论是否成立，若不成立，说明理由，若成立，给以证明．结论．证明结论成立或说明不成立的理由：（3）总结：请你通过（1）、（2）的事实，用简练的语言，总结出某些几何图形的一个变化规律．。

= 2( x
a 2 ) 4 a x
当
x
a a =0，即 x a 时，函数 y 2( x )( x＞0) 的最小值为 4 a ． x x
⑵当该矩形的长为 a 时，它的周长最小，最小值为 4 a ． 【考点】画和分析函数的图象, 配方法求函数的最大(小)值． 【分析】⑴将 x 值代入函类数关系式求出 y 值, 描点作图即可. 然后分析函数图像.
a x
1 ( x＞0) 的图象性质． x
y
5 4 3 2
1 4
1 3
－1 O －1 1 2 3 4 5
x
②观察图象，写出该函数两条不同类型的性质； ③在求二次函数 y=ax2＋bx＋c（a≠0）的最大（小）值时，除了通过观察图象，还 可以通过配方得到．请你通过配方求函数 y x
2011 全国各省市中考数学压轴题精选精析
1、 （2011•北京）如图，在平面直角坐标系 xOy 中，我把由两条射线 AE，BF 和以 AB 为直径的半圆所组 成的图形叫作图形 C（注：不含 AB 线段） ．已知 A（﹣1，0） ，B（1，0） ，AE∥BF，且半圆与 y 轴的交 点 D 在射线 AE 的反向延长线上． （1）求两条射线 AE，BF 所在直线的距离； （2）当一次函数 y=x+b 的图象与图形 C 恰好只有一个公共点时，写出 b 的取值范围； 当一次函数 y=x+b 的图象与图形 C 恰好只有两个公共点时，写出 b 的取值范围； （3）已知▱AMPQ（四个顶点 A，M，P，Q 按顺时针方向排列）的各顶点都在图形 C 上，且不都在两条 射线上，求点 M 的横坐标 x 的取值范围．
②本题答案不唯一，下列解法供参考． 当 0 x 1 时， y 随 x 增大而减小；当 x 1 时, y 随 x 增大而增大；当 x 1 时函数 y x 小值为 2． ③ y x

二次函数专题类型一有关图象的变换问题例1：（2017•吉林）《函数的图象与性质》拓展学习片段展示：【问题】如图①，在平面直角坐标系中，抛物线y=a（x﹣2）2﹣经过原点O，与x轴的另一个交点为A，则a=．【操作】将图①中抛物线在x轴下方的部分沿x轴折叠到x轴上方，将这部分图象与原抛物线剩余部分的图象组成的新图象记为G，如图②．直接写出图象G对应的函数解析式．【探究】在图②中，过点B（0，1）作直线l平行于x轴，与图象G的交点从左至右依次为点C，D，E，F，如图③．求图象G在直线l上方的部分对应的函数y随x增大而增大时x的取值范围．【应用】P是图③中图象G上一点，其横坐标为m，连接PD，PE．直接写出△PDE的面积不小于1时m的取值范围．练：如图1，抛物线G1：y＝ax2﹣2ax+c（a＜0）与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，已知点A的坐标为（﹣1，0），点O为坐标原点，OC＝3OA，抛物线G1的顶点为G.（1）求出抛物线G1的解析式，并写出点G的坐标；（2）如图2，将抛物线G1向下平移k（k＞0）个单位，得到抛物线G2，设G2与x轴的交点为A′、B′，顶点为G′，当△A′B′G′是等边三角形时，求k的值；（3）在（2）的条件下，如图3，设点M为x轴正半轴上一动点（介于0与B之间），过点M作x轴的垂线分别交抛物线G1、G2于P、Q两点，是否存在M点，使得以A、Q、M为顶点的三角形与以P、M、B为顶点的三角形相似？若存在，求出点M的坐标：若不存在，请说明理由．类型二有关图形的规律问题*例2：（2018•吉林）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+2ax﹣3a（a＜0）与x轴相交于A，B 两点，与y轴相交于点C，顶点为D，直线DC与x轴相交于点E．（1）当a=﹣1时，抛物线顶点D的坐标为，OE=；（2）OE的长是否与a值有关，说明你的理由；（3）设∠DEO=β，45°≤β≤60°，求a的取值范围；（4）以DE为斜边，在直线DE的左下方作等腰直角三角形PDE．设P（m，n），直接写出n关于m 的函数解析式及自变量m的取值范围．练：（2015•吉林）如图①，一次函数y=kx+b的图象与二次函数y=x2的图象相交于A，B两点，点A，B的横坐标分别为m，n（m＜0，n＞0）．（1）当m=﹣1，n=4时，k=，b=；当m=﹣2，n=3时，k=，b=；（2）根据（1）中的结果，用含m，n的代数式分别表示k与b，并证明你的结论；（3）利用（2）中的结论，解答下列问题：如图②，直线AB与x轴，y轴分别交于点C，D，点A关于y轴的对称点为点E，连接AO，OE，ED．①当m=﹣3，n＞3时，求的值（用含n的代数式表示）；②当四边形AOED为菱形时，m与n满足的关系式为；当四边形AOED为正方形时，m=，n=．练：（2013•吉林）如图①，在平面直角坐标系中，点P（0，m2）（m＞0）在y轴正半轴上，过点P作平行于x轴的直线，分别交抛物线C1：y=x2于点A、B，交抛物线C2：y=x2于点C、D．原点O关于直线AB的对称点为点Q，分别连接OA，OB，QC和QD．【猜想与证明】填表：m123由上表猜想：对任意m（m＞0）均有=．请证明你的猜想．【探究与应用】（1）利用上面的结论，可得△AOB与△CQD面积比为；（2）当△AOB和△CQD中有一个是等腰直角三角形时，求△CQD与△AOB面积之差；【联想与拓展】如图②过点A作y轴的平行线交抛物线C2于点E，过点D作y轴的平行线交抛物线C1于点F．在y 轴上任取一点M，连接MA、ME、MD和MF，则△MAE与△MDF面积的比值为．类型三有关新定义问题例6：（2014•吉林）如图①，直线l：y=mx+n（m＞0，n＜0）与x，y轴分别相交于A，B两点，将△AOB绕点O逆时针旋转90°，得到△COD，过点A，B，D的抛物线P叫做l的关联抛物线，而l 叫做P的关联直线．（1）若l：y=﹣2x+2，则P表示的函数解析式为；若P：y=﹣x2﹣3x+4，则l表示的函数解析式为．（2）求P的对称轴（用含m，n的代数式表示）；（3）如图②，若l：y=﹣2x+4，P的对称轴与CD相交于点E，点F在l上，点Q在P的对称轴上．当以点C，E，Q，F为顶点的四边形是以CE为一边的平行四边形时，求点Q的坐标；（4）如图③，若l：y=mx﹣4m，G为AB中点，H为CD中点，连接GH，M为GH中点，连接OM．若OM=，直接写出l，P表示的函数解析式．练：练：抛物线y=-（x-m ）2+2（m ＞0）的顶点为A ，与直线x=2m 相交于点B ，点A 关于直线x=2m 的对称点为C ．（1）若抛物线y=-（x-m ）2+2（m ＞0）经过原点，求m 的值；（2）是否存在m 的值，使得点B 到x 轴距离等于点B 到直线AC 距离的一半，若存在，请直接写出m 的值；若不存在，请说明理由；（3）将y=-（x-m ）2+2（m ＞0且x≥2m ）的函数图象记为图象G ，图象G 关于直线x=2m 的对称图象记为图象H ，图象G 与图象H 组合成的图象记为M ．①当M 与x 轴恰好有三个交点时，求m 的值；②当△ABC 为等边三角形时，直接写出M 所对应的函数值小于0时，自变量x 的取值范围．。

2011年长春市初中毕业生学业考试数 学本试卷包括七道大题，共26小题．共6页．全卷满分120分．考试时间为120分钟．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．注意事项：1．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，并将条形码准确粘贴在条形码区域内．2．答题时，考生务必按照考试要求在答题卡上的指定区域内作答，在草稿纸上、试卷上答题无效．一、选择题（每小题3分，共24分）1．2-的绝对值是 （ ） （Ａ）12-． （Ｂ）21． （Ｃ）2-． （Ｄ）2． 【考 点】：绝对值M113.【难易度】：容易题.【分 析】：根据正数的绝对值是其本身，负数的绝对值是其相反数，得2-的绝对值则 为2-的相反数即为2，故选D.【解 答】：D【点 评】：本题考查看绝对值的定义，掌握其定义是解本题的关键.2．某汽车参展商为参加第8届（长春）国际汽车博览会，印制了105 000张宣传彩页．105 000这个数字用科学记数法表示为 （ ）（A ）10.5410⨯． （B ）1.05⨯510． （C ）1.05⨯610． （D ）0.105610⨯．【考 点】：科学记数法M11C.【难易度】：容易题.【分 析】：根据科学记数法的表示形式为a ×10n ，其中1≤|a|＜10，n 为整数．确定n 的值是易错点，本题由于105000有6位，所以可以确定n=6﹣1=5．即105000=1.05⨯510.故选B【解 答】：B ．【点 评】：本题考查了科学记数法表示较大的数的方法，准确确定a 与n 值是关键．3．右图是由4个相同的小正方体组成的几何体，其俯视图为 （ ）（A ） （B ） （C ） （D ）【考 点】：视图与投影M414．【难易度】：容易题.【分 析】：对于本题，找到从上面看几何体所得到的图形即可，注意所有的看到的棱都应 表现在俯视图中．从上面看第一层有两个正方形，第二层有一个正方形且在右 边.故选B.【解 答】：B【点 评】：本题考查了三视图的知识，注意俯视图是从物体的上面看得到的视图．4．一条葡萄藤上结有五串葡萄，每串葡萄的粒数如图所示(单位:粒)．则这组数据的中位数为 （ ）（Ａ）37． （Ｂ）35． （Ｃ）33.8．（Ｄ）32．【考 点】：中位数、众数M214.【容易堵】：容易题.【分 析】：根据中位数的定义（将一组数据从小到大（或从大到小）重新排列后，最中间 的那个数（最中间两个数的平均数））求解即可．将这组数据从小到大排列为； 28，32，35，37，37，所以这组数据的中位数是35，故选：B ．【解 答】：B【点 评】：本题考查了中位数，关键是要掌握中位数的概念：中位数是将一组数据从小到 大（或从大到小）重新排列后，最中间的那个数（最中间两个数的平均数），叫 做这组数据的中位数.5．不等式组24,20x x >-⎧⎨-≤⎩的解集为 （ ） （Ａ）2x >-． （Ｂ）22x -<<． （Ｃ）2x ≤． （Ｄ）22x -<≤．【考 点】：一元一次不等式（组）的解及解集M12K ．【难易度】：容易题.【分 析】：对于本题，先求出不等式组中每一个不等式的解集，再求出它们的公共部分（一 般用数轴）就是不等式组的解集．⎩⎨⎧⋅⋅⋅≤-⋅⋅⋅->②02①42x x解①得：x ＞﹣2，解②得：x ≤2，则不等式组的解集是：﹣2＜x ≤2．故选D ．【解 答】：D【点 评】：本题考查了一元一次不等式组的解，应注意的是不等式组的解是个不等式解的 公共部分.6．小玲每天骑自行车或步行上学，她上学的路程为2 800米，骑自行车的平均速度是步行平均速度的4倍，骑自行车比步行上学早到30分钟．设步行的平均速度为x 米/分．根据题意，下面列出的方程正确的是 （ ） （Ａ）30428002800=-xx ． （Ｂ）30280042800=-x x ． （Ｃ）30528002800=-x x ． （Ｄ）30280052800=-xx ． 【考 点】：分式方程的应用M12D.【难易度】：容易题.【分 析】：对于本题，根据题意设步行的平均速度为x 米/分，则骑自行车的平均速度为 4x 米/分.由于总路程为2 800米，则不行所用的时间为x2800，骑自行出所用的时间为x 42800.又骑自行车比步行上学早到30分钟，从而由此建立等式为 30428002800=-xx .故选A. 【解 答】：A【点 评】：本题考查了列分式方程，解题的关键是根据题意找出等量关系.7．如图，矩形OABC 的边OA 、OC 分别在x 轴、y 轴上，点B 的坐标为（3，2）．点D 、E 分别在AB 、BC 边上，BD=BE=1．沿直线DE 将△BDE 翻折，点B 落在点B ′处．则点B ′的坐标为 （ ）（A ）（1，2）． （B ）（2，1）． （C ）（2，2）． （D ）（3，1）．【考 点】：图形的折叠、镶嵌M411；不同位置的点的坐标的特征M132.【难易度】：容易题.【分 析】：对于本题，根据翻折的性质知E B′=EB ，D B′=DB ，且四边形E B′DB 为矩形， BD=BE=1，则且四边形E B′DB 为边长为1的正方形.而点B 的坐标为（3，2）， 所以点B ′的坐标为（2，1）．故选B.【解 答】：B【点 评】：本题考查了图形翻折的性质及坐标的变换，解题的关键就在于根据翻折的性质 得到EB ′=EB ，DB ′=DB ．8．如图，直线l 1//l 2，点A 在直线l 1上，以点A 为圆心，适当长为半径画弧，分别交直线l 1、l 2于B 、C 两点，连结AC 、BC ．若∠ABC ＝54°，则∠1的大小为 （ ）（Ａ）36°． （Ｂ）54°． （Ｃ）72°． （Ｄ）73°．【考 点】：平行线的判定及性质M31B ；等腰三角形性质与判定M327.【难易度】：中等题.【分 析】：对于本题，先根据等腰三角形的性质求出∠ACB 的度数，再根据平行性的性质 （两直线平行同旁内角互补）求出∠1的大.具体过程如下：∵以点A 为圆心，适当长为半径画弧，分别交直线l 1、l 2于B 、C 两点， ∴△ABC 为等腰三角形，则∠ACB=∠ABC=54°.又∵直线l 1//l 2，∴∠ACB+∠ABC+∠1=180°，∠1=180°-∠ACB-∠ABC=180°-54°-54°=72°. 故选C.【解 答】：C【点 评】：本题考查了平行线的性质及等腰三角形的性质，熟悉掌握这些性质并灵活运用 是解题的关键.二、填空题（每小题3分，共18分）9．计算：23x x ⋅=_____________．【考 点】：整式运算M11N ．【难易度】：容易题.【分 析】：对于本题，根据同底数幂乘法的法则（同底数幂相乘，底数不变，指数相加） 计算即可得出结果．即23x x ⋅=32+x=5x ，故答案为：5x . 【解 答】：5x【点 评】：本题考查了同底数幂乘法的法则（同底数幂相乘，底数不变，指数相加）,同时 注意下同底数幂相除的法则（同底数幂相除，底数不变，指数相减）.10．有a 名男生和b 名女生在社区做义工，他们为建花坛搬砖．男生每人搬了40块，女生每人搬了30块，这a 名男生和b 名女生一共搬了____块砖（用含a 、b 的代数式表示）．【考 点】：列代数式M11H ．【难易度】：容易题.【分 析】： 对于本题，根据题意有男生a 名，每人搬了40块，则男生总共搬砖为40a .同 理,女生b 名，每人搬了30块，则女生总共搬砖为30b.故a 名男生和b 名女生 一共搬了40a+30b 块砖.即答案为40a+30b.【解 答】：40a+30b. 【点 评】：本题考查了列代数式，根据题意，找出题目蕴含的数量关系解决问题的关键．11．如图，将三角板的直角顶点放在⊙O 的圆心上，两条直角边分别交⊙O 于A 、B 两点，点P 在优弧AB 上，且与点A 、B 不重合，连结P A 、PB .则∠APB 的大小为__ _度．【考 点】：圆心角与圆周角M343．【难易度】：容易题．【分 析】：由题意根据圆周角定理（同弧所对的圆周角是圆心角的一半）,则∠APB=21∠AOB=21*90°=45°.故答案为45. 【解 答】：45【点 评】：本题考查了圆周角定理：同弧所对的圆周角是圆心角的一半.主要是要掌握定理 内容.12．如图，在△ABC 中，∠B =30°，ED 垂直平分BC ，ED =3．则CE 的长为 ．【考 点】：线段垂直平分线性质、判定、画法M313；解直角三角形M32E ．【难易度】：容易题．【分 析】：对于本题，由垂直平分线的性质（垂直平分线上的点到线段两端的距离相等）， 得CE=BE.又在直角三角形BDE 中有∠B =30°，ED =3，则解直角三角形得BE=B DE sin =30sin 3=6，故得CE=BE=6. 【解 答】：6【点 评】：本题考查了垂直平分线的性质及解直角三角形的知识，熟悉性质并能灵活运用 是解本题的关键.13．如图，一次函数b kx y +=（0k <）的图象经过点A ．当3y <时，x 的取值范围是 ．【考 点】：一次函数的的图象、性质M142.【难易度】：中等题．【分 析】：对于本题，由函数图像可以看出随着自变量x 的逐渐增大，函数值y 是在逐渐 减小的，而当x=2时，y=3.故当x>2时，y<3.即答案为x>2.【解 答】：x>2.【点 评】：本题考查了一次函数图像性质,通过图像可以发现y 随x 的变化而变化的情况(图 像由左向右呈上升趋势，则y 随x 的增大而增大；图像由左向右呈下降趋势，则 y 随x 的增大而减小）.解本题的关键是要数形结合.14．边长为2的两种正方形卡片如图①所示，卡片中的扇形半径均为2．图②是交替摆放A 、B 两种卡片得到的图案．若摆放这个图案共用两种卡片21张，则这个图案中阴影部分图形的面积和为 （结果保留π）．【考 点】：弦、弧、直径、扇形、弓形M342.【难易度】：中等题．【分 析】：对于本题，由题意结合图形可以发现A 、B 两种图阴影部分的面积刚好为一个 边长为2的正方形的面积，故前20张卡片阴影部分面积之和为40.从摆放的顺 序来看，第21张卡片应为A 种卡片，其面积为边长为2的正方形的面积减去B 种卡片阴影部分的面积，即4-π2241⨯=4-π.故21张卡片种阴影部分面积之和 为40+4-π=44-π.【解 答】：44-π【点 评】：本题考查了扇形面积的计算及图形的变换，应注意的是21张卡片种排列的顺序 是解本题关键.三、解答题（每小题5分，共20分）15．先化简，再求值：2121-1a a a ++-，其中21=a ． 【考 点】：分式运算M11R ；求代数式的值M11L ；因式分解M11O ．【难易度】：容易题．【分 析】：对于本题，先将原式第一项约分后，利用同分母分式的减法法则计算得到最简结果，再将a 的值代入计算即可求出值．【解 答】：解：原式=aa a a -+-++12)1)(1(1 ................................................2分 =a -11+a-12 =a-13 当a=21时，原式=6． .................................................5分 【点 评】：本题考查了分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．16.小华有3张卡片，小明有2张卡片，卡片上的数字如图所示．小华和小明分别从自己的卡片中随机抽取一张．请用画树状图（或列表）的方法，求抽取的两张卡片上的数字和为6的概率．【考 点】：概率的计算M222；概率的意义、应用M223；分式的基本性质M11Q ．【难易度】：容易题.【分 析】：对于本题，首先根据题意列出表格，然后由表格求得所有等可能的结果与两张 卡片上的数字之和为6的情况，再利用概率公式：概率=所求情况数与总情况 之比，即可进行解答．【解 答】：解：画树状图得：∵由表格可以得到共有6种等可能的结果，两张卡片上的数字之和为6的有2 种情况， ................................................3分 ∴两张卡片上的数字之和为6概率为：3162=． ....................................5分 【点 评】：本题考查了用列表法或画树状图法求概率．列表法或画树状图法可以不重复 不遗漏的列出所有可能的结果，其区别在于：列表法适合于两步完成的事件， 树状图法适合两步或两步以上完成的事件．17．在长为10m ，宽为8m 的矩形空地上，沿平行于矩形各边的方向分割出三个全等的小矩形花圃，其示意图如图所示．求其中一个小矩形花圃的长和宽．【考 点】：二元一次方程组的应用M12G ；解二元一次方程组M12F ；等式的基本性质M121．【难易度】：容易题.【分 析】：对于本题，根据题目中图可以看出大矩形的长等于小矩形的两个长和一个宽之 和的，而宽则是等于小矩形的两个宽和一个长之和的.设小矩形的长为x 米，宽 为y 米，在由题意列出方程组即可求出答案.【解 答】：解：设小矩形花圃的长为x m ，宽为y m ．根据题意，得⎩⎨⎧=+=+.82,102y x y x .................................................3分 解得 42.x y =⎧⎨=⎩， 答：小矩形花圃的长为4m ，宽为2m ． ..................................................5分【点 评】：本题主要考查了如何由实际问题抽象出二元一次方程组，在解题时要能根据题 意找出等量关系列出方程是解本题的关键．18．平放在地面上的直角三角形铁板ABC 的一部分被沙堆掩埋，其示意图如图所示．量得角A 为54°，斜边AB 的长为2.1m ，BC 边上露出部分BD 长为0.9m ．求铁板BC 边被掩埋部分CD 的长．（结果精确到0.1m ）【参考数据：sin54°=0.81，cos54°=0.59，tan54°=1.38】【考 点】：解直角三角形M32E ；近似数M11A ；直角三角形性质与判定M329．【难易度】：容易题.【分 析】：对于本题，由题意得在直角三角形铁板ABC 中有∠C=90，∠A=54，AB=2.1， 由解直角三角形可得ＢＣ的长度，又BD 长为0.9，从而可解得CD 的长度．【解 答】：解：在△ABC 中，∠C =90，sin BC A AB=， ．．．．．．．．．．．．．．．．．２分 ∵∠A =54，AB =2.1，∴sin 2.1sin54BC AB A ==⨯ 2.10.81 1.701.=⨯=又∵BD =0.9，∴CD= BC －BD =1.701－0.9=0.801≈0.8．答：铁板BC 边被掩埋部分CD 的长约为0.8ｍ ．．．．．．．．．．．．５分【点 评】：本题考查了解直角三角形的应用，给出的解法是用∠A 的，不妨试着用下∠Ｂ， 同样可以解得．四、解答题（每小题6分，共12分）19．如图，平面直角坐标系中，直线1122y x =+与x 轴交于点A ，与双曲线x k y =在第一象限内交于点B ，BC ⊥x 轴于点C ，OC =2AO ．求双曲线的解析式．【考 点】：反比例函数的应用M154；反比例函数的的图象、性质M152；一次函数的的图象、 性质M142；用待定系数法求函数关系式M137.【难易度】：中等题.【分 析】：对于本题，首先由一次函数的解析式可以求得其与ｘ轴的交点Ａ的坐标，从而 得出ＯＡ的长，继而可得ＯＣ的长，即为点Ｂ的横坐标．又点Ｂ在一次函数解 析式上，从而可得点Ｂ的坐标．而点Ｂ又在反比例函数解析式上，将其带入则 可得ｋ的值．【解 答】：解：∵直线1122y x =+与x 轴交于点A ， ∴11022x +=．解得1x =-．∴AO =1．∵OC =2AO ，∴OC =2． ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．２分∵BC ⊥x 轴于点C ，∴点B 的横坐标为2．∵点B 在直线1122y x =+上，∴1132222y =⨯+=．∴点B 的坐标为3(22，）． ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．４分 ∵双曲线xk y =过点B 3(22，），∴322k =．解得3k =． ∴双曲线的解析式为3y x=． ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．６分 【点 评】：本题主要考查了反比例函数点的坐标与反比例函数解析式的关系，以及一次函 数与坐标轴交点坐标的特征．熟练的掌握和灵活的运用这些知识点是解本题的 关键.20．在正方形网格图①、图②中各画一个等腰三角形．每个等腰三角形的一个顶点为格点A ，其余顶点从格点B 、C 、D 、E 、F 、G 、H 中选取，并且所画的两个三角形不全等．【考 点】：尺规作图M318；等腰三角形性质与判定M327.【难易度】：容易题.【分 析】：对于这种作图大的方面可分为两类，一类是以点Ａ为顶角上的点如下图的②⑤； 另一类是以点Ａ为底角上的点，如下图的①③④⑥．主要是要利用网格线来构造 三角形的腰，很容易得出它们的长度关系．【解 答】：解：如图所示：...................6分【点 评】：本题主要考查了应用设计作图．首先要弄清问题中对所作图形的要求，然后结 合对应几何图形的性质和基本作图的方法作图．五、解答题（每小题6分，共12分）21．如图，平面直角坐标系中，⊙P 与x 轴分别交于A 、B 两点，点P 的坐标为（3，－1），AB =32．（1）求⊙P 的半径．（4分）（2）将⊙P 向下平移，求⊙P 与x 轴相切时平移的距离．（2分）【考 点】：垂径定理及其推论M349；勾股定理的实际应用M32B ；图形的平移与旋转M413.【难易度】：容易题.【分 析】：（1）如图，过点P 作PC ⊥AB 于C ， 连结PA ，由垂径定理可得PC 垂直平分 AB.在直角三角形ＡＰＣ中，用勾股定理就可得到ＡＰ的长度，即半径．（2）由（1）可得⊙P 的半径，且知ＰＣ的长度，则平移就是半径减去ＰＣ的长 度．【解 答】：解：（1）如图，作PC ⊥AB 于C ， 连结P A ．∴AC =CB =21AB ． ∵AB =32，∴AC =3． ．．．．２分∵点P 的坐标为(31-，），∴PC =1．在Rt △P AC 中，∠PCA =90°，∴PA =22AC PC += 2)3(122=+．∴⊙P 的半径为2 ． ．．．．．．．．．．．．．．．．．．４分（2）将⊙P 向下平移，⊙P 与x 轴相切时平移的距离为211-=． ．．．6分【点 评】：本题考查了垂径定理以及图形的平移，解题的关键是利用垂径定理构造直角三 角形．22．某校课外兴趣小组从我市七年级学生中抽取2 000人做了如下问卷调查，将统计结果绘制了如下两幅统计图．根据上述信息解答下列问题：（1）求条形统计图中n 的值．（2分）（2）如果每瓶饮料平均3元钱，“少2瓶以上”按少喝3瓶计算．①求这2000名学生一个月少喝饮料能节省多少钱捐给希望工程？（2分）②按上述统计结果估计，我市七年级6万学生一个月少喝饮料大约能节省多少钱捐给希望工程？（2分）【考 点】：统计图（扇形、条形、折线）M216；用样本估计总体M217；总体、个体、样本、 容量M211.【难易度】：容易题.【分 析】：（1）用抽取的总数2000人乘以喝饮料的比例，再减去少喝０瓶、１瓶、２瓶的 人数就是ｎ的值；（2）①由条形统计图可得少喝０瓶、１瓶、２瓶以及２瓶以上的人数，就可以 求出总人数，再乘以每瓶饮料的价格就可以求出总费用了，即为捐给希望 工程的钱数．②用学生总人数除以2000再乘以2000名学生一个月少喝饮料能节省的钱数 即为所求结果．【解 答】：解：（1）200060%(445470185)100⨯-++=．所以，条形统计图中100n =． ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．2分（2）①47011852100333420⨯+⨯+⨯⨯=（）． 所以，这2 000名学生一个月少喝饮料能节省3 420元钱捐给希望工程．．．4分②6000034201026002000⨯=． 所以，我市七年级6万名学生一个月少喝饮料大约能节省102 600元钱捐给 希望工程． ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．6分【点 评】：本题考查了条形统计图的知识，解题的关键是正确的读图并从中整理出进一步解题的有关信息．六、解答题（每小题7分，共14分）23．如图，平面直角坐标系中，抛物线32212+-=x x y 交y 轴于点A ．P 为抛物线上一点，且与点A 不重合．连结AP ，以AO 、AP 为邻边作□OAPQ ，PQ 所在直线与x 轴交于点B ．设点P 的横坐标为m ．（1）点Q 落在x 轴上时m 的值．（3分）（２）若点Q 在x 轴下方，则m 为何值时，线段BQ 的长取最大值，并求出这个最大值．（4分）【参考公式：二次函数)0(2≠++=a c bx ax y 的顶点坐标为（a b ac a b 44,22--）】【考 点】：二次函数的应用M164；二次函数的的图象、性质M162；平行四边形的性质与判定M332．【难易度】：中等题【分 析】：（1）首先根据抛物线解析式求出A 点的坐标，由于四边形OAPQ 为平行四边形，则QP=OA 且相互平行，即可得点P 的纵坐标，再将其带入抛物线解析式就可求出其横坐标.（2）由于PQ 的长度是确定的，而BQ=PQ-BP ，要使线段BQ 的长取最大值，则BP 应取最小值.由图像就可以看出当点P 在抛物线的定点处时，BP 的长度是最小的，即当m 为对称轴时，线段BQ 的长取最大值.【解 答】：解：（1）抛物线32212+-=x x y 与y 轴交于点A ， ∴点A 的坐标为(03)，．∴OA =3． ∵四边形OAPQ 为平行四边形，∴QP =OA =3．∴当点Q 落在x 轴上时，有212332m m -+=． 解得1204m m ==，．当m=0，点P 与点A 重合，不符合题意，舍去．∴m=4． .......................3分（2）∵QP =3，=3QB BP -，∴线段BP 的长取最小值时，线段QB 的长取最大值．当点P 为抛物线的顶点时，线段BP 的长取最小值．即当22b x a =-=时，214344211442ac b y a ⨯⨯--===⨯． ∴线段BP 的长最小值为1．∴2m =时，线段QB 的长取最大值，最大值为3－1=2． ..............7分【点 评】：本题考查了二次函数的的图象、性质及平行四边形的性质与判定．主要利用了二次函数与坐标轴交点的特征以及顶点坐标，解答本题的重点和难点在于求最值问题.24．探究如图①，在□ABCD 的形外分别作等腰直角△ABF 和等腰直角△ADE ，∠F AB=∠EAD =90°，连结AC 、EF ．在图中找一个与△F AE 全等的三角形，并加以证明．（5分）应用以□ABCD 的四条边为边，在其形外分别作正方形，如图②，连结EF 、GH 、IJ 、KL ．若□ABCD 的面积为5，则图中阴影部分四个三角形的面积和为 ．（2分）【考 点】：全等三角形性质与判定M32A ；平行四边形的性质与判定M332；正方形的性质与判定M335.【难易度】：中等题【分 析】：探究：对于本题，由题意可得△ABC 与△FAE 全等.原因是由□ABCD 的性质（对边平行且相等，对角相等），再由等腰直角△ABF 和等腰直角△ADE 的构造方法可以得到边相等的关系，即AF AB =，AE BC =.又由∠FAB=∠EAD=90°，得∠EAF 与∠DAB 互补，而由平行四边形的性质知∠DAB 与∠ABC 互补，从而的∠CBA =∠EAF .故证得两三角形全等.应用：连接AC 、BD ，由探究的知识可得△ABC ≌△FAE ，△ABC ≌△JCI ，△BCD ≌△LDK,△BCD ≌△HBG ，图中阴影部分四个三角形的面积之和为两个□ABCD ，即为10.【解 答】： 解：探究：△ABC 与△FAE 全等．证明：∵90FAB EAD ∠=∠=，∴∠+EAF ∠180=DAB °.∵四边形ABCD 是平行四边形，∴BC AD BC AD =,//.∴∠+DAB ∠180=CBA °.∴∠CBA =∠EAF .......................................................2分∵AD AE =，∴AE BC =.∵AF AB =，∴△ABC ≌△FAE . ................... ................................5分应用： 10． ......................................................7分【点 评】：本题考查了全等三角形的判定与性质、平行四边形的性质及正方形的性质.熟记性质并确定出三角形全等的条件是解题的关键，在应用中作辅助线构造出探究的条件是解题的关键．七、解答题（每小题10分，共20分）25．甲、乙两组工人同时加工某种零件，乙组工作中有一次停产更换设备，更换设备后，乙组的工作效率是原来的2倍．两组各自加工零件的数量y (件)与时间x (时)的函数图象如图所示．（1）求甲组加工零件的数量y 与时间x 之间的函数关系式．（2分）（2）求乙组加工零件总量a 的值．（3分）（3）甲、乙两组加工出的零件合在一起装箱，每够300件装一箱，零件装箱的时间忽略不计，求经过多长时间恰好装满第1箱？再经过多长时间恰好装满第2箱？（5分）【考 点】：一次函数的应用M144；一次函数的的图象、性质M142；用待定系数法求函数关系式M137.【难易度】：中等题.【分 析】：（1）显然有图像可得甲组的函数为正比例函数，且有一点（6,360），故代入则可得函数关系式.（2）从图像可以求出乙组前两小时的工作效率，而根据后面的工作效率是前面效率的两倍，就可得后面的工作效率，再结合工作时间就可求得a 的值.（3）由于乙组在工作中有停工现象，则需分时段来讨论，主要分为四个时段：①0到2小时；②2到2.8小时；③2.8到4.8小时；④4.8到6小时.根据这四个时段来讨论工作总量问题.【解 答】：解：（1）设甲组加工的零件数量y 与时间x 的函数关系式为y kx =．根据题意，将点（6，360）代入得6360k =，解得60k =．所以，甲组加工的零件数量y 与时间x 的函数关系式为60y x =. .............................2分（2）当2x =时，100y =．则前两小时的工作效率是50件/小时.因为更换设备后，乙组工作效率是原来的2倍，即100件/小时，所以，a=100*(4.8-2.8)+100=300. ........................5分（3）乙组更换设备后，乙组加工的零件的个数y 与时间x 的函数关系式为100100( 2.8)100180y x x =+-=-．当0≤x ≤2时，6050300x x +=．解得3011x =．舍去． 当2<x ≤2.8时，10060300x +=．解得103x =．舍去． 当2.8<x ≤4.8时，60100180300x x +-=．解得3x =．所以，经过3小时恰好装满第1箱． ...........................................8分当3<x ≤4.8时，601001803002x x +-=⨯．解得398x =．舍去． 当4.8<x ≤6时．603003002x +=⨯．解得5x =．因为5－3=2，所以，再经过2小时恰好装满第2箱． . ......................................10分【点 评】：本题考查了一次函数及用待定系数法求函数关系式的运用，工作总量=工作效率×工作时间的运用，解答时求出函数的解析式是关键．同时，还考查了分类思想的应用，只是个难点也是个重点问题.26．如图，∠C =90°，点A 、B 在∠C 的两边上，CA =30，CB =20，连结AB ．点P 从点B 出发，以每秒4个单位长度的速度沿BC 方向运动，到点C 停止．当点P 与B 、C 两点不重合时，作PD ⊥BC 交AB 于D ，作DE ⊥AC 于E ．F 为射线CB 上一点，且∠CEF =∠ABC ．设点P 的运动时间为x （秒）．（1）用含有x 的代数式表示CF 的长．（2分）（2）求点F 与点B 重合时x 的值．（2分）（3）当点F 在线段CB 上时，设四边形DECP 与四边形DEFB 重叠部分图形的面积为y（平方单位）．求y 与x 之间的函数关系式．（3分）（4）当x 为某个值时，沿PD 将以D 、E 、F 、B 为顶点的四边形剪开，得到两个图形，用这两个图形拼成不重叠且无缝隙的图形恰好是三角形．请直接写出所有符合上述条件的x 值．（3分）【考 点】：相似三角形性质与判定M32H ；四边形的面积M339；直角三角形性质与判定M329；比例的性质M32J ．【难易度】：较难题.【分 析】：（1）由题意可得△DBP ∽△ABC ∽△FEC ，由此可以得出各边的比例关系，即可用x 表示CF.（2）当点F 与点B 重合时，CF CB =，由CB 的长度及（1）的结果就可以求 出x 的值.（3）分三种情况讨论：①当点F 与点P 重合时；②当点F 在点P 左边时；③当 点F 在点P 右边时.（4）主要分为如下三种情况：a ：如图③，当PD PF =时，62013x x =-．解得2019x =．B DE '∆为拼成 的三角形．b ：如图④，当点F 与点P 重合时，4920x x +=．解得2013x =．BDC ∆为拼 成的三角形．c ：如图⑤，当DE PB =时，2044x x -=．解得52x =．DPF ∆为拼成的三 角形．【解 答】：解：（1）由题意知，△DBP ∽△ABC ，四边形PDEC 为矩形， ∴PD PB CA CB=，CE =PD ． ∴304620CA PB x PD x CB ⨯⨯===．∴6CE x =． 又∵△CEF ∽△CBA ，∴CF CE CA CB=． ∴306920CA CE x CF x CB ⨯⨯===． ............2分 （2）当点F 与点B 重合时，CF CB =，即9x =20．解得920=x ． ...........................................4分 （3）当点F 与点P 重合时，BP CF CB +=， 即4x ＋9x =20．解得1320=x .... ...........5分 当20013x <<时，如图①，()26(2013204)2PD PF DE y x -x x +=+-= x x 120512+-=． .....................6分 当2013≤x ＜209时，如图②， 12y DE DG =⨯ =12(204)(204)23x x -⋅- 216(5)3x =-． ....................7分 （4）2019x =． ............................................................8分 2013x = ............................................................9分 52x = ............................................................10分 【点 评】：本题考查了相似三角形性质与判定，是一个综合性的题型.解本题的关键 是要熟悉掌握这些性质，更重要的是要学会分类讨论的思想，这是个重 点也是个难点.。

吉林省2011年初中学业考试数学试卷参考答案一、填空题（每小题2分，共20分）三、解答题（每小题5分，共20分）17.解：原式＝ (x ＋1) 2(x ＋1) (x －1)－xx －1＝ x ＋1 x －1－x x －1 ＝ 1 x －1当x =2时，原式=1（答案不唯一，取1±≠x 即可） 18.解：设每个毽子x 元，每根跳绳y 元，根据题意得⎩⎨⎧=+=+18433485y x y x 解得⎩⎨⎧==32y x 答：每个毽子2元，每根跳绳3元. 19.解：（1）21（2）树形图9 10 J Q10 J Q 9 J Q 9 10 Q 9 10 J或列表所以P （两张牌都不带有人像）61122==20.证明：∵BE=AD,AF=AB ∴AE=DF∵四边形ABCD 是平行四边形 ∴AB=CD,AB ∥CD∴AF=CD, ∠EAF=∠D ∴∆AEF ≌∆DFC四、解答题（每小题6分，共12分） 21.22.（第21题）图①图②（2）180五、解答题（每小题7分，共14分） 23.解：∵E 为CD 中点，CD=12, ∴CE=DE=6. 在Rt ⊿ACE 中，A∵tan56°=CEAC∴AC=CE. tan56°≈6×23=9 在Rt△BDE 中，∵tan67°= BD DE， ∴BD=DE. tan67°=6×37=14 . ∵AF ⊥BD ,∴AC=DF=9,AF=CD=12, ∴BF=BD-DF=14-9=5.在Rt ⊿AFB 中，AF=12,BF=5, ∴135122222=+=+=BF AF AB∴两树间距离为13米。

24.解：（1）过点D 作DE ⊥x 轴于点E.∵直线y=-2x +2与x 轴，y 轴相交于点A.B, ∴当x =0时，y=2,即OB=2. 当y=0时，x =1,即OA=1. ∵四边形ABCD 是正方形， ∴∠BAD=90°，AB=AD. ∴∠BAO+∠DAE=90°。

中考数学压轴题精选【1】如图，点P 是双曲线11(00)k y k x x=<<，上一动点，过点P 作x 轴、y 轴的垂线，分别交x轴、y 轴于A 、B 两点，交双曲线y =xk 2（0＜k 2＜|k 1|）于E 、F 两点． （1）图1中，四边形PEOF 的面积S 1= ▲ (用含k 1、k 2的式子表示)； （2）图2中，设P 点坐标为（－4，3）．①判断EF 与AB 的位置关系，并证明你的结论；②记2PEF OEF S S S ∆∆=-，S 2是否有最小值？若有，求出其最小值；若没有，请说明理由。

【2】一开口向上的抛物线与x 轴交于A (m －2，0)，B (m ＋2，0)两点，记抛物线顶点为C ，且AC ⊥BC ．(1)若m 为常数，求抛物线的解析式；(2)若m 为小于0的常数，那么(1)中的抛物线经过怎么样的平移可以使顶点在坐标原点？(3)设抛物线交y 轴正半轴于D 点，问是否存在实数m ，使得△BCD 为等腰三角形？若存在，求出m 的值；若不存在，请说明理由．【3】如图，在梯形ABCD 中，24AD BC AD BC ==∥，，，点M 是AD 的中点，MBC △是等边三角形．（1）求证：梯形ABCD 是等腰梯形；（2）动点P 、Q 分别在线段BC 和MC 上运动，且60MPQ =︒∠保持不变．设PC x MQ y ==，，求y 与x 的函数关系式；（3）在（2）中：①当动点P 、Q 运动到何处时，以点P 、M 和点A 、B 、C 、D 中的两个点为顶点的四边形是平行四边形？并指出符合条件的平行四边形的个数；②当y 取最小值时，判断PQC △的形状，并说明理由．【4】如图，已知ABC ∆为直角三角形，90ACB ∠=︒，AC BC =,点A 、C 在x 轴上，点B 坐标为（3，m ）（0m >），线段AB 与y 轴相交于点D ，以P （1，0）为顶点的抛物线过点B 、D ． （1）求点A 的坐标（用m 表示）； （2）求抛物线的解析式；（3）设点Q 为抛物线上点P 至点B 之间的一动点，连结PQ 并延长交BC 于点E ，连结 BQ 并延长交AC 于点F ，试证明：()FC AC EC +为定值．ADCB P MQ60°【5】如图12，直线4+-=x y 与两坐标轴分别相交于A 、B 点，点M 是线段AB 上任意一点（A 、B 两点除外），过M 分别作MC ⊥OA 于点C ，MD ⊥OB 于D ．（1）当点M 在AB 上运动时，你认为四边形OCMD 的周长是否发生变化？并说明理由； （2）当点M 运动到什么位置时，四边形OCMD 的面积有最大值？最大值是多少？（3）当四边形OCMD 为正方形时，将四边形OCMD 沿着x 轴的正方向移动，设平移的距离为)40<<a a （，正方形OCMD 与△AOB 重叠部分的面积为S ．试求S 与a 的函数关系式并画出该函数的图象．【6】如图11，在△ABC 中，∠C =90°，BC =8，AC =6，另有一直角梯形DEFH （HF ∥DE ，∠HDE =90°）的底边DE 落在CB 上，腰DH 落在CA 上，且DE =4，∠DEF =∠CBA ，AH ∶AC =2∶3 （1）延长HF 交AB 于G ，求△AHG 的面积.（2）操作：固定△ABC ，将直角梯形DEFH 以每秒1个单位的速度沿CB 方向向右移动，直到点D 与点B 重合时停止，设运动的时间为t 秒，运动后的直角梯 形为DEFH ′（如图12）. 探究1：在运动中，四边形CDH ′H 能否为正方形？若能，请求出此时t 的值；若不能，请说明理由.探究2：在运动过程中，△ABC 与直角梯形DEFH ′重叠部分的面积为y ，求y 与t 的函数关系.图12（1）图12（2）图12（3）【7】阅读材料：如图12-1，过△ABC 的三个顶点分别作出与水平线垂直的三条直线，外侧两条直线之间的距离叫△ABC 的“水平宽”(a )，中间的这条直线在△ABC 内部线段的长度叫△ABC 的“铅垂高(h )”.我们可得出一种计算三角形面积的新方法：ah S ABC 21=∆，即三角形面积等于水平宽与铅垂高乘积的一半. 解答下列问题：如图12-2，抛物线顶点坐标为点C (1,4),交x 轴于点A (3,0)，交y 轴于点B . (1)求抛物线和直线AB 的解析式；(2)点P 是抛物线(在第一象限内)上的一个动点，连结PA ，PB ，当P 点运动到顶点C 时，求△CAB 的铅垂高CD 及CAB S ∆； (3)是否存在一点P ，使S △PAB =89S △CAB ，若存在,求出P 点的坐标；若不存在，请说明理由.【8】如图，已知抛物线与x 交于A(－1，0)、E(3，0)两点，与y 轴交于点B(0，3)。

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８ １ ）＝ ＿ ｘ＋ ６ （ ４一 ＿ ４ ５・
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开始 ， 动点 Ｐ、 Ｑ分别从点 Ａ、 Ｂ同时出发 ， 运动速度均 为 ｌｃ ／ 。 ｍ ｓ 动点 Ｐ沿 Ａ 日 —Ｅ的方 向运动 ， 一 一ｃ 到点 Ｅ停 止； 动点 Ｑ沿 一ｃ 一 Ｄ的方 向运动 ， 到点 Ｄ停止． 设
运动时 间为 蜘， Ａ ＡＰ Ｑ的面积为 ｙ ｍ ． ｃ２
（一 ） ４
＜６． ＞ 一６． ｍ
Ｊ
象 开 口向下 ， 对称轴 为 ＝ ， ５ 故当 ≤５时 ， 函数 值是随 的增加而增加 ， 以， 所 对满足 ２ ≤４的 Ｓ来说 ， ≤ 当 ＝
４ 有 大 ， 最： ÷× ５４ １ 时 最 值且ｓ大 一 ４＋×： ． ２
４ 构造二次 函数 求字母 的取值范 围． ． 例 ４ 已知方程 ＋（ ｍ＋６ ｘ＋ ｍ＋ ０有两个 ２ ） ２ ４＝ 实数根 ， 且两根都小于 ３ 求 ｍ的取值范围． ，